Material elaborado pelo Prof. Renato Madeira

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SIMULADO DE MATEMÁTICA EPCAr – JUNHO DE 2020

1) Os números inteiros de

a 1000 são escritos no quadro negro. Os estudantes de uma escola jogam o seguinte jogo. Cada estudante na sua vez escolhe um número no quadro e o apaga junto com todos os seus múltiplos. O jogo termina quando houver apenas números primos no quadro. Qual o menor número de estudantes que precisa jogar antes que o jogo termine?

a)

b) 31 c) 51 d) 71 e) 91

2) Um tipo de minério de ferro contém 72% de ferro e outro tipo contém 58% de ferro.

Uma certa quantidade do primeiro tipo de minério é misturada com uma certa quantidade do segundo tipo e o minério resultante contém 62% de ferro. Se tomamos 15 kg a mais de cada tipo de minério, o minério obtido teria 64% de ferro. Quantos quilos do primeiro minério havia aproximadamente na mistura inicial?

a) 4, 0 b) 4, 3 c) 4, 5 d) 4,8 e) 5, 0

3) Sá Bido recebeu de herança de seu avô uma livraria. Ele vendeu metade dos livros com lucro de 10%, um terço dos livros com lucro de 5% e o restante com prejuízo de 7%. Ao final das vendas, Sá Bido obteve um lucro de R$ 6.600,00. O custo inicial total dos livros que havia na livraria era

a) R$ 216.000,00 b) R$ 270.000,00 c) R$ 120.000,00 d) R$ 136.000,00 e) R$ 180.000,00

4) Três operários cavam uma vala de 216 m em

dias trabalhando simultaneamente.

Durante um dia, o terceiro operário cava tantos metros a mais que o segundo quantos o segundo cava a mais que o primeiro. Durante 5 dias, o terceiro operário cava tantos metros quanto o primeiro cava durante 7 dias. Quantos metros o primeiro operário cava por dia?

a)

b) 15

c) 16

d) 18

e)

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5) Se Sá Bido organiza seus doces em pilhas de 6 , sobram

. Se ele organiza os doces em pilhas de 9 , sobram 5 . Se ele organiza em pilhas de 15 , sobram

. Seja N a quantidade de doces de Sabido e sabendo que ele possui mais de 100 e menos de 200 doces, então a soma dos algarismos de N é

a) 10 b)

c)

d) 13 e)

6) Seja a 

4 

2 1  , então o valor de

2 3

3 3 1

a  a  a é igual a:

a)

3 2 b)

3 4 c)

d)

32 3

e)

34 3

7) Um professor escreveu no quadro-negro uma equação do segundo grau e pediu que os alunos a resolvessem. Um aluno copiou errado o termo constante da equação e achou as raízes  3 e

. Outro aluno copiou errado o coeficiente do termo do primeiro grau e achou as raízes

e

. A diferença positiva entre as raízes da equação correta é:

a)

b)

c) 3 d)

e) 5

8) Sejam

e  as raízes da equação

. Se

é a média aritmética de

e r e 1 1

  4

  , então o valor de

é a)

9

b)

9

c)

9

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d)

e) 1

9

9) As raízes do trinômio do 2° grau

são  100 e 300 . Sabendo que quando x vale  1050 o valor numérico de y é 513 , quando x vale 950  o valor numérico de y é 425 e quando x vale 850  o valor numérico de y é 345 , qual é o valor numérico de y quando x vale 1050 ?

a) 513 b) 425 c) 513 d) 427,67 e) 345

10) Seja S o conjunto solução da equação

. Podemos afirmar que a) S possui 2 elementos

b) S   c)

d) S   e) S 

11) A solução da inequação

2

2 2

x ax x ax 2a 0,

 

   onde a  0 é:

a)  ^{ , 2a}     ^{ a, 0    a,} 

b)  ^{ , 2a}     ^{ a, 0    a,} 

c)  ^{ a, 0}   ^{ a, 2a} 

d)  ^{2a, a}   ^{ 0, a } 

e)  ^{2a, a}   ^{ 0, a } 

12) Em um triângulo ABC são traçadas as medianas

e

. Se

, DAB ˆ 6

  e ABE ˆ

3

  , então a área do triângulo ABC é

a)

b) 8

3 3

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c) 16 3 d) 32

3 3

13) João construiu um círculo de papel com centro O e raio 4cm (Figura 1). Traçou dois diâmetros AC e BD perpendiculares e, em seguida, dobrou o papel fazendo coincidir A, O e C, conforme sugere Figura 2.

A área da parte do círculo não encoberta pelas dobras, sombreada na figura 2, é igual a a) ¹  ^{96 16}  ^cm

3  

b) ¹  ^{16 48 cm} 

3  

c) ¹ ₃  ^{16   12 3 cm} 

d) ¹ ₃  ^{16   12 3 cm} 

e) ¹ ₃  ^{48 3 16  }  ^cm

14) O Empire State Building localiza-se na 5ª Avenida em Manhattan, Nova Iorque. Ele foi por quase 40 anos o edifício mais alto do mundo. Dois amigos encontram-se na 5ª avenida, que é uma avenida retilínea, em lados opostos a esse edifício. Um deles avista o topo da antena no alto do Empire State sob um ângulo de 45 e o outro avista o todo da mesma antena sob um ângulo de 30 .  Sabendo que a distância entre os dois amigos é 1196 metros, qual a altura aproximada do edifício (incluindo a antena), em metros? (use 3 1, 7)  a) 1196

b) 703

c) 443

d) 400

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15) Um triângulo ABC tem lados medindo AB  3 cm , BC  6 cm e AC  5 cm . Sejam M e H os pontos de BC tais que AM é a bissetriz interna do ângulo BAC e AH é a altura ˆ relativa ao lado BC . Com base nessas informações, pode-se afirmar que o comprimento de

MH

, em centímetros, é igual a a) 9

4 b) 7

12 c) 5

9 d) 12

7 e) 4

9

16) O gráfico a seguir apresenta informações aproximadas sobre os novos casos de COVID- 19 por semana epidemiológica de notificação.

Fonte: https://covid.saude.gov.br/ (acesso em 26 de maio de 2020)

É importante conseguir extrair e interpretar informações a partir de gráficos. Analise o gráfico acima e assinale a alternativa correta:

a) O número de novos casos registrados nas últimas três semanas é inferior a 78.000.

b) O número de novos casos registrados da semana 17 até a semana 22 é superior a 360000.

c) O aumento percentual do número de casos novos da 20ª para a 21ª semana é inferior a 50%.

d) A redução percentual da 21ª para a 22ª semana é aproximadamente 65%.

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RESPOSTAS E RESOLUÇÕES 1) a (Múltiplos e divisores)

Para minimizar o número de jogadas, cada estudante, na sua vez deve escolher um número primo menor do que 1000 , ou seja, um dos números

, 3 , 5 , 7 ,

, 13 , 17 , 19 , 23 , 29 e 31. Dessa forma, são necessárias pelo menos

jogadas antes que o jogo termine.

Isso ocorre porque qualquer número composto menor ou igual a 1000 deve possuir pelo menos um fator primo menor ou igual a 31, caso contrário, se um número n possuísse dois fatores primos

e

ambos maiores do que 31, então

, o que é uma contradição.

REFERÊNCIA: High School Mathematics Competition – University of Maryland – 2013 2) b (Mistura)

0, 72 x 0,58 y

0, 62 0,1 x 0, 04y x 0, 4y x y

        



   

   

0, 72 x 15 0,58 y 15

0, 64 0, 08 x 19,5 0, 06 y 19, 2 0, 08 x 0, 06 y 0,3

x 15 y 15

4x 3y 15

    

            

  

   

  ^{15 15 30}

4 0, 4y 3y 15 1, 4y 15 y x 0, 4 kg 4,3 kg

1, 4 1, 4 7

             

REFERÊNCIA: Prilepko, A. I. – Problem Book in High-School Mathematics 3) c (Operações com mercadorias)

Seja 12x o custo inicial do estoque de livros, então:

O lucro na venda de metade dos livros foi 10 12x

0, 6x

100  2  . O lucro na venda da terça parte foi 5 12x

0, 2x

100  3  . O prejuízo na venda do restante foi 7 12x 12x

12x 0,14x

100 2 3

 

        . Assim, o lucro final foi de

reais.

O custo total inicial foi então 12x 12 10000 120.000    reais.

REFERÊNCIA: Compêndio Académico de Matemática – Lumbreras Editores – pg. 43.

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4) b (Regras de três)

Se o segundo operário cava

por dia, o primeiro cava 

 e o terceiro cava



 .

Os três operários, trabalhando durante

dias, cavam

 ^{x y}  ^x  ^{x y}  ^{4 216 x 18}

         

  .

Como o terceiro operário durante 5 dias cava o mesmo que o primeiro durante 7 dias, temos:

   

5 18 y  7 18 y  y 3

.

Portanto, o primeiro operário cava

por dia.

REFERÊNCIA: Prilepko, A. I. – Problem Book in High-School Mathematics 5) e (MMC)

Do enunciado, sabemos que N  6a 2   9b 5 15c 11    , onde

. Daí, vem N 4   6 a 1     9 b 1     15 c 1    .

Logo, N 4  é múltiplo de 6 , 9 e 15 , ou seja, N 4  é múltiplo de

 

mmc 6,9,15    2 3 5 90

.

Dessa forma podemos escrever N 4   90k   N 90k 4  , onde k  . Como 100   N 200 , então 100 90k 4    200  104 90k   204   k 2 . Portanto, N  90 2 4 176    , cuja soma dos algarismos é 1 7 6 14    . REFERÊNCIA: ARML 2011

6) c (Fatoração)



  

3

1 1

2 1 a 2 1 1 a 2 1

2 1 a

         







2

1 2 1 4 2 2 1

a

     





3

1 2 1 2 3 4 3 2 1 1 3 4 3 2

 a         



 

 



2 3

3 3 1

3 2 1 3 4 2 2 1 1 3 4 3 2 1

a  a  a           

REFERÊNCIA: Álgebra - volume 2 – Editora Lumbreras − pg. 6.

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7) c (Relações entre coeficientes e raízes da equação do 2° grau) Seja ax

 bx c   0 a equação do 2° grau original, onde a  0 .

Seja ax

 bx c '   0 a equação de raízes  3 e

, então b    

3 2 5 b 5a.

         a Seja ax

 b ' x c   0 a equação de raízes

e

, então c

1 4 4 c 4a

a      . Assim, a equação original pode ser escrita como:

2 2 2

ax  bx c    0 ax  5ax  4a   0 x  5x   4 0 ,

cujas raízes são

e

e a diferença positiva entre as raízes é         4 1 3 . Nessa questão foram utilizados os seguintes conceitos:

Na equação do 2° grau ax

 bx c   0 de raízes x e

x , a soma das raízes é dada por

1 2

S x x b

    a e o produto das raízes é dado por

c

P x x

   a . REFERÊNCIA: EFOMM 2012

8) d (Relações entre coeficientes e raízes da equação do 2° grau) Sejam

e  as raízes da equação

, então q

    p e r

  p .

 

p r q r 1 1 1

q 2q p r 2 1 2 1 2 1

2 p p

1 1 1

2 4 1 9

9

  

                            

           

 

1 1 1 4

4 4 4 4

9 9

    

              

    

 

2  

4 ⁴

4 ^{1 16 4 52}

9 9 81 9 81

2 13 9

   

                             

   

REFERÊNCIA: Mathematics Today – May 2014 – pg. 27.

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9) e (Trinômio do 2° grau)

Esse problema pode ser resolvido diretamente observando que a reta vertical que passa pelo vértice é o eixo de simetria do gráfico do trinômio do 2º grau e que a abscissa do vértice é a média aritmética das raízes.

V

100 300

x 100

2

 

 

       

f 1050 f 100 950 f 100 950 f 850 345

       

Alternativamente pode-se resolver o problema usando a forma fatorada do trinômio do 2º grau.

    

       

f x a x 100 x 300

513 1

f 1050 a 1050 100 1050 300 513 a

950 1350 2500

  

         

 

    

    

    

f 950 1 950 100 950 300 425 2500

f 850 1 850 100 850 300 345 2500

f 1050 1 1050 100 1050 300 345 2500

      

      

   

10) e (Equações irracionais)

 

4 2 4 2 2 4 2 2

4 2 2 3 4 3 2

4 2

4 2

1 x x x 1 1 x x x 2x 1 x x 2x x

x x 4x 4x x 4x 5x 0 x 0 ou x 5

4

x 0 1 0 0 0 1 1 1 F

5 5 5 5 625 25 1

x 1 1 1

4 4 4 4 256 16 4

             

          

        

     

               

     

  ¹

S  4 

REFERÊNCIA: Krechmar, V. A.  A Problem Book in Algebra  pg. 43.

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11) e

 

  

 

  

2

2 2

x ax x x a x x a

0 0 0

x 2a x a x 2a x a

x ax 2a

       

    

  

As raízes da fração são 0 e

; e os pontos de descontinuidade são

e 2a. Como a  0, temos 2a     a 0 a.

   

S 2a, a 0, a

   

12) d (Área de triângulos)

Seja

a interseção de

e

, ou seja, o baricentro do  ABC .

2 8

AP 4

3 3

  

1 4

PD 4

3 3

  

BP BP 3 8 3

ˆ ˆ ˆ

DAB ABE APB tg BP

6 3 2 AP 6 8 3 3 9

   

          

APB ABC APB

8 8 3

AP BP 3 9 32 3 32 3 32 3

S S 3 S 3 u.a.

2 2 27 27 9

 

        

REFERÊNCIA: AIEEE 2003

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13) e (Área de triângulos)

A corda formada na Figura 2 divide o raio da circunferência ao meio, logo essa corda é igual ao raio do triângulo equilátero inscrito na circunferência.

Dessa foram, a área pedida pode ser obtida retirando-se da área da circunferência, a área de 4 segmentos circulares de 120 .

2 2

2 2 2

CIRC SEG 120

r r 4 3

S S 4 S r 4 sen120 r 2 r 3

3 2 3 2 3

 

      

                             Como o raio do círculo é r = 4 cm, temos:

 

2 1 2

S 4 3 48 3 16 cm

3 3

 

     

REFERÊNCIA: EFOMM 2010

14) c (Trigonometria no triângulo retângulo)

Os pontos A e B representam os amigos citados no enunciado e o segmento CD representa o Empire State Building.

No triângulo retângulo ACD, temos CD

tg45 1 AD CD h.

  AD    

No triângulo retângulo BCD, temos

BD 3

       

A distância entre os amigos é

 

AB AD BD h h 3 1196 h 1 3 1196 h

1 3

         

 1196 1196

3 1, 7 h 443

1 1, 7 2, 7

    



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15) b

Pelo teorema das bissetrizes internas, temos:

3 3 9

BM AB 3

BM CM BM MC 6 4 4 4

3 3 15

AB AC AB AC 8

CM AC 5

4 4 4

     

  

           



Aplicando a lei dos cossenos no  ABC , temos:

2 2 2

ˆ

ˆ ˆ 5

AC AB BC 2AB BC cos B 5 3 6 2 3 6 cos B cos B

              9

No triângulo retângulo ABH , temos: cos B ˆ BH 5 BH BH 5

AB 9 3 3

     .

Logo, 9 5 7

MH BM BH

4 3 12

     . REFERÊNCIA: CMBR 2009

16) c (Análise de gráficos)

Vamos avaliar cada uma das alternativas.

a) INCORRETA

O número de novos casos registrados nas últimas três semanas é 77000 114000 44000 235000

78333 78000.

3 3

 

  

b) INCORRETA

O total de novos casos apresentados no gráfico é

22000 38000 59000 77000 114000 44000     354000360000.

c) CORRETA

O aumento percentual do número de casos novos da 20ª para a 21ª semana é 114000 77000

0, 48 48% 50%.

77000

   

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d) INCORRETA

A variação percentual da 21ª para a 22ª semana é aproximadamente 44000 114000

0, 61 61%.

114000

     Isso corresponde a uma redução percentual de

aproximadamente 61% e não 65%.