Cohomologia Local de M´ odulos sobre An´ eis Invariantes

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Programa de P´ os–Gradua¸ c˜ ao em Matem´ atica Mestrado em Matem´ atica

Cohomologia Local de M´ odulos sobre An´ eis Invariantes

Pedro Henrique Oliveira Pantoja

Jo˜ ao Pessoa – PB

Julho de 2017

(2)

Programa de P´ os–Gradua¸ c˜ ao em Matem´ atica Mestrado em Matem´ atica

Cohomologia Local de M´ odulos Sobre An´ eis Invariantes

por

Pedro Henrique Oliveira Pantoja.

sob a orienta¸c˜ao do

Prof. Dr. Roberto Callejas Bedregal

e coorienta¸c˜ao do

Prof. Dr. Napole´ on Caro Tuesta

Jo˜ ao Pessoa – PB

14 de Julho de 2017

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Catalogação na publicação Seção de Catalogação e Classificação

P198c Pantoja, Pedro Henrique Oliveira.

Cohomologia local de módulos sobre anéis invariantes / Pedro Henrique Oliveira Pantoja. - João Pessoa, 2017.

94 f.

Orientador: Roberto Callejas Bedregal.

Coorientador: Napoleón Caro Tuesta.

Dissertação (Mestrado) - UFPB/CCEN

1. Matemática. 2. Cohomologia local. 3. Anéis invariantes.

4. Anéis Gorenstein.I. Título.

UFPB/BC

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Luis Alberto Alba Sarria,

pela inestim´ avel ajuda na

realiza¸c˜ ao deste presente

trabalho ”.

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Primeiramente gostaria de agradecer à Deus, pois sem ele nem existiria. Agrade¸co a minha querida mãe Rosangêla e a todos os meus familiares pelo cuidado, amor e de- dica¸cão em todos esses anos de convivência.

Agrade¸co ao meu orientador Roberto, coorientador Napoleon, pela confian¸ca depositada e pela ajuda acadˆemica.

Gostaria de compartilhar minha felicidade junto aos meus inúmeros amigos que fiz em João Pessoa: Luis, Raiza, Zé, Poli, Tony, Rich, Wendy, Tarcy, Cris, Cássio, Manu, Licy, Rebeca, Igor, Itallo, Ianne, Fernando, Fernanda, Tião, Nildo, Mauri, Fran, Txutxu, Belly, Sally, Alan, Sérgio, Marcius, Maria, Lucas, Marcos, Raoni, Clecle e Mariana.

Aos amigos de Natal: Pardal, Volpato, Was, Nandinho, Tetê, Deilton, Thais, Tufão, Paulo, Renato, FK, Yuri (171), Carol e Nane. Aos Amigos de Araruna: Neymar, Carmem, Ceará e Pedro.

Não poderia me esquecer dos amigos que fiz em Portugal: Hugo, Térsio, Dénis (acento agudo mesmo!), James, Camila, Daniel, Regina e Mara.

Agrade¸co aos meus professores do Mestrado pelo conhecimento adquirido: Eli- sandra, Andrade, Adriano, Cleto, Mirian, Manassés e Hinojosa. Agrade¸co também à secretária Roseli.

Também gostaria de lembrar alguns professores da UFRN que marcaram minha trajetória na gradua¸cão: Ronaldo, C. Gomes, Júlia e Jonas. Em especial aos professores: Iesus, Benedito e Nir Cohen. Agrade¸co à Pedro Duarte (Universidade de Lisboa).

Meus sinceros agradecimento ao Pr. Alcimar pela amizade ao longo de mais de 14 anos e `a fam´ılia Vasconcelos.

Gostaria de Dedicar também essa realiza¸cão ao Professor Elmano, que já faleceu há alguns anos, todavia marcou muito a minha forma¸cão matemática quando fui seu aluno pela primeira vez em 2005.

Finalmente, agrade¸co `a CAPES e ao CNPq pelo apoio financeiro.

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fracasso. Todo mundo falha em alguma coisa.

Mas eu n˜ ao posso aceitar n˜ ao tentar”.

Michael Jordan

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Neste trabalho estudamos cohomologia local de m´odulos sobre an´eis invariantes inspirados nos resultados de Sharp, Huneke e Lyubeznik. De fato, o principal resultado foi demonstrado por Tony J. Puthenpurakal:

Sejam K um corpo e R um dom´ınio regular contendo K. Seja G um subgrupo finito do grupo dos automorfismos deR. Suponhamos que|G|é invers´ıvel em K. Seja R^G o anel dos invariantes deG. Seja I um ideal de R^G.Fixei≥0,seR^Gé Gorenstein então:

(I)injdim_R^GH_Iⁱ(R^G)≤dimsupp H_Iⁱ(R^G);

(II)H_m^j(H_Iⁱ(R^G)) ´e injetivo, ondem´e um ideal maximal de R^G;

(III)µ_j(P, H_Iⁱ(R^G)) = µ_j(P⁰, H_IRⁱ (R)) onde P⁰ ´e qualquer ideal primo sobre P.

Também iremos demonstrar que se P é um ideal primo deR^G comR^G_P não Gorenstein então os números de Bass µ_j(P, H_Iⁱ(R^G)) são zero para todo j ou existe c tal que µj(P, H_Iⁱ(R^G)) = 0 para j < c e µj(P, H_Iⁱ(R^G))>0 para todo j ≥c.

Palavras Chaves: Cohomologia Local, An´eis Gorenstein, An´eis Invariantes.

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In this work we study local cohomology of modules on invariant rings inspired by the results of Sharp, Huneke and Lyubeznik. In fact the main result was demonstrated by Tony J. Puthenpurakal:

LetK be a field and let R be a regular domain containing K. LetG be a finite subgroup of the group of automorphisms ofR. We assume that |G| is invertible in K.

Let R^G be the ring of invariants of G. Let I be an ideal in R^G. Fix i ≥ 0, if R^G is Gorenstein then:

(I)injdim_R^GH_Iⁱ(R^G)≤dimsupp H_Iⁱ(R^G);

(II)H_m^j(H_Iⁱ(R^G)) is injective, where mis any maximal ideal of R^G;

(III)µ_j(P, H_Iⁱ(R^G)) = µ_j(P⁰, H_IRⁱ (R)) where P⁰ is any prime in R lying above.

We also prove that ifP is a prime ideal in R^G with R_P^G not Gorenstein then either the Bass numberµ_j(P, H_Iⁱ(R^G))is zero for alljor there existscsuch thatµ_j(P, H_Iⁱ(R^G)) = 0 forj < c and µ_j(P, H_Iⁱ(R^G))>0 for all j ≥c.

Keywords: Local Cohomology, Gorenstein Ring, Invariant Ring.

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A seguir, listamos algumas nota¸c˜oes utilizadas neste trabalho.

• m,n, denotam ideais maximais de um anel;

• p,q, denotam ideais primos de um anel;

• id denota a aplica¸c˜ao identidade;

• denota o final de uma demonstra¸c˜ao;

• ht(I) denota a altura de um ideal I;

• Ass(M) denota o conjunto dos primos associados do m´odulo M;

• dim(A) denota a dimens˜ao (de Krull) de um anel A;

• Spec(A) denota o conjunto de todos os ideais primos de um anel A;

• Aut(A) denota o conjunto de todos os automorfismos de A;

• Supp(M) denota o suporte de umA-m´odulo, i.e., {P ∈spec(A) | MP 6= 0};

• J(A) denota o radical de Jacobson de A;

• char(A) denota a caracter´ıstica de A;

• V ar(I) denota a variedade de I, isto ´e, o conjunto {p∈Spec(A) |p⊇I};

• 1_A,1_G denotam as identidades do anelA e do grupo G, respectivamente.

• Mn×n(R) denota o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordemne entradas no anelR;

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Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 5

1.1 Funtor Tor¸c˜ao . . . 5

1.2 M´odulo de Cohomologia Local . . . 10

1.3 Dualidade de Matlis . . . 17

2 An´eis Invariantes 21 2.1 Grupo Agindo sobre um Anel . . . 21

2.2 Anel dos Invariantes dos Operadores Diferenciais . . . 30

2.3 An´eis Invariantes Cohen-Macaulay . . . 33

3 Cohomologia Local de An´eis Invariantes 36 3.1 Cohomologia Local Associada . . . 36

3.2 Resolu¸c˜ao Injetiva Equivariante . . . 39

3.3 Um Resultado Crucial . . . 42

3.4 O Caso em que R^G ´e Gorenstein . . . 44

3.5 O Caso em que R^G n˜ao ´e Gorenstein . . . 45

A M´odulos Injetivos 51 A.1 M´odulos Injetivos . . . 51

A.2 Extens˜oes Essenciais . . . 55

A.3 Resolu¸c˜oes Injetivas . . . 58

A.4 M´odulos Injetivos sobre um Anel Comutativo Noetheriano . . . 61

A.5 N´umeros de Bass . . . 66

B Alguns Fundamentos 68 B.1 An´eis dos Operadores Diferenciais . . . 68

B.2 An´eis e M´odulos Cohen-Macaulay . . . 70

B.3 An´eis Gorenstein . . . 77

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Historicamente, Hilbert, em sua célebre lista de problemas, no ´ınicio do século XX elaborou uma lista de 23 problemas que iriam desafiar os matemáticos por um longo per´ıodo. O 14^◦ problema pode ser formulado como: Sejam K um corpo e x₁, ..., x_n elementos algebricamentes independentes sobreK.SejaLum subcorpo deK[x₁, ..., x_n] contendo K. É o anel K[x₁, ..., x_n]∩L finitamente gerado sobre K? O matemático japonês Masayoshi Nagata em 1958 deu uma resposta negativa a essa afirma¸cão. Em tal complicado e longo contraexemplo figura-se um polinômio de 32 variáveis!!!

Uma pergunta interessante seria em que casos menos gerais do anterior ter´ıamos uma resposta positiva. No seguinte caso especial do 14^◦ problema obtemos isso: Seja Rum anel de polinômios em n variáveis sobre o corpo dos complexos CeGum grupo finito, denotemos R^G o subanel dos polinômios G-invariantes, i.e., os polinômios f(x) tais que f(gx) = f(x), ∀ g ∈ G e x ∈ Cⁿ. Então R^G é finitamente gerada como C-álgebra.

Neste trabalho, com base no artigo de Tony J. Puthenpurakal ([20]), estudamos questões relacionadas a cohomologia local de módulos sobre anéis invariantes. Neste texto R será um anel comutativo Noetheriano. Se M é um R-módulo e se a é um ideal deR, denotemos porH_aⁱ(M) oi-ésimo módulo de cohomologia local com respeito a a. No artigo clássico ([10]), Sharp e Huneke provaram que se R é um anel regular contendo um corpo de caracter´ıstica p > 0, e se a é um ideal de R então os módulos de cohomologia local deR com respeito aa têm as seguintes propriedades:

(i)H_mⁱ(H_a^j(R)) ´e injetivo, ondem´e qualquer ideal maximal de R;

(ii) injdim_RH_aⁱ(R)≤dim SuppH_aⁱ(R);

(iii) Os n´umeros de Bass de H_aⁱ(R) s˜ao finitos;

(iv) O conjunto dos primos associados de H_aⁱ(R) ´e finito. (isso segue de (iii). Com efeito, temos quep∈AssM ⇔µ⁰(p, M)>0.)

Aquiinjdim_RH_aⁱ denota a dimesão injetiva deH_aⁱ(R). Também SuppM ={P ∈ Spec(R | M_P 6= 0)} denota o suporte do R-módulo M. O j-ésimo número de Bass do

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µ_j(P, M) = dim_k(P₎Ext^j_R

P(k(P), M_P) onde k(P) denota o corpo residual de R_P. Em um outro notável artigo, para anéis regulares de caracter´ıstica zero, Lyubeznik foi capaz de estabelecer as propriedades acima para uma classe consideravelmente maior de funtores, do que apenas os módulos de cohomologia local, vide ([16]). Em particular para os ideaisa₁,a₂, ...,a_nemReT(R) =H_aⁱ¹

1(H_aⁱ²

2(· · ·H_aⁱⁿ_n(R)· · ·)),ent˜aoT(R) satisfaz as seguintes propriedades:

(i)H_m^j(T(R)) ´e injetivo, ondem´e qualquer ideal maximal de R;

(ii) injdim_RT(R)≤dim Supp T(R);

(iii) Para todo ideal maximal m, o n´umero de primos associados de T(R) contido em m´e finito;

(iv) Os n´umeros de Bass de T(R) s˜ao finitos.

E importante salientar que para qualquer ideal maximal´ m de R o resultado acima implica que H_mⁱ(T(R)) é uma soma direta em um número finito de cópias de E_R(R/m). Com efeito, por (i)H_mⁱ(T(R)) é injetivo, da´ı uma soma direta de cópias de E_R(R/m).Esse número de cópias é igual a s =µ₀(m, H_mⁱ(T(R))) que é finito por (iv).

Em suma,

H_mⁱ(T(R)) = E_R(R/m)^s. (1)

Isto, por sua vez, levantou a quest˜ao de se os resultados (i)−(iv) de Huneke e Sharp (na caracter´ıstica p > 0) poderia ser estendida a esta classe maior de funtores.

Em ([17]), Lyubeznik prova isso. Para anéis singulares resultados análogos como esse em geral são falsos. Hartshorne deu um exemplo de um anel singular R, um ideal a e um ideal maximal m de R tal que µ₀(m, H_a²(R)) é infinito, vide ([11], se¸cão 3).

Singh deu um primeiro exemplo de um anel singular R tendo um ideal a para o qual Ass_R(H_aⁱ(R)) é infinito, vide ([31]). Neste exemplo o anel R não está contido em um corpo. Mais tarde, Katzman, vide ([14]), deu um exemplo de uma álgebra afimR sobre um corpo (e também de um anel local contendo um corpo) possuindo um ideal a tal que AssRH_aⁱ(R) é infinito. Depois Singh e Swanson deram exemplos parecidos de anéis tendo somente singularidades racionais, vide ([32]).

Em um artigo interessante Núenez-Betancourt, provaram que se S → R é um homomorfismo Noetheriano de anéis que cinde, então para todo ideal a em S e todo inteiro não nagativo i, se Ass_RH_aRⁱ (R) é finito então Ass_RH_aⁱ(R) também o é. Além do mais se, R é Cohen-Macaulay e finitamente gerado como um S-módulo e todos os números de Bass do R-módulo H_aRⁱ são finitos, então todos os números de Bass do S-módulo H_aⁱ(S) também são finitos.

(15)

S=R^G. Nesse caso, o resultado ´e mais forte:

Teorema 0.1. Sejam K um corpo e R um dom´ınio regular contendo K. Seja G um subgrupo finito dos grupos dos automorfismos de R. Admita que |G| ´e invers´ıvel em K. ConsidereR^G o anel dos invariantes de G ea1,a2, ...,ar ideais em R^G.Chamamos T(R) =H_aⁱ¹₁(H_aⁱ²₂(· · ·H_aⁱ^r_r(R^G)· · ·) para alguns i₁, ..., i_r ≥0.

(i) Se R^G ´e Gorenstein ent˜ao;

(a) injdim_R^GT(R^G)≤dim Supp T(R^G);

(b) Seja P ∈Spec(R^G). Ent˜ao µ_j(P, T(R^G)) =µ_j(P⁰, T(R)) onde T(R) =H_aⁱ¹

1(H_aⁱ²

2R(· · ·H_a^a^r

rR(R)· · ·) e P⁰ um ideal primo qualquer sobre P.

(ii) Seja P ∈Spec(R^G), com R^G_P não Gorenstein. Então para todo j ≥0 os números de Bass µ_j(P, T(R^G)) são zero para todo j ou existe c tal que µ_j(P, T(R^G)) = 0 para j < c e µ_j(P, T(R^G))>0 para todo j ≥c.

O principal exemplo em que o Teorema se aplica é quando R = K[X₁, ..., X_n] ou R = K[[X₁, ..., X_n]] e G um subgrupo finito de GL_n(K) agindo linearmente em R, com |G| invers´ıvel em K. Neste caso, devemos observar que, por um resultado K. Watanabe, R^G é Gorenstein se G ⊆ SLn(K); vide ([33]). Seja R = K[X1, ..., Xn] ondeK é um corpo de caracter´ıstica zero eGé um subgrupo finito deGL_n(K) agindo linearmente sobreR. Seja D(R) o anel dos operadores K-lineares diferenciaveis em R.

E bem conhecido que´ D(R) é isomorfo a A_n(K), a n-ésima álgebra de Weyl sobre K.

Teorema 0.2. (Com as hipóteses acima). Seja a um ideal em R^G. Então para todo i≥0, H_aⁱ(R^G) possui comprimento finito como D(R^G)-módulo.

Nosso trabalho, est´a dividido:

• No Cap´ıtulo 1, estudamos algumas ferramentas necess´arias ao desenvolvimento do cap´ıtulo 2, tais como funtor tor¸c˜ao, cohomologia local e dual de Matlis;

• O Cap´ıtulo 2 ´e dedicado aos resultados de an´eis invariantes;

• O Cap´ıtulo 3 ´e dedicado aos resultados de cohomologia local relacionados aos an´eis invariantes;

• No Apˆendice A, falamos sucintamente de m´odulos injetivos;

• Finalmente, o Apêndice B discutimos brevemente sobre os anéis dos operadores diferenciáveis, os anéis e módulos Cohen Macaulay, anéis Gorenstein.

(16)

seja demasiadamente extenso e cansativo. Recomendamos ao leitor interessado que busque mais sobre o assunto nas referˆencias.

(17)

Preliminares

Neste cap´ıtulo inicial, apresentamos o funtor tor¸cão, que nos permite calcular um dos objetos principais de estudo deste trabalho, omódulo de cohomologia local. Por fim, apresentamos algumas propriedades do funtor dual de Matlis que serão relevantes nos próximos cap´ıtulos. Todos os anéis aqui serão comutativos e com identidade.

1.1 Funtor Tor¸ c˜ ao

Defini¸cão 1.1. Para cadaR-módulo M, o módulo tor¸cão de M é definido por:

Γa(M) :={m∈M :aⁿm = 0 para algum n ∈N}= [

n∈N

(0 :M aⁿ)

Observe que Γ_a(M) é um submódulo de M. Além disso, Γ_a(M) ={m∈M/V ar(AnnM)⊆V ar(a)}.

De fato, sem∈Γ_a(M), ent˜aoaⁿm= 0 para algum n∈N, ou seja,aⁿ ⊆Ann(m). Da´ı, V ar(Ann(m)) ⊆ V ar(aⁿ) = V ar(a). Reciprocamente, se V ar(Ann(m)) ⊆ V ar(a), ent˜ao a ⊆√

a ⊆ p

Ann(m). Como R ´e noetheriano , segue que aⁿm = 0 para algum n∈N.

Cada homomorfismo de R-m´odulos f : M → N induz um homomorfismo de R- m´odulos:

Γ_a(f) : Γ_a(M)→Γ_a(N),

definido por Γ_a(f)(m) = f(m), ou seja Γ_a(f) =f |_Γ_a_(M). Notemos que Γ_a(f) est´a bem definida pois Annf(m)⊇Ann(m)⇒V ar(Annf(m))⊆V ar(Ann(m)).

Isto define um funtor linear Γa(−) sobre a categoria dosR-m´odulos, chamadofuntor a-tor¸c˜ao. Agora observe que

(18)

(0 :_M aⁿ)∼=Hom R

aⁿ, M

, (1.1)

em particular,

Hom_R(R, M)∼=M. (1.2)

Obviamente temos as inclus˜oes:

(0 :_M aⁿ)⊆(0 :_M aⁿ⁺¹)⊆...

Portanto, temos um sistema direto de Hom’s e consequentemente o funtor tor¸c˜ao pode ser escrito como limite direto: Γ_a(M) ∼= lim−→

n

Hom_R(R/aⁿ, M). O último isomorfismo é válido em virtude de (1.1) e também porque o seguinte diagrama comuta para todon ∈N:

(0 :M aⁿ) (0 :_M aⁿ⁺¹)

Hom_R R

aⁿ, M

Hom_R R

aⁿ⁺¹, M

.

//ιn

τn

τn+1

//π^∗_n

Para cadaR-m´odulo M, sejaDZ_R o conjunto dos divisores de zero de R em M e sejaN DZ_R o conjunto dos n˜ao divisores de zero de R em M. Em outras palavras,

DZ_R:={x∈R | ∃m ∈M\{0}:xm= 0};

N DZ_R:=R\DZ_R. Temos o seguinte:

Lema 1.2. Seja M um R-m´odulo.

(a) Se Γ_a(M)6= 0, ent˜ao, a⊆DZ_R(M).

(b) Sejam R um anel noetheriano e M um R-m´odulo finitamente gerado. Se a ⊆ DZR(M),ent˜ao, Γ_a(M)6= 0.

Demonstra¸c˜ao. (a) Trivial.

(b) Como M ´e noetheriano o conjunto Ass_R(M) ´e finito, assim podemos escrever Ass_R(M) = {p₁, ...,p_r}. Entretanto

DZ_R= [ p

(19)

donde a ⊆ p₁∪ · · · ∪p_r. Pelo lema da esquiva (Prime Avoidance) existe i ∈ {1, ..., r}

com a ⊆ p_i. Como p_i ∈ Ass_R(M) existe algum 0 6= v ∈ M tal que p_i = (0 :_R Rv).

Portanto, av ⊆p_iv = 0⇒v ∈Γ_a(M)\{0}.

Observa¸cão 1.3 (Propriedades do Funtor Tor¸cão). SejamM um R-módulo ea,b ideais deR.

1) Γ₀(M) = M e Γ_R(M) = 0

2) Se b⊆a, ent˜ao, Γ_a(M)⊆Γ_b(M) 3) Se R ´e noetheriano e √

a=√

b, ent˜ao, Γ_a(M) = Γ_b(M) 4) Γ_a+b(M) = Γ_a(M)∩Γ_b(M) = Γ_a(Γ_b(M))

5) Se M ´e noetheriano, ent˜ao existe n∈N tal que Γ_a(M) = (0 :_M aⁿ).

6) Se Ré noetheriano e M é finitamente gerado, então existe n∈N tal que aⁿM ∩ Γ_a(M) = 0.

Defini¸cão 1.4. Um R-módulo M é chamado a-tor¸cão se Γ_a(M) = M e é chamado livre de a-tor¸cão se Γ_a(M) = 0.

Observa¸c˜ao 1.5. (i) Na propriedade 5, tomando a = b, temos Γ_a(Γ_a(M)) = Γ_a(M).

Logo, Γ_a(M) ´ea-tor¸c˜ao.

(ii) Se M é dea-tor¸cão eN um submódulo deM, entãoN eM/N são de a-tor¸cão.

Reciprocamente, se R é noetheriano eN é um submódulo de M tal queN eM/N são a-tor¸cão, entãoM é de a-tor¸cão.

(iii) Sejam r ∈ae M um R-módulo a-tor¸cão, entãoM −→^.r M é injetivo ⇔ M = 0.

Proposi¸cão 1.6. O funtor a-tor¸cão Γ_a(−) é exato à esquerda.

Demonstra¸cão. Seja 0 → L −→^f M −→^g N → 0 uma sequência exata de R-módulos.

Queremos mostrar que

0→Γ_a(L)−−−→^Γâ^(f) Γ_a(M)−−−→^Γâ^(g) Γ_a(N) é exato.

Como f é um homomorfismo injetivo, então, Γ_a(f) claramente é injetivo. Por outro lado, Γa(g)◦Γa(f) = 0, pois g◦f = 0. Portanto im (Γa(f))⊆ker(Γa(g)). Para provar a inclusão contrária, seja m ∈ker(Γ_a(g)), isto é, g(m) = 0 e m ∈Γ_a(M), então existe n ∈N tal que aⁿm = 0. Como kerg = imf, entãof(l) = m para algum l ∈L. Note quel ∈Γ_a(L), de fato, para cada r ∈aⁿ temos f(rl) =rf(l) =rm= 0⇒rl= 0 pois f é um homomorfismo injetor. Assim aⁿl= 0.

(20)

Observa¸cão 1.7. (i) Seja N uma extensão essencial (vide apêndice) de M. Então, Γ_a(N) é uma extensão essencial de Γ_a(M). De fato, seja 0 6= H ≤ Γ_a(N). Em particular, 0 6= H ≤N, logo existe 0 6= h ∈H ∩M, então existe n ∈ N tal que aⁿh= 0, portanto h∈H∩Γ_a(M)

(ii) Sejam R noetheriano, E um R-módulo injetivo (vide apêndice), então Γ_a(E) é um R-módulo injetivo ([4], Prop. 2.1.4).

(iii) SejaR noetheriano. SeE(M) denota a envoltória injetiva (vide apêndice) de um R-módulo M, então:

Γ_a(E(M)) =E(Γ_a(M))

De fato, por (i), Γ_a(E(M)) é extensão essencial de Γ_a(M), Além disso, por (ii), Γ_a(E(M)) é injetivo. Logo, Γ_a(E((M)) é a envoltória injetiva de Γ_a(M).

Exemplo 1.8. Sejam p,q ideais primos de R. Temos:

Γ_p(R/q) =

( R/q se p⊇q 0 se p+q

Solu¸c˜ao 1.9. Com efeito, Γ_p(R/q) = {r+q | pⁿr ⊆ q ∃n ≥ 1}. Assim se p 6⊆ q ⇒ pⁿ6⊆ q logo r ∈q ⇒r+q = 0, ou seja, Γ_p(R/q) = 0. Se p⊆ q⇒pⁿr ⊆q, para todo r, donde Γ_p(R/q) =R/q.A prova est´a completa.

Lema 1.10. Sejam R noetheriano, M um R-módulo, o módulo M/Γ_a(M) é livre de a-tor¸cão.

Demonstra¸cão. Queremos mostrar que Γ_a(M/Γ_a(M)) = 0. Seja m ∈ M tal que o elemento m+ Γ_a(M) ∈ M/Γ_a(M) é anulado por aⁿ para algum n ∈ N. Queremos mostrar que m + Γ_a(M) = 0, ou seja, m ∈ Γ_a(M). Assim aⁿ(m + Γ_a(M)) = 0 ⇒ aⁿm ⊆ Γ_a(M). Desde que aⁿm é um submódulo finitamente gerado de Γ_a(M) e cada elemento de aⁿm é anulado por alguma potência de a segue que existe t ∈ N tal que a^taⁿm = 0. Portantom∈(0 :M a^t+n)⊆Γa(M).

Lema 1.11. Sejam R um anel noetheriano e M um R-módulo a-tor¸cão finitamente gerado. EntãoAss_R(M) = Ass_R(0 :_M a).

Demonstra¸c˜ao. Por (1.3, item 5) existe m ∈ N tal que M = Γ_a(M) = (0 :_M a^m).

Portanto,

Ass_R(M) =Ass_R(0 :_M a^m) =Ass_R

Hom_R R

a^m, M

=Supp R

a^m

∩Ass_R(M)

(21)

=Supp R

a

∩Ass_R(M) = Ass_R

Hom_R R

a, M

=Ass_R(0 :_M a).

Proposi¸cão 1.12. SejaM um R-módulo noetheriano. Então:

(a) Ass_R(Γ_a(M)) =Ass_R(M)∩V ar(a).

(b) SeR ´e noetheriano, ent˜ao Ass_R(M/Γ_a(M)) =Ass_R(M)\V ar(a).

Demonstra¸cão. (a) (⊆) Seja p∈Ass_R(Γ_a(M)). Como Γ_a(M) é submódulo de M tem- se p ∈ AssR(M). Como M é noetheriano existe n ∈ N tal que aⁿΓa(M) = 0 ⇒ aⁿ ⊆ (0 :_RΓ_a(M)) portanto¹ aⁿ⊆p⇒a⊆p,pois pé primo. Logop∈V ar(a).

(⊇) Sejap∈Ass_R(M)∩V ar(a).Ent˜ao, existe algumv ∈M com (0 :_R Rv) = p.Como a⊆p ent˜ao av = 0 da´ıv ∈Γ_a(M). Segue que p∈Ass_R(Γ_a(M)).

(b) (⊇) Seja p ∈ Ass_R(M). Portanto p ∈ Ass_R(Γ_a(M))∪Ass_R(M/Γ_a(M)). Se p ∈/ V ar(a), ent˜ao, p∈/ Ass_R(Γ_a(M)) da´ıp∈Ass_R(M/Γ_a(M)).

(⊆) Seja p ∈ AssR(M/Γa(M)). Por (1.10) e pelo fato de M/Γa(M) ser noetheriano, existe algum x ∈N DZ_R(M/Γ_a(M))∩a (1.2). Agora p⊆DZ_R(M/Γ_a(M)) segue que x /∈p.

Pela nossa escolha de p encontramos um v ∈ M/Γ_a(M) com (0 :_R Rv) = p. Seja v ∈ M tal que v = v + Γ_a(M). Assim pv = 0 ⇒ pv ⊆ Γ_a(M). Mas M ´e noetheriano

∃ n ∈ N : aⁿΓ_a(M) = 0 ⇒ p(Rxⁿv) = xⁿpv ⊆ aⁿΓ_a(M) = 0 donde p ⊆ (0 :_R Rxⁿv).

Seja a ∈ (0 :R Rxⁿv) ⇒ (axⁿ)v = a(xⁿv) = 0 ∈ Γ_a(M) ⇒ axⁿv = 0 ⇒ axⁿ ∈ (0 :R

Rv) = p. Como x /∈ p ⇒ a ∈ p da´ı (0 :_R Rxⁿv) ⊆ p. Logo p = (0 :_R Rxⁿv) ⇒ p ∈ Ass_R(M). Finalmente como p∈atem-se p∈V ar(a).

Os seguintes fatos (que podem ser encontrados em [?]), serão úteis na demonstra¸cão de (1.15).

Lema 1.13. SejamA um anel,S um conjunto multiplicativo. Então o móduloM tem uma estrutura compat´ıvel de um S⁻¹A-módulo se, e somente se, para todo s ∈ S, o mapa multiplica¸cão por s, µ_s :M →M é uma bije¸cão.

Lema 1.14. Sejam A um anel, S um conjunto multiplicativo e M um A-m´odulo.

EntãoM =S⁻¹M se, e somente se, M é um S⁻¹A-módulo.

A última proposi¸cão desta se¸cão será usada com frequência no cap´ıtulo 3.

Proposi¸cão 1.15. Sejam A um anel noetheriano e m um ideal maximal em A. Seja M um A-módulo m-tor¸cão (M não necessita ser finitamente gerado). EntãoM =M_m.

1j´a queAssR(Γa(M))⊆V ar(0 :RΓa(M)).

(22)

Demonstra¸cão. Pelos resultados anteriores é suficiente provar que para todo s∈ A\m o mapa µ_s : M → M , pela multiplica¸cão por s, é um isomorfismo. Primeiramente, provaremos que µ_s é sobrejetivo. Seja t ∈ M. Como M é um módulo m-tor¸cão existe n≥1 tal quemⁿt= 0.Observe quem(m+As ⊆A⇒m+As =A,dondemⁿ+As= A.² Seja 1 =ξ+as ondeξ∈mⁿea∈A.Assimt=ξt+ast=ast⇒µ_s(at) = t,donde µs é sobrejetiva. Para mostrar a injetividade de µs, digamos que µs(t) = 0 ⇒st = 0.

Demⁿt= 0,e 1 =ξ+as, ondeξ∈mⁿ, a∈Atem-set =ξt+ast= 0.Da´ıµ_s´e injetiva, e portantoM =M_m, como se buscava.

1.2 M´ odulo de Cohomologia Local

Defini¸cão 1.16. Seja i≥ 0, o i-ésimo funtor derivado a direita de Γ_a(−) é denotado porH_aⁱ(−) e é chamado i-ésimo funtor de Cohomologia Local com respeito ao ideal a.

Isto ´e, para cada R-m´odulo M,

H_aⁱ(M) = Hⁱ(Γ_a(E^•)), onde E^• ´e uma resolu¸c˜ao injetiva de M.

Para calcular H_aⁱ(M) procedemos da seguinte forma: Tome uma resolu¸c˜ao injetiva deM:

0→M −→^α E⁰ −^d→⁰ E¹ −→ · · · −→E^{n d}−→ⁿ Eⁿ⁺¹ → · · · Aplique o funtor Γ_a(−) para obter:

0→Γa(E⁰) ^Γ^a^(d

0)

−−−→ · · · →Γa(Eⁿ) ^Γ^a^(d

n)

−−−−→Γa(Eⁿ⁺¹)→ · · · Tomando a i-´esima cohomologia deste complexo, obtemos:

H_aⁱ(M) = ker(Γ_a(dⁱ))/im (Γ_a(dⁱ⁻¹)).

Quando M =R, escreveremos apenasH_a^c(R) :=H_a^c.

Proposi¸c˜ao 1.17. SejaM um R-m´odulo e ae b ideais de R.

a) H_a⁰(M)'Γa(M) e H_aⁱ(M) ´e a-tor¸c˜ao para cadai >0.

b) Se R ´e noetheriano e √

a = √

b, ent˜ao H_aⁱ(M) = H_bⁱ(M) para cada i > 0. Em particular, H_abⁱ (M) = H_a∩bⁱ (M) para cada i >0.

2J´a que seI, J s˜ao ideais de um anelA,√ I+√

J =A⇒I+J =A,e obviamente√

mⁿ=m.

(23)

c) Seja {M_λ} uma fam´ılia deR-m´odulos. Para cada inteiro n, temos H_aⁿ(M

λ

M_λ) = M

λ

H_aⁿ(M_λ)

d) Uma sequência exata de R-módulos 0 → M⁰ → M → M⁰⁰ → 0 induz uma sequência exata em cohomologia local

· · ·H_aⁿ(M⁰)→H_aⁿ(M)→H_aⁿ(M⁰⁰)→H_aⁿ⁺¹(M⁰)→ · · · Demonstra¸c˜ao. Ver ([13], Prop. 7.3).

Lema 1.18. Sejam a um ideal e M um R-m´odulo.

(a) SeM é a-tor¸cão entãoH_aⁱ(M) = 0 para todo i >0.

(b) Para cadaR-m´odulo N e cada i >0 tem-se

H_aⁱ(Γ_a(N)) = 0 e H_aⁱ(N)∼=H_aⁱ(N/Γ_a(N)).

Demonstra¸c˜ao. Vide ([4], Corol´ario 2.1.7).

Seja M um R-módulo, um elemento x ∈ R é dito regular se xm 6= 0 para todo 0 6= m ∈ M. Uma sequência x₁, . . . , x_n de elementos de R é uma M-sequência (de comprimenton) se:

(1) x₁ é M-regular, x₂ é (M/x₁M)-regular, x_n é M/(x₁, ..., xn−1)M-regular (2) (M/(x₁, ..., x_n)M)6= 0

Dizemos que uma M-sequência x₁,· · ·x_n ∈ a é máxima (em a) se, para qualquer xn+1 ∈ a, a sequência x1,· · · , xn+1 ∈ a não é uma M-sequência. Dizemos que uma M-sequência fraca se satisfaz apenas a condi¸cão (1) acima.

Lema 1.19. Sejam R um anel, e M, N R-m´odulos. Considere a= (0 :N).

(a) Sea cont´em um elemento M-regular, ent˜ao, Hom_R(N, M) = 0.

(b) Inversamente, seRé noetheriano eM, Nsão finitamente gerados, comHom_R(N, M) = 0, então, a contém um elemento M-regular.

Demonstra¸c˜ao. Vide ([6], prop. 1.2.3).

Lema 1.20. Sejam R um anel, e M, N R-módulos e x=x1,· · ·xn uma M-sequência fraca em (0 :N). Então:

Hom_R

N, M xM

∼=Extⁿ_R(N, M).

(24)

Demonstra¸cão. A prova é por indu¸cão emn.O cason= 0 é fácil já queHom_R(N, M)∼= Ext⁰_R(N, M).Suponhamos que o resultado vale para todo natural menor quen. É claro quex⁰ =x₁, ..., xn−1 é uma M-sequência fraca e da´ı

Hom_R

N, M x⁰M

∼=Extⁿ⁻¹_R (N, M).

Por outro ladox_n n˜ao ´e divisor de zero de _x^M0M ex_n ∈(0 :N) donde, HomR

N, M

x⁰M

= 0⇒Extⁿ⁻¹_R (N, M) = 0.

Consideremos a sequˆencia exata

0→M ^·x→¹ M → M

x₁M →0.

Pela sequˆencia longa dos ext’s tem-se:

0 =Extⁿ⁻¹_R (N, M)→Extⁿ⁻¹_R

N, M x₁M

∂

→Extⁿ_R(N, M)→^δ

Extⁿ_R(N, M)→Extⁿ_R

N, M x₁M

→...

Assim sendo δ induzida pela multiplica¸c˜ao por x1 ∈(0 : N)⇒δ ≡0.

Portanto, Extⁿ⁻¹_R (N,_x^M

1M) ∼= Extⁿ_R(N, M) via ∂. Em virtude de x₁, ..., x_n ser M- sequência fraca, a hipótese de indu¸cão implica Extⁿ⁻¹_R (N,_x^M

1M) ∼= Hom_R(N,_xM^M ) nos garante o isomorfismo Extⁿ_R(N, M)∼=Hom_R(N,_xM^M ).

Teorema 1.21 (Rees). Seja R um anel noetheriano, M um R-módulo finitamente gerado, e a um ideal de R tal que aM 6= M. Então todas as M-sequências máximas em a têm o mesmo comprimento n dado por

n = min{i: Extⁱ_R(R/a, M)6= 0}.

Demonstra¸c˜ao. Sejamx=x₁, ..., x_numaM-sequˆencia maximal emaeM = _(x ^M

1,...,xn)M. Comoa cont´em um elemento M-regular para i= 1, ..., ntem-se

Extⁱ⁻¹_R R

a, M

∼=Hom_R R

a, M

= 0.

(25)

Logo,

Ext^j_R R

a, M

= 0 ∀ j ≤n−1.

e mais por (1.19),

Extⁿ_R R

a, M

∼=Hom_R R

a, M xM

6= 0.

provando o teorema.

Este resultado nos permite introduzir a seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸cão 1.22. Sejam M um R-módulo e a um ideal de R tal que aM 6= M. Defi- nimos aa-profundidade deM como sendo o maior comprimento de uma M-sequência com elementos em a. Denotamos a a-profundidade de M como grade(a, M). No caso em que M =R, escrevemos a a-profundidade de R como grade a.

Defini¸cão 1.23. Seja (R,m) anel noetheriano local e M um R-módulo finitamente gerado então o m-profundidade de M é chamado profundidade de M, denotado por prof M.

Proposi¸cão 1.24. Seja R um anel noetheriano, a ideal de R e M um R-módulo finitamente gerado. Então:

a) grade(a, M) = inf{prof M_p :p∈V ar(a)}

b) grade(a, M) = grade(√ a, M)

c) Se x=x₁,· · · , x_n é uma M-sequência em a, então

grade(a, M/xM) = grade(a, M)−n.

Demonstra¸c˜ao. Vide ([6], 1.2.10).

Exemplo 1.25. Sejam M um R-módulo e (x₁, ..., x_n) umaM-sequência em a.Então:

H_aⁱ(M) = 0, para todo i < r.

Existe uma caracteriza¸c˜ao de grade envolvendo cohomologia local.

Teorema 1.26. Seja M um R-m´odulo finitamente gerado tal que aM 6= M. Ent˜ao grade(a, M) =min{i ∈N | H_aⁱ(M)6= 0}.

(26)

Demonstra¸cão. Seja c = grade(a, M). Usaremos indu¸cão em c. Quando c = 0, todo elemento de a deve ser um divisor de zero de M e então Γ_a(M) 6= 0 pelo lema (1.2).

Agora suponha quec >0 e que este resultado vale para cada R-m´oduloN finitamente gerado e com aN 6=N e grade(a, N)< c.

Existe x₁ ∈ a tal que x₁ é um não divisor de zero de M. Seja M₁ := M/x₁M. Observe quex1M1 6= M1 e grade(a, M1) =c−1. Portanto, pela hipótese de indu¸cão, H_aⁱ(M₁) = 0 para todoi < c−1, enquanto H_a^c−1(M₁)6= 0. A sequência exata

0−→M −→^.x¹ M →M₁ →0 induz uma sequˆencia exata longa

H_aⁱ⁻¹(M)→H_aⁱ⁻¹(M₁)→H_aⁱ(M)−→^.x¹ H_aⁱ(M)

Isto mostra que para i < c, o elemento x₁ é um não divisor de zero em H_aⁱ(M), como este módulo é a-tor¸cão, ele deve ser zero (1.5), (iii)). Temos portanto a sequência exata

0→H_a^c−1(M₁)→H_a^c(M) E desde queH_a^c−1(M₁)6= 0, segue que H_a^c(M₁)6= 0.

SejaM umR-módulo não nulo. A dimensão de Krull, dimM ou dim_RM deMé o supremo do comprimento das medidas das cadeias de ideais primos no suporte deM, se esse supremo existe, e é igual a ∞,caso contrário. Quando M é finitamente gerado a dimensão de M coincide com dimR/ann(M),isto é, a dimensão do anelR/ann(M).

Os pr´oximos dois teoremas encontram-se em ([4]).

Teorema 1.27. (Teorema de Anulamento de Grothendieck) Seja M um R- m´odulo. Ent˜ao, H_aⁱ(M) = 0 para todo i >dimM.

Teorema 1.28. (Teorema de Não Anulamento) Sejam (R,m) local e M um R- módulo não nulo finitamente gerado de dimensão d. Então, H_m^d(M)6= 0.

Assim nas hip´oteses do teorema acima, em vista do teorema de anulamento de Grothendieck, d=dimM ´e o menor inteiro para o qual H_mⁱ(M)6= 0.

Defini¸cão 1.29. Seja x um elemento de R e seja R_x a localiza¸cão de R em x. O complexo de ˇCech emx é o complexo:

Cˇ_x^• : 0→R −→^ι R_x →0,

(27)

com o módulo R de grau 0 e R_x de grau −1, onde ι(r) = r/1 é a aplica¸cão canônica.

Para uma sequˆenciax=x₁, . . . , x_n de elementos emR. Definimos oComplexo de ˇCech em x como sendo:

Cˇ_x^• = ˇC_x^•_n ⊗_R· · · ⊗_RCˇ_x^•_n Explicitamente

Cˇ_x^• :=

0→R→

n

M

1

R_x_i →M

i<j

R_x_i_x_j → · · · →R_x₁···x_n →0 .

Exemplo 1.30. (Complexo de ˇCech para n = 2) Vamos estudar efetivamente o caso n= 2.

Solu¸c˜ao 1.31. Sejam

Cˇ_x^• := 0→R −→^ι^x R_x →0,

Cˇ_y^• := 0→R−→^ι^y R_y →0.

Ent˜ao:

Cˇ_x^•⊗Cˇ_y^• := 0→R⊗R→^ι^∗ (R⊗R_y)⊕(R_x⊗R)→^τ^∗ R_x⊗R_y →0,

onde definimosι^∗(a⊗b) = (a⊗^b₁,^a₁⊗b) eτ^∗(a⊗_y^bm,_x^cm⊗d) = ^a₁⊗_y^bm−_x^cm⊗^d₁.Podem-se mostrar os isomorfismos R⊗R ∼=R, R⊗R_y ∼=R_y, R_x⊗R∼=R_x e R_x⊗R_y ∼=R_xy.De sorte que

Cˇ_x^•⊗Cˇ_y^• := 0→R →R_x⊗R_y →R_xy →0.

Para um R-m´odulo M, seja

Cˇ_x^•(M) = ˇC_x^• ⊗_RM OR-m´odulo

Hˇ_xⁱ(M) =Hⁱ( ˇC_x^•(M))

´e a i-´esima cohomologia de ˇCech de xem M.

Teorema 1.32. Sejam M um R-m´odulo, a ideal de R e x=x₁, . . . , x_n um sistema de elementos tais que p

(x) =√

a. Ent˜ao:

H_aⁱ(M)'Hⁱ( ˇCx⊗M)

Demonstra¸c˜ao. Para demonstra¸c˜ao deste teorema, ver ([13], Teorema 7.13).

(28)

Proposi¸cão 1.33. O funtorH_aⁱ(−), i≥0, comuta com limites diretos, isto é, se {M_λ : λ∈Λ}é um sistema direto deR-módulos, então existe um isomorfismo natural:

H_aⁱ(lim

−→λ

M_λ)'lim

−→λ

H_aⁱ(M_λ) para qualquer i≥0

Demonstra¸c˜ao. Segue diretamente do teorema (1.32), e do fato que o limite direto comuta com produto tensorial.

Agora vamos descrever um m´etodo para calcular a cohomologia local a partir do limite direto de certo sistema direto deR-m´odulos.

Teorema 1.34. Seja a ideal de R. Para cada R-m´odulo M e para cada j ≥0, existe isomorfismo natural:

lim−→

t

Ext^j_R(R/a^t, M)'H_a^j(M) .

Demonstra¸c˜ao. J´a vimos que lim−→

t

Hom_R(R/a^t, M) = Γ_a(M)

SejaM^• uma resolu¸c˜ao injetiva de M. Ent˜ao, lim−→

t

Hom_R(R/a^t, M^•) = Γ_a(M^•)

Desde que H^j(−) comuta com limite direto, a identifica¸c˜ao anterior resulta num isomorfismo natural:

lim−→

t

Ext^j_R(R/a^t, M) = lim−→

t

H^j(Hom_R(R/a^t, M^•))'H^j(Γ_a(M^•)) = H_a^j(M)

Proposi¸cão 1.35. SejaM um R-módulo finitamente gerado. Então H_mⁱ(M)'H_mⁱ(M)⊗_RRˆ 'H_mⁱ_ˆ( ˆM),

onde ˆM denota o completamento m-´adico de M.

Demonstra¸cão. Como H_mⁱ(M) é artiniano ([4], Teorema 7.1.3), podemos escrevê-lo como limite direto de submódulos Nj de comprimento finito³ e para cada Nj temos

(29)

N_j⊗_RRˆ 'N_j ([24], Lemma 2.1). Assim,

H_mⁱ(M)'lim−→N_j 'lim−→(N_j ⊗_RR)ˆ '(lim−→N_j)⊗_RRˆ 'H_mⁱ(M)⊗_RR.ˆ Usando o teorema anterior e a platitude de ˆR, temos:

H_mⁱ(M)⊗_RRˆ 'lim−→

t

Extⁱ_R(R/mˆ^t, M)⊗_RRˆ 'lim−→

t

Extⁱ_R_ˆ( ˆR/mˆ^t,Mˆ)'H_mⁱ_ˆ( ˆM) .

O pr´oximo teorema encontra-se demonstrado em ([4]).

Teorema 1.36. Sejam f : R → S um homomorfismo de an´eis noetherianos, a um ideal de R e i∈Z.

(1) (Teorema da independência) SejaM umS-módulo. EntãoH_aⁱ(M)∼=H_aSⁱ (M)como S-módulos. (a primeira cohomologia local é considerada sobre o anel R).

(2) (Teorema da mudan¸ca de base plana) Assuma que f é um homomorfismo plano e M um R-módulo. Então existe um isomorfismo

H_aⁱ(M)⊗_RS∼=H_aSⁱ (M ⊗_RS).

Observa¸c˜ao 1.37. Note que os homomorfismos R → Rb e R → R_p s˜ao planos e pelo item 2 do teorema acima tem-se:

H_aⁱ(M)⊗_RRb∼=H_aⁱ

Rb(M ⊗_RR)b e

H_aⁱ(M)⊗_RR_p ∼=H_aRⁱ _p(M⊗_RR_p).

1.3 Dualidade de Matlis

Seja (R,m) anel local, E = E_R(R/m) a envolt´oria injetiva do corpo residual k = R/m. Usaremos ˆR para denotar o completamento m-´adico lim←−

n∈N

R/mⁿ e (−)^∨ o funtor R-linear, exato e contravariante Hom(−, E). Para cada R-m´odulo M, chamaremos (M)^∨ o Dual de Matlis de M. Note que (R)^∨ = Hom(R, E)'E.

Proposi¸c˜ao 1.38. O homomorfismo natural ˆR →E^∨ = Hom(E, E) ´e um isomorfismo.

Em sua tese de doutorado na Universidade de Chicago, Eben Matlis demonstrou o seguinte resultado fundamental de dualidade:

(30)

Teorema 1.39. Sejam (R,m) anel noetheriano local completo, N um R-módulo Arti- niano e M um R-módulo finitamente gerado. Então

a) R^∨ =E e E^∨ =R

b) M^∨ ´e artiniano e N^∨ ´e finitamente gerado b) N^∨∨ 'N e M^∨∨ 'M

Demonstra¸c˜ao. Vide ([6], teorema 3.2.13).

Aqui listamos outras propriedades do funtor dual de Matlis.

Proposi¸cão 1.40. Sejam M um R-módulo injetivo eN um R-módulo plano. Então:

a) (M)^∨ é um R-módulo plano b) (N)^∨ é um R-módulo injetivo

Demonstra¸cão. a) Pelo critério de platitude ([19], Teorema 7.7), basta analisarmos (M)^∨ para um ideal finitamente gerado a⊆R. Considere a sequência exata 0→ a → R aplicando o funtor contravariante Hom(−, M), exato pois M é injetivo, temos Hom(R, M) → Hom(a, M) → 0 que aplicando o funtor contravariante (−)^∨ tem-se

0→Hom(Hom(a, M), E)→Hom(Hom(R, M), E) Sendo que

Hom(Hom(a, M), E)'a⊗Hom(M, E) e Hom(Hom(R, M), E)'R⊗Hom(M, E) Com isso, tem-se

0→a⊗Hom(M, E)→R⊗Hom(M, E) ou seja, (M)^∨ ´e um R-m´odulo plano.

b) Considere uma sequência exata deR-módulos 0→L→P, SendoN éR-módulo plano, temos:

0→L⊗N →P ⊗N Aplicando o funtor contravariante (−)^∨ tem-se

Hom(P ⊗N, E)→Hom(L⊗N, E)→0

(31)

Pelo isomorfismo de adjun¸c˜ao:

Hom(P ⊗N, E)'Hom(P,(N)^∨) e Hom(L⊗N, E)'Hom(L,(N)^∨) Logo,

Hom(P,(N)^∨)→Hom(L,(N)^∨)→0 ou seja, Hom(−,(N)^∨) ´e exato da´ı segue que (N)^∨ ´e injetivo.

Proposi¸cão 1.41. Sejaf :M →N um homomorfismo de R-módulos. Então:

f ´e um isomorfismo⇔(f)^∨ : (N)^∨ →(M)^∨ ´e um isomorfismo.

Demonstra¸c˜ao. Como (−)^∨ ´e um funtor,

f :M →N ´e isomorfismo⇒D(f) :D(N)→D(M) ´e um isomorfismo.

Reciprocamente, o homomorfismo de R-m´odulos f : M → N induz a sequˆencia exata:

0→kerf →M →N →cokerf →0 Aplicando o funtor exato contravariante D(−):

0→D(cokerf)→D(N)−^D(f)−−→D(M)→D(kerf)→0

Assim, D(cokerf) = kerD(f) e D(kerf) = cokerD(f). SendoD(f) um isomorfismo, kerD(f) = 0 = cokerD(f) Isto implica que kerf = 0 = cokerf, ou seja f :M →N ´e um isomorfismo.

Proposi¸cão 1.42. Sejam M eN dois R-módulos. Então:

a) (Tor^R_i (M, N))^∨ 'Extⁱ_R(M,(N)^∨)

b) Assumindo que M seja finitamente gerado, (Extⁱ_R(M, N))^∨ 'Tor^R_i (M,(N)^∨).

Demonstra¸cão. a) Seja F resolu¸cão livre de M. Então Tor^R_i (M, N) = H_i(F⊗N).

Com isso, (Tor^R_i (M, N))^∨ =DH_i(F⊗N))^∨ 'Hⁱ((F⊗N)^∨) Por outro lado,

(F⊗N)^∨ = Hom_R(F⊗N, E) ' Hom_R(F,Hom(N, E)) ' Hom_R(F,(N)^∨)

(32)

Tomando as cohomologias obtemos: Hⁱ((F⊗N)^∨)'Hⁱ(Hom_R(F,(N)^∨).

Assim, (Tor^R_i (M, N))^∨ 'Hⁱ((F⊗N)^∨)'Hⁱ(Hom_R(F,(N)^∨)'Extⁱ_R(M,(N)^∨).

b) Seja F resolu¸cão livre de M. Como M é finitamente gerado, cada termo de F pode ser escolhido de posto finito. Então

Tor^R_i (M,(N)^∨) = H_i(F⊗(N)^∨)

= H_i(F⊗Hom(N, E))

' H_i(Hom_R(Hom_R(F, N), E)) ' H_i((Hom(F, N)^∨))

' (Hⁱ(Hom(F, N)))^∨ ' (Extⁱ_R(M, N))^∨

(33)

An´ eis Invariantes

2.1 Grupo Agindo sobre um Anel

Nesta se¸cãoA é um anel (não necessariamente comutativo) eGé um subgrupo finito de Aut(A); o grupo dos automorfismos de G (sob a opera¸cão de composi¸cão de fun¸cões). Seja ϕ: G→Aut(A) um homomorfismo de grupos. Suponhamos que |G|é invers´ıvel emA. Nesta se¸cão iremos descrever algumas propriedades básicas de grupos agindo sobre um anelA∗_ϕGao qual iremos necessitar no futuro.

Defini¸c˜ao 2.1. Um grupo agindo sobre um anel Ainduzido por ϕ´e o anel das somas formais

A∗_ϕG= (

X

σ∈G

a_σσ | a_σ ∈A )

.

A opera¸c˜ao de soma feita componente a componente, ou seja, X

σ∈G

a_σσ+X

σ∈G

b_σσ =X

σ∈G

(a_σ+b_σ)σ.

A opera¸cão de multiplica¸cão é definida por

(a_σσ)(a_ττ) = a_σϕ(σ)(a_σ)στ.

Observa¸cão2.2. Por questão de comodidade de nota¸cão, escrevemosϕ(σ)(aσ) = ϕσ(aσ).

Quando n˜ao houver perigo de confus˜ao, escrevemos A∗_ϕG=A∗G.

Proposi¸cão 2.3. Com as opera¸cões acima, temos que A∗Gé um anel.

Demonstra¸cão. Por constru¸cão, já temos um grupo Abeliano (A,+). Resta verificar que os axiomas da multiplica¸cão são compat´ıveis com os da soma. Sejama_σ, b_τ, c_υ ∈A

(34)

eσ, τ, υ ∈G. Para facilitar a escrita, fazemos a_σ =a, b_τ =b, c_υ =c. Notemos que:

(aσ·bτ)·cυ = (aϕ_σ(b)στ)·cυ =aϕ_σ(b)ϕ_στ(c)στ υ =aϕ_σ(bϕ_τ(c))aσυ =aσ·(bϕ_τ(c)τ υ)

=aσ·(bτ ·cυ),

onde na terceira igualdade usamos o fato deϕ ser um homomorfismo de grupos. Por- tanto, provamos a associatividade da multiplica¸c˜ao. Al´em disso, tem-se

aσ·1_A1_G =aϕ_σ(1_A)σ1_G =aσ = 1_Aϕ₁_G(a)1_Gσ= 1_R1_G·aσ.

Então,A∗Gcontém identidade para a opera¸cão de multiplica¸cão. Agora iremos provar que a multiplica¸cão é distributiva em rela¸cão à soma. Para todosa, b, c∈Aeσ, τ, υ ∈G tem-se

aσ·(bτ +cυ) = a(ϕ_σ(b)στ +ϕ_σ(c)συ) =aϕ_σ(b)στ +aϕ_σ(c)συ=aσ·bτ +aσ·cυ, (bτ +cυ)·aσ= (bϕ_τ(a)τ +cϕ_υ(a)υ)σ=bϕ_τ(a)τ σ+cϕ_υ(a)υσ =bτ ·aσ+cυ·aσ.

Portanto todos os axiomas de anel s˜ao verificados e a prova est´a completa.

Exemplo 2.4. (Anel de grupo) Seja R um anel e G um grupo finito. Quando o homomorfismo de gruposφ ´e trivial, isto ´e,

φ :G→Aut(R), g 7−→id_R, ∀g ∈ G, ent˜ao R∗_ϕG ´e chamado anel de grupo e denotado por R[G].

Exemplo 2.5. (Polinômio de Laurent) Seja A um anel. Recordemos que o anel dos polinômios de Laurent com coeficientes em A é dado por R[x, x⁻¹] = {a−mx^−m +

· · ·+a−1x⁻¹ +a₀ +a₁x+· · ·+ a_nxⁿ : m, n ∈ N, a_i ∈ A} onde a soma é definida componente a componente, e a multiplica¸cão é dada por a_mx^m ·a_nxⁿ = a_mb_nx^m+n. Agora suponhamos que existe um homomorfismo de grupos ϕ:Z→Aut(A), digamos n 7→ (a 7→ na). Define-se por anel de grupo de Polinômios de Laurent induzido por ϕ como sendo o anel A[x, x⁻¹, ϕ] cujo grupo Abeliano é A[x, x⁻¹] e a multiplica¸cão é definida por a_mx^mb_nxⁿ=a_mϕ(m)(b)x^m+n.

Exemplo 2.6. Sejam R um anel comutativo eG=hgi um grupo c´ıclico de ordemn.

Tem-se o seguinte homomorfismo de grupos:

(35)

Pode-se provar (com um pouco de trabalho alg´ebrico) que Rⁿ∗_ϕG∼=Mn×n(R).

Observa¸cão 2.7. Dizemos queM é umA∗G-módulo⇔M é umA-módulo,Gage sobre M (visto como grupo Abeliano) e para todo a ∈ A e m ∈ M, σ ∈ G : ϕ(σ)(am) =e ϕ(σ)(a)ϕ(σ)(m),e onde ϕe : G → Aut_Z(M). Para facilitar a escrita, a partir de agora iremos denotar ϕ(σ)(m) =e σ(m).

Defini¸cão 2.8. SejaM um A∗G-módulo. Então

M^G ={m ∈M | σ(m) = m,∀ σ∈G}.

em particular, o conjuntoA^G ={a∈A |σ(a) =a, ∀ σ ∈G}´e o anel dos invariantes deG.

Claramente,M^G´e umA^G-m´odulo. Com efeito, dadosa, b∈A^G, m, n∈M^G, σ ∈G verificamos que

σ((a+b)m) =σ(am+bm) =σ(am) +σ(bm)

=σ(a)σ(m) +σ(b)σ(m)

=am+bm

= (a+b)m, analogamente,σ(a(m+n)) = a(m+n), etc.

Pode-se mostrar que um homomorfismo f : M → M⁰ de A∗G-módulos é uma aplica¸cão tal que

• f(m+m⁰) = f(m) +f(m⁰), ∀m, m⁰ ∈M;

• f(am) = af(m), ∀ m ∈M, a ∈A;

• σ(f(m)) =f(σ(m)), ∀m ∈M, σ∈G;

Também é fácil verificar que se µ : M → N é A∗G-linear então µ(M^G) ⊆ N^G e a restri¸cão ao mapa µe : M^G → N^G é A^G-linear. Então temos o functor (−)^G : mod(A∗G)→mod(A^G).

Exemplo 2.9. A´e um A∗G-m´odulo.

Solu¸c˜ao 2.10. Tem-se a identifica¸c˜ao X

σ∈G

a_σσ

!

α=X

σ∈G

a_σσ(α), onde α ∈ A.

Os demais detalhes s˜ao deixados a cargo do leitor.