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DESAFIO DAS 8 RAINHAS
Material de apoio para o(a) professor(a).
ORIGEM DO JOGO
O Desafio das 8 Rainhas é um jogo de tabuleiro para ser jogado individualmente, sem adversários. O jogo popularizou-se como um desafio a partir de 1848 quando a revista Schachzeitung o publicou, sendo proposto pelo enxadrista Max Bezzel.
Diversos matemáticos como Gauss e Cantor tentaram resolvê-lo, mas a primeira solução foi proposta por Franz Nauck em 1850 (ZENI, 2007).
O tabuleiro pode ter reduções de tamanho com variações de 4x4 até 8x8 e no número de rainhas (correspondente ao tamanho do tabuleiro). Considerando-se um tabuleiro 8x8 com oito rainhas, o enigma apresenta 92 soluções, sendo 12 delas básicas (Anexo 1) e as demais obtidas por giros e simetrias
OBJETIVO DO JOGO
Posicionar as 8 rainhas no tabuleiro sem que uma elimine a outra, ou seja, as peças não podem estar na mesma linha, coluna ou diagonal.
MATERIAL
● Um tabuleiro 8x8,conforme Apêndice A.
● 8 peças iguais (rainhas) que podem ser grãos ou tampinhas de garrafa.
REGRAS
● Partida para 1 jogador.
● O jogo inicia com as rainhas fora do tabuleiro.
Ao colocá-las sobre o tabuleiro, o jogador deve posicioná-las de maneira que não estejam na mesma linha, coluna ou diagonal. As setas do modelo abaixo indicam a direção em que as rainhas seriam eliminadas, pois estariam posicionadas na mesma linha, coluna ou diagonal.
ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS:
Desafio das 8 Rainhas
Objetivos de aprendizagem
-Desenvolver raciocínio estratégico, pensamento combinatório e espacial, concentração e experimentação;
- Desenvolver conhecimentos relacionados a simetria, análise combinatória e matrizes em jogo de estratégia.
Indicação
- Pode ser trabalhado com alunos do Ensino Fundamental e Médio, a partir do quarto ano do Ensino Fundamental. Para os anos iniciais, pode- se considerar o desafio para tabuleiros menores.
Conteúdos - Simetrias, análise combinatória e matrizes.
Tempo estimado para a
jogabilidade - 50 minutos.
Formas de registro - Livre.
DESENVOLVIMENTO DA ATIVIDADE:
Jogar o Desafio das 8 Rainhas pode ser muito divertido desde a confecção do material do jogo: o professor pode propor que os alunos construam tabuleiros de forma livre ou orientada a trabalhar com conceitos geométricos. Os estudantes podem jogar inicialmente com 4 rainhas e construir suas próprias estratégias de jogo, aumentando o tamanho do tabuleiro e o números de rainhas. Assim, o professor possibilita que os alunos desenvolvam o pensamento combinatório, estabeleçam estratégias de jogo e as testem em tabuleiros, progressivamente maiores.
Ao concluir o tempo de jogabilidade, é importante que os alunos possam argumentar com os demais colegas sobre as estratégias utilizadas no desafio com diferentes tamanhos de tabuleiros.
Nesse momento, pode-se acrescentar ao debate, a questão das simetrias no tabuleiro e as possíveis combinações de jogadas que podem ser estabelecidas como estratégia para se encontrar as soluções para o desafio.
QUESTIONAMENTOS POSSÍVEIS:
● As estratégias utilizadas foram iguais?
● Quantas maneiras foram encontradas para cumprir o desafio com tabuleiro 4x4? E 5x 5?
● Se você encontrar uma solução do desafio para o tabuleiro 4 x 4, por exemplo, qual outra solução seria possível de testar?
● Quantas maneiras existem de se colocar apenas uma rainha em cada linha ou coluna, considerando um tabuleiro 8x8, por exemplo?
● Por que é mais fácil posicionar 4 rainhas no tabuleiro, ao invés de 8 rainhas?
● Percebe-se relações do jogo com a matemática? Se existe, quais relações são possíveis?
EXEMPLOS DE SOLUÇÕES:
Tabuleiro 4x4 com 4 rainhas Tabuleiro 5x5 com 5 rainhas
Tabuleiro 6x6 com 6 rainhas Tabuleiro 7x7 com 7 rainhas
Tabuleiro 8x8 com 8 rainhas
ORIENTAÇÕES COMPLEMENTARES
Soluções por meio de simetrias e combinatórias:
1. Simetrias
Pode-se obter diferentes soluções para o Desafio das 8 Rainhas por meio da noção de simetria. Em um polígono regular com quatro lados são quatro as retas ou eixos de simetria: uma reta vertical, uma reta horizontal e duas retas diagonais, conforme a figura abaixo:
Na presente situação, sendo o tabuleiro quadrado, podemos obter a solução do desafio por meio de dois tipos de simetrias: simetria axial ou de reflexão (obtida através do eixo de simetria que divide o quadrado em partes iguais) e simetria rotacional (obtida ao girarmos o quadrado ao redor de um ponto).
Modelo de simetria axial (8x8)
2. Análise Combinatória:
A análise combinatória pode ser argumentada a partir de questionamentos sobre as possibilidades em organizar as rainhas no tabuleiro.
Por exemplo, quantas são as maneiras possíveis de se colocar as 8 rainhas no tabuleiro 8x8 ? O resultado é a combinação de 64 tomadas 8 a 8.
Em outros questionamentos, podem ser impostas algumas restrições, diminuindo as possibilidades.
Exemplo: E se só pudermos colocar uma rainha em cada coluna ou linha?
Quantas são as maneiras possíveis de se organizar as 8 rainhas? Agora, a cada coluna ou linha, a quantidade de espaços será diminuída em 1. Logo, a resposta será 8! = 40.320.
3. Matrizes
As matrizes podem ser trabalhadas considerando os tabuleiros como matrizes quadradas. A posição de cada rainha é o elemento rij, com i representando as linhas e j representando as colunas do tabuleiro. Os alunos podem ir registrando suas jogadas e percebendo quais são as posições possíveis que podem colocar as rainhas. Um exemplo disso é a situação a seguir: tabuleiro 7x7, com as rainhas posicionadas em r11, r42 e r63.
O aluno pode, a partir deste exemplo, perceber que as próximas rainhas não poderão ter configuração r1x, r4y, r6z, ra1, rb2 e rc3. Além disso, perceber que como a rainha r11 está localizada na diagonal, nenhuma rainha pode ser posicionada em rnn.
Outra observação que pode ser feita é com relação à “enxergar uma reta crescente” que passa pela posição da rainha r42 e pelas posições r15, r24, r33 e r51. Nestas posições não há possibilidade de posicionar outra rainha e a soma dos elementos i e j é 6.
Ou seja, pode-se explorar possibilidades e criar novos padrões a cada rainha que vai sendo posicionada. Permitindo que os alunos possam prever as jogadas,
criando novas estratégias para achar os resultados do desafio.
LINK EXPLICATIVO DO JOGO:
https://www.youtube.com/watch?v=UEJAsi9yFXg
REFERÊNCIAS:
ZENI, J. R. R. Um Software para o Problema das 8 Rainhas. Rio de Janeiro: 2007.
Apêndice A Modelo de Tabuleiro 8x8 do jogo.
Anexo 1
(12 soluções básicas)
