MAT 225 - FUNC¸ ˜OES ANAL´ITICAS Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica da USP Semestre 1 de 2015 Professor Oswaldo R. B. de Oliveira

MAT 225 - FUNC¸ ˜OES ANAL´ITICAS Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica da USP

Semestre 1 de 2015

Professor Oswaldo R. B. de Oliveira

http://www.ime.usp.br/~oliveira oliveira@ime.usp.br

Cap´ıtulo 7 - A Exponencial Complexa e Trigonometria, o ´Indice, Princ´ıpio do Argumento e Teorema de Rouch´e

7.1 - A Exponencial Complexa e Trigonometria.

7.2 - O ´Indice para Curvas Cont´ınuas.

7.3 - Homotopia e Simplesmente Conexos.

Cap´ıtulo 1

N ´ UMEROS COMPLEXOS

Cap´ıtulo 2

TOPOLOGIA DO PLANO C

Cap´ıtulo 3

POLIN ˆ OMIOS

Cap´ıtulo 4

S´ ERIES E SOMABILIDADE

Cap´ıtulo 5

S´ ERIES DE POTˆ ENCIAS

Cap´ıtulo 6

FUNC ¸ ˜ OES ANAL´ITICAS

Cap´ıtulo 7

A EXPONENCIAL E

TRIGONOMETRIA, O ´INDICE, PRINC´IPIO DO ARGUMENTO E TEOREMA DE ROUCH´ E

7.1 - A Exponencial Complexa e Trigonometria

7.1 Teorema. A fun¸c˜ao exponencial complexa exp(z) =^+∞∑

n=0

zⁿ

n!, onde z ∈C,

´e bem definida, cont´ınua e satisfaz as propriedades abaixo.

(a) exp(z+w) =exp(z)exp(w) para quaisquer z e w, ambos em C. (b) exp(0) =1 e para todo z∈C temos exp(z) ≠0 e exp(z)⁻¹ =exp(−z). (c) exp(1) =^+∞∑

n=0 1

n! =e, ondee= lim

n→+∞(1+¹_n)ⁿ ´e o n´umero de Euler.

(d) exp(x) =e^x para todo racional x.

(e) Com a nota¸c˜ao e^z=exp(z) temos e^z=e^z e ∣e^z∣ =e^Re(z), para todo z em C. (f ) exp^′(z) =exp(z), para todo z em C

Prova.

(a) Pelo Crit´erio da Raz˜ao, a s´erie dada converge absolutamente em C. Ent˜ao, com a linguagem de somas n˜ao ordenadas obtemos

exp(z)exp(w) = (∑zⁿ

n!)(∑w^m m!)

= ∑

p≥0 ∑

n+m=p

1

n!m!zⁿw^m

= ∑ (z+w)^p

p! =exp(z+w).

(b) ´E ´obvio que exp(0) =1. Dado z ∈C, por (a) segue

1=exp(0) =exp(z−z) =exp(z)exp(−z). (c) Em Exemplos 2.23(e) vimos que

(1+ 1

n)ⁿ≤1+1+ 1 2!+ 1

3!+ ⋯ + 1

n!, para todon∈N. Por outro lado, temos

(1+ 1

n)ⁿ=^p=n∑

p=0

(n p) 1

n^p

=1+1+n(n−1) 2!

1

n²+n(n−1)(n−2) 3!

1

n³+⋯+n(n−1)⋯[n−(n−1)]

n!

1 nⁿ

=1+1+ 1

2!(1− 1 n)+ 1

3!(1− 1

n)(1−2

n)+ ⋯ + 1

n!(1− 1

n)⋯(1−n−1 n ). Fixemos m tal que m≤n. Ent˜ao segue

(1+ 1 n)ⁿ≥

≥1+1+1

2!(1−1 n)+1

3!(1− 1

n)(1− 2

n)+⋯+ 1

m!(1−1

n)⋯(1−m−1 n ). A seguir, impondo n→+∞ conclu´ımos que

e=lim(1+ 1

n)ⁿ≥1+1+ 1

2!+ ⋯ + 1

m!, para todo m∈N. Por favor, conclua.

10

(d) Sejam n∈N e m∈N∗. Pelos itens (a), (b) e (c), temos exp(n) =exp(∑ⁿ

j=1

1)=∏ⁿ

j=1

exp(1)=eⁿ, exp(−n) =e⁻ⁿ,

[exp(1

m)]^m=exp(m

m)=exp(1)=e, exp(1

m) =e^m1 e exp(n

m) =[exp( 1

m)]ⁿ=e^mn. Por favor, complete.

(e) A fun¸c˜ao z↦z ´e cont´ınua em C. Donde segue e^z= lim

n→+∞

∑n j=0

z^j

j! = lim

n→+∞

∑n j=0

z^j j! =e^z . Ainda,

∣e^z∣² =e^ze^z =e^ze^z=e^z+z =e^2Re(z)=[e^Re(z)]².

Para x≥0 temos e^x>0 e e^−x=(e^x)⁻¹ >0. Done segue e^Re(z)=∣e^z∣. (f) Pelo teorema de deriva¸c˜ao para s´eries de potˆencias segue

exp^′(z)=(1+z+z² 2! +z³

3! + ⋯)^′

=1+2z 2!+3z²

3! + ⋯

=exp(z)♣

Devido `a lei associativa para somas n˜ao ordenadas temos [cheque], (7.1.1) e^iz =[1−z²

2! +z⁴ 4! −z⁶

6! + ⋯] + i[z−z³ 3! +z⁵

5! −z⁷

7! + ⋯], para todoz∈C.

7.2 Defini¸c˜ao. Dado z∈C, indicamos cosz=1−z²

2!+⋯+(−1)ⁿ z²ⁿ

(2n)!+⋯ , sinz =z−z³

3!+⋯+(−1)ⁿ z²ⁿ⁺¹ (2n+1)!+⋯. Ent˜ao, devido a tais defini¸c˜oes temos

e^iz=cosz+isinz, para todoz∈C.

Claramente, a fun¸c˜ao cosz ´e par, a fun¸c˜ao sinz ´e ´ımpar e e^−iz = cosz −isinz.

Seguem ent˜ao

(F´ormulas de Euler) cosz= e^iz+e^−iz

2 e sinz= e^iz−e^−iz

2i , onde z∈C. O corol´ario abaixo ´e imediato e omitimos sua prova.

7.3 Corol´ario [F´ormula (real) de Euler]. Dado θ∈R, temos e^iθ =cosθ+isinθ.

Vejamos que cosx e sin x, com x∈R, satisfazem as propriedades esperadas.

7.4 Teorema. As fun¸c˜oes cosx e sinx, definidas na vari´avel real x, s˜ao ambas deriv´aveis e satisfazem

cos^′x= −sinx e sin^′x=cosx.

Prova.

Do teorema 7.1(f) segue, supondo a vari´avel h∈R no cˆomputo abaixo, e^ix =lim

h→0

e^ix+ih−e^ix

ih = −ilim

h→0

e^i(x+h)−e^ix

h .

Identificando as partes reais e imagin´arias na identidade acima segue cosx=lim

h→0

sin(x+h)−sinx

h =sin^′x, sinx= −lim

h→0

cos(x+h)−cosx

h = −cos^′x ♣

12

7.5 Teorema. Existe o menor n´umero estritamente positivo l tal que cosl=0.

Prova.

Claramente, cos 0=1. Mostremos cos 2<0. Escrevendo cos 2=(1−2²

2! +2⁴

4!)+[(−2⁶ 6! +2⁸

8!)+(− 2¹⁰

(10)!+ 2¹²

(12)!)+ ⋯], temos

1−2² 2! +2⁴

4! = −1+2 3= −1

3 e cada uma das parcelas entre colchetes satisfaz

− 2²ⁿ

(2n)!+ 2²ⁿ⁺²

(2n+2)! = − 2²ⁿ

(2n)!(1− 4

(2n+2)(2n+1))<0, comn´ımpar en≥3.

Donde segue cos 2<0.

A fun¸c˜ao cosx=Re(e^ix)´e cont´ınua na reta e pelo Teorema do Valor Inter- medi´ario se anula entre 0 e 2. Cheque que existe o menor l>0 tal cosl=0♣ 7.6 Defini¸c˜ao (O n´umeroπ). Indicamosπ=2l, onde l´e o n´umero de Landau¹. 7.7 Proposi¸c˜ao. Valem as propriedades abaixo.

(a) ∣e^iθ∣=1=cos²θ+sin² θ, para todo θ∈R. (b) e^iπ/2=i e e^iπ+1=0.

(c) A fun¸c˜ao exp(z) ´e peri´odica com per´ıodo 2πi. Isto ´e, e^z+2πi=e^z,∀z∈C . (d) Se θ∈(0,2π) ent˜ao e^iθ ≠1.

(e) e^z=1 se e somente se z∈2πiZ.

(f ) Se ω∈C ´e tal que ∣ω∣=1, ent˜ao existe um ´unico θ∈[0,2π) tal que e^iθ =ω.

(g) A fun¸c˜ao exponencial real exp∶RÐ→(0,+∞) ´e um difeomorfismo.

1Landau foi perseguido durante o nazismo por ser judeu, perdendo o posto de professor em Berlim. Bierberbach, um dos seus detratores, alegara que sua matem´atica n˜ao era germˆanica.

Talvez se referindo, entre outras “raz˜oes”, `a defini¸c˜ao deπsugerida por Landau.

(h) A imagem da fun¸c˜ao exponencial complexa ´e C∗=C∖{0}. Prova.

(a) Segue de 1=e⁰=e^iθe^−iθ =e^iθe^iθ =(cosθ+isinθ)(cosθ−isinθ)=∣e^iθ∣². (b) Pela F´ormula de Euler e pela defini¸c˜ao de π segue

e^iπ2 =cosπ

2 +isinπ

2 =isinπ 2. Por (a) temos

1=∣e^iπ2∣=∣sin(π 2)∣.

Logo, sin(π/2)= ±1. ´E f´acil ver que cosθ´e estritamente positiva no intervalo aberto (0, π/2). Assim, sinθ ´e estritamente crescente em (0, π/2), com

∣sinθ∣≤∣e^iθ∣=1, para todo θ∈R. Logo, sinπ

2 = +1 e e^iπ2 =i.

(c) Temos

e^z+2πi=e^ze^2πi=e^z(e^iπ2)⁴=e^zi⁴ =e^z.

(d) Dado θ∈(0,2π), consideremos α= θ

4 no intervalo (0,π 2). Como

cos 0=1 e cos(π 2)=0

e a fun¸c˜ao cosx (com cosx = sin^′ x) ´e estritamente positiva em (0, π/2) temos que sin x´e estritamente crescente em (0, π/2). ´E trivial ver que

sin 0=0 e [vide (b)] sin(π 2)=1.

Logo, conclu´ımos que sin x ∈ (0,1) se x ∈ (0, π/2). Portanto, supondo 1=e^iθ=(e^iα)⁴ obtemos

e^iα∈{+1,−1,+i,−i}. Logo, sinα∈{0,+1,−1}, comα∈(0, π/2)☇

14

(e) Dado n∈Z, pelo item (c) temos

e^2πni=(e^2πi)ⁿ=(e⁰)ⁿ=1.

Inversamente, se e^z = 1 ent˜ao 1 = ∣e^z∣ = e^Rez e e^−Rez = (e^Rez)⁻¹ = 1. Se Re(z) ≥ 0 e e^Rez = 1, temos Rez = 0. Se −Re(z) ≥ 0 e e^−Rez = 1, temos

−Rez = 0. Assim, podemos escrever z = iy, com y ∈ R. ´E f´acil ver que existe um ´unico n´umero inteiro n ∈ Z tal que y ∈ [2nπ,2(n+1)π). Logo, y−2nπ ∈[0,2π). Desta forma, utilizando o item (c) seguem as identidades

1=e^z =e^iy=e^iy−2nπi=e^(y−2nπ)i, com y−2nπ∈[0,2π). Ent˜ao, pelo item (d) obtemos y−2nπ =0, Portanto,z =iy∈2πiZ. (f) Seja ω=a+ib, com 1=∣ω∣=√

a²+b².

Suponhamos a>0 e b>0 [logo, a, b∈(0,1)]. Como a fun¸c˜ao cosx restrita ao intervalo

[0,π 2]

´e cont´ınua, estritamente decrescente e satisfaz cos 0=1 e cos(π

2)=0,

pelo Teorema do Valor Intermendi´ario existe um s´o θ ∈ (0, π/2) tal que cosθ=a. Ent˜ao, sin² θ=1−cos²θ=1−a² =b². Assim, como a fun¸c˜ao sinx

´e positiva em [0, π/2] [vide a prova do item (b)], segue que sinθ=b. Logo, e^iθ =cosθ+isinθ=a+ib=ω.

Suponhamos a < 0 e b > 0. Ent˜ao, existe θ ∈ (0, π/2) tal que e^iθ = b−ai.

Assim,

α=θ+π 2 ∈(π

2, π) e e^iα=e^i(θ+π2)=e^iθe^iπ2 =(b−ai)i=a+bi=ω.

Suponhamos b < 0 e a ≠ 0. Pelos casos acima existe θ ∈ (0, π) tal que e^iθ= −a−bi. Assim,α=θ+π∈(0,2π)ee^iα=e^iθe^iπ=(−a−bi)(−1)=a+bi=ω.

Os casos a=0 ou b=0 s˜ao triviais.

A unicidade segue do item (d). De fato, dados θ1 e θ2 em [0,2π) tais que e^iθ1 =e^iθ2, ´e claro que podemos supor θ2 ≥θ1. Logo, temos θ2−θ1 ∈[0,2π) e ainda, e^i(θ2−θ1)=e^iθ2e^−iθ1 =e^iθ1e^−iθ1 =e⁰=1. Portanto, θ2−θ1 =0 eθ2=θ1.

(g) Claramente a exponencial real exp(x)´e estritamente crescente em [0,+∞) e tende a +∞ se x→+∞. Se x∈(−∞,0], temos

e^x= 1 e^−x

e portanto e^x ´e estritamente crescente em (−∞,0] e e^x→0⁺ se x→−∞.

Pelo Teorema 7.1(f), a fun¸c˜ao exp(x) ´e deriv´avel [cheque] e cont´ınua. Pelo teorema do valor intermedi´ario, a fun¸c˜ao e^x ´e bijetora de (−∞,+∞) em (0,+∞). ´E claro que exp^′(x)=exp(x)>0 para todo xna reta.

Portanto, a inversa de exp(x) tem derivada e a inversa ´e cont´ınua.

(h) Dado w∈C^∗, temos ∣w∣≠0 e, por (g), existex∈R tal que e^x =∣w∣. Como w

∣w∣

tem m´odulo 1, pelo item (f) existe um real y tal que e^iy= w

∣w∣. Logo, e^x+iy=w♣

Coment´ario. Pela Proposi¸c˜ao 7.7, itens (e) e (f), segue que a curva cont´ınua γ(t)=e^it, onde t∈[0,2π],

´e fechada [γ(0)=γ(2π)], injetora em [0,2π) e que sua imagem ´e a circunferˆencia unit´aria centrada na origem [oS¹]. A velocidade escalar de um ponto que descreve a trajet´oria γ(t)=e^it ´e

∣γ^′(t)∣=1.

Logo, o comprimento da trajet´oria descrita por tal ponto ´e igual ao tempo de percurso 2π−0=2π. Isto mostra que o n´umero π, da forma como o definimos, tem o significado geom´etrico usual.

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7.8 Proposi¸c˜ao. Consideremos a identifica¸c˜ao C≡R², como espa¸cos vetoriais.

Fixemos um inteiro k∈Z. Ent˜ao, a restri¸c˜ao

⎧⎪⎪⎪⎪

⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

exp∶R×[kπ, kπ+2π)Ð→R², exp(x, y)=(e^xcosy, e^xsiny),

´e uma bije¸c˜ao.

0000000000000000 0000000000000000 1111111111111111 1111111111111111

. . .

R R

iR iR

0 4πi 2πi

− 2πi

− 4πi

R²∖ {(^0,0)}

exp

Figura 7.1: A aplica¸c˜ao exp∶R² →R²∖{(0,0)}

Prova. Deixamos a verifica¸c˜ao ao leitor♣

Sejab∈R. Pela proposi¸c˜ao acima e o teorema da fun¸c˜ao inversa segue que exp(z) restrita `a faixa horizontal{z∈C∶b<Im(z)<b+2π}

´e um isomorfismo anal´ıtico e que a fun¸c˜ao

exp(x, y)=(e^xcosy, e^xsiny)restrita `a faixa {(x, y)∈R²∶b<y<b+2π}

´e um difeomorfismo C^∞.

A inversa da fun¸c˜ao exponencial real exp∶R→(0,+∞)´e a fun¸c˜ao denominada logaritmo naturalque ´e indicada por

ln∶(0,+∞)→R.

Sejaz em C∗ =C∖{0}. Um n´umero real φ=arg(z) tal que z=∣z∣e^iφ,

´e chamado um argumento de z. Pela Proposi¸c˜ao 7.7(e), o argumento arg(z) ´e definido m´odulo 2πZ.

Dado z ∈S¹∖{−1}, existe um ´unico θ ∈(−π, π) tal que z =e^iθ. Chamamos θ=Arg(z)deargumento principal de z. O argumento principal dez coincide com

Arg( z

∣z∣), para z∈C∖(−∞,0],

e ´e cont´ınuo. De fato, denotando porE(z)a restri¸c˜ao de exp(z)`a faixa horizontal Ω={z=x+iθ ∶x∈R e −π <θ<π}, a f´ormula E(z)=e^z=e^xe^iθ estabelece uma bije¸c˜ao entre Ω eC∖(−∞,0]. Pelo teorema da fun¸c˜ao inversa,E∶Ω→C∖(−∞,0]

´e isomorfismo anal´ıtico. Logo [cheque], Arg( z

∣z∣)=1

iE⁻¹( z

∣z∣) ´e cont´ınua.

C∖(−∞,0]

x y

Figura 7.2: O dom´ınio da fun¸c˜ao argumento principal 7.9 Teorema. N˜ao existe uma fun¸c˜ao argumento cont´ınua arg∶S¹→R.

Prova.

Caso contr´ario, arg e Arg s˜ao cont´ınuas no conexo S¹∖{−1}. Por conti- nuidade, conexidade, e pelo teorema 7.7(e) conclu´ımos que existe k∈Z tal que temos arg(ω)=Arg(ω)+2kπ para todo ω∈S¹∖{−1}. Para ω em S¹ e tendendo a−1 pelo semi-plano superior obtemos arg(−1)=π+2kπ e paraω emS¹ e tendendo a−1 pelo semi-plano inferior obtemos arg(−1)= −π+2kπ☇

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7.2 - O ´Indice para Curvas Cont´ınuas.

Sejaϕ∶R→S¹ dada porϕ(θ)=e^iθ. Pela proposi¸c˜ao 7(e), talϕ´e sobrejetora.

Obviamente,ϕ ´e cont´ınua.

7.10 Lema. A fun¸c˜aoϕacima definida ´e um homeomorfismo local (logo, aberta).

Prova. Fixemosθ∈R.

A 2π-periodicidade deϕ implica na bijetividade de ϕ∣J ∶J =(θ−π, θ+π)Ð→S¹∖{−e^iθ}.

1

x y

θ0

e^iθ0

− e

Figura 7.3: Ilustra¸c˜ao ao Lema 7.10

Claramente, S¹∖{−e^iθ}´e aberto emS¹. Resta ver que (ϕ∣^J)⁻¹ ´e cont´ınua.

Seja (θn) uma sequˆencia em J [logo, limitada] tal que ϕ(θn)→ϕ(α), com α∈J.

Seja (θnk) uma subsequˆencia de (θn) tal que θnk →β∈R. Ent˜ao segue que β ∈[θ−π, θ+π]eϕ(θnk)→ϕ(β). Assim,ϕ(β)=ϕ(α)∈S¹∖{−e^iθ}. Donde, β ∈J eβ =α. Isto vale para toda subsequˆencia convergente de (θn). Logo, θn→α♣

7.11 Teorema. Seja γ ∶J →S¹ uma curva cont´ınua, onde J =[a, b]. Fixemos um arbitr´arioθ0 ∈Rtal que γ(a)=e^iθ0. Ent˜ao, existe uma ´unica fun¸c˜ao cont´ınua

θ∶J →R satisfazendo θ(a)=θ0 e γ(t)=e^iθ(t), para todo t∈J.

Prova.

◇ Existˆencia.

Como a curva γ ´e uniformemente cont´ınua, segue que existe uma parti¸c˜ao {a0 =a<a1 < ⋯ <a_n=b}satisfazendo

∣γ(t)−γ(s)∣≤1 para quaisquer t es em Jk=[ak−1, ak], para k=1, . . . , n.

Temos γ(J1) ⊂S¹∖{p}, para algum p =e^iα ∈S¹ [pois γ(J1) est´a contido em um disco de raio 1]. Pelo Lema 7.10, a curva ϕ ∶ (α, α+2π) → S¹ ∖ {p}, onde ϕ(θ)=e^iθ ´e um homeomorfismo. Dado t∈J1, definimos

θ1(t)=ϕ⁻¹(γ(t))+θ0−ϕ⁻¹(γ(a)). Notemos que θ0−ϕ⁻¹(γ(a))∈2πZ. Portanto,

θ1 ∶J1→R´e cont´ınua, θ1(a)=θ0 e e^iθ1(t)=γ(t), para todot∈J1. De forma an´aloga definimos uma fun¸c˜ao cont´ınua θ2∶J2 →R satisfazendo

θ2(a1)=θ1(a1)e e^iθ2(t)=γ(t), para todot∈J2.

θ1(^a1)=^θ2(^a1)

a

= ^{a a}

^a

⋯ ^a

^a

⋯ ^a

= ^b

Figura 7.4: Um argumento paraγ

Iterando tal procedimento encontramos n fun¸c˜oes cont´ınuas θk ∶ Jk → R, para k=1, . . . , n, satisfazendo

θk(ak−1)=θk−1(ak−1)ee^iθk(t)=γ(t), para todot∈Jk, para todok=1, . . . , n.

20

E claro que a´ justaposi¸c˜ao [vide Figura 7.4]

θ=(θ1∨ ⋯ ∨θn)∶ [a, b]→R

atende as exigˆencias (quanto `a existˆencia) no enunciado. Isto ´e,

θ ´e cont´ınua e satisfaz θ(a)=θ0 e γ(t)=e^iθ(t), para todo t∈[a, b]. Esquematicamente, temos o diagrama abaixo

θ

a t b

γ

θ0=^θ(^a) θ₍t₎

θ(^b)

x y

γ(b)

e^iθ(t)

γ(^a)=^eiθ0 γ(t)= e^iθ(t)

Figura 7.5: Um argumento cont´ınuo para γ

◇ Unicidade.

Seφ∶[a, b]→Rsatisfaz as mesmas condi¸c˜oes queθ∶[a, b]→Rent˜ao temos φ(t)−θ(t)∈2πZ para todot∈[a, b].

Ent˜ao, por continuidade e conexidade obtemos que φ−θ ´e constante. Por fim, como φ(a)=θ0=θ(a), conclu´ımos que

φ≡θ

Isto estabelece a unicidade anunciada para θ♣

A seguir apresentamos algumas consequˆencias deste importante teorema.

7.12 Corol´ario. Consideremos uma curva γ ∶[a, b] →C∗ deriv´avel. Ent˜ao, as fun¸c˜oes ∣γ(t)∣ e θ(t) [como no enunciado do teorema] tamb´em s˜ao deriv´aveis.

Prova.

Seja t0 um ponto arbitr´ario em [a, b]. Consideremos a faixa horizontal infinita Ω={z=x+iy∶x∈R e θ(t0)−π<y<θ(t0)+π}. A fun¸c˜ao

exp∣_Ω∶Ω→exp(Ω)

´e um difeomorfismo e em uma vizinhan¸ca de t0 temos iθ(t)=(exp∣_Ω)⁻¹( γ(t)

∣γ(t)∣)♣

Dada uma curva γ∶[a, b]→C∗ cont´ınua e fixado um θ0 em R, existem

⎧⎪⎪⎨⎪⎪

⎩

uma ´unica fun¸c˜ao r∶[a, b]→(0,+∞) e uma ´unica fun¸c˜ao θ∶[a, b]→R cont´ınua satisfazendo

θ(a)=θ0 e γ(t)=r(t)e^iθ(t) para todot em [a, b]. Obviamente, temosr(t)=∣γ(t)∣ para todot em [a, b].

Se tal γ ´e deriv´avel ent˜ao r∶[a, b]→(0,+∞) e θ∶[a, b]→R tamb´em o s˜ao.

Sejaγ∶[a, b]→C^∗cont´ınua. Seφ∶[a, b]→Reθ(t)s˜ao cont´ınuas e satisfazem γ(t)=r(t)e^iφ(t)=r(t)e^iθ(t) para todo t em [a, b],

ent˜ao a fun¸c˜ao cont´ınua

θ(t)−φ(t) 2π

assume valores em Ze ´e constante. Donde segue θ(b)−φ(b)=θ(a)−φ(a)e θ(b)−θ(a)=φ(b)−φ(a).

A fun¸c˜ao θ [e tamb´em a fun¸c˜ao φ] ´e dita um ramo de arg(γ) no intervalo [a, b]. Assim, a diferen¸ca θ(b)−θ(a) depende apenas da curva γ e n˜ao da particular escolha do ramoθ.

Definimos o´ındice fracion´ario deγ (assim chamado em alguns textos) por θ(b)−θ(a)

2π .

22

Suponhamos que γ ´efechada [isto ´e,γ(a)=γ(b)]. Neste caso, θ(b)−θ(a)∈2πZ.

7.13 Defini¸c˜ao. Seja γ ∶ [a, b] → C cont´ınua e fechada e α ∉ Imagem(γ). O

´ındice de γ em rela¸c˜ao ao ponto α ´e o n´umero inteiro definido por, e denotado, Indγ(α)=Ind(γ;α)= θ(b)−θ(a)

2π ,

onde θ∶[a, b]→R ´e cont´ınua e satisfaz

γ(t)−α=r(t)e^iθ(t), com r(t)=∣γ(t)−α∣ para todo t∈[a, b].

α

y

x γ(t) γ(t) −α=r(t)e^iθ(t)

θ(t)

Figura 7.6: Ilustra¸c˜ao `a Defini¸c˜ao 7.13

Claramente, 0∉Imagem(γ−α), a fun¸c˜ao θ(t)´e um ramo para arg(γ−α) e Ind(γ;α)=Ind(γ−α; 0).

Seguem algumas propriedades do ´ındice, com as nota¸c˜oes na Defini¸c˜ao 7.13.

(I1) Invariˆancia do ´ındice, ou a alternˆancia de seu sinal, sob uma reparametriza¸c˜ao.

Seja ξ∶[c, d]→[a, b] cont´ınua e tal que {ξ(c), ξ(d)}={a, b}. Logo,

⎧⎪⎪⎪⎪

⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

seξ(c)=a, ent˜ao Ind(γ○ξ;α)=Indγ(α), seξ(c)=b, ent˜ao Ind(γ○ξ;α) = −Indγ(α).

Vejamos. Seja θ =θ(t)∶[a, b] →R cont´ınua e tal que γ(t)−α =r(t)e^iθ(t). Ent˜ao, θ○ξ ´e cont´ınua e γ(ξ(s))−α =r(ξ(s))e^iθ(ξ(s)) para todo s ∈[c, d]. Para completar, vale a identidade (θ○ξ)(d)−(θ○ξ)(c)= ±[θ(b)−θ(a)]. Portanto, podemos supor, sem perda de generalidade, γ definida em[0,1].

Mantenhamos as nota¸c˜oes da Defini¸c˜ao 7.13. A chamada curva reversa

γ

γ γ⁻

γ⁻

a b

γ(^a)=^γ−(^b)

γ(^b)=^γ−(^a)

Figura 7.7: Curva reversa

definida por γ⁻(t)=γ(a+b−t), ondet∈[a, b], satisfaz Ind(γ⁻;α)= −Ind(γ;α).

(I2) Invariˆancia do ´ındice sob transla¸c˜oes, homotetias (dilata¸c˜oes e contra¸c˜oes) e rota¸c˜oes. Se f(z)=az+b, coma∈C^∗=C∖{0}e b∈C, ent˜ao

Ind(f○γ;f(α))=Ind(γ;α).

Isto ´e, o ´ındice ´e invariante por transla¸c˜oes [a=0], homotetias [a>0 eb=0]

e rota¸c˜oes [∣a∣=1 e b=0] sobre a curvaγ.

f α

f(^α) f○^γ γ

Figura 7.8: Arrastar, girar e expandir.

Efetuemos a verifica¸c˜ao. Pela propriedade I2 podemos considerar γ para- metrizada no intervalo[0,1]. Seja θ∶[0,1]→Rtal queγ(t)−α=r(t)e^iθ(t). Ent˜ao, f(γ(t))−f(α)=∣a∣r(t)e^i(θ(t)+φ), com a=∣a∣e^iφ. Por fim, temos

θ(1)+φ−θ(0)−φ=θ(1)−θ(0). 24

(I3) O ´ındice para uma curva constante (curva-ponto). Se γ ´e um ponto p, ent˜ao Indγ(α)=0.

Isto ´e ´obvio, pois se p−α=∣p−α∣e^iθ0, pomos θ(t)=θ0 para todo t∈[a, b]. (I4) O ´ındice para um produto de curvas. Sejaγ(t)=α+γ1(t)⋯γn(t), com cada

curva γj ∶[a, b]→C∗ cont´ınua e j=1, . . . , n. Ent˜ao, Ind(γ;α)= Ind(γ1; 0)+ ⋯+ Ind(γn; 0).

Provemos. Como α∉ Imagem(γ), ent˜ao 0∉ Imagem(γj) para j =1, . . . , n.

Sejaθj ∶[a, b]→Rtal queγj(t)=rj(t)e^iθj(t), paraj =1, . . . , n. Ent˜ao temos γ(t)−α=r1(t)⋯rn(t)e^{i[θ1(t)+⋯+θn(t)]} e

Ind(γ;α)=[θ1(b)+ ⋯ +θn(b)]−[θ1(a)+ ⋯ +θn(a)]=∑ⁿ

j=1

Ind(γj; 0). 7.14 Lema. Suponha que γ ∶[a, b]→C e σ∶[a, b]→C s˜ao fechadas e

∣γ(t)−σ(t)∣<∣γ(t)−α∣, para todo t∈[a, b].

Ent˜ao, α n˜ao pertence `a imagem de γ nem `a imagem de σ e Ind(γ;α)= Ind(σ;α).

[Interpreta¸c˜ao: σ(t) est´a mais pr´oximo de γ(t) que α e o segmento [σ(t), γ(t)]

n˜ao cont´em α e podemos “deformar” σ a γ sem alterar o ´ındice].

γ σ γ(t)

σ(t)

α

Figura 7.9: Ilustra¸c˜ao para ∣γ(t)−σ(t)∣<∣γ(t)−α∣

Prova. Notemos que α∉ Imagem(γ)∪Imagem(σ). A curva fechada

Γ(t)=σ(t)−γ(t) γ(t)−α satisfaz ∣Γ(t)∣<1 para todo t.

Logo, Γ(t)+1 est´a contida no semi-plano “`a direita” e aberto Ω={z∶Re(z)>0}.

Em Ω, ´e cont´ınua a fun¸c˜ao argumento θ(z)=arg(z)=arcsin[Im( z

∣z∣)] ∈ (−π 2,π

2).

∣z^z∣

+ i

− i

Ω_={z _∶Re₍z_)>0_}

Figura 7.10: Um argumento no semi-plano `a direita Escrevendo Γ(t)+1=r(t)e^{iarg[Γ(t)+1]} temos

2πInd(Γ+1; 0)=arg[Γ(b)+1]−arg[Γ(a)+1]=0.

Donde, Ind(Γ+1; 0)=0. Por outro lado, temos σ(t)−α=[Γ(t)+1][γ(t)−α]. Ent˜ao, pela Propriedade (I4) segue

Ind(σ;α)=Ind(Γ+1; 0)+Ind(γ;α)=Ind(γ;α)♣

26

7.15 Teorema. Consideremos γ uma curva cont´ınua e fechada no plano com- plexo e o aberto Ω=C∖Imagem(γ). Ent˜ao, a fun¸c˜ao ´ındice Indγ∶Ω→Z´e

(a) cont´ınua e, ainda, constante sobre cada componente (conexa) de Ω e (b) nula sobre a ´unica componente (conexa) ilimitada de Ω.

Prova. Podemos supor (j´a vimos) γ∶[0,1]→C.

(a) Fixemos α em Ω. Seja β ∈Ω tal que ∣β−α∣<d=d(α; Imagem(γ)). Temos,

∣γ(t)−[γ(t)−β+α]∣=∣β−α∣<d≤∣γ(t)−α∣, para todo t∈[0,1]. Ent˜ao, pelo lema imediatamente acima,

Ind(γ−β+α;α)=Ind(γ;α).

Mas, Ind(γ −β +α;α) = Ind(γ −β+α−α; 0) = Ind(γ−β; 0) = Ind(γ;β). Logo, o ´ındice ´e cont´ınuo e constante na componente de Ω que cont´em α.

(b) Seja r>0 tal que D(0;r) cont´em Imagem(γ). A curva fechada γ+2r est´a em D(2r;r)contido em Ω={z ∶Re(z)>0}. Seja θ(z) o argumento em Ω.

α=−^2r

r r

2r

Ω={^z∶^Re(^z)>⁰}

Figura 7.11: Prova do Teorema 7.15(b)

Desta forma, o ponto α= −2r est´a no complementar deD(0;r)e satisfaz Ind(γ;−2r)=Ind(γ+2r; 0)=0.

Logo, o ´ındice ´e nulo na ´unica componente (aberta) deC∖Imagem(γ)que cont´em o aberto conexo C∖D(0;r). Assim, as demais componentes de C∖Imagem(γ)est˜ao contidas em D(0;r) e s˜ao limitadas♣

7.16 Defini¸c˜ao. Seja γ ∶[a, b]→C uma curva cont´ınua e fechada e α em C.

● α ´e interior a γ se α∉ Imagem(γ) e Ind(γ;α)≠0.

● α est´a em γ se α∈ Imagem(γ).

● α ´e exterior a γ se α∉Imagem(γ) e Ind(γ;α)=0.

Tal defini¸c˜ao algebriza os conceitos de interior e exterior aγ. Por exemplo, o pontoα na Figura 7.12 pertence ao exterior deγ.

Os n´umeros atribu´ıdos `as componentes de C∖Imagem(γ) s˜ao os valores de Ind(γ;w)para w nesta componente.

0

0 1

1 2 1

α

γ

Figura 7.12: Ilustra¸c˜ao `a Defini¸c˜ao 7.16

Definamos o interior deγ e o exterior de γ e introduzamos algumas nota¸c˜oes.

● E(γ), o exterior deγ, ´e o conjunto dos pontos exteriores a γ.

Pelo Teorema 7.15 (a), o exterior de γ ´e o conjunto aberto dado pela uni˜ao das componentes conexas (abertas) deC∖ Imagem(γ)nas quais o ´ındice ´e zero.

Pelo Teorema 7.15(b), o exterior de γ cont´em o complementar de um disco.

● I(γ), o interior de γ, ´e o conjunto dos pontos interiores aγ.

28

Assim, o interior de γ est´a contido no disco (fechado) citado acima.

Temos

C=I(γ)⊍Imagem(γ)⊍E(γ) [“⊍” indica uni˜ao disjunta] e portanto

K(γ)=I(γ)∪Imagem(γ)

´e fechado e limitado e ent˜aocompacto.

Algumas outras observa¸c˜oes.

● A maioria dos textos somente define interior e exterior para uma curva γ de Jordan. Isto ´e,

γ ∶[a, b]→C

´e cont´ınua, fechada e simples, sendo quesimples significa que a restri¸c˜ao de γ ao intervalo (a, b)´e injetora.

Pode ser provado (trata-se de um teorema sofisticado), que seγ´e uma curva de Jordan, ent˜ao

C∖Imagem(γ)

tem exatamente duas componentes conexas: uma limitada (e classicamente dita interior de γ) e outra ilimitada (e classicamente dita exterior de γ).

Ainda comentando sobre uma curva γ de Jordan , pelo Teorema 7.15(b) segue que Indγ ´e nulo na componente ilimitada de C∖Imagem(γ). Na componente limitada, pode se provar que o ´ındice ´e

constante e igual a +1 ou constante e igual a −1.

O sinal depende da orienta¸c˜ao de γ.

● A defini¸c˜ao de interior e exterior de uma curva neste texto coincide com a defini¸c˜ao cl´assica (ao tratarmos de curvas de Jordan) e permite trabalhar de modo eficiente com uma classe bem mais ampla de curvas.

Para mais coment´arios, videComplex Analysis, S. Lang, pp. 146–147 e p.181.

7.3 - Homotopia e Simplesmente Conexos.

A palavra homotopia vem do grego homo (mesmo, similar) + t´opos (lugar).

A teoria da homotopia ´e ´util para, via ´algebra, classificar espa¸cos topol´ogicos segundo seus “espa¸cos vazios” ou “buracos”.

Dizemos que duas curvas cont´ınuas e fechadas no aberto Ω, digamos que γ0 ∶[a, b]→Ω e γ1 ∶[a, b]→Ω,

s˜ao Ω-homot´opicas se existe uma fun¸c˜ao (uma Ω-homotopia entre curvas fechadas) H∶[0,1]×[a, b]→Ω

tal que H ´e cont´ınua e

H(0, t)=γ0(t), H(1, t)=γ1(t) e H(s, a)=H(s, b).

Fixado s ∈ [0,1], indicamos a curva fechada H(s, t), onde t ∈ [a, b], por Hs. Interpretamos a homotopiaH como uma fam´ılia de curvas fechadas (cont´ınuas)

{Hs}⁰≤s≤1

que se “deforma continuamente” desde H0 =γ0 at´e a curva H1 =γ1.

p

γ₀

γ₁ γ₁

γ_s

γ₀

Figura 7.13: Homotopia entre curvas fechadas

Uma Ω-homotopia entre curvas fechadas ´e dita, brevemente, uma homotopia.

30

7.17 Lema. Com as nota¸c˜oes acima e α no complementar de Imagem(H), a fun¸c˜ao Ind(Hs;α), onde s∈[0,1], ´e constante.

Prova.

Sejam s0 em [0,1] ed=d(α; Imagem(Hs0))>0.

Como H ´e uniformemente cont´ınua, existe δ>0 tal que

∣Hs(t)−Hs0(t)∣<d≤∣Hs0(t)−α∣, para quaisquer∣(s, t)−(s0, t)∣=∣s−s0∣<δ.

Pelo Lema 7.14 segue

Ind(Hs;α)=Ind(Hs0;α), se ∣s−s0∣<δ.

Logo, s ↦Ind(Hs;α) ´e localmente constante no conexo [0,1], e constante [cheque]♣

Um conjunto aberto e conexoΩ ´e dito simplesmente conexose toda curva fechada e cont´ınua γ ∶ [a, b]→ Ω ´e Ω-homot´opica a algum ponto em Ω. Isto ´e, existepem Ω tal queγ´e Ω-homot´opica `a curva constanteγp(t)=p, comt∈[a, b]. Se Ω e O s˜ao abertos homeomorfos e Ω ´e simplesmente conexo, ent˜ao O ´e simplesmente conexo [por favor, cheque].

Veremos [Proposi¸c˜ao 9.11 e Teorema 12.4] que um aberto conexo Ω ⊂ C ´e simplesmente conexo se e s´o se seu complementar C∖Ω n˜ao tem componente limitada. Intuitivamente, interpretamos um conjunto simplesmente conexo como um conjunto que n˜ao tem “buracos”.

7.18 Proposi¸c˜ao. Seja Ω simplesmente conexo e γ ∶ [a, b] → R cont´ınua e fechada. Ent˜ao, a fun¸c˜ao Indγ ∶C∖Imagem(γ)→Z, ´e nula no complementar de Ω. Equivalentemente, o interior de γ est´a contido em Ω.

Prova.

Sejaα no complementar de Ω.

Seja{Hs} uma Ω-homotopia de γ a um pontop∈Ω. Pelo Lema 7.17 temos Ind(γ;α)=Ind(H0;α)=Ind(H1;α)=Ind(p;α)=0♣

Exerc´ıcio. A imagem de um simplesmente conexo por uma fun¸c˜ao cont´ınua pode n˜ao ser simplesmente conexa. [Dica: exp(C)=C∖{0} e Proposi¸c˜ao 7.18.]

7.4 - Princ´ıpio do Argumento e Teorema de Rouch´e.

Dadaf ∈A(Ω)e um pontoaemZ^f, aordem deacomo um zero def ´eν(f;a). 7.19 Proposi¸c˜ao. Sejamf anal´ıtica e n˜ao constante no aberto conexoΩe aum

zero de f. Consideremos a circunferˆencia (orientada no sentido anti-hor´ario) γr(θ)=a+re^iθ, com θ∈[0,2π] e r>0.

Se r>0 ´e suficientemente pequeno, temos

Ind(f○γr; 0)=ν(f;a).

a r γ

Ω

Figura 7.14: Ilustra¸c˜ao `a Proposi¸c˜ao 7.19 Prova.

Pelo PZI, temos f(z)=(z−a)^mg(z), com m =ν(f;a), g ∈ A(Ω) e g sem zeros numa vizinhan¸ca de a. Fixador pequeno o suficiente temos

(f○γr)(θ)=r^me^imθg(a+re^iθ).

Sejam σ1(θ)=r^me^imθ eσ2(θ)=g(a+re^iθ)[fechadas]. Pela propriedade (I4), Ind(f○γr; 0)=Ind(σ1; 0)+Ind(σ2; 0).

E imediato que Ind´ (σ1; 0) = m. Ainda, como g(a) ≠ 0, se r ´e pequeno o suficiente a curva fechada σ2 est´a contida em um dos quatro semi-planos:

{z ∶ Im(z) < 0}, {z ∶ Im(z) > 0}, {z ∶ Re(z) < 0},{z ∶ Re(z) > 0}. Em cada um dos quatro podemos definir continuamente uma fun¸c˜ao argumento [cheque]. Logo, Ind(σ2; 0)=0 e

Ind(f○γr; 0)=mν(f;a)♣

32

Coment´arios (importantes). Sejaγ ∶[a, b]→Ω cont´ınua e fechada.

● N˜ao ´e necess´ario que I(γ), o interior aγ, esteja contido em Ω. Vide figura:

Ω=R²∖{(^0,0)}

x y

Figura 7.15: O interior de γ n˜ao est´a dentro de Ω

Pe¸co ao leitor que encontre exemplos “n˜ao ´obvios” de uma tal geometria.

● Se γ ´e Ω-homot´opica a um ponto p ent˜ao p∈Ω.

● Se C∖Ω est´a contido em E(γ), o exterior de γ, ent˜ao

K(γ)=I(γ)∪Imagem(γ) ´e um compacto contido em Ω.

● A condi¸c˜ao

Indγ≡0 no complementar de Ω [i.e., C∖Ω⊂E(γ)]indica que γ n˜ao d´a “voltas” (num sentido alg´ebrico) em torno de pontos que est˜ao fora do aberto Ω.

● Se γ ´e Ω-homot´opica a um ponto, temos Indγ ≡0 no complementar de Ω.

Tal fato segue da prova da Proposi¸c˜ao 7.18 [cheque].

Exerc´ıcio. Parametrize a curvaγ(cont´ınua) emS¹que inicia emz=1 e no sentido anti-hor´ario retorna ao ponto z=1 e ent˜ao no sentido hor´ario continua do ponto z = 1 at´e o ponto z = 1. Determine Ind(γ; 0), o interior de γ e o exterior de γ. Seja Ω =C∖{0}. Mostre que γ ´e ent˜ao Ω-homot´opica a um ponto. Mostre diretamente que temos Indγ≡0 para todo ponto no complementar de Ω.

7.20 Defini¸c˜ao. Uma curva cont´ınua γ ∶[a, b]→Ω satisfazendo Indγ≡0 no complementar de Ω,

´e denominada Ω-hom´ologa a 0.

Nota¸c˜ao. Se γ ´e Ω-hom´ologa a 0, escrevemos γ∼0 [em Ω].

Assim como a teoria da homotopia, tamb´em a teoria da homologia (estudo das semelhan¸cas) serve para, via ´algebra, classificar espa¸cos topol´ogicos segundo seus

“buracos”. Somente a partir da Se¸c˜ao 10.5 (Teorema de Cauchy Homol´ogico) ´e que usamos a terminologia “homologia” com frequˆencia.

Defini¸c˜ao. Sejamf ∈A(Ω)e uma curvaγcont´ınua e fechada emΩe satisfazendo Indγ ≡0no complementar de Ωe Indγ≡1 em I(γ), o interior de γ.

O n´umero de zeros def no interior deγ e contados com suas multiplicidades ´e Z(f;γ) = ∑

a∈ Zf⋂I(γ)

ν(f;a).

7.21 Teorema. Seja Ω um aberto conexo e γ uma curva fechada, cont´ınua e Ω-homot´opica a um ponto [logo, Indγ≡0 no complementar de Ω].

● Princ´ıpio do Argumento, para fun¸c˜oes anal´ıticas. Seja f anal´ıtica em Ω e n˜ao se anulando em Imagem(γ). Ent˜ao,

Ind(f○γ; 0)= ∑

a∈Zf

ν(f;a)Ind(γ;a).

● Teorema de Rouch´e. Suponhamos que γ satisfaz Indγ ≡ 1 em I(γ). Sejam f e g anal´ıticas em Ω e tais que ∣g∣<∣f∣ em Imagem(γ). Ent˜ao,

Z(f+g;γ)=Z(f;γ).

34

Prova.

◇ Princ´ıpio do Argumento. Seja H∶[0,1]×[a, b]→Ω a homotopia de γ a um pontopem Ω. Pelos coment´arios pr´evios, e a continuidade de H, segue que

K =I(γ)∪Imagem(γ)∪Imagem(H)

´e compacto em Ω. Pelo princ´ıpio dos zeros isolados, a fun¸c˜ao f tem uma quantidade finita z1, . . . , zn de zeros distintosem K. Vale a fatora¸c˜ao

f(z)=(z−z1)^ν1⋯(z−zn)^νng(z), com g n˜ao se anulando em K, onde νj =ν(f;zj) para j =1, . . . , n. Pela Propriedade (I4) segue

Ind(f○γ; 0)=ν1Ind(γ;z1)+ ⋯ +νnInd(γ;zn)+Ind(g○γ; 0).

Claramente g○H ∶[0,1]×[a, b]→C´e uma C-homotopia da curva g○γ ao ponto g(p)≠0. Ainda mais, 0∉Imagem(g○H). Pelo Lema 7.17 segue

Ind(g○γ; 0)=Ind(g○H0; 0)=Ind(g○H1; 0)=Ind(g(p); 0)=0.

Para completar a prova deste princ´ıpio, notemos que

a∈Z∑f

ν(f;a)Ind(γ;a)= ∑

a ´e interior a γ

ν(f;a)Ind(γ;a)=∑ⁿ

j=1

ν(f;zj)Ind(γ;zj).

◇ Teorema de Rouch´e. Devido `a hip´otese temos

∣(f+g)○γ−f○γ∣<∣f○γ∣.

Pelo Lema 7.14 segue

Ind[(f+g)○γ; 0]=Ind(f○γ; 0). Ent˜ao, pelo Princ´ıpio do Argumento (para anal´ıticas) segue

∑

a∈Zf+g

ν(f+g;a)Ind(γ;a)= ∑

a∈Zf

ν(f;a)Ind(γ;a).

Pela hip´otese Indγ ≡1 no interior deγ, segue imediatamente a tese ♣