Cálculo I
Porque cursar esta disciplina?
É fácil a aprendizagem?
Problema 1 (O problema da
caixa):
Deseja-se construir uma
caixa sem tampa a partir de uma
folha retangular com 5 dm de
comprimento e 4 dm de largura,
retirando-se os quatro cantos e
dobrando as abas restantes,
• canto retirado=quadrado
de lado h
• (a) Qual o intervalo de
variação de h?
• (b) Que valores pode ter o
volume de uma caixa assim
construída?
• (a) Qual o intervalo de
variação de h?
• (b) Que valores pode ter o
volume de uma caixa assim
construída?
(a) h ∈ (0,2)
(b) V(1/2)=6 , V(1)= 6,
V(3/2)=3, V(3/5)=6,384
V= (5-2h)(4-2h)h
(c) O gráfico da figura 1 pode
ser o da função V? Porque?
• Não, porque h ∉ (0,2)
(a) h ∈ (0,2)
(b) V(1/2)=6 , V(1)= 6,
V(3/2)=3, V(3/5)=6,384
V= (5-2h)(4-2h)h
(d) O gráfico da figura 2 pode
ser o da função V? Porque?
• Sim, poderia porque satisfaz
(a) e os valores obtidos para
V.
(a) h ∈ (0,2)
(b) V(1/2)=6 , V(1)= 6,
V(3/2)=3, V(3/5)=6,384
V= (5-2h)(4-2h)h
(e) Sabendo-se que o gráfico
da figura 2 é realmente o
gráfico da função V do
problema, estime o valor do
volume máximo.
• V ≅ 6, 552 dm
3(a) h ∈ (0,2)
(b) V= (5-2h)(4-2h)h
(f) Qual a característica
geométrica especial do ponto
do gráfico onde a função V
atinge seu valor máximo?
• Reta tangente à curva no
• Coeficiente angular de
reta tangente a uma curva
y=f(x)
• Porque cursar esta disciplina?
• Derivada (entre outros)
• Solução de problemas de otimização
(máximo/mínimo) de funções
• Ensino Fundamental/Médio
Questão ⟷ Memória
Exercício ⟷ Treinar Algoritmos
• Cálculo I
Etapas de Resolução de um Problema
• Leitura e delimitação
• Modelagem matemática
• Escolha de um plano de estratégias para
chegar à solução
• Execução do plano
• Etapa 1: Leitura e delimitação do
problema:
ler cada frase, sublinhando dados
relevantes
• Etapa 2: Modelagem matemática do
problema:
transformar os dados utilizando
conceitos de variável independente,
• Etapa 3: Escolha de um plano de
estratégias para chegar à solução do
problema
Detalhes sobre as estratégias mais
• Etapa 4: Execução do plano= Aplicação
da(s) estratégia(s) para chegar à solução
do problema:
elos numa cadeia lógica de raciocínio,
dependentes umas das outras
• Etapa 5: Validação dos resultados
obtidos:
Tipos de Estratégia
• Utilizar um esquema / diagrama / tabela /
gráfico
• Exemplo 1: Para ir a uma festa uma pessoa
Tipos de Estratégia
• Desdobrar um problema complexo em
• Exemplo 2: Para ir a uma festa uma pessoa
• Solução: desdobrar em dois problemas mais
simples
o do exemplo 1, com 6 combinações
Tipos de Estratégia
Solução: raciocínio reverso
• Quantidade final= 20 biscoitos
• Deu metade do que tinha para segundo grupo
de amigos, logo tinha 40
• Só que, ao chegar, tinha distribuído metade
dos que tinha, então só poderia ter 80
biscoitos.
Tipos de Estratégia
Solução: Simulando a retirada de meias,
supondo o pior cenário,
• se tirar 3 meias da gaveta, poderá haver 1 de
cada uma das 3 cores.
• Se tirar pelo menos 4, haverá cor repetida,
portanto, 2 da mesma cor.
Tipos de Estratégia
• Descobrir uma regra ou padrão: a partir de
casos específicos, obter uma generalização.
• Criar um problema equivalente: quando o
problema tem números grandes, considerar
primeiro com números menores, de modo
que seja mais simples de representar.
Exemplo 5: Dobra-se uma folha de papel
retangular ao meio, e repete-se o processo em
seguida, várias vezes. Em quantas partes a folha
de papel original fica dividida, se a folha for
dobrada 10 vezes?
Solução:
• primeira estratégia (tabela)
• problema equivalente, com um número
menor de dobras
• lei de formação
Dobras 0 1 2 3 4 5 n 10
Tipos de Estratégia
• Procurar um problema análogo mais simples:
resolvendo o mais simples, pode-se descobrir
mais facilmente como chegar à solução do
Exemplo 6: Suponha que há um certo número
de coelhos e de galinhas numa gaiola,
totalizando 7 cabeças e 22 patas. Quantos
coelhos e galinhas estão na gaiola?
Solução:
• Só galinhas ⇒ 7 ⇒ 7 cabeças e 14 patas;
• São 22 patas ⇒ 8 patas sobrando;
Estratégias mais comuns Utilizar um esquema / diagrama / tabela / gráfico
Organizar uma sequência de passos: para esgotar e visualizar todos os casos possíveis
Desdobrar um problema complexo em questões mais simples
Trabalhar do fim para o princípio: quando se conhece o ponto final e se quer encontrar o ponto inicial
Simular / Simplificar o problema: criação de um modelo para a situação recorrendo a objetos
Descobrir uma regra ou padrão: a partir de casos específicos, obter uma generalização
Criar um problema equivalente: quando o problema tem números grandes, considerar primeiro com números menores, de modo que seja mais simples de representar.
Descobrir casos particulares: consiste em resolver um problema do mesmo tipo, mas que corresponda a um caso particular daquele que se quer resolver.
• Problemas
envolvendo
funções,
suas
representações e propriedades;
• Não necessitam nenhum conhecimento de
Cálculo I;
Problema 2: Uma formiga anda sobre o contorno de um
Solução: Etapa 1
• Dados conhecidos: AD = BC = 10cm, AB = CD =20cm, x= distância de A até F, ao longo do contorno (variável
independente).
• A determinar: a função f(x)= área do triângulo ADF e o valor de x para que f(x) tenha valor máximo.
Solução: Etapa 2
•
Note que x varia à medida que a formiga anda de A
até D.
Solução: Etapa 3
•
utilizar a estratégia de separar o problema em 3
casos, quando a formiga estiver no lado AB, no lado
BC e no lado CD.
Solução:
Etapa 4:
Formiga no lado AB
• xє[0, 20], o triângulo ADF é retângulo, relativo ao
vértice A. Tomando como base o lado AF, que tem
medida x, a altura será AD=10, logo a área será
Solução:
Etapa 4:
Formiga no lado BC
• xє[20, 30], o triângulo ADF não é mais retângulo, mas
tem sempre a mesma base, AD=10 e a mesma altura,
CD=AB=20.
Solução:
Etapa 4:
Formiga no lado CD
•
xє[30, 50], triângulo ADF é retângulo, reflexão de outro quando aformiga está em AB. Como a função área, no lado AB tem como gráfico um segmento de reta, o mesmo ocorrerá agora.
• Quando a formiga está em D, x=50 e f(50)=0; quando está em C, satisfaz a outra expressão, isto é, f(30)=100. Os extremos do segmento de reta são (50,0) e (30,100).
•
𝑦−0𝑥−50 =
100−0
Solução:
Etapa 4
Área máxima: 100cm
2, obtida quando a
Solução:
Etapa 5
• O gráfico da função área quando xє[30, 50] é de fato uma reflexão do caso em que xє[0, 20]
• Quando a formiga está nos pontos A, ou D, o triângulo tem área zero, conforme mostra o gráfico
• Observações
1) há mais de uma forma de chegar à solução correta;
2) existe uma infinidade de pontos de máximo da função área.
• Conteúdos relembrados
•área de triângulos;
•domínio e imagem de função;
•equação da reta que passa por dois pontos dados;
• função constante;
•simetria;
• gráfico de funções do 1º grau;
Problema 3: Um criador de gado leiteiro necessita de um hectare de área de pasto para cada vaca. Cada uma produz 4500 litros de leite por ano, em média, que é vendido a R$0,20 o litro. Este produtor tem um gasto anual fixo de R$ 20.000,00 com a manutenção do processo de coleta e transporte de leite.
Um criador de gado de corte produz 250 kg de carne de gado (peso médio de 1 vaca por ocasião do abate) por hectare necessário a ela, por ano, e vende a R$0,80 o quilo, sem custos adicionais.
(a) Determine a função maior lucro (em gado de corte ou leiteiro), correspondente à área destinada ao gado.
Solução: Etapa 2
Solução: Etapa 3
• separar o problema em partes,
• determinar o lucro com gado leiteiro,
• o lucro com gado de corte,
• fazer o gráfico de cada função,
Solução: Etapa 4- Lucro com gado leiteiro
• x= número de hectares para pasto de vacas leiteiras por ano • Venda= 0,20.4500.x = 900 x
• Custo=R$ 20.000,00 • Lucro: 900x – 20.000
• Função afim: gráfico reta • x= hectares: x ≥ 0
Solução: Etapa 4- Lucro com gado de corte
• x= número de hectares para pasto de gado de corte por ano • Venda=0,80.250.x = 200 x
• Custo=0 • Lucro: 200x
• Função linear: gráfico reta • x= hectares: x ≥ 0
Solução: Etapa 4- função maior lucro • f(x) = 900𝑥 − 20.000, 𝑠𝑒 𝑥 > 𝑥200𝑥, 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥∗ ∗
• Se forem 𝑥∗ hectares, o lucro será igual • 200x = 900x-20000
• x= 28, 6 hectares
Solução: Etapa 4 e Etapa 5- número mínimo de vacas para o “maior lucro” ser com gado leiteiro
• Domínio: xє{0,1,.., 28, 29, 30,...}. • Número mínimo de vacas para
Problema 4: Num certo país, o imposto de renda é cobrado da seguinte forma: os que têm rendimento bruto até 1.500 u.m. (unidades monetárias) anuais são isentos; aos que possuem rendimento bruto anual acima de 1.500 u.m. até 6.000 u.m., cobra-se um imposto de 10% sobre o total da renda; acima de 6.000 u.m. de rendimento bruto anual, o imposto é de 20% sobre o total da renda.
a) Determine o valor do imposto de duas pessoas, uma com rendimento bruto anual de 5500 u.m. e a outra com 6100 u.m. e compare a renda líquida das duas.
b) Determine a expressão algébrica e esboce o gráfico da função que relaciona o rendimento bruto anual com o imposto cobrado.
Solução: (a) Renda Líquida = Renda Bruta - IR
• 5500: segunda faixa de Renda Bruta , então IR 10% = 550u.m. • Renda líquida = 5500-550= 4950 u.m.
• 6100: terceira faixa de Renda Bruta, então IR 20%=1220u.m. • Renda Líquida=6100-1220=4880 u.m
• Renda Bruta aumentou, mas a Renda Líquida diminuiu !
Renda Bruta Anual (u.m.) Imposto de Renda (% da Renda Bruta Total)
0 até 1500 0
Acima de 1500 até 6000 10
• Solução (c):
Problema 5: No Brasil, o imposto de renda está sendo cobrado em 2018 da seguinte forma: os que têm rendimento mensal até R$1.903,98 ficam isentos; os que possuem renda entre R$1.903,99 e R$2.826,65, pagam um imposto de 7,5% sobre o que exceder R$1.903,98; os que possuem renda entre R$2.826,65 e 3.751,05, pagam também um imposto de 15% sobre o que exceder R$2.826,65; os que possuem renda entre R$3.751,05 e R$4.664,68, pagam também um imposto de 22,5% sobre o que exceder R$3.751,05; os que possuem renda superior a R$4.664,68, pagam também um imposto de 27,5% sobre o que exceder R$4.664,68.
a)Determine a expressão algébrica e o gráfico da função que associa a cada valor de rendimento bruto mensal o imposto de renda cobrado.
• Solução de (a):
Solução de (b):
• A parcela a deduzir : é o tamanho do salto que
haveria se a taxa de imposto fosse aplicada a todo o
rendimento e não à parte que excede a faixa.
• Transforma a expressão algébrica de cada sentença,
de linear em afim, transladando o gráfico para baixo
para “colar” as partes.
Atividades e problemas relacionados a estes tópicos
