Marco Antonio Guimarães Dias, Professor Adjunto, tempo parcial
Rio de Janeiro, Outubro de 2009 . Opç Op ções Reais: Teoria e Pr ões Reais: Teoria e Prá ática de An tica de Aná álise de lise de
Investimentos sob Incertezas Investimentos sob Incertezas
Análise Estratégica de
Investimentos com Teoria dos Jogos
Bibliografia
X
Livros-texto (cobrem apenas parte da matéria):
O
Parte de teoria dos jogos: MWG = Mas-Colell, A. & M.D. Whinston
& J.R. Green (1995): “Microeconomic Theory”
(espec. caps. 7 a 9);
O
OR e Jogos de OR: DP = Dixit & Pindyck (1994): “Investment under
Uncertainty”(dinâmica da indústria e jogos de OR: caps. 8 e 9).
X
Bibliografia complementar que mais uso em teoria dos jogos:
O
Dutta, P.K. (1999): “Strategies and Games”. MIT Press.
O
Gibbons, R. (1992): "Game Theory for Applied Economists".
O
Osborne, M.J. (2004): “An Introduction to Game Theory”.
O
Fudenberg, D. & J. Tirole (1991): “Game Theory”. MIT Press
O Shy, O. (1995): “Industrial Organization – Theory and Applications”.
O Menezes, F.M. & P. K. Monteiro (2005): "An Introduction to Auction Theory".
X
Bibliografia complementar que mais uso em jogos de OR:
O
Huisman, K.J.M. (2001): “Technology Investment: A Game Theoretic Real Options Approach”.
O
Smit, H.T.J. & L. Trigeorgis (2004): “Strategic Investment – Real
O Que É a Teoria dos Jogos?
X
A teoria dos jogos modela decisões interdependentes entre agentes que se interagem (conflito ou cooperação).
O
Os agentes podem ser firmas, instituições, coalizões de firmas ou pessoas, países, pessoas, animais irracionais, etc.
X
O escopo de teoria dos jogos é bem amplo, sendo usado em vários ramos das ciências sociais, como economia, mas também ciências biológicas (conflito de animais).
O
Tem livros só com foco em biologia, em direito, finanças, etc.
X
Sendo nosso foco em economia/finanças, vamos discutir a interação estratégica racional entre firmas ou pessoas.
O
Não basta pensar qual a melhor decisão para você, é necessário considerar o que os outros agentes podem fazer e também que eles estão antecipando o que você pode fazer otimamente.
·É necessário “calçar os sapatos do outro jogador”, i. é, se colocar no lugar do outro, ver suas alternativas e ver o que ele sabe sobre você.
·Nossa ênfase será mais normativa, i. é, como o jogo deve ser jogado.
Mercado em Competição Perfeita
X
Num mercado em competição perfeita todas as firmas são (ou se comportam como) tomadoras de preço e produzem um mesmo bem homogêneo (commodity).
O
As firmas não “exergam” uma curva de demanda para maximizar o lucro ajustando quantidades. Podem produzir qualquer quantidade que o preço será o mesmo.
·
Para a
firmaa curva de demanda (q x P) é uma
reta horizontale a
elasticidade da demanda(η) é
infinito. O mercado tudo absorve.·
As firmas não podem ajustar preços para maximizar o lucro, pois a firma nada venderia com um preço maior e um preço menor seria sub-ótimo, já que reduziria seu lucro (ou geraria prejuízo).
O
Já a indústria “enxerga” uma curva da demanda Q(P) ou gráfico Q x P.
O
É + usada a função demanda inversa P(Q).
O
O preço de equilíbrio num certo instante t é dado pela interseção das curvas de demanda x suprimento da indústria:
P
Q
PE
QE E
Equilíbrio
SD
Mercado em Competição Perfeita
X
Além disso, não é permitido as firmas entrar em colusão p/ maximizar o lucro ajustando o nível de produção Q.
X
O conceito de indústria em competição perfeita independe do número de firmas, pode ocorrer até com só 1 firma.
O
O resultado do duopólio de Bertrand equivale a comp. perfeita.
O
Mas dinamicamente uma indústria converge da competição imperfeita para a perfeita, na maioria dos casos, apenas quando o número de firmas cresce p/ uma grande quantidade de firmas.
X
O resultado clássico (Marshall) mais importante p/ nós é:
O
Em competição perfeita, com livre entrada de firmas, o preço em equilíbrio é tal que o VPL da firma entrante é zero
. XO mercado em equilíbrio com preço P, é condicional ao
estado da demanda e da oferta da indústria no tempo t.
O
Depois, essa teoria microeconômica clássica será estendida p/
um modelo dinâmico de competição perfeita. As curvas de oferta e demanda oscilam e logo o preço será estocástico.
Estruturas de Competição num Mercado
Adaptado de “Industrial
Tipo de Competição Perfeita
¾Firma tomadora de preço;
¾Decisão: quantidade a produzir.
Duopólio
¾Firma tem demanda residual;
¾Decisão: quantidade ou preço.
Oligopólio
¾Idem duopólio.
Monopólio
¾Firma vê curva de demanda;
¾Decisão: quantidade ou preço.
Estático Dinâmico
Não-Cooperativo Cooperativo
¾Colusão: tácita ou coordenada.
Seqüencial
¾Modelos de líder-seguidor;
¾Decisão: quantidade ou preço.
Jogos Repetidos Simultâneo
Bertrand Cournot
VPLentrar= 0
Imperfeita
VPLentrar≥0
T. Schelling e o Pensamento Estratégico
X
O raciocínio estratégico da T.J. é bem ilustrado a seguir:
X
Prêmio Nobel de 2005, T. Schelling se diz só um usuário da teoria dos jogos, mas ele deu várias contribuições:
O
A obra clássica de Thomas Schelling, “Estratégia do Conflito”
(1960) deu muita intuição sobre conflitos tais como a guerra fria, assim como em outras situações de conflito e cooperação.
O
O conceito de “commitment” crível: atitudes aparentemente irracionais de eliminar opções para deixar claro o compromisso de que ele irá seguir um caminho, criando uma ameaça crível.
·
Ex.: caso do conquistador espanhol Cortés, que queimava os próprios navios para deixar claro ao seu pessoal e ao inimigo que a opção de recuar seria impossível. Outro ex.: queimar pontes.
O
Coordenação tácita com o conceito de ponto focal.
·
Ex.: um casal marca encontro em New York ao meio-dia, mas não especifica o local. Pontos focais: Empire State e Penn Station.
O
Deu contribuições à teoria de barganha (1956), especialmente a discussão de ameaças críveis e não-críveis (citei na minha tese).
OR e Jogos: Teorias Complementares
X
Em jogos de opções reais, o problema de maximização de valor da firma que analisa um investimento, deve
considerar a presença de outras firmas como jogadores:
O
Os “players” reagem otimamente aos processos estocásticos relevantes (exógeno) e às ações das outras firmas (endógeno).
·
Onde “endógeno” significa que depende do nosso controle ótimo e “exógeno” não depende (entra como restrição na otimização).
·
A teoria dos jogos é necessária e entra nas
condições de contorno(principalmente), com considerações sobre o equilíbrio do jogo.
X
As teorias dos jogos e de OR são teorias complementares:
O
A teoria dos jogos tradicional sozinha ignora os avanços da teoria de finanças sobre risco-retorno e sobre o valor da flexibilidade gerencial sob incerteza (ignora as opções reais).
O
A teoria das opções reais (OR) tradicional sozinha ignora o fato que o exercício de opções pelas outras firmas pode alterar o valor da sua opção real (ignora a interação estratégica).
O
Conceitos de equilíbrio sob incerteza com opções são requeridos.
Conceitos Básicos de Teoria dos Jogos
X
Um jogo pode ser cooperativo ou não-cooperativo:
O
Num jogo cooperativo é permitido aos jogadores fazerem acordos entre si (um contrato, “acordo de cavalheiros”, etc.) Nos jogos não-cooperativos não são permitidos acordos.
O
Jogos não-cooperativos são mais adequados para modelar a competição e a evolução do mercado (microeconomia).
O
Jogos cooperativos são mais adequados p/ modelar barganha, contratos, a firma, acordos sociais, acordos internacionais...
·
Jogos cooperativos são usados para modelar a firma, por ex.
O
Jogos não-cooperativos usam conceitos de equilíbrio para
prever o resultado de um jogo (em geral não são Pareto ótimo).
O
Jogos cooperativos geralmente usam axiomas para estabelecer regras de como se deve jogar. Busca-se o Pareto ótimo.
X
Enfocaremos quase que só os jogos não-cooperativos por serem muito mais usados em economia e finanças (em especial a competição) do que os jogos cooperativos.
Conceitos Básicos de Teoria dos Jogos
X
Os jogos podem ser classificados como jogos de soma- fixa e jogos de soma variável (esses são mais relevantes).
X
Regras do jogo (não-cooperativo, se não especificado):
O
Os lances dos jogadores são simultâneos ou alternados?
O
Quem joga e quando?
O
O que cada jogador sabe (conjunto de informação) na sua vez de jogar? O que os outros jogadores sabem nesse instante?
O
Quais as ações e planos (estratégias) possíveis?
X
Resultados e payoffs: para cada conjunto de estratégias, qual é o resultado do jogo? Quanto vale esse resultado?
O
Na teoria dos jogos tradicional, que em muitos casos analisa as decisões de indivíduos, usa-se a função utilidade esperada.
O
Para firmas, a moderna teoria de finanças recomenda usar valores de mercado ou valores de opções reais (ativos reais).
Nos jogos de opções reais os payoffs são valores de opções reais.
Teoria dos Jogos: Origens e Conceitos
X
A moderna teoria dos jogos começa com Nash em 1950’s
O
O chamado equilíbrio de Nash é o conceito mais importante e mais aceito da teoria dos jogos não-cooperativos.
·
É a base de outros equilíbrios (perfeito, Bayesiano, etc.)
·
Nash também formulou a mais importante solução em
jogos cooperativos: a solução de Nash para jogos de barganha.·
Conceitos antigos como o minimax e maximin (ver anexo), vem perdendo o interesse na literatura econômica.
X
Algumas definições básicas de teoria dos jogos.
O
Defini-se estratégia s
ido jogador i como uma regra de decisão ou plano contingente completo que descreve as ações a serem tomadas em cada possível evolução do jogo onde o jogador i é chamado a jogar. Se a estratégia for determinística, é chamada de estratégia pura, se probabilística é chamada estratégia mista.
O
As estratégias dos outros jogadores são denotadas por s
−i.
O
Um jogo é descrito especificando os jogadores, as regras, os possíveis resultados e os valores (“payoffs”) desses resultados.
Representação Formal dos Jogos
X
Os jogos não-cooperativos podem ser formalizados e apresentados em dois formatos (a serem detalhados):
O
Na forma normal (ou estratégica), denotada por Γ
N, com uma representação por matrizes para os payoffs dos jogadores;
O
Na forma extensiva, denotada por Γ
E, com uma árvore de jogos.
·Árvore de jogos
é uma árvore de decisão generalizada para
múltiplosdecisores (os jogadores).
X
Os jogos cooperativos precisam de um terceiro formato:
O
É preciso considerar a possibilidade de coalizões, isto é, sub- conjuntos dos N jogadores. Existem 2
N− 1 coalizões possíveis.
·
As coalizões
S ⊆Njogam entre si diferentes tipos de jogos e internamente possuem uma regra de divisão do payoff ganho.
O
A forma coalizão, denotada por Γ
C, através da definição do par {N; C} no jogo de N jogadores e com função característica C(S).
·
A função característica C(S) representa as possibilidades de
cooperação para a coalizão S. É a utilidade total da coalização S
(ou riqueza ou poder de S) a ser transferida aos seus membros.
Exemplo na Forma Normal ou Estratégica
X Exemplo: jogo do par ou ímpar com disputa de 1 R$
Jogador 1 (par)
Jogador 2 (ímpar)
par
par
ímpar
ímpar
1; 0 0; 1
0; 1 1; 0
Estratégias puras para o jog. 1
Estratégias puras para o jog. 2
Payoff do jog. 1 Payoff do jog. 2
X
Veremos que o único equilíbrio do jogo do par ou ímpar é o equilíbrio probabilístico ou em estratégias mistas: cada jogador joga “par” com 50% de chance e “ímpar”com 50% chances.
X
Dado um conjunto de estratégias puras S
i, uma estratégia mista para um jogador i é uma função σ
i: S
i→[0, 1], que assinala a cada estratégia pura s
i∈Si, uma probabilidade σ
i(s
i) ≥ 0. A soma dos σ p/ todos s
ié = 1.
Jogo do Par ou Ímpar na Forma Extensiva
X
A forma extensiva é mais usada para jogos dinâmicos e com lances seqüenciais. Mas pode ser usada também p/ jogos com lances simultâneos, como no jogo do par ou ímpar:
Jogador 1
par ímpar
par ímpar par ímpar
Jogador 2
(1; 0) (0; 1) (0; 1) (1; 0)
Convenção payoff:
jog. 1 pediu par jog. 2 pediu ímpar
Elipse significa que o jog. 2 não sabe em qual dos dois nós ele está.(usa-se tb. reta tracejada)
X
Nos jogos simultâneos ou de informação imperfeita, usa-se uma elipse circundando os nós do mesmo conjunto de informação.
O
Se o jogo fosse de lances alternados, o jogador 2 saberia em
que nó ele estaria e poderia ganhar $1 com a melhor resposta.
Jogos Dinâmicos de Opção
X Jogos dinâmicos envolvem seqüências de ações.
Constitui a maioria dos jogos de opções reais.
X
Ex.: jogo de opção real com duas firmas. Elas decidem de forma seqüencial se exercem (E) ou não exercem (NE) uma opção de entrar. Os payoffs são valores de opções.
·
D
i= valor em duopólio da firma i e M
i= valor em monopólio de i.
Firma 1
E NE
E NE
Firma 2
(D
1; D
2) (M
1; 0)
E NE
(0; 0) (0; M
2)
X
Note que na forma normal não se poderia capturar a dinâmica do jogo. Por isso é necessária a forma extensiva.
X
Aqui o jogo é de informação perfeita, pois a firma 2 decide sabendo o lance jogado pela firma 1.
Conceitos Básicos de Teoria dos Jogos
X
Um jogo é dito de informação perfeita se cada conjunto de informação só contém um nó de decisão da árvore.
O
Caso contrário é dito de informação imperfeita. Ex.: pôquer.
O
Já o jogo de xadrêz é exemplo de jogo de informação perfeita.
X
Algumas premissas usuais em teoria dos jogos:
O
O jogo é assumido ser de memória perfeita (“perfect recall”), i.
é, uma jogadora nunca esquece a informação que sabia antes de chegar até aquele estágio do jogo.
O
Também se assume conhecimento comum (“common knowledge”), i. é, cada jogador conhece a estrutura do jogo (inclusive os valores) e sabem que os outros também conhecem, que sabem que os outros sabem que eles conhecem, etc.
X
Um perfil de estratégias puras de um jogo com J jogadores
é um vetor s = (s
1, s
2, … s
J) em que s
ié escolhida pelo
jogador i. Pode ser escrito como (s
i, s
−i) para ressaltar o
ponto de vista de i em relação aos outros J – 1 jogadores.
Estratégia Dominante e o Dilema dos Prisioneiros
X
Estratégia dominante é uma estratégia que é ótima para um jogador independentemente da(s) estratégia(s) escolhida(s) pelo(s) outro(s) jogador(es) (s
−i).
O
Equilíbrio com estratégias dominantes é quando cada jogador possui e joga a sua estratégia dominante. Ex. clássico a seguir.
X
O dilema dos prisioneiros é um jogo clássico que ilustra a não-cooperação como equilíbrio com estratégia dominante.
O
Dois ladrões são presos e colocados em salas separadas. Para cada ladrão, o detetive propõe que ele confesse o crime e sirva de
testemunha contra o outro. Se um dos ladrões confessar o crime e o outro não, aquele que confessou será posto em liberdade e o outro cumprirá pena de 10 anos. Se os dois confessarem, ambos ficarão presos por 3 anos. Se nenhum dos dois confessarem, a penalidade será de apenas um ano. Qual o resultado mais provável do jogo?
O
Note que se eles pudessem se comunicar e fazer
acordos críveis de serem cumpridos, a estratégia cooperativa (não-confessar) seria amelhor para ambos. Sem acordo, só há o incentivo de trair o outro.
O Jogo Dilema dos Prisioneiros
X
Os payoffs são “anos de cadeia” com sinal negativo.
Assim, valores mais próximos de zero são os preferíveis.
Prisioneiro 1
Prisioneiro 2
confessa
(não-coopera) −3; −3 0; −10
−10; 0 −1; −1 confessa
(não-coopera)
não confessa (coopera)
não confessa (coopera)
X
O equilíbrio é em estratégias dominantes (um caso
particular de equilíbrio de Nash) e é muito comum em
várias situações sociais (ex.: a tragédia dos comuns).
Dilema dos Prisioneiros: O Jogo da Propaganda
X Um exemplo de dilema dos prisioneiros na área de decisão de investimentos é o jogo da propaganda.
O
Cenário: Duas firmas concorrentes, Firma 1 e Firma 2, têm de decidir quanto gastar em propaganda.
O
Estratégias: muita propaganda, pouca propaganda.
O
Os resultados são mostradas abaixo:
Jogador 1
muita
muita
pouca
pouca 10; 1
1; 10 6; 6 Jogador 2 4; 4
X Equilíbrio emestratégias dominantes: Nesse jogo, ambas as firmas têm a mesma estratégia dominante. Dessa forma, o resultado do jogo é (4;4).
X Dilema dos prisioneiros: o equilíbrio não é Pareto ótimo, não é o resultado que os jogadores escolheriamseeles pudessem cooperar de forma crível.
Dilema dos Prisioneiros: História e Relevância
X
O dilema dos prisioneiros é talvez o jogo mais conhecido porque é uma situação que se repete muito em
economia, política e em outros ramos de conhecimento.
O
Apesar de existir ganhos de cooperação, cada jogador tem um incentivo de não-cooperar para qualquer estratégia do outro.
O
Um ex. em política é a corrida nuclear: apesar de construir bombas ser caro, muitos países querem evitar a pior situação (menor payoff) que seria o outro país ter a bomba e ele não ter.
O
Outro exemplo é a chamada “Tragédia dos Comuns”, um caso clássico de sociologia, em que apesar da cooperação gerar benefícios, frequentemente ela não ocorre. Ver slides do anexo.
X
O esquema dilema dos prisioneiros surgiu em jan/1950 quando os profs. M. Dresher e M. Flood usaram ele para criticar o então novo conceito de equilíbrio de Nash (EN).
O
Veremos que o resultado desse jogo é um caso particular de EN
O
A estória original é de A. Tucker (1950), orientador de Nash.
O Jogo do Aquecimento Global
X
Outra aplicação do dilema dos prisioneiros é o drama do aquecimento global. A cooperação (redução de emissões) é melhor para todos, mas os países não reduzem as emissões.
O
No discurso, todos dizem que é “urgente” impedir o aquecimento global, mas poucos realmente se comprometem com isso.
O
Na prática o que eles dizem é que é urgente que todos os países, exceto o deles, reduzam as emissões.
O
Ou seja, querem ter o benefício da redução de emissões, sem ter o custo de reduzir o crescimento econômico do seu país.
·Com a maioria dos países se comportando segundo os seus próprios interesses, o resultado deve ser o desastre ambiental, embora seja Pareto ótimo a cooperação. É o dilema dos prisioneiros.
O
Ver no material o artigo traduzido do The Economist: “Quem perde e quem ganha no jogo do clima?”
X
Esse problema gerado pelo dilema dos prisioneiros pode ser solucionado com jogos repetidos (a ser visto) e com a introdução de estratégias de punição e recompensa.
Estratégia de Melhor Resposta
X
Seja V
i(σ
i, σ
− i) o valor da estratégia mista σ
ipara o jogador i quando os demais jogam as estratégias mistas σ
−i. A estratégia σ
ié a melhor resposta de i para o perfil σ
−ide J – 1 estratégias mistas dos outros jogadores se:
V
i(σ
i, σ
−i) ≥ V
i(σ
i’, σ
−i) , para qualquer σ
i’ ∈ ∆(S
i)
O
∆(S
i) é o conjunto simplex do conjunto das estratégias puras S
i. O simplex é uma extensão do conjunto de estratégias puras S
ique assinala probabilidades a todas as M estratégias puras disponíveis para o jogador i.
O
A definição de estratégia pura de melhor resposta é similar.
O
A estratégia pura pode ser vista como uma estratégia mista degenerada (prob. = 1 p/ uma estratégia e zero para as demais)
XO conceito de melhor resposta é importante, pois será
visto que o equilíbrio de Nash pode ser visto como um
ponto fixo de estratégias de melhor resposta simultânea.
Equilíbrio de Nash (1950)
X
O perfil de estratégias s = (s
1, s
2, … s
J) é um equilíbrio de Nash (EN) em estratégias puras de um jogo se, para todo jogador i = 1, 2, …, J, vale a desigualdade:
V
i(s
i, s
−i) ≥ V
i(s
i’, s
−i) , para qualquer s
i’ ∈ S
iO
O EN implica que as estratégias que fazem parte desse equilíbrio são simultaneamente as melhores respostas para todos os jogadores. Esse é um resultado fundamental.
O
Dessa forma, não há incentivo para nenhum jogador desviar desse equilíbrio, unilateralmente. Ex.: dilema dos prisioneiros.
O
Para saber se é equilíbrio de Nash, basta fazer a seguinte pergunta a cada jogador separadamente: mudando a sua estratégia você ficaria melhor (aumentaria V
i)? Se as respostas de todos os jogadores forem negativas, então é um EN.
O
A definição de EN para estratégias mistas é similar à apresentada.
O
Para se testar se o perfil σ é EN, basta testar desvios de σ para as estratégias puras s. Se não houver incentivo para desviar, σ é EN.
Eq. de Nash: Competição Internacional
X Embraer x Bombadier no mercado de jatos executivos
O
Suponha que sem subsídios para a Bombadier, a matriz de payoffs para a fabricação de um novo modelo de jato é:
Embraer
Bombadier
−10; −10 100; 0
0 ; 100 0; 0
Desenvolve Não Desenvolve
Não Desenvolve Desenvolve
X
Ou seja, dois EN em estratégias puras (e um EN em
estratégias mistas). Na prática, existem os riscos de ambos
desenvolverem o jato e terem prejuízo, ou não investirem.
Mercado de Jatos Executivos com Subsídios
X Agora suponha que o governo do Canadá dá $ 20 de subsídio para a Bombadier para desenvolver jatos executivos (ex.: taxas de juros abaixo do mercado).
O
A nova matriz de payoffs mostra a mudança do EN:
Embraer
Bombadier
−10; +10 100; 0
0; 120 0; 0
Desenvolve Não Desenvolve
Não Desenvolve Desenvolve
X
Ou seja, o subsídio fez com que a estratégia investir (desenvolver o projeto de jato executivo) se tornasse estratégia dominante para a Bombadier. O único EN é a Bombadier sozinha no mercado.
Jogos Repetidos: Cooperação é Possível
X
No dilema dos prisioneiros vimos que não é equilíbrio {cooperar; cooperar}, mesmo sendo Pareto dominante.
O
No entanto, foi assumido que o jogo é jogado apenas uma vez.
X
Existem casos em que o jogo pode ser repetido pelas firmas e o resultado {cooperar; cooperar} pode ser EN.
O
Com a repetição, cada firma pode criar reputação sobre o seu comportamento e aprender sobre o comportamento dos rivais.
·
Ocorre no caso de poucas firmas, com demanda e custos estáveis.
X
Estudos experimentais tais como “torneios de repetidos dilema de prisioneiros”, mostra que a estratégia “tit-for- tat” (retribuição/retaliação) pode sustentar a cooperação
O
Tit-for tat: estratégia é cooperar no instante inicial e continuar cooperando enquanto o outro coopera. Retaliar (não cooperar) se o outro não-coopera. Voltar a cooperar se o outro o fizer.
O
Teoremas populares (“folk theorems”) para jogos repetidos
Equilíbrio de Nash (EN): Notas
X
O conceito de equilíbrio de Nash (EN) pode ser intepretado e usado de várias maneiras:
O
Normativo: aconselhar todos os jogadores. O conselho tem de ser equilíbrio no sentido de ter relativa estabilidade, não sendo ótimo para um jogador ganhar mais ao não seguir o conselho.
·
EN é melhor resposta simultânea e não há incentivo em desviar.
O
Predição: Num processo dinâmico de ajustes, o EN pode ser interpretado como um ponto estável. Muito usado em biologia.
O
Sustentabilidade: é um acordo “self-enforcing” (de auto- cumprimento), pois não precisa de ajuda externa para manter ao ser do próprio interesse de cada jogador seguir o EN.
X
O conceito de EN ajudou a deixar claro a distinção entre jogos não-cooperativos e jogos cooperativos:
O
Em jogos cooperativos há acordos que podem ser forçados (em tribunais, contratos, etc
.) Em jogos não-cooperativos não há tais mecanismos ⇒ só resultados de equilíbrios são sustentáveis.
Eq. de Nash: Exercício & Experimento
X
Esse exercício é interessante como um experimento que pode ser feito em sala de aula, mas que você pode fazer numa roda de amigos(as) e/ou familiares.
O
Ilustra a necessidade do pensamento estratégico para tomada de decisão. Ou seja, tem de pensar no que os outros farão, etc.
X
Peça para cada participante escrever o seu nome e um número entre zero e 100 numa folha de papel.
X
Informe antes que o ganhador do jogo será aquele que escrever o número mais próximo da metade da média dos números escritos.
X
Após a primeira rodada, conhecido o vencedor e o valor médio, peça a todos que joguem novamente o jogo.
O
O que ocorreu com a média e o lance vencedor, dado a “lição”
obtida com o resultado da primeira vez que foi jogado?
X
Determine o equilíbrio de Nash (EN) desse jogo.
Jogo “Assurance” ou “Stag-Hunt”
X
O jogo Stag-Hunt e suas variantes, também conhecidas como “assurance game” (jogo da garantia) ou jogo de coordenação ou dilema da confiança, tem sido usado para modelar conflitos sociais (ex.: livro de Brian, 2004,
“Stag Hunt and Evolution of Social Structure”).
O
Mostra o dilema entre a segurança x cooperação social.
O
Estória (Rousseau): dois caçadores podem caçar uma lebre (hare) ou um cervo adulto (stag). A lebre pode ser caçada por uma só pessoa, mas o cervo necessita dos dois (cooperação).
O
Jogo tem dois EN em estratégias puras (e um em est. mistas), sendo um risco dominante e outro payoff dominante. Ex.:
4 ; 4 0 ; 3 3 ; 3 3 ; 0
Cervo Cervo
Lebre
Caçador 2
Caçador 1
Lebre
Software Para Jogos na Forma Normal
X
Um dos programas disponíveis na internet para resolver jogos na forma normal é um applet Java que fica em:
http://www.gametheory.net/Mike/applets/NormalForm/NormalForm.html O
Existe também uma versão em português (link na pág. acima).
O
O applet acha os equilíbrios para jogos de 2 jogadoras com até 4 estratégias puras (matrizes até 4 x 4) e estratégias mistas só para o caso de matriz 2 x 2. Ver abaixo o ex. batalha dos sexos.
O
Ele permite carregar alguns exemplos clássicos já prontos:
Software Mais Geral de Teoria dos Jogos
X O software Gambit é um software mais geral que resolve jogos na forma normal e na forma extensiva.
O
Mesmo na forma normal, permite mais de dois jogadores e é menos limitado que o anterior. Escrito em C++, tem interface amigável para Windows. Última versão jan/2007
.O
Webpage do Gambit: http://gambit.sourceforge.net/
·
Inclui links para download e documentação (com arquivos de exemplos). Exs. de janelas (formas normal e extensiva):
Preços e Curva de Demanda Inversa
X
A curva de demanda de um produto relaciona preços com a demanda.
Preço mais baixo tem maior demanda e preço alto tem menor demanda.
X
No duopólio, as firmas têm como dado uma função demanda inversa p = f(Q
T): o preço do produto é função da produção da indústria Q
T= q
1+ q
2. As estratégias das firmas são q
1e q
2.
X
Ver os gráficos das curvas de demanda exponencial e linear (planilha).
X
Nas figuras aparecem duas curvas de demanda, uma delas elevada
refletindo uma economia aquecida (vermelha) e a outra mais baixa,
refletindo um desaquecimento do consumo (curva azul).
Competição por Quantidades em Duopólio
X
Duas firmas dividem um mercado geográfico de um produto.
X
Equilíbrio de Cournot (1838): simultaneamente e de forma independente os jogadores escolhem as quantidades, e o preço é tal que o total ofertado é igual a demanda.
O
Veremos que o resultado de Cournot é um EN único para esse jogo em que as estratégias são quantidades escolhidas simultaneamente.
O
Curva de reação de Cournot: especifica a produção ótima de uma firma em função das possíveis produções da outra firma.
X
Equilíbrio de Stackelberg: sequencialmente, em dois estágios, uma firma (líder) estabelece sua produção e depois a outra firma (seguidor), observando o líder, estabelece a sua própria produção.
O
A produção e o lucro no modelo de Stackelberg são maiores para o líder e menores para o seguidor (vantagem de jogar primeiro). O líder maximiza o lucro dado a curva de reação do seguidor.
O
Iremos ver depois que esse resultado é um EN perfeito em subjogos para o jogo seqüencial em que as estratégias são quantidades. Mas ele tem problemas de inconsistência temporal: não é EN se o jogo continuar após a entrada do seguidor (há incentivo p/ desviar).
Monopólio com Demanda Linear
X
Dada a relação 1-1 entre preço e quantidade estabelecida na curva de demanda, um monopolista pode escolher ou preço ou quantidade a produzir, mas não ambas.
X
O monopolista irá maximizar o lucro seja usando o preço ou usando a quantidade como variável de controle.
X
Seja uma curva de demanda linear (a mais usada) dada por p = a – b Q. Assuma que o custo fixo do monopolista é zero e o custo variável é c. O lucro do monopolista é:
O
π
M= p Q – c Q ⇒ π
M= (a – b Q) Q – c Q = (a – c) Q – b Q
2.
XPara maximizar o lucro usa-se a condição de 1ª ordem
(CPO): ∂π
M/∂Q = 0 (checar a de 2ª ordem: ∂
2π
M/∂Q
2< 0)
. OOs valores obtidos (quantidade, preço e lucro, respectiv.) são:
M
q a c 2b
= −
Ma c
p 2
= +
M(a c)
2π 4b
= −
Duopólio em Quantidades de Cournot
X
No problema da escolha ótima de quantidade q
i, a(s) firma(s) resolvem problemas de maximização de lucro π
i.
X
Para maximizar o lucro usa-se a condição de 1ª ordem (CPO): ∂π
i/∂q
i= 0 (checar a de 2ª ordem: ∂
2π
i/∂q
i2< 0).
X
No caso do duopólio, o equilíbrio de Nash-Cournot é obtido com ambas as firmas escolhendo as quantidades que maximizam o lucro, considerando no problema de otimização que a firma rival estará fazendo o mesmo.
O
Pois o EN é a melhor resposta simultânea (não há incentivo para nenhum jogador desviar se estiver sendo jogado o EN) e é assumido conhecimento comum (a firma sabe que a outra ...).
·Melhor resposta simultânea: curvas de melhor resposta se cruzam.
X
Se o custo operacional (fixo + variável) de cada firma é C
i(q
i) e a função demanda é p(Q
T), as funções lucros são:
π
1= q
1p(Q
T) − C
1(q
1) e π
2= q
2p(Q
T) − C
2(q
2)
Duopólio em Equilíbrio de Nash-Cournot
X
Seja uma curva inversa de demanda linear (por ser mais simples, é a mais usada), onde os preços são dados por:
p(Q
T) = a − b Q
T⇒ p(Q
T) = a − b (q
1+ q
2) ,
com q1≥0; q2≥0; eaebtal que p > 0X
Se o custo fixo é zero, a função lucro da firma i (1 ou 2) é:
π
i= q
ia − q
ib (q
1+ q
2) − c
iq
i= q
i(a − c
i) − q
ib (q
1+ q
2)
O
Onde c
ié chamado de custo operacional variável da firma i.
X
A curva de reação ou curva de melhor resposta da firma i (i = 1; 2) em relação a produção da firma j (j ≠ i), q
i*(q
j), é obtida com a condição de 1ª ordem (CPO).
O
A interseção das duas curvas de reação, q
1*(q
2) e q
2*(q
1), é o ponto de melhor resposta simultânea ⇒ é EN!
O
Para tal, basta substituir a curva de melhor resposta de
uma na da outra, isto é, obter q
1*(q
2*) e q
2*(q
1*). O par
{q
1*(q
2*); q
2*(q
1*)} é EN (próx. slide):
Competição de Cournot em Duopólios
X
Nesse caso com custo fixo igual a zero e demanda linear, as curvas de reação q
i*(q
j), os lucros π
i, o preço e as quantidades em EN-Cournot {q
1*(q
2*); q
2*(q
1*)} são:
1 2
1 2
a c b q q (q )
2b
− −
= 2 1 a c2 b q1
q (q ) 2b
− −
Funções melhor = resposta (reação):
Funções Lucro em EN-Cournot:
Preço em EN-Cournot: EN-CT 1 2
EN-C a b Q a c c
p
3
+ +
=
= −
* * 1 2
1 2
a 2 c c q (q )
3b
− +
Quantidades em EN = (estratégias em EN):
* * 2 1
2 1
a 2 c c q (q )
3b
− +
=
·
Assim, quanto menor o seu próprio custo e maior o custo do oponente, maior o seu lucro e a sua produção no EN-Cournot (como esperado).
·
Como a > c
i, o preço em EN é maior que o custo médio das firmas.
·
Os gráficos a seguir ilustram o cruzamento das curvas de reação (EN).
Curvas de Reação em Cournot
X
A curva de reação da firma (jogador) 1 dá a melhor resposta q
1a cada possível estratégia q
2da firma 2.
X
A curva de reação da firma 2 é similar (troca os eixos dos X com os dos Y). Girando um dos gráficos (para que os eixos coincidam)
q
1q
2Curva de Reação q1*(q2)
Solução de Monopólio (só firma 1 produz)
Produção q2equivale a Competição Perfeita (firma 1 não produz)
a c
1b
− a c
12b
−
Curva de Reação q2*(q1)
a c
2b
−
a c
22b
q
2− q
1Girando ⇒
Curvas de Reação em Cournot
X
A curva de reação da firma (jogador) 2 dá a melhor resposta q
2a cada possível estratégia q
1da firma 1.
q
2q
1Curva de Reação q2*(q1)
a c
2b
− a c
22b
−
a c
2b
−
a c
22b
−
Curva de Reação q2*(q1)
q
2q
1Curvas de Reação e EN em Cournot
X
O cruzamento das curvas de reação é o ponto em que temos melhor resposta simultânea ⇒ EN.
q
1q
2Curva de Reação q1*(q2)
a c
1b
− a c
12b
−
a c
22b
− a c
2b
−
Curva de Reação q2*(q1)EN-Cournot
Exemplo Numérico : Competição por Quantidades
X
Considere uma curva de demanda inversa linear, dada pela equação: p = 30 − Q
T(ver planilha duopolio_sob_certeza.xls)
O
Por simplicidade, seja o custo variável igual a zero, ou, de forma alternativa, considere p a margem de lucro operacional.
X
A função lucro π
ida firma i é a margem vezes as vendas:
π
i= p q
i= (30 − Q
T) q
iO
Na competição perfeita, as firmas irão produzir até a margem p cair a zero (logo, produzirão q
1= q
2= 15 ⇒ Q
T= 30 ⇒ p = 0);
O
No monopólio, a única firma escolhe Q
Tp/ maximizar o lucro (derivada do lucro π em relação à produção = 0 ⇒ Q
T= 15); e
O
Colusão é quando as firmas se juntam e agem como monopólio
XVimos que no duopólio onde as estratégias simultâneas
são quantidades, o equilíbrio de Cournot é o EN do jogo.
O
A curva de reação da firma i é obtida pela maximização ∂π
i/ ∂q
i= 0, que dá as curvas de melhor resposta q
i= f(q
j) p/ cada jogador.
O
O cruzamento dessas curvas é o EN de Cournot (ponto fixo).
Duopólio: Vários Possíveis Resultados
X
Para entender os possíveis equilíbrios, serão plotadas as curvas de reação das duas firmas, i. é, as funções melhor resposta dos dois jogadores dada as estratégias das outras firmas.
Curva de Contrato Uma solução
de Colusão
Equilíbrio de Cournot Equilíbrio Competitivo Equilíbrio de Stackelberg
Curva de Reação em Cournot, Firma 1 Curva de Reação da Firma 2
(vale para Cournot e Stackelberg) (*) Margem depois da entrada do seguidor.
Antes da entrada do seguidor a margem do líder é p = 30 – 15 = 15 = margem da colusão.
Lucro = πi = (30 −QT) qi Margem = p = 30 −QT
Cournot em Oligopólios: N Firmas
X
Seja o caso de oligopólio com N firmas (N > 1) com decisão simultânea competindo em quantidades
(Cournot). Considere as N firmas homogêneas (mesmo custo unitário c) e demanda linear (custo fixo = 0).
O
A produção de cada firma e a produção total da indústria em EN-Cournot é (basta resolver para 1 firma homogênea):
i
q q a c (N 1) b
= = −
+ T i
N (a c) Q = q N q
(N 1) b
⇒ = = −
∑
+O
O preço de equilíbrio no mercado (“market clearing price”) é:
a + N c p
N 1
= +
O
Agora podemos ver o que ocorre no mercado quando N → ∞ :
N T
a c lim Q
b
→ ∞
= − N
lim p c
→ ∞
=
O
Que são os resultados do caso de competição perfeita sem custo de entrada para produção e preço (= custo marginal; lucro = 0).
Já o lucro de cada firma é:
2
2
i 2 i
(a c)
π b q
(N 1) b
= − =
+
Comparação dos Modelos
X
A produção da indústria é maior em competição perfeita (cp) do que em Cournot (C) que é maior que a do monopólio (m):
cp C m
(a c) N (a c) (a c)
Q > Q Q
b (N 1) b 2 b
− − −
= = > =
+
m C cp
a + c a + N c
p > p > p c
2 N 1
= = =
+
X
Além disso, em Cournot a produção da indústria Q aumenta com a competição (n
ode firmas N) e no limite tende a c.p.:
C
2
Q (a c)
N (N 1) b 0
∂ = − >
∂ + N C cp
(a c)
lim Q Q
b
→∞
= − =
X
Já o preço é o contrário: o maior é em monopólio, seguido de Cournot, e o menor preço é competição perfeita (= custo c):
X
A competição (N grande) reduz o preço:
C
2
p (a c)
< 0
N (N 1
(pois a > c)
)∂ − −
∂ = +
X
Exercício: mostre que o lucro da indústria tem a mesma
ordenação acima para o preço e que diminui com N.
Oligopólio de Cournot em Fusões & Aquisições
X
Para ilustrar o caso de N firmas em Cournot, imagine um mercado petroquímico com 4 firmas homogêneas.
X
Uma onda de fusões e aquisições fez com que o mercado fosse reduzido de 4 para 2 firmas, também homogêneas.
O
Assuma que existam barreiras de entrada de produtos de firmas estrangeiras devido a custos de transporte e tarifas alfandegárias, de forma que só essas firmas competem.
·
Isso é realista no Brasil apenas dentro de certos limites de preços.
X
Assuma que a curva de demanda do mix de produtos é linear e dada por p = 180 – 8 Q
T, onde p = preço do mix de produtos e o custo médio unitário é c = 70 $/unidade.
O
Determine os preços, quantidades e lucros em equil. de Nash- Cournot antes e depois das fusões. Quem ganha e quem perde?
O
Agora considere que as fusões permitiram uma redução de custo unitário para c´ = 60 $/unidade. Quais são os novos preços, quantidades e lucros? Use a planilha oligopolio.xls.
Oligopólio de Cournot em Fusões & Aquisições
X
Os resultados do caso de fusões sem reduzir custos são:
X
Assim, as firmas ganharam com as fusões, mas em
detrimento da renda dos consumidores (maiores preços).
X
Os resultados do caso de fusões com redução de custos são:
O
Ainda assim os preços subiram, embora menos que o caso anterior.
X
Qual seria a redução de custo necessária para que os
preços ao consumidor não aumentem? R: c´ = 48 $/unid.
Jogos Dinâmicos
X
Até aqui vimos só jogos estáticos, onde os jogadores se encontravam uma só vez, o tempo não era uma variável.
X
Agora serão vistos jogos dinâmicos onde o tempo é relevante e/ou os jogadores se encontram várias vezes.
O
Os jogos dinâmicos podem ser jogos repetidos ou não-repetidos.
O
Os jogos dinâmicos podem ser determinísticos ou estocásticos.
X
Antes, os elementos ação e estratégia se confundiam, mas em jogos dinâmicos é necessário lembrar a diferença:
O
Uma estratégia s
ido jogador i é um plano completo de ações tal que especifica uma ação factível a
i, cem cada contingência c na qual o jogador i possa ser chamado a jogar.
·
Cada contingência c pode ser interpretada como cada instante t.
·
A ação de um jogador pode ou não ser observável pelo(s) outro(s).
X
Para analisar jogos dinâmicos precisamos do conceito de Equilíbrio de Nash Perfeito em Subjogos (ENPS).
Refinamentos do EN: Equilíbrio Perfeito
X
O grande problema prático do EN é que geralmente se têm múltiplos ENs. Isso é freqüente em jogos dinâmicos.
O
A pergunta natural é: qual o equilíbrio que deve prevalecer?
X
Em jogos dinâmicos, o conceito de EN não consegue eliminar várias estratégias não-críveis. É necessário adicionar uma racionalidade seqüencial no caminho do equilíbrio.
O Princípio da racionalidade seqüencial: a estratégia de um jogador
deve especificar ações ótimas em todos os pontos da árvore de jogos.
X
Selten (1965) introduziu o conceito de equilíbrio de Nash perfeito em subjogos (ENPS) para jogos dinâmicos.
O
ENPS usa o princípio da racionalidade seqüencial e o
conhecido processo de otimização backwards (retro-indução):
·
Estabelece primeiro as estratégias ótimas nos nós terminais e depois vai estabelecendo as estratégias ótimas nos nós anteriores.
·
O precursor foi o teorema Zermelo (1913) que pode ser enunciado
assim “todo jogo finito de informação perfeita tem um EN em
estratégias puras que pode ser obtido através de retro-indução”.
Subjogos
X
Antes de definir o ENPS é necessário definir subjogo:
O
Subjogo é um subconjunto do jogo Γ
Ecom as propriedades: (a) começa num conjunto de informação que contém apenas um nó de decisão e contém todos os nós sucessores; (b) não há conjuntos de informação quebrados, i. é, se o nó de decisão x está no subjogo, então cada nó x’ ∈ H(x) (i. é, o conjunto de informação onde está x) também estará no subjogo.
O
Todo jogo tem pelo menos um subjogo que é o próprio jogo.
Firma 1
E NE
E NE
Firma 2
(D
1; D
2) (M
1; 0)
E NE
(0; 0) (0; M
2)
subjogo
não é subjogo
(não contém todos os nós sucessores)Quantos subjogos existem?
R: 3 subjogos.
Subjogos
X Exemplo da segunda condição para ser subjogo:
O
Esse jogo só tem um único subjogo que é o próprio jogo.
·
Pode ser interpretado como um jogo simultâneo ou como um jogo seqüencial onde a ação da firma 1 não é observável.
Firma 1
E NE
E NE
Firma 2
(D
1; D
2) (M
1; 0)
E NE
(0; 0) (0; M
2)
Não é subjogo, pois não pode haver conjuntos de informação quebrados.
O
Informação imperfeita x incompleta.
Equilíbrio de Nash Perfeito em Subjogos
X
O perfil de estratégias σ = (σ
1, σ
2, … σ
J) no jogo na forma extensiva Γ
Eé um Equilíbrio de Nash Perfeito em Subjogos se ele induz um EN em cada subjogo de Γ
E.
O
No jogo finito com informação perfeita ele pode ser obtido backwards e o Teorema de Zermelo diz que existe o ENPS.
O
O ENPS é único caso nenhum jogador tenha os mesmos payoffs em nós terminais quaisquer. Faremos um exemplo numérico.
O
Existe uma ligação estreita óbvia entre o conceito de ENPS e o de programação dinâmica: ambos usam otimização backwards.
·Para determinar o ENPS inicia-se procurando o(s) EN nos nós terminais, substitui-se esse subjogo pelos payoffs do EN e analisa o sujogo predecessor, procurando o EN, etc., até chegar ao início.
·
Nos casos de jogos infinitos, a definição de ENPS permanece no sentido de que induz EN em todos os subjogos, apesar de não ter a “última data” para trabalhar backwards.
Faremos um exemplo.·
Trabalhar com horizonte infinito é fácil, pois o tempo deixa de ser
variável de estado(sempre terá um horizonte infinito pela frente).
Equilíbrio de Nash Perfeito em Subjogos
X Jogo abaixo: a forma normal mostra que existem dois EN. Forma extensiva mostra que só um é ENPS.
1
U D
u d
L R
1
2 0
3
½ 2
-2 -2
1 -1
-1 1 -2 DR -2
-1 1 2 DL ½
3 0 3 UR 0
3 0 3 UL 0
1
d
u 2
Dois EN em estratégias puras (ver forma normal). Mas um deles não é crível (não é sequencialmente racional).
Um ENPS em estratégias puras: (DL ; u). É o EN “crível”.
Procedimento Backward Induction
X
O procedimento de retro-indução (backward induction) é:
Começe nos nós terminais do jogo e identifique quem joga.
Ache a decisão ótima do jogador nos nós de decisão comparando os payoffs que os jogadores recebem em cada nó terminal.
¶
Registre essa escolha, ela é parte da estratégia ótima dos jogadores.
Podar a árvore cortando todos os ramos que se originaram de #1.
Atribuir a cada um desses novos nós terminais os payoffs obtidos quando a ação ótima é realizada nesse nó.
Uma nova árvore de jogo existe e é menor que a original.
Se não existirem mais nós de decisão, o jogo termina. Se ainda existirem nós de decisão, aplicar os passos #1 a #4 até não haver mais nós de decisão.
Para cada jogador, selecione as decisões ótimas em cada nó. Esse conjunto de decisões constitem as estratégias ótimas desse jogo.
X
O resultado é um equilíbrio de Nash perfeito em subjogos.
O
O ENPS pode ser único ou não (mesmo payoff em nós de decisão).
Ex: Barreira de Entrada com Excesso de Capacidade
X
O caso a seguir é uma variante do modelo de Stackelberg de líder e seguidor (caso mais geral é visto em seguida).
X
A motivação desse exemplo é um famoso caso de 1945: o processo antitrust contra o poder de monopólio da Alcoa, que dominava 90% do mercado de alumínio nos EUA.
O
A Alcoa foi condenada porque o juiz entendeu que o rápido acúmulo de capacidade de produção por parte da Alcoa, que excedia muito os níveis de demanda, tinha como objetivo criar uma barreira de entrada para inibir a entrada de competidores.
O
Veremos que a teoria dos jogos e o ENPS pode justificar a decisão do juiz americano, assim como o argumento usado.
X
Suponha que duas firmas estão considerando entrar ou não no mercado, e também como (capacidade) entrar.
O
