Modelos de vértices exatamente integráveis

(1)

INSTITUTO DE FÍSICADE SOCARLOS

MODELOS DE VÉRTICES EXATAMENTE INTEGRÁVEIS

Anderson Augusto Ferreira

Dissertação apresentada ao

Instituto de Físia de São Carlos,Universidadede São Paulo,

para a obtenção do título de Mestre em Ciênias: Físia Básia

(2)

(3)

(4)

•

Ao professor Franiso Castilho Alaraz, pelo grande esforço que tem feito no meu proesso deformação ientía.

•

A minha mãe, ao meu irmão, e ao meu amigo Justino, que me deram muita força nosmomentos difíeis de minhavida.

(5)

Nesta dissertação, mostramos as primeiras apliações do reém riado Ansatz do

Produto Matriial [8℄ na solução exata das matrizes de transferênia assoiadas a

modelos de vérties. A integrabilidade dos modelos é obtida diagonalizando-se a

matriz de transferênia diagonal-para-diagonal. Foram estudados duas lasses de

modelos.

Na primeira delas introduzimos novos modelos de vérties, que denominamos de

modelos de 5 vérties interagentes. Nestes modelos os vérties além das interações

usuaisde vizinhos próximos, dadas pela regra do gelo, possuem também interações

denatureza repulsivaao longo dadiagonal. Ofamosomodelo de6 vérties éobtido

numlimite partiulardeste novomodelo.

Oespetro da matriz de transferênia, analogamente ao que aontee no ansatz de

Bethetradiionalédadoemtermosdasolução deequaçõesnãolineares. Umestudo

analítio e numério destas equações foifeito para o modelo de 6 vérties que está

ontido nesta primeira lassede modelos. Tais resultados,juntamenteom asidéias

deinvariânia onforme,nospermitiram estudar omodelo emseuregimerítio.

A segunda lasse de modelos que estudamos foram os modelos de 10 vérties que

satisfazemàsregrasdogelo. Obtivemos todosospossíveismodelosexatamente

(6)

In this dissertation we present the rst appliation of a reent introdues Matrix

ProdutAnsatz [8℄, inthe exat solution of thetransfer matriesassoiated to

ver-tex models. The exat integrability is obtained thruong the diagonalization of the

diagonal-to-diagonal transfermatrix. We studied two lasses of models. Inthe rst

oneweintroduenewvertexmodels,thetweallasinterating5vertexmodels. On

thesemodels beyondthe nearest-neighbour interations amongthe vérties,imposed

bythe ierule,they alsohave repulsive interationsalongthediagonal. Thefamous

6vertex modelisjust aspeialasethis lassof models.

The eigenspetrum of this transfer matrix, analagously as in the the traditional

Bethe ansatz,isobtained intermsof the rootsofnon linearequation. Ananalitial

enumerial study oftheseequations wedone inthis aseofthe6 vertexmodelwih

isan speialase of the models onsidered on therst lass. Theseresults together

withthemahinaryommingfromonformalinvarianeallowusthestudythemodel

onits ritialregion.

Theseond lassofmodels we onsideredwerethe10 vertexmodels thatsatisfyie

rules we obtained all the possible exat integrabel models on this lass, rederiving

(7)

1 Introdução 1

2 Modelos de vérties om ondições de ontorno toroidais espeiais 9

2.1 Introdução . . . 9

2.2 Loalização dasehas na rede e a matriz de transferênia diagonal-para-diagonal . . . 12

3 Modelos de 5 vérties interagentes 15 3.1 Modelode 5 vérties omdomíniode interação

s

xo . . . 16

3.2 Modelode 5 vérties omdomíniode interação

s

variável . . . 19

3.3 Diagonalização da matriz de transferênia diagonal-para-diagonal do modelode 5vérties interagentes de domíniode interação

s

variável . . . 19

3.4 Estruturadosautovaloresdamatrizdetransferêniadomodelodeseis vérties. . . 36

3.4.1 SoluçõesNumériaspara adeias nitas . . . 36

3.5 LimiteTermodinâmio . . . 44

3.5.1 Introdução . . . 44

(8)

3.5.4

∆

<

−

1

. . . 53 3.6 Conteúdo operatorial do modelo de 6 vérties a partir da matriz de

transferêniadiagonal-para diagonal . . . 55

3.6.1 Veloidadedo som em

∆ = 0

. . . 57

3.6.2 Estados exitados . . . 58

4 Modelos de 10 vérties exatamente integrável na rede diagonal 62

4.1 Desriçãodomodelo . . . 62

4.2 Diagonalização da matriz de transferêniadiagonal-para-diagonal

as-soiadaao modelode 10 vérties . . . 63

4.3 Análisedassoluções . . . 83

5 Conlusão 88

(9)

Introdução

No iníio do séulo 20, Niels Bohr e a físia holandesa J.H. Leeuwen mostraram

queemqualquertemperatura nita,e paraquaisqueramposelétriosemagnétios

nitos, a magnetização resultante de umaoleção de elétrons em equilíbrio térmio

é identiamente igual a zero. Tal demostração ontrariava a experiênia,pois desde

aeragrega, o homem játinha onheimento daexistênia de materiaismagnétios.

Evidentemente om essademonstração, a teorialássiamostrava-se inapazde

ex-pliaroomportamentomagnétiodosmaterias. ApenasomoadventodaMeânia

Quântia foipossívelentenderquea prinipalausado magnetismoeradevidoà

in-teraçâo oulombiana e asimetria imposta pelos spins doselétrons.

Ising em 1925, props um modelo semi-lássio de spins em uma dimensão, om o

objetivo detentarexpliar a transiçãode fasedo estadoparamagneto paraoestado

ferromagneto, e onsequentemente estruturar a teoria dos materias magnétios. O

seumodeloeraaraterizado pela Hamiltoniana

E

(

X

) =

₋

J

L

X

i

=1

s

i

s

i

+1

−

h

L

X

i

=1

s

i

,

(1.1)

(10)

as possíveis ongurações da rede. As variáveis

s

k

,

k

∈

(1

, . . . , L

)

assumem dois possíveis valores (1,-1), orrespondendo às duas possíveis orientações dos spins em

ada sítio

i

(

i

= 1

, . . . , L

)

da rede.

Baseando-se neste modelo, Ising alulou exatamente a função de partição, e

on-sequentemente obteve as grandezas termodinâmias. A onlusão de seus álulos

indiavamparaampomagnétioexternonulo,aexistêniadeumatransiçãodefase

doestadoparamagnetoparaoestadoferromagnetosomenteem

T

= 0

,ontradizendo osresultados experimentais queindiavamtransiçõesde faseem

T

6 = 0

. Emvirtude deste fato, Heisenberg propsem 1928 ummodelo quântio de spin. Neste modelo,

quepassouaserhamadodemodelodeHeisenberg,asvariáveisdespinsãotroadas

por matrizesde Pauli, isto é,

H

=

₋

J

X

<r,r

′

>

(

σ

~

r

~σ

_r

′

−

1)

−

h

X

<r>

σ

_r

z

,

(1.2)

onde

~σ

r

= (

σ

x

r

, σ

y

r

, σ

z

r

)

sãoasmatrizesde Pauli de spin

1

2

,loalizados nossítios

~r

da rede,e

< r, r

′

>

sãoasoordenadas dosvizinhos próximosna rede.

A versão unidimensional deste modelo foi resolvida em 1931 por Hans Bethe. Em

1966 Yang e Yang [1℄ resolveram a versão anisotrópia do modelo de Heisenberg

unidimensional. No ano seguinte Lieb [2℄ resolveu o modelo de seis vérties que

disutiremos abaixo. Ambas as soluções foram obtidas utilizando-se as idéias de

Bethe. Iniiava-se então,a eradossistemas exatamenteintegráveis.

A idéiado ansatz de Bethe 1

onsiste em esreverasautofunções(estado de Bethe)

dooperador(Hamiltonianooumatrizdetransferênia),omoumaombinaçãolinear

dosvetoresde basesendoasamplitudesombinações linearesde ondasplanas.

Aapliaçãodo operadoraserdiagonalizado nosestadosdeBethe forneemrelações

queno asodo modeloserexatamenteintegrável, sãosimultâneamente satisfeitas.

(11)

Tais relações sãoexpressas por um onjunto de equações não lineares denominadas

por equações do ansatz de Bethe. O espetro do operador é obtido mediante a

resoluçãodestasequações.

Omodelodeseisvértiesfoipropostoem1932porL.Paulingparaexpliaraentropia

residual(entropiaporsítio)não nulanozeroabsolutode algumassubstânias, omo

por exemploomonóxidode arbono,hidrogênioeogelo. Pauling,numaversão

sim-pliadaadimitiuqueoristaldegelofosseformadoporumarranjoristalinoemque

osoxigêniosoupassemosvértiesdeumaredequadradaeoshidrogêniosasligações

damesma(pontesdehidrogênio). Estasligaçõesdeveriamsatisfazeràseguinteregra.

Regra do gelo: Ao redor de um átomo de oxigênio existem outros 4 átomos de

oxigênio numa distânia de

2 .

76

Angstrons. Os oxigênios são ligados por pontes de hidrogênio, que orrespondem a um poço duplo de potenial om mínimo às

distân-ias de

0 .

95

Angstrons e de

1 .

81

Angstrons. Para a neutralidade loal de arga ao redor de ada oxigênio, dois dos hidrogênios devem estar à distânias menor e dois

à distânias maior.

Segundo esta regra temos

6

possibilidades (vérties) de arranjar os hidrogênios ao

redor de um átomo de oxigênio. Mostramos na primeira leira da gura 1 uma

possívelrepresentação da regra dogelo. Nestagura assetasentrando representam

oshidrogênios próximos e assetassaindo representam oshidrogênios maisdistantes

de umdeterminado oxigênio quesitua-se novértie.

Quase trinta anosmais tarde, Lieb diagonalizou de forma exata a matriz de

trans-ferênia (linha-para-linha) assoiada ao modelo de 6 vérties, para o aso espeial

em que todas as energias eram iguais (

e

1 =

e

2 =

. . .

=

e

6 =

e

), entretanto no modelo maisgeral de seisvérties [3℄ podemos atribuir energias distintas paraada

(12)

e

₀

e

₁

e

₂

e

₃

e

₄

e

₅

Figura1.1: Energias dosvérties.

Modelos om valoresespeiais de energias tem reebidodiferentes denominaçõesna

literatura [3℄. O modelo onheido omo

KDP

, que desreve o omportamento ferroelétrio em baixas temperaturas do di-hidrogênio fosfato de potássio é obtido

quando

e

1 =

e

2 = 0

,

e

3 =

e

4 =

e

5 =

e

6 >

0

. Um outro modelo onheido por modelo

F

arateriza o omportamento antiferroelétrio. Asenergias deste modelo são

e

1 =

e

2 =

e

3 =

e

4 >

0

,

e

5 =

e

6 = 0

.

Por outro lado,a representação deproessos estoástios interagentes emtermosde

adeias quântias de spins tem produzido uma frutífera onexão entre a meânia

estatístia doequilíbrio ea donão equilíbrio. Omapeamento entre estasduasáreas

deve-seàsimilaridadeentreaequaçãomestraquedesreveasutuaçõestemporaisde

nãoequilíbriodeumdadoproessoestoástioeasutuaçõesquântiasnoequilíbrio

deadeiasquântiasde spin.

Aonexãomatemátiaentreoequílibrioeonãoequilíbriorevelaquealgumasadeias

quântiasquedesreveertosproessosestoástios interagentes sãoexatamente

in-tegráveis via ansatz deBethe.

Mais reentemente, ao longo da déada de noventa e iníio desta déada [30℄-[31℄,

(13)

proba-ansatzdeproduto dematrizes(MatrixProdutAnsatz). Deaordoomesteansatz

asomponentesdoautovetordoestadofundamentalsãodadasemtermosdeum

pro-duto de matrizes. Estas omponentes, a menos de umaonstante de normalização,

são xas pelas relações de omutação das matrizes, denindo deste modo o ansatz

deproduto dematrizes. Estesmodelos sãoemgeralnão exatamenteintegráveis,eo

ansatzdoprodutodematrizessomenteforneeoautovetordoestadofundamentaldo

Hamiltonianoquântio assoiadoao modeloestoástio,emontraposição aoansatz

deBetheaimamenionado, emqueumnúmeroinnito deautofunçõessãoobtidas.

Reentemente surgiu um novo ansatz de produto de matrizes na área de modelos

estoástios interagentes, ansatz este denominado por ansatz do produto matriial

dinâmio (DynamiMatrix Produt Ansatz [4℄). De aordo omeste ansatz, a

dis-tribuiçãodeprobabilidadedomodeloédadaporumproduto dematrizesnãoapenas

parao estadoestaionário, massimpara umtempo arbitrário. Oansatzdoproduto

matriial dinãmio foi apliado originalmente em problemas de difusão assimétria

de partíulas na rede [4℄, [5℄. Reentemente [6℄, [7℄ mostraram que o ansatz pode

sertambém apliadoem problemas de difusão assimétria ontendo duaslasses de

partíulas. MotivadosporesteansatzAlarazeLazo[8℄pereberamqueosuessodo

ansatzmatriialnosproessosestoástiosaima menionado[4℄-[7℄sópoderiamser

expliadospelofatodosHamiltonianos quântiosassoiados seremexatamente

inte-gráveis. Isto possibilitou [8℄ a formulação de um novo ansatz do produto matriial,

quepode ser apliado, emprinípio, paraadeiasquântiasexatamente integráveis,

estejamtaisadeiasligadasounão aproessosestoástios. Emprinípio tal

formu-laçãoteria o mesmograude abrangêniaque ofamoso ansatz deBethe.

A idéia básia deste ansatz onsiste em esrever as autofunções do operador a ser

diagonalizadoomoumaombinaçãolineardosvetoresdebase,ujasamplitudessão

esritasomoo traçode umproduto de matrizes.

(14)

(análogas às equações do ansatz de Bethe menionadas anteriormente) são obtidas

através da invariânia ília do traço de produtos matriiais, juntamente om as

relaçõesde omutação entre asmatrizesdenidas noansatz matriial.

Paralelamenteaodesenvolvimentodossistemasexatamentesolúveis,desenvolvia-sea

teoriadosfenmenosrítios, ujoponto ulminantefoidadoem1974 omasidéias

da teoria do Grupo de Renormalização por Wilson [9℄ que proporiou um maior

entendimento daslasses deuniversalidade de omportamento rítio.

Os ingredientes básios que araterizavam sistemas físios pertenentes às

difer-entes lasses de universalidades, seriam rotulados pela sua dimensionalidade e suas

simetrias. Assingularidades das funções termodinâmias estariam governadas pelos

pontos xos do grupo de renormalização. Em 1984 Belavin, Polyakov e

Zamolod-hikov(BPZ)[10℄ pereberamqueseossistemasrítiosfossem, alémdeinvariantes

por dilatação (omo no grupo de renormalização), também invariantes por

trans-formações onforme, grandes onsequênias surgiriam em duas dimensões, onde o

grupo dastransformações onformes é de dimensão innita. O omportamento dos

fenmenosrítiosagoraestariamindexadosporumnúmero

c

,hamadodeanomalia entral ouarga entral da algebra onforme.

Em seguida,Friedan, Qiue Shenker[11℄mostraram quesealém de invariantes

on-formesosmodelostambémforemunitários(queéoasodosmodelosestatístiosque

sãoassoiadosàmatrizesdetransferêniaunitárias)eomaargaentralmenorque

um

(

c

≤

1)

, aspossíveislasses de universalidades sãoquantizadas pelasérie

c

= 1

₋

6 m

(

m

+ 1)

, m

= 2

,

3 , . . . ,

(1.3)

sérieestadenominadaminimal. Paratalsérieasdimensõesesalares

∆

p,q

(queestão

assoiadas aosexpoentes rítios)é dadapelafórmula deKa [12℄

∆p,q

=

[

p

(

m

+ 1)

−

qm

]

2 ₋

₁

(15)

Atabela dospossíveispesosonformes paraumdado valorda anomaliaonforme é

tambémhamadapor tabelade Ka.

No aso em que a anomalia onforme é maior que um

(

c

≥

1)

, a unitariedade e a invariânia onforme não são suientes para quantizar os possíveis valores de

c

, a nãoser quesimetrias adiionais sejam impostas.

Afase marante da apliação dainvariânia onforme emfenmenosrítiosà duas

dimensões surgiuomostrabalhosdeBlöteetal. [13℄,Aek[14℄eCardy[15℄,[16℄.

Eles mostraram umamaneira sistemátia de seestimar a anomalia onforme

c

e as dimensõesanmalasdosoperadores(queestãoassoiadasomosexpoentesrítios)

a partir do omportamento assintótio do espetro dos modelos em sua formulação

Eulidiana(matriz de transferênia) ouHamiltoniana emgeometrias nitas.

Blöte et al. [13℄ e Aek [14℄ mostraram, independentemente, que se esrevermos

a matriz de transfêrenia

T

omo

T

=

e

−

H

, então a anomalia onforme

c

pode ser determinada a partir do omportamento assintótio do estado fundamental de

H

quando denido numa tira de tamanho

L

, e om bordas periódias, da seguinte

maneira

E

0 (

L

)

L

=

e

∞

−

πcv

s

6 L

2 +

o

(

L

−

2 ₎

_,

(1.5)

sendo

e

∞

aenergia porsítio doestadofundamentalda redeinnitae

v

s

(veloidade do som) o oeiente linearna relaçãode dispersão energia-momento da adeia. Já

as dimensões dos operadores que governam as utuações rítias são aluladas a

partir do omportamento assintótio

(

L

→ ∞

)

dos estados exitados de

H

. Para ada operador primário

O

∆

,

∆

¯

om dimensão

x

∆

,

∆

¯

_{= ∆ + ¯}

_∆

e spin

s

∆

,

∆

¯

_{= ∆}

₋

_∆

_¯

,

existe uma torre innita de estados de

H

, ujas energias

E

∆

,

∆

¯

m,m

′

e momento

P

∆

,

∆

¯

m,m

′

,

(16)

E

∆

,

∆

¯

m,m

′

(

L

) =

E

0 +

2 πv

s

L

(

x

∆

,

∆

¯

₊

_m

₊

_m

′

) +

o

(

L

−

1 )

,

P

_m,m

∆

,

∆

¯

′

=

2 π

L

(

s

∆

,

∆

¯

₊

_m

−

m

′

)

.

(1.6)

Adisposição dosapítulos desta dissertaçãofoielaboradade modoa permitirqueo

leitor tivesse uma visão sequenial do que foi estudado e desenvolvido durante este

período de mestrado. No apítulo 2 apresentamos de forma didátia a osntrução

damatriz detransferênia diagonal-para-diagonal assoiadaaosmodelos devérties

estudadosnestadissertação.

Noapítulo3introduzimosnovosmodelosdevértiesquedenominamos pormodelos

de5 vértiesinteragentes, sendo que,o famosomodelo de6 vértiespodeserobtido

omo um aso partiular deste novo modelo. Neste mesmo apítulo utilizamos o

ansatz do produto matriial, para obter a solução exata destes novos modelos

asso-iados à matriz de transferênia diagonal-para-diagonal. Em seguida, faremos um

estudonumério dasequaçõesdo ansatzdeBethe domodelode6vérties assoiado

à matrizde transferênia diagonal-para-diagonal, queserviu omo ponto de partida

para extrairmos o limite termodinâmio deste modelo. Para onluir este apítulo,

extraímosoonteúdooperatorial domodelode 6vérties,emsuaregião rítia,que

ompreendeointervalo

−

1 <

∆

<

1

,onde

∆

éaanisotropiaquearaterizaomodelo de6 vérties.

No apítulo 4 apresentamos e obtemos a solução exata dos modelos de 10 vérties

assoiados à matriz de transferênia diagonal-para-diagonal utilizando o ansatz do

produto matriial.

Noapítulo 5,apresentamos nossasonlusõese possíveisextensõesparaopresente

(17)

Modelos de vérties om ondições

de ontorno toroidais espeiais

2.1 Introdução

Mostraremosaquiummétodo alternativo deresolvero problemadevérties narede

quadrada. Este método foi proposto por Bariev [17℄. Ao invés de onsiderarmos a

redeomondiçãodeontornoperiódiaaolongodahorizontalonsideraremos uma

redeomondiçõesde ontornotoroidaisespeiais.

Para expliarmos estas ondições toroidais espeiais preisaremos nomear de uma

formaespeialossítiosnumaredequadradaformadapor

M

linhase

N

olunas. Uma redeomestageometriapossui

N

×

M

sítios. Umsítioéformadopelainterseçãode umalinha omumaoluna. Chamaremosaslinhaspor

l

(

l

= 1

, . . . , M

)

e asolunas por

c

(

c

= 1

, . . . , N

)

. Vamos agora nomear da esquerda para a direita da folha de papel, ossítios deuma determinada linha

l

da seguinte forma:

(18)

formadapor

M

linhase

N

olunas.

2

3

1

2

3

1

2

3

3 N

N

N−1

N−2

(1)

(2)

(3)

N−2

N−1

N−2

N−1

(2)

(1)

(2)

(3)

(M−2)

(M−1)

(M)

(M−1)

(M)

(M−1)

(M)

(M−1)

(M)

Figura2.1: Loalização dossítios narede quadrada.

Usando esta notação, as ondições toroidais espeiais de ontorno são denidas de

forma que um determinado sítio

s

(

l

)

₍

_s

_{= 1}

_,

₂

_{, . . . , N}

₎

da linha

l

(

l

= 1

,

2 , . . . , M

)

seráequivalente ao sítio

s

(

M

+

l

)

,e ao sítio

(

M

+

s

−

1)

(

M

+

l

−

1)

,ou seja,

s

(

l

)

_≡

s

(

M

+

l

)

,

(2.2)

s

(

l

)

_≡

(

M

+

s

₋

1)

(

M

+

l

−

1)

.

(2.3)

É interessante ressaltar que a denominação espeial na ondição de ontorno que

estamos usando deve-se à (

2 .

3

). Para alular a matriz de transferênia om as ondiçõesdeontornoaimadenidasserámaisfáilrepresentarmosaredequadrada

numa forma diagonal 1

. Na gura

3 b

mostramos tal representação para a rede

N

_×

M

= 4

_×

5

.

Notequesegundo asondiçõesde ontorno(

2 .

2

) temospara a rededa gura2.2

a

a equivalêniadosseguintessítios

(19)

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

5 (1)

(2)

(3)

(4)

2

3

4

5

5 (1)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

a)

b)

Figura2.2: Transformação darede quadrada paradiagonal.

1 (1)

_≡

5 (5)

,

1 (2)

_≡

5 (6)

,

1 (3)

_≡

5 (7)

,

1 (4)

_≡

5 (8)

,

1 (5)

_≡

5 (9)

,

(2.4)

enquanto que aondição de ontorno(

2 .

3

) nosdá

1 (1)

_≡

1 (6)

,

2 (2)

_≡

2 (7)

,

3 (3)

_≡

3 (8)

,

4 (4)

_≡

4 (9)

.

(2.5)

Fazendo umorte na rede da gura

2 b

de tal forma que oontorno seja dado pelos onjuntosde sítios em(

2 .

4

) e(

2 .

5

) obtemos aredemostrada na gura2.3.

Perebemos então que a rede esrita na geometria da gura 2.3 tem a virtude de

possuir asondiçõesde ontornodo tipo toroidal.

Mostramos na gura2.4 aspossíveis ongurações no asopartiular do modelode

seisvértiesnestanovageometria,bemomoospesosdeBoltzmannorrespondentes.

Reparequeasonguraçõesdaprimeiraleirasãoasmesmasqueforamapresentadas

nagura1.1,porémagoraelassãorepresentadasnaredediagonal 2

. Parasimpliara

notaçãográasubstituiremososgráosdaprimeiraleirapelosgráosdasegunda

leiradestagura,ondeoloamosapenasasehasujosentidoapontaparaaparte

inferiorda folha.

(20)

1

2

3

4

5

5 (1)

(2)

(3)

(4)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

5

4

1 (6)

2 (7)

3 (8)

4

5 (8)

(8)

(9)

(10)

Figura2.3: Redediagonal.

a

0 a

1 b

2 b

1 c

2

Figura2.4: Conguração deehasna redediagonal.

2.2 Loalização das ehas na rede e a matriz de

trans-ferênia diagonal-para-diagonal

Antes de loalizarmos asehas nesta nova redeé fundamental redenirmos o

on-eitodelinhaparaestageometria. Aslinhasserãorepresentadasdeformatraejada,

omopodeser observado nagura 2.5. Chamaremosde sítios os pontosnumerados

(21)

1 2 3 . . . . . . N−1 N

Linha r

Linha r+1

Figura2.5: Loalização daslinhasnarede diagonal.

Paraloalizarumonjunto de

n

ehasentreduaslinhassuessivas(

r

e

r

+ 1

) será neessárioespeiarnão só asposiçõesdas ehas

(

x

1 , x

2 , . . . , x

n)

, mas tambémo estado

(

α

1 , α

2 , . . . , α

n)

vertial ou inlinado de ada eha. Designemos então o vetor

|

ϕ

r

>

≡ |

x

1 , α

1 ;

x

2 , α

2 ;

. . .

;

x

n

, α

n

>,

(2.6)

para espeiar a onguração de ehas de uma dada linha

r.

O índie

α

i

(

i

=

1 ,

2 , . . . , n

)

pode assumir dois valores, que orrespondem à uma eha no estado

vertial (

α

= 1

) ou no estado inlinado (

α

= 2

). Como exemplo, exibimosna gura 2.6aonguraçãode4ehas

|

1 ,

1; 2

,

1; 2

,

2; 3

,

2 >

numaredeom

N

= 4

sítios,para omodelo de seisvérties.

1

2

3

4 Linha r

1,1;2,1;2,2;3,2

Figura 2.6: Exemplo deumalinha na redediagonal.

Para alularmos afunção de partiçãonestanovageometria deveremos diagonalizar

(22)

Z

=

X

ϕ

1 X

ϕ

2 . . .

X

ϕ

M

< ϕ

1 |

T

D

−

D

|

ϕ

2 >< ϕ

2 |

T

D

−

D

|

ϕ

3 >

· · ·

< ϕ

M

|

T

D

−

D

|

ϕ

1 >

=

Tr

(

T

M

D

−

D

)

.

(2.7)

O elemento da matriz de transferênia

< ϕ

r

|

T

D

−

D

|

ϕ

r

+1

>

oneta a onguração

|

ϕ

r

>

da linha

r

om a onguração

|

ϕ

r

+1

>

da linha

r

+ 1

. Para o modelo de 6 vérties esteelemento dematriz podeser esritoomo

< ϕ

r

|

T

D

−

D

|

ϕ

r

+1

>

=

a

m

0

1 a

1 m

2 b

1 m

3 b

m

2

4 c

1 m

5 c

m

2

6 ,

(2.8)

ondeoonjunto

{

m

≡

m

1 , m

2 , . . . , m

6 }

deinteirosontabilizamonúmerodevérties entre osestados

|

ϕ

r

>

e

|

ϕ

r

+1

>

,e satisfazemovínulo

P

6

(23)

Modelos de 5 vérties interagentes

Osmodelosqueiremostratarnesteapítulosãodenidosnaredequadrada,eos

vér-tiesassoiados aos modelos são mostrados na gura 3.1om asrespetivas

fugai-dades. Reparequeestesvértiessãoosmesmosdagura2.4,exetopelainexistênia

dovértiedefugaidade

a

1

.

Além da interação entre os vérties mais próximos devido à regra do gelo, existem

outras interaçes entrevérties vizinhos ao longode uma dasdiagonais. Iremos

ini-ialmenteexpliar umaversãosimpliadadosmodelos,paraemseguida apresentar

omodelo maisgeral de5 vérties abordado emnossotrabalho.

b

2

(24)

3.1 Modelo de 5 vérties om domínio de interação

s

xo

Além das interações devido à regra do gelo, este modelo possui também interações

ujorangedepende deumparâmetro inteiroímpar

s

(

s

= 1

,

3 ,

5 . . .

)

. Taisinterações oorrem ao longo da diagonal que vai do anto superior esquerdo da rede ao anto

inferior direito da mesma 1

. Neste modelo as interações entre os vérties não são

homogêneas. A distânia de interação entre dois vérties ao longo da diagonal de

interação é

d

=

l

√

2 a

,

(

l

= 1

,

2 , . . .

)

,

sendo

a

o parâmetro da rede. A energia de

interação irá depender da distânia

D

(na diagonal) entre os vérties da seguinte maneira:

a) Osvérties não interagementresi se

D > d

.

b) Seumdosvérties for do tipo

a

0

ainteração é nula para

D

.

)Seosvértiespertenemaoonjunto

{

b

2 , b

1 , c

2 }

ainteração éinnita se

D

≤

d

exeto quando os dois vérties são

c

1

e

c

2

, estando

c

2

à esquerda superior de

c

1

, e osmesmos distarem de

D

=

d

=

l

√

2 a

. A energia neste aso é

e

I

, sendo o peso de

Boltzmann orrespondente expresso poronveniênia emtermosdasfugaidades

c

1

,

c

2

e de umnovo parâmetro quehamanos de

a

1

,isto é,

c

I

=

e

−

e

I

=

a

1 c

2 .

(3.1)

Ilustramos na gura 3.2 algumas ongurações proibidas e permitidas para o aso

onde oparâmetro domodeloé

l

= 1

.

O álulo da matriz de transferênia linha-para-linha embora fatível não é

sim-ples parao modelo presente, devido às interações não homogêneas entre osvérties

na diagonal de interação. Entretanto, quando estudamos a matriz de transferênia

diagonal-para-diagonal assoiada ao modelo, as interações entre os vérties da

di-agonal de interação envolvem apenas aslinhas de entrada e saída da matriz, sendo

(25)

Proibidas

Permitidas

Figura3.2: Interação entre osvérties à distânia

d

=

a

(2)

1

2

ao longo da diagonal parao

modeloom

l

= 1

(linha paralinha).

Proibidas

Permitidas

Figura3.3: Interação entre osvérties à distânia

d

=

a

(2)

1

2

ao longo da diagonal parao

modeloom

l

= 1

(diagonal-para-diagonal).

assim, a matriz é failmente alulada. Como exemplo mostramos na gura 3.3 as

interações mostradas nagura3.2 paraarede diagonal.

Na gura 3.4(a) e 3.4(b) mostramos ongurações típias de ehas ao longo da

(26)

s=3 (a)

s=5 (b)

Figura3.4: Conguraçõesde ehas omtamanho

s

= 3

e

s

= 5

narede diagonal.

Maisespeiamente uma dada ehateria umvolume de exlusão de

2 l

+ 1

linhas (vertiais ou inlinadas), isto é, a presença de uma dada eha em uma dada linha

(vertial ou inlinada) exlui a presença de outra eha na linha em questão, bem

omonas

2 l

linhas(vertial ou inlinada) àsuadireita.

Nesta formulação de ehas om tamanho efetivo

s

(ímpar), a extensão do modelo paraoaso

s

= 1

,seriaummodeloemqueasehaspoderiamouparlinhasvizinhas. Levando-seemontaafugaidadedosvértieseaenergiadeinteração

(3

.

1)

nosdaria ummodeloom umvértieadiional (veja gura 3.5) depesode boltzmann

e

−

e

I

_c

1 c

2 =

a

1 c

2 c

1 c

2 =

a

1 .

(3.2)

Assim o modelo om

s

= 1

reai no modelo de 6 vérties tradiional onstituido apenas dasinterações devizinhos próximos imposta pelaregrado gelo.

(27)

3.2 Modelo de 5 vérties om domínio de interação

s

variável

Estemodeloéumaversão maisgeraldomodeloanterior,poisagora,as

n

ehasem umadadaonguraçãoao longodadiagonal,equearaterizam osvérties,aoinvés

de possuírem um tamanho xo

s

poderão possuir tamanhos arbitrários e distintos

(

s

1 , s

2 , . . . , s

n)

. Mostramos omoexemplo nagura3.6aonguração deumalinha

ontendotrês ehasdetamanhos

s

= 3

,

1

e

5

. Asehasseexluemde aordoom seu tamanho e a interação entre duas ehas de tamanho

s

1

e

s

2

é dada por

(3

.

1)

aso a eha de tamanho

s

2

esteja

(2

l

1 + 1)

linhas à direita da eha de tamanho

s

1

. Opesode Boltzmann referenteàsongurações daslinhas

r

e

r

′

da gura

3 .

6

é dadapor

c

2 c

1 e

−

e

I

_b

2 a

N

₀

−

3

,onde

N

é otamanho da rede.

Linha r

Linha r+1

1 2 3 4 . . . .

Figura3.6: Conguraçãode três ehasomtamanhos

s

= 3

,

1

e

5

.

3.3 Diagonalização da matriz de transferênia

diagonal-para-diagonal do modelo de 5 vérties interagentes de

domínio de interação

s

variável

Devido à onservação do número de ehas na passagem entre duas linhas

onse-utivas da rede, podemos onstruir a matriz de transferênia na forma de bloos de

(28)

on-não é troada, a menos de permutações ílias. Deste modo, a ordem das ehas

{

s

1 , s

2 , . . . , s

n

}

podeseronsideradaumoutrobomnúmeroquântio. Podemosentão subdividir o bloo om

n

ehas emsub-bloos rotulados por este número quântio adiional

{

s

1 , s

2 , . . . , s

n

}

(ordenamento dasehas).

Formalmente devemos resolver o seguinte problema de autovalor para umsetor

en-volvendo umnúmero

n

de ehas,om tamanhos

{

s

1 , s

2 , . . . , s

n

}

Λ

{

s

1 ,s

2 ,...,s

n

}

n

|

Ψ

{

n

s

1 ,s

2 ,...,s

n

}

>

=

T

{

s

1 ,s

2 ,...,s

n

}

D

−

D

|

Ψ

{

s

1 ,s

2 ,...,s

n

}

n

>,

(3.3)

onde

Λ

{

s

1 ,s

2 ,...,s

n

}

n

e

|

Ψ

{

s

1 ,s

2 ,...,s

n

}

n

>

sãoosautovaloreseosautovetoresnosetor

index-ado por

n

ehas e om ordenamento

{

s

1 , s

2 , . . . , s

n

}

. Matematiamente podemos expressarestesautovetoresomo

|

Ψ

{

s

1 ,s

2 ,...,s

n

}

n

>

=

X

{

c

}

X

{

x

}

2 X

α

1 ,α

2 ,...,α

n

=1

φ

{

s

c

1 ,s

c

2 ,...,s

cn

}

α

1 ,α

2 ,...,α

n

(

x

1 , x

2 , . . . , x

n

)

|

x

1 , α

1 ;

x

2 , α

2 ;

. . .

;

x

n

, α

n

> .

(3.4)

Os kets

|

x

1 , α

1 ;

x

2 , α

2 ;

. . .

;

x

n

, α

n

>

denotam as ongurações da rede em que as ehasdo tipo

(

α

1 , α

2 , . . . , α

n

)

(

α

i

= 1

,

2

paraasehasvertiaise inlinadas)estão loalizadasnaposição

{

x

}

= (

x

1 , x

2 , . . . , x

n)

. Asfunções

φ

{

s

c

1 ,s

c

2 ,...,s

cn

}

α

1 ,α

2 ,...,α

n

(

x

1 , x

2 , . . . , x

n)

sãoas omponentes dasongurações onde as ehas de tamanho

(

s

c

1 , s

c

2 , . . . , s

c

n

)

e do tipo

(

α

1 , α

2 , . . . , α

n

)

estão loalizadas nasposições

(

x

1 , x

2 , . . . , x

n

)

, respetiva-mente. A soma

{

c

}

extende-se sobre aspermutações ílias

{

c

1 , c

2 , . . . , c

n

}

dos in-teiros

{

1 ,

2 , . . . , n

}

,easomaem

{

x

}

seextendeparaumadadadistribuição

{

s

c

1 , s

c

2 ,

. . . , s

c

n

}

de ehassatisfazendo

2

Reparequearelação(

3 .

5

)dáonta daspossíveisonguraçõesemqueaposição(

x

j

) deumaeha

(29)

1 _≤

x

1 +

s

1 −

1 < x

2 +

δ

α

1 ,

1 δ

α

2 ,

2 < . . . x

n

−

1 +

s

n

−

1 −

1 < x

n

+

δ

α

1 ,

1 δ

α

2 ,

2 ≤

N.

(3.5)

Oansatzmatriialintroduzidoem[8℄,apropiadoaopresenteaso,onsisteempropor

que tais amplitudes possam ser esritas omo o traço de um produto de matrizes.

Oproduto de matrizesassoiado à onguração

{

x

1 , α

1 ;

x

2 , α

2 ;

. . .

;

x

n

, α

n

}

éobtido assoiando-se matrizesàsoupaçõesdossítios daseguinteforma:

1) Aossítios sem ehasassoiamos asmatrizes

E

.

2) Aos sítios oupados por uma uúnia eha de tamanho

s

e do tipo

α

(

α

= 1

,

2)

assoiamos amatriz

A

(

α

)

s

.

3)Aossítios ontendoumaehadetamanho

s

1 = 1

navertialeoutradetamanho

s

2

inlinadoassoiamosoproduto

A

(1)

1 E

−

1 A

(2)

s

2

. Nagura3.7abaixomostramostais

assoiações. Oansatz matriial nopresente aso onsisteem assumir

φ

{

s

1 ,s

2 ,...,s

n

}

α

1 ,α

2 ,...,α

n

(

x

1 , x

2 , . . . , x

n) =

Tr

[

E

x

1 −

1 _A

(

α

1 )

s

1 E

x

2 −

x

1 −

1 _A

(

α

2 )

s

2 · · ·

E

x

n

−

x

n

−

1 _A

(

α

n

)

s

n

E

N

−

x

n

_ΩP

_]

_.

(3.6)

E

S

(2)

S

(1)

S

A

(1)

A

(2)

_S

2 S 2

1 =1

1 E

(−1)

Figura 3.7: Assoiação dossítiosom asmatrizesdoansatz matriial.

Diferentemente do ansatz de Bethe de oordenadas onde

φ

s

1 ,s

2 ,...,s

n

α

1 ,α

2 ,...,α

n

(

x

1 , x

2 , . . . , x

n

)

(30)

Nageometria toroidalque estamosonsiderando, osauto-estadosde

T

D

−

D

possuem momento

P

=

2 πj

N

(

j

= 0

,

1 , . . . , N

−

1)

bemdenido. Amatriz

T

D

−

D

podeentão ser deomposta em setores disjuntos indexados pelo valor de

P

. A matriz

ΩP

é intro-duzida paraassegurar o momento

P

do autovetor do orrespondente setor. Devido àsimetria detranslação asamplitudes em(

3 .

6

) devemsatisfazer

φ

s

1 ,s

2 ,...,s

n

α

1 ,α

2 ,...,α

n

(

x

1 , x

2 , . . . , x

n

)

φ

s

1 ,s

2 ,...,s

n

α

1 ,α

2 ,...,α

n

(

x

1 +

m, x

2 +

m, . . . , x

n

+

m

)

=

e

−

imP

, m

= 1

, . . . , N

₋

1 ,

(3.7)

o que nos fornee as seguintes relações de omutação entre as matrizes

E

,

A

(

α

j

)

s

j

(

α

j

= 1

,

2

) om

ΩP

:

E

ΩP

=

e

−

iP

ΩP

E,

A

(

α

j

)

s

j

ΩP

=

e

−

iP

_ΩP

_A

(

α

j

)

s

j

.

(3.8)

As relações algébrias entre

A

(

α

j

)

s

j

e

E

serão xadas no momento que impusermos que

|

Ψ

{

s

1 ,s

2 ,...,s

n

}

n

>

satisfaça à equação deautovalor.

Mostraremosaseguiroproessodediagonalizaçãodossetoresom

n

= 0

,

1 ,

2

ehas, eem seguida exibiremos oresultado para umvalorarbitrário de ehas.

•

Setor om

n

= 0

ehas

Estesetor éuma matriz de tamanho

1

por

1

pois temosapenas umaúnia

ongu-ração, ujo pesode Boltzmann nosdáo autovalor

Λ

0 =

a

N

0 .

(3.9)

•

Setor om

n

= 1

eha

(31)

on-Deveremos observar que devido aos dois estados possíveis para uma determinada