Tópico 4 Leis de conservação 2020 FUNDAMENTOS DE MECÂNICA DO CONTÍNUO APLICADA A SÓLIDOS

FUNDAMENTOS DE MECÂNICA DO

CONTÍNUO APLICADA A SÓLIDOS

Tópico 4 – Leis de conservação

INTRODUÇÃO

As soluções dos problemas de mecânicas dos sólidos devem satisfazer simultaneamente (tempo e posição) três condições:

- equações de equilíbrio (ou de movimento)

- condições geométricas (ou compatibilidade entre deslocamentos e deformações)

- leis constitutivas de materiais (ou relações entre tensão e deformação)

Condições iniciais e de contorno nos esforços e nos deslocamentos estão embutidas nos dois primeiros itens

INTRODUÇÃO

3

Condições estáticas (ou dinâmicas)

Equações de equilíbrio para uma análise estática:

ij – campo de tensões

ρb_i – forças de campo

F_i – forcas de superfície

nos pontos da superfície nos pontos internos

(três equações de equilíbrio)  n i j ji

t



n



0 ji i j b x





   

0

forças







momentos



0

ij ji







INTRODUÇÃO

2ª Lei de Newton – Principio Fundamental da Dinâmica

Quando aplicamos uma mesma força em dois corpos de massas diferentes observamos que elas não produzem aceleração igual. A 2ª lei de Newton diz que a Força é sempre diretamente

proporcional ao produto da aceleração de um corpo pela sua massa, ou seja: u_i – deslocamento v_i – velocidade a_i – aceleração i i

F



ma

F_i – força m – massa

CONSERVAÇÃO DE

QUANTIDADE DE MOVIMENTO

5

A lei da conservação da quantidade de movimento ΛΛ_ii de

elemento

pequeno do corpo

de volume ΔVΔV de massa mm deriva da 2ª lei de Newton, e determina que a taxa de variação da quantidade de movimento é igual à força total aplicada ao

elemento

(

)

i i i i i V

D

D

D

F

v dV

mv

ma

Dt

Dt

_



Dt



 







Para um meio continuo a força resultante consiste nas forças de campo que atuam no volume ΔV ΔV e das trações que atuam na superfície ΔSΔS. Então, a lei da conservação da quantidade de movimento fica: ( )n i i i V V S

D

v dV

b dV

t dS

Dt



_







_







_ i i V

v dv





 



CONSERVAÇÃO DE

QUANTIDADE DE MOVIMENTO

( )n i i i V V S

D

v dV

b dV

t dS

Dt



_







_







_ como: ( )n i ji j

t





n

ji ji j j S V n dS dV x       





Aplicando o Teorema da Divergência

i i ji j V V S

D

v dV

b dV

n dS

Dt



_







_







_



ji i i j V V

D

v dV

b dV

Dt

x







 









_

_



_

_











CONSERVAÇÃO DE

QUANTIDADE DE MOVIMENTO

7 ij i i j

b

a

x















Se estas condições são válidas para um qualquer volume ΔV então são válidas para todo o volume V

b

a

x

 



  



ou 31 11 21 1 1 1 2 3 32 12 22 2 2 1 2 3 13 23 33 3 3 1 2 3 b a x x x b a x x x b a x x x







_

_







_

_







_

_

  _  _{  }      _  _{  }     _  _  _{ }   

0

ji j

x









No caso de equilíbrio estático e desprezando o peso próprio

CONSERVAÇÃO DE

QUANTIDADE DE MOVIMENTO

Balanço da quantidade de movimento em termos de outros tensores de tensões e deformações: 0 0

1

ij i i j

b

a

J x















Tensor de tensões de Kirchhof

Tensor de tensões de Kirchhof

Tensor de tensões de Piola-Kircchof 1º

Tensor de tensões de Piola-Kircchof 1º

Tensor de tensões de Piola-Kircchof 2º

Tensor de tensões de Piola-Kircchof 2º

0 0

1

.

b

a

J

 

 





0 0 ij i i j

P

b

a

x













 

.

P



0

b





0

a

0 0

(

_{ik jk}

)

i i j

F

b

a

x





 







.

0

b

0

a

T











_

Σ F



_





CONSERVAÇÃO DE MOMENTO

CINÉTICO

9

A lei da conservação de momento cinética de elemento pequeno do corpo de volume ΔVΔV de massa mm deriva determina:









F x

x F

x

v

V

D

D

m

dV

Dt

Dt

_



 









Para um meio continuo o momento cinético consiste nas forças de

campo que atuam no volume ΔV ΔV e das trações que atuam na superfície

ΔS

ΔS vezes o braço xx. Então, a lei da conservação de momento cinético

fica: _{( )}

x

v

x

x t

n V V S

D

dV

bdV

dS

Dt



_









_









_



( )n

ijk j k ijk j k ijk j k

V V S

D

x v dV

x b dV

x t dS

CONSERVAÇÃO DE MOMENTO

CINÉTICO

( )n

ijk j k ijk j k ijk j k

V V S

D

x v dV

x b dV

x t dS

Dt



_









_





 



_ como: ( )n i ji j

t





n

Aplicando o Teorema da Divergência

ijk j k ijk j k ijk j mk m

V V S D x v dV x b dV x n dS Dt



_   



_    



_ 





ijk j k ijk j rk j k r V V D x v dV x x b dV Dt _



_ x





      _  _   





ijk i rk ijk i rk r r S V x x n dS dV x        





CONSERVAÇÃO DE MOMENTO

CINÉTICO

11





ijk j k ijk j rk j k r V V D x v dV x x b dV Dt _



_ x





 _     _  _   





0 ji i i j b a x        

Considerando a conservação de momento cinético:

Como:





j _rk j rk rk j r r r x x x x x x       _{ }   





0 j _rk ijk j rk j k j k ijk rk j k k r r r V ijk jr rk V x x x b x a dV x b a x x x dV                      _   _  _  _   _      _   _   





ijk j k ijk j k V V D x v dV x a dV Dt



_   



_  

e:

j ir r x x     0 ji i i j b a x        

CONSERVAÇÃO DE MOMENTO

CINÉTICO

Se a conservação de momento cinético é válida para um qualquer volume ΔV então é válidas para todo o volume V

0 ijk

 

jr rk   0 ijk jr rk V dV     







0 ijk jr rk ijk jk imn ijk jk jm kn mk nj jk mn nm

 





 

  





            ij ji







_ou

 

_

T

CONSERVAÇÃO DE MASSA

13

Se o material é incompressível:

0

det( )

dV

F

J

dV





det( ) 1

F



Para pequenas deformações:

det( ) 1

i

1

ii i

u

F

X





 

 



Dilatação:

1 2 3

( )

ii

tr





  

 



  

CONSERVAÇÃO DE MASSA

Forma Lagrangeana

0 0

det( )

dV

F

dV









0 0 ₀ 0

lim

V

m

V



 







A massa de um volume

ΔV

ΔV

material permanece constante

durante a deformação, então:

Considerando:

_e

0

lim

V

m

V



 







det( ) 0

F



Se

_{det( ) 0}

_F

_

então:

  

V

0

e

 

V

0

CONSERVAÇÃO DE MASSA

15

Forma Euleriana

v n

V S

dV

dS

t



_

 



_{ }

_







Considere-se elemento pequeno do corpo

ΔV

ΔV

com superfície

ΔS

ΔS

fixa no espaço relativamente a referencial fixo. A

conservação de massa pode ser expressa em termos do

equilíbrio da massa de entra e sai pela superfície

ΔS

ΔS

.

Aplicando o teorema da divergência:

 

v

0

V

dV

t



_







_{ }



_



_









 

v n v 0 S V dS dV        





CONSERVAÇÃO DE MASSA

Forma Euleriana

i i

D

v

Dt

t

x



_





_









Como

ΔV

ΔV

é uma região arbitrária, isto é, válido para qualquer

volume. Então:

Derivada material:

 

v 0 t  _    

ou

     __t v   v 0

ou

i i 0 i i v v t x x  _{ }   _  _{ }   

Se o material é incompressível, então:

D

₀

Dt



_

_{ρ é constante em ρ} cada partícula

Então:

0 i i v x    0 v   

ou

_Logo:

D_ii  0

ou

tr( ) 0D 

CONSERVAÇÃO DE

ENERGIA

17

1

2

_V i i

K



v v dV







A energia cinética KK elemento pequeno do corpo (de volume ΔΔVV que

contem o ponto PP) é definida por:

A energia de deformação EE acumulada devido à aplicação de forças externas em um elemento pequeno do corpo (de volume ΔΔVV que

contem o ponto PP) em termos da densidade de energia ee é definida por:

V

E



edV







CONSERVAÇÃO DE

ENERGIA

De acordo com a primeira lei da termodinâmica para haver

conservação da energia (desconsiderando as trocas de calor) num elemento pequeno do corpo (de volume ΔΔVV que contem o ponto PP) a taxa de trabalho é igual à taxa de energia interna:





D

K E

W

Dt





&

( )n i i i i j ij i i i S V S V

W

t v dS



b v dV

n



v dS



b v dV

   

















&

Onde a taxa de trabalho é definida:

Onde a taxa de trabalho é definida:

ji i j ij i ji i j j S V v n v dS v dV x x       _    _  _    





CONSERVAÇÃO DE

ENERGIA

19 ji i ji i i j j V

v

W

b v dV

x

x











_

_

_

_







_



_

_



_

_



_



_



_







&

Considerando a conservação de momento cinético ij  ji ji i i j b a x        Considerando a conservação de quantidade de movimento





1 1 2 2 j i i i ji ij ji ij j j j i v v v v x x x x  _    _   _{ }  _ _  

Considerando a taxa de estiramento: 1

2 j i ij j i v v D x x  _    _  _    



ij ij i i



V

W



D



a v dV









&

DE

Dt

DK

Dt

Energia potencial de deformação elástica

CONSERVAÇÃO DE

ENERGIA

 

1

1

2

2

i i i i i i i i V V V V

Dv

D

D

a v dV

v dV

v v dV

v v dV

Dt

Dt

Dt









   























1

2

1

2

i i V V ji ij i i ji ij i i V V V ji ij i i V V

D

D

D

W

K E

v v dV

edV

Dt

Dt

Dt

D

a v dV

D dV

a v dV

D

D dV

v v dV

Dt

















      







































&



ji ij i i



V

W



D



a v dV









&

K E ji ij V V D edV D dV Dt



_  



_  ji ij D e D Dt  

PRINCIPIO DOS

TRABALHOS VIRTUAIS

21

Forma diferente de escrever a equação para o balanço para a

Forma diferente de escrever a equação para o balanço para a

quantidade de movimento quantidade de movimento ij i i j

b

a

x















Define-se um campo de velocidade virtual admissível

cinematicamente δv(x)=0δv(x)=0 (i.e continuo e diferenciável) em um elemento pequeno do corpo de volume ΔΔVV que contem o ponto PP.

δv

δv representa uma perturbação na velocidade mantendo as condições de fronteira. i ij j

v

L

x











1

2

j i ij j i

v

v

D

x

x











_

_









_

_









PRINCIPIO DOS

TRABALHOS VIRTUAIS

Equação do trabalho virtual:

Equação do trabalho virtual:





( )n ij ij i i i i i i V V S

D

a v dV

b v dV

t

v dS

 

 

 



  













Taxa de trabalho virtual devido às forças internas

Taxa de trabalho virtual devido às forças externas





_i ji ij ij i i i i ji i j j V V V

v

D

a v dV

b v dV

v dV

x

x





 

 

 





  



_

_









_

_



_

_















ji i j ij i ji i j j S V v n v dS v dV x x          _    _  _    





Aplicando o Teorema da Divergência

int W

PRINCIPIO DOS

TRABALHOS VIRTUAIS

23 Então:





ji





ij ij ji i i ji i i i i i j j j D v v v a v b v x x x                       





1 1 2 2 j j i i i ij ij ij ji ij ji j i j i j ji ji i i j j v v v v v D x x x x x v v x x                 _    _   _  _  _  _  _                  ji i i i i i j v a v b v x          





ij ij i i ji i i i j D a v v b v x             

PRINCIPIO DOS

TRABALHOS VIRTUAIS

Principio dos trabalhos virtuais em termos de outros tensores de tensões e

deformações:





( )n ij ij i i i i i i V V S

D

a v dV

b v dV

t

v dS

 

 

 



  













F_ij=δ_ij+ ∂ui ∂X _j Relembrando: Gradiente de deformação Gradiente de deformação i i ij kj j j v v F F x X          &

Taxa virtual do gradiente

Taxa virtual do gradiente

de deformação de deformação





1 2 ij ki kj ki kj E F F F F

 &   &  &

Taxa virtual do tensor de

Taxa virtual do tensor de

deformação de Lagrange deformação de Lagrange





0 0 0 ( ) 0 0 0 0 n ij ij i i i i i i V V S D a v dV b v dV t v dS             







Em termos do tensor de tensões de Kirchhof

Em termos do tensor de tensões de Kirchhof

Em termos do tensor de tensões de Piola-Kircchof 1º

Em termos do tensor de tensões de Piola-Kircchof 1º

Em termos do tensor de tensões de Piola-Kircchof 2º

Em termos do tensor de tensões de Piola-Kircchof 2º





0 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 n ij ij i i i i i i V V S P F  a v dV  b v dV t v dS      



&









( ) 0 0 0 0 0 n ijEij  a v dVi i  b v dVi i ti v dSi    



&





PRINCIPIO DOS

TRABALHOS VIRTUAIS

25

Principio dos trabalhos virtuais para deformações infinitesimais:





( )n ij ij i i i i i i V V S

D

a v dV

b v dV

t

v dS

 

 

 



  













Relembrando: ₁ 2 j i ij j i v v X X     _    _     &

Taxa virtual do tensor de

Taxa virtual do tensor de

deformação de infinitesimal deformação de infinitesimal





( )n ij ij i i i i i i V V S

a v dV

b v dV

t

v dS

 

 

 



  









&





Fica:

Esta expressão pode ser usada para uma análise estática considerando a_i=0.

Então, o estado de tensão satisfaz as condições de equilíbrio ( ) e as

condições de fronteira ( )

Não há diferença entre ΔV e ΔV₀ ou entre ΔS e ΔS₀

 n i j ji t  n  0 ji i j b x       ( )n ij ij i i i i V V S dV b u dV t u dS          







int W





W_ext