PUC - SP
Aline Tafarelo Tracanella
O SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL:
um estudo sobre o valor posicional
Mestrado em Educação Matemática
São Paulo 2018
O SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL:
um estudo sobre o valor posicional
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para a obtenção do título de Mestre em Educação Matemática, sob orientação da Professora Doutora Barbara Lutaif Bianchini.
São Paulo 2018
parcial desta dissertação por processos de fotocópias ou eletrônicos. Assinatura: _______________________________________ Local e data: ______________________________________
Banca Examinadora
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“Quando você acredita não há nada que você não possa superar
Quando você acredita a Terra é mais brilhante do que o Sol
EU ACREDITO”.
(MELANIE CHISHOLM, PETER VETTESE; tradução nossa)
Este trabalho é dedicado à minha família e a todos os alunos que fizeram parte da minha trajetória profissional, pois a busca pelo saber deles me motivou a procurar sempre mais.
AGRADECIMENTOS
A Deus pela oportunidade de aprender e de concluir mais uma etapa de estudos na minha vida.
À minha família, pelo carinho e pelo suporte durante todo o curso, principalmente nos momentos mais difíceis.
À minha professora orientadora, Dra. Barbara Lutaif Bianchini, por seu constante empenho durante todas as orientações e seu permanente auxílio durante a construção dessa pesquisa.
Às professoras que compõem a banca examinadora: Dra. Cileda de Queiroz e Silva Coutinho e Dra. Eloiza Gomes, pelas contribuições valiosas para o desenvolvimento da investigação.
Aos colegas do GPEA, pois as discussões do grupo auxiliaram significativamente no delineamento da minha pesquisa, principalmente aos colegas Lucas Diego Antunes Barbosa e Renata Mendes Soares, pelo constante apoio e ajuda em todas as etapas.
À coordenação e aos professores do PEPG em Educação Matemática, sempre dispostos a me auxiliar no processo de desenvolvimento desse trabalho.
À secretária, Suzanne Lima Freitas, por estar sempre disposta a me ajudar com as questões burocráticas do curso.
Aos colegas de curso, pelo auxílio durante todo o período em que estivemos juntos, seja durante as aulas ou nas conversas na cantina.
Às minhas amigas: Luciana Tintino dos Santos, por sempre estar disposta a me ajudar nas revisões de português; Eunice Almeida, Danielle Albino, Fabiana Rabassi Cassador e Aparecida de Lourdes Bonanno pelo incentivo e pelo apoio fundamental para mim!
À unidade escolar que me recebeu para que eu pudesse aplicar os instrumentos de coleta de dados, à professora regente das turmas e aos alunos que participaram da pesquisa.
TRACANELLA, A. T. O Sistema de Numeração Decimal: um estudo sobre o valor posicional. 2018. 181 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo: 2018.
RESUMO
Assim que as crianças iniciam sua vida escolar, já carregam consigo alguma ideia sobre os números e sobre o funcionamento do Sistema de Numeração Decimal (SND). Todavia esses conhecimentos precisam ser sistematizados, ampliados e aprofundados adequadamente, para auxiliar na construção de outros conceitos matemáticos. Diante dessa problemática, a presente pesquisa tem por objetivo investigar que conhecimentos são mobilizados por alunos do quarto ano do Ensino Fundamental acerca do valor posicional no SND e sobre a compreensão do número zero nesse mesmo sistema. Para isso, buscamos em uma breve contextualização histórica resgatar como se deu o desenvolvimento desses saberes por povos antigos no decorrer do tempo. Como aportes teóricos, nos baseamos nas pesquisas de Piaget e Szeminska e de Kamii sobre a construção do conceito de número pelos alunos. Com relação à aquisição das propriedades do SND, discorremos sobre as pesquisas de Fayol e de Lerner e Sadovsky, bem como de Zunino, que aborda também a questão do número zero nesse sistema. Para atender ao objetivo da pesquisa, adotamos a metodologia de cunho qualitativo, pois o foco da investigação está nos conhecimentos mobilizados pelos educandos na busca por uma solução para as atividades propostas. Elaboramos um instrumento com seis exercícios envolvendo o valor posicional e o número zero, baseado na sequência proposta na tese de Brandt. Uma semana após a aplicação do instrumento, realizamos uma entrevista semiestruturada, que foi de suma importância para compreender com maior clareza as respostas fornecidas pelos alunos. Na análise e discussão dos dados obtidos, compreendemos que os estudantes mobilizaram conhecimentos acerca da sequência numérica e dos critérios de comparação apontados por Lerner e Sadovsky. Além desses conhecimentos mobilizados, os participantes também recorreram à contextualização das atividades para justificar suas respostas, usando a comparação com situações cotidianas, como, por exemplo, a observação da idade entre crianças. Com relação ao número zero, analisamos os significados atribuídos a esse número pelos alunos durante as entrevistas. Durante as fases da pesquisa, todos os educandos afirmaram que o zero “não vale nada”, mas trouxeram justificativas que vão ao encontro dos fatos histórico apontados na breve contextualização realizada no primeiro capítulo da investigação. Notamos também que os participantes estão construindo seus conhecimentos acerca do SND, apresentando um conhecimento não estável, ou seja, que se altera de acordo com a pergunta feita referente à situação proposta. Os resultados encontrados nessa pesquisa apontam que o trabalho com o SND precisa ser contínuo, durante todos os anos iniciais do Ensino Fundamental, pois os alunos continuam construindo seus conhecimentos acerca do SND e ampliando sua compreensão sobre o número zero nos anos posteriores ao ciclo de alfabetização.
Palavras-chave: Números naturais; Sistema de Numeração Decimal; Valor posicional; Número zero; Ensino Fundamental.
ABSTRACT
As soon as children begin their school life, they already carry with them an idea about the numbers and operation of the Decimal Number System (DNS). However, this knowledge need to be systematized, extended and deepened appropriately in order to assist in the construction of other mathematical concepts. Given this problem, the present research aims to investigate the mobilized knowledge of the positional value in the DNS and the understanding of the characteristics of number zero in the same system by students of the fourth year of Elementary School. Therefore, it is done a brief historical context to rescue how the development of this kind of knowledge by ancient people has developed over time. As theoretical contributions, it is used the researches of Piaget & Szeminska, and of Kamii on the constructions of the number concept by the students. Regarding to the acquisition of the properties of the DNS, it is discussed the researches of Fayol, Lerner & Sadovsky as well as Zunino, who also studies the issue of the number zero in this system. To achieve the research objective, it is adopted the qualitative methodology, since the focus of it is on the mobilized knowledge by the students in the search for a solution to proposed activities. It was also developed an instrument with six exercises involving the positional value and the number zero, based on the proposed sequence in the Brandt version. One week after an application of the instrument, it was conducted a semi-structured interview, which was of very important to understand the answers provided by the students. In the analysis and discussion of the obtained data, it is understand that the students mobilized knowledge about the numerical sequence and the criteria of comparison pointed out by Lerner & Sadovsky. In addition to these mobilized knowledge, the participants also used the contextualization of activities to justify their responses, using a comparison with everyday situations, such as, for example, age observation among children. Regarding the number zero, it was analyzed the meanings attributed to this number by the students during interviews. During the research phases, all students stated that zero “worth nothing”, but they have provided justifications that meet the historical facts pointed out in the brief contextualization carried out in the third chapter of the research. It is also noted that the participants are building their knowledge about DNS, presenting an unstable knowledge that changes according to the question asked regarding the proposed situation. The results found in this research indicate that the work with DNS needs to be continuous throughout the initial years of Elementary School, as the students continue to build their knowledge about DNS and expand their understanding of the number zero in the years after the literacy cycle.
Keywords: Natural Numbers; Decimal Number System; Positional Value; Number Zero; Elementary School.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Mapa da antiga Mesopotâmia ... 27
Figura 2: Sinais cuneiformes representando os números de 1 a 60 utilizados pelos babilônios ... 28
Figura 3: O número 75 na escrita babilônica ... 28
Figura 4: O “zero-marcador” utilizado na escrita do número 3.645 ... 29
Figura 5: Os glifos que representam o zero maia ... 30
Figura 6: Representação maia dos numerais do 1 ao 19... 30
Figura 7: Representação do número 13.495 no sistema numérico maia ... 31
Figura 8: Ábaco de colunas utilizado pelos hindus ... 32
Figura 9: Evolução da escrita dos algarismos indo-arábicos através do tempo ... 34
Figura 10: Classificação dos zeros na história ... 40
Figura 11: Linha do tempo com os principais acontecimentos históricos com relação a origem do SND e do zero ... 41
Figura 12: Sentidos atribuídos ao zero ... 45
Figura 13: Exemplo de relações mentais entre os números 7 e 14 ... 67
Figura 14: Relação de ordem ... 73
Figura 15: Relação de inclusão hierárquica ... 73
Figura 16: Protocolo do aluno A3 para o item a) da questão 1 ... 94
Figura 17: Protocolo da aluna A4 para o item a) da questão 1 ... 94
Figura 18: Protocolo do aluno A3 para o item d) da questão 1 ... 95
Figura 19: Protocolo da aluna A4 para o item d) da questão 1... 96
Figura 20: Protocolo do aluno A3 em resposta a questão 2 ... 99
Figura 21: Protocolo da aluna A4 para a questão 2 ... 99
Figura 22: Protocolo do aluno A3 sobre o item a) da questão 2 ... 100
Figura 23: Protocolo da aluna A4 sobre o item a) da questão 2 ... 100
Figura 24: Protocolo do aluno A3 para o item b) da questão 2 ... 100
Figura 25: Protocolo da aluna A4 para o item b) da questão 2... 101
Figura 26: Protocolo do aluno A3 para o item a) da questão 3 ... 103
Figura 27: Protocolo da aluna A4 para o item a) da questão 3 ... 103
Figura 28: Protocolo do aluno A3 para o item b) da questão 3 ... 103
Figura 29: Protocolo do aluno A3 para o item c) da questão 3 ... 104
Figura 30: Protocolo do aluno A3 no item a) da Atividade 4 ... 106
Figura 31: Protocolo da aluna A4 para o item a) da Atividade 4 ... 107
Figura 32: Resolução da participante A4 durante a entrevista ... 108
Figura 33: Segunda resolução apresentada por A4 na entrevista ... 108
Figura 34: Protocolo do aluno A3 para a questão 5 ... 110
Figura 35: Protocolo da aluna A4 para a questão 5 ... 111
Figura 36: Protocolo do aluno A3 para a questão 6 ... 113
Figura 37: Protocolo da aluna A4 para a questão 6 ... 114
Figura 38: Protocolo do estudante E2 para o item a) da Atividade 1 ... 118
Figura 39: Protocolo do aluno E5 para todos os itens da Atividade 1 ... 119
Figura 40: Protocolo do aluno E6 para todos os itens da Atividade 1 ... 120
Figura 41: Protocolo do aluno E1 para todos os itens da Atividade 1 ... 121
Figura 42: Protocolo do participante E4 para a Atividade 2 ... 128
Figura 43: Protocolo do participante E2 para a Atividade 2 ... 129
Figura 45: Protocolo do aluno E1 para a Atividade 3 ... 133
Figura 46: Protocolo do aluno E6 para a Atividade 3 ... 134
Figura 47: Protocolo do aluno E5 para o item a) da Atividade 4 ... 137
Figura 48: Resolução do cálculo pelo aluno E5 durante a entrevista ... 137
Figura 49: Protocolo do aluno E6 para o item a) da Atividade 4 ... 138
Figura 50: Resolução do cálculo pelo aluno E6 durante a entrevista ... 138
Figura 51: Protocolo do participante E2 para o item a) da Atividade 4 ... 139
Figura 52: Subtrações resolvidas por E2 durante a entrevista ... 140
Figura 53: Protocolo do aluno E3 para todos os itens da Atividade 4 ... 141
Figura 54: Resolução do cálculo do aluno E3 durante a entrevista ... 142
Figura 55: Protocolo do aluno E6 para a Atividade 5 ... 144
Figura 56: Protocolo do participante E2 para a Atividade 6 ... 147
Figura 57: Protocolo do participante E5 para o item d) da Atividade 6 ... 148
Figura 58: Protocolo do aluno E3 para a Atividade 6 ... 149
Figura 59: Resolução do cálculo pelo aluno E3 durante a entrevista ... 149
Figura 60: Protocolo do participante E4 para a Atividade 6 ... 150
Figura 61: Resolução do cálculo pelo aluno E4 durante a entrevista ... 151
LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Representações dos sistemas de numeração de algumas civilizações antigas ... 26
Quadro 2: Os significados do zero ... 44
Quadro 3: Pesquisas concernentes ao número zero ... 88
Quadro 4: Pesquisas sobre o SND ... 88
Quadro 5: Respostas dos participantes em cada item que caracterizam os critérios de comparação numérica utilizados na Atividade 1 ... 118
Quadro 6: Distribuição dos alunos segundo os critérios utilizados para a comparação numérica na Atividade 1 ... 119
Quadro 7: Os significados do zero nas entrevistas sobre a Atividade 1 ... 124
Quadro 8: Quantidade de arranjos possíveis na Atividade 2 ... 126
Quadro 9: Alunos que formaram os números com repetição e sem repetição na Atividade 2 ... 126
Quadro 10: Quantidade de arranjos feitos por cada participante nos dois primeiros itens da Atividade 2... 126
Quadro 11: Utilização do zero pelos alunos nos arranjos da Atividade 2 ... 127
Quadro 12: Justificativas utilizadas pelos participantes na entrevista para o último item da Atividade 2... 130
Quadro 13: Justificativas que surgiram nos protocolos dos alunos para a Atividade 3 ... 132
Quadro 14: Respostas dos alunos ao questionamento inicial da entrevista sobre a Atividade 5... 144
SUMÁRIO CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO. ... 15
CAPÍTULO 2 APRESENTAÇÃO DO CONTEXTO DA PESQUISA ... 19
2.1 Trajetória docente ... 19
2.2 Justificativa e problemática... 20
CAPÍTULO 3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 25
3.1 Contextualização do ponto de vista histórico do SND e do número zero ... 25
3.2 Significados do zero em pesquisas correlatas ... 41
3.3 Sistema de numeração decimal (SND) ... 52
CAPÍTULO 4 APORTES TEÓRICOS ... 65
4.1 Piaget e a construção do número pelas crianças ... 65
4.2 A influência do SND e do zero na compreensão dos números pelas crianças ... 76
CAPÍTULO 5 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS... 83
5.1 A pesquisa qualitativa ... 83
5.2 A unidade escolar e os sujeitos da pesquisa... 85
5.3 Trajetória da pesquisa ... 87
CAPÍTULO 6 ANÁLISE DOS DADOS ... 93
6.1Análise das atividades e dos dados coletados com o instrumento piloto ... 93
6.2 Análise das atividades e dos dados coletados com o instrumento definitivo ... 117
6.3 Análise da produção de cada participante no instrumento definitivo ... 153
CAPÍTULO 7 CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 161
REFERÊNCIAS... 169
APÊNDICE A – INSTRUMENTO PILOTO ... 173
APÊNDICE B – INSTRUMENTO DEFINITIVO ... 175
APÊNDICE C - ENTREVISTA SEMIESTRUTURADA ... 177
APÊNDICE D - TCLE ... 179
APÊNDICE E - SOLICITAÇÃO DE AUTORIZAÇÃO PARA PESQUISA NA UNIDADE ESCOLAR ... 181
CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO
O ensino dos números em nosso Sistema de Numeração Decimal (SND) geralmente é voltado à aprendizagem mecânica das ordens numéricas, ou seja, para a memorização das palavras unidade, dezena e centena, sem uma compreensão adequada sobre as especificidades e o significado dessas ordens, gerando, dessa maneira, equívocos na representação escrita e nas operações com os números no SND (BRASIL, 1997).
De acordo com a prática em sala de aula, percebemos tal dificuldade, principalmente quando o aluno conclui o primeiro ciclo, no terceiro ano do Ensino Fundamental. Com o início do estudo dos números decimais no segundo ciclo, os equívocos se agravam, pois, a lógica de organização do conjunto dos números racionais no SND é diferente da estrutura dos números naturais. Como mostram as pesquisas de Kamii (1994), o educando está em processo de construção desses conhecimentos nessa faixa etária – que compreende indivíduos entre seis e dez anos de idade.
Zunino (1995), diante dos resultados de sua investigação, afirma que é instintivo aos alunos aplicar os conhecimentos adquiridos para o conjunto dos números naturais no conjunto dos racionais, no caso mais específico da sua representação decimal. Dessa forma, nos termos de Brousseau (2008), o conhecimento aplicável ao conjunto dos números naturais no SND cria obstáculos para a aprendizagem dos números racionais nesse mesmo sistema, seja em sua representação fracionária ou decimal, como, além do mais, apontam diversas pesquisas (BIANCHINI, MAGINA, 1996; SILVA, 1997; CUNHA, 2002; JUCÁ, 2008).
Fundamentados nas pesquisas mencionadas, consideramos que a presente investigação possa contribuir com a prática de professores que atuam nos anos iniciais do Ensino Fundamental, visto que discutimos sobre a aquisição dos conhecimentos relacionados às propriedades do SND no conjunto dos números naturais. Esses conceitos são essenciais para que os educandos consigam construir outros conhecimentos matemáticos adequadamente, como as operações aritméticas e os números decimais. Sendo assim, decidimos investigar os conhecimentos mobilizados pelos alunos dos anos iniciais do Ensino Fundamental com relação ao atributo do valor posicional no SND e, em particular, à compreensão do número zero.
Com base nessa problemática, formulamos duas questões que orientam nossa pesquisa: “Que conhecimentos sobre o valor posicional no SND são mobilizados por alunos de quarto ano do Ensino Fundamental?” e “Que significados para o número zero no SND são indicados por educandos de quarto ano do Ensino Fundamental?”
Ao buscar um contexto que atendesse aos requisitos exigidos pelo tema da investigação, corroboramos com Zunino (1995) que afirma que a análise de uma situação experimental auxilia na observação dos conhecimentos empregados pelos educandos na busca por uma solução para o problema proposto. Além disso, os educandos revelam seus conhecimentos ao produzir e interpretar quantidades, ao explorar o valor dos algarismos no SND e ao resolver operações elaboradas por eles mesmos para buscar as soluções para as situações propostas. As atividades propostas pelos professores precisam considerar que os educandos estão em contato direto com o SND, mas para compreendê-lo adequadamente precisam descobrir e reconstruir os princípios que o orientam (ZUNINO, 1995). De tal modo, optamos por realizar uma pesquisa de campo de cunho qualitativo, aplicando uma sequência de atividades com alunos dos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Para auxiliar numa melhor organização da presente investigação optamos por estruturá-la da seguinte forma: no primeiro capítulo se encontra esse texto (a introdução) e no segundo capítulo discorremos sobre a trajetória docente da pesquisadora, além de apresentar a justificativa e a problemática do tema escolhido. O terceiro capítulo faz uma breve contextualização histórica sobre o SND e sobre o número zero, explorando os conhecimentos desenvolvidos por povos que apresentavam um sistema de numeração posicional e indícios do zero (IFRAH, 1994, 1997; KAPLAN, 2001; ROQUE, 2012; STEWART, 2016). Neste mesmo capítulo apresentamos uma revisão bibliográfica na qual abordamos três trabalhos correlatos sobre o SND (RODRIGUES, 2001; BRANDT, 2005; CASTRO, 2016) e três investigações sobre o número zero (SALVADOR, 2003; GUIMARÃES, 2008; MARCONDES, 2014).
Os aportes teóricos sobre a construção do conceito de número foram elaborados tendo como base a teoria de Piaget e de seus colaboradores, como Szeminska (1981) e Kamii (1992, 1994), além dos trabalhos colaborativos entre Kamii e Declark (1996) e Kamii e Housman (2002). Isto constitui o quarto capítulo da pesquisa. Além desses autores, discutimos também as pesquisas de Lerner e Sadovsky (1996) e de Zunino (1995), acerca dos conhecimentos das crianças com relação ao SND e ao número zero.
No quinto capítulo expomos os procedimentos metodológicos adotados e versamos também sobre a trajetória da pesquisa, bem como uma breve caracterização da unidade escolar e dos participantes da investigação.
As análises dos dados obtidos foram desenvolvidas no sexto capítulo. O instrumento piloto foi aplicado com dois alunos, sendo um do terceiro ano e outra do quarto ano, ao passo que o instrumento definitivo foi aplicado com seis alunos do quarto ano. Para realizar as análises nos baseamos nos protocolos recolhidos dos educandos e nas entrevistas que ocorreram após a aplicação das atividades. Optamos por manter o instrumento piloto no texto final da investigação, pois os dados recolhidos com estas atividades forneceram informações importantes para nossa pesquisa.
No sétimo capítulo encerramos essa investigação com as considerações finais. Nesse capítulo, fazemos uma breve retomada dos aportes teóricos e trabalhos correlatos levantados e utilizados para realizar as análises dos dados, bem como tecemos algumas considerações acerca dos objetivos e das percepções construídas no decorrer da pesquisa. Também apresentamos algumas perspectivas para investigações futuras.
CAPÍTULO 2
APRESENTAÇÃO DO CONTEXTO DA PESQUISA
Nesse capítulo descrevemos resumidamente a trajetória profissional da pesquisadora e também sua motivação para a investigação. Nele, abordamos a problemática que envolveu o tema escolhido, a justificativa para o desenvolvimento do trabalho e apresentamos os objetivos e as questões de pesquisa.
2.1 Trajetória docente1
Minha trajetória na carreira docente se inicia com o curso normal em nível Médio, antigo CEFAM (Centro Específico de Formação e Aperfeiçoamento do Magistério), o qual concluí em dezembro de 2005. Neste curso tive meu primeiro contato com a educação, por meio de aulas teóricas e de estágios supervisionados. No ano seguinte à conclusão, comecei a ministrar aulas na Educação Infantil em um município da região metropolitana de São Paulo. Concomitantemente, ingressei na Licenciatura Plena em Matemática no Centro Universitário FIEO (UNIFIEO), em Osasco.
Desde essa época me inquietava a dificuldade que alguns alunos apresentavam no que diz respeito à construção do conceito de número, pois percebi que não conseguiam estabelecer relação entre a representação numérica com algarismos e as quantidades associadas.
Ao concluir a graduação, passei a lecionar em outro município, também na região metropolitana de São Paulo, agora no cargo de Professora de Educação Básica do Ensino Fundamental I, com alunos de 6 a 10 anos de idade. Ali, exercia função polivalente, responsável por ministrar aulas de cinco disciplinas. No mesmo período fui chamada para trabalhar na prefeitura de São Paulo com a ocupação de Professora de Educação Básica II, atendendo alunos de 6º a 9º anos, ministrando aulas de Matemática como disciplina específica. Mantive os dois cargos e pude perceber que as dificuldades acerca dos números naturais e de suas relações com os outros conjuntos numéricos se estendiam por todos os anos do Ensino Fundamental, principalmente nos 6º e 7º anos.
Cursei, também, Licenciatura em Pedagogia. Porém ainda não me sentia apta para lidar com tais problemas das salas de aula. Decidi fazer uma especialização latu sensu em Educação Matemática, que acrescentou muito em minha formação. Ainda assim não foi o suficiente.
1 Nessa seção o texto foi redigido na primeira pessoa do singular, pois se refere exclusivamente à experiência profissional da pesquisadora.
Ingressei no mestrado em Educação Matemática buscando compreender melhor como o processo de conhecimento do número ocorre nos educandos e fui direcionada ao Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica (GPEA), sob a orientação da professora Dra. Barbara Lutaif Bianchini.
As discussões, participações e contribuições dos integrantes do grupo foram de fundamental importância para o desenvolvimento da presente pesquisa, que está inserida no projeto denominado “A Álgebra na Educação Básica”, em vigor no GPEA desde 2014, fazendo parte da linha de pesquisa “A Matemática na estrutura curricular e formação de professores”. Este projeto investiga o ensino e a aprendizagem de Álgebra na Educação Básica, bem como as concepções e conhecimentos de alunos e professores, seja em formação inicial ou continuada. Esta pesquisa foi incluída nesse projeto uma vez que nela abordamos a aprendizagem de alunos dos anos iniciais do Ensino Fundamental acerca do valor posicional no SND e, em particular, à compreensão do número zero nesse sistema. Essa problemática será mais discutida na próxima seção.
2.2 Justificativa e problemática
Desenvolver o pensamento matemático adequadamente é fundamental para que os indivíduos possam fazer parte e contribuir com o progresso da sociedade na qual vivemos. Para isso, os educandos precisam aprender Matemática, indo além dos algoritmos, fórmulas e respostas memorizadas. Os alunos precisam descobrir como pensar matematicamente, analisando situações, elaborando estratégias, argumentando sua posição com os colegas e preparando respostas adequadas ao contexto. Ler, entender, traduzir e interpretar a leitura de um problema matemático, além de também saber o que está fazendo: isso é parte do processo matemático.
Visando esse trabalho efetivo com a Matemática, o Ministério da Educação e Cultura (MEC) criou os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN – (BRASIL, 1997), que são documentos oficiais norteadores dos objetivos e dos conteúdos a serem trabalhados nas escolas de todo o país. É seccionado em áreas de conhecimento e em ciclos. Para os anos iniciais (do primeiro ao quinto ano) do Ensino Fundamental, tem-se o primeiro ciclo que compreende as 1ª e 2ª séries (atuais primeiro, segundo e terceiro ano) e o segundo ciclo, que abrange as 3ª e 4ª séries (atualmente quarto e quinto ano). Os conteúdos presentes nos PCN foram divididos em blocos: “Números e operações”, “Espaço e forma”, “Grandezas e medidas” e “Tratamento da informação”.
Como nosso objetivo está relacionado com a aprendizagem dos números, trataremos somente sobre o bloco de “Números e operações”, apesar de que é preciso levar em consideração que o conhecimento de número também apresenta relações com os outros blocos.
De acordo com os PCN (BRASIL, 1997, p. 25)
[...] é importante que a Matemática desempenhe, equilibrada e indissociavelmente, seu papel na formação de capacidades intelectuais, na estruturação do pensamento, na agilização do raciocínio dedutivo do aluno, na sua aplicação a problemas, situações da vida cotidiana e atividades do mundo do trabalho e no apoio à construção de conhecimentos em outras áreas curriculares.
É evidente que os números estão presentes na vida das crianças desde seu nascimento, pois, desde cedo são estimuladas pelos pais e adultos a contarem e mostrarem nos dedos a quantidade. Conforme crescem, notam que na casa ou apartamento onde moram possui um número, que há números no telefone, no relógio, nas brincadeiras, nas músicas, para medida das roupas, dos calçados, e assim por diante. Com isso, quando entram na escola apresentam certa familiaridade com os números e algumas ideias sobre suas particularidades.
O zero faz parte desses números, que geralmente significa “nada” para as crianças. No entanto, quando se inicia o estudo do SND, a compreensão do zero é ampliada e pode causar dúvidas no significado dos números e, consequentemente, no estudo de outros conceitos matemáticos, como, por exemplo, das operações aritméticas.
Pensando nisso, os PCN (BRASIL, 1997, p. 19) indicam para que tanto se contextualize a Matemática quanto, especialmente, insira-a no processo histórico como algo histórico-socialmente construído:
O conhecimento matemático deve ser apresentado aos alunos como historicamente construído e em permanente evolução. O contexto histórico possibilita ver a Matemática em sua prática filosófica, científica e social e contribui para a compreensão do lugar que ela tem no mundo.
Corroboramos com a afirmação dos PCN, pois consideramos de suma importância relacionar a história do desenvolvimento de um conceito matemático com a aprendizagem dos alunos, ainda que tenhamos em consideração que esse não é o único recurso que auxilia no processo de aquisição de conhecimento dos educandos, assunto que será desenvolvido no terceiro capítulo. Dessa forma, iniciamos esta pesquisa com uma breve contextualização histórica acerca do SND e do número zero, pois acreditamos ser relevante compreender como esses conceitos foram construídos com o passar dos anos, social e culturalmente, por povos
diferentes, assim como auxiliar os professores e alunos a perceber que as dificuldades de entendimento que ocorrem atualmente também aconteciam com os povos antigos.
Dentre os objetivos gerais elencados pelos PCN para a disciplina de Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental, podemos destacar:
• Construir o significado do número natural a partir de seus diferentes usos no contexto social, explorando situações-problema que envolvam contagens, medidas e códigos numéricos.
• Interpretar e produzir escritas numéricas, levantando hipóteses sobre elas, com base na observação de regularidades, utilizando-se da linguagem oral, de registros informais e da linguagem matemática. (BRASIL, 1997, p. 47).
De acordo com os objetivos supracitados, podemos inferir que a criança elabora conhecimentos sobre os números da mesma forma na qual apreende a língua escrita. Sendo assim, é necessário partir de situações cotidianas para que o aluno construa hipóteses acerca do significado dos números e da escrita numérica (BRASIL, 1997). Os atributos do SND vão sendo reconhecidos nas situações de uso social que fazem parte da vivência dos educandos, assim como é apontado em pesquisas, como, por exemplo, a de Kamii (1994).
Para Piaget e Szeminska (1981), a construção do conceito de número se dá a partir do momento em que o educando constitui um pensamento operatório, conseguindo abstrair relações numéricas e realizando a reversibilidade das operações, isto é, conseguindo desfazer mentalmente ações já realizadas. Quando se desenvolvem essas estruturas mentais do indivíduo, o sujeito está mais preparado para compreender com clareza as propriedades do SND, visto que apresenta o pensamento operatório.
Dos objetivos específicos propostos pelos PCN, com relação ao bloco de conteúdo denominado “Números e Operações” para o primeiro ciclo, selecionamos alguns itens que são relevantes para a presente investigação, os quais têm as seguintes finalidades:
• Utilização de diferentes estratégias para quantificar elementos de uma coleção: contagem, pareamento, estimativa e correspondência de agrupamentos.
• Formulação de hipóteses sobre a grandeza numérica, pela identificação da quantidade de algarismos e da posição ocupada por eles na escrita numérica. • Observação de critérios que definem uma classificação de números (maior que, menor que, estar entre) e de regras usadas em seriações (mais 1, mais 2, dobro, metade).
• Organização em agrupamentos para facilitar a contagem e a comparação entre grandes coleções.
• Leitura, escrita, comparação e ordenação de notações numéricas pela compreensão das características do sistema de numeração decimal (base, valor posicional). (BRASIL, 1997, p. 50).
Esses propósitos vão ao encontro de pesquisas como as de Kamii (1994) e Piaget e Szeminska (1981) quando tratam sobre as quantificações, correspondências e agrupamentos numéricos; além das pesquisas de Lerner e Sadovsky (1996), Zunino (1995), entre outras que versam acerca da formulação de hipóteses para comparação, para a leitura, para a escrita de números, para o valor posicional e para o SND2.
No segundo ciclo percebemos um objetivo geral referente ao ensino dos números, que visa “Ampliar o significado do número natural pelo seu uso em situações-problema e pelo reconhecimento de relações e regularidades” (BRASIL, 1997, p. 55). Além desse, identificamos também dois objetivos específicos: “Reconhecimento de números naturais e racionais no contexto diário” e “Compreensão e utilização das regras do sistema de numeração decimal, para leitura, escrita, comparação e ordenação de números naturais de qualquer ordem de grandeza” (Ibid., p. 58).
O trabalho com os números racionais ocupa uma grande parte do currículo no segundo ciclo. Todavia, os atributos do SND que são válidos para os números naturais não o são para os racionais, gerando mais equívocos, como mostram resultados de pesquisas (VALERA, 2003; SILVA, 2008; ZUNINO, 1995). Esse fato pode afetar a aprendizagem, pois se os alunos não compreenderem adequadamente as características do SND com os números naturais, consequentemente também não entenderão os atributos referentes ao novo conjunto numérico, uma vez que as propriedades do SND passam a não ter a mesma validade em conjuntos numéricos diferentes.
Podemos observar, através dos objetivos supracitados, tanto para o primeiro quanto para o segundo ciclo, que o trabalho com os números naturais é intenso com os alunos até o terceiro ano. Entretanto, do quarto ano em diante a quantidade de conteúdos relacionados a esse conjunto numérico diminui, pela inserção do estudo do conjunto dos números racionais, que assume grande parte do currículo de matemática. Sendo assim, podemos afirmar que tanto os pesquisadores que concebem o currículo quanto os autores de livros didáticos assumem que os alunos já aprenderam esses conteúdos e que não há a necessidade de ser retomados ou aprofundados.
Kamii (1992) aponta os resultados das pesquisas de Bednarz e Janvier (1982) que, ao realizarem entrevistas individuais com alunos de 3ª e 4ª séries (respectivos quartos e quintos anos atualmente), concluíram que alunos dessa faixa etária – entre 9 e 10 anos – ainda não compreendiam adequadamente o valor posicional. Esses estudos mostram que se faz necessário
um trabalho contínuo sobre o SND e suas características durante todo o Ensino Fundamental, não somente durante o ciclo de alfabetização.
Como o primeiro ciclo se encerra ao final do terceiro ano do Ensino Fundamental, optamos por aplicar o instrumento elaborado com educandos do quarto ano, pois já concluíram esse ciclo e apresentam certo conhecimento acerca do SND e de seus atributos, visando compreender como esses alunos mobilizam o que apreenderam acerca do valor posicional e do número zero no nosso sistema de numeração ao resolver as atividades propostas no instrumento. Diante dessa problemática e da nossa inquietação em situações de não compreensão dos conceitos pelos alunos durante as aulas, elaboramos a seguinte questão de pesquisa: “Que conhecimentos sobre o valor posicional no SND são mobilizados por alunos de quarto ano do Ensino Fundamental?” Além dessa, também procuramos responder: “Que significados para o número zero no SND são indicados por educandos de quarto ano do Ensino Fundamental?”
Na tentativa de compreender melhor e responder a essas questões, no capítulo a seguir discorreremos sobre os trabalhos correlatos que nos ajudaram a delinear a nossa pesquisa.
CAPÍTULO 3
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Na revisão bibliográfica trazemos uma pequena contextualização histórica a respeito do número zero e do SND, mostrando povos antigos, e suas simbolizações, que apresentavam sistemas numéricos semelhantes ao nosso. Tratamos também sobre os trabalhos que versam acerca dos significados do número zero e do SND por alunos dos anos iniciais do Ensino Fundamental – o nível com o qual realizamos nossa investigação.
3.1 Contextualização do ponto de vista histórico do SND e do número zero
“Se olharmos para o zero vemos o nada, mas se olharmos através dele descobrimos o mundo”. Robert Kaplan
Nessa seção faremos uma breve contextualização histórica do SND e do número zero, destacando apenas os fatos pontuais mais significativos para essa pesquisa, já que a trajetória histórica do zero é muito complexa e densa, além de demandar estudos filosóficos, religiosos, estéticos e metafísicos, que fogem ao objetivo deste trabalho. Somente trataremos de alguns aspectos históricos relevantes para melhor compreensão e contextualização da pesquisa.
A Matemática, tal como conhecemos atualmente, se desenvolveu por meio de problemas. Porém, a Matemática que é ensinada nas escolas foi produzida há muito tempo e reorganizada várias vezes, trazendo a ideia de que os conhecimentos matemáticos são prontos e acabados, sendo passíveis de transmissão, apenas. Surge a necessidade de um ensino de matemática mais próximo de situações cotidianas que facilitem a compreensão dos conceitos no tocante a algo que seja familiar aos indivíduos, favorecendo a atribuição de sentido aos conhecimentos matemáticos. Para que isso ocorra, a Matemática precisa ser ensinada partindo de um contexto, que não precisa ser necessariamente um problema rotineiro, mas sim que promova a identificação dos conhecimentos matemáticos e de como eles se relacionam em uma rede de conceitos (ROQUE, 2012).
A história da Matemática pode ser uma ferramenta didática muito útil para a compreensão de conceitos, pois “o papel da história da matemática pode ser justamente exibir esses problemas, muitas vezes ocultos no modo como os resultados se formalizaram” (ROQUE, 2012, p. 32). Dessa forma, recriar os problemas que geraram esses conhecimentos pode ser uma forma de construí-los com os alunos.
Por esse motivo se faz necessário iniciar nossa pesquisa com uma breve contextualização histórica acerca dos sistemas de numeração utilizados por povos antigos, bem como sobre o desenvolvimento de símbolos que representavam o número zero.
Povos antigos como os romanos e os egípcios criaram seus próprios sistemas de representação numérica, nos quais podiam escrever qualquer número utilizando letras, traços, pontos ou desenhos. Contudo, faltava um símbolo para representar o nada que, muitos séculos depois, passou a ser o que entendemos atualmente como número zero.
Partindo dessa variedade de representações numéricas, optamos por abordar somente os povos que mais se aproximaram do uso do zero em seus sistemas de numeração: os babilônios, que se encontravam na antiga região da Mesopotâmia; os maias, localizados na América Central; os hindus, situados na Índia; os árabes, que se localizavam no atual Oriente Médio e tiveram grande influência na disseminação do sistema de numeração decimal para outros países; e o uso do zero nas operações comerciais na Idade Média.
No Quadro 1 apresentamos símbolos e características de dois sistemas numéricos de civilizações antigas que fazem parte da história. No entanto, não serão aqui abordadas com maior profundidade por não apresentarem indícios do zero em seus sistemas numéricos.
Quadro 1: Representações dos sistemas de numeração de algumas civilizações antigas
Sistema de
numeração Símbolos Características
Egípcio (aproximadamente III milênios a. C.) - Algarismos hieroglíficos; - Sistema decimal; - Sistema aditivo; - Não apresentava necessidade de um símbolo para o zero.
Romano (aproximadamente I milênio a. C.) I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000 - Emprego de letras representando quantidades; - Princípio aditivo e subtrativo; - Não apresentava um símbolo para o zero.
3.1.1 Mesopotâmia: os babilônios
A Mesopotâmia é uma região situada entre os rios Tigre e Eufrates, onde hoje está situado o Iraque. Por causa da água em abundância, essa região sofreu ataques de diversos povos antigos, datando aproximadamente o aparecimento das primeiras civilizações em 4000 a. C., formando na região um dos berços das civilizações antigas. Na Figura 1 podemos ver um mapa da região, com as demarcações dos povos antigos, inclusive da Babilônia, que é a civilização discutida nessa seção.
Figura 1: Mapa da antiga Mesopotâmia
Fonte: Escola Britannica3
Os sumérios eram uma civilização anterior aos babilônios, que viveram na Mesopotâmia por volta do IV milênio a. C. e utilizavam uma escrita cuneiforme em barras de argila para representar os numerais, com um sistema de base sexagesimal. Ao invadir a região da Mesopotâmia, por volta do terceiro milênio antes da era cristã, os babilônios se apropriaram da representação cuneiforme dos sumérios e utilizaram para seus registros numéricos (IFRAH, 1997).
O sistema de numeração babilônico apresentava como características o sistema posicional e a base sessenta. Ser posicional significa que “[...] cada algarismo vale não pelo seu valor absoluto, mas pela ‘posição’ que ocupa na escrita de um número, ou seja, pelo seu valor relativo” (ROQUE, 2012, p. 50). Os babilônios utilizavam somente dois símbolos para a escrita dos números, que escreviam alternando as posições até chegar ao sessenta. Roque afirma que o sistema numérico dessa civilização é uma combinação da base 60 com a base 10, pois os sinais mudavam de 10 em 10, como observamos na Figura 2.
3 Escola Britannica <http://escola.britannica.com.br/levels/fundamental/article/Mesopot%C3%A2mia/481886>, acesso em mar. de 2017.
Figura 2: Sinais cuneiformes representando os números de 1 a 60 utilizados pelos babilônios
Fonte: Roque, 2012, p. 49
Verificamos na Figura 2 que o número 1 e o número 60 eram representados pelo mesmo símbolo, pois, ao chegar ao sessenta, o número mudava de ordem, iniciando uma repetição das mesmas posições usadas anteriormente. Isso causava certa ambiguidade no sistema numérico babilônico. Mesmo assim, era suficiente para o contexto no qual o número era utilizado, para fazer a distinção das grandezas de uma representação numérica para outra.
Além disso, vemos que a numeração babilônica também utilizava o princípio aditivo, pois na escrita dos numerais até o 59 eram repetidos os símbolos da escrita cuneiforme quantas vezes fossem necessários para representar a quantidade desejada. Ao passar para a ordem seguinte, no sistema era utilizada a posição e o princípio aditivo para escrever os números, como mostrado na Figura 3 com a escrita do número setenta e cinco.
Figura 3: O número 75 na escrita babilônica
Fonte: Ifrah, 1997, p. 297
De acordo com Kaplan (2001), os sumérios foram o primeiro povo a criar um símbolo para representar o nada. Como o registro deles era cuneiforme e o sistema era posicional de base sessenta, a coluna vazia era representada por duas cunhas inclinadas, que serviam para
separar as ordens. Kaplan denomina esse símbolo como “zero-marcador”, já que sua função era marcar que uma coluna estava vazia e era utilizada sempre nas colunas do meio de um número, não na última. Essa utilização causava confusão para discernir o 2 do 20 ou do 200, sendo que o “zero-marcador” não era usado no final dos números e nem como resultado de cálculos. Não podemos denominá-lo como zero, pois sendo somente um marcador não indicava a ausência de quantidade. Na Figura 4 notamos os símbolos utilizados para formar o número 3.645, no qual o “zero-marcador” é utilizado para representar uma coluna vazia.
Figura 4: O “zero-marcador” utilizado na escrita do número 3.645
Fonte: Roque, 2012, p. 56
Na dissertação de Guimarães, a autora afirma que os babilônios foram os primeiros a considerar o zero e que apresentavam um sistema de representação numérica igual aos sumérios, tal como defendido por Kaplan, incluindo o mesmo símbolo para o zero. Conforme afirma a autora,
Este zero algarismo babilônico era utilizado apenas em posições intermediárias, ele não era utilizado no final do número, o que provocava muitas ambiguidades que precisavam ser resolvidas recorrendo-se ao contexto. Surge nos babilônios, o zero, como marca lugar, mas ainda limitado (GUIMARÃES, 2008, p. 39).
Não há consenso entre pesquisadores da história da Matemática em relação à origem do zero, pois vários povos antigos tinham seus respectivos sistemas numéricos ao mesmo tempo em regiões diferentes do mundo, mas muitos registros históricos se perderam com o passar dos milhares de anos. Têm-se indícios históricos de que o “zero-marcador” pode ter surgido na região da Mesopotâmia, com os sumérios, de acordo com Kaplan (2001), ou com os babilônios. Entretanto, praticamente ao mesmo tempo os maias também apresentavam um símbolo para representar a ausência de quantidade no seu sistema numérico. Analisaremos o sistema numérico maia a seguir.
3.1.2 Maias
Os maias, civilização que se encontrava na América Central, também tinham um símbolo próprio para representar a falta de uma quantidade. Era um desenho parecido com uma concha ou caramujo, colocado entre os números para indicar que uma ordem estava vazia. Apresentavam um sistema de numeração que tinha como características o valor posicional, o sistema aditivo e um símbolo próprio para o zero. Na Figura 5 podemos ver as variações do símbolo utilizado pelos maias para representar o número zero.
Figura 5: Os glifos que representam o zero maia
Fonte: Ifrah, 1994, p. 253
Os maias tinham um sistema de numeração de base vinte, na qual os números eram representados por barras na horizontal ou na vertical que valiam cinco e por pontos sobrepostos a essas barras, que correspondiam a um. Além disso, também apresentavam variantes gráficas para o símbolo do um e do cinco, como ilustrado na Figura 6.
Figura 6: Representação maia dos numerais do 1 ao 19
Fonte: Ifrah, 1997, p. 639
Além disso, segundo Ifrah, o sistema numérico maia tinha uma instabilidade, pois na terceira casa ao invés de ser múltiplo de quatrocentos, os números passavam a ser múltiplos de
trezentos e sessenta. Todavia, para as ordens seguintes, retoma-se o uso da base 20 estritamente, sendo que cada ordem a partir da quarta assume o valor vinte vezes maior do que a ordem inferior. Assim, “em virtude da irregularidade da terceira ordem, a quarta posição correspondia aos múltiplos de 7.200 = 20 x 360 (e não aos 8.000 = 20 x 20 x 20), a quinta aos múltiplos de 144.000 = 20 x 7.200 (e não aos de 160.000 = 20 x 20 x 20 x 20), e assim por diante” (IFRAH, 1997, p. 640). A Figura 7 representa a escrita do número 13.495 utilizando o sistema de numeração maia.
Figura 7: Representação do número 13.495 no sistema numérico maia
Fonte: Ifrah, 1997, p. 640
Os maias eram muito interessados na astronomia e na contagem do tempo, isso pode justificar a troca de base nas ordens superiores dos números. Conforme o que afirma Stewart,
Os maias fizeram uso considerável dos números em seu sistema de calendário, sendo um dos aspectos conhecido como Contagem Longa. Esta contagem atribui uma data a cada dia contando quantos dias se passaram desde a data mítica da Criação, que teria sido 11 de agosto de 3114 a.C. no corrente calendário ocidental. Nesse sistema um símbolo para o zero é essencial para evitar a ambiguidade. (STEWART, 2016, p. 145-146).
No nosso sistema de numeração decimal, o zero apresenta o atributo de operador aritmético, pois se operarmos 17 x 10 obteremos 170 como resultado, acrescentando um zero ao final do número inicialmente multiplicado. Apesar de utilizar um sistema de notação posicional de base vinte e apresentar um símbolo para o zero, os maias não podiam utilizar o zero como operador aritmético, uma vez que a irregularidade do sistema a partir da terceira ordem mudava a estrutura das operações em todo o sistema. Dessa forma, o zero utilizado pelos maias não podia ser utilizado em cálculos matemáticos, o que impediu essa civilização de aproveitar mais atributos desse sistema de numeração.
3.1.3 Hindus
Aproximadamente no século V da era Cristã, os sábios hindus já haviam descoberto, por meio da representação dos números em língua materna, o sistema posicional e o zero (sunya, que significa vazio), bem como atribuíam um algarismo diferente e independente de identificação visual para cada unidade. No entanto, essas descobertas ainda não garantiram a formação do SND como conhecemos hoje, pois inicialmente só era válido para a representação numérica em língua materna, não para a representação utilizando algarismos.
Os indianos utilizavam um sistema aditivo e de base dez. Os símbolos que eles adotavam não eram suficientes para escrever números “grandes”, que eram utilizados na astronomia. Então começaram a representar os números por meio da escrita em língua materna, atribuindo um nome para cada número inteiro de 1 a 9 e para os múltiplos de dez. A escrita era feita da esquerda para a direita. Assim, de acordo com Guimarães (2008, p. 46),
Ainda numa forma verbal, nasceu o sistema de posição indiano. Para a escrita de números como 301 não bastava dizer “Um, Três”, facilmente os sábios indianos contornaram essa situação recorrendo a palavra sunya, que significa vazio. E então o 301 era escrito por: eka sunya tri (“um.vazio.três”).
Inicialmente, os hindus admitiam a existência do zero e precisavam de algo para representá-lo, então passaram a utilizar a língua escrita para se referir a ele. Astrônomos hindus o denominavam como “kha” (posição), “ambara” (céu), “akasa” (atmosfera) e “sunya” (vazio), que posteriormente se tornou o nome mais utilizado para se referir ao zero (KAPLAN, 2001).
Como não havia um padrão na escrita dos algarismos, podendo gerar enganos na compreensão dos números, os hindus utilizaram por muito tempo os algarismos escritos em língua materna. Contudo, esse sistema dificultava a realização das operações matemáticas. Para isso, eles utilizavam o ábaco de colunas, nas quais eram escritos os símbolos que eles inventaram para representar os números antes da escrita, deixando uma coluna vazia na falta de alguma ordem (Figura 8) e conseguiam operar com esses símbolos (IFRAH, 1994).
Figura 8: Ábaco de colunas utilizado pelos hindus
Aproximadamente no início do século VI d.C., os calculadores da Índia perceberam que poderiam fazer os mesmos cálculos trocando as palavras pelos símbolos e criando uma representação para o zero, que primeiramente era um ponto e depois passou a ser um pequeno círculo. Desta maneira surgiu o sistema de numeração posicional indiano e o nosso símbolo atual para representar o zero. (IFRAH, 1994).
Com o sistema de numeração posicional estabelecido, os indianos começaram a praticar os cálculos aritméticos nesse novo sistema. Surgiram as primeiras observações com relação ao comportamento dos números nas operações, inclusive com o zero. Kaplan afirma que os matemáticos indianos queriam compreender a relação do zero com os outros números, não somente estabelecer um símbolo para o nada. Então os indianos começaram a descrever o comportamento do zero com outros números e entre os próprios números, criando leis de interação entre eles. “Mahavira explica isso de forma expressiva quando diz que ‘o zero se torna o mesmo que é adicionado a ele’” (KAPLAN, 2001, p. 76). Ainda conforme o mesmo autor:
O que caracteriza a atividade viva de fazer matemática é que, para ser um número, qualquer coisa tem de se socializar com os números que já existem, ser capaz de pelo menos trocar amabilidades com os nativos. Ele deve se combinar com os outros de todas as formas conhecidas. Para que o zero seja um poder de mesmo status que aquilo a que ele dá poder, temos de entender como somar, subtrair e multiplicar e dividir com ele, para início de conversa, e foi exatamente isso que os matemáticos indianos fizeram. [...] Conforme a arte do cálculo desenvolvia uma genealogia da teoria, o zero e os números evoluíram em direção um ao outro. (p. 77).
Os matemáticos indianos foram os primeiros a tentar estabelecer essas relações numéricas. Temos como exemplo Brahmagupta, que, por volta de 600 d.C., dizia que um número subtraído dele mesmo teria zero como resultado. Já Mahavira, aproximadamente em 850 d.C., afirmava que a multiplicação de qualquer número por zero teria como resultado o zero e que a subtração por zero manteria o número sem alterações.
Com relação à divisão existiam controvérsias de pensamento entre eles. Mahavira assegurava que na divisão de um número por zero o resultado seria o próprio número. Segundo Gundlach (1992, p. 13):
Essa afirmação parece conter já a essência do conceito de zero como “elemento neutro da adição”, e é interessante observar que Mahavira considera que a divisão por zero tem o mesmo efeito que a adição e a subtração de zero – ou seja, que não tem nenhum efeito sobre o número sobre o qual opera, como divisor.
Bhaskara, 300 anos após Mahavira, anunciava que a divisão de qualquer número por zero obteria como resposta o infinito, contrapondo a afirmação de Mahavira. Os matemáticos
da época evitavam fazer assertivas sobre a divisão, principalmente por zero, pois diziam que não havia sentido.
Desde seus primórdios podemos notar que o zero era motivo de discórdia e de dúvidas entre os estudiosos, principalmente no que concerne às operações aritméticas.
3.1.4 Árabes
O povo árabe teve um papel muito importante no resgate dos conhecimentos das civilizações antigas. Muito estudiosos, se apropriavam dos saberes constituídos nos locais que conquistavam. Salvaram e traduziram para o árabe várias obras literárias e científicas dos gregos, judeus e babilônios, que não chegariam ao nosso conhecimento por terem suas obras originais perdidas. Mesmo com tudo isso, o conhecimento do sistema de numeração hindu foi determinante. Os sábios árabes não somente traduziam os textos. Além disso, teciam comentários e misturavam os conhecimentos e técnicas que acumularam desses povos antigos, auxiliando no progresso das ciências (IFRAH, 1994).
Na Figura 9 percebemos a evolução da escrita dos algarismos indo-arábicos para os mais próximos do que usamos atualmente.
Figura 9: Evolução da escrita dos algarismos indo-arábicos através do tempo
Fonte: Ifrah, 1994, p. 310
Famosos mercadores, os árabes possivelmente tenham conhecido o zero, os números e o sistema posicional em viagens a negócios para a Índia, no final do século VIII d.C. Utilizavam
esse sistema principalmente nas transações comerciais, primeiramente como registro dos resultados das operações encontradas em tabuleiros de contagem. Em seguida começaram a empregá-lo diretamente nos cálculos. Foram os responsáveis por disseminar esse sistema pelo mundo. Por este motivo, os números que empregamos atualmente ficaram conhecidos como algarismos indo-arábicos (IFRAH, 1994).
3.1.5 Idade Média
Nessa época, tudo que vinha do Oriente era mal visto pelos povos Ocidentais, pois na visão deles essa região era dotada de misticismo e a Europa tinha, como religião predominante, o catolicismo, que relegava tudo que consideravam misticismo e seus correlatos. Durante a Idade Média o conhecimento ficou centralizado nos centros religiosos, sendo poucos os privilegiados que aprendiam a ler e não faziam parte do clero. Aproximadamente no século IX os religiosos estudiosos europeus já haviam tido contato com o sistema de numeração indiano trazido pelos árabes, mas preferiram manter seus antigos modos de calcular (IFRAH, 1994). Portanto, o sistema de numeração decimal e o zero vindo do Oriente não foram bem aceitos e não eram utilizados no cotidiano das pessoas, somente os comerciantes os manipulavam, porém de maneira disfarçada.
No século XII, Fibonacci, o mercador, ao voltar de suas viagens pelo Oriente, escreveu um livro expondo tudo o que aprendeu em Matemática, principalmente o sistema de numeração hindu. No livro, Fibonacci introduziu os nove algarismos hindus. No entanto, referia-se ao zero como um sinal. Realizou explorações com esses números, escrevendo sequências numéricas que são conhecidas até hoje como as sequências de Fibonacci, que são muito encontradas na natureza.
Com a expansão do comércio, cada vez mais os cálculos demandavam maior destreza e exatidão. Os comerciantes necessitavam realizar contas de débito e crédito de seus clientes e o zero exercia papel de balança: quando a soma dos débitos e créditos resultava em zero, o cliente estava com suas dívidas pagas.
Aproximadamente no século XVI, com o final da Idade Média e início da Idade Moderna, o zero passou a ser considerado um número, quando os algoristas, que eram pessoas adeptas ao uso dos algarismos hindus para calcular, conseguiram mostrar que realizar cálculos com os algarismos indo-arábicos era mais prático e rápido do que com o ábaco, que era defendido pelos abacistas. Mesmo com essa demonstração de destreza ao realizar as operações
com os algarismos hindus, algumas pessoas resistiram a esse novo método e continuaram utilizando o ábaco para operar com os números (IFRAH, 1994).
3.1.6 A potencialidade do uso da história e os obstáculos no ensino de Matemática
Acreditamos que essa breve contextualização histórica concernente à origem do Sistema de Numeração Decimal e, em particular, do número zero seja de fundamental importância para a nossa pesquisa, pois percebemos que a aquisição desses conceitos pelos povos foi historicamente lenta e sofreu influências de várias civilizações até chegar ao SND que utilizamos atualmente. Além disso, o percurso histórico permite observar as dificuldades na constituição do significado para o zero e fornece indícios das dificuldades dos educandos na sua manipulação. De fato, abordar essas questões com os alunos nas aulas de Matemática pode facilitar uma melhor compreensão por parte deles sobre a construção humana e histórica que é o conhecimento matemático, que passa por conjecturas e hipóteses até chegar à concepção formal do saber.
Em relação à potencialidade do uso da história da Matemática para o ensino, Roque afirma que os conteúdos presentes nos currículos de Matemática da educação básica e até do nível superior permitem
[...] analisar o momento no qual os conceitos foram criados e como os resultados, que hoje consideramos clássicos, foram demonstrados, contrabalançando a concepção tradicional que se tem da matemática como um saber operacional, técnico ou abstrato. A história da matemática pode perfeitamente tirar do esconderijo os problemas que constituem o campo de experiência do matemático, ou seja, o lado concreto do seu fazer, a fim de que possamos entender melhor o sentido de seus conceitos (ROQUE, 2012, p. 33).
A história da Matemática pode ser uma ferramenta que fornece suporte para as aulas de Matemática. Todavia, como afirmam Miguel e Miorin (2004), não podemos ter a “visão ingênua” de que somente o uso da história da Matemática como recurso despertará o interesse dos alunos, motivando-os a aprender os conceitos matemáticos que foram desenvolvidos em contextos sociais e culturais diferentes dos nossos, que atualmente é permeado por evoluções tecnológicas constantes. Se o ensino da história por si só tivesse esse potencial motivador inerente, os professores dessa disciplina não enfrentariam os mesmos problemas de desinteresse dos educandos durante suas aulas.
Segundo Miguel e Miorin (2004), a partir do século XIX o chamado “princípio genético” foi largamente utilizado para justificar a inserção da história no processo de ensino da Matemática
nas escolas. O “princípio genético” é uma adaptação da “lei biogenética” de Ernest Haekel (1834-1919), na qual diz que o indivíduo na fase embrionária passa pelos mesmos estágios de evolução pelos quais seus ancestrais também passaram. Na interpretação pedagógica, os sujeitos passariam pelos mesmos processos que a humanidade teria passado para construir os conceitos, ou seja, para aprender Matemática o educando teria que refazer os passos dos matemáticos ou estudiosos da época para compreender a elaboração desses conhecimentos.
Radford assegura que a utilização do “princípio genético” (que ele denomina de recapitulacionismo) para inserir a história nas aulas de Matemática não é suficiente, pois não basta somente inserir o indivíduo no contexto histórico da época. Ao contrário, existem diferenças culturais que dificultam a compreensão do processo de construção do conhecimento e do objeto matemático em si, que são consideradas irrelevantes no “princípio genético”. Segundo ele, “[...] a concepção cultural da Matemática determina não apenas a função social do conhecimento matemático, mas também – a um nível mais abstrato – a concepção dos próprios objetos matemáticos” (RADFORD, 2011, p. 82).
Assim como Radford, Miguel e Miorin também acreditam que somente o “princípio genético” não basta para auxiliar na construção do conhecimento matemático, pois entendem
[...] ser possível buscar na história da Matemática apoio para se atingir, com os alunos, objetivos pedagógicos que os levem a perceber, por exemplo: (1) a matemática como uma criação humana; (2) as razões pelas quais as pessoas fazem matemática; (3) as necessidades práticas, sociais, econômicas e físicas que servem ao desenvolvimento das idéias matemáticas; (4) as conexões existentes entre a matemática e a filosofia, matemática e religião, matemática e lógica, etc.; (5) a curiosidade estritamente intelectual que pode levar à generalização e extensão de idéias e teorias; (6) as percepções que os matemáticos têm do próprio objeto da matemática, as quais mudam e se desenvolvem ao longo do tempo; (7) a natureza de uma estrutura, de uma axiomatização e de uma prova (MIGUEL; MIORIN, 2004, p. 53).
No caso da nossa pesquisa, como não pretendemos realizar uma investigação histórica, entendemos que os três primeiros objetivos pedagógicos supracitados se adequariam aos nossos propósitos, já que estão relacionados aos motivos pelos quais a humanidade sentiu a necessidade de desenvolver e aprimorar os conhecimentos matemáticos no decorrer da nossa história, que foi explicitado no início desse capítulo, na breve contextualização histórica apresentada.
De acordo com Miguel e Miorin, nas orientações didáticas do PCN de Matemática para o terceiro e quarto ciclo do Ensino Fundamental, ou seja, para os anos finais do Ensino Fundamental (do 6º ao 9º ano), fica implícita a opção de abordar a história dos conceitos matemáticos pelo trabalho com os obstáculos epistemológicos. Esse obstáculo foi inicialmente definido por Gaston
Bachelard (1884-1962) para o estudo científico e esse conceito foi trazido para a Educação Matemática por Brousseau (2008, p. 49), que o define como
Um obstáculo é um “conhecimento” no sentido que lhe demos de “forma regular de considerar um conjunto de situações”.
Tal conhecimento dá resultados corretos ou vantagens observáveis em um determinado contexto, mas revela-se falso ou totalmente inadequado em um contexto novo ou mais amplo.
O conhecimento novo, verdadeiro ou válido sobre um contexto mais amplo não é determinado “de acordo com” o conhecimento anterior, mas em oposição a ele: utiliza outros pontos de vista, outros métodos etc. Entre eles não existem relações “lógicas” evidentes que permitam desacreditar facilmente o erro antigo por meio do conhecimento novo. Ao contrário, a competição entre eles acontece no primeiro contexto.
Os conhecimentos aqui considerados não são construções pessoais variáveis, mas, sim, respostas “universais” em contextos precisos. Portanto, surgem quase necessariamente na origem de um saber, seja ela histórica ou didática.
Brousseau afirma ainda que os obstáculos surgem pelos erros que o sujeito comete baseado em um conhecimento anterior que era válido em outro domínio conceitual, como, por exemplo, na aprendizagem dos números racionais na sua forma decimal. Geralmente os alunos transpõem os atributos que são válidos no conjunto dos números naturais para o conjunto dos números racionais, no qual essas características não apresentam a mesma validade, gerando erros e obstáculos na aprendizagem desse novo conjunto numérico. Portanto, os obstáculos fazem parte do processo de aquisição de um novo conhecimento, sendo “um conhecimento perfeitamente legítimo e inevitável” (BROUSSEAU, 2008, p. 50).
Segundo Almouloud (2007), Brousseau define quatro tipos de obstáculos: os epistemológicos, que são constitutivos do conhecimento; os didáticos, que dependem das escolhas didáticas feitas pelo educador no processo de ensino; os psicológicos, que levam a uma desestabilização das representações do sujeito; e os ontogênicos, que dependem das limitações que o indivíduo apresenta em certa fase da vida, podendo ser neurológicas ou de outra natureza.
Baseados no breve contexto histórico e nas pesquisas citadas na revisão bibliográfica de nossa pesquisa podemos levantar a hipótese de que o número zero tem a possibilidade de ser considerado um obstáculo, pois pode ser a causa de dúvidas no processo de aprendizagem de conceitos matemáticos. Todavia, não temos indícios suficientes para definir se o número zero é um obstáculo epistemológico ou didático. Temos a clareza de que nossa pesquisa não tem como objetivo e nem apresenta características que bastam para afirmar isso, pois demandaria estudos epistemológicos, históricos e didáticos específicos sobre o número zero. Mesmo assim, tal hipótese pode ser uma perspectiva para pesquisas futuras. A história do número zero ainda percorre uma trajetória sinuosa, passando pelas equações, pelo conceito de limite, pela Física,
pelo sistema binário, entre outras situações que não fazem parte do objetivo dessa investigação, e que também podem ser mais bem estudadas em outras pesquisas.
Com isso podemos inferir que o conhecimento da história da Matemática em relação aos sistemas de numeração auxilia o professor a compreender os obstáculos concernentes à construção do conhecimento do nosso SND e do número zero, além de ser importante aos alunos na construção desses conceitos matemáticos.
Na Figura 10 vemos a classificação do zero e a comparação das propriedades desse número em cada sistema adotado na história de alguns povos antigos, discutidos nessa seção, até os dias atuais.
Fonte: Ifrah, 1994, p. 294
