CÁLCULO NUMÉRICO
Aula 7
Sistemas de Equações não-Lineares
SISTEMAS
NÃO-LINEARES
Aula 7 – Sistemas de Equações não-Lineares
Cálculo Numérico 4/26
SISTEMA NÃO LINEAR
Vamos considerar o problema de resolver um sistema de equações não-lineares:
onde cada f
i, i = 1, 2,..., n é uma função real de n variáveis
reais.
EXEMPLOS
Exemplo 1:
f 1 ( x 1 , x 2 ) = x 1 2 + x 2 2 - 2 = 0
f 2 ( x 1 , x 2 ) = x 1 2 - x 2 2
9 - 1 = 0 ì
í ï
î ï
Aula 7 – Sistemas de Equações não-Lineares
Cálculo Numérico 6/26
Este sistema admite 4 soluções, que são os pontos onde as
curvas se interceptam:
EXEMPLOS
Exemplo 2:
f 1 ( x 1 , x 2 ) = x 1 2 - x 2 - 0, 2 = 0
f 2 ( x 1 , x 2 ) = x 1 2 - x 2 + 1 = 0
ì í
ï
îï
Aula 7 – Sistemas de Equações não-Lineares
Cálculo Numérico 8/26
Este sistema não tem solução, ou seja, não existem pontos
onde as curvas se interceptam:
Vamos usar a seguinte notação:
Cada função f
i(x) é uma função não linear em x.
Aula 7 – Sistemas de Equações não-Lineares
Cálculo Numérico 10/26
Vetor gradiente
O vetor das derivadas parciais da função f
i(x
1,x
2,...,x
n) é denominado de f
i(x) e será denotado por:
n i i
i
i
x
x f
x x f
x x x f
f
2 1
Matriz Jacobiana
A matriz das derivadas parciais de F(x) é chamada e será denotada por:
n n n
n
n n
n
x x f
x x f
x x f
x x f
x x f
x x f
x x f
x x f
x x f
x f
x f
x f
x J
2 1
2
2 2
1 2
1
2 1
1 1
2 1
Aula 7 – Sistemas de Equações não-Lineares
Cálculo Numérico 12/26
Exemplo 3
Para o sistema de equações não lineares abaixo, obtenha a matriz Jacobiana:
0 3
0 1
3
3 2 2
2 1
2 2 1
3 1
x x
x
x x
x
MÉTODO DE
NEWTON
Aula 7 – Sistemas de Equações não-Lineares
Cálculo Numérico 14/26
MÉTODO DE NEWTON
O método mais amplamente estudado e conhecido para resolver sistemas de equações não lineares é o
.
Para uma única equação não-linear, vimos que, pelo Método de Newton-Raphson, tínhamos:
Ampliando para um sistema de equações não lineares:
f x ( )
k+ f' x ( )
k( x
k+1- x
k) = 0
MÉTODO DE NEWTON
Logo, para F (x), teremos:
ou ainda:
F x ( ) ( ) k + J x ( ) ( ) k ( x ( ) k + 1 - x ( ) k ) = 0
J x ( ) ( ) k ( x ( ) k + 1 - x ( ) k ) = - F x ( ) ( ) k
Aula 7 – Sistemas de Equações não-Lineares
Cálculo Numérico 16/26
MÉTODO DE NEWTON
Se denotarmos (x
(k+1)– x
(k)) por s
(k), temos que:
onde s é a solução do sistema linear:
k k k
s x
x 1
x k s k F x k
J
MÉTODO DE NEWTON
Portanto, uma iteração de Newton requer basicamente:
A avaliação da matriz Jacobiana em x(k);
A resolução do sistema linear:
e por esses motivos, cada iteração é considerada computacionalmente cara.
x k s k F x k
J
Aula 7 – Sistemas de Equações não-Lineares
Cálculo Numérico 18/26
CRITÉRIO DE PARADA
Um critério de parada consiste em verificar se todas as componentes de F (x
(k)) têm módulo pequeno.
Como F (x
(k)) é um vetor do R
n, verificamos se a norma vetorial do máximo de F(x
(k)) é menor que o erro:
Outro critério é verificar se:
x k M s
F
M s k
k x
x 1
CRITÉRIO DE PARADA
A norma vetorial do máximo de x
(k+1)– x
(k)é denotada por:
E definida como:
ki k
n i M i
k
k
x x x
x
1
, , 1
1
max
M k
k x
x 1
Aula 7 – Sistemas de Equações não-Lineares
Cálculo Numérico 20/26
Para se detectar a divergência e interromper o processo de cálculos, podemos estabelecer um número máximo de iterações, ou ainda, interromper se, para algum k, a norma do máximo de F (x
(k)) for maior que uma tolerância, por exemplo:
Sob condições adequadas, a sequência gerada pelo Método de Newton tem convergência quadrática.
x k M 10 20
F
Exemplo 4
Aplicar o Método de Newton à resolução do sistema não linear F(x) = 0, onde F(x) é dada por:
As soluções são: e
Use: e
F x ( ) = x
1+ x
2- 3
x
12+ x
22- 9 æ
è ç ö
ø ÷
e = 10
-4x
*= 3 0 é ë ê ù
û ú x
**= 0 3 é ë ê ù
û ú
x
0= 1 5 é ë ê ù
û ú
Aula 7 – Sistemas de Equações não-Lineares
Cálculo Numérico 22/26
MÉTODO
DE NEWTON
MODIFICADO
MÉTODO DE NEWTON MODIFICADO
Para diminuir o custo computacional, podemos modificar o Método de Newton, fazendo com que a cada iteração k, a matriz J(x
(0)) seja utilizada, ao invés de J(x
(k)) .
Assim, a partir de uma aproximação inicial x
(0), teremos a solução do sistema linear:
e a matriz Jacobiana é avaliada apenas uma vez, para todo k.
x s k F x k
J 0
Aula 7 – Sistemas de Equações não-Lineares
Cálculo Numérico 24/26
MÉTODO DE NEWTON MODIFICADO
Se usarmos fatoração LU para resolver o sistema linear, calcularemos apenas uma vez os fatores L e U e, a partir da segunda iteração, será necessário resolver apenas os sistemas triangulares.
Perde-se a propriedade de taxa
quadrática de convergência e em lugar consegue-se apenas
taxa linear.
Exemplo 5
Resolva o sistema do Exemplo 4 usando o Método de Newton Modificado.
Use: e
F x ( ) = x
1+ x
2- 3
x
12+ x
22- 9 æ
è ç ö
ø ÷
e = 10
-4
5
1
x
0Aula 7 – Sistemas de Equações não-Lineares
Cálculo Numérico 26/26
Exemplo 5
k=1:
k=2:
x
1= - 0, 625 3, 625 é
ë ê ù
û ú
x
2= - 0 , 05859 3 , 05859 é
ë ê ù
û ú
Referências
BURDEN, Richard L.; FAIRES, J. Douglas. Análise numérica.
São Paulo, SP: Cengage Learning, 2008. xiii, 721 p. ISBN 8522106010.
RUGGIERO, Marcia A. Gomes; LOPES, Vera Lucia da Rocha.
Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São Paulo, SP: Makron, c1997. xvi, 406 p. ISBN 8534602042.
CHAPRA, Steven C.; CANALE, Raymond P. Métodos numéricos para engenharia. 5. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2008. 809 p.
ISBN 978-85-86804-87-8.
