Matemática
Financeira
FGV – MATEMÁTICA FINANCEIRA – 2016.2 2
Sumário
Capítulo I. Introdução à Apostila ... 4 Capítulo II. Fundamentos da Matemática Financeira ... 5 2.1. INTRODUÇÃO ... 5 2.2. CAPITAL, NÚMERO DE PERÍODOS, JURO, MONTANTE, TAXA DE JUROS e FLUXO DE CAIXA. ... 5 Capítulo III. Juros Simples ... 8 EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO III ... 10 Capítulo IV. Juros Compostos ... 13 4.1. JUROS COMPOSTOS ... 13 4.2. JUROS COMPOSTOS NA HP 12C ... 14 EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO IV ... 16 Capítulo V. Taxas Equivalentes ... 20 5.1. TAXAS EQUIVALENTES EM JUROS SIMPLES ... 20 5.2. TAXAS EQUIVALENTES EM JUROS COMPOSTOS ... 21 EXERCÍCIOS DO CAOÍTULO V ... 22 Capítulo VI. Desconto Simples (Desconto Comercial) ... 24 EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO VI ... 25 Capítulo VII. Taxa Efetiva e Taxa Real ... 30 7.1. TAXA EFETIVA ... 30 7.2. TAXA REAL ... 30 EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO VII ... 33 Capítulo VIII. Sequência de Capitais ... 37 8.1. SEQUÊNCIAS UNIFORMES POSTECIPADAS – PMT´s ... 37 8.2. SEQUÊNCIAS UNIFORMES ANTECIPADAS – PMT´s ... 40 8.3. SEQUÊNCIAS UNIFORMES COM PARCELAS DIFERIDAS OU PARCELAS BALÃO ... 43 EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO VIII ... 46FGV – MATEMÁTICA FINANCEIRA – 2016.2 3 Capítulo IX. Equivalência de Capitais ... 50 9.1. VALOR PRESENTE E VALOR FUTURO ... 50 9.2. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS ... 50 9.3. VALOR PRESENTE LÍQUIDO DE UM CONJUNTO DE CAPITAIS (VPL / NPV) ... 51 9.3.1. VALOR PRESENTE LÍQUIDO DE UM CONJUNTO DE CAPITAIS (VPL / NPV) – HP 12C .... 53 9.4. TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR / IRR) ... 55 9.4.1. TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR / IRR) – HP 12C ... 57 EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO IX ... 60 Capítulo X. Sistemas de Amortizações ... 65 10.1. INTRODUÇÃO À AMORTIZAÇÃO ... 65 10.2. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC ... 65 10.3. TABELA PRICE OU SISTEMA FRANCÊS ... 66 10.4. SISTEMA AMERICANO ... 68 EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO X ... 69 GABARITOS ... 73
FGV – MATEMÁTICA FINANCEIRA – 2016.2 4 Capítulo I. Introdução à Apostila Caro aluno, Procurando atender cada vez mais as necessidades dos recém universitários, a Equipe Dáskalos decidiu sintetizar os principais assuntos de Matemática Financeira. O resultado foi essa apostila, a qual busca dar introdução teórica mais resumida do que a encontrada em um livro. Apesar disso, esta apostila não dispensa outras fontes de estudo tais como aula, livro, etc. Além da teoria, a apostila está repleta de exercícios baseados nos principais conteúdos e no histórico de provas. Alguns destes exercícios estão resolvidos como exemplo na apostila. Outros, porém, contém apenas gabarito. Desejamos a você bons estudos, um ótimo início de faculdade e um excelente resultado nas provas. Equipe de Matemática Financeira do Dáskalos
FGV – MATEMÁTICA FINANCEIRA – 2016.2 5 Capítulo II. Fundamentos da Matemática Financeira 2.1. INTRODUÇÃO A Matemática Financeira estuda como o valor do dinheiro muda com o tempo, com aplicações financeiras (investimentos) ou parcelamentos. Imagine que você pode escolher entre: • Receber R$100 hoje. • Receber R$100 em um ano. Qual a melhor escolha? Supondo um cenário onde se pode aplicar o dinheiro a uma taxa i=10%a.a. R$ 100 hoje equivale a R$ 110 daqui a 1 ano. Assim, dinheiro hoje sempre vale mais do que dinheiro amanhã. Quanto mais? Tudo depende das taxas de juros obtidas. Desse modo, abstraímos um dos principais conceitos da matemática financeira: O DINHEIRO TEM VALOR NO TEMPO. Sabendo-se que essa é a base de toda a Matemática Financeira, desenvolveremos ao longo da apostila conceitos que envolvem, basicamente, valores monetários, taxas e o tempo. Tais análises são fundamentais tanto para pessoas físicas quanto para empresas, afim de entender o que realmente está por trás de qualquer operação financeira.
2.2. TERMOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
Capital (C): É o valor inicial que um agente possuí, seja como caixa livre – que pode ser movimentado a qualquer momento, ou como investimento. Caso o agente não possua capital, esse pode ser obtido no mercado – emprestado.
Número de Períodos (n): É o número de períodos, que pode ser expresso em dias, meses, anos, ou qualquer outra medida de tempo, presente em determinada operação financeira.
Juro (J): Custo do empréstimo para o tomador (agente obteve dinheiro emprestado) e remuneração para o emprestador (agente que emprestou seu capital).
Montante (M): É o valor final que o tomador de empréstimo paga ao emprestador à M=C+J Taxa de Juros (i): Do inglês interest, é a alíquota do juro em determinado período, expresso em porcentagem. Essa taxa é, geralmente, aplicada sobre determinado capital. Matematicamente: J=C.i
Fluxo de Caixa: É a representação de operações financeiras, podendo ser expresso graficamente, tendo no eixo “X” o tempo, ou por meio de uma tabela.
Ciente dos termos utilizados em matemática financeira, vejamos um exemplo resolvido que permite uma visualização prática da aplicação dos termos:
FGV – MATEMÁTICA FINANCEIRA – 2016.2 6 Exemplo resolvido 1: Considere que uma pessoa aplica R$ 1.000 em um fundo de investimentos por 12 meses e, após este período, recebe R$ 1.100. Desenhe o fluxo de caixa, determine o capital, montante, juro e taxa de juros.
FGV – MATEMÁTICA FINANCEIRA – 2016.2 7 Solução: Dessa forma, a Taxa de Juros (i) é de 10%. Como chegamos a esse resultado? !" $ = &. (, *+,+ ( = $ & Dica: Em Matemática Financeira, utilizamos termos para denominar cada tipo de operação e descrever cada característica do item sobre o qual tratamos. Por exemplo, para denominar o Capital, às vezes, utiliza-se o termo Valor Presente ou Valor Investido. Para denominar o Montante, às vezes, utiliza-se o termo Valor Futuro ou Valor Nominal. Outros sinônimos podem aparecer.
FGV – MATEMÁTICA FINANCEIRA – 2016.2 8 Capítulo III. Juros Simples Há dois tipos de regimes de capitalização: o simples e o composto. O regime de capitalização simples é aquele onde o juro gerado em cada período é constante e a base de cálculo é sempre o capital inicial. Já no regime de capitalização composto, o juro gerado no primeiro período é considerado para determinar o juro do segundo período. Assim, há incidência de juro sobre o juros gerado no período anterior.
Nesse capítulo trataremos do juros simples, os quais são calculados utilizando o regime de capitalização simples. Dessa forma, como introduzido, o juro sempre incide sobre o valor inicial aplicado ou emprestado (capital), resultando em Juros Constantes. Matematicamente: $ = &. ( Assim, caso determinado capital seja aplicado a uma determinada taxa de juro, o montante será dado por: - = . + 0. 1 - = . + (.. 3). 1 5 = & (6 + (. 7) Perceba que na demonstração anterior, como já introduzido, o n significa o número de períodos pelo qual o dinheiro ficou aplicado / emprestado. Note também que o número de períodos está multiplicando a taxa de juros i. Ademais, M representa o montante, ou seja, o capital acrescido de juros. Desse modo, se um Capital fica aplicado a uma taxa de juros i de 10% a.m. durante 12 meses, o montante será o capital mais 120% de juro sobre o capital (10% a.m. x 12 meses).
Exemplo resolvido 1: Utilizando o conceito de juros simples, calcule o montante e o juros recebido em uma aplicação financeira de R$ 10.000,00, durante 3 meses a uma taxa de 2%a.m.
FGV – MATEMÁTICA FINANCEIRA – 2016.2 9 Solução: Dados: . = 10.000 i = 2% n = 3 Juro recebido em cada mês: J = .. 3 = 200 Juro recebido no período: J = .. 3 1 = @AA Montante: - = . 1 + 3. 1 = 6A. @AA
FGV – MATEMÁTICA FINANCEIRA – 2016.2 10 EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO III 1) Um investidor aplicou R$200.000 em dólares americanos. Após algum tempo, vendeu os dólares adquiridos e obteve R$240.000 com essa operação de câmbio. Qual foi a taxa de juro obtida pelo investidor no período? 2) Um capital de R$15.000 foi aplicado a taxa de 3% a.m. (JS) durante um trimestre. Qual o valor do montante?
3) Um investidor aplicou R$20.000 em um ações XPTO. O capital sofreu uma desvalorização de 76% no período. Qual é o valor do montante? 4) Ana fez uma aplicação de R$50.000 a taxa de 12% a.a. em um fundo de investimentos. O prazo da aplicação foi de 2 trimestres. Qual o valor resgatado por Ana? 5) Qual é a melhor alternativa: investir R$10.000 a uma taxa de 12% a.a. (juro simples) durante 4 meses ou investir o mesmo valor pelo mesmo período a uma taxa de 12% a.a. no regime de juro composto? (se necessário, vide capítulo quatro).
FGV – MATEMÁTICA FINANCEIRA – 2016.2 11 6) Calcule os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias (se necessário, vide capítulo cinco). 7) Qual o capital que, aplicado a juros simples de 1,2% a.m., rende R$3.500,00 de juros em 75 dias? 8) Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado por meio de capitalização simples? 9) Uma investidora aplicou um capital de R$ 1.200,00 a uma taxa de 2% ao mês durante 14 meses. Determine os juros e o montante dessa aplicação: 10) Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos, sob taxa de juros de 5% ao mês, gerou um montante de R$ 26.950,00. Determine o valor do capital aplicado.
FGV – MATEMÁTICA FINANCEIRA – 2016.2 12 11) Um investidor aplicou a quantia de R$ 500,00 em um fundo de investimento que opera no regime de juros simples. Após 6 meses o investidor verificou que o montante era de R$ 560,00. Qual a taxa de juros desse fundo de investimento? 12) Determinada quantia foi aplicada a juros simples de 6% ao mês, durante 5 meses e, em seguida, o montante foi aplicado durante mais 5 meses, a juros simples de 4% ao mês. No final dos 10 meses, o novo montante foi de R$ 234,00. Qual o valor da quantia aplicada inicialmente?
FGV – MATEMÁTICA FINANCEIRA – 2016.2 13 Capítulo IV. Juros Compostos 4.1. JUROS COMPOSTOS Os juros compostos são calculados utilizando o regime de capitalização composta, onde o juro do período anterior agrega-se ao montante do período seguinte. Desta forma, o juro do período é sempre calculado sobre o capital adicionado de todos os juros que incidiram sobre o mesmo capital nos períodos anteriores, de forma que temos juros incidindo sobre juros. Podemos resumir tal movimento da seguinte maneira: Exemplificando em números, note que o valor do juros se altera em cada período.
FGV – MATEMÁTICA FINANCEIRA – 2016.2 14 4.2. JUROS COMPOSTOS NA HP 12C
Para facilitar o cálculo dos juros compostos utilizamos calculadoras financeiras. Por padrão, utilizaremos a HP 12C para exemplificar o uso dessas ferramentas, uma vez que é a calculadora mais utilizada pelos alunos. Para isso, deve-se aprender a utilização das teclas financeiras, as quais são utilizadas para esse tipo de cálculo: Como introduzido no Capítulo II, as teclas destacadas significam respectivamente: n = Número de períodos ao qual se refere o cálculo. i = Taxa de Juro Composto, do inglês interest.
FGV – MATEMÁTICA FINANCEIRA – 2016.2 15 PV = Valor Presente ou Capital, do inglês present value. FV = Montante, Valor Futuro ou Valor Nominal, do inglês future value. Exemplo 1: Utilizando a Calculadora Financeira, calcule o montante e o juros recebido em uma aplicação financeira de R$ 10.000,00, durante 3 meses, a uma taxa de 2% a.m. em juros compostos. Solução: Cálculo através da fórmula: Dados: . = 10.000; i = 2%; n = 3 - = . ∗ (1 + 3)Cà- = 10000 ∗ (1 + 0,02)D
5 = 6A. @6E, AF à G = @6E, AF Cálculo através da HP 12C: Dados: . = 10.000; i = 2%; n = 3
FGV – MATEMÁTICA FINANCEIRA – 2016.2 16 EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO IV 1) Um capital no valor de R$30.000 foi aplicado a taxa de juro composto de 3% a.m. durante 20 meses (JC). Qual o montante do investimento? 2) Joseph investiu R$500.000,00 em um fundo de renda fixa à taxa de juro composto de 2% ao mês, por 65 dias. Entretanto, no momento de resgatar o investimento, o banco efetuou a cobrança de uma taxa de administração de 0,95% sobre o valor aplicado, além de ter recolhido imposto de renda, equivalente a 27,5%, sobre o rendimento. a) Qual o montante do investimento? b) Qual o valor líquido resgatado? 3) Um capital aplicado a taxa de 1% a.m. (JC) durante 9 meses resultou em juro de R$15.000. Qual o valor do capital?
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