Professor: Henrique Jorge Nery de Lima
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Po
Vantagens: Vantagens:
Redução nos custos com materiais e mão de obra;
Redução nos custos com materiais e mão de obra;
Flexibilidade de layout;
Flexibilidade de layout;
Possibilidade de reduzir o pé-direito do pavimento e a
Possibilidade de reduzir o pé-direito do pavimento e a altura total do edifício;
altura total do edifício;
Redução de cargas nas fundações (peso próprio, vento);
Redução de cargas nas fundações (peso próprio, vento);
Maior velocidade de execução da obra.
Maior velocidade de execução da obra.
Desvantagens: Desvantagens:
Momentos elevados na ligação Laje-pilar;
Momentos elevados na ligação Laje-pilar;
Redução da rigidez global da edificação devido a ausência de vigas;
Redução da rigidez global da edificação devido a ausência de vigas;
Divide-se a estrutura em pórticos (podem ser externos, intermediários ou internos);
Calcula-se os esforços atuantes na estrutura.
Dimensiona-se as armaduras, respeitando-se as armaduras mínimas prescritas em normas.
Na região de ligação laje-pilar são observadas elevadas tensões originadas pelos esforços de flexão e
de cisalhamento, que podem provocar ruptura por punção da laje com uma carga inferior à de flexão.
A ruptura por punção está associada à formação de um
tronco de cone que tende a se desligar da laje.
A armadura de punção, quando dimensionada inadequadamente, pode causar graves acidentes
como o colapso de uma laje, ou mesmo a
ruína total da estrutura por colapso progressivo
.
Modo de ruptura ao redor do pilar, dado por cisalhamento
em elementos delgados submetidos a cargas localizadas
Resistência do concreto à compressão (
f’
c);
Taxa de armadura de flexão tracionada (
ρ
)
–
razão entre a área de armadura
tracionada (As) pela área de concreto (Ac);
Tamanho e geometria do pilar
–
determinam a forma como as tensões se
distribuem na ligação laje-pilar;
“
Size effect (
ξ)”,
ou efeito de tamanho, fator que leva em consideração a
Com o objetivo de evitar o uso de capitéis e
“
drop painels
”
o
emprego de armaduras de cisalhamento para o combate à
punção tem crescido significativamente.
A resistência das lajes com armaduras de punção pode chegar
ao dobro da resistência das lajes sem essa armadura (Gomes
1991).
Os modelos mais comuns dessas armaduras são os estribos e
Fissuras Características de Punção em
Edifício Garagem no Brasil
Verificação do cisalhamento em duas ou mais superfícies de críticas
definidas no entorno de áreas de forças concentradas;
Na primeira superfície crítica (contorno C), do pilar ou da carga
concentrada, deve ser verificada indiretamente a tensão de compressão
diagonal do concreto, através da tensão de cisalhamento;
Na segunda superfície crítica (contorno
C’)afastada 2d do pilar ou carga
concentrada, deve ser considerada a capacidade de ligação à punção,
associada à resistência à tração diagonal;
Caso haja necessidade, a ligação deve ser reforçada por armadura
transversal;
A terceira superfície crítica, (contorno
C”),apenas deve ser verificada
Verificação do contorno
“C
”:
=
∗
≤
2 = 0,27 ∗ ∗
Onde:
•
Fsd
–é a força ou a reação concentrada de cálculo;
•d = ( d x
–dy)/2
–altura útil;
• μo
= perímetro do contorno C (como exemplo o do pilar);
•
= 1 −
fck
Verificação do contorno
“ C ’ ”:
=
∗≤
1 = 0,13 ∗ 1 +
∗ 100 ∗ ∗
Onde:
•
Fsd
–é a força ou a reação concentrada de cálculo;
•
d
–altura útil ao longo do contorno crítico
C’da área de aplicação da força,
em centímetros;
• μ
= perímetro do contorno
C’(como exemplo perímetro afastado 2d do
pilar);
• ρ =
(ρx
∗
ρy) –taxa geométrica de armadura de flexão aderente
Verificação do contorno
“ C’’ ”: HAVENDO NECESSIDADE DE
ARMADURA DE CISALHAMENTO.
= ∗ ≤ 3 = 0,10 ∗ 1 + ∗ 100 ∗ ∗ + 1,5 ∗ ∗ ∗∗ ∗ Onde:
•
sr
–espaçamento radial entre linhas de armadura de punção, não maior que
0,75d;
•
Asw
–área de armadura de punção num contorno completo paralelo a
C’;
• μ= perímetro crítico ou perímetro crítico reduzido no caso de pilar de
borda ou canto;
•
α −
ângulo de inclinação entre o eixo da armadura de punção e o plano da
laje;
•
fywd
–é a resistência de cálculo da armadura de punção, não maior que
Verificações a serem realizadas:
No perímetro da coluna, ou no perímetro da área carregada, o máximo
cisalhamento à punção não deve exceder:
• υ < υ, •
Onde:
• υ
Ed é a carga atuante na ligação.;
• υ,
é o valor de cálculo máximo da resistência ao cisalhamento ao longo
da seção considerada.
Reforço à punção
não será necessário se:
• υ < υ, •
Onde:
• υ,
é o valor de calculo da resistência ao cisalhamento sem armadura de
d
–profundidade média efetiva da laje;
μi –
comprimento do perímetro de controle distante 2d da face do pilar, em mm;
Ved
–cortante de cálculo atuante;
fck em MPa
υ = β ∗ μ ∗ < υ, = 0,5 ∗ 1 − 250 ∗ υ = β ∗ μ ∗ < υ, = 0,18 ∗ ξ ∗ 100 ∗ ρ ∗ ′ ∗ μ1 ∗ μi –
comprimento do perímetro de controle distante 2d da face do pilar, em mm;
d
–profundidade média efetiva da laje;
f ’c –
resistência à compressão do concreto, deve ser menor que 90 MPa
ρ –taxa de armadura, deve ser menor ou igual a 0,02;
Ruptura por cisalhamento dentro da região das armaduras, considerando a resistência máxima devido à combinação das armaduras de cisalhamento e do concreto:
, = 0,75 ∗ , + (1,5 ∗
∗ ∗ , ∗ 1 β) Ruptura ocorrendo fora da região das armaduras de cisalhamento:
, = 0,18 ∗ ξ ∗ 100 ∗ ρ ∗ ′
∗ μ ∗
Verificação da resistência da biela comprimida próxima das extremidades do pilar
, á = 0,3 ∗ ′ ∗ 1 −
′
250 ∗ μ ∗
Asw – área da armadura de cisalhamento por camada;
fyw,eff = 1,15*(250+0,25*d), no qual o 1,15 substitui oγs, dado em N/mm² e com d em mm; ρ – taxa de armadura, deve ser menor ou igual a 0,02;
ξ – representa o size effect sendo igual a 1+200/ ≤ 2,0com d em mm sr – é o espaçamento radial das camadas de armadura do cisalhamento;
Caso haja a necessidade de armar a punção, deve-se fazer as seguintes
1 - Calcula-se os coeficientes de distribuição de momentos em torno de cada
nó rígido interno da estrutura, indicando-os em torno de cada nó.
2
–Calcula-se, com o auxílio das tabelas do método das deformações da
Hiperestática, os momentos de engastamento perfeito do sistema principal
(obtido bloqueando-se, com chapas, as rotações de todos os nós internos
rígidos da estrutura.
3
–Libera-se, uma de cada vez, a rotação de cada nó interno, equilibrando a
carga-momento que nele passa então a atuar. Os momentos equilibrantes
que surgem serão propagados aos nós opostos de cada barra, multiplicados
pelos devidos coeficientes de transmissão de momentos. Uma vez equilibrado
o nó, voltamos a fixá-lo com a chapa e passamos ao equilíbrio dos outros nós
por procedimento idêntico, até que, no último nó equilibrado (já estando os
demais em equilíbrio), os momentos equilibrantes que nele apareçam
acarretem a propagação aos nós adjacentes, de momentos de valor
desprezível.
4
–Encerrado o equilíbrio dos nós, os momentos finais que atuarão em cada
um deles serão iguais à soma dos momentos de engastamento perfeito com
aqueles despertados na fase de equilíbrio dos nós.
5
–Conhecidos os momentos finais nos nós, obtém-se os diagramas de
momentos fletores atuantes na estrutura, e a partir dele e do carregamento
externo, chega-se às reações de apoio e aos diagramas de esforço cortante e
normal
1) Para a laje lisa mostrada abaixo:
a) Divida a estrutura em pórticos;
b) Calcule a estrutura como pórtico;
c )Dimensione a armadura;
d) Detalhe a armadura de flexão. Como a Norma NBR 6118/2014 recomenda que a
armadura de flexão seja colocada?
e) Verificar o pilar central à punção pela NBR 6118/2014.
DADOS:
Laje com 18 cm de espessura;
- Pilares com 4,0 metros de altura e seção 30 x 30 cm; - fck = 30,0 MPa;
PÓRTICO EQUIVALENTE
Os esforços atuantes serão calculados pelo Método de Cross e para isso a estrutura será dividida em pórticos planos nas duas direções ortogonais. A estrutura acima pode ser dividida em seis pórticos – três em cada direção, dois passando pelo pilar central e quatro passando pelos pilares laterais.
Devido às simetrias geométrica e de carregamento analisaremos apenas dois pórticos em apenas uma das direções e adotaremos a solução para a outra. Abaixo são mostradas figuras com as larguras colaborantes das lajes em cada pórtico.
(a) Pórtico Central (b) Pórtico Lateral
Calculando primeiro o Pórtico Equivalente Central, temos:
1º Passo: Verificação da espessura da laje
O ACI propõe uma fórmula para pré-determinação da altura útil da laje:
como h = 18 cm
OK!
cm h cm L h 500 15 min min 2º Passo: Cálculo das cargas atuantes no pórtico equivalente
Peso Próprio: gp = 25 kN/m³
25 * 0,18
4,5 kN/m²
Sobrecarga:...3,0 kN/m²
Carga total atuante = 7,5 kN/m²
O carregamento por metro linear fica sendo então:
Q = 7,5 *5
37,5 KN / m
3º Passo: Determinação dos Momentos de Engastamento Perfeito
Momentos de Engastamento Perfeito são momentos que as barras exerceriam sobre os nós
da estrutura se estes fossem, assim, considerados apoios engastados. No caso da estrutura acima
o pórtico central que se obtém é o seguinte:
m kN M l q M 78,13 12 5 5 , 37 12 2 2
Temos as barras horizontais 1 e 2 (laje na estrutura real) consideradas
engatadas nos nós A, B e C. Calculamos então estas barras como estando
bi-engastadas.
m kN M l q M 39,05 24 5 5 , 37 24 2 24 3 3 000675 , 0 12 3 , 0 3 , 0 12 I m h b I p p 4 3 3 00243 , 0 12 18 , 0 5 12 I m h b I p p l I k l I k 4 3 3 000169 , 0 4 000675 , 0 m k p 3 000486 , 0 5 00243 , 0 m k l
4º Passo: Cálculo dos Momentos de Inércia – Rigidez das Barras
- Pilares:
- Lajes:
5º Passo: Cálculo das Rigidezes Relativas das Barras (k) - Barras bi-engastadas:
- Barras engastadas e apoiadas: , não temos este caso.
- Lajes: - Pilares:
i i i k k d 2 0,000169 0,000486 0,589 000486 , 0 1 1 d d 2 0,000169 0,000486 0,21 000169 , 0 4 3 4 3 d d d d 2 0,000169 2 0,000486 0,37 000486 , 0 2 1 2 1 d d d d 2 0,000169 2 0,000486 0,13 000169 , 0 2 1 6 5 d d d d
6º Passo: Cálculo dos Coeficientes de Distribuição (d)
Os coeficientes de distribuição, d, em cada barra são os percentuais com que cada barra contribui com a rigidez total do nó. - Nó A: - N ó B : - Nó C: igual ao Nó A. 0,59 0 , 2 1 0 , 2 1
Calculando esta estrutura por um software livre como o FTOOl, da PUC do Rio de Janeiro, temos (em kN.m):
Portanto, os resultados encontrados através do Método de Cross é perfeitamente válido, com um cálculo manual extremamente simples e rápido, chegando a um erro máximo de apenas 5%.
Calculando agora o pórtico lateral pelo Método de Cross tendo como carregamento total 18,75 kN/m, temos como resultado o seguinte diagrama de momentos fletores:
7º Passo: Distribuição dos Momentos no Pórtico Equivalente segundo a NBR 6118:2003 A NBR 6118:2007 define quatro faixas de distribuição de momentos em cada pórtico equivalente:
a)45% dos momentos positivos para as duas faixas internas;
b)27,5% dos momentos positivos para cada uma das faixas externas; c)25% dos momentos negativos para as duas faixas internas;
d)37,5% dos momentos negativos para cada uma das faixas externas.
Mais fácil para o calculista seria raciocinar da seguinte maneira: a) 45% dos momentos positivos para as duas faixas laterais;
b) 55% dos momentos positivos para a faixa central;
c) 25% dos momentos negativos para as duas faixas laterais; d) 75% dos momentos negativos para a faixa central.
Com a figura da distribuição ficando da seguinte forma:
* Note-se que a figura da norma não foi alterada, foi apenas mostrada deforma diferente, com os pilares no centro e não nas laterais.
Assim, o procedimento seguinte será calcular as frações dos momentos em cada faixa definida anteriormente.
m kN M m kN M M B C A . 58 , 75 78 , 100 75 , 0 . 62 , 24 82 , 32 75 , 0 m kN M M 0,55 50,38 27,71 . 2 1 m kN M m kN M M B C A . 59 , 12 78 , 100 125 , 0 . 10 , 4 82 , 32 125 , 0 m kN M M 0,225 50,38 11,33 . 2 1 m kN M m kN M M B C A . 79 , 37 39 , 50 75 , 0 . 31 , 12 41 , 16 75 , 0 m kN M M 0,55 25,19 13,85 . 2 1 m kN M m kN M M B C A . 60 , 12 39 , 50 25 , 0 . 10 , 4 41 , 16 25 , 0 m kN M M 0,45 25,19 11,34 . 2 1 PÓRTICO CENTRAL Faixa Central - Negativos - Positivos Faixas Laterais - Negativos - Positivos PÓRTICO LATERAL Faixa Central - Negativos - Positivos Faixas Laterais - Negativos - Positivos
É importante notar que os coeficientes utilizados no cálculo dos momentos negativos no Pórtico Lateral são o dobro do que a norma determina. Isto ocorre porque, o pórtico sendo lateral, não possui duas faixas laterais como um pórtico central; o que implica que se não
² / 28 , 214 42 , 21 4 , 1 30 4 , 1 f MPa kgf cm f f ck cd cd ² / 4347 7 , 434 15 , 1 500 15 , 1 f MPa kgf cm f f ck yd yd cm d h d 2,5182,5 15,5 ² 375 , 3 4 500 18 0015 , 0 0015 , 0 ,min min , min A cm A A s c s
8º Passo: Cálculo das Armaduras de Flexão segundo a NBR 6118:2003 Dados:
f ck = 25 MPa
Aço CA-50 f yk = 500 MPa
bw= 2,5 m
ARMADURA MÍNIMA
De acordo com a NBR 6118:2003 na seção 17.3.5.2, o valor mínimo de taxa de armadura definido na Tabela 17.3 para concreto com resistência de 30 MPa é min= 0,15%. Diste fato, tomando-se a largura de
m kN M M A C 62 , 24 027 , 0 4 , 1 30000 155 , 0 5 , 2 62 , 24 4 , 1 2 2 md cd w d md k f d b M k 512 , 1 425 , 0 917 , 1 25 , 1 md x x k k k 395 , 0 4 , 0 1 x z z k k k ² 94 , 12 4 , 1 500 155 , 0 389 , 0 10 62 , 24 4 , 1 cm A f d k M A s yd z d s m kN M B 58 , 75 A s 35,89cm² m kN M M 1 2 27,71 . A s 14,47cm² PÓRTICO CENTRAL Faixa Central - Negativos 26 Ø 8,0 mm c/ 10 - Positivos 2 9 Ø 8 , 0 m m c / 9 29 Ø 12,5 mm c/ 9
m kN M M C A 4,10 . ² 25 , 2 cm A s m kN M B 12,59 . A s 6,79cm² m kN M M 1 2 11,33 . A s 6,13cm²
Faixas Laterais (considerar a largura de distribuição de 1,25 m).
- Negativos
< As,min, adota-se As,min= 3,375 cm² 11 Ø 6,3 mm c/ 11
14 Ø 8,0 mm c/ 9 13 Ø 8,0 mm c/ 10 - Positivo m kN M M A C 12,31 . ² 64 , 6 cm A s m kN M B 37,79 . A s 19,33cm² m kN M M 1 213,85 . ² 45 , 7 cm A s PÓRTICO LATERAL Faixa Central - Negativos 6 Ø 12,5 mm c/ 10 7 Ø 20,0 mm c/ 9 6 Ø 12,5 mm c/ 10 - Positivo
m kN M M C A 4,10 . ² 25 , 2 cm A s m kN M B 12,6 . ² 79 , 6 cm A s m kN M M 1 2 11,34 . A 6,13cm² s Faixas Laterais - Negativos
< As,min, adota-se As,min= 3,375 cm² 7 Ø 8,0 mm c/ 9
6 Ø 12,5 mm c/ 10
6 Ø 12,5 mm c/ 10
10º Passo: Detalhamento da armadura de flexão segundo a NBR 6118:2003
É apresentado na figura a seguir o detalhamento do pavimento em uma direção, sendo este idêntico ao apresentado para a direção ortogonal.
(a) Armadura Negativa (b) Armadura Positiva Armadura passiva do pavimento em uma das direções ortogonais
9º Passo: Cálculo à Punção segundo a NBR 6118:2003
A Norma brasileira adota duas verificações para o cálculo quanto à resistência à punção de ligações laje-pilar. São elas: verificação na primeira seção crítica C, que corresponde ao perímetro de contorno do
pilar ou área carregada, e verificação na segunda seção crítica C’, cujo perímetro é o contorno afastado de
2d do pilar ou área carregada (correspondente ao Perímetro Crítico u e u*na figura abaixo.
Na primeira verificação é checada indiretamente a tensão de compressão diagonal do concreto através da tensão de cisalhamento. Na segunda verificação é checada a capacidade à punção da ligação laje-pilar associada à resistência à tração diagonal. Essa verificação também se faz através de uma tensão
de cisalhamento no contorno C’.
Percebe-se que os ângulos entre as linhas que formam o perímetro da seção crítica são suavizados através de trechos circulares (trechos de ¼ de círculo) cujos centros estão nos cantos dos pilares.
(a) Seção crítica para pilares de centro
(b) Seção crítica para pilares de borda
(c) Seção crítica reduzida para pilares de borda Seções críticas e seção crítica reduzida segundo a NBR 6118:2003
d u F Sd Sd
d
W
M
K
d
u
F
p Sd Sd Sd 1 1 1 2 2 2 1 2 1 4 16 2 2 C dC d d C C C W p Cálculo da tensão solicitante
Para pilares interno com carregamento simétrico
Fsd: força ou reação concentrada de cálculo; u : perímetro crítico;
d : média aritmética das alturas úteis das armaduras passivas de flexão nas direções ortogonais;
onde:
W p*: Módulo de Resistência Plástica perpendicular à borda livre para o perímetro u, dado pela equação:
d
W
M
K
d
u
F
p Sd Sd Sd 1 1 1 * ² 8 2 c² 1 cd cd d W p ² 8 2 c² 4 3 * cd cd d W p Para pilares de borda quando não agir momento no plano paralelo à borda livre da laje:
onde:
Msd: momento de extremidade de cálculo (por qualquer método);
Msd*: momento de cálculo resultante da excentricidade do perímetro crítico reduzido u*em relação ao centro do pilar;
u*: perímetro crítico reduzido;
e*: excentricidade do Perímetro Reduzido.
W p1: Módulo de Resistência Plástica perpendicular à borda livre para o perímetro u; W p* : Módulo de Resistência Plástica perpendicular à borda livre para o perímetro u*. W p1e W p* são dados pelas equações abaixo:
Tabela 1.1 – Valores de K:
C 1 /C 2 0,5 1,0 2,0 3,0
K 1 0,45 0,60 0,70 0,80
C1é a dimensão perpendicular e C2a dimensão paralela à borda livre considerada.
MSd1= (MSd – MSd*) ≥ 0
MSd*= F sd. e*
250 1 ck v f
1/3 1 100 20 1 13 , 0 ck Rd Sd f d
y x 2 dy dx d Cálculo da tensão resistente
Para evitar uma ruptura por compressão diagonal do concreto na superfície crítica C, uma verificação deve ser feita para lajes com ou sem armadura de punção: confronto entre a tensão atuante ou de projeto,
Sd, e a tensão resistente Rd2: onde:
Sd : dado anteriormente e calculado com u
0(perímetro do pilar ou ponto de carregamento, perímetro da superfície C) em
lugar de u;
f cd: resistência à compressão de cálculo do concreto;
Para evitar uma ruptura por puncionamento da laje na superfície crítica C’,em elementos estruturais ou
trechos sem armadura de punção deve ser feita uma nova verificação: confronto entre a tensão atuante ou de projeto,
sd, e a tensão resistente Rd1:
: taxa geométrica de armadura passiva de flexão. xe ysão as taxas geométricas de armadura nas direções ortogonais calculadas
da seguinte forma:
- na largura igual à dimensão ou área carregada do pilar acrescida de 3d para cada um dos lados; - no caso de proximidade da borda prevalece a distância até a borda menor que 3d.
Sd Rd2
= 0,27
v f cd, f ck em MPa
d u sen f A s d f d ywd sw r ck Rd Sd 3 0,10 1 20 100 1/3 1,5 Quando a verificação acima (
Sd ≤ Rd1) não for atendida, haverá a necessidade de armadura de punção e a verificação da superfície crítica C’deverá ser feita de acordo com a equação:
onde:
sr : espaçamento radial entre linhas da armadura de punção, não maior que 0,75.d; Asw: área de armadura de punção num contorno completo paralelo a C’;
f ywd: resistência da armadura de punção, limitada a 300 MPa para conectores e 250 MPa para estribos (aços CA-50 ou CA-60) em lajes com espessura menor que 15 cm, acima deste valor
No caso da necessidade de armadura de punção, deve-se realizar uma terceira verificação. A uma distância de 2d do último contorno de armadura define-se a superfície crítica C”, como visto na figura
abaixo, cuja tensão atuante
Sd, deve satisfazer à condição Sd≤Rd1.
Na presença de armadura de punção em uma ligação, três verificações devem ser feitas: - tensão de compressão do concreto no contorno C, conforme item a);
tensão istent à ção tor C’ for ite c);
