N ´UMEROS COMPLEXOS Professores Jorge Aragona e Oswaldo R. B. de Oliveira

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N ´UMEROS COMPLEXOS

Professores Jorge Aragona e Oswaldo R. B. de Oliveira

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Cap´ıtulo 1

N ´ UMEROS COMPLEXOS

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Cap´ıtulo 2 - POLIN ˆOMIOS 1 - Polinˆomios com Coeficientes Complexos

2 - Resolu¸c˜ao Elementar de Equa¸c˜oes por Radicais.

3 - Equa¸c˜oes Redut´ıveis a Quadr´aticas.

Apêndice - Teorema da Decomposi¸cão em Fra¸cões Simples (ou Parciais).

(4)

Cap´ıtulo 2

POLIN ˆ OMIOS

2.1 - Polinˆomios com Coeficientes Complexos

2.1 Defini¸cão. Uma fun¸cão polinomial de C em C é uma fun¸cão do tipo:

p∶z∈C↦∑^m

j=0

ajz^m⁻^j ∈C ,

com m∈N e (a_j)⁰≤j≤m uma sequência em C. Os números a0, .., a_m são os coeficientes de p e a0 é por vezes dito primeiro coeficiente e p. Sea0≠0, m é o grau de p, e escrevemos m=∂p. Se a0, ..., am=0, p é a fun¸cão polinomial nula e seu grau

´e −∞; isto ´e, ∂(0) = −∞.

O conjunto de toda as fun¸c˜oes polinomiais ´e indicado por C[z].

2.2 Observa¸cão. (a) Na nota¸cão C[z], a letra z é uma variável muda e sua escolha é determinada pela tradi¸cão. (b) Estudaremos apenas fun¸cões polinomiais em uma variável complexa, salientando que a teoria das fun¸cões polinomiais (ou

“polinômios”, ver Obs....) de várias (e até infinitas) variáveis existe de longa data e é muito relevante em várias áreas da Matemática.

Dadosp, q ∈C[z], com p∶z ↦ ∑^m

j=0

ajz^m⁻^j e q∶z ↦ ∑ⁿ

k=0

bkzⁿ⁻^k, ent˜ao a soma p+q e o produtopq definidos por,

p+q∶zz→p(z)+q(z)=∑^m

j=0

ajz^m⁻^j+∑ⁿ

k=o

bkzⁿ⁻^k,

p q∶z z→p(z)q(z)=(∑^m

j=0

ajz^m⁻^j)(∑ⁿ

k=o

bkzⁿ⁻^k) ,

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pertencem ambos aC[z]. Iniciando com o primeiro a afirma¸c˜ao ´e clara sem=n pois definidos os coeficientes cj =aj+bj, j =0,1, ...m, tem-se

p(z)+q(z)=∑^m

j=0

ajz^m⁻^j+∑^m

j=0

bjz^m⁻^j =∑^m

j=0

cjz^m⁻^j ,

dondep+q∈C[z]. Se m≠n, supomos sem perda de generalidade m>n e ent˜ao, p(z)+q(z) =a⁰z^m+a¹z^m⁻¹+...+am−n−1zⁿ⁺¹+(am−n+b⁰)zⁿ

+(am−n−1+b1)zⁿ⁻¹+...+(am−1+bn−1)z+(am+bn)), e definindo a sequencia finita de n´umeros(c_j)⁰≤j≤m por

⎧⎪⎪⎨⎪⎪

⎩

cj =aj, se 0≤j≤m−n−1, cm−n+k =am−n+k+bk, se 0≤k ≤n,

resulta p(z)+q(z) = ∑^m^j=0cjz^m⁻^j, donde p+q ∈ C[z] e ∂(p+q) = max(∂p, ∂q) (mesmo se temosp=0 ou q=0).

Analogamente verificamos pq∈C[z] pois (pq)(z) =p(z)q(z)=(∑^m

j=0

ajz^m⁻^j)( ∑ⁿ

k=0

bkzⁿ⁻^k)=(a^m_z +...+am)(b0zⁿ+...bn)

=a0b0z^m⁺ⁿ+(a0b1+a1b0)z^m⁺ⁿ⁻¹+(a0b2+a1b1+a2b0)z^m⁺ⁿ⁻²+...+ambm

=^m∑⁺ⁿ

p=0

c^mz⁺ⁿ⁻^p, ondecp= ∑

r+s=parbs (0≤p≤m+n). Observe que, mesmo se p=0 ou q=0, (2.2.1) ∂(pq)=∂(p)+∂(q).

E claro que a opera¸cão adi¸cão´ (p, q) ↦ p+q sobre C[z] é associativa, co- mutativa, admite a fun¸cão polinomial nula como elemento neutro e, ainda, cada elementop∈C[z] tem elemento oposto −p,

(−p)(z)∶=∑^m

j=0

(−aj)z^m⁻^j,∀z∈C, se p(z)=∑^m

j=0

ajz^m⁻^j,∀z ∈C.

Analogamente, a opera¸cão produto(p, q)↦pq sobre C[z]é associativa, comuta- tiva e tem por elemento neutro a fun¸cão constante igual a 1 :

1∶z ∈C↦1∈C .

Notemos que 1 é uma fun¸cão polinomial de grau zero. Por fim, sep, q er pertencem a C[z], é imediato que p(q+r)=pq+qr. Reunimos as considera¸cões acima no resultado abaixo.

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2.3 Proposi¸cão. O conjunto C[z] das fun¸cões polinomiais de C em C, munido das opera¸cões soma (p, q) ↦ p+q e produto (p, q) ↦ pq acima definidas, é um anel unitário e comutativo.

2.4 Observa¸cão. Usaremos a palavra polinômio como sinônimo de fun¸cão po- linomial e frequentemente citaremos os elementos de C[z] como polinômios com coeficientes complexos.

2.5 Defini¸cão. Dado p∈C[z], p≠0, se α∈C é tal que p(α)=0, α é um zero, ou ra´ız, de p.

Um resultado fundamental da teoria de polinômios expressa que um polinômio de graum têm no máximo m zeros distintos.

2.6 Teorema (Princ´ıpio da Identidade) Se p(z)=a0z^m+a1z^m⁻¹+...+am ∈ C[z], ∂p ≤ m, tem mais de m zeros distintos ent˜ao p = 0 (isto ´e, aj = 0, j = 0,1, ..., m, e ∂p=∂0− ∞).

Prova. Sejam α1, ..., αm+1∈C, distintos, com p(αj)=0, ∀j =1, ..., m+1. Isto ´e,

(S)

⎧⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎨⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎩

p(α1) = a0α1^m + a1α^m1⁻¹+...+ am−1α1 + am.1=0 p(α2) = a0α₂^m + a1α^m₂⁻¹+...+ a_m₋1α2 + a_m.1=0

...

p(αm+1)=a0α^m_m₊1+ a1α^m_m₊⁻¹1+...+ am−1αm+1+ am.1=0 . Utilizando o determinante de Vandermonde associado ao sistema linear ho- mogêneo (S) dem+1 equa¸cões, com coeficientes α^k_i (1≤i≤m+1, 0≤k ≤m) e incógnitas a0, a1, ..., am,

∆= RRRRR RRRRR RRRRR RRRRR RRRRR RRRRR

α^m1 α^m1 ⁻¹ .... α1 1 α^m₂ α^m₂ ⁻¹ .... α2 1 ... ... ... ... ...

... ... ... ... ...

α^m_m₊1 α^m_m⁻₊¹1 ... αm+1 1 RRRRR RRRRR RRRRR RRRRR RRRRR RRRRR

= ∏

i<j

(αi−αj)≠0 ,

resulta, pelo Teorema de Cramer, que (S)´e determinado e a0=a1=...=am0.

(7)

2.7 Corol´ario. Sejam p, q∈C[z] tais que p≠0 e q≠0, dados por p(z)=∑^m

j=0

a_jz^m⁻^j e q(z)=∑ⁿ

k=0

b_kzⁿ⁻^k ,∀z∈C , com a0≠0 e b0≠0 (isto ´e, ∂p≥0 e ∂q≥0). S˜ao equivalentes:

(i) p=q (isto ´e, p(z)=q(z),∀z ∈C).

(ii) Existeml∶=max(m, n) +1 n´umeros complexos α1, ...αl, distintos, tais que p(αj)=q(αj),∀j=1, ..., l .

(iii) m=n e aj =bj, ∀j =1,2, ..., l.

Prova. Como as implica¸cões (i) ⇒ (ii) e (iii)⇒ (i) são triviais, verifiquemos a implica¸cão (ii)⇒(iii). Mostremos primeiro a igualdade m=n. Supondo por absurdo que m>n, o polinômio diferen¸cad∶=p−q se escreve:

d(z)=a0z^m+...+am−n−1zⁿ⁺¹+(am−n−b0)zⁿ+...+(am−bn),∀z ∈C, e por (ii) ´e claro que

(2.7.1) d(αj)=0, ∀j=1,2, ..., l=m+1 .

Como a0 ≠0 e ∂d =m, aplicando o Teorema 2.6 (Princ´ıpio da Indentidade) ao polinômiod, em vista de (2.7.1) concluimos que os coeficientes de d são nulos e, em particular, a0=0, o que é absurdo. Logo, temos m=n e

d(z)=∑^m

j=0

(aj−bj)z^m⁻^j, ∀z∈C ,

e, em consequˆencia, de novo pelo Teorema 2.6 e (2.7.1), obtemos aj = bj, se j=0,1,2, ..., m ∎

Uma das principais aplica¸cões do Teorema 2.6 (ou do Corolário 2.7) é o Método dos Coeficientes a Determinar para encontrar um ou vários po- linômios, de grau e forma pré-fixados, que submetidos a certas opera¸cões dão um resultado conhecido. Ilustremos com dois exemplos.

2.8 Exemplos. (a) Transformarz ↦z²+3/4em diferen¸ca de quadrados de dois trinˆomios: z ↦(z²+az+b)²−(z²+a^′z+b^′)².

(b) Achar m e n tais que o polinˆomio p(z) =z⁴−10z³+mz²−50z+n ´e um quadrado perfeito.

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Solu¸c˜ao.

(a) Impondo z²+3/4=(z²+az+b)²−(z²+a^′z+b^′)², ∀z∈C, desenvolvemos:

z²+3/4=2(a−a^′)z³+(a²2+2b−a^′²−2b^′)z²+2(ab−a^′b^′)z+(b²−b^′²) (z∈C). Portanto, pelo Corol´ario 2.7 seguem as quatro equa¸c˜oes:

2(a−a^′)=0, a²+2b−a^′²−2b^′=1, 2(ab−a^′b^′)=0 e b²−b^′² =3/4. Da primeira equa¸cão resulta a=a^′, da segunda equa¸cão segue b−b^′=1/2, o que junto com a terceira equa¸cão e a igualdade a=a^′ implica a(b−b^′)=0, isto é, a^′ = a = 0. Da quarta equa¸cão temos (b−b^′)(b+b^′) = 3/4, donde (b+b^′)=3/2 e, como b−b^′=1/2,b=1 e b^′ =1/2. Logo, a única solu¸cão do problema é

z²+3/4=(z²+1)²−(z²+1/2)² .

(b) Como∂p=4 e o primeiro coeficiente depé 1, o polinômio solu¸cão, se existir,

´e da forma q(z)=z²+az+b. Impondo

(q(z))²=z⁴+2az³+(a²+2b)z²+2abz+b² =p(z)=z⁴−10z³+mz²−50z+n ,∀z∈C, obtemos, pelo Corol´ario 2.7,

2a= −10, a²+2b=m , 2ab= −50 e b² =n ,

que é um sistema trivial com solu¸cão a= −5,b=5,n=25 em=35. A única solu¸cão do problema é então

z⁴−10z³+35z²−50z+25=(z²−5z+5)² ∎

Como no anel Z, no anel C[z]é válida a divisão inteira, isto é,

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2.9 Proposi¸c˜ao. Dados dois polinˆomios P, D ∈ C[z], com D ≠ 0, existe um

´

unico par de polinˆomiosQ e R em C[z] verificando, P =DQ+R , e ∂R<∂D . Prova.

Existˆencia. Se∂(P)<∂(D) pomos Q=0 e R=P.

Suponhamos agora o caso 0<∂(D)=m≤n=∂(P)e escrevamos

⎧⎪⎪⎨⎪⎪

⎩

P(z)=anzⁿ+an−1zⁿ⁻¹+...+a1z+a0, com ai^′s∈C ean≠0, D(z)=bmz^m+bm−1z^m⁻¹+...+b1z+b0, com bi^′s∈C e bm≠0.

Definindo os polinômios Q1(z) = bâmⁿzⁿ⁻^m e R1 = P −Q1D é fácil ver que obtemos ∂(R1) < n e P = Q1D+R1. Assim, se ∂(R1) < m findamos a tarefa.

Caso contrário, aplicando um argumento análogo ao polinômioR1 determinamos Q2 ∈C[z]tal que o polinômioR2 =R1−Q2Dsatisfaz∂(R2)<∂(R1)e a identidade R1 =Q2D+R2. Novamente, se ∂(R2)<m encerramos a tarefa. Senão, iteramos o processo até obtermos Rk−1 =QkD+Rk, ∂(Rk)<m, e concluirmos

P =Q1D+Q2D+....+QkD+Rk=(Q1+...+Qk)D+Rk .

Ent˜ao, definindoQ=Q1+...+Qk e R=Rk completamos a prova da existˆencia.

Unicidade.

SeQ¹, Q², R¹, R²∈C[z], max(∂(R¹), ∂(R²))<∂(D), eQ¹D+R¹ =P =Q²D+R² ent˜ao temos (Q1−Q2)D=R2−R1 e, analisando graus, Q1−Q2=0=R2−R1 ∎

Observa¸cão: Com a nota¸cão da Proposi¸cão 2.9, os polinômiosQ e R são ditos quociente e resto da divisão inteira de P por D. Se o resto R é zero dizemos que Ddivide P e escrevemos D∣P.

Uma consequência da Proposi¸cão 2.9, importante no que segue, é o da divisão inteira de um polinômio p∈C[z] por um polinômio de 1 grau, z↦z−α, α∈C. Como o restor de tal divisão tem grau menor ou igual a 1, isto é, 0 ou−∞, segue que temosr∈C∗ ou r=0.

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2.10 Proposi¸cão. Dados p(z) = ∑^m^j=0ajz^m⁻^j ∈ C[z] e α ∈ C arbitrários, de- finimos o polinômio de grau um pα ∈ C[z] por pα(x) = z −α, ∀z ∈ C. Se q(z) = ∑^mk=⁻0¹ckz^m⁻¹⁻^k e r ∈ C são o quociente e o resto, respectivamente, da divisão inteira do polinômio p por pα, valem as três asser¸cões:

(a) c0=a0, c1=c0α+a1, c2 =c1α+a2, c_m₋1 =c_m₋2α+a_m₋1 e r=c_m₋1α+a_m. (b) r=p(α)= ∑^m

j=0

ajα^m⁻^j.

(c) p ´e divis´ıvel (exatamente) por α se e s´o se p(α)=0.

Na Proposi¸cão 2.10, o item (a) é a regra dos quocientes de Ruffini e (b) é o Teorema do resto. Do item (a) resulta o conhecido algoritmo (na divisão inteira em R[x] pelo polinômio de grau 1 x↦x−α) que se estende facilmente a C[z], como exemplificamos abaixo.

z−α

c0z^m⁻¹+c1z^m⁻²+...+cm−1

a0z^m+a1z^m⁻¹+a2z^m⁻²+...+am−1z+am

−c0z^m+c0αz^m⁻¹

c1z^m⁻¹+a2z^m⁻²+...+am−1z+am

−c1z^m⁻¹+c1αz^m⁻²

c2z^m⁻²+...+am−1z+am

cm−1z+am

−cm−1z+cm−1α r

(11)

Exemplo 2.11 Dividir−2z⁴+³2z²+iz+¹2⁻ⁱ porz+i. De acordo com a Proposi¸c˜ao 3.8(a) escrevemos:

−2(a0) 0(a1) ³2(a2) i(a3) ¹⁻2ⁱ(a4)

−i(α) 2i 2 ⁻₂⁷i ⁻₂⁵

−2(c0) 2i(c1) ⁷2(c2) ⁻2⁵ⁱ(c3) −2−2ⁱ −2−2ⁱ

O próximo resultado, o “Teorema Fundamental da Álgebra”, expressa que cada polinômio p ∈C[z], ∂p ≥ 1, tem pelo menos um zero em C. É pertinente notar que o enunciado análogo com R[x] no lugar de C[x] é falso (pois, por exemplo,p(x)=x²+1,∀x∈R, pertence aR[x]mas não tem nenhum zero emR).

O matemático francês d’Alembert pensou ter achado uma prova deste teorema , em 1746, mas seu argumento tinha um erro. A primeira “prova” conhecida deste resultado é devida a Gauss, razão pela qual o resultado é também conhecido como “Teorema de d’Alembert-Gauss”. A “Primeira Prova de Gauss”, de 1799, também tinha erros, que só foram corrigidos em 1920 por A. Ostrowski. Em 1806 o livreiro sui¸co J. Argand publicou uma prova muito simples, ainda incompleta, mas que é para a matemática moderna correta.

2.12 Teorema Fundamental da ´Algebra. Cada p ∈ C[z], ∂p ≥ 1, tem ao menos um zero (real ou complexo). Isto ´e, existe ζ∈C tal que p(ζ)=0.

Duas das provas do Teorema Fundamental da Álgebra (TFA) que apresentaremos são uma sutil varia¸cão da demonstra¸cão de Argand. A terceira é a demonstra¸cão de Argand. As duas primeiras são recentes (2011) e deslocam a prova do TFA do âmbito da Álgeba e da Teoria das Fun¸cões de Uma Variável Complexa para os cursos de Cálculo de Duas Variáveis Reais. A mesma se apóia apenas em alguns poucos fatos básicos da teoria dos números reais e em cálculos com números complexos que, embora tenham um certo grau de sutileza, uma vez explicitados são de fácil compreensão. A prova do Teorema 2.12 é deixada para o Cap´ıtulo 4.

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Centraremos nossa aten¸c˜ao pelo momento nas consequˆencias interessantes deste resultado.

A primeira aplica¸cão importante do TFA diz respeito à decomposi¸cão fatorial de um polinômioe às rela¸cões entre coeficientes e ra´ızes. Seja p∈C[z],

p(z)=a0z^m+a1z^m⁻¹+...+am−1z+am, a0≠0, com ∂(p)=m≥1 .

Pelo Teorema 2.12 (TFA) existeζ1 ∈Ctal que p(z1)=0 e então, pela Proposi¸cão 2.10 (c),pé divisivel pelo polinômioz ↦z−ζ11, portanto existe p1 ∈C[z]tal que

p(z)=(z−ζ1)p1(z),∀z ∈C, com ∂(p1)=m−1.

Se m−1 ≥ 1, aplicando o Teorema Fundamental da Álgebra ao polinômio p1, vemos que existe ζ2 ∈ C com p1(ζ2)= 0 e então, pela Proposi¸cão 2.10(c), existe p2 ∈C[z], ∂(p2)=m−2, tal quep1(z)=(z−ζ2)p2(z),∀z ∈Ce, em consequência,

p(z)=(z−ζ1)(z−ζ2)p2(z),∀z∈C .

Continuando com este processo², ap´osm−1 passos obtemos:

p(z)=(z−ζ1)(z−ζ2)...(z−ζm−1)pm−1(z), com ∂pm−1=1,

e portantopm−1(z)=a0z+b ³,∀z∈C. O ´unico zero depm−1 ´eζm = −b/a0 e assim obtemosp_m₋1(z)=a0(z−ζ_m),∀z∈C, o que implica

[2.1] p(z)=a0(z−ζ1)(z−ζ2)....(z−ζm−1)(z−ζm),∀z∈C.

Comop≠0 e m=∂p≥1, o Teorema 2.6 mostra que o polinômio p não tem mais quem zeros distintos emC. Porém, alguns destes zeros podem ser iguais e então, a forma mais precisa de escrever a decomposi¸cão [2.1] do polinômiopem produto de fatores lineares é:

[2.2] ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

p(z)=a0(z−ζ1)^ν¹(z−ζ2)^ν²...(z−ζr)^ν^r,∀z∈C, com ζi≠ζj se i≠j , 1≤i, j≤r , νj ∈N∗,∀j =1,2, ..., r , e ν1+ν2+...+νr=m=∂p .

1Doravante indicaremos (abusivamente) o polinˆomioz↦z−αporz−α.

2Aqui vale uma observa¸cão análoga à ¹: a prova rigorosa deste fato deveria ser feita por indu¸cão mas é tão simples que não vale o esfor¸co fazer a formaliza¸cão.

3A Proposi¸cão 2.10 mostra que o 1 coeficiente de cada um dos polinômiosp1, ..., pm−1éa0.

(13)

Com as nota¸cões de [2.2], o número naturalνj é amultiplicidadedo zeroζj ∈Ceζj

é um zero (ra´ız) do polinômio pde multiplicidade νj4. Claramente, qualquer que seja a decomposi¸cão de p em fatores lineares o conjunto de zeros não se altera.

Mostremos que, analogamente, a multiplicidade de cada zero também não muda e, portanto, não existem duas decomposi¸cões diferentes do tipo [2.2] parap:

a0(z−ζ1)^ν¹(z−ζ2)^ν²...(z−ζr)^ν^r =a0(z−ζ1)^ν¹^′(z−ζ2)^ν²^′...(z−ζr)^ν^r^′ , ∀z∈C , pois, se por exemploν1>ν1^′, dividindo ambos os membros por(z−ζ1)^ν¹^′ resultaria

a0(z−ζ1)^ν¹⁻^ν¹^′(z−ζ2)^ν²...(z−ζr)^ν^r =a0(z−ζ2)^ν²^′...(z−ζr)^ν^r^′ , ∀z∈C , o que ´e absurdo pois o primeiro membro se anula para z = ζ1 mas o segundo membro n˜ao, logoν1 =ν1^′ e, analogamente,ν2 =ν2^′,....,νr=ν_r^′. Resumindo obtemos o resultado abaixo.

2.13 Teorema. A todo p ∈ C[z] com m = ∂p ≥ 1 está associado um único conjunto finito não vazio{ζ1, ..., ζr}⊂C, comr≤m, determinado pelas condi¸cões:

p(ζj)=0,∀j=1,2, ..., r e p(z)≠0,∀z ∉{ζ1, ..., ζr} .

Seνj ∈N∗ é a multiplicidade do zero ζj, 1≤j ≤r,então ∑^r^j=1νj =m e pse escreve como o produto dea0 (primeiro coeficiente de p) por m fatores lineares na forma [2.2] e, a menos da ordem dos fatores, esta decomposi¸cão é única.

Para as aplica¸cões é importante conhecer a estrutura (fatora¸cão) de um po- linômio com os coeficientes em R através dos seus zeros. O muito útil Teorema 2.15, a seguir, nos dará informa¸cões completamente precisas. Antes, provemos um lema que tem interesse próprio.

2.14 Lema. Sep∈C[z]tˆem todos os seus coeficientes reais, valem as asser¸c˜oes:

(a) p(z)=p(z), ∀z∈C.

(b) Se ζ∈C∖Ré um zero dep entãoζ também é um zero depe existe q∈C[z] tal que:

(i) p(z)=(z−ζ)(z−ζ)q(z), ∀z∈C, (ii) q tem todos os seus coeficientes reais.

4No caso νj=1 diz-se queζj ´e um zero (ou uma ra´ız)simplesdep.

(14)

Prova.

(a) O caso em quepé um polinômio constante,p=a∈R, é óbvio. Suponhamos p(z)= ∑^mj=0ajz^m⁻^j, z∈C, comm≥1 ea0≠0. Então, pelas propriedades da conjuga¸cão, e utilizando que aj =aj, poisaj ∈R, obtemos

p(z)=∑^m

j=0

ajz^m⁻^j =∑^m

j=0

ajz^m⁻^j =∑^m

j=0

ajz^m⁻^j =∑^m

j=0

ajz^m⁻^j =p(z),∀z ∈C.

(b) A primeira afirma¸cão é óbvia por (a) pois p(ζ)=0⇒ p(ζ) =p(ζ)=0=0.

Ainda mais, como ζ é zero dep, pela Proposi¸cão 2.10 (c), o polinômioz−ζ divide o polinômio p, isto é, existeq1 ∈C[z] tal que

(2.14.1) p(z)=(z−ζ)q1(z), ∀z∈C.

Como ζ também é ra´ız de p, de(2.14.1)resulta 0=p(ζ)=(ζ−ζ)q1(ζ)e de ζ−ζ ≠0 (pois ζ ∉R), obtemos q1(ζ)=0 e então, pela Proposi¸cão 2.10 (c) conclu´ımos que (z−ζ) ∣q1. Isto é, existe q∈C[z] tal que

(2.14.2) q1(z)=(z−ζ)q(z), ∀z ∈C. De (2.14.1) e(2.14.2) resulta (i).

Verifica¸c˜ao de (ii): Seja ζ =ξ+iη (ξ , η∈R). Ent˜ao,

(2.14.3) ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

(z−ζ)(z−ζ) =(z−ξ−iη)(z−ξ+iη)=(z−ξ)²−(iη)²

=(z−ξ)²+η²

=z²+az+b , com a= −2ξ ∈R e b=ξ²+η²∈R. Assim, escrevemos a rela¸c˜ao (i)como:

p(z)=(z²+az+b)q(z),∀z ∈C.

Logo,qé o quociente (exato) da divisão inteira depporz²+az+b, estes com os coeficientes em R, e portantoq têm os coeficientes em R[segue da prova da Proposi¸cão 2.9 pois, é claro que o quociente e o resto da divisão inteira entre polinômios com os coeficientes em R também têm os coeficientes em R, pois as opera¸cões envolvidas são adi¸cão, subtra¸cão e multiplica¸cão de números reais] ∎

(15)

2.15 Teorema Se p∈C[z], p≠0, tˆem todos os seus coeficientes reais tˆem-se:

(a) ζ é um zero de multiplicidade ν de p se, e somente se, ζ também o é.

(b) A fatora¸c˜ao [2.2] do polinˆomio p pode ser escrita (de forma mais precisa):

p(z)=a0[(z−ξ1)²+η²1]^µ¹...[(z−ξs)²+η_s²]^µ^s.(z−b1)^λ¹...(z−bt)^λ^t,∀z ∈C , com a0 o coeficiente dominante do polinˆomiop, comζj =ξj+iηj eζ_j =ξj−iηj

(ξj, ηj ∈R,1≤j ≤s) os zeros complexos n˜ao reais de p, com bk (1≤k≤t) os zeros reais de p, com µj a multiplicidade do zero ζj e λk a do zero bk. (c) Se ∂p ´e ´ımpar, p tem pelo menos uma ra´ız real.

Prova.

(a) Se ζ∈R, a afirma¸cão é óbvia (e inútil)⁵ poisζ=ζ. Se ζ∈C∖R então ζ≠ζ e, pelo Lema 2.14 (b), ζ é ra´ız de p e ∂p=m≥2. Ainda, pela defini¸cão de multiplicidade (vide [2.2]), temos (z−ζ)^ν ∣p, isto é, existeQ∈C[z]tal que (2.15.1) p(z)=(z−ζ)^νQ(z), ∀z∈C.

Por (2.2.1) temos ∂Q=m−ν e, é claro, Qpode ser escrito na forma Q(z)=a0+a1(z−ζ)+...+am−ν(z−ζ)^m⁻^ν, ∀z ∈C; a0, a1, ..., am−ν ∈C, com a0 ≠0 (a⁰ =0⇒ ζ é ra´ız de multiplicidade ν+1, contra a hipótese).

Ent˜ao, pela equa¸c˜ao (2.15.1) obtemos

p(x)=(x−ζ)^νQ(x),∀x∈R ,

e então, conjugando a equa¸cão acima (os coeficientes de pep(x)são reais), p(x)=p(x)=(x−ζ)^ν[a0 + a1(x−ζ) + ...+ am−ν(x−ζ)^m⁻^ν], ∀x∈R , e pondo G(z)=a0+a1(x−ζ)+...+am−ν(x−ζ)^m⁻^ν, para todoz∈C, temos p(x) = (x−ζ)^νG(x), para todo x ∈ R, e pelo Princ´ıpio de Identidade de Polinômios (Teorema 2.6) ou Corolário 2.7,

p(z)=(z−ζ)^νG(z), ∀z∈C , com G(ζ)=a0 ≠0.

Logo, por [2.2], ζ ´e ra´ız de multiplicidade ν de p. Fim da prova de (a).

5De fato, se ζ ∈ R então p(ζ) =0 ⇒ p(ζ) = 0 é uma tautologia. Já no casoζ ∈ C∖R, a implica¸cão “ζé um zero de multiplicidadeν dep⇒ζ é um zero de multiplicidadeν dep” nos indica um novo zero, de multiplicidadeν.

(16)

(b) Pelo item (a) e pela fatora¸c˜ao em [3.2] de p temos,

p(z) =a0(z−ζ1)^ν¹...(z−ζs)^ν^s.(z−ζ1)^ν¹....(z−ζs)^ν^s.(z−b1)^λ¹...(z−bt)^λ^t

=a0[(z−ζ1)(z−ζ1)]^ν¹...[(z−ζs)(z−ζs)]^ν^s.(z−b1)^λ¹...(z−bt)^λ^t . Aplicando (2.14.3) às expressões entre colchetes segue a fatora¸cão citada.

(c) ´Obvio ∎

2.16 Observa¸cão. Se os coeficientes de p ∈ C[z], p ≠ 0, são reais, então a restri¸cão a R de p é um polinômio p˜= p∣^R ∈ R[x] e as conclusões de Teorema 2.15 valem para p˜e, entre elas,

(2.16.1) p˜(x)=a0[(x−ξ1)²+η1²]^ν¹...[(x−ξs)²+η_s²]^ν^s(x−b1)^λ¹...(x−bt)^λ^t, ∀x∈R. Mais precisamente, podemos dizer que o Teorema 2.15 é essencialmente um resultado de estrutura para elementos deR[x]. Notemos que em (2.16.1) todos os números são reais mas, para obtê-lo ampliamos o “campo de manobra”, de R paraC, onde são poss´ıveis muitas computa¸cões que não em R. Este é um exemplo (entre muitos) de um fato geral: o desenvolvimento da teoria dos números complexos [e suas consequências: cálculo diferencial e integral complexos, etc,], além do seu enorme interesse próprio, permite entender bem mais profundamente fenômenos puramente reais (por exemplo: como provar´ıamos (2.16.1) sem utili- zarmos C ?). Neste ponto é interessante voltar a refletir sobre a atitude de R.

Bombelli mencionada no 0 desta notas.

2.17 Exemplo. Determinemos m e a reais tais que para o polinˆomio p(z)=z⁵−z⁴+2z³−mz²+z+a ,

z=i seja zero de multiplicidade 2 e, para tais m e a, mostremos as ra´ızes de p.

Solu¸cão. Como i é zero duplo⁶ de p, pelo Teorema 2.13 o polinômio p0(z) = (z−i)²=z²−2iz−1 divide (exatamente)p. Efetuando a trivial divisão inteira de ppor p0 obtemos o quocienteq(z)=z³+(2i−1)z²−(1+2i)z+(3−m) e o resto r(z)=2i(2−m)z+a+3−m(z∈C). Impondo r=0 temos 2i(2−m)=a+3−m=0 e assim,m=2 e a= −1.

6A express˜ao “zero duplo” ´e frequentemente empregada para um “zero de multiplicidade 2”.

(17)

Desta forma obtemos,

p(z)=z⁵−z⁴+2z³−2z²+z−1, ∀z∈C.

Por fim, como os coeficientes depsão reais, pelo Teorema 2.15, o númeroi= −ié zero duplo dep=(z−i)²qe portanto−ié ra´ız dupla deq. Desta forma, aplicando aq o algoritmo de Ruffini (Proposi¸cão 2.10 e Exemplo 2.11) obtemos

1−i) 1−i) 1

−1+2i

−i −1−2i 1+i

−11

−1+i 0

−i

−1

−i +i 0

donde segueq(z)=(z+i)²(z−1), ∀z ∈C, e

p(z)=(z−i)²(z+i)²(z−1), ∀z∈C,

e portanto as ra´ızes dep s˜ao i e −i (ambas duplas) e 1 (ra´ız simples) ∎

2.18 Observa¸cão. A partir do Teorema 3.15 e do método dos coeficientes a de- terminar (v. Exemplo 3.8) é poss´ıvel obter (e não é dif´ıcil) a decomposi¸cão de uma fun¸cão racional em fra¸cões simples.

Lembremos que uma fra¸cão racional real é uma fun¸cão do tipo P

p =P/p∶ xz→ P(x)

p(x) =P(x)/p(x) ,

ondeP, p∈R[x]ep≠0, definida sobre o conjuntoC∖F, ondeF é o conjunto finito das ra´ızes dep(vide Teorema 3.13). Notemos primeiro que, se∂P ≥∂p, efetuando a divisão inteira de P por p, se q e r são o quociente e o resto, respectivamente, obtidos temosP =pq+r, ∂r<∂p e então,

(2.18.1) P

p = pq+r

p =q+r q .

(18)

Como objetivamos escrever P/pcomo soma de expressões mais simples que a original eqé um polinômio, de (2.18.1) resulta que será suficiente estudar o termo r/q onde ∂r <∂q. Em consequência, podemos supor no que segue, ∂P <∂p. No Apêndice B provamos (e mostramos algumas aplica¸cões):

Teorema: Seja P/p uma fra¸cão racional real irredut´ıvel ⁷, com ∂P < ∂p. Se a fatora¸cão de p é a que consta no enunciado do Teorema 3.15 (b) então P/p se escreve de modo único na forma:

(2.18.2) P(x) p(x) =∑^t

k=1

{ Ak,1

(x−bk)^λ^k+...+Ak,λk

x−bk}+∑^s

j=1

{ Mj,1x+Nj,1

[(x−ξj)²+η_j²]^µ_j+...+M_j,µ_jx+N_j,µ_j (x−ξj)²+η_j² }, para cadax∈R, x≠bk (1≤k≤t).

O segundo membro de (2.18.2) é chamado decomposi¸cão de P/p em fra¸cões simples. A prova da existência da decomposi¸cão (3.18.2) [“Analisis Matematico”, R. Pastor et all, Cap XII, 46-4, pg 645 ( 4 ed., 1958)] é feita de modo construtivo e pode ser útil para a determina¸cão dos coeficientes Ak,j, Mj,m e Nj,m. Porém, a existência e a unicidade da decomposi¸cão justificam o uso, às vezes mais cômodo, do método dos coeficientes a determinar, como ilustramos a seguir.

2.19 Exemplo. Determinar a decomposi¸cão em fra¸cões simples de ₍_x²₊1^x)(⁵⁺x^x²+2)². Neste caso temosP(x)∶=x⁵+x ep(x)∶=(x²+1)(x²+2)², isto é, ptem os zeros conjugados simples±i e os zeros conjugados duplos ±i√

2. Escrevemos x⁵+x

(x²+1)(x²+2)² = ax+b

x²+1+cx+d

x²+2+ ex+f

(x²+2)² ,∀x∈R, e ent˜ao, multiplicando ambos os membros por p(x) resulta

(x⁵+x)=(ax+b)(x²+2)²+(cx+d)(x²+1)(x²+2)+(ex+f)(x²+1),∀x∈R . Efetuando as opera¸cões indicadas no 2 membro, a igualdade acima se escreve x⁵+x=(a+c)x⁵+(b+d)x⁴+(4a+3c+e)x³+(4b+3d+f)x²+(4a+2c+e)x+4b+2d+f ,∀x∈R, e (v. Corolário 2.7) obtemos o sistema linear de 6 equa¸cões com 6 incógnitas:

(1) a+c=1, (2) b+d=0, (3)4a+3c+e=0, (4) 4b+3d+f =0, (5) 4a+2c+e=1, (6) 4b+2d+f =1.

7Isto é, P e p não têm zeros comuns ou equivalentemente fatores lineares ou de 2 grau comuns nas fatora¸cões de ambos (Teor. 3.15 (b)).

(19)

De(2)segued= −be portanto(4)e(6)se escrevem, respectivamente,b+f =0 e 2b+f=0 que é visivelmente um sistema determinado; donde,b=f =0 e, então, d = 0. De (1) segue c = 1−a e então (3) e (5) se escrevem, respectivamente, a+e= −3 e 2a+e= −1; cuja solu¸cão éa=2 ee= −5 e portanto,c=1−a=1−2= −1 dondec= −1. Consequentemente,

x⁵+x

(x²+1)(x²+2)² = 2x

x²+1− x

x²+2− 5x

(x²+2)²,∀x∈R ∎ A decomposi¸cão (2.18.2) é especialmente útil no cálculo das primitivas

∫ P(x) p(x)dx de uma fra¸c˜ao racional real P/p.

Dadop∈C[z], com ∂p≥1, suponhamos p(z)=∑ⁿ

j=0

ajz^m⁻^j,∀z∈C .

Se F ∶= {α1, ... , αr} ´e o conjunto dos zeros de p (r ≤ m) e νj ∈ N∗ denota a multiplicidade deαj (1≤j ≤r, ∑^r

j=1=m), examinemos a sequˆencia dos zeros dep: (ζj)¹≤j≤m=(ζ1, ... , ζm)∶=(α1... α1, α2, ... α2, ... αr, ... αr),

com αj ocorrendo νj-vezes na sequência, para cada j = 1, , .. , r. É claro que para cada permuta¸cão σ ∈ Sm, a sequência (ζσ(1), ζσ(2), ...ζσ(m)) é também uma sequência dos zeros depe é irrelevante distingui-las, pois que todas dão a mesma informa¸cão. Assim, abusivamente, chamamos qualquer uma delas dea sequência dos zeros dep. Logo, se como no Exemplo 2.17 temos

p(z)=z⁵−z⁴+2z³−2z²+z−1,

qualquer das sequências (i, i,−i,−i,1), (i,−i,−i, i,1), (1, i,−i, i,−i), etc., dão a mesma informa¸cão a respeito dos zeros de p, a saber, que p admite i e −i como ra´ızes duplas e 1 como ra´ız simples. Posto isto, vamos ao próximo resultado que fornece as rela¸cões existentes entre coeficientes e ra´ızes de um polinômio.

(20)

2.20 Teorema. Seja p∈C[z] dado por p(z)=∑^m

j=0

ajz^m⁻^j,∀z∈C, m=∂p≥1 (i.e., a0≠0), e seja (ζj)¹≤j≤m a sequência dos zeros de p. São válidas as rela¸cões:

−a1

a0 =∑^m

j=1

ζj; a2

a0 = ∑

1≤i<j≤m

ζiζj; −a3

a0 = ∑

1≤i<j<k≤m

ζiζjζk, ... ,(−1)^mam

a0 =∏^m

i=1

ζj . Prova.

As hip´oteses sobre p implicam que vale [2.1] (v. prova do Teor. 2.13). Isto ´e, p(z)=a0(z−ζ1)(z−ζ2)...(z−ζm),∀z∈C .

Efetuando os produtos indicados no 2 membro da rela¸c˜ao acima obtemos a0z^m+z^m⁻¹(−a0ζ1−a0ζ2−...−a0ζm)+z^m⁻²(a0ζ1ζ2+a0ζ1ζ3+...+a0ζm−1ζm)+...+ +z^m⁻^j[a0(−1)^j ∑

1≤s1<s2<...<sj≤m

ζs1ζs2...ζsj]+...+a0(−1)^mζ1ζ2...ζm,

e como este polinômio é igual a p(z)=a0z^m+a1z^m⁻¹+...+am, pelo Princ´ıpio de Identidade dos Polinômios resulta:

a1 = −a0ζ1−a0ζ2− ...−a0ζm, isto ´e, −a1

a0 =∑^m

i=1

ζi

a2=a0ζ1ζ2+a0ζ1ζ3+ ... +a0ζm−1ζm, isto ´e, a2

a0 = ∑

1≤i<j≤m

ζiζj

...

aj =a0(−1)^j ∑

1≤s1<s2<...<sj≤m

ζs1ζs2...ζsj, isto ´e, (−1)^jaj

a0 = ∑

1≤s1<...<sj≤m

ζs1ζs2...ζsj

am =a0(−1)^m∏^m

i=1

ζi, isto ´e, (−1)^ma_m a0 =∏^m

i=1

ζi ∎

(21)

2.2 - Resolu¸cão Elementar de Equa¸cões por Radicais A equa¸cão de 2 grau: é a equa¸cão da forma

[2.3] az²+bz+c=0 (a, b, c∈C, a≠0).

Multiplicando [2.3] por 4a obtemos a equa¸c˜ao equivalente [2.3^′] 4a²z²+4abz+4ac=0 (a, b, c∈C, a≠0).

e observando que (2az+b)² =4a²z²+4abz+b², se somamos e subtra´ımos b² em [2.3’] e pomos ∆∶=b²−4ac, podemos escrever [2.3’] da maneira equivalente:

[2.4] (2az+b)²=∆, ou seja,

[2.4^′] (2az+b−√

∆)(2az+b+√

∆)=0,

e então, os zeros de [2.3] são os valores que anulam a um qualquer dos fatores em [2.4’], isto é,

z1= −b−√

∆

2a e z2= −b+√

∆

2a .

O que usualmente se expressa pela f´ormula

[2.5] z = −b±√

∆

2a = −b±√

b²−4ac

2a .

A diferen¸ca entre as duas ra´ızes ´e z2−z1 =

√∆ a =⎧⎪⎪

⎨⎪⎪⎩

≠0, se ∆≠0

=0, se ∆=0 . Se em [2.5] supomos ∆=0, obtemos a ra´ız dupla

z1=z2= − b 2a . Em resumo temos o resultado abaixo.

(22)

2.21 Proposi¸cão. A equa¸cão [2.8] tem duas ra´ızes, reais ou complexas, que são diferentes se ∆≠0 e coincidentes se ∆=0.

Quando os coeficientesa, b, cem [2.3] são reais (o que é frequente), as duas ra´ızes são reais e diferentes se ∆>0, são reais e coincidentes se ∆=0 e são complexas conjugadas se ∆<0 pois, se ∆^′= −∆ então de [2.5] resulta,

z = −b±i√

∆

2a .

Voltando ao caso geral (a, b, c∈C), somando as ra´ızes [2.5] obtemos [2.6] z1+z2 = −b+√

∆

2a +−b−√

∆ 2a = −b

a. Multiplicando as ra´ızes [2.5] resulta:

z1z2 =(−b+√

∆)(−b−√

∆))

4a² =b²−∆ 4a² = 4ac

4a² = c a,

e, convenientemente, re-encontramos neste caso particular as rela¸c˜oes dadas pelo Teor. 2.19.

O assunto que seria natural desenvolver a seguir é o estudo da varia¸cão do sinal de um trinômio REAL de 2 grau e sua aplica¸cão a inequa¸cões de 2 grau.

Mas n˜ao nos deteremos neste conhecido t´opico, solicitando ao leitor desenvolve-lo nos exerc´ıcios (v. Exerc´ıcios - Cap´ıtulo 2).

2.3 - Equa¸cões Redut´ıveis a Quadráticas (A) Equa¸cões biquadradas: são as do tipo

[2.7] ax⁴+bx³+c=0 (a, b, c∈C, a≠0),

que se resolvem pela substitui¸c˜aoy=x², que transforma [2.7] em [2.7^′] ay²+by+c=0,

cujas ra´ızes sabemos calcular. Sey1 e y2 são as ra´ızes de [2.7’] então as ra´ızes de [2.7] são x1 = √y1, x2 = −√y1, x3 =√y2 e x−4= −√y2, as quais são dadas pela fórmula

x= ±

√−b±√

b²−4ac

2a .

(23)

(B)Equa¸cões rec´ıprocas: São as equa¸cões que têm os coeficientes equidistantes dos extremos iguais. Assim, uma equa¸cão rec´ıpoca de 4 grau tem o aspecto:

[2.8] ax⁴+bx³+cx²+bx+a=0. Dividindo [2.8] porx², a transformamos em [2.8^′] a(x²+ 1

x²)+b(x+1

x)+c=0.

A substitui¸c˜aoz =x+¹x, que implica x²+x¹² =z²−2, transforma [2.8’] em [2.9] az²+bz+c−2a=0 .

Resolvendo [2.9] obtemos dua ra´ızesz1, z2 cada uma das quais dá um par de ra´ızes de [2.8] que se obtém resolvendo as equa¸cões

x²−z_jx+1=0 (j=1,2) . A Equa¸cão Cúbica: A equa¸cão geral de grau 3 é,

a0z³+a1z²+a2z+a3=0, a0 ≠0,

e portanto, dividindo pora0 podemos supor sem perda de generalidade quea0=1 e escreve-la

[2.10] z³+a1z²+a2z+a3=0 (a1, a2, a3 ∈C).

Faremos uma transla¸cãoz=x−k, onde a constante complexak será determinada pela condi¸cão de eliminar o monômio de 2 grau em [2.10]. Assim, substituindo z por x−k em [2.10], após efetuar as opera¸cões requeridas e agrupar termos semelhantes e ordenar em potências decrescentes dex, obtemos uma equa¸cão do tipo:

x³+(a1−3k)x²+(...)x+ termo indep. =0, o que mostra que parak= ^a3¹, a equa¸c˜ao [2.10] toma a forma:

[2.11] x³+px+q=0.

As considera¸cões acima mostram que equa¸cões da forma [2.10] podem ser trans- formadas em equa¸cões do tipo [2.11] por meio da mudan¸ca de variávelz=x−â3¹.

(24)

Assim, é claro que para resolver [2.10] basta saber resolver [2.11] (pois, sexj,1≤ j≤3, são as três ra´ızes de [2.11] entãozj =xj−â3¹,1≤j≤3, são as três ra´ızes de [2.10]). Para resolver [2.11] introduzimos duas novas variáveis u, v com a substitui¸cãox=u+v. Agrupando convenientemente, [2.11] toma a forma

u³+v³+(3uv+p)(u+v)+q=0,

que tem por solu¸c˜oes valores deu e v verificando as condi¸c˜oes seguintes:

[2.12] ⎧⎪⎪

⎨⎪⎪⎩

u³+v³ = −q

3uv = −p ⇒ [2.13] ⎧⎪⎪

⎨⎪⎪⎩

u³+v³= −q u³v³= −^p27³ . De [2.13] resulta que u³ ev³ s˜ao as ra´ızes da equa¸c˜ao de 2 grau

[2.14] y²+qy−p³

27=0,

chamadaresolvente de [2.11]. Resultam ent˜ao os valores u³=y1= −q

2+

√q² 4 + p³

27, v³=y²= −q 2−

√q² 4 + p³

27,

e então extraindo as ra´ızes cúbicas obtemos três valores paraue três valores para v, o que dá nove pares de valores para u e v. Embora estes nove pares (u, v) satisfazem [2.13], nem todos verificam [2.12] pois a eleva¸cão ao cubo introduziu solu¸cões estranhas; devemos então escolher apenas aqueles pares(u, v)de solu¸cões que satisfazem a 2 equa¸cão de [2.12], isto é,

[2.15] uv= −p

3.

Com esta restri¸cão, as três ra´ızes de [2.11] são dadas pela Fórmula de Tartaglia (às vezes erroneamente atribuida a Scipion del Ferro ou mesmo a Cardano, que foi o primeiro a publicá-la):

[2.16] x= ³

¿Á ÁÀ−q

2+

√q² 4 + p³

27 + ³

¿Á ÁÀ−q

2−

√q² 4 +p³

27 .

Aqui é importante frisar que com o avan¸co das calculadoras que resolvem em ins- tantes uma equa¸cão do tipo [2.11], a fórmula [2.16] tem interesse apenas histórico e não apresentaremos nenhum exemplo de sua aplica¸cão, relegando isto a um

(25)

exerc´ıcio (vide Exerc´ıcios - Cap´ıtulo 2). Nos livros mais antigos era feita a dis- cuss˜ao do tipo de ra´ızes da equa¸c˜ao [2.11] quando p, q∈R, segundo

q² 4 +p³

27 fosse maior, igual ou menor que zero.

A equa¸cão do 4 grau: Se a fórmula [2.16] dando as ra´ızes da equa¸cão cúbica [2.11] é complicada demais para ter, na atualidade, algum valor prático, o que dizer da fórmula para as ra´ızes da equa¸cão geral de 4 grau, que é bem mais dif´ıcil ? A seguir mostraremos brevemente os passos principais que levam a esta fórmula apenas por razões culturais e históricas.

Se na equa¸cão geral de 4 grau (após prévia divisão pelo 1 coeficiente):

[2.17] z⁴+a1z³+a2z²+a3z+a4 =0, (aj ∈C,1≤j≤4),

efetuamos a substitui¸cão z = x−â4¹, obtemos outra equa¸cão sem segundo ermo, do tipo:

[2.18] x⁴+px²+qx+r=0.

Procedendo como na equa¸cão cúbica, fazemos a substitui¸cãox=u+v+w, igualdade que elevada ao quadrado pode ser escrita assim:

x²−(u²+v²+w²)=2(uv+uw+vw). Elevando de novo ao quadrado obtemos:

x⁴−2(u²+v²+w²)x²+(u²+v²+w²)²=4(u²v²+u²w²+v²w²)+8uvw(u+v+w) ou seja,

x⁴−2(u²+v²+w²)x²−8uvw(u+v+w)+(u²+v²+w²)²−4(u²v²+u²w²+v²w²)=0 e então, para obter as ra´ızes de [2.18] bastará obter valores u, v, w verificando as condi¸cões

[2.19] ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

u²+v²+w² = −^p2

uvw= −^q8

(u²+v²+w²)²−4(u²v²+u²w²+v²w²)=r .