 i74w  i23z

COLÉGIO PEDRO II – U. E. SÃO CRISTÓVÃO III 2ª CERTIFICAÇÃO – ANO 2012 – MATEMÁTICA I

3º ANO – MANHÃ

NOTA:

Professor: Coordenadora: Maria Helena M. M. Baccar Data:

Nome: GABARITO Nº : Turma:

ATENÇÃO:



Resolva as questões de maneira clara e organizada.



Questões sem desenvolvimento ou justificativa NÃO serão consideradas.



A prova é individual e sem consulta.



Reclamações de provas feitas a lápis NÃO serão aceitas. NÃO é permitido o uso de corretor.



A interpretação das questões faz parte da prova.

1ª QUESTÃO (valor: 0,5)

Considere os complexos z



3



2 i e w  4  7 i . Encontre a parte imaginária de

zw

. Solução. Adicionando os complexos e calculando o conjugado, temos:

  ^{z w 9}

Im i9 7 i9 7 w z i9 7 )7 2 (i )4 3(

w i7 z 4 w

i2 3

z                  

 









 .

2ª QUESTÃO (valor: 1,0)

Observe os complexos representados no Plano Argand-Gauss e determine na forma algébrica.

Solução. Identificando os complexos temos: Z = -3 + 3i e w = -2 – 5i

a)  

6 58 18

58 3 18 522 18

441 81 18

) 21 ( ) 9 ( 18

i 21 9

9 9

i 21 15 6 i

3 ) 3 (

i 15 i 15 i 6 6 ) i 3 3 (

) i 3 3 .( i 3 3

i 5 2 i

3 3

i 5 2 z

w

2 2 2

2 2

2





 

 

 



 

 



 









 















 







 

.

b)

(9 4 9 25) i( 18 20) 21 2i

i 25 i 20 4 i 9 i 18 9 ) i 5 2 ( ) i 3 3 ( w

z^{2 2 2 2 2 2}

















































.

1

3ª QUESTÃO (valor: 1,0)

Observe o complexo representado no plano Argand-Gauss.

Solução. Identificando o complexo, temos w = 2 + 2i.

a) Escreva a forma trigonométrica de w.

 

 



   



 





 



 























isen 4 cos 4

2 2 w

4 2

1 2 2 sen 2

2 1 2 2 cos 2 ) ii

2 2 8 2

2 w

)i

^{2 2}

.

b) Calcule a forma algébrica de w

¹⁰

.

 



0 .i1



32768i 32768

2 isen5 2

cos5 ).

32 )(

1024 ( w

.4 10 4 isen . 10 cos 2 . 4 2

4 isen cos 2

2 4 w

4 isen cos 2 2 w

10

5 10 10 10

10









 



  







 



  

 



 



  







 



  



.

4ª QUESTÃO (valor: 1,0)

Os polinômios P(x) = (a – 2c)x

³

– bx

²

– 5x + d e Q(x) = 4x

³

+ (a + 3)x

²

– bx – 7 são idênticos.

Calcule o valor de (a + b + c + d).

Solução. Se os polinômios são idênticos, então os coeficientes dos termos de mesmo grau são iguais.

165 21) 7()6 ()5(

)8(

dc ba)ii

2 6 c12 12 c24 8a c28

3a 5

4c2 a

7d 5b b5

3a b

4c2 a )x(Q )x(P)i











 







 

 





 

 



 



















.

2

BOA PROVA