MAT 1351 : C´alculo para Fun¸c˜oes de Uma Vari´avel Real I

MAT 1351 : C´ alculo para Fun¸c˜ oes de Uma Vari´ avel Real I

Sylvain Bonnot (IME-USP)

2016

Aplica¸c˜ oes do TVM: limites do tipo e

/x, log x/x e fun¸c˜ ao exp.

Exerc´ıcio

Mostre quetgx>x em(0,π/2) Exerc´ıcio

1. Seja x>0, mostre que^logx_x⁻₋^logx_x1/2^1/2 ≤ ^√1

x →0quando x→+_∞.

2. Mostre quelimx→+_∞ ^log_x^x =0.

3. Mostre quelimx→+_∞ ^log_xr^x =0 4. Mostre quelimx→0x^r. logx=0 5. Mostre quelim_x→+_∞ ^e

x

x^r = +_∞

Exerc´ıcio

Mostre por indu¸c˜ao que e^x ≥1+x+. . .+ ^x_n!ⁿ para x ≥0.

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Teste da primeira derivada

Teorema

Suponha que c seja um n ´umero cr´ıtico de uma fun¸c˜ao cont´ınua f.

1. Se o sinal de f⁰ mudar de positivo para negativo em c, ent˜ao f tem um m´aximo local em c.

2. Se o sinal de f⁰ mudar de negativo para positivo em c, ent˜ao f tem um m´ınimo local em c.

3. Se f⁰n˜ao mudar de sinal em c (isto ´e, se em ambos os lados de c f⁰ for positivo ou negativo), ent˜ao f n˜ao tem m´aximo ou m´ınimo locais em c.

Exemplos: teste da primeira derivada

Exerc´ıcio

Encontre os m´ax. e min. locais.

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Familias de fun¸c˜ oes

Exerc´ıcio

Para quais valores de a,b a fun¸c˜ao axe^bx2 tem o valor m´aximo de f(2) =1?

Exerc´ıcio

Se x³+ax²+bx tem o valor m´ınimo local de(−2/9)√ 3em x=1/√

3ache os valores de a e b.

Estudo geral

Exerc´ıcio

Encontre as ass´ıntotas verticais e horizontais. Encontre os intervalos nos quais a fun¸c˜ao ´e crescente ou decrescente. Encontre os valores m´aximos e m´ınimos locais. Use essas informa¸c˜oes para esbo¸car o gr´afico de f.

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Metodo do intervalo fechado

Teorema

Para encontrar os valores m´aximo e m´ınimo absolutos de uma fun¸c˜ao cont´ınua f em um intervalo fechado[a,b]:

1. Encontre os valores de f nos n ´umeros cr´ıticos de f em (a, b).

2. Encontre os valores de f nas extremidades do intervalo.

3. O maior valor entre as etapas 1 e 2 ´e o valor m´aximo absoluto, e o menor desses valores ´e o valor m´ınimo absoluto.

Exerc´ıcio

Se a,b>0ache o valor m´aximo e minimo de f(x) =x^a.(1−x)^bem [_{0, 1}].

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Segunda derivada e concavidade

Defini¸c˜ao

Se o gr´afico de f estiver acima de todas as suas tangentes no intervalo I, en- t˜ao f ´e chamada cˆoncava para cima em I. Se o gr´afico de f estiver abaixo de todas as suas tangentes em I, ent˜ao f ´e chamada cˆoncava para baixo em I.

Teorema

Teste da Concavidade:

1. Se f⁰⁰(x)>₀para todo x em I, ent˜ao o gr´afico de f ´e cˆoncavo para cima em I.

2. Se f⁰⁰(x)<0para todo x em I, ent˜ao o gr´afico de f ´e cˆoncavo para baixo em I.

Defini¸c˜ao

Teste da segunda derivada

Teorema

Teste da Segunda Derivada Suponha que f⁰⁰seja cont´ınua na proximidade de c.

(a) Se f⁰(c) =0e f⁰⁰(c)>0, ent˜ao f tem um m´ınimo local em c.

b) Se f⁰(c) =0e f⁰⁰(c)<0, ent˜ao f tem um m´aximo local em c.

Demonstra¸c˜ao:

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Utiliza¸c˜ ao da segunda derivada

Teste da segunda derivada Exerc´ıcio

Encontre os valores m´aximo e m´ınimo locais, utilizando o teste da segunda derivada.

Exerc´ıcio

Esboce o gr´afico de uma fun¸c˜ao que satisfa¸ca a todas as con- di¸c˜oes dadas. f⁰ >0se|x|<2, f⁰ <0se|x|>2, f⁰(−2) =0,

lim_x→2|f⁰(x)|= +_∞, f⁰⁰ >0se x diferente de2.

Segunda derivada e pontos de inflex˜ ao

Exerc´ıcio

Demonstre que se(c,f(c))for um ponto de inflex˜ao do gr´afico de f e f⁰⁰ existir em um intervalo aberto contendo c, ent˜ao f⁰⁰(c) =0.

Exerc´ıcio

Para quais valores de c f(x) =cx+ ¹

x²=3 ´e crescente emR?

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