2a¯ PROVA DE CALCULO III - MAT211 - IMEUSP´ 25 de maio de 2018
Nome : No¯USP :
Professor :Oswaldo Rio Branco de Oliveira
Q N
1 2 3 4 Extra 1 Extra 2 Total Justifique todas as passagens. Enuncie resultados utilizados.
BOA SORTE!
1. (a) Enuncie o teorema de Fubini no plano. Defina a terminologia empregada.
(b) Inverta a ordem de integra¸c˜ao na integral abaixo. Fa¸ca um esbo¸co.
2
Z
−1
y+7 3
Z
q7+5y2 3
f(x, y)dx
dy.
Solu¸c˜ao.
Temos
2
Z
−1
y+7 3
Z
q
7+5y2 3
f(x, y)dx
dy =
2
Z
√7 3
q
3x2
−7 5
Z
− q
3x2
−7 5
f(x, y)dy
dx
+ Z3
2
q3x2
−7 5
Z
3x−7
f(x, y)dy
dx♣
2. (a) Enuncie o teorema de mudan¸ca de vari´avel para integral dupla. Defina a terminologia empregada.
(b) Calcule a integral abaixo (com ou sem o teorema acima). Fa¸ca um esbo¸co.
Z Z
B
x dx dy, com B o c´ırculo x2+y2−x≤0.
Solu¸c˜ao.
⋄ Notemos que o c´ırculo dado ´e
x− 1 2
2
+y2 ≤ 1 4.
Com as coordenadas polares
x− 12 =ρcosθ y=ρsenθ encontramos
Z Z
B
x dx dy = Z Z
[0,12]×[0,2π]
1
2+ρcosθ
ρ dρ dθ
=
1 2
Z
0
Z2π
0
ρ
2 +ρ2cosθ dθ
dρ
=
1 2
Z
0
ρπ dρ
= πρ2 2
1 2
0
= π
8 ♣
3. (a) Enuncie o teorema de mudan¸ca de vari´avel para integral tripla. Defina a terminologia empregada.
(b) Calcule o volume do conjunto K (com ou sem o teorema acima). Fa¸ca um esbo¸co.
K =n
(x, y, z)∈R3 :x2+y2 ≤z ≤4x+ 2yo .
Solu¸c˜ao.
⋄ Por defini¸c˜ao, o volume V ´e V =
Z Z Z
K
1dx dy dz.
⋄ A proje¸c˜ao de K sobre o planoOxy ´e dada por x2+y2 ≤4x+ 2y.
Obtemos ent˜ao , no plano Oxy, (cheque) o c´ırculo C dado por C : (x−2)2 + (y−1)2 ≤5.
⋄ Segue ent˜ao
V =
Z Z
C
4x+2y
Z
x2+y2
dzdx dy
= Z Z
C
(4x+ 2y−x2−y2)dxdy
= Z Z
[5−(x−2)2 −(y−1)2]dx dy.
⋄ Utilizando coordenadas polares escrevamos x−2 =ρcosθ
y−1 =ρsenθ.
Encontramos ent˜ao a integral dupla V =
Z Z
[0,√
5]×[0,2π]
(5−ρ2cos2θ−ρ2sen2θ)ρ dρ dθ.
Assim,
V =
√5
Z
0 2π
Z
0
(5ρ−ρ3)dθ dρ
= 2π
√5
Z
0
(5ρ−ρ3)dρ
= 2π 5ρ2
2 −ρ4 4
√5
0
= 2π 25
2 − 25 4
= π
25− 25 2
= 25π 2 ♣
4. Calcule Z
γ
2ydx+zdy+xdz ,
onde γ ´e a intersec¸c˜ao das superf´ıcies [em R3]
x2+ 4y2 = 1 e x2+z2 = 1, com y≥0 e z ≥0,
sendo o sentido de percurso do ponto (1,0,0) para o ponto (−1,0,0). Fa¸ca um esbo¸co das superf´ıcies e da intersec¸c˜ao.
Solu¸c˜ao.
Figura 1: `A esquerda, uma intersec¸c˜ao de dois cilindros. `A direita, a curvaγ.
⋄ Parametrizando a curva γ no par˜ametro x=t encontramos (cheque)
γ(t) =
−t,
√1−t2 2 ,√
1−t2
, onde t∈[−1,1].
⋄ Temos ent˜ao Z
γ
2ydx + zdy+xdz
= Z1
−1
√
1−t2(−1) +√ 1−t2
−t 2√
1−t2
+ (−t) −t
√1−t2
dt
=
1
Z
−1
−√
1−t2 − t
2 + t2
√1−t2
dt
= − Z1
−1
√1−t2dt− 1 2
Z1
−1
tdt+ Z1
−1
t2
√1−t2dt
= −π 2 −0 +
1
Z
−1
t2−1 + 1
√1−t2 dt
= −π 2 +
1
Z
−1
(−√
1−t2)dt+
1
Z
−1
√ 1
1−t2dt
= −π 2 −π
2 + arcsint
t=1
t=−1
= −π+hπ 2 −
−π 2
i
= −π+π
= 0♣
Extra 1. Seja F :R2 →R2 uma fun¸c˜ao diferenci´avel arbitr´aria. Escrevamos F(x, y) =
f(x, y) g(x, y)
.
Decida se ´e verdadeira ou falsa a afirma¸c˜ao
“Existe um ponto (a, b)∈R2 satisfazendo
F 1
1
−F 0
0
=J F(a, b)F 1
1
,
onde J F(a, b) =
∂f
∂x(a, b) ∂f∂y(a, b)
∂g
∂x(a, b) ∂g∂y(a, b)
.”
Isto ´e, prove-a ou dˆe um contra-exemplo.
Extra 2. Sejam B(0; 1) ={(x, y)∈R2 :x2+y2 <1}e uma fun¸c˜ao diferenci´avel F :B(0; 1)→R2, com F(x, y) = (f(x, y), g(x, y)).
Suponha que para quaisquer pontos
(x1, y1)∈B(0; 1), (x2, y2)∈B(0; 1), (x3, y3)∈B(0; 1) e (x4, y4)∈B(0; 1), temos
det
∂f
∂x(x1, y1) ∂f∂y(x2, y2)
∂g
∂x(x3, y3) ∂y∂g(x4, y4)
6= 0.
Mostre queF ´e uma fun¸c˜ao injetora.
