Análise teórica e proposta para determinação experimental do coeficiente de atrito de rolamento em um plano inclinado

An´ alise te´ orica e proposta para determina¸c˜ ao experimental do coeficiente de atrito de rolamento em um plano inclinado

(Theoretical analysis and proposal for experimental determination of the coefficient of rolling friction on an inclined plane)

A.V. Andrade-Neto ¹ , J.A. Leyva-Cruz

Departamento de F´ısica, Universidade Estadual de Feira de Santana, Feira de Santana, BA, Brasil Recebido em 21/4/2015; Aceito em 20/6/2015; Publicado em 12/12/2015

Neste trabalho analisamos o rolamento de um corpo sobre um plano inclinado relaxando a hip´ otese de corpo r´ıgido, isto ´ e, consideramos o corpo como deform´ avel. A partir das equa¸ c˜ oes de movimento obtemos uma ex- press˜ ao anal´ıtica para a acelera¸ c˜ ao do centro de massa do corpo. Mostramos que casos conhecidos na literatura podem ser obtidos como casos particulares da nossa express˜ ao. Adicionalmente, obtemos uma express˜ ao para o coeficiente de atrito de rolamento o qual pode ser calculado a partir de medidas experimentais realizadas num plano inclinado.

Palavras-chave: plano inclinado, rolamento, atrito de rolamento.

In this work we have examined the motion of a body that rolls on an inclined plane, without the assumption of a rigid body. Under these conditions, the body may suffer small deformations. From the equations of motion we obtain an analytical expression for the acceleration of the center of mass. We show that some cases reported in the literature can be obtained as special cases of our expression. In addition, we obtain an expression for the friction coefficient of rolling, which can be calculated from experimental measurements performed on an inclined plane. These results can be used for students of physics to do a deeper analysis of the friction phenomenon associated with rolling bodies.

Keywords: inclined plane, rolling, rolling friction.

1. Introdu¸ c˜ ao

A importˆ ancia da utiliza¸c˜ ao de atividades experimen- tais como recurso did´ atico relevante no ensino de f´ısica

´

e amplamente reconhecida e, simultaneamente, possi- bilita um vasto leque de enfoques e possibilidades [1].

Dentre os aspectos que enfatizam essa importˆ ancia, s˜ ao apontados o est´ımulo para uma participa¸ c˜ ao mais ativa dos alunos bem como a cria¸c˜ ao de situa¸c˜ oes que concor- ram para os estudantes refletirem acerca de suas ideias sobre os fenˆ omenos e conceitos f´ısicos,

O plano inclinado ´ e um sistema muito simples e facilmente encontrado em um laborat´ orio did´ atico de f´ısica. Apesar de sua grande simplicidade ´ e um sistema de enorme potencial did´ atico, como atestam diversos trabalhos publicados na RBEF [2–4]. Adicionalmente, ele possui um grande interesse hist´ orico pois as leis do movimento uniformemente acelerado, descobertas por Galileo Galilei, foram estabelecidas a partir de expe- rimentos utilizando o plano inclinado, apesar das dis- cuss˜ oes entre os historiadores da ciˆ encia acerca do pa-

pel das atividades experimentais de Galileo [5, 6]. De qualquer modo, em uma enquete realizada pela revista Physics World entre seus leitores em 2002, o experi- mento de Galileo do plano inclinado aparece na rela¸c˜ ao dos dez mais belos experimentos de todos os tempos.

Do ponto de vista te´ orico, o plano inclinado ´ e tra- tado em todos os livros de mecˆ anica de f´ısica b´ asica, nos quais aparece como um dos primeiros exemplos das aplica¸c˜ oes das leis de Newton. Em geral esse sistema aparece na seguinte sequˆ encia. Inicialmente considera- se o movimento de um bloco (modelado como uma part´ıcula) em um plano inclinado sem atrito e encontra- se sua acelera¸c˜ ao [a = g sin θ, onde g ´ e a acelera¸c˜ ao local da gravidade e θ ´ e o ˆ angulo de inclina¸c˜ ao do plano relativamente ` a horizontal]. Depois, quando se estuda a for¸ca de atrito, determina-se a acelera¸c˜ ao da part´ıcula no plano inclinado levando-se em conta o atrito entre o plano e a part´ıcula e encontra-se o valor [a = g(sin θ − µ cos θ), onde µ ´ e o coeficiente de atrito cin´ etico]. Finalmente, no estudo de rolamento de cor- pos r´ıgidos, o plano inclinado tamb´ em aparece. Nesse

1

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caso a acelera¸c˜ ao do corpo r´ıgido ´ e dada pela express˜ ao [a = R ² /(R ² + k ² )g sin θ], onde R ´ e o raio da se¸ c˜ ao cir- cular do corpo (uma esfera, um cilindro ou um anel) e k ´ e o raio de gira¸ c˜ ao do corpo. Em geral analisa-se uma corrida entre uma esfera, um cilindro e um anel, larga- dos do repouso de uma determinada altura, e conclui-se que a esfera ganha a corrida com o anel chegando em

´

ultimo lugar.

O objetivo do presente trabalho ´ e analisar o mo- vimento de rolamento em plano inclinado, levando em conta o atrito de rolamento, i.e., levando em conta a de- forma¸ c˜ ao dos corpos. Com esse procedimento obtemos uma express˜ ao anal´ıtica para o coeficiente de atrito de rolamento, cujo valor num´ erico pode ser determinado experimentalmente.

O presente artigo est´ a organizado da seguinte forma.

Na Se¸c˜ ao 2 apresentamos o desenvolvimento te´ orico do movimento de rolamento sobre um plano inclinado.

Na Se¸ c˜ ao 3 discutimos experimentos de rolamento em plano inclinado realizados com esfera. Esses experimen- tos s˜ ao analisados ` a luz da teoria desenvolvida na Se¸c˜ ao 2. Na Se¸ c˜ ao 4 apresentamos nossas considera¸ c˜ oes finais.

2. Rolamento em plano inclinado - Abordagem te´ orica

As for¸ cas que atuam sobre um corpo deform´ avel que rola em um plano inclinado est˜ ao indicadas na Fig. 1.

Devido ` a deforma¸c˜ ao do corpo, o ponto de aplica¸ c˜ ao da for¸ ca normal N ser´ a deslocado para frente por uma distˆ ancia x em rela¸ c˜ ao ao ponto em que N atua no caso do corpo indeform´ avel (centro de massa do corpo) [7–9].

Aplicando a segunda lei de Newton e considerando um rolamento puro (sem deslizamento) temos que

P sin θ − F _at = M a _cm , (1) onde P = Mg ´ e o m´ odulo da for¸ca peso, F _at ´ e o m´ odulo da for¸ ca de atrito, M ´ e a massa do corpo que rola e a _cm ´ e a magnitude da acelera¸c˜ ao do centro de massa do corpo em rela¸c˜ ao a um referencial inercial.

A for¸ca de atrito exerce um torque sobre o corpo que o faz girar no sentido hor´ ario. Tomando esse sen- tido como positivo e tomando como referˆ encia o centro de massa do corpo temos que

Figura 1 - For¸ cas que atuam sobre um corpo deform´ avel que rola num plano inclinado. A for¸ ca normal est´ a deslocada de uma distˆ ancia x em rela¸ c˜ ao ` a posi¸ c˜ ao de um corpo perfeitamente r´ıgido.

F _at R − N x = Iα = M k ² α , (2) onde R ´ e o raio da se¸c˜ ao circular do corpo, I ´ e o mo- mento de in´ ercia do corpo e k ´ e o raio de gira¸c˜ ao (para uma esfera k ² = 2R ² /5, para um cilindro k ² = R ² /2 e para um anel k ² = R ² ).

Da Eq. (2) temos que

F at = M k ² α + xP cos θ

R . (3)

Substituindo a Eq. (3) na Eq. (1) e usando a con- di¸c˜ ao de rolamento puro (α = a/R) e a defini¸ c˜ ao de coeficiente de atrito de rolamento (µ r = x/R) encon- tramos para a acelera¸c˜ ao do centro de massa do corpo

a cm = ( R ²

k ² + R ² )

g(sin θ − µ r cos θ), (4) com

R ² (R ² + k ² ) =

 



5

7 , para uma esfera

2

3 , para um cilindro

1

2 , para um anel

(5) Alguns casos conhecidos na literatura podem ser ob- tidos como casos particulares da Eq. (4) conforme des- crito a seguir.

(a) Corpo perfeitamente r´ıgido.

Para essa situa¸c˜ ao temos que µ r = 0 e obtemos a cm =

( R ² k ² + R ²

)

g sin θ . (6) (b) Movimento em um plano horizontal.

Para esse caso θ = 0 e a Eq. (4) torna-se a cm = −

( R ² k ² + R ²

)

gµ r , (7) que ´ e a Eq. (18) da Ref. [7].

2.1. Express˜ ao para o coeficiente de atrito de rolamento

Veremos agora como podemos obter uma express˜ ao para o coeficiente de atrito de rolamento a partir da an´ alise do movimento de um corpo que rola em um plano inclinado.

Como o movimento ´ e uniformemente acelerado e considerando que o corpo parte do repouso de uma al- tura h e percorre uma distˆ ancia L no plano inclinado (Fig. 2), a velocidade do centro de massa do corpo ao final da distˆ ancia L ´ e dada pela express˜ ao

V _{f cm} ² = 2a cm L = 2a cm

h sin θ = ( R ²

k ² + R ² )

2gh (

1 − µ _r tan θ

)

. (8)

Da Eq. (8) obtemos a seguinte express˜ ao para o

coeficiente de atrito de rolamento

Figura 2 - Esquema da montagem experimental que envolve ro- lamento num plano inclinado e lan¸ camento obl´ıquo.

µ r = [

1 − ( R ²

k ² + R ² ) V _{f cm} ²

2gh ]

tan θ , (9) com

R ² + k ² R ² =

 



7

5 , para uma esfera

3

2 , para um cilindro 2, para um anel

(10)

Da Eq. (9) vemos que o coeficiente de atrito de ro- lamento pode ser calculado se conhecemos a altura h no plano inclinado em que a esfera ´ e solta, o ˆ angulo θ do plano e a velocidade do centro de massa da esfera no final do plano inclinado. As grandezas h e θ s˜ ao facilmente determinadas experimentalmente de forma direta, enquanto V _{f cm} ´ e obtido por m´ etodo indireto.

Na pr´ oxima Se¸ c˜ ao discutiremos algumas maneiras de se determinar V f cm .

3. Experimentos de rolamento de esfera em plano inclinado

3.1. Descri¸ c˜ ao dos experimentos

Nas Refs. [2] e [4] s˜ ao apresentados experimentos de ro- lamento de esfera em plano inclinado, nos quais V _{f cm} ´ e determinada. Esses experimentos ser˜ ao analisados aqui

`

a luz da teoria desenvolvida acima. Considerando ex- plicitamente o movimento de uma esfera a Eq. (4) fica

a _cm = 5

7 g(sin θ − µ _r cos θ) . (11) E para o coeficiente de atrito de rolamento obtemos da Eq. (9) que

µ r = (

1 − 7V _{f cm} ² 10gh

) tan θ =

(

1 − V _cm ² V _energia ²

) tan θ ,

(12) onde, conforme Eq. (17) adiante, V _energia ² = 10gh/7

´

e a velocidade determinada admitindo conserva¸ c˜ ao da energia mecˆ anica.

Na Ref. [2] ´ e descrito um experimento que tem como objetivo demonstrar a conserva¸ c˜ ao da energia mecˆ anica de uma esfera rolando em um plano inclinado. To- mando como n´ıvel zero de referˆ encia para a energia po- tencial gravitacional o ponto mais baixo do plano incli- nado e soltando a esfera do repouso, a energia mecˆ anica inicial ´ e dada por

E mi = M gh . (13)

Por sua vez, a energia mecˆ anica final ´ e dada pela express˜ ao

E mf = 7

10 M V _{f cm} ² . (14) A velocidade V _{f cm} foi determinada utilizando-se as equa¸ c˜ oes do lan¸camento de proj´ eteis (desprezando a re- sistˆ encia do ar). A velocidade inicial do lan¸camento obl´ıquo ´ e a velocidade final no plano inclinado e ´ e dada pela equa¸c˜ ao

V alcance = X cos θ

√ g

2(H − X tan θ) , (15) onde X ´ e o alcan¸ce m´ aximo, H ´ e a altura da mesa e θ

´ e o ˆ angulo do plano inclinado (Fig. 2).

Os valores calculados da energia mecˆ anica inicial e final, apresentados na Tabela 3 e Fig. 3 da Ref. [2], cla- ramente mostram que a energia mecˆ anica n˜ ao se con- serva e, mais grave, a energia mecˆ anica final ´ e maior que a inicial. Adicionalmente ´ e determinado o valor do coeficiente de atrito est´ atico entre a esfera e o plano inclinado embora, como os autores afirmam, isso n˜ ao fi- zesse parte dos objetivos originais do experimento. Os autores tamb´ em apontam que o resultado obtido para o coeficiente de atrito est´ atico (µ e = 0.18) ´ e divergente do valor encontrado por outro m´ etodo (µ e = 0.3). A explica¸c˜ ao aventada pelos autores do artigo em pauta, em termos de um coeficiente de atrito est´ atico “efetivo”,

´ e artificial e n˜ ao esclarece a f´ısica do problema.

Na Ref. [4] tamb´ em se descreve um experimento com esfera rolando em um plano inclinado. A velocidade da esfera no final do plano inclinado ´ e determinada por trˆ es maneiras diferentes:

(a) Inicialmente utiliza-se cronˆ ometros com senso- res digitais para se determinar o tempo gasto pela es- fera para percorrer o plano inclinado. A velocidade da esfera ´ e, assim, calculada pela express˜ ao

V sensor = 2L

t , (16)

onde L ´ e o comprimento do plano inclinado.

(b) No segundo m´ etodo utiliza-se as equa¸ c˜ oes do lan¸camento de proj´ eteis, conforme descrito acima e obt´ em-se a Eq. (15).

(c) A terceira maneira utilizada para calcular a ve-

locidade da esfera no final do plano inclinado foi atrav´ es

da conserva¸ c˜ ao da energia mecˆ anica. Se h ´ e a altura em

que a esfera ´ e abandonada, tem-se que

V energia =

√ 10gh

7 . (17)

A Eq. (17) pode tamb´ em ser obtida via cinem´ atica.

Para uma esfera perfeitamente r´ıgida temos que a cm = (5/7)g sin θ. A partir dessa express˜ ao, a Eq. (17) ´ e facilmente obtida.

3.2. An´ alise dos experimentos

Da Eq. (12) vemos que se a velocidade final V f cm

for calculada pelo m´ etodo da energia, i.e., se V f cm = V energia ent˜ ao µ r = 0. Isso ´ e o esperado j´ a que na hip´ otese de conserva¸ c˜ ao da energia mecˆ anica da esfera est´ a impl´ıcito o modelo de corpo perfeitamente r´ıgido, no qual µ r = 0. Assim, n˜ ao ´ e supreendente que em um experimento real, como aquele descrito na Ref. [2], que tenha como objetivo mostrar a conserva¸ c˜ ao da energia mecˆ anica de uma esfera rolando em um palno inclinado, est´ a condenado ao insucesso.

Isso fica mais claro quando analisamos a Eq. (11).

Dessa equa¸c˜ ao vemos que quando adotamos um mo- delo mais realista (corpo deform´ avel) a acelera¸ c˜ ao do centro de massa do corpo ´ e menor, em compara¸ c˜ ao com o modelo de corpo perfeitamente r´ıgido, por um fator (5/7)gµ r cos θ. Uma acelera¸ c˜ ao menor significa uma velocidade menor. Ent˜ ao, se V f cm ´ e calculada pela Eq. (17), obviamente esse valor est´ a superestimado em rela¸ c˜ ao ao valor real. Isso explicaria porque no traba- lho da Ref. [2] foi encontrado um valor para a energia mecˆ anica final maior que o valor inicial.

A Eq. (12) tamb´ em lan¸ca luz sobre os valores das velocidades obtidas via alcan¸ce horizontal. Os valores dessa grandeza apresentados na Ref. [4], s˜ ao cerca de 5 por cento maiores que os valores de velocidade cal- culados via conserva¸ c˜ ao de energia mecˆ anica. Como podemos ver da Eq. (12), se V _{f cm} > V _energia isso im- plica em µ _r < 0, o que obviamente ´ e um absurdo. A ex- plica¸ c˜ ao para esse fato vai al´ em da simples considera¸c˜ ao de um erro sistem´ atico do experimento. Isso mostra que n˜ ao se pode desprezar a resistˆ encia do ar no c´ alculo da Eq. (15). Pelo menos em situa¸c˜ oes que exigem deter- mina¸ c˜ ao razoavelmente precisa para a grandeza V f cm .

Do exposto acima vemos que podemos estabelecer um crit´ erio para o maior valor admiss´ıvel para a veloci- dade V f cm . Esse valor ´ e justamente V _energia ² = 10gh/7.

Se o valor obtido para V f cm for tal que V f cm > V energia

isso significa que o m´ etodo para sua determina¸ c˜ ao ´ e ina- dequado ou, no m´ınimo, tem que ser visto com cautela.

Podemos tamb´ em determinar o coeficiente de atrito est´ atico. Da Eq. (3) obtemos que a for¸ca de atrito sobre a esfera ´ e dada por

F _at = 2

7 M g sin θ + 5

7 µ _r M g cos θ. (18) A for¸ca de atrito est´ atica m´ axima ´ e dada por

F _est = µ _e N = µ _e M g cos θ. (19) No inicio do deslizamento podemos igualar as Eqs. (18) e (19) e obtemos

µ e = 2

7 tan θ + 5

7 µ r . (20)

A Eq. (20) explica a discordˆ ancia entre os valores do coeficiente de atrito est´ atico entre a esfera e o plano inclinado, apontada na Ref. [2].

Vemos, ent˜ ao, que ´ e poss´ıvel, a partir de experi- mentos de rolamento em plano inclinado, determinar de forma relativamente simples o coeficiente de atrito de rolamento bem como o coeficiente de atrito est´ atico, via Eq. (12) e Eq. (20), respectivamente.

4. Considera¸ c˜ oes finais

Neste trabalho discutimos a dinˆ amica do movimento em um plano inclinado levando em conta o atrito de rola- mento, ou seja, consideramos um modelo mais realista que leva em conta a deforma¸c˜ ao dos corpos.

A partir dos resultados te´ oricos desenvolvidos aqui, analisamos os resultados dispon´ıveis em trabalhos pu- blicados na RBEF e mostramos que o coeficiente de atrito de rolamento pode ser facilmente calculado a par- tir de experimentos em plano inclinado.

Como vimos, para se determinar o coeficiente de atrito de rolamento ´ e necess´ ario conhecer a velocidade do centro de massa do corpo ao final da distˆ ancia L per- corrida no plano inclinado. Essa velocidade pode ser de- terminada se o tempo gasto para percorrer a distˆ ancia L for conhecida, conforme Eq. (16). Assim, para se obter valores precisos para V f cm ´ e necess´ ario ter ` a dis- posi¸c˜ ao um instrumento confi´ avel para a medida do tempo. Deve-se observar que essa quest˜ ao (a medida precisa do tempo) remota aos trabalhos de Galileo e foi sua motiva¸c˜ ao para realizar experimentos em plano inclinado.

Outro ponto importante que deve ser mencionado diz respeito ` a quest˜ ao do modelo f´ısico que est´ a sendo utilizado para interpretar (ou obter) os valores deter- minados a partir do experimento. Nos trabalhos aqui analisados, Refs. [2] e [4], est´ a impl´ıcito a utiliza¸c˜ ao de um modelo de corpo perfeitamente r´ıgido. Obviamente, tal modelo tem suas limita¸c˜ oes em uma situa¸c˜ ao real.

E interessante citar que essa situa¸c˜ ´ ao ilustra de

forma relativamente trivial uma famosa frase de Eins-

tein pronunciada num di´ alogo com Heisenberg sobre a

mecˆ anica quˆ antica [10]: “ ´ E a teoria que decide o que

podemos observar”. Vemos que ´ e o modelo f´ısico utili-

zado que “decide” o que pode ser medido. Este ´ e um

ponto que merece ser destacado mesmo em experimen-

tos did´ aticos.

Referˆ encias

[1] M.S.T. Araujo e M.L.V.S. Abib, Revista Brasileira de Ensino de F´ısica 25, 176 (2003)

[2] W. Silva, C.M. Silva, J.W. Precker, D.D. Silva, I.B.

Soares e C.D. Silva, Revista Brasileira de Ensino de F´ısica 25, 378 (2003).

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[5] Michael Segre, Caderno de F´ısica da UEFS 6, 87 (2008).

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[9] V.L.B. de Jesus, D.G.G. Sasaki, Revista Brasileira de Ensino de F´ısica 36, 3503 (2014).

[10] Werner Heisenberg, A Parte e o Todo (Editora Con-

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