Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

(1)

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

PROVA DE MATEMÁTICA ITA 2017-2018 (ENUNCIADOS)

1) Os lados de um triângulo de vértices A, B e C medem AB=3 cm, BC=7 cm e CA=8 cm. A circunferência inscrita no triângulo tangencia o lado AB no ponto N e o lado CA no ponto K. Então, o comprimento do segmento NK, em cm, é

a) 2. b) 2 2. c) 3. d) 2 3. e) ⁷.

2 2) Se x é um número real que satisfaz x³= +x 2, então x¹⁰ é igual a

a) 5x²+7x 9.+ b) 3x²+6x 8.+ c) 13x²+16x 12.+ d) 7x²+5x 9.+ e) 9x²+3x 10.+

3) Sejam a e b números inteiros positivos. Se a e b são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão geométrica de razão ¹

2 e o termo independente de

b 12

ax x

 − 

 

  é igual a 7920, então a b+ é

a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6.

4) Considere as funções f , g : → dadas por f x^{( )}=ax+b e _{g x}( )₌_cx₊_d, com a, b, c, d , a0 e c0. Se f⁻¹ g⁻¹=g⁻¹ f⁻¹, então uma relação entre as constantes a, b, c e d é dada por

a) b ad+ = +d bc. b) d ba+ = +c db.

c) a db+ = +b cd. d) b ac+ = +d ba.

e) c da+ = +b cd.

5) Sejam x ,₁ , x e ₅ y ,₁ , y números reais arbitrários e ₅ A=

( )

aij uma matriz 5 5 definida por a_ij=x_i+y ,_j 1 i, j 5. Se r é a característica da matriz A, então o maior valor possível de r é

a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.

6) Sobre duas retas r e s são tomados 13 pontos, m pontos em r e n pontos em s, sendo mn. Com os pontos são formados todos os triângulos e quadriláteros convexos possíveis. Sabe-se que o quociente entre o número de quadriláteros e o número de triângulos é ¹⁵.

11 Então, os valores de n e m são, respectivamente,

a) 2 e 11. b) 3 e 10. c) 4 e 9. d) 5 e 8. e) 6 e 7.

(2)

7) Considere a definição: duas circunferências são ortogonais quando se interceptam em dois pontos distintos e nesses pontos suas tangentes são perpendiculares. Com relação às circunferências ^{C : x}₁ ²⁺(^{y 4}⁺ )² ⁼^7, ^{C : x}₂ ²⁺^y² ⁼⁹^e ^{C : x 5}₃ ⁽ ⁻ ⁾²⁺^y²⁼^16,

podemos afirmar que

a) somente C₁ e C₂ são ortogonais.

b) somente C₁ e C₃ são ortogonais.

c) C é ortogonal a ₂ C₁ e a C .₃

d) C ,₁ C e ₂ C são ortogonais duas a duas. ₃ e) não há ortogonalidade entre as circunferências.

8) As raízes do polinômio 1+ +z z² +z³+z⁴ +z⁵ +z⁶ +z ,⁷ quando representadas no plano complexo, formam os vértices de um polígono cuja área é:

a) ² ¹ 2

− b) ² ¹ 2

+ c) 2 d) ^{3 2} ¹ 2

+ e) 3 2

9) Se log₂ =a e log₅ =b, então a) ¹ ¹ ¹.

a+ b 2 b) ¹ ¹ ¹ 1.

2 + a b c) 1 ¹ ¹ ³. a b 2

 +  d) ³ ¹ ¹ 2.

2 + a b e) 2 ¹ ¹. a b

 +

10) O lugar geométrico das soluções da equação x² +bx+ =1 0, quando b  2, b , é representado no plano complexo por

a) dois pontos.

b) um segmento de reta.

c) uma circunferência menos dois pontos.

d) uma circunferência menos um ponto.

e) uma circunferência.

11) Em um triângulo de vértices A, B e C são dados ˆB , 2

=  ˆC 3

=  e o lado BC 1 cm.= Se o lado AB é o diâmetro de uma circunferência, então a área da parte do triângulo ABC externa à circunferência, em cm ,² é

a) ^{3 3}. 8 16

− b) ^{5 3} .

4 2

− c) ⁵ ^{3 3}.

8 4

− d) ^{5 3} . 16 8

− e) ⁵ ^{3 3}. 8 16

−

12) Com relação à equação

3 2

tg x 3 tg x

1 0, 1 3 tg x

− + =

− podemos afirmar que

a) no intervalo , 2 2

− 

 

  a soma das soluções é igual a 0.

b) no intervalo , 2 2

− 

 

  a soma das soluções é maior que 0.

(3)

c) a equação admite apenas uma solução real.

d) existe uma única solução no intervalo 0, . 2

 

 

  e) existem duas soluções no intervalo , 0 .

2

− 

 

 

13) Sejam A e B matrizes quadradas n n tais que A+ = B A B e I_n é a matriz identidade n n. Das afirmações:

I. I_n −B é inversível;

II. I_n −A é inversível;

III. A B B A. =  é (são) verdadeira(s)

a) somente I. b) somente II. c) somente III

d) somente I e III e) todas.

14) Se o sistema ( )

( )

2 4

3

x y z 0

2a y 2a a z 0

x ay a 1 z 0

+ + =



+ − =



+ + − =



admite infinitas soluções, então os possíveis valores do parâmetro a são

a) 0, −1, 1 3 2 ,

− − 1 3

2 .

− + b) 0, −1, 1 3

2 ,

− 1 3

2 . + c) 0, −1, 1 3

2 ,

− + 1 3

2 .

+ d) 0, −1, − −1 3, − +1 3.

e) 0, −1, 1− 3, 1+ 3.

15) Considere a matriz

2 3

1 x x x

1 2 3 4

A ,

1 3 4 5

2 2 1 1

 

 

=− 

 

− 

 

x . Se o polinômio _{p x}( ) é dado por p x( )=det A, então o produto das raízes de p x é ( )

a) ¹.

2 b) ¹.

3 c) ¹.

5 d) ¹.

7 e) ¹ . 11

16) Considere a classificação: dois vértices de um paralelepípedo são não adjacentes quando não pertencem à mesma aresta. Um tetraedro é formado por vértices não adjacentes de um paralelepípedo de arestas 3 cm, 4 cm e 5 cm. Se o tetraedro tem suas arestas opostas de mesmo comprimento, então o volume do tetraedro é, em cm : ³

a) 10 b) 12 c) 15 d) 20 e) 30

(4)

17) Os triângulos equiláteros ABC e ABD têm lado comum AB. Seja M o ponto médio de AB e N o ponto médio de CD . Se MN=CN=2 cm, então a altura relativa ao lado

CD do triângulo ACD mede, em cm, a) ⁶⁰.

3 b) ⁵⁰.

3 c) ⁴⁰.

3 d) ³⁰.

3 e) ^{2 6}. 3

18) Uma progressão aritmética (a , a ,1 2 , an) satisfaz a propriedade: para cada n , a soma da progressão é igual a 2n²+5n. Nessas condições, o determinante da matriz

1 2 3

4 5 6

7 8 9

a a a

a 2 a a

 

 

 + 

 

é

a) −96 b) −85 c) 63 d) 99 e) 115

19) São dadas duas caixas, uma delas contém três bolas brancas e duas pretas e a outra contém duas bolas brancas e uma preta. Retira-se, ao acaso, uma bola de cada caixa. Se P1 é a probabilidade de que pelo menos uma bola seja preta e P₂ a probabilidade de as duas bolas serem da mesma cor, então P₁+P₂ vale

a) 8

15. b) 7

15. c) 6

15. d) 1. e) 17

15.

20) Para que o sistema x₃ y ₃1 ₂

x y c

 + =

 + =

 admita apenas soluções reais, todos os valores reais de c pertencem ao conjunto

a) , ¹ . 4

− − 

 

  b) , ¹ ¹, .

4 4

− −   

   

    c) 1 1

, .

2 4

− − 

 

 

d) ¹, . 2

 

 

  e) , ¹ ¹, .

2 2

− −   

   

   

21) Um poliedro convexo tem faces triangulares e quadrangulares. Sabe-se que o número de arestas, o número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares formam, nessa ordem, uma progressão aritmética de razão −5. Determine o número de vértices do poliedro.

22) Encontre o conjunto solução S da inequação exponencial:

x 2 4 x k

k 1

3 3 1081.

18

− +

+ = 

23) No plano cartesiano são dadas as circunferências C : x₁ ²+y² =1 e ( )² ²

C : x 42 − +y =4. Determine o centro e o raio de uma circunferência C tangente simultaneamente a C₁ e C ,₂ passando pelo ponto A=

(

3, 3 .

)

(5)

24) Seja z cos i sen .

7 7

 

= + Pedem-se:

a) Use a propriedade ^k k k

z cos i sen ,

7 7

 

= + k , para expressar cos , 7

 3

cos 7

 e cos5

7

 em função de z.

b) Determine inteiros a e b tais que a 3 5

cos cos cos .

b 7 7 7

  

= + +

25) Uma reta r separa um plano  em dois semiplanos ₁ e ₂. Considere os pontos A e B tais que A ₁ e B ₂ de modo que d A, r( )=3, d B, r( )=6 e d A, B( )=15. Uma circunferência contida em  passa pelos pontos A e B e encontra r nos pontos M e N.

Determine a menor distância possível entre os pontos M e N.

26) De uma caixa que contém 10 bolas brancas e 6 bolas pretas, são selecionadas ao acaso k bolas.

a) Qual a probabilidade de que exatamente r bolas sejam brancas, nas condições 0 − k r 6 e 0 k 10.

b) Use o item (a) para calcular a soma ⁶

r 0

10 6 r 6 r .

=

  

    − 

27) Quantos pares de números inteiros positivos (A, B existem cujo mínimo múltiplo )

comum é 126 10 ? ³ Para efeito de contagem, considerar (A, B) ( B, A .)

28) A aresta lateral de uma pirâmide reta de base quadrada mede 13 cm e a área do círculo inscrito na base mede ²⁵ cm .²

2

 Dois planos, ₁ e ₂, paralelos à base, decompõem a pirâmide em três sólidos de mesmo volume. Determine a altura de cada um desses sólidos.

29) Seja p x um polinômio não nulo. Se ^{( )} x³−4x² +5x−2 e x³ −5x² +8x−4 são divisores de p x , determine o menor grau possível de ^{( )} p x . ^{( )}

30) No plano cartesiano são dados o ponto P=( )0, 3 e o triângulo de vértices A=( )0, 0 ,

( )

B= 3, 0 e C=( )3, 2 . Determine um ponto N sobre o eixo dos x de modo que a reta que passa por P e N divida o triângulo ABC em duas regiões de mesma área.

FIM ENUNC

(6)

PROVA DE MATEMÁTICA ITA 2017-2018 RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES 1) a (Geometria plana – relações métricas nos triângulos)

2) c (Produtos notáveis e fatoração) 3) b (Binômio de Newton e progressões) 4) a (Função – composta e inversa) 5) b (Matrizes – característica) 6) e (Análise combinatória)

7) c (Geometria analítica – circunferência) 8) d (Números complexos)

9) e (Logaritmos)

10) c (Geometria analítica – lugar geométrico) 11) d (Geometria plana – áreas)

12) b (Trigonometria) 13) e (Matrizes)

14) b (Sistemas lineares – homogêneo) 15) d (Determinantes e polinômios) 16) d (Geometria espacial – tetraedro) 17) a (Geometria espacial)

18) a (Determinantes e progressões) 19) e (Probabilidade)

20) e (Sistemas não lineares)

21) 6 (Geometria espacial – poliedros)

22) S=x | x −log 23  (Inequação exponencial) 23) O ^{1 15 3},

4 4

 

 

  e 11

r= 2 (Geometria analítica – circunferência)

24) a) 1 1

cos z ,

7 2 z

=  + 

 

3 3

3 1 1

cos z

7 2 z

=  +  e cos⁵ ¹ z⁵ ¹₅ ;

7 2 z

=  +  b) a 1= e b=2.

(Números complexos)

25) 10 2 (Geometria plana – relações métricas no triângulo e circunferência) 26) a) ( )

10 6

r k r

P B r ;

16 k

   

   − 

   

= =  

  

b) ¹⁶ 6

  

  (Probabilidade) 27) 473 (Análise combinatória e teoria dos números)

28) 4 9 cm,³ 4 9³

(

³2 1 cm−

)

e 4 3

(

−³18 cm.

)

(Geometria espacial – pirâmides) 29) 4 (Polinômios)

30) N ¹ ¹⁹, 0 . 2

 + 

 

  (Geometria analítica – reta)

(7)

TÉCNICAS ÚTEIS 1)

Lei dos Cossenos: Em um triângulo ABC de lados AB=c, BC=a e AC=b, e onde o ângulo BAC^ˆ =A,^ˆ temos: a²=b²+c²−   2 b c cos A.ˆ

Os segmentos determinados pelo círculo inscrito nos lados de um triângulo são iguais ao semiperímetro menos o lado oposto.

2)

Produto notável cubo da soma de dois termos: (a+b)³=a³+3a b 3ab² + ²+b³ 3)

Uma progressão geométrica (P.G.) é uma sequência numérica na qual a razão entre dois termos consecutivos é constante e chamada de razão, normalmente indicada por q.

Binômio de Newton: O termo de ordem (p 1+ ) no desenvolvimento de (x a+ )ⁿ é

p n p p 1

T n a x .

p

+   −

=  

 

Para identificar o termo independente de x, no desenvolvimento de um binômio, deve-se fazer com que o expoente de x na expressão do termo de ordem (p 1+ ) seja nulo.

4)

Função composta e inversa:

• ^y⁼^{f x}( )^{ =}^x ^f⁻¹( )^y ^ou(^{x, y})^{ }^f (^{y, x})^^f⁻¹

• f = g f⁻¹=g⁻¹

•

(

^f⁻¹ ^g⁻¹

)

⁼(^{g f})⁻¹

(8)

5)

Característica ou posto de uma matriz é a ordem do maior determinante não nulo que se consegue obter a partir da matriz. A característica também corresponde à quantidade de linhas (ou colunas) linearmente independentes na matriz ou à quantidade de pivôs na matriz escalonada.

Operações elementares entre linhas ou colunas:

• inversão da posição de duas linhas (ou colunas);

• adição de um múltiplo de uma linha (ou coluna) à outra; e

• multiplicação de uma linha (ou coluna) por um escalar não nulo.

A realização de operações elementares entre linhas (ou colunas) não altera a característica da matriz.

6)

Combinação simples: O número de maneiras distintas de escolher p elementos dentre n elementos distintos é

( )

p n

C n! .

p! n p !

= − Observe que nesse caso, não interessa a ordem em que os elementos são escolhidos.

7)

Em duas circunferências ortogonais, as tangentes nos pontos de interseção são perpendiculares entre si, então os raios perpendiculares à tangentes no ponto de tangência também são perpendiculares entre si. Dessa forma, para que duas circunferências sejam ortogonais, é necessário e suficiente que os raios e a distância entre os centros satisfaçam o teorema de Pitágoras, ou seja, r²+R² =d .²

A distância entre os pontos A x , y( A A) e B x , y( B B) é dAB= (xA−xB) (²+ yA−yB)². Uma circunferência de centro no ponto de coordenadas (x , y0 0) e raio r é representada pela equação (x−x0) (²+ y−y0)² =r .²

8)

( )

n n 1 n 2 2

x − =1 x 1 x− ⁻ +x ⁻ + +x + +x 1 .

As n raízes da equação zⁿ =1 no domínio dos números complexos, quando representadas no plano de Argand-Gauss, são vértices de um octógono regular com centro na origem e inscrito em uma circunferência de raio 1, sendo o ponto ( )1, 0 uma das raízes.

A área de um triângulo é igual à metade do produto de dois lados pelo seno do ângulo entre eles. Assim, se o triângulo ABC tem lados AB=c e AB=b, então sua área é

ABC

b c ˆ

S sen A.

2

= 

(9)

9)

Sendo a, b, x e y números positivos e a, b1.

• _a ^b

b b

log b 1 log b

log a log a

= =

• log b_a ⁿ = n log b_a

• log a_a =1

• a1: x y log x_a log y_a

• 0 a 1: x y log x_a log y_a 10)

As raízes da equação ax²+bx c+ =0, onde a0, são

b b2 4ac

x .

2a

−  −

=

Uma circunferência de centro no ponto de coordenadas (x , y0 0) e raio r é representada pela equação (^x⁻^x₀) (²⁺ ^y⁻^y₀)² ⁼^{r .}²

11)

Em um triângulo retângulo, a tangente dos ângulos agudos é igual à razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente.

tg 60 = 3

Um ângulo inscrito em uma circunferência é um ângulo cujo vértice está sobre a circunferência e os lados são cordas. O ângulo inscrito é igual à metade do arco por ele determinado.

Um ângulo central é um ângulo cujo vértice é o centro da circunferência e os lados são raios. O ângulo central é igual ao arco por ele determinado.

A área de um triângulo é igual à metade do produto de dois lados pelo seno do ângulo entre eles. Assim, se o triângulo ABC tem lados AB=c e AB=b, então sua área é

ABC

b c ˆ

S sen A.

2

= 

A área de um setor circular de  graus em uma circunferência de raio r é igual a

2 setor

S r .

360

=   

 12)

3 2

3 tg x tg x

tg 3x .

1 3 tg x

= −

−

tg =    =  + tg k , k

(10)

13)

Uma matriz quadrada A é inversível se, e somente se, seu determinante é diferente de zero.

Alternativamente, pode-se mostrar que uma matriz é inversível encontrando a matriz A ,⁻1 inversa de A, que satisfaz A A ⁻¹=A⁻¹ =A I, onde I é a matriz identidade de mesma ordem que A.

Se I é a matriz identidade de mesma ordem que uma matriz quadrada A, então A I =  =I A A.

Sendo A e B matrizes, em geral, A B  B A. Quando A B = B A, diz-se que as matrizes A e B são comutativas.

14)

Um sistema homogêneo é aquele em que o vetor dos termos independentes é o vetor nulo, ou seja, todas as equações do sistema são iguais a zero.

Um sistema é dito de Cramer se o determinante da sua matriz incompleta (matriz formada pelos coeficientes das incógnitas) é não nulo.

Um sistema é dito possível e determinado, se possui uma única solução; possível e indeterminado, se possui infinitas soluções; e impossível, se não possui nenhuma solução.

Se um sistema é de Cramer, então ele é possível e determinado (S.P.D.). Se ele não é de Cramer, então ele pode ser possível indeterminado (S.P.I.) ou impossível (S.I.).

Um sistema homogêneo nunca é impossível, pois a solução trivial (todas as incógnitas iguais a zero) é sempre solução. Assim, se um sistema homogêneo é de Cramer, ele é possível e determinado e, se ele não é de Cramer, ele é possível e indeterminado.

Regra de Chió: Essa regra permite baixar a ordem do determinante no qual o termo da linha 1 e coluna 1 seja unitário.

• Seja um determinante de ordem n com a₁₁=1, suprimem-se a 1ª linha e a 1ª coluna.

• De cada elemento restante do determinante, subtrai-se o produto dos elementos que se encontram nas extremidades das perpendiculares, traçadas do elemento considerado à 1ª linha e à 1ª coluna.

• Com as diferenças obtidas, constrói-se um determinante de ordem (n 1− ) de mesmo valor que o determinante original.

15)

Regra de Chió (vide questão 14).

Teorema de Laplace: Seja A uma matriz quadrada de ordem n2, o determinante de A é a soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos respectivos cofatores:

n n

pj pj iq iq

j 1 i 1

det A a A a A .

= =

=  = 

(11)

O cofator do elemento a_ij da matriz A de ordem n2 é o número A_ij = −( )1 ^{i j}⁺ M ,_ij onde M_ij é o menor complementar de a_ij e é igual ao determinante da matriz de ordem

(n 1 ,− ) obtida a partir de A eliminando-se a linha i e a coluna j.

Relações de Girard: Em uma equação polinomial do 3º grau da forma

3 2

ax +bx +cx d+ =0, com raízes r , ₁ r₂ e r ,₃ as relações de Girard estabelecem que:

• a soma das raízes é ₁ ₁ ₂ ₃ b

r r r ;

 = + + = −a

• a soma das raízes tomadas duas a duas é ₂ _{1 2} _{1 3} _{2 3} c r r r r r r ;

 = + + =a e

• o produto das raízes é ₃ _{1 2 3} d

r r r .

 = = −a

Relação similar é válida para equações polinomiais de qualquer grau.

16)

O volume de um paralelepípedo reto-retângulo de arestas a, b e c é igual a V=  a b c.

O volume de um tetraedro com um vértice trirretângulo (um vértice no qual há três ângulos retos), no qual as arestas adjacentes a esse vértice têm medidas a, b e c, é

V 1 a b c.

=   3 17)

Em um triângulo isósceles, a altura, a bissetriz interna e a mediana traçadas a partir do vértice são coincidentes.

Em um triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da hipotenusa.

Em um triângulo equilátero de lado , a altura (que também é mediana e bissetriz interna) é igual a h ³.

= 2

Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos (teorema de Pitágoras).

18)

Uma progressão aritmética (P.A.) é uma sequência onde a diferença entre os termos consecutivos é constante e chamada razão. Assim, em uma progressão aritmética ( )an

de razão r, temos a_{k 1}₊ −a_k =r, onde k é natural.

Em uma progressão aritmética ( )an de razão r, o n-ésimo termo da sequência é dado por ( )

n 1

a =a + r n 1− (termo geral). Esse termo também pode ser calculado como

( )

n p

a =a +  −r n p .

(12)

Teorema de Jacobi: Adicionando-se a uma linha (ou coluna) uma outra linha (ou coluna) multiplicada por um número, o determinante não se altera.

Adicionando-se a uma linha (ou coluna) uma combinação linear das outras linhas (ou colunas), o determinante não se altera.

Multiplicando-se todos os elementos de uma linha (ou coluna) de um determinante por um número, o determinante fica multiplicado por esse número. Uma consequência dessa propriedade é que é possível colocar em evidência um fator comum a todos os elementos de uma fila (linha ou coluna), antes de efetuar o cálculo do determinante.

Regra de Sarrus para o cálculo de determinantes de ordem 3:

11 12 13

21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32

31 32 33

a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a a

= + + − − −

As parcelas com sinal positivo são obtidas pelo produto dos termos da diagonal principal e das diagonais paralelas a ela, e as parcelas com sinal negativo são obtidas pelo produto dos termos da diagonal secundária e diagonais paralelas a ela.

19)

Probabilidade de Laplace: Seja um espaço amostral  (conjunto de todos os resultados possíveis) de eventos elementares equiprováveis, então a probabilidade de um determinado evento A é a razão entre o número de casos favoráveis (número de elementos de A) e o número de casos possíveis (número de elementos do espaço amostral), ou seja,

( ) ( ) ( )

P A # A .

= #



Seja um evento A e o seu evento complementar A, então P A( )= −1 P A .( ) 20)

( )

3 3 2 2

x +y = x+y x −xy+y

Seja uma equação do 2º grau da forma ax²+bx+ =c 0, onde a0, e seja  =b²−4ac o seu discriminante, então temos:

• se  0, então a equação possui duas raízes reais distintas;

• se  =0, então a equação possui duas raízes reais iguais (uma raiz real dupla); e

• se  0, então a equação possui duas raízes complexas (não reais) distintas.

(13)

21)

Seja um poliedro convexo com V vértices, A arestas e F faces, então V F+ = +A 2.

Seja f_n o número de faces de gênero n, então 3f₃+4f₄+ +nf_n =2A.

Seja v_p o número de vértices onde concorrem p arestas, então 3v₃+4v₄+ +pv_p=2A.

Progressão aritmética (vide questão 18) 22)

O somatório é uma notação abreviada para indicar uma soma. O símbolo ⁿ _i

i 1

= a ,

 que se lê somatório de a ,_i variando i de 1 até n, representa a soma de todos os valores de a ,_i quando se atribuem a i os valores inteiros 1, 2, 3, ... , n.

n

i 1 2 n

i 1

a a a a

= = + + +



o índice i é o índice do somatório (índice mudo) e assume todos os valores inteiros de 1 a n.

Inequação exponencial:

x a

a

x log b, se a 1

a b

x log b, se 0 a 1

 

      ^x ^a

a

x log b, se a 1

a b

x log b, se 0 a 1

 

     

23)

Uma circunferência de centro no ponto O x , y( 0 0) e raio r é representada pela equação

(x−x0) (²+ y−y0)² =r .²

Duas circunferências são tangentes exteriormente se, e somente se, a distância entre seus centros é igual à soma de seus raios.

A distância entre os pontos A x , y( A A) e B x , y( B B) é

( ) ( A B) (² A B)²

d A, B = x −x + y −y .

Em um triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é igual à razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo; o seno desse ângulo é igual à razão entre o cateto oposto e a hipotenusa; e o cosseno desse ângulo é igual à razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.

24)

Forma trigonométrica de um número complexo: Seja z= +x yi, onde x, y , um número complexo na forma algébrica, então ele pode ser representado na forma

(14)

trigonométrica como _z₌_{r cos}( _{ +}_{i sen}_{ =}) _{r cis ,}_ onde r= x²+y² é o módulo de z e

 é tal que

2 2

sen y

x y

 = + e

2 2

cos x

x y

 = + é o argumento de z.

Para efetuar uma potência de um número complexo, utilizamos a primeira fórmula de De Moivre, que estabelece que se o número complexo na forma trigonométrica é z=r cis , então zⁿ =r cis n .ⁿ 

O produto de um número complexo pelo seu conjugado é igual ao quadrado do seu módulo: z z = z .²

O conjugado de uma potência de um número complexo é igual à mesma potência do conjugado desse número complexo: zⁿ =( )z ⁿ.

Uma progressão geométrica (P.G.) é uma sequência numérica na qual a razão entre dois termos consecutivos é constante.

A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de primeiro termo a e _i razão q é ₁

(

ⁿ

)

n

a q 1

S .

q 1

= −

− 25)

Se dois triângulos possuem dois ângulos respectivamente congruentes, então são semelhantes e, consequentemente, seus lados correspondentes são proporcionais.

Se por um ponto P interior a uma circunferência são traçadas duas cordas APB e CPD nessa circunferência, então PA PB PC PD =  .

Desigualdade das Médias: Sejam a , a ,₁ ₂ , a_n números positivos, então M.AM.G para estes números, isto é, â¹ â² âⁿ ⁿa a_{1 2} a ,_n

n + + +

 onde a igualdade ocorre se, e somente se, a₁=a₂ = =a ._n

(15)

26)

O número de maneiras de escolher p elementos dentre n elementos distintos é

( )

p n

C n!

p! n p !

= − (combinação).

Probabilidade de Laplace (vide questão 19)

A soma das probabilidades de todos os eventos elementares que compõem o espaço amostral é igual a 1.

27)

Mínimo Múltiplo Comum (M. M. C.): Sejam a e b dois inteiros não nulos, chama-se mínimo múltiplo comum de a e b o inteiro positivo m=mmc a, b( ) que satisfaz as condições:

(1) a | m e b | m

(2) se a | c e b | c, com c0, então mc.

A condição (1) diz que m é um múltiplo comum de a e b; a condição (2) diz que qualquer outro múltiplo comum será maior ou igual a c.

Método das decomposições canônicas: Se a=p₁^¹p^₂²  p_n^ⁿ e b=p₁^¹p^₂² p^_nⁿ, onde p , p ,₁ ₂ , p_n são os fatores primos que ocorrem nas fatorações de a e b, e os expoentes podem ser nulos, então mmc a, b( )=p₁^max^^{ }¹^{, 1}^p^max₂ ^^{ }²^, ²^ p^max_n ^^{ }ⁿ^, ⁿ^, ou seja, mmc a, b( ) é o produto dos fatores primos comuns e não comuns às duas decomposições tomados com seus maiores expoentes.

28)

A área de um círculo de raio r é S= r .²

Se uma circunferência está inscrita em um quadrado, então o lado do quadrado é igual ao diâmetro da circunferência.

A diagonal de um quadrado de lado é d= 2.

Teorema de Pitágoras (vide questão 17)

A razão entre os volumes de dois sólidos semelhantes é igual ao cubo da razão de semelhança.

29)

As raízes ou zeros do polinômio P x^{( )} são os valores de x que fazem o polinômio assumir valor numérico nulo, ou seja, tais que P x^{( )}=0.