E ds. Física III Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VI Lei de Faraday e Indução Eletromagnética 1. A Lei da Indução de Faraday Lei de Lenz

1

A Lei da Indução de Faraday – Lei de Lenz

Definimos fluxo magnético como a grandeza:

s

S d B  

Ou seja:

s

dS n B  ˆ

Aqui

n ˆ

é o vetor unitário normal à superfície S.

Unidade: Weber: 1Wb = 1T. m². Lei de Faraday

Qualquer mudança no fluxo magnético sobre uma espira causará uma voltagem ¨induzida¨ na espira. Não importa como esta variação de fluxo é feita, haverá voltagem gerada. Esta mudança pode ser produzida movendo-se um magneto sobre a espira, onde haverá mudanças nas linhas de força de campo magnético que atravessarão a área da espira.

A Lei de Faraday é uma relação fundamental cuja origem está nas equações de Maxwell. Resumidamente ela diz que uma voltagem (fem) pode ser gerada por mudança (variação) do fluxo magnético. A fem induzida na espira é igual a menos a taxa de variação do fluxo magnético em uma espira; multiplicando por N espiras, teremos a fem em uma bobina.

dt d

B v =BA Lei de Lenz

dt N d

mf

Figura 1 - Espira se movendo com velocidade v A: Área da espira em uma região com Campo magnético B externo.

Observe que, na superfície fechada:

M

0

S

B dS  



A Lei de Gauss é dada por:

0 i E

S

E dS  q



Lei de Lenz

Quando uma força eletromotriz é gerada pela mudança do fluxo magnético de acordo com a Lei de Faraday, a polaridade da força eletromotriz induzida é tal que produz uma corrente cujo campo magnético se opõe às mudanças às quais. A indução magnética dentro de qualquer fio em forma de espira sempre atua de forma a conservar o fluxo magnético sobre a espira constante.

Exemplo 1 – Aproximação ou afastamento de um ímã sobre uma bobina.

Figura 2 - Aproximação de um ímã sobre uma bobina B_i B_f B e v de aproximação. O sentido da corrente na Bobina é indicado de forma a gerar o campo induzido B_ind contrário à B.

Como primeiro exemplo, veja que o campo magnético induzido atua de forma a opor às variações do campo aplicado. Suponha que num instante inicial, o ímã esteja numa posição em relação à bobina e o

2

campo gerado pelo ímã seja

B 

_i

. Nesse momento, há linhas de campo atravessando a área da seção transversal da bobina, gerando assim um fluxo inicial. Ao afastarmos o ímã com uma velocidade

v 

ou aproximarmos, essas linhas de campo também se afastarão ou aproximarão. Assim, o campo magnético final externo sobre a bobina gerado pelo ímã será

B 

_f

. Assim o aumento ou a diminuição do fluxo segue à mesma variação do campo magnético:

A B B A

B  

_f



_i

Para sabermos o campo induzido sobre a bobina

B 

in d

, precisamos lembrar que, pela Lei de Lenz, ele se opõe à variação do campo externo aplicado. Assim precisamos sempre encontrar o sentido do vetor:

i

f

B

B B   

Para depois encontrarmos o sentido da corrente elétrica induzida na expira para dar origem ao campo magnético induzido

B 

_{in d}

contrário à variação de

B 

. A figura abaixo representa esse esquema, dependendo se aproximamos o ímã com velocidade

v 

.

Figura 3 – Aproximação de um ímã num circuito.

3

4

Exemplo 2 – Aproximação ou afastamento de uma espira numa região de campo magnético uniforme.

Outro exemplo interessante é quando temos uma espira se deslocando numa região onde há um campo magnético uniforme. Observamos que, durante a passagem da espira o fluxo varia, pois a área da espira sobre a região de campo magnético uniforme varia (A). Sendo v a velocidade da espira.

x L dt A

v dx

d d BA

dt dt

d BLx dx

BL B L v

dt dt

Figura 4 – Espira em movimento numa região de campo magnético uniforme.

Exemplo 3 – Movimento de uma barra condutora sobre trilhos em uma região de campo magnético uniforme.

A figura a seguir mostra uma barra condutora que escorrega sobre dois trilhos condutores ligados a um resistor. Um campo magnético uniforme está distribuído na direção –k . Observe que o fluxo magnético através do circuito está variando, pois a barra se move com velocidade v.

O fluxo magnético em um dado instante é dado por:

Blx BA

A força eletromotriz induzida no circuito é dada por:

dt Blv Bl dx dt

d

A direção da corrente deve anti- horário, pois, de acordo com a Lei de Lenz, provoca um campo contrário ao aumento de fluxo magnético sobre o circuito elétrico.

A força sobre a Barra é dada por:

B l Id B v q

F     

i BIl k

j BIl k

B j Il

F  ˆ ( ˆ ) ˆ ˆ ˆ

Ou seja, a força sobre a barra está para a esquerda, contrária a velocidade.

Exemplo 4 – Campo e corrente induzida sobre uma espira. Aplicação da regra da mão direita para o caso em que o campo externo sobre a espira aumenta ou diminui. Aplicação: guitarra elétrica.

Regra da mão direita para relacionar a corrente induzida i com o campo magnético B_i que é produzido quando o campo magnético externo B através da espira aumenta (a,c) ou diminui (b,d)

Figura 5 – Fluxo sobre espira.

5

Esquema de uma bobina aplicada para o uso de uma guitarra elétrica Quando ao corda da guitarra oscila, há variação do fluxo sobre sobre a área de seção reta da bobina, induzindo uma corrente.

Figura 6

Exemplo 5 – Esquema indicando como varia as linhas de campo ao mover a espira sobre uma região de campo magnético uniforme. Observar o sentido da corrente elétrica induzida na espira.

Figura 7 – Fluxo sobre espira.

Definimos fluxo magnético como a grandeza:

s

S d B  

Ou seja:

s

dS n B  ˆ

Aqui

n ˆ

é o vetor unitário normal à superfície S.

x L dt A

v dx

d d BA

dt dt

d BLx dx

BL BLv

dt dt

A figura a seguir mostra uma barra condutora que escorrega sobre dois trilhos condutores ligados a um resistor. Um campo magnético uniforme está distribuído na direção –k . Observe que o fluxo magnético através do circuito está variando, pois a barra se move com velocidade v.

Figura 8 – Fluxo

6

O fluxo magnético em um dado instante é dado por:

Blx BA

A força eletromotriz induzida no circuito é dada por:

dt Blv Bl dx dt

d

A direção da corrente deve anti-horário, pois, de acordo com a Lei de Lenz, provoca um campo contrário ao aumento de fluxo magnético sobre o circuito elétrico.

A força sobre a Barra é dada por:

B l Id B v q

F      i BIl k

j BIl k

B j Il

F  ˆ ( ˆ ) ˆ ˆ ˆ

Ou seja, a força sobre a barra está para a esquerda, contrária a velocidade

Indução Eletromagnética

 Indutor

A indutância é a característica do comportamento de uma bobina em resistir a qualquer mudança de corrente elétrica sobre a espira. Da Lei de Faraday, teremos:

dt L dI dt A dI l IA N

l N dt

d dt d

0 0

ou seja, a indutância L pode ser definida em termos da fem ( ) gerada para se opor à mudança da corrente elétrica.

dt L dI dt

d

Verificamos que a indutância L depende das características Geométricas do circuito. Se tivermos um solenóide, o fluxo será dado por:

0 0

BNA nINA n N lAI l

2

0

n lAI L I

2 2

0 0

L n Al N A

I l

 Unidade: Henry (H) 1H = 1 V.s/A (1Henry=1 Volt.1Segundo/1 Ampére).

Figura 9 – Se a corrente está aumentando, então uma voltagem em oposição é criada pelo campo magnético da bobina.

Exemplo 6 – Calcular a auto-indutância de um solenóide de 10 cm de comprimento, 5 cm² de área e 100 espiras.

100

3

0,1 10 n N

L

2 0

L N A l

7 3 2 5 5

4 10 10 5 10 2 10

L H

7

Figura 10 – Variações i na corrente chegando no indutor:

(a) Se a corrente i está aumentando, a força eletromotriz induzida _l aparece ao longo da bobina numa direção que se opõe ao aumento.

(b) Se a corrente i está diminuindo, a fem induzida aparece na direção que se opõe ao crescimento.

 Circuito RL

A auto-indutância num circuito impede a corrente de aumentar ou diminuir instantaneamente. Os circuitos que contém bobinas ou solenóides com muitas espiras têm uma grande auto-indutância. Esta bobina ou solenóide é um indutor. O símbolo de um indutor é

Pode-se muitas vezes desprezar a auto-indutância do restante do circuito em comparação com a indutância do indutor. Nos circuitos que possuem batertias, resistores e indutores chamamos de circuitos RL.

Um circuito RL simples consiste em um resistor R e um indutor L ligados em série, conforme ilustrado na figura ao lado, com uma força eletromotriz constante V.

Fechado o interruptor em t=0s, segue-se e uma das leis de Kirchhoff para circuitos elétricos que,se t>0, a corrente I satisfaz a equação diferencial:

V_c –V_c =V_c-V_b + V_a – V_c + V_b-V_a = 0

dt RI LdI V

V dt RI

LdI ^.

Expresse I em função de t.

 Circuito RL simples.

Podemos escrever a equação como:

t L eR dt L e R L I V L R dt

dI ( / ) ( / )

Multiplicando-se a equação pelo FI

( / ) ( / )

(

^{R L t}

)

^{R L t}

t

D Ie V e L

( / ) ( / )R L t V R L t

I e e dt

L

) ] / 1 (

[ )

( e R Lt

R t V I

Observe que quando t aumenta sem limite, I tende para V/R, que é a corrente prevista pela lei de Ohm quando não há indutância presente.

Figura 11 – Circuito RL.

Figura 12 – Gráfico da corrente em função do tempo.

Circuito RL, Chave S₁ aberta e S₂ fechada, após a corrente no indutor atingir o máximo valor.

8

No circuito RL simples da figura anterior, as chaves S₁ e S₂ são colocadas de modo que a bateria seja removida do circuito. Depois da corrente no indutor ter atingido seu máximo valor, com a chave S₁ fechada, a chave S₂ é fechada e a S₁ aberta. A corrente diminuirá com o tempo conforme mostra a figura a seguir.

Nesse caso a soma das tensões é igual a zero:

dI 0

L RI

dt

0 0

I t

I

dI R

I Ldt

0

ln I R I Lt

( ) 0

Rt

I t I e L

R

t

_c

L

, aqui é a chamada constante de tempo;

tC t

e I t I ( )

₀

 Indutância Mútua

O Fluxo através de um circuito pode ser relacionado à corrente no circuito e às correntes em oputros circuitos vizinhos, caso não existam ímãs nas vizinhanças.

Considere os esquemas dos circuitos a seguir:

Figura 13 – (a) Se a corrente na bobina (1) i1

muda, aparecerá uma fem induzida na bobina (2).

(b) Se a corrente na bobina (2) i₂ muda, aparecerá uma fem induzida na bobina (1).

O Campo magnético em um ponto P constitui- se da soma vetorial de dois campos, criados pela passagem da corrente i₁ no circuito 1 e pela passagem da corrente i₂ no circuito 2. Como esses campos são proporcionais às correntes, podendo ser calculados pela Lei de Biot-Savart, pode-se, portanto, encontrar o fluxo através do circuito 2 pela equação:

1 12 2 2

2

L I M I

m

Aqui, L₂ e M₁₂ são constantes. A constante L₂ é denominada a auto-indutância do circuito 2, depende da disposição geométrica deste circuito. A constante M₁₂, a indutância mútua dos dois circuitos, depende da configuração geométrica de ambos. Quando os circuitos estiverem muito afastados, a indutância mútua será pequena, pois o fluxo no circuito 2 devido à corrente i₁ será menor.

Podemos escrever para o fluxo no circuito 1:

2 21 1 1

1

L I M I

m

Podemos mostrar que:

21

12

M

M

Quando os circuitos estão fixos e apenas as correntes variam, as forças eletromotrizes induzidas são, pela lei de Faraday:

dt M dI dt L dI dt

d

_{m 1 2}

1 1 1

Analogamente, no circuito 2, a fem será dada por:

dt M dI dt L dI dt

d

_{m 2 1}

1 2 2

9

Dessas equações vemos que o Henry, unidade do SI de indutância, é dada por:

A Vs A

m

H

T

1

1

^{1 . 2}

Observe que quando há um só circuito, a fem induzida pela lei de Faraday é:

dt L dI

Exemplo 6 – Calcular a taxa de variação na corrente para um solenóide de 10 cm de comprimento, 5 cm² de área e 100 espiras quando a fem induzida for de 20V.

s A L

dt dI dt

L dI

⁵

5

3 , 18 . 10 10

. 2

20

Um exemplo para o cálculo de indutância mútua:

Exemplo 6 – Calcular a indutância mútua entre um fio comprido e uma espira retangular:

A figura aparece dois circuitos para os quais se pode calcular a indutância mútua.

I x c

a L

b

Para calcular o fluxo através da espira retangular, devemos efetuar uma integração, onde o elemento de área é dA = cdx

dA B d

_m

x cdx d

_m

I

2

0

0

2

b b

m m

a a

d I cdx

x

0

1

0

2 2 ln

b

m m

a

Ic Ic b

x dx a

a b c

M I

^m

ln

2

0

Exemplo 7 – Projetar uma bobina de raio R e número de voltas N para um circuito RL de resistência 1K de forma que a constante de tempo seja de 10 s.

l N A L

t R R L

t

_c

L

_{c 0} ²

Como:

A R

², teremos:

l N R l

N A L

t R

_c

2 2 0 2

0 3

10

10

l N R

2 2 7

4

4 10

10

l N R

2 2 7 2

4

4 10

10

4 2

2

2 7

10 4 10

N R l

2, 533 109l

N R

Se montarmos uma bobina com um comprimento de l = 3 cm e raio 2 cm teremos:

2 2 9 9

10 . 5 , 2

10 3 10 533 , 2 10

533 , 2

R N l

Energia Magnética

Quando instala-se uma corrente no circuito da figura acima, apenas parte da energia fornecida pela bateria é dissipada no resistor, o restante da energia é armazenada no indutor. Observar que

2 0 dt RI LIdI EI

O termo associado ao armazenamento de energia no Indutor é:

2

2 f m

m

m LI

dI LI dU

dt U LI dI dt dU

0 2 2

2 2

lA LI B

U_m ^f

(Energia magnética armazenada num indutor) Quando a corrente elétrica diminui, diminui a energia no indutor e o campo magnético também diminui.

Analogamente, o mesmo acontece quando temos um capacitor carregado, para o caso do campo Elétrico E. A energia eletrostática armazenada num capacitor de placas paralelas.

2 2

2 0E Ad U_e QV

(Energia eletrostática armazenada num capacitor)

10

Em geral, numa região do espaço onde há campo elétrico e magnético, definimos densidade de energia à relação:

0 2 2 2 0 1

2 E B V

U

Circuito LC:

Suponha um capacitor inicialmente carregado com uma carga Q0 e em t = 0 fechamos a chave do circuito abaixo:

Figura 14 – Circuito LC.

Depois da chave fechada, a corrente é oposta e a carga nas placas do capacitor e a corrente estão relacionadas por

dt

I dQ

. No capacitor, de c para d, há uma queda de potencial Q/C e de a para b no indutor LdI/dt.

A regra de Kirchhoff aplicada ao circuito dá:

C 0 Q dt L dI

ou

1 0

2 2

LC Q dt

Q d

A solução desta equação diferencial é dada por:

( ) cos( ) Q t A t

Onde:

LC

1

é a frequência num circuito LC Vamos supor = 0 para a fase desse circuito.

Então teremos:

( )

max

cos( )

Q t Q t

( )

0

sen( )

I t Q t

( )

max

sen( )

I t I t

Figura 15 – Circuito LC.

(a) Gráficos de carga versus tempo e corrente versus tempo.

(b) Transferência de energia magnética e elétrica pelo indutor e capacitor.

11

Exemplo 8 – Num circuito LC, o valor da indutância é L =2mH e da Capacitância C = 47 F. A carga inicial do Capacitor vale Q₀. Determine a frequência e os gráficos Q(t) e I(t).

1 LC

3 6

1 2 10 47 10 3, 2613 10

3 ^rad_s

Figura 16 – Circuito LC.

(a) Gráficos da energia armazenada no capacitor (U_C) versus tempo e a energia armazenada no indutor (U_L) versus tempo.

(b) Analogia mecânica.

Observe que a corrente oscila com a mesma frequência da carga e está 90⁰ fora de fase com a carga.

As Amplitudes são diferentes, como indicam nos eixos.

Veja que se fizermos um balanço das energias magnética no indutor e eletrostática no capacitor, teremos:

2 2

2 2

T E L

Q LI

U U U

C

2 2

0

cos( )

0

sen( )

2 2

T

Q t L Q t

U C

Substituindo

LC LC

1

1

2

2 2

2 2 0 2

0

1 cos ( ) sen ( )

2 2

T

U Q t LQ t

C

2 0

1

T

2

U Q

C

Ou seja, a energia total é constante no tempo.

12

Circuito RLC:

No circuito RLC teremos um resistor em série a um capacitor e a um indutor. Para a regra de Kirchhoff incluimos a queda de potencial RI no resistor:

Figura 17 – Circuito RLC.

0 C RI

Q dt L dI

Derivando a equação com respeito a t teremos:

1 0

2 2

LC I dt dI L R t d

I d

Ou seja, se chamarmos de:

LC 1

0

2 0

2 0 2

dt I dI L R t d

I d

A solução proposta é do tipo:

( )

^{i nt i nt} 2^RLt

I

H

t Ae Be e

Aqui I_H(t) a solução da equação diferencial homogênea, com:

2 2

1

n 4

R LC L

com

2 2

0

n f

L f R

2

Caso ₀ > f a solução é dada por:

2

1 2

( ) cos sen

^RLt

H n n

I t c t c t e

Figura 18 – Circuito RLC – gráfico (t,Q ).

(a) Caso:

R 4 L C

(b) Caso:

R 4 L C

Observe a queda brusca da carga em pouco tempo.

(c) Analogia mecânica.

Tipos de soluções da equação diferencial para a carga:

(a)

2 2

1 4

R LC L

(b)

2 2

1 4

R LC L

(c)

2 2

1 4

R LC L

13

Tensão Alternada

 Introdução

Mais de 99% da energia elétrica produzida no mundo é obtida por geradores elétricos oeprando com corrente alternada (AC). A vantagem sobre a corrente contínua é que pode ser transportada a longas distâncias, a baixo valores de corrente e altos de tensão, para ser reduzida a perda de energia por efeito Joule; podendo assim, ser transformada com o transformador, o qual utiliza o princípio da indução magnética.

 Gerador de corrente alternada:

Um gerador simples de corrente alternada é uma bobina girando em um campo magnético uniforme, como ilustramos na figura abaixo:

Figura 19 – Gerador e esquema de hidrelétrica.

O princípio básico para um gerador de corrente alternada é uma espira condutora girando em um campo magnético uniforme. Na prática, a força eletromotriz alternada induzida na espira de muitas voltas de um fio é feita pelo contato entre o anel conectado com a espira rotativa, cada um conectado eletricamente por uma escova metálica ao resto do circuito elétrico.

O vetor unitário normal n ao plano da bobina faz um ângulo com o campo magnético uniforme B.

m

N B A cos

Aqui, N é o número de espiras, e A a área da bobina. Seja a velocidade angular da bobina, que é mecanicamente acionada. Então:

t

.

m

N B A cos t

A força eletromotriz induzida será dada por:

dt t d

NBA

^m

m

cos

t NBA sen

Ou

m

sen t

m

NBA

Pode-se gerar uma tensão senoidal numa bobina fazendo-a girar com a velocidade angular constante num campo magnético. Num diagrama de um circuito, um gerador de corrente alternada (ca) simboliza-se pelo símbolo:

A seguir discutiremos os circuitos de tensão alternada simples e o circuito RLC.

14

Circuitos de tensão alternada.

Em eletrônica, representam-se fenômenos ondulatórios por funções oscilantes como a seno e o cosseno. Exemplificando na teoria de corrente alternada, temos uma tensão variando da forma senoidal, assim, para cada caso, a corrente e a tensão serão estudadas quando submetemos essa tensão à um:

 Corrente alternada com um Resistor:

Figura 20 – Circuito AC com resistor. (a) Gráficos de tensão e corrente versus tempo ediagrama de fasores (b).

Figura 21 – Circuito AC . Corrente (a) e corrente média em função do tempo (b).

 Equações:

Equações (Lei de Ohm)

m

cos

U U t

 Reatância resistiva:

X

_R

R

 Fase: = 0⁰

15

 Corrente alternada num Indutor:

Figura 22 – Circuito AC com indutor. (a) Gráficos de tensão e corrente versus tempo ediagrama de fasores (b).

 Equações:

t U

U

_{L m}

sen

L m

sen

U U t L dI dt

sen sen

m m

L

U U

dI t I tdt

dt L L

cos sen

2

m m

L

U U

I t t

L L

 Reatância Indutiva:

X

_L

L

 Fase: = -90⁰



U

_L

adianta-se 90

⁰

em relação a I

_L

16

 Corrente alternada num Capacitor

Figura 23 – Circuito AC com capacitor. (a) Gráficos de tensão e corrente versus tempo ediagrama de fasores (b).

 Equações:

C m

sen U U t Q

C

m

sen

C

Q CU t I dQ dt

cos cos

2

m

C m

C

I U C t U t

X

 Reatância Capacitiva:

X

_C

1 C

 Fase: = + 90⁰



U

C

atrasa-se 90

⁰

em relação a I

C Recordar por:

ELI the ICE man…

17

Valores médios, máximos e eficazes

Como discutimos, uma tensão CA é aquela que varia em módulo e sua polaridade varia periodicamente, levando um intervalo de tempo T e uma freqüência f. Pode ser produzida por um alternador.

Figura 24 – Esquema do alternador e forma da tensão produzida.

Esquemas de geradores AC e DC.

Podemos escrever o fluxo magnético sobre as N espiras por:

B

N B A cos t :

fase

Pela Lei de Faraday-Lenz:

t

B

N B A sen t

t

t

m

sen t

m

N B A

2 1

2 f f

T T

 Valores de tensão e corrente:

Uma onda CA de tensão ou de corrente possui vários valores instantâneos ao longo do ciclo. São eles:

 V_m, I_m: Valor máximo ou de pico. Aplicado tanto ao pico negativo como ao pico positivo.

 Vpp ou Ipp: V_pp = 2 V_p = 2V_M.

 Valor Médio:

V

Média sobre todos os valores sobre uma onda senoidal em meio período.

2

0

1 2

T

V V t dt

T

2

0

1 2

T

V V

m

sen t dt T

2 0

2 cos

t T m

t

V V t

T

2 cos cos 0

2 Vm

V T

T

2

_m

0.637

_m

V V V V

 Valor rms (root mean square):

V

_rms

Quantidade de corrente ou tensão contínua capaz de produzir a mesma potência de aquecimento. É definido matematicamente por:

2 0

1

^T

V

rms

V t dt T

2 0

1

^T

rms m

V V sen t dt

T

2 2

0

1

^T

rms m

V V sen t dt

T

18

2 0

1 cos 2 1

2

T

rms m

V V t dt

T

2

2

0

2

1 2

2

t

rms m

t

sen t

t

V V

T

2

2 1

rms m

2

V V

T

0.707 2

m

rms rms m

V V V V

19

 Resumo:

Circuito ca

R ca

L ca

C ca Lei de

Kirchhoff

) ( cos t RIt Um

dt LdI t U_mcos

C t Q U_mcos Reatância

R

X

_R

X

_L

L

X

_C

1 C

Fase 0⁰ -90⁰ +90⁰

I_ef (corrente

efetiva)

R ef

X U

L ef

X U

C ef

X U

I_m (corrente Máxima)

R m

X U

L m

X U

C m

X U

(b)

Figura 25 -

20

Circuito RLC

Um importante circuito com muitas características da maior parte dos circuitos ca é o circuito RLC em série com um gerador. Discutimos esse circuito anteriormente sem o gerador, e vimos que a corrente oscila com frequência angular aproximadamente igual a

LC 1

0

A regra de Kirchhoff aplicada a este circuito aplicada a esse circuito com gerador é:

Figura 26 -

t C U

RI Q dt

LdI _msen

ou

L t I U LC dt dI L R dt

I

d _m

1 sen

2 2

Esta equação diferencial é análoga à equação do oscilador forçado, a primeira parcela é análoga à

2 2

dt x

m d

. A segunda parcela é análoga ao termo de amortecimento bv e o terceiro ao termo kx.

A solução desta equação é composta por dois termos:

O primeiro termo, denominado transiente, que chamaremos por I_T, é solução da equação diferencial homogênea associada:

1 0

2 2

LC I dt

dI L R dt

I d

Sua solução já foi discutida no capítulo que tratamos o circuito RCl. Assim:

( ) 2 ( cos[ ] sen[ ])

R t L

T n n

I t e A t B t

onde ₀² ₂

4 L R

n

A denominação de transiente provém deste termo diminuir exponencialmente com o tempo.

O segundo termo é oscilatório e permanente e não diminui exponencialmente com o tempo.

) sen( t I

I

I

_{T m}

Quando t o termo transiente da corrente vai a zero e a solução pode ser dada por:

) sen( t I

I

_m

Onde:

2 2

( )

m m

m

L C

U U

I Z R X X

R X

tg X^{L C}

O termo:

2 2

(

_{L C}

)

Z R X X

é denominado de impedância do circuito RLC e pode- se utilizar para análise o mesmo diagrama de fasores dado anteriormente.

21

 Diagrama de Fasores de um circuito RLC:

Pode-se mostrar o diagrama de fasores de um circuito RCL indicado pelos “vetores” UL ,U_R , U_C e U abaixo:

y U_L

U_m = Z I_m

U_R = R I_m t t -

x

U_C

Assim, da figura observa-se que:

2 2

( )

m R L C

U U U U

Veja que:

Z I U

ZI

U

_{m m m} ^m

2

1

2

( )

m m

I U

R L

C

Observe que a corrente será máxima para a frequência da fonte for igual à frequência de ressonância:

LC 1

0 , quando isso ocorrer, a impedância Z será mínima e Z = R.

Essa condição de ressonância é a mesma de um oscilador harmônico forçado. Na ressonância, =0⁰ e os fasores U_L=U_C. A corrente está em fase com a força eletromotriz aplicada.

 Potência

A potência instantânea dissipada num resistor é dada por:

2 2 2

( )

P R I R I

m

sen t

Essa potência varia desde 0 até o valor máximo

RI

_m² , conforme aparece na figura a seguir.

A maior parte de amperímetros e voltímetros medem os valores médios quadráticos ou eficazes da corrente ou da tensão. Define-se como valor médio eficaz como:

I

2

I

_ef Onde a corrente média quadrática é dada por:

T

dt T I

I

0 2

2

1

2

0 2 2

2

sen ( )

2 t dt

I

I

_m

2

0 2 2

2 ) 2 cos(

1

2 t dt

I

I

_m

2

2 2

0

1 sen(2 )

2 2 4

m

I I t t

Para a potência média, sobre um ciclo completo, teremos:

2

2

2 Im

I

Como

I

_ef

I

^{2 teremos:}

2 2

2

m ef m

ef

I I I I

A potência média fornecida pelo gerador é igual à dissipada pelo resistor.

2

med med med

P U I R I

2

2

m med

P R I

2

m m

med ef ef

U I

P U I

Analogamente:

2 2

2

m ef

m ef

U U

U U

22

Figura 27 -

Potência média versus freqüência angular.

Potência instantânea P(t) e Potência média P_med

A potência instantânea fornecida pelo gerador num certo instante é dada por:

) sen(

sen )

( t UI U tI t

P

_{m m}

( )

_{m m}

sen sen( )

P t U I t t

Desenvolvendo a expressão teremos:

( )

_{m m}

sen (sen cos sen cos )

P t U I t t t

( )

_{m m}

(sen

2

cos sen sen cos )

P t U I t t t

Quando fazemos a média temporal sobre o período T (T=2 / ) da potência instantânea, temos a potência média, que denominaremos por P_med. Assim:

( )

_{m m}

(sen

2

cos sen sen cos )

P t U I t t t

T

m ed

P t dt

P T

0

) 1 (

Observe que apareceram duas integrais, cujos valores são 0 (funções par e ímpar integradas num período)e ½ (como demonstrado anteriormente):

0 cos

1 sen

0 T

tdt T t

2 sen 1

1

0 2 T

T tdt

Assim, a potência média dará:

2 cos 1

m m

med

U I

P

Ou

ef

cos

ef

med

U I

P

No diagrama de fasores, veja que o triângulo fornece:

Z R U U

_R

cos

Z X

tg X^{L c}

Como U_ef = Z I_ef

Substituindo na equação da Potência média, teremos:

2 2

Z U R Z R Z U U

P

_{med ef} ^ef _ef

23

2 2 2

1 R

L C U R

P

_{m ed ef}

Podemos ainda escrever, dividindo e multiplicando por L o termo ( )²:

2 2

2 2 2 2 2

(

0

)

med ef

P U R

R

Em analogia à Mecânica, esta equação mostra que o fornecimento médio de potência do gerador é o mesmo que o de um oscilador forçado, com R no lugar do amortecimento b, L no lugar da massa m e U_ef substituindo a força motriz máxima F0.

O gráfico abaixo mostra a potência média em função da frequência no caso de valores de resistência R grande e pequeno.

Quando

2 2 2 2 2 2

L

0

R

2 ef med

P U

R

Ou seja, a potência terá a metade de seu valor máximo. Podemos estimar que isso ocorrerá para as frequências:

2 2

L

0

R

0 0

L R

R

L

_{0 0}

0

( )

Assim:

L R

0

2

L R

0

2

Chamando de:

L R

0

2

1 e

L R

0

2

2

A largura será dada por: _{2 1}

L R

Definimos a largura de ressonância por um parâmetro adimensional, que chamamos de Q do circuito, definido pela razão entre a frequência de

ressonância e a largura da curva:

0 0

R Q L

Note que para R pequeno temos fator Q grande e vice-versa.

Uma aplicação comum nos circuitos de ressonância em série encontra-se nos receptores de rádio, onde se varia a frequência de ressonância do circuito mediante a variação da capacitância. A ressonância ocorre quando a frequência natural do circuito for igual à frequência das ondas de rádio captada pela antena.

Na ressonância, há uma corrente relativamente grande no circuito da antena. Se o valor Q for suficientemente elevado, as correntes devido às outras estações transmissoras, fora da ressonância, terão valor desprezível em comparação com as da estação na qual o circuito está sintonizado.

Exemplo 9 – Um capacitor de 20 F está ligado a um gerador de força eletromotriz máxima de 100 V. Calcular a reatância e a corrente máxima quando a frequência for de 60 Hz e 5000Hz.

10 133 20 60 2

1 1

6

1

C

X

_C

59 , 10 1 20 5000 2

1 1

2 6

X

_C

C

X A I U

C m

m

0 , 754

133 100

1 1

X A I U

C m

m

62 , 8

59 , 1 100

2 2

24

Exemplo 10 - Um circuito RCL em série, com L = 2H, C = 2 F e R = 20 está alimentado por um gerador de fem máxima de 100 V e frequência variável. Determinar quando a frequência angular do gerador for de = 400 rad/s:

(a) A frequência de ressonância ₀ . (b) A fase

(c) Acorrente máxima I_m. (a)

6

1 1

400 2 10 1250 XC

C

400 2 800

XL L

Para calcular a impedância, o valor de X_L – X_C é muito maior que R nas condições afastadas da ressonância.

Então teremos para a Impedância Z:

2 2

( _{L C}) 450

Z X X R

(b) 22,5 87⁰

20 450 Z

X

tg X^{L c c)}

(c)

A

Z

I

_m

U

^m

0 , 222 450

100

O Transformador:

O transformador básico é formado por duas bobinas isoladas eletricamente e enroladas em torno de um núcleo comum. Para transferir energia elétrica de uma bobina para outra se usa o acoplamento magnético.

A bobina que recebe energia da fonte de corrente alternada é chamada de primário. A bobina que fornece energia para uma carga é chamada de secundário.

Os núcleos dos transformadores usados em aplicações de baixa freqüência são feitos geralmente de material magnético, de aço laminado. Os núcleos dos transformadores de uso em altas freqüências são feitos de ferro em pó e cerâmica ou de materiais não magnéticos. Algumas bobinas são enroladas em torno de formas ocas não magnéticas, como por exemplo papelão ou plástico, de forma que o material que forma o núcleo é o ar.

Figura 28 – Esquema de transformadores:

V_p V_s

 Relação: ^{p p p s}

s s s p

V N V I

V N V I

Onde:

V_p: Tensão na bobina do primário.

V_s: Tensão na bobina do secundário.

N_p: Número de espiras da bobina do primário.

N_s: Número de espiras da bobina do secundário.

Especificações: kVA.

Figura 29 – Esquema do núcleo do transformador.

25

Figura 30 – Aplicações, modelos e representação.

Portanto, a fim de transportar potência com mínima perda de calor RI² nas linhas de transmissão, é econômico usar tensão elevada e corrente baixa.

Por outro lado, considerações de segurança, por exemplo, isolamento, tornam conveniente o uso de tensão baixa e corrente alta para operar motores e outros aparelhos elétricos. Consegue-se esse efeito usando-se um transformador, dispositivo que modifica a voltagem alternada e a corrente alternada sem perda apreciável de energia.

 Símbolo:

trafo

Sendo V a voltagem e I a corrente, a potência instantânea é VI. Se a voltagem for modificada, sem alteração na potência, a corrente também deve ser modificada. A figura abaixo mostra o diagrama de um transformador simples, constituído por duas bobinas enroladas num núcleo comum de ferro doce.

A bobina que recebe energia é o primário e a outra bobina é o secundário. Qualquer uma das duas bobinas do transformador pode ser usada como primário ou secundário.

A função do núcleo de ferro é aumentar grandemente o fluxo, para uma dada corrente, e confiná-lo de modo que quase todo o fluxo que passa por uma bobina passe pela outra. O núcleo de ferro é laminado para evitar perdas pelas correntes de Foucault (correntes circulantes, provocadas por fluxos variáveis).

Outras perdas possíveis estão nas resistências das bobinas (RI²), que podem ser reduzidas usando-se fios de baixa resistência nas bobinas e perdas por histerese no núcleo, que podem se reduzir usando núcleos de ferro doce.

É relativamente fácil projetar um transformador em que a potência é transferida do primário ao secundário com eficiência de 90 a 99%.

Discutiremos a seguir um transformador ideal, no qual não há perdas de energia.

A força eletromotriz induzida no primário é dada por:

1 1

d

esp

V N

dt

O fluxo no secundário, admitindo não ocorrer fugas para fora do núcleo, é dado por:

2 2

d

esp

V N

dt

Assim, teremos a relação:

2

2 1

1

V N V

N

^ou

26

P P S

s

V

N

V N

Figura 31 – Esquema.

Aplicando a Lei de Kirchhoff no primário, teremos:

dt 0 d

Vp

dt V d

1

Então:

1 2

2

N

V N V

_s

O transformador é denominado de alta se :

1

; N

2

N N

N

_{s p}

ou seja, a tensão de saída é maior que a tensão de entrada.

O transformador é denominado de baixa se :

1

; N

2

N N

N

_{s p}

ou seja, a tensão de saída é menor que a tensão de entrada.

 Corrente elétrica no transformador

Não há corrente no secundário quando este circuito está em aberto. A corrente I_m é muito pequena no primério e está defasada de 90⁰ com a tensão. Nesta bobina.

Considere agora o que ocorre quando ligamos uma resistência de carga no secundário. Haverá uma corrente I₂ no circuito secundário que estará em fase com a tensão V₂ na resistência. Esta corrente estabelece um fluxo adicional em cada espira ’esp proporcional a N_sI_s. Este fluxo superpõe-se ao fluxo _esp estabelecido pela corrente de magnetização original no primário, I_m. No entanto, a voltagem do enrolamento primário está determinada pela fem do gerador, que não é afetada pelo enrolamento no secundário. O fluxo no núcleo de ferro doce deve continuar

com a mesma taxa de variação, isto é, o fluxo no núcleo de ferro deve continuar o mesmo como se não houvesse a resistência de carga ligada ao secundário.

Então, o primário puxa da fonte uma corrente adicional I₁ a fim de manter o fluxo original _esp. O fluxo através de cada espira, provocado por esta corrente adicional, é proporcional a N_pI_p. Então a corrente adicional no primário I_p está relacionada à corrente I_s no secundário por:

s s p

p

I N I

N

O sinal negativo indica que as correntes estão defasadas 180⁰, em virtude de provocarem fluxos opostos. Uma vez que Is está em fase com Vs, a corrente adicional no primário I_p está em fase com a fem aplicada.

A figura a seguir mostra as relações de fase entre as tensões e as correntes.

A corrente total no primário é a soma

“vetorial” entre a corrente de magnetização original I_m e a da corrente adicional I_p, que usualmente é muito maior que I_m.

I₁= I_p I

I_m I₂=I_s

 Potência no transformador:

A potência fornecida pelo gerador é o produto da força eletromotriz eficaz aplicada pela corrente eficaz Ief no primário e pelo fator de potência cos , onde este é o ângulo de fase entre a corrente total I e a fem aplicada. Como I_p está em fase com a fem aplicada, é o ângulo entre Ip e I. Note que Icos é igual à corrente adicional I_p, de modo que a injeção de potência no primário é:

ef ef

cos

ef pef

P I I

Usando as relações anteriores, teremos:

p s

p s S s s

s p

N N

I V I V I

N N

Então:

, , ,

ef

I

p ef

V

s ef

I

s ef

27

A potência despendida no primário é igual à saída de potência no secundário, como se admitiu no transformador ideal sem perdas.

Na maior parte dos casos, a corrente I_p no primário é muito maior que a corrente de magnetização inicial I_m, sem carga. O que se pode demonstrar colocando em série uma lâmpada com o primário: a lâmpada brilha muito mais quando há carga no secundário do que quando o secundário está em aberto. Se Im puder ser desprezada, a relação:

p p s s

N I N I

dá a lei das correntes totais no primário e no secundário.

As correntes I_s e I_p podem ser relacionadas com a resistência de carga por:

R I

_s

V

^s

Como:

S S

S P

P P

N N

V V

N N

e:

s S S

p s

P P

N N V

I I

N N R

S 2

S P S

p

P P

N

N N N

I N R N R

Pode-se escrever a corrente no secundário e sua tensão em termos da corrente no primário e da força eletromotriz no primário, . Assim:

p 2

p s

I

N R

N

A corrente I_p é a mesma que circularia se estivesse ligada ao gerador a resistência:

2 p s

N R

N

Esse efeito é denominado de transformação de impedância, pois em geral a carga no secundário é constituída de uma combinação de capacitâncias, indutâncias e resistências, com impedância Z, ligadas ao secundário do transformador.