PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
Edinalva Rodrigues Ferreira
Ensino de frações na Educação de Jovens e Adultos:
obstáculos didáticos e epistemológicos
MESTRADO PROFISSIONAL EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
São Paulo
PUC/SP
Edinalva Rodrigues Ferreira
Ensino de frações na Educação de Jovens e Adultos:
obstáculos didáticos e epistemológicos
MESTRADO PROFISSIONAL EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como requisito parcial para obtenção do título de MESTRE PROFISSIONAL em ENSINO DE MATEMÁTICA, sob orientação do Professor Doutor Gerson Pastre de Oliveira.
São Paulo
Banca Examinadora
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Autorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
A Deus, o meu sustentador, meu amparo e refúgio, minha força e socorro em meio às tantas aflições vividas nesta trajetória.
Ao meu orientador, Professor Doutor Gerson Pastre de Oliveira, não apenas pela orientação, mas por tudo que representou no desenvolvimento desta formação de Mestrado.
Aos meus pais que sempre me impulsionam para minhas conquistas, meus irmãos, familiares e amigos que compreenderam minha ausência em diversos momentos importantes, mas torceram e rezaram por mim.
À Equipe gestora da Escola Clorinda Ciampitti Perrella, na pessoa do Diretor Rubens Alves Ferreira, por acreditar e apoiar a minha formação não medindo esforços para possibilitar meu ingresso no programa, reorganizando meu horário de trabalho para atender a demanda do Programa do Mestrado.
Às Professoras Doutoras, Cileda de Queiroz e Silva Coutinho e Viviane Rezi Dobarro que fizeram parte da Banca Examinadora, contribuindo com sugestões relevantes para a pesquisa.
Às Professoras Doutoras Celia Maria Carolino Pires, Celina Abar, Barbara Lutaif Bianchini, Sonia Barbosa Camargo Igliori e Professor Doutor Gerson Pastre de Oliveira pelas marcantes aulas que proporcionaram iluminadoras reflexões sobre o ensino e aprendizagem de Matemática.
Aos colegas de curso: Helena, Neto, Claudia, Gabriel, Nilza, Eliane, Regina, Teresa, Raquel, Jefferson, Ronaldo, Henrique, Marcelo, Adriana, Maria Teresa e Silvia pelos bons momentos de troca de experiências, trabalhos em grupo e parceria.
Às colegas Helena Tavares, Claudia e Teresa, pelo companheirismo, apoio e palavras de incentivo que, sem dúvidas, me ajudaram a chegar até aqui.
Aos meus colegas de trabalho do Núcleo Pedagógico da Diretoria de Ensino de Mauá, pela incrível solidariedade e demonstração de carinho, pelas palavras de apoio e otimismo, pelo companheirismo, pela parceria nos últimos meses de conclusão da dissertação.
À Rosemeire França, que além de revisora de textos, foi uma ótima motivadora.
À minha querida Diretora de Núcleo Senhora Marta Aparecida dos Anjos de Jesus, que compreendeu minha necessidade e de maneira quase divina me ajudou quando eu mais precisei.
Aos organizadores do Programa Bolsa Mestrado da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, por ter propiciado meios financeiros para realização deste sonho.
Uma das condições fundamentais é tornar possível o que parece não ser possível. A gente tem de lutar para tornar possível o que ainda não é possível. Isto faz parte da tarefa histórica de redesenhar e reconstruir o mundo.
FERREIRA, Edinalva Rodrigues. 2014. Ensino de frações na Educação de Jovens e Adultos: Obstáculos didáticos e epistemológicos. Dissertação (Mestrado Profissional em Educação Matemática). São Paulo: Pontifícia Universidade Católica de São Paulo: Programa de Estudos Pós Graduados em Educação Matemática (Orientador: Professor Doutor Gerson Pastre de Oliveira).
RESUMO
Este estudo investiga obstáculos à aprendizagem que os alunos da Educação de Jovens e Adultos revelam no estudo das frações. Trata-se de uma pesquisa qualitativa com análise das atividades resolvidas por uma amostra de quatro alunos do 2ª ano do Ensino Médio de uma escola da rede pública estadual. O estudo se propôs a levantar obstáculos à aprendizagem que alunos da Educação de Jovens e Adultos apresentam em relação ao referido conteúdo. A base teórica desta pesquisa segue o pressuposto da Teoria das Situações Didáticas. Procurou-se elaborar e aplicar uma sequência didática a fim de responder a questão de pesquisa que consiste em saber em que medida uma sequência didática, cuja elaboração leva em conta as especificidades dos alunos da Educação de Jovens e Adultos, contribui para o diagnóstico de obstáculos à construção das concepções parte-todo e operadores, referentes às frações. A sequência foi organizada com três atividades compostas por problemas semelhantes e aplicada em três sessões consecutivas. Os resultados indicam que a sequência de atividades aplicadas em sala de aula colaborou para que fossem diagnosticados obstáculos didáticos e epistemológicos, referentes ao estudo de frações, que se revelam em situações de aprendizagem. Os dados coletados mostraram que apesar de os sujeitos da pesquisa serem alunos jovens e adultos que, em suas vivências, lidam com as frações e suas representações e de o conteúdo ser tratado em todas as séries anteriores, os mesmos reconhecem uma fração, mas não compreendem o conceito, a representação e as concepções.
Mathematics Education) – São Paulo: Pontifícia Universidade Católica de São Paulo: Post-Graduation Study Program in Mathematics Education (Advisor: Professor Doutor Gerson Pastre de Oliveira).
ABSTRACT
This study investigates obstacles to learning that students of the Youth and Adult Education reveal in the study of fractions. This is a qualitative research with analysis of the activities addressed to a sample of four students of high school 2nd grade students of a public school. The study proposed to discover learning obstacles that students have in relation to such content. The theoretical basis of this research follows the assumption of the Theory of Didactic Situations. The procedures of the study sought to design and implement an instructional sequence in order to answer the research question that is whether and to what extent an instructional sequence, whose preparation takes into account the specificities of students of the Youth and Adult Education, contribute to diagnosis obstacles to the construction of conceptions part-whole and operators, related to fractions. The sequence was organized with three activities that consist of similar problems and applied in three consecutive sessions. The results indicate that the sequence of activities applied in the classroom contributed to that were diagnosed pedagogical and epistemological obstacles concerning to the study of fractions which were revealed in learning situations. The data collected showed that although the subjects are young and adults students who, in their experiences, deal with the fractions and their representations, and the content is treated in all previous series, they recognize a fraction, but not understand the concept, representation and conceptions.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 ... 34
Figura 2 ... 34
Figura 3 ... 34
Figura 4: Organograma interpenetração dos blocos temáticos ... 47
Figura 5: Caracterização dos três grandes blocos de conteúdos ... 47
Figura 6: Cone de experiências ... 67
Figura 7 – Exemplo de resolução - primeiro problema da “Atividade 1” ... 89
Figura 8: Resposta da DE – atividade 1, primeira questão –item “a” ... 91
Figura 9: Resposta do SA – atividade 1, primeira questão –item “a” ... 92
Figura 10: Resposta do RO – atividade 1, primeiro problema – item “a” ... 93
Figura 11: Resposta do SY – atividade 1, primeiro problema –item “a” ... 93
Figura 12: Resposta do SA – atividade 1, primeira questão – item “b” ... 96
Figura 13: Resposta do SY – atividade 1, primeiro problema –item “b” ... 96
Figura 14: Resposta da DE – atividade 1, primeiro problema –item “b” ... 97
Figura 15: Resposta do RO – atividade 1, primeiro problema – item “b” ... 97
Figura 16: Resolução do item “c” – primeiro problema da atividade 1 ... 99
Figura 17: Resposta do SA – atividade 1, primeiro problema – item “c” ... 99
Figura 18: Resposta da DE – atividade 1, primeiro problema –item “c” ... 100
Figura 19: Resposta do RO – atividade 1, primeiro problema – item “c” ... 101
Figura 20: Resposta do SY – atividade 1, primeiro problema –item “c” ... 101
Figura 21: Resposta do SY – atividade 1, segundo problema – item “a” ... 103
Figura 22: Resposta da DE – atividade 1, segundo problema – item “a” ... 103
Figura 23: Resposta do SA – atividade 1, segundo problema –item “a” ... 104
Figura 24: Resposta do RO – atividade 1, segundo problema –item “a” ... 104
Figura 25: Exemplo de resolução do segundo problema - Atividade 1 ... 106
Figura 26: Resposta do SY – atividade 1, segundo problema – item “b” ... 106
Figura 27: Resposta da DE – atividade 1, segundo problema – item “b” ... 107
Figura 28: Resposta do SA – atividade 1, segundo problema –item “b” ... 107
Figura 29: Resposta do RO – atividade 1, segundo problema –item “b” ... 107
Figura 30: Resposta do RO – atividade 1, terceiro problema ... 110
Figura 31: Resposta da DE – atividade 1, terceiro problema ... 110
Figura 35: Resolução do problema quatro – complemento da atividade 1 ... 112
Figura 36: Resposta da DE – atividade 1, quarto problema. ... 113
Figura 37: Resposta do SY – atividade 1, quarto problema. ... 114
Figura 38: Resposta do RO – atividade 1, quarto problema. ... 114
Figura 39: Resposta do SA – atividade 1, quarto problema. ... 115
Figura 40: Resolução do primeiro problema- Atividade 2 ... 117
Figura 41: Resposta da DE – atividade 2, primeiro problema –item “a”. ... 118
Figura 42: Resposta da RO – atividade 2, primeiro problema –item “a” ... 119
Figura 43: Resposta da SA – atividade 2, primeiro problema –item “a” ... 120
Figura 44: Resposta da SY – atividade 2, primeiro problema –item “a” ... 121
Figura 45: Resposta da DE – atividade 2, primeiro problema –item “b” ... 123
Figura 46: Resposta da RO – atividade 2, primeiro problema –item “b” ... 124
Figura 47: Resposta da SA – atividade 2, primeiro problema –item “b” ... 124
Figura 48: Resposta da SY – atividade 2, primeiro problema –item “b” ... 124
Figura 49: Resposta da RO – atividade 2, primeiro problema –item “c” ... 125
Figura 50: Resposta da SA – atividade 2, primeiro problema –item “c” ... 126
Figura 51: Resposta da DE – atividade 2, primeiro problema –item “c” ... 126
Figura 52: Resposta da SY – atividade 2, primeiro problema –item “c” ... 126
Figura 53: Resposta da DE – atividade 2, segundo problema –item “a” ... 128
Figura 54: Resposta da DE – atividade 2, segundo problema –item “b”... 129
Figura 55: Resposta de SY – atividade 2, segundo problema –item “a” ... 130
Figura 56: Resposta de SY – atividade 2, segundo problema –item “b” ... 130
Figura 57: Resposta de RO – atividade 2, segundo problema –item “a” ... 130
Figura 58: Resposta de RO – atividade 2, segundo problema –item “b” ... 131
Figura 59: Resposta de SA – atividade 2, segundo problema –item “a”. ... 132
Figura 60: Resposta de SA – atividade 2, segundo problema –item “b”.... 132
Figura 61: Resposta de RO – atividade 2, terceiro problema ... 134
Figura 62: Resposta de DE – atividade 2, terceiro problema ... 134
Figura 63: Resposta de SA – atividade 2, terceiro problema. ... 134
Figura 64: Resposta de SY – atividade 2, terceiro problema ... 135
Figura 65: Resposta de RO – atividade 3, primeiro problema - item “a”. ... 136
Figura 67: Resposta de DE – atividade 3, primeiro problema - item “a”. ... 137
Figura 68: Resposta de SY – atividade 3, primeiro problema - item “a”. ... 138
Figura 69: Resposta de DE – atividade 3, primeiro problema - item “b”. ... 139
Figura 70: Resposta de SA – atividade 3, primeiro problema - item “b” ... 139
Figura 71: Resposta de RO – atividade 3, primeiro problema - item “b”. ... 139
Figura 72: Resposta de SY – atividade 3, primeiro problema - item “b”.... 139
Figura 73: Exemplo de resolução do segundo problema da Atividade três. ... 140
Figura 74: Resposta de DE – atividade 3, segundo problema - item “a”. ... 142
Figura 75: Resposta de SY – atividade 3, segundo problema - item “a”. ... 142
Figura 76: Resposta de RO – atividade 3, segundo problema - item “a”. ... 143
Figura 77: Resposta de SA – atividade 3, segundo problema - item “a”. ... 143
Figura 78: Resposta de DE – atividade 3, segundo problema - item “b”. ... 144
Figura 79: Resposta de SY – atividade 3, segundo problema - item “b”. ... 144
Figura 80: Resposta de SA – atividade 3, segundo problema - item “b”. ... 145
Figura 81: Resposta de RO – atividade 3, segundo problema - item “b”. ... 145
Figura 82: Resposta de RO – atividade 3, segundo problema - item “c”. ... 146
Figura 83: Resposta de SA – atividade 3, segundo problema - item “c”. ... 146
Figura 84: Resposta de DE – atividade 3, segundo problema - item “c”. ... 146
Figura 85: Resposta de SY – atividade 3, segundo problema - item “c”. ... 147
Figura 86: Resposta de DE – atividade 3, terceiro problema. ... 148
Figura 87: Resposta de RO – atividade 3, terceiro problema. ... 149
Figura 88: Resposta de SA – atividade 3, terceiro problema. ... 149
INTRODUÇÃO ... 15
CAPÍTULO UM ... 21
O ENSINO E A APRENDIZAGEM DE FRAÇÕES: CONCEPÇÕES SUBJACENTES ... 21
1.1 Concepções de Frações ... 23
1.1.1 Concepção parte-todo ... 24
1.1.2 Concepção de medida ... 26
1.1.3 Concepção quociente ... 27
1.1.4 Concepção de razão ... 29
1.1.5 Concepção de Operador ... 30
1.2 Possibilidades de ensino com base em abordagem não reprodutiva. ... 31
1.2.1 Exemplo de uma situação didática ... 32
1.3 Um breve histórico sobre a Educação de Jovens e Adultos ... 38
1.4 Proposta Curricular para a EJA... 44
1.5 As orientações dos Parâmetros Curriculares Nacionais para o ensino das Frações ... 48
CAPITULO DOIS ... 51
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 51
CAPÍTULO TRÊS ... 59
METODOLOGIA ... 59
3.1 Descrição dos Procedimentos metodológicos ... 59
3.2 Caracterização dos sujeitos e da escola ... 62
3.3 Elaboração da Sequência Didática ... 65
CAPÍTULO QUATRO ... 71
QUADRO TEÓRICO ... 71
4.1 Teoria das Situações Didáticas ... 71
4.1.1 Dialética de ação ... 74
4.1.2 Dialética de formulação ... 75
4.1.3 Dialética de Validação ... 75
4.1.4 Dialética de institucionalização ... 76
4.2 Obstáculos sob a ótica da TSD ... 76
CAPÍTULO CINCO ... 85
ANÁLISE DOS DADOS ... 85
5.1 Aplicação das atividades ... 86
5.2 Análises das sequências ... 88
5.2.1 Primeira Sessão ... 88
5.2.2 Segunda Sessão ... 115
5.2.3 Terceira sessão ... 135
CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 151
REFERÊNCIAS ... 157
APÊNDICE A - Atividade aplicada na primeira sessão ... 164
APÊNDICE B – Problema adicional à Atividade I ... 167
APÊNDICE C - Atividade aplicada na segunda sessão ... 168
APÊNDICE D - Atividade aplicada na terceira sessão ... 170
INTRODUÇÃO
No decorrer da minha prática docente, por 12 anos trabalhei como professora de Matemática na Educação de Jovens e Adultos (EJA) em escolas da Rede Estadual de São Paulo. Neste período, foi possível observar como os alunos se comportam diante desta disciplina: muitos declaram “temor” por ela e assumem não ter capacidade para entender os conteúdos.
No que diz respeito ao ensino e aprendizagem de frações, tema deste trabalho, pude notar grandes dificuldades enfrentadas pelos alunos, os quais, mesmo tendo presentes em seu cotidiano inúmeras situações nas quais empregam frações, dificilmente conseguem relacionar as vivências com o que aprendem na sala de aula como por exemplo, razões e proporções aplicadas na culinária ou ainda frases do tipo: “ao sair de férias o trabalhador deve receber abono de 1/3 do seu salário”.
As experiências vivenciadas como professora de Matemática me possibilitaram reflexões sobre as especificidades dos alunos da EJA, os muitos obstáculos trazidos por eles, as dificuldades em compreender alguns conteúdos matemáticos e sobre a prática dos professores que atuam nesta modalidade de ensino.
Procurando aperfeiçoar minha formação como educadora, ingressei no Programa de Mestrado Profissional em Ensino da Matemática na PUC/SP. Em concordância com meu orientador, elaborei um projeto de pesquisa intitulado “Ensino de frações na Educação de Jovens e Adultos: obstáculos epistemológicos e didáticos”, aqui descrita.
Um conceito importante empregado neste trabalho é o de obstáculo. Sobre este conceito, Brousseau (2008) a define da seguinte forma:
Um obstáculo é um “conhecimento” no sentido quando lhe atribuímos a “forma regular de considerar um conjunto de situações”.
Tal conhecimento dá resultados corretos ou vantagens observáveis em um determinado contexto, mas revela-se falso ou totalmente inadequado em um contexto novo ou mais amplo.
O conhecimento novo, verdadeiro ou válido sobre um contexto mais
amplo não é determinado “de acordo com” o conhecimento anterior,
mas em oposição a ele: utiliza outros pontos de vista, outros métodos, etc. Entre eles não existem relações “lógicas” evidentes que permitam
desacreditar facilmente o erro antigo por meio do conhecimento novo. Ao contrário, a competição entre eles acontece no primeiro contexto. Os conhecimentos aqui considerados não são construções pessoais variáveis, mas, sim, respostas “universais” em contextos precisos.
Portanto, surgem quase necessariamente na origem de um saber, seja ela histórica ou didática (BROUSSEAU, 2008, p. 49).
O autor elabora, em seu trabalho, uma categorização dos tipos de obstáculos passíveis de serem encontrados no processo de aprendizagem de Matemática. Nesta pesquisa, têm relevância dois deles: os de natureza didática e os de natureza epistemológica. Silva, M. (1997), por exemplo, apresenta alguns obstáculos epistemológicos que surgem no trabalho didático com frações e aponta o conhecimento dos números naturais como um deles. A autora explica que, para a maioria das crianças só os números naturais têm o status de número e, como todo o seu conhecimento numérico está relacionado ao conjunto dos números naturais, ao iniciarem o trabalho com frações, tentam aplicar os conhecimentos que já possuem, o que pode resultar no tratamento das frações como se a mesma representasse dois números naturais e não apenas um único número. Um obstáculo didático seria aquele que parece depender apenas de uma escolha, de um projeto ou um método, deixando-se formar no momento da aprendizagem, são conhecimentos incompletos ou errôneos que mais tarde se revelarão como obstáculos ao desenvolvimento da conceituação.
De outro ponto de vista, um obstáculo didático caracteriza-se por revelar um conhecimento arraigado, provocado por uma transposição didática, que persiste na aprendizagem do saber escolar, podendo dificultá-la.
desenvolvido utilizando-se dos métodos de pesquisa qualitativa de caráter descritivo para investigar, por meio de uma sequência didática organizada segundo os pressupostos da Teoria das Situações Didáticas de Brousseau. O objetivo é investigar os obstáculos de naturezas didática e epistemológica, no ensino e aprendizagem de frações.
De acordo com Dantas (2005), a aprendizagem deste tema proporciona ao aluno melhor compreensão e atuação no mundo cotidiano. Na Educação de Jovens e Adultos, assim como em outros contextos, isto é muito significativo, considerando que o universo da EJA é composto por pessoas que estão inseridas no mercado de trabalho e lidam com situações em suas atividades diárias que utilizam conceitos relacionados às frações.
Em se tratando do aluno adulto, suas experiências lhes permitem que tenham uma noção da existência das frações, mas não garante que os mesmos possuam um conhecimento sistematizado sobre este conteúdo. Como já citado, nas situações do cotidiano, os alunos costumam usar expressões como 1
2 quilo de café, meias 3
4, 1 3 de férias... Embora usem a linguagem de frações, muitos não conhecem o seu significado.
No entanto, estes conhecimentos prévios, muitas vezes trazidos pelos alunos, não devem ser desprezados: ao contrário, devem ser o ponto de partida para a aprendizagem, conforme pressuposto desenvolvido por Freire (1971), no qual considera que, quando o ensino parte da realidade, das experiências e vivências dos alunos, no diálogo permanente, dos conhecimentos entre educador e educando, é gerado um ambiente de comunicação de saberes, tornando as aprendizagens mais significativas.
Outro aspecto importante a ser considerado na relação educando-saber-educador é a influência do contrato didático1, que, com uma série de regras, implícitas,
na maioria, rege as situações de aprendizagem em contexto escolar. Em se tratando da EJA, a força desse contrato é, muitas vezes, evidenciada em atividades relacionadas à resolução de problemas matemáticos. Nota-se, também, sua influência
1Guy Brousseau (1980) define o contrato didático como o conjunto de comportamentos específicos do
no que se refere às dificuldades que boa parte dos alunos adultos têm para realizar um trabalho mais autônomo em sala de aula.
Desta forma, a questão central que norteia essa pesquisa é “em que medida uma sequência didática, cuja elaboração leva em conta as especificidades dos alunos da Educação de Jovens e Adultos (EJA), contribui para o diagnóstico de obstáculos à aprendizagem das concepções parte-todo e operadores, referentes a frações?”
Para tentar responder esta questão, o presente trabalho está desenvolvido e estruturado da maneira descrita nos próximos parágrafos.
O primeiro capítulo trata do objeto matemático Fração. O capítulo aborda o ensino e aprendizagem de frações e faz um estudo sobre as concepções parte–todo, medida, quociente, razão e operador, utilizando-se de pesquisas já realizadas em relação ao processo de ensino e aprendizagem de frações, enfatizando a relevância do entendimento destas concepções em todas as etapas de escolaridade. Consta ainda, neste capítulo, uma sucinta descrição da trajetória da educação de adultos no Brasil, a fim de conhecer melhor o universo dos sujeitos envolvidos da pesquisa.
O capítulo dois traz uma revisão bibliográfica de trabalhos acadêmicos que tratam de temas relacionados ao ensino e aprendizagem de frações, à Educação de Jovens e Adultos e algumas considerações sobre as especificidades de alunos inseridos. Foram elencados trabalhos que estudaram conhecimentos de alunos e professores a respeito dos números racionais, assim como propostas didáticas para que o conteúdo seja trabalhado de maneira significativa.
O quarto capítulo trata da teoria que ampara este estudo, fazendo uma descrição sobre a aprendizagem à luz da Teoria das Situações Didáticas de Brousseau (1996), dos obstáculos didáticos e epistemológicos que estão ligados ao processo de aprendizagem das frações e do conceito de contrato didático e sua influência na formação de obstáculos epistemológicos.
No capítulo cinco é feita a análise e apresentação dos dados obtidos a partir dos instrumentos utilizados na investigação. Apresenta-se neste capítulo a descrição e objetivos dos problemas da sequência didática aplicada aos alunos, as resoluções apresentadas pelos quatro alunos investigados e a análise de suas respectivas resoluções à luz da Teoria das Situações Didáticas.
Por último, são trazidas considerações relativas ao alcance do trabalho, suas limitações e recomendações para futuros estudos.
“...Uma explicação para as dificuldades encontradas possivelmente deve-se ao fato de que a aprendizagem dos números racionais supõe rupturas com ideias construidas para os números naturais. Ao trabalhar com os números racionais, os alunos acabam tendo de enfrentar vários obstáculos”.
CAPÍTULO UM
O ENSINO E A APRENDIZAGEM DE FRAÇÕES: CONCEPÇÕES SUBJACENTES
O tema “frações” tem sido objeto de estudo de pesquisadores como Silva, M. (1997, 2005), Santos (2005), Campos e Magina (2006, 2010), Lopes (2008), Silva, T. (2007) entre outros. Tais estudiosos, diante das reais dificuldades de aprendizagem dos alunos, tanto do Ensino Fundamental quanto do Ensino Médio, procuraram indicar possibilidades didáticas e/ou práticas pedagógicas que subsidiassem os estudantes a alcançarem efetiva compreensão ao trabalharem com frações.
Desde muito cedo, a humanidade pressentiu a existência de outros números, além dos números naturais. Uma análise histórica e epistemológica feita por Silva, M. (1997) em uma pesquisa sobre a introdução do conceito de número fracionário mostra que, durante muitos séculos, os matemáticos trabalharam em busca da representação posicional para frações decimais, o que facilitaria os cálculos com uma nova escrita que pudesse representar todas as frações, mas que apenas no século XVII chegaram à representação que é hoje utilizada. Ainda assim, grandes matemáticos tinham dificuldades em aceitar as representações fracionárias como números e resistiam ao trabalho com frações, defendendo somente o uso dos números naturais.
A exemplo de outros conjuntos numéricos, entende-se que as frações foram surgindo de acordo com as necessidades de medidas em diferentes civilizações:
Desde a Antiguidade, encontramos na gênese da numeração fracionária algumas práticas sociais, como as medições realizadas pela determinação de unidades que permitissem quantificar a grandeza a ser medida e a comparação dessa unidade com o objeto a ser medido. O número fracionário surge, então, da necessidade de dividir a unidade escolhida, para que a medição se concretize (SILVA, M., 2005, p.60).
Medir e contar são as operações cuja realização a vida de todos os dias exige com maior frequência. A dona de casa ao fazer suas provisões de roupa, o engenheiro ao fazer o projeto de uma ponte, o operário ao ajustar um instrumento de precisão, o agricultor ao calcular a quantidade de semente ao lançar à terra de que dispõe, toda gente nas mais variadas circunstancias, qualquer que seja a sua profissão (CARAÇA,1998, p.29).
Sendo assim, saber ler esses números, operar com eles e interpretá-los é fundamental para o desenvolvimento da pessoa, não só como aluno em sala de aula, mas em sua faina cotidiana.
Embora a utilidade e a importância dos números racionais sejam notáveis nas mais diversas situações dentro e fora da escola, estudos mostram que os alunos têm dificuldades em compreender seus significados. No que se refere às frações, Behr et al (1983 apud Santos, 2005) apontam este tema como uma das ideias matemáticas mais complexas e importantes com as quais o aluno se depara. Em concordância, Quaresma (2010) afirma que o conceito de número racional está entre os mais difíceis e mais importantes a serem ensinados durante todo período escolar. As causas dessas dificuldades, segundo os autores mencionados, podem estar ligadas ao despreparo de alguns professores e à forma com o conteúdo é apresentado em sala de aula.
Convém relatar que Silva, M. (2005), ao tratar da formação continuada de um grupo de professores do ensino básico, constatou que o grupo apresentava falta de autonomia em elaborar atividades para o ensino dos números fracionários2, que
colocassem os alunos em situações de ação, para a construção do próprio conhecimento. De acordo com a pesquisadora, os professores privilegiaram a ideia de fração como parte-todo e mostraram certa resistência no tratamento de outras concepções tratadas na pesquisa, como, por exemplo, as concepções baseadas na classificação de Behr et al (1983 apud Silva, M., 2005), que constroem o conceito de número racional com base nas interpretações parte-todo, medida, quociente, razão e operador.
2 Conforme proposto por Silva (2005, p.55) trata-se, neste trabalho, por números fracionários, todo
Antes, porém, de discorrer sobre as concepções de frações, convém relatar, de forma sucinta, os significados apresentados por Silva, M. (2005) para as terminologias números racionais, números fracionários e frações.
A autora, com o objetivo de distinguir o objeto de suas diferentes representações, trata por números fracionários: “todo elemento do conjunto dos números reais ou do conjunto dos polinômios que pode ser representado por uma classe de frações” (SILVA, M., 2005, p. 55). Quanto ao termo fração, encontra-se em D’ AGUSTINE (1976, apud SILVA, M., 2005, p. 51) que “uma fração pode ser definida como o símbolo ou o nome para o número fracionário e pode ter a forma 𝑎⁄𝑏 , onde
𝑎 e 𝑏 designam números naturais”. Para números racionais, Silva, M. (2005) cita Caraça para dizer que este conjunto numérico abrange o conjunto dos números inteiros e mais o formado pelos números facionários.
Considerando a importância de perceber a distinção entre as terminologias, assim como os seus significados, tratando-se do termo fração, serão apresentadas, a seguir, breves descrições das características que mobilizam cada uma das cinco concepções (parte-todo, medida, quociente, razão e operador), apresentadas por Silva, M. (2005).
1.1 Concepções de Frações
O estudo de frações é um dos desafios que os alunos e professores da Educação Básica enfrentam em sala de aula. Nas escolas do Brasil, as representações fracionárias dos números racionais são desenvolvidas já nos ciclos iniciais; entretanto, documentos oficiais (como em Brasil, 1998, p.100) indicam que os alunos chegam nos anos finais do Ensino Fundamental sem compreender os diferentes significados atribuídos a esse tipo de número.
Os PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais), ao tratarem dos racionais, consideram quatro significados diferentes que esses números assumem. São eles: relação parte-todo, divisão, razão e operador. Cavalcanti e Guimarães (2007) acrescenta à lista descrita nos PCN três interpretações, as quais atribuem ao número racional os significados de medida, número e probabilidade. Neste trabalho, consideraram-se as cinco concepções descritas por Silva, M. (2005), em razão da abrangência adequada construída pela autora em seu trabalho, principalmente no que diz respeito às concepções parte-todo e operador, que são focos desta pesquisa. 1.1.1 Concepção parte-todo
É observado por vários autores que a concepção parte-todo tem predominância no ensino do conceito de frações. Na definição de Cavalcanti e Guimarães (2007), o significado parte-todo consiste na “partição do todo em n partes iguais, em que cada parte pode ser representada como 1/n. Um procedimento de dupla contagem, das partes do todo e das partes tomadas, no geral, é o suficiente para solucionar o problema” (p. 3). Em definição semelhante, Silva, M. (2005) indica que essa concepção surge da ação de dividir uma grandeza contínua em partes equivalentes ou uma grandeza discreta em partes iguais. De acordo com a autora, as situações que envolvem essa concepção evidenciam partes de alguma quantidade que é considerada como um todo ou inteiro e estão presentes em todas as discussões que envolvem o desenvolvimento do conceito de fração.
Em relação ao ensino e a aprendizagem de frações, no que toca à concepção parte-todo, Silva, M. (2005) menciona que, geralmente, os trabalhos introdutórios sobre frações são iniciados por essa concepção. A mesma observação é feita por Canova (2006 apud Cavalcanti e Guimarães, 2007), ao constatar que os livros didáticos, no geral, apresentam as primeiras ideias de fração pelo significado parte-todo.
Considerando como Silva, M. (2005) e Cavalcanti e Guimarães (2007) que as concepções de frações são de grande importância para o desenvolvimento intelectual do aluno, faz-se necessário conhecer como se dá a compreensão dessas concepções no contexto escolar e as possíveis dificuldades que se evidenciam na resolução de problemas que envolvem os números racionais.
No que diz respeito ao ensino, Magina e Campos (2010) alertam para a forte tendência dos educadores em explicar o conceito de frações apenas utilizando a exploração do significado parte-todo, dando ênfase exagerada em procedimentos e algoritmos, o que pode levar os alunos a utilizar o método de contagem dupla (contar o número total de partes da figura e as partes pintadas) sem entender o significado de frações. Quanto à aprendizagem, as autoras ressaltam que é possível que alguns alunos passem pela escola sem superar as dificuldades das frações:
Com as frações as aparências enganam. Às vezes as crianças parecem ter uma compreensão completa das frações e ainda não a têm. Elas usam os termos fracionários certos; falam sobre frações coerentemente, resolvem alguns problemas fracionais; mas diversos aspectos cruciais das frações ainda lhes escapam. De fato, as aparências podem ser tão enganosas que é possível que alguns alunos passem pela escola sem dominar as dificuldades das frações, e sem que ninguém perceba. (NUNES E BRYAN, 1979, p.191 apud MAGINA E CAMPOS, 2010 p. 6)
O argumento utilizado pelos autores revela uma realidade de ensino constatada nas aulas de Matemática, no que se refere aos conteúdos que utilizam conceitos de frações, e atestada por diversos pesquisadores que estudam as dificuldades dos alunos ao lidarem com esse conceito.
Dentre as dificuldades frequentemente apontadas pelos professores e alunos a em relação à compreensão de frações, Merlini (2005) evidencia que, nas estratégias de resolução de atividades relacionadas à concepção parte-todo, o aluno despreza o todo envolvido, fazendo a contagem de partes sem relacionar o todo.
Dessa forma, ressalta-se a importância da utilização de estratégias de ensino bem elaboradas na introdução do trabalho com frações, de modo a proporcionar aos alunos a compreensão do conceito e seus significados. Esta proposta deve ser estendida para as outras concepções, igualmente, como a de medida.
1.1.2 Concepção de medida
A história revela que muitos povos perceberam a necessidade de outros números, além dos naturais, para representar resultados de medições (Silva, 2004). Ainda hoje, evidentemente, o ato de medir é praticado com muita frequência em qualquer área profissional, por exemplo, a costureira em suas confecções, o pedreiro nas construções, o confeiteiro em suas receitas, etc., ou seja, medir é necessário em diversas situações do cotidiano.
De acordo com Caraça (1998), medir consiste em comparar duas grandezas da mesma espécie. Neste caso, é necessário
Estabelecer um estalão3 único de comparação para todas as grandezas da mesma espécie; este estalão chama-se unidade de medida de grandeza que se trata – é por exemplo, o centímetro para comprimentos, o grama-peso para os pesos, o segundo para os tempos, etc. (CARAÇA, 1998, p.30).
O autor enfatiza que há três fases e três aspectos distintos no problema da medida – escolha da unidade; comparação com a unidade; expressão do resultado dessa comparação por um número, e ressalta que, para eleger uma unidade de medida, deve-se considerar as questões de caráter prático, de comodidade e de economia. Nesta perspectiva, Silva, M. (2004) salienta a necessidade de determinação de uma unidade de medida invariável, a especificação dos pontos de início e de final da medição a ser realizada e os números fracionários para que se concretize o ato de medir.
No que se refere ao trabalho com frações, a concepção de medida é vista por Silva, M. (2004) como “necessária no ensino, pois ela ajuda os alunos a darem significados e a construir o campo dos números fracionários” (SILVA, M., 2004, p.6).
Para a autora, a principal característica dessa concepção é a utilização da fração 1
𝑏
para determinar uma distância.
Em relação ao ensino, Silva, M. (2005) acredita que tarefas que envolvem medições de comprimentos são apropriadas para a percepção da necessidade de “outros números” além dos números naturais, no que diz respeito à quantificação adequada de comprimentos, já que se pode reconhecer a limitação dos números naturais para tarefas que envolvem medidas de comprimentos. Para a autora, a concepção de medida está associada a tarefas que geralmente podem solicitar a manipulação de três objetos ostensivos:
A figura de uma reta numérica ou algum esquema de medida, o número fracionário 1/b que representa uma subunidade, isto é, a unidade foi dividida em b partes para permitir a medição e o número fracionário a/b que representará o resultado medição realizada (SILVA, 2005, p.118).
Entretanto, a autora alerta que o principal desafio no estudo de medidas é entender que a fração 1
𝑏 é uma unidade de medida que deve ser usada para
determinar o comprimento e que este, no final, será representado por uma fração 𝑎
𝑏
que, por sua vez, representará
𝑎
× 1𝑏 .
Torna-se importante destacar ainda, no que diz respeito à aprendizagem, que, do ponto de vista de Silva, M. (2005), os tipos de tarefas que associam a concepção de medida são ideais para o ensino de frações maiores que um inteiro e adição de frações de mesmo denominador. Ainda nessa perspectiva de aprendizagem, Vasconcelos (2007) destaca a noção de equivalência como uma ideia importante que está presente na concepção de medida, e acrescenta que “a noção de equivalência se apoia na ideia de realizar diferentes divisões de resultados na mesma relação entre a parte e o todo” (VASCONCELOS, 2007, p.40). Neste contexto, o autor afirma que tanto a atividade de realizar divisões múltiplas, quanto a de repartição equitativa, são ferramentas para a compreensão de números racionais.
1.1.3 Concepção quociente
estratégia de resolução para determinado problema – por exemplo, uma pizza a ser repartida igualmente entre cinco pessoas, 25 figurinhas para distribuir entre três crianças, etc. Nessas situações de quociente, tem-se duas variáveis, a e b, sendo que uma variável corresponde ao numerador e a outra ao denominador, neste caso, 𝑎
𝑏
.
Aesse respeito, Silva, M. (2005) descreve que: O ostensivo 𝑎
𝑏 que representa o resultado de uma distribuição, significa que a foi distribuído em b partes iguais, ou seja, a foi dividido em um número b de partes iguais. Diferente dos tipos de tarefas que associam as concepções tratadas anteriormente, nestas o a pode ser menor, maior ou igual a b e pode representar objetos diferentes como,
por exemplo, “crianças” e “chocolates” (SILVA, M., 2005, p. 121). Assim, a concepção de quociente consiste em realizar distribuição de a partes em b partes iguais e tem como principal característica a representação da fração pela operação de divisão.
Silva, M. (2005) apresenta algumas tarefas que envolvem a concepção de quociente em contextos discretos e contínuos, enfatizando as técnicas utilizadas em cada caso.
Caso contínuo:
Tarefa 1: Quanto cada pessoa receberá de pizza se distribuirmos igualmente cinco pizzas entre quatro pessoas.
Tarefa 2: Quanto chocolate cada criança irá receber se distribuirmos igualmente três barras de chocolate entre cinco crianças (SILVA, M., 2005, p. 122).
Caso discreto:
Tarefa 3: Quantas bolinhas cada menino receberá se distribuirmos igualmente 12 bolinhas entre três meninos (SILVA, M., 2005, p. 123). Em contextos contínuos, dependendo da distribuição solicitada, a técnica pode ser mais complexa. Já nas tarefas de grandezas discretas, normalmente, o aluno encontra mais facilidade, pois elas podem ser realizadas no campo dos naturais. De acordo com Silva, M. (2005), as dificuldades podem aparecer nos tipos de tarefas que estão relacionadas aos aspectos da divisão:
b) por cotas – quando é dada a quantidade de inteiros e a quantidade de cada parte e solicita - se a quantidade de partes possíveis (SILVA, M., 2005, p. 121).
A mesma autora considera que esses aspectos da divisão determinam a complexidade da técnica, tanto em contextos contínuos como em contextos discretos. 1.1.4 Concepção de razão
A concepção de razão traz a ideia de comparação entre duas medidas de grandezas e não de partição como as outras concepções vistas anteriormente. Situações exploradas em atividades que envolvem razões são representadas por alguma quantidade a ser comparada com outra quantidade, que pode ser do mesmo elemento ou de elementos diferentes.
Esta característica da concepção de razão, faz com que a representação 𝑎
𝑏 ou
𝑎
:
𝑏
, esteja mais associada ao índice comparativo do que à concepção de quociente. Para Silva, M. (2005), uma representação fracionária do tipo 23, por exemplo,
quando associada à concepção de razão, proporciona a leitura “dois para três” e não “dois terços”. Essa concepção, entendida dessa forma, segundo a mesma autora, conduz os alunos à equivalência de frações e ao raciocínio proporcional, considerados como ferramentas de grande utilidade para resolução de problemas.
De acordo com a autora:
As tarefas que associam a concepção de razão podem comparar grandezas de mesma natureza ou não, em contextos contínuos e/ou discretos, podendo, ainda, estar associadas a situações do tipo: todo-todo – quando compara a quantidade de dois inteiros; parte-parte quando compara as quantidades de duas partes de um inteiro ou partes de dois inteiros, ou ainda, parte-todo (SILVA, M., 2005 p.125).
O fato de a razão estar inserida em diferentes contextos mobiliza o conhecimento do aluno para que ele reconheça que diferentes situações–problema podem ser resolvidas a partir dessa concepção de fração.
Para Silva, M. (2005), esse tipo de situação é bem resolvido pelos alunos, quando tratado por equivalência, entretanto, quando se dá a tais situações um caráter operatório, aparecem os obstáculos: isso ocorre pelo fato de a razão se aplicar como divisão em alguns casos e em outros, como comparação.
1.1.5 Concepção de Operador
A concepção de operador está relacionada à ideia de transformação. Essa concepção atribui ao número racional 𝑎
𝑏, uma fração que, quando aplicada a uma
figura geométrica pode ampliar ou diminuir essa figura e, nos casos de conjuntos discretos, atuar como multiplicador. Sobre essa função da fração como operador, Silva, M. (2005) afirma:
Nas tarefas que solicitam a mobilização da concepção de operador o Fracionário 𝑎
𝑏 é manipulado com “algo que atua sobre uma
quantidade” e a modifica, produzindo uma nova quantidade. Essa
ação pode ser entendida pela ação de operador fracionário que modifica um estado inicial e produz um estado final. Nessas tarefas, os fracionários a/b são manipulados efetivamente como números e facilitam a compreensão da operação de multiplicação entre os fracionários (SILVA, M., 2005, p. 134).
Neste contexto, a fração na concepção de operador assume um papel de transformação, algo que atua sobre uma situação e a modifica. Este caráter funcional de transformação leva a entender a fração como uma máquina de transformação.
Nesta ótica, a fração 𝑎
𝑏
,
com𝑏 ≠ 0
,
opera como fator transformador de umnúmero que multiplicado por
"𝑎"
e em seguida dividido por"𝑏"
resulta em um número que, dependendo da fração 𝑎𝑏
,
pode ser maior ou menor que o número inicial.Semelhante observação é feita por Merlini (2005) após estudar as estratégias que alunos de 5ª e 6ª séries utilizavam para solucionar problemas envolvendo frações. A autora adverte, a partir do resultado da pesquisa, que o ensino de frações abordado nas escolas, privilegiando alguns significados (Parte-todo e Operador), em detrimento de outros, não garante que o aluno construa o conhecimento desse conteúdo.
Diante das considerações dos autores supramencionados, entende-se a relevância da compreensão das concepções de números racionais para o processo de ensino e aprendizagem em qualquer etapa da escolaridade. No entanto, o entendimento dessas concepções se dá a partir de situações didáticas devidamente planejadas e atividades adequadas para o desenvolvimento das habilidades que mobilizem o aluno e motivem a aprendizagem, como se indica a seguir.
1.2 Possibilidades de ensino com base em abordagem não reprodutiva.
De acordo com o exposto nos Parâmetros Curriculares Nacionais (Brasil, 1997), a construção do conceito de número racional – e, por extensão, de frações – pressupõe uma organização de ensino que possibilite experiências com diferentes significados e representações. Portanto, é papel do professor elaborar atividades e organizar situações de aprendizagem que conduzam o aluno à construção do seu próprio conhecimento.
A busca por abordagens que visam aprimorar o processo de ensino e aprendizagem de Matemática, em particular o conceito de número racional e o trabalho didático com frações, tem motivado pesquisadores dentro e fora do Brasil a desenvolverem estudos e experiências relevantes para nortear o trabalho do professor, no sentido de proporcionar ao aluno condições para avançar em seus conhecimentos. Nisso, percebe-se que os jogos e outras atividades de problematização ganham espaços nas pesquisas, em materiais didáticos e em salas de aula.
chamado Cinquième (5e) do collège, de acordo com o sistema educacional francês (estudantes que têm, em geral, 12 anos), apresenta uma forma diferenciada e dinâmica para o trabalho didático com este tema.
Brousseau (2013) descreve uma experiência envolvendo frações e números decimais utilizando-se de materiais manipulativos em uma sequência de situações que permitiram aos alunos a construção gradativa de conhecimentos relacionados a estes conteúdos.
Nas experiências descritas pelo autor, percebe-se que a atuação do aluno em sua aprendizagem acontece durante todo o processo. Em todas as lições, há um envolvimento contínuo e os alunos se sentem livres para fazer perguntas, formular hipóteses, tirar conclusões e arriscar respostas, além de demonstrar iniciativa, autoconfiança e autonomia. Durante a aplicação das atividades, o papel da professora foi o de organizar e gerenciar os trabalhos. Ela dava as diretrizes, estabelecia regras, fazia perguntas pertinentes ao momento, discutia os erros cometidos pelos alunos, fazia intervenções devidas e, ao final de cada processo, fazia a avaliação da aprendizagem. Todo esse contexto que cerca o aluno, incluindo professor e sistema educacional, Brousseau (2008) chama de situação didática.
1.2.1 Exemplo de uma situação didática
Um exemplo de situação apresentada por Brousseau (2013) é a lição denominada como “intervalos de número inteiro em torno de uma fração” (BROUSSEAU, 2013, p.33, tradução nossa). O jogo ajuda o aluno a perceber e reconhecer frações entre um intervalo de dois números inteiros consecutivos e serve de base para introdução de números racionais e para relacionar frações e decimais.
O jogo propõe localizar frações entre dois números inteiros consecutivos no intervalo entre 0 e 10. Trata-se de um jogo entre duas equipes, conforme instruções a seguir4.
1.2.1.1 1ª Fase: introdução ao Jogo e instruções
4 De acordo com o autor, pelo menos nas três aulas que antecedem o jogo, o professor faz com os
A professora explica as regras do jogo e faz uma ilustração com dois alunos para a classe entender como se joga.
O jogador “A” escolhe uma fração que está em algum lugar entre 0 e 10 (sem dizê-la em voz alta). Em seguida, escreve-a em um papel e esconde; O jogador “B” tentará categorizar a fração escolhida pelo jogador “A” entre
dois números naturais consecutivos. Para isso, ele deve fazer perguntas, por exemplo: “a fração está entre 7 e 9? ”;
O jogador “A” só pode responder com "sim" ou " não ". O jogador “B” continua fazendo perguntas até que encontre dois números inteiros consecutivos entre os quais a fração escondida por “A” esteja.
Nesse momento, o jogador “A” mostra a fração que escondeu e toda a turma irá comparar a fração com o intervalo encontrado por “B”.
Feita a demonstração do jogo, a professora divide a sala em duas equipes, cada uma composta pela metade da sala.
1.2.1.2 Jogando o jogo
Cada equipe deve escolher uma fração e todos alunos da equipe devem anotar em seus cadernos. Os alunos escolhem um representante para a equipe que fará as anotações na lousa. Vence a partida a primeira equipe que acertar o intervalo de comprimento 1 (um) da fração escondida pelo outro time.
Observações:
Os intervalos escolhidos pelos dois representantes devem ser escritos no quadro;
A classe tem um acordo previamente estabelecido que os intervalos são abertos à direita e fechados à esquerda;
O tabuleiro é dividido ao meio, um para cada equipe.
Por exemplo, se o time B escolheu 25
30 e o representante do time A pergunta
Figura 1
FONTE: BROUSSEAU, 2013, p. 34 (adaptada)
Em seguida, após a equipe B tenha respondido, acrescenta:
Figura 2
FONTE: BROUSSEAU, 2013, p. 34 (adaptada)
Se o estudante, então, pergunta "a sua fração está entre 5 e 10?", e a equipe adversária, diz "não", ele coloca uma linha através do intervalo:
Figura 3
FONTE: BROUSSEAU, 2013, p. 34 (adaptada)
A combinação de que os intervalos são fechados à esquerda e abertos à direita, dá origem ao seguinte:
Se a fração escolhida é 25
5 , então o intervalo de comprimento (um) que
da equipe oposta ficam "presas”, porque a fração corresponde ao lado esquerdo do intervalo.
Se a fração escolhida é 30
5 e o intervalo solicitado é [5, 6), a equipe
adversária diz "não".
Se a equipe acertar o intervalo da fração da outra equipe, ela marca um ponto.
Se uma equipe descobre, a fração do outro time, ele marca dois pontos.
Existe uma construção de estratégias na escolha dos intervalos. Este primeiro jogo entre as equipes, aliás, dá aos alunos a oportunidade de desenvolver estratégias interessantes em suas escolhas de intervalos. De um modo geral, na primeira rodada, os representantes tendem a fazer perguntas de forma aleatória, as quais, muitas vezes, fazem sobrepor intervalos de maneira tal que fazem as equipes perderem.
Exemplo: Primeira pergunta: "Será que sua fração entre 5 e 9?" Segunda pergunta: "Será que sua fração entre 3 e 9? "
Isso provoca algumas discussões dentro da equipe. Muitas vezes, já na segunda rodada eles fazem uso da natureza binária da situação. Por exemplo: "-Está entre 0 e 5?". Se o representante da outra equipe diz "não”, eles evitam perguntar "- Está entre 5 e 10?”, como talvez tenham feito na primeira rodada. Muitas vezes, após três ou quatro rodadas, os estudantes passam a fazer o mínimo de perguntas para encontrar o intervalo.
Além disso, algumas observações podem ser destacadas:
Se as instruções, que são muitas, não são bem compreendidas, o trabalho de equipe dá ao professor a oportunidade de explicá-las melhor, para verificar se todos os alunos sabem escrever intervalos e se sabem de fato como jogar; O jogo em equipe precisa ser reiniciado várias vezes para que todos os alunos
possam entender as regras (pode haver três ou quatro rodadas);
fração têm que provar para os demais que a fração em questão não está no intervalo mencionado;
Os alunos rapidamente chegam ao ponto de evitar a escolha de frações em que eles possam ser "encurralados", porque eles não querem que os seus adversários ganhem dois pontos.
1.2.1.3 2ª Fase: Jogando dois contra dois.
Depois de três ou quatro rodadas do jogo em equipes grandes, o professor organiza a classe em grupos de quatro alunos, para que joguem dois contra dois.
Cada par faz anotações em um pedaço de papel, escreve a fração que escolheu e os intervalos que perguntaram para localizar a fração dos seus adversários. O professor não intervém, exceto para mediar conflitos ou fornecer informações e esclarecimentos solicitados.
1.2.1.4 3ª fase: Síntese Coletiva
Nesta fase, o professor faz anotações no quadro, que incluem os intervalos indicados pelos jogadores e outros elementos.
Na primeira fase do jogo, caracteriza-se uma situação de ação. Os alunos começam a conhecer como se joga e vão falando os intervalos sem nenhum critério. Depois de algumas partidas, eles começam a estabelecer critérios e formar estratégias para jogar. Na segunda fase os alunos passam a jogar em duplas. Nesta etapa, eles precisarão discutir as estratégias para escolher a fração a ser escondida, assim como, o intervalo da fração escondida pela dupla adversária. Essas escolhas devem ser anotadas em uma tabela entregue pela professora. Pode-se assim dizer que tais descrições caracterizam situações de formulação.
frações “armadilhas” existentes no intervalo de 0 a 10. Neste momento é feita pelo professor a institucionalização dos saberes adquiridos.
Com a experiência, Brousseau (2013) verificou que o aluno constrói o conhecimento, encontra significado ao que está fazendo, vê na prática a aplicação do conteúdo que parece distante e explicita os conhecimentos prévios.
As várias tarefas foram previamente planejadas com objetivos e metodologia que permitiam ao aluno fazer descobertas e encontrar significado no que realizava. No desenvolvimento do trabalho descrito, foi possível ao pesquisador perceber o envolvimento e participação ativa das crianças no processo de aprendizagem. Elas se comunicavam na formulação de hipóteses e faziam registros pertinentes à situação. O professor atuou nesse processo apenas com as mediações necessárias à cada situação proposta. De acordo com Brousseau (2008), esta é uma condição necessária para que haja uma situação adidática.
Com as atividades, Brousseau (2013) observou que a utilização de recursos didáticos como os jogos são facilitadores no processo de aprendizagem. Com eles, o aluno tem a oportunidade de criar estratégias, fazer descobertas e encontrar significados para o ensino que está em jogo. Sendo assim, a utilização de recursos didáticos como jogos, materiais manipuláveis, entre outros, podem ser utilizados para facilitar a aprendizagem de alunos de diferentes faixas etárias.
Em relação à aprendizagem do aluno jovem e adulto, Piconez (2013) afirma que os estudantes aprendem muito melhor “fazendo”, ou seja, eles têm uma aprendizagem ativa quando usam os canais sensoriais na interação com um recurso. No entanto, ao considerar que o aluno da EJA tem características e especificidades próprias da sua idade e da realidade em que convive, é conveniente que o professor leve em conta alguns pontos importantes no planejamento de suas aulas. Segundo Piconez (2013, p.30), o professor deve fazer os seguintes questionamentos:
Quais experiências dos estudantes favorecem mais a aprendizagem com o uso dos recursos didáticos disponíveis?
Em que se aproximam de situações reais de vida?
Como é que diferentes atividades e/ou recursos podem enriquecer e ampliar as informações contidas nos livros didáticos?
O material didático disponível traz contribuições que favorecem a aprendizagem e construção de conhecimentos pelos estudantes? (PICONEZ, 2013, p. 29).
Este levantamento feito pelo professor vai direcioná-lo na elaboração de situações de aprendizagem que despertem no aluno o interesse pelo conceito ensinado.
De acordo com Almouloud (2007), a forma de propor um problema deve ter por objetivo provocar uma interação que permita ao aluno desenvolvimento autônomo. Essa interação do aluno com os problemas colocados pelo professor caracteriza uma situação didática, percebida, nesta investigação, como estratégia valiosa no trabalho específico com estudantes da Educação de Jovens e Adultos, em função das especificidades deste público. Para compreender melhor este fator, alguns apontamentos são feitos em seguida.
1.3 Um breve histórico sobre a Educação de Jovens e Adultos
Durante o processo de colonização no Brasil, apareceram os primeiros vestígios da Educação de Jovens e Adultos. Com a chegada dos padres jesuítas em 1549, iniciou-se um processo educativo que tinha por objetivo a catequização dos indígenas e a instrução dos filhos de colonos. Diferente da educação formal que conhecemos hoje, os ensinamentos transmitidos pelos inacianos5 previam, a priori, a
cristianização de todos os nativos contatados. A educação dada aos indígenas constituía-se em troca conhecimentos: enquanto cristianizavam, os jesuítas aprendiam a língua nativa. De acordo com Silva, M. A. (2007), os ensinamentos dos Jesuítas tinham como foco inserir os nativos no mundo cristão por meio da leitura, da apresentação e da interpretação da palavra divina. A autora relata que os métodos de ensino utilizados pelos jesuítas eram regulamentados por um documento conhecido como “Ratio studiorum6”, o qual era composto por 30 capítulos que traziam as
determinações que definiam a organização escolar e o que o aluno deveria estudar. Observa Hilsdorf (2003, p.9) que:
Um colégio jesuíta modelar abrangia aulas de gramática latina, humanidades, retórica e filosofia numa gradação de estudos que, cumprida integralmente, depois de oito ou nove anos de frequência, levaria à formação do letrado.
Todo esse conteúdo era adquirido por meio de repetições sistemáticas. As Ciências da Natureza não compunham o Currículo e o ensino da matemática resumia-se em aulas de contar. Os preceitos educativos dos jesuítas ficaram tão arraigados no Brasil que mesmo após sua expulsão, ocorrida em 1759, os métodos de educação implantados por eles atravessaram todo o período colonial e imperial e atingiram o período republicano, com raras mudanças em sua base estrutural.
Efetivamente, após este período, em relação à EJA, deve-se destacar que, segundo Freitas, A. (2013, p. 5):
As primeiras campanhas nacionais voltadas para o trabalho pedagógico com jovens e adultos que visavam à erradicação do analfabetismo datam do período pós 1a Guerra Mundial (1914-1918), momento de uma crescente industrialização no Brasil. O país registrava a impressionante marca de 80% de analfabetos como uma amarga herança das políticas educacionais do Império. Considerados
como uma “chaga nacional”, essa quantidade de analfabetos não condizia com o grande salto desenvolvimentista que se iniciava no País. Porém, o reconhecimento em caráter nacional da educação primária integral, gratuita e de frequência obrigatória, e como um direito de todos, apareceu apenas na Constituição de 1934.
Embora a educação brasileira, desde o período colonial até o republicano, tenha sido marcada por rupturas e propostas educacionais desencontradas que pouco contribuíram para o desenvolvimento do ensino, segundo Hisldorf (2003) os jesuítas possuíam projeto bem definido e objetivos bem claros: civilizar e cristianizar o nativo, além de letrar e moralizar o branco. Após a proclamação da República, iniciou-se uma campanha em torno de uma educação formal que abrangesse toda a população, ainda que esta iniciativa tenha ficado bem distante da universalização.
Fernando Azevedo e Anísio Teixeira, correspondem às necessidades do período em que a sociedade brasileira sofria grandes transformações associadas ao processo de industrialização e concentração populacional em centros urbanos. Nos anos 1930, então, a educação de jovens e adultos começou a demarcar seu lugar na história da educação no Brasil (BRASIL, 2002, p.19).
O governo federal trabalhava no sentido de ampliar o atendimento da educação básica e traçar diretrizes educacionais para todo o país, delegando as obrigações dos estados e municípios: “a oferta do ensino básico gratuito estendia-se consideravelmente, acolhendo setores mais diversificados da sociedade” (BRASIL, 2002, p.19). Essa atitude do governo visava incentivar a ampliação do ensino elementar também aos adultos.
A partir de então, com o fim da ditadura de Getúlio Vargas em 1945, e da segunda guerra mundial, o país vivia a agitação política da redemocratização do Estado brasileiro. Nesse processo, “a educação de adultos ganhou destaque dentro da preocupação geral com a universalização da educação elementar” (BRASIL, 2002, p.19).
Neste contexto histórico, percebeu-se uma ação mais efetiva em relação à educação de adultos que se estendeu por aproximadamente duas décadas. Neste período, surgiu a Campanha de Educação de Adultos, uma iniciativa nacional de massa, lançada em 1947, cujo objetivo era a alfabetização do aluno em três meses, para depois condensar o curso primário em sete meses (Brasil, 2002). Logo em seguida, viria a etapa de capacitação profissional e o desenvolvimento comunitário. Sob a direção do professor Lourenço Filho7, a campanha teve resultados significativos
em diversas regiões do país e foram criadas várias escolas de ensino supletivo com a ajuda de profissionais e voluntários. Por volta dos anos 1950, o entusiasmo começou a diminuir, as iniciativas e ações comunitárias em zona rural não surtiram o mesmo sucesso, causando a extinção da campanha no final da década. Assim, a responsabilidade da rede de ensino supletivo foi atribuída aos estados e municípios.
7Bergström Lourenço Filho foi um dos mais influentes psicólogos e educadores brasileiros da primeira
Durante o período de campanha, assuntos como as causas do analfabetismo, o não desenvolvimento do país, ideias preconceituosas sobre adultos analfabetos, o reconhecimento de seus saberes e suas capacidades foram temas de debates e reflexões. O resultado foi a modificação da visão do analfabeto como um ser inadequadamente preparado para as atividades convenientes para a vida adulta e o reconhecimento do adulto analfabeto com um ser produtivo, capaz de raciocinar e resolver seus problemas (Brasil, 2002). Essa confiança na capacidade de aprendizagem do aluno adulto motivou o Ministério da Educação a produzir pela primeira vez, material didático específico para o ensino de leitura e escrita para os adultos.
Ao final da década de 1950, as campanhas receberam muitas críticas, tanto no aspecto administrativo quanto pedagógico.
Denunciava-se o caráter superficial do aprendizado que se efetivava no curto período da alfabetização, a inadequação do método para a população adulta e para as diferentes regiões do país (BRASIL, 2002, p.22).
As críticas ao modelo inadequado da educação de adultos convergiam para uma inovação nos procedimentos relacionados a essa modalidade de ensino. Estava surgindo uma nova visão sobre o problema do analfabetismo, junto à consolidação de uma nova pedagogia de alfabetização de adultos, que tinha como principal referência o educador Paulo Freire.
