Sumário
Matemática Financeira
Unidade I
1 INTRODUÇÃO: CONCEITOS BÁSICOS ...4
1.1 Proporcionalidade de taxas ...6
2 JUROS SIMPLES ...9
2.1 Valor atual (A) e Valor nominal (N): ... 10
2.2 Juro exato e juro comercial ...11
2.3 Equivalência de taxas ...11
3 DESCONTO SIMPLES RACIONAL ... 17
3.1 Desconto simples ... 17
3.2 Desconto simples racional ou por dentro ... 18
4 DESCONTO SIMPLES COMERCIAL ... 22
4.1 Desconto simples comercial ou por fora ... 22
Unidade II 5 DESCONTO SIMPLES BANCÁRIO ... 25
6 TAXA EFETIVA NA OPERAÇÃO DE DESCONTO ... 27
6.1 Taxa efetiva nos descontos simples comercial e bancário ... 27
7 JUROS COMPOSTOS ... 31
7.1 Valor atual (A) e Valor nominal (N) ... 32
7.2 Calculadoras financeiras ... 37
8 EQUIVALÊNCIA DE TAXAS A JUROS COMPOSTOS ... 38
9 CÁLCULO DO MONTANTE EM UM NÚMERO FRACIONÁRIO DE PERÍODOS ... 41
9.1 Período de capitalização diferente do período da taxa ... 43
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Unidade I
5 10 15 20 INTRODUÇÃONATUREZA E OBJETIVO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
Cada valor financeiro está vinculado a uma data determinada. Toda vez que a data de referência de um valor é mudada, ele deve ser recalculado. A matemática financeira estuda as relações entre os valores financeiros e suas datas.
Desde o aparecimento das sobras dos bens de consumo, que começaram a ser comercializados ensejando a criação das moedas de troca, a tecnologia progrediu muito, criando instrumentos de cálculo cada vez mais eficazes e eficientes, cujo aparecimento tem delegado ao ser humano, cada vez mais, a responsabilidade de análise dos resultados desses cálculos. Esse processo aposentou, nas empresas modernas, o calculista, que foi substituído pelas calculadoras programáveis, pelos microcomputadores e grandes computadores, equipados com programas de cálculo que operam com planilhas cada vez mais precisos e abrangentes, integrados com outros softwares que ajudam a cuidar do gerenciamento das empresas. Uma das evidências desse processo é o grande volume de dinheiro aplicado às estruturas de TI (Tecnologia da Informação), responsável não apenas pelos cálculos, mas também por fazer com que seus resultados cheguem às mãos de quem necessita deles.
Uma das consequências dessa evolução foi o aparecimento do manager, que analisa os dados e, baseado neles, toma as decisões que vão guiar suas empresas. O desaparecimento
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do calculista, responsável pelos dados, exigiu do tomador de decisões um conhecimento maior da origem desses cálculos e dos próprios instrumentos de cálculo.
Nós, da Universidade Paulista – UNIP, resolvemos montar este curso para ajudá-lo a desenvolver as competências necessárias para se destacar no mercado de trabalho e construir seu futuro, trabalhando naquilo que mais gosta, com os instrumentos adequados!
O curso é composto de dez capítulos e você deverá estudar um por dia, não se restringindo ao conteúdo aqui apresentado, mas consultando também a bibliografia citada no final da apostila.
Seja bem-vindo e mãos e cabeça à obra!
PLANO DE ENSINO Ementa da disciplina • Juros simples • Descontos simples • Juros compostos • Séries de capitais Objetivos da disciplina
A Matemática Financeira tem como objetivo proporcionar aos alunos o domínio dos seus conceitos e nomenclatura, bem como instrumentalizá-los no uso das fórmulas e das calculadoras financeiras, facilitando-lhes o trânsito na área de finanças, de acordo com seu perfil profissional, e servindo como base/instrumento para outras áreas do conhecimento.
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Ao final do curso, o aluno deverá ser capaz de identificar e efetuar o cálculo das operações financeiras, relacionando-as às situações do dia a dia das empresas e da sua própria vida, utilizando uma calculadora financeira.
Conteúdo programático
Importância da matemática financeira
• Aplicações
• A matemática financeira e a inflação
Fundamentos
• Taxas: percentual, unitária • Taxas proporcionais • Capital, juro e montante • Valor atual e valor nominal • Custo, lucro e venda • Regimes de capitalização • Fluxo de caixa
Juros simples
• Fórmulas do juro e do montante • Valor nominal e valor atual • Juro exato e juro comercial • Taxas equivalentes Descontos simples • Conceitos básicos 5 10 15 20
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• Desconto simples racional ou “por dentro” • Desconto simples comercial ou “por fora” • Desconto simples bancário
• Taxa de desconto e taxa efetiva
Juros compostos
• Conceito
• Fórmula do montante composto
• Valor atual e valor nominal a juros compostos • Taxas equivalentes
• Montante em um número fracionário de períodos
Séries de capitais
• Conceito • Série básica
• Valor atual da série básica • Montante da série básica
1 INTRODUÇÃO: CONCEITOS BÁSICOS
Após o estudo deste capítulo, o aluno deverá estar consciente da importância da matemática financeira em cada um dos seus aspectos básicos, identificando seu relacionamento com outras áreas por meio das suas possíveis aplicações.
Esta área da matemática é entendida como o estudo das relações dos valores financeiros com suas datas. Não podemos perder de vista que cada valor está vinculado a uma data determinada e que a alteração desta data deverá vir acompanhada do recálculo desse valor. A importância desse recálculo está
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confirmada por aspectos considerados importantes na análise econômica, como a inflação e o prazo de remuneração do capital.
Finalmente, tomamos consciência dessa importância quando entramos em contato com o volume dos recursos aplicados às estruturas computadorizadas que dão suporte a esse recálculo e fazem seus resultados chegarem às áreas de tomada de decisão, como já foi dito anteriormente. Do simples consumidor de bens vendidos por financiamentos até gestores e operadores da estrutura financeira do país, todos devem, na medida das suas necessidades, conhecer a matemática financeira.
Para acompanhar um ramo qualquer da ciência, devemos conhecer sua nomenclatura e uma série de conceitos básicos. Definiremos cada um deles abaixo:
Principal (P): capital inicial de uma aplicação.
Juro (J): valor pago ou recebido como remuneração (aluguel)
pelo uso de um capital.
Taxa de juros (r ou i): é o índice referente a uma
unidade de tempo, por meio do qual calculamos os juros; será denominada r quando for percentual (base 100) ou i quando
for de base unitária. De maneira geral, a unidade de tempo da taxa de juros é indicada de forma abreviada, podendo haver alguma confusão. Exemplos: • a.a. = ao ano • a.m. = ao mês • a.t. = ao trimestre • a.b. = ao bimestre 5 10 15 20
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Número de períodos (n): é a medida do prazo de uma
aplicação expressa na unidade de tempo da taxa de juros. Exemplo: 1 ano = 2 semestres; quatro trimestres; seis bimestres etc.
1.1 Proporcionalidade de taxas
Conceito: duas taxas de juros diferentes que se referem a
unidades de tempo diferentes são proporcionais quando seus valores estiverem na mesma razão que seus prazos.
Fórmula: i i n n 1 2 1 2 = Exemplos: • 2% ao mês e 24% ao ano • 1% ao bimestre e 3% ao semestre • 5% ao trimestre e 20% ao ano • 2% ao dia e 60% ao mês
Montante (M): é a soma do principal de uma aplicação com
o seu juro.
Custo (C): quanto se paga por uma determinada mercadoria
ou se gasta para prestar um determinado serviço.
Lucro (L): ganho adicionado ao custo da mercadoria ou
serviço para se calcular seu preço de venda.
Preço de venda (V): resultado da soma do custo com o
lucro - V = C + L.
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Ano exato: é o critério em que o prazo é contado dia a dia,
perfazendo um ano de 365 dias.
Ano comercial: é o critério em que o prazo é contado em
meses de 30 dias, totalizando um ano de 360 dias.
Fluxo de caixa: é a indicação gráfica da movimentação de
valores em um caixa, com a marcação desses valores em suas respectivas datas, sobre um eixo horizontal, por uma convenção, geralmente com setas, que demonstra se são entradas ou saídas.
Obs.: De uma forma simplista, podemos considerar o preço de venda de um bem como a soma do custo com o lucro, que por sua vez poderá ser calculado como um percentual do custo ou do preço de venda. O cálculo do lucro, tendo por base o preço de venda, é importante por ser a base conceitual de remuneração de vendedores comissionados e também de tributos embutidos no preço de venda das mercadorias e dos serviços.
Em síntese, de posse do instrumental, devemos analisar de que forma poderemos utilizá-lo. Trabalharemos com dois critérios diferentes de recálculo, a saber:
1. juros simples; 2. juros compostos.
Aplicações:
a. Por quanto devo vender um bem que custou R$ 100,00 se quiser ter um lucro de 15% do preço de custo?
V = C + L V = 100 + 0,15 x 100 = R$ 115,00 Resposta: Devo vender o bem por R$ 115,00.
Muito cuidado ao usar a calculadora! Para uma precisão coerente com nossos cálculos devemos utilizar todos os dígitos que podem ser mostrados no visor, arredondando apenas a resposta final. 5 10 15 20 25
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b. Por quanto devo vender um bem que custou R$ 250,00 se quiser ter um lucro de 25% do preço de venda?
V = C + L V = 250 + 0,25.V V – 0,25.V = 250
0,75.V = 250
V = 250/0,75 = R$ 333,33
R.: Devo vender o bem por R$ 333,33.
c. Quanto paguei por um bem vendido por R$ 500,00 se tive um lucro de 10% do preço de venda?
V = C + L 500 = C + 0,10.500 C = 500 – 50 = R$ 450,00
R.: Paguei R$ 450,00 pelo bem. Exercícios propostos
São exercícios para você exercitar seus conceitos e sua habilidade operacional e de cálculo. Bom trabalho! Os dados entre parênteses são as respostas.
1. Por quanto devo vender um artigo de custo R$ 60.000,00 para ter 30% de lucro sobre o preço de venda? (R$ 85.714,29)
2. Por quanto devo vender um bem que custou R$ 80,00 se quero ter de lucro 20% do preço de custo? (R$ 96,00)
3. Um bem adquirido por R$ 150,00 foi vendido por R$ 180,00. Calcule o percentual de lucro dessa venda tendo por base seu custo. (20%)
4. Em uma venda de um bem por R$ 200,00, 30% do preço de custo é o lucro. Calcule o preço de custo. (R$ 153,85)
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5. Na venda de um bem por R$ 240,00, 25% do preço de venda é o lucro. Quanto custou esse bem? (R$ 180,00)
6. Um bem adquirido por R$ 150,00 foi vendido por R$ 180,00. Calcule o percentual de lucro dessa venda tendo por base seu preço de venda. (16.67%)
2 JUROS SIMPLES
Ao final deste capítulo, o aluno deverá ser capaz de identificar os casos de juros simples e aplicar as fórmulas adequadas ao
seu cálculo, interpretando os resultados obtidos.
A modalidade de cálculo de juros denominada simples tem
sua aplicação no cálculo de dívidas de empresas e de países, tendo uma aplicação restrita no caso das dívidas tributárias de pessoas físicas. Esse conceito reveste-se de especial importância quando aparece, em algumas situações, agregado ao do juro composto.
Conceito: segundo o critério de cálculo de juros denominado
simples, o juro de todos os períodos da aplicação somente é adicionado ao principal para constituir o montante ao final da aplicação. Em todos os períodos, o juro é calculado aplicando-se a taxa sobre o principal.
Como consequência dessa definição, esse critério também é denominado:
• juro não capitalizado; • juro linear;
• juro proporcional.
Todos os períodos rendem o mesmo valor de juros.
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O juro total é diretamente proporcional à taxa e ao número de períodos da aplicação.
Fórmulas:
1. Juro: como cada período renderá juro igual ao principal
vezes a taxa de juros, em uma aplicação de n períodos, teremos o juro total igual a:
J = P.i.n
2. Montante: será a soma do principal do período com o
seu juro:
M = P + J M = P + P.i.n
M = P + (1 + i.n)
2.1 Valor atual (A) e valor nominal (N):
Existe uma forte segmentação na sociedade em quase todos os aspectos. Essa característica se acentua quando analisamos a linguagem em função do trabalho que a pessoa realiza. Depois de algum tempo na área financeira, conseguimos identificar a área de trabalho dos profissionais por meio do seu vocabulário. Profissionais que atuam na área de investimentos utilizam as expressões ‘montante’ e ‘principal’ ou ‘capital’. Profissionais das áreas de financiamento e pagamento preferem os vocábulos ‘atual’ e ‘nominal’.
Definimos o atual como um valor da dívida antes da data de vencimento e o nominal como seu valor na própria data de vencimento. O nominal está associado a uma ideia de valor futuro, de montante do valor atual correspondente no prazo de antecipação do pagamento da dívida. Reforçando os conceitos,
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podemos afirmar que o valor nominal de uma dívida é o seu
valor na data de vencimento e o valor atual é o seu valor antes
da data de vencimento, e que o valor nominal é o montante de cada um dos valores atuais da dívida.
Operacionalmente, podemos escrever:
N = A.(1 + i.n) ou A = N/(1 + i.n)
2.2 Juro exato e juro comercial
De acordo com a contagem do prazo em anos, teremos: • juro exato para anos contados como de 365 dias;
aplicado em operações de curto prazo, como descontos de duplicadas e de cheques;
• juro comercial para meses de trinta dias, perfazendo um ano de 360 dias; aplicado em situações que envolvem o consumidor final, como a caderneta de poupança.
2.3 Equivalência de taxas
Conceito: duas taxas de juros diferentes, referentes a
unidades de tempo diferentes, são equivalentes quando, a partir do mesmo principal, no mesmo prazo, produzirem o mesmo montante.
Fórmula: determine as taxas de juros anual e mensal
equivalentes, segundo o critério de cálculo do juro simples.
• ia = taxa de juros unitária anual • im = taxa de juros unitária mensal
• número de períodos: um ano, para a taxa anual, ou doze
meses, para a taxa mensal.
M = P.(1+ ia) e M = P.(1 + im.12)
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Como os montantes e os principais são iguais, teremos: 1 + ia = 1 + im.12, portanto: ia = 12.im
Chegamos, portanto, à conclusão de que, no juro simples, as taxas são proporcionais aos períodos, e os cálculos das taxas equivalentes são efetuados por meio de simples proporcionalidades.
Aplicações:
a. Calcule o montante de um capital de R$ 500,00 aplicado a juros simples de 5% ao mês durante quinze meses.
M = P.(1 + in) M = 500.(1 + 5/100 . 15) M = R$ 875,00
R.: O montante será de R$ 875,00.
b. Que principal devo aplicar por dois anos para obter R$ 670,00 de montante, à taxa de juros simples de 5% ao mês?
M = P.(1 + in) 670 = P.(1 + 5/100 . 24) 670 = P.2,20 P = 670/2,20
P = R$ 304,55
R.: O principal será de R$ 304,55.
c. A que taxa de juro simples mensal devo aplicar um principal de R$ 1.000,00 para obter R$ 1.800,00 de montante em um ano e meio? M = P.(1 + in) 1800 = 1000. (1 + i.18) 1800/1000 = 1 + i.18 i.18 = 1,8-1 5 10 15 20
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i = 0,8/18 i = 0,044444 ao mês taxa = 4,44% ao mês
R.: A taxa mensal será de 4,44%.
d. Em quanto tempo dobra um capital qualquer aplicado a juros simples de 5% ao mês? Dê a resposta em anos e meses.
M = P.(1 + in) 2P = P.(1 + 5/100.n) 2 = 1 + 0,05.n 2-1 = 0,05.n
n = 1/0,05 n = 20 meses
R.: O prazo será de um ano e oito meses.
Em síntese, o capítulo Juro simples nos mostrou que, por
esse critério, as variações são lineares e os cálculos deverão ser efetuados por recursos simples das regras de três e das proporções.
Exercícios propostos
1. Calcule a taxa trimestral proporcional às seguintes taxas: a. 21% a.a. (5, 25% a.t.)
b. 40% a.s. (20% a.t.)
c. 15% cada cinco meses. (9% a.t.)
2. Determine a taxa proporcional referente a quatro meses para cada uma das seguintes taxas:
a. 1% a.m. (4% a.q.) b. 5% a.b. (l0% a.q.) c. 20% a.a. (6,67% a.q.) 5 10 15 20
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d. 12% a.t. (16% a.q.)
3. Calcule o juro simples e o montante de:
a. R$ 500,00, a 200% a.a., em 10 meses. (R$ 833,33 - R$ 1.333,33)
b. R$ 5.000,00, a 250% a.a., em 2 anos e 4 meses. (R$ 29.166, 67 - R$ 34.166,67)
c. R$ 3.500,00, a 36% a.a., por 19 meses. (R$ 1.995, 00 - R$ 5.495,00)
4. Qual é a taxa de juros que gera os montantes abaixo, a partir de um principal de R$ 1.200,00:
a. R$ 1.998,00 em três anos e dois meses. (21% a.a.)
b. R$ 1.470,00 em 10 meses. (27% a.a.)
5. Qual é o capital que rende:
a. R$ 1.500,00, a 18% a.a., em 10 meses? (R$ 10.000,00)
b. R$ 6.480,00, a 21,6% a.a., em dois anos e seis meses?
(R$ 12.000,00)
c. R$ 15.000,00, a 30% a.a., em três anos e quatro meses?
(R$ 15.000,00)
6. Em quanto tempo um capital de R$ 10.000,00, aplicado a 26,4% a.a.
a. Renderá R$ 4.620,00? (21 meses)
b. Elevar-se-á a R$ 16.160,00? (28 meses)
7. Se o valor atual for igual a dois terços do valor nominal e o prazo de aplicação for de dois anos, qual será a taxa de
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8. Calcule o juro simples comercial e o exato das seguintes propostas:
a. R$ 8.000,00, a 20% a.a., por 90 dias. (c = R$ 400,00; e = R$ 394,52)
b. R$ 15.000,00, a 27% a.a., por 135 dias. (c = R$ 1.518,75; e = R$ 1.497,95)
c. R$ 28.000,00, a 30% a.a., em 222 dias. (c = R$ 5.180,00; e = R$ 5.109,04)
9. Calcule o valor atual de um título em cada uma das datas abaixo, sabendo que seu valor nominal é R$ 20.000,00, com vencimento daqui a dois anos, à taxa simples de 28% a.a.:
a. hoje. (R$ 12.820,51)
b. daqui a um ano. (R$ 15.625,00)
c. a quatro meses do vencimento. (R$ 18.292,68)
10. O valor nominal de um título é igual ao dobro do seu valor de face (valor aplicado). Sabendo que a taxa de juros corrente é de 13% a.a., calcule o prazo de aplicação desse título. (7 anos e 8 meses)
11. Uma loja oferece um relógio por R$ 3.000,00 à vista, ou por 20% do valor à vista como entrada mais um pagamento de R$ 2.760,00 após seis meses. Qual é a taxa de juros cobrada? (2,5% a.m.)
12. João tomou emprestado R$ 20.000,00 de Carlos para pagá-lo após dois anos. A taxa ajustada foi de 30% a.a. Quanto Carlos poderia aceitar se seis meses antes do vencimento da dívida João fosse resgatá-la, e se, nessa época, o dinheiro valesse 25% a.a.? (R$ 28.444,44)
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13. João tomou emprestado certa quantia de Carlos à taxa de 28,8% a.a. Sabendo-se que João pagou R$ 2.061,42 para Carlos, saldando a dívida dois meses antes do seu vencimento, e que nessa época a taxa corrente de mercado era de 25,2% a.a., pergunta-se o valor emprestado e o prazo inicial se os juros previstos montavam R$ 648,00.
(R$ 1.500,00; 18 meses)
14. Por quanto devo vender um artigo de custo R$ 60.000,00 para ter 30% de lucro sobre o preço de venda? (R$ 85.714,29)
15. O valor da cota de um fundo de investimento era R$ 17,87. Três meses depois, esse valor aumentou para R$ 24,43. Qual a taxa de rentabilidade trimestral desse fundo?
(36,71% a.t.)
16. Uma geladeira é vendida à vista por R$ 5.000,00, ou então por R$ 1.500,00 de entrada mais uma parcela de R$ 4.250,00 após quatro meses. Qual a taxa mensal de juros simples utilizada? (5,36% a.m.)
17. Em quanto tempo triplica um capital qualquer aplicado a juros simples de 10% a.m.? (20 meses)
18. Um produtor de milho, possuidor de um estoque de 30.000 sacas, na expectativa de alta de preço do produto, recusa uma oferta de R$ 5,00 por saca. Seis meses mais tarde, vende seu estoque a R$ 12,00 a saca. Sabendo que a taxa de juros de mercado é de 12% a.m., calcule o lucro ou prejuízo real do produtor utilizando o regime de juros simples. (Lucrou R$ 102.000,00)
19. Dois capitais, um de R$ 200.000,00 e outro de R$ 222.857,00, foram aplicados em uma mesma data, sendo o primeiro a 168% a.a. e o segundo a 120% a.a. Considerando juros simples, determine o tempo necessário para que os
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20. Carlos fez uma aplicação de R$ 600.000,00 num prazo fixo de nove meses, a juros simples de 96% a.a. Necessitando de dinheiro, quatro meses antes do vencimento, vendeu o título à Vera. Determine o valor de venda (valor atual na data cinco), sabendo-se que a taxa de juros simples corrente de mercado, na data da venda, era de 108% a.a.
(R$ 758.823,53)
3 DESCONTO SIMPLES RACIONAL 3.1 Desconto simples
Ao final deste capítulo, o aluno deverá ser capaz de identificar uma operação de desconto simples, reconhecer o critério de desconto racional e efetuar os cálculos utilizando suas fórmulas.
Não podemos esquecer que o desconto é denominado simples porque é calculado segundo o critério de juros simples.
A importância dessa operação reside em sua aplicação no dia a dia da maioria das empresas, nas quais a operação de desconto é responsável pelo capital de giro, sem o qual a empresa não conseguiria subsistir. A aplicação desse conceito, denominada operação de desconto, tem posição de destaque na estrutura das empresas modernas.
Conceitos
Desconto (D): é o abatimento dado no valor nominal de
uma dívida como consequência da antecipação da sua data de pagamento.
Prazo de antecipação (n): é a medida do tempo que vai da
data de pagamento efetivo até a data de vencimento.
Valor descontado ou líquido (VD): é o valor efetivamente
pago ou recebido após o abatimento do desconto.
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Taxa de desconto: é a taxa de juros utilizada nas operações
de desconto.
Os descontos podem ser calculados de acordo com dois critérios distintos: um deles é o cálculo tomando-se por base o valor atual da dívida e o outro sobre o seu valor nominal.
3.2 Desconto simples racional ou por dentro
Definição: segundo o critério racional ou por dentro, o
desconto simples é calculado como o juro simples do valor atual da dívida, na data da antecipação, pelo prazo de antecipação da data de pagamento.
Fórmulas
1. Desconto simples racional ou por dentro
• De acordo com a definição, teremos: D = A.i.n.
• Caso o valor atual (A) da dívida seja substituído por sua expressão, teremos: D Nin in = + 1
2. Valor descontado racional ou valor líquido racional
Por sua definição, o valor descontado racional será a diferença entre o valor nominal e o desconto racional. Portanto,
VD = N – D
Substituindo suas expressões, teremos:
VD = N – N.i.n/(1 + i.n), que, por simplificação,
transformar-se-á em:
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Aplicações:
a. Calcule o desconto simples racional de um título de valor nominal R$ 1.000,00, em uma antecipação de três meses, à taxa de desconto de 4% ao mês.
Podemos começar essa solução pela fórmula do desconto simples racional: D Nin
in = + 1 Substituindo os valores: D= + 1000 4 100 3 1 4 100 3 . . . = R$ 107,14 R.: O desconto será de R$ 107,14
b. Um título de valor nominal R$ 245,00 foi descontado em uma antecipação de quatro meses, sendo beneficiado com um desconto simples racional de R$ 35,00. Determine a taxa de desconto utilizada nessa operação.
Podemos iniciar com a fórmula do valor descontado: VD = +1Nin
Substituindo os valores, temos: 210 = 245 1 4+ i.
Isolando a taxa como incógnita a ser calculada, teremos:
i =
245 210 1
4 −
= 0,04167, que se transforma percentualmente em: 4,17% ao mês .
R.: A taxa de desconto será de 4,17% ao mês.
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c. Calcule o prazo de antecipação em um desconto racional de um valor nominal de R$ 560,00, com uma taxa de desconto de 3% ao mês, sabendo que o desconto foi de R$ 43,00.
Devemos partir da fórmula do valor descontado racional: VD =
+ N
in 1
Substituindo os valores fornecidos, teremos: 517 = 560 1 0 03+ , .n n = 560 517 1 0 03 −
, = 2,77 meses 2 meses e 23 dias
R.: O prazo será de dois meses e vinte e três dias.
d. Determine o valor descontado racional de um título de valor nominal R$ 1.000,00, sabendo que sua antecipação foi de dois meses e que a taxa utilizada nessa operação foi de 5% ao mês.
O valor descontado racional possui fórmula própria: VD =
+ N
in 1 Substituindo os valores, teremos: VD =
+ 1000
1 0 05 2, . = R$ 909,09
R.: O valor descontado racional será R$ 909,09.
Em síntese, vimos que o desconto é um abatimento provocado pela antecipação da data de pagamento e aplicado
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sempre sobre o valor nominal, mas que sua base de cálculo pode ser o valor atual, resultando no critério de cálculo racional ou por dentro.
Exercícios propostos
1. Calcule o desconto racional simples em cada uma das hipóteses abaixo:
Valor nominal Taxa Prazo até vencimento
a. R$ 50.000,00 100% a.a. 3 meses (R$ 10.000,00)
b. R$ 95.800,00 35% a.a. 140 dias (R$ 11.477,26)
c. R$ 42.300,00 85% a.a. 1 ano e 2 meses (R$ 21.061,51)
d. R$ 73.450,00 76,3% a.a. 3 meses e 20 dias (R$ 13.886,56)
2. Calcule o valor descontado racional simples dos seguintes títulos:
Valor nominal Taxa Prazo até vencimento
a. R$ 30.000,00 30% a.a. 75 dias (R$ 28.235,29)
b. R$ 50.000,00 45,9% a.a. 300 dias (R$ 36.166,37)
c. R$ 85.240,00 25,8% a.a. 4 meses (R$ 78.489,87)
d. R$ 90.000,00 40,7% a.a. 1 ano e meio (R$ 55.883,27)
3. Quanto devo pagar por um título de valor nominal R$ 100.000,00, com vencimento em 150 dias, se quero ganhar 36% a.a.? (R$ 86.956,51)
4. O valor nominal de uma promissória com vencimento em 25/10/89 é de R$ 30.000,00. Se o dinheiro valer 40% a.a. e a promissória for saldada no dia 20/03/89, de quanto será o desconto por dentro obtido? Qual o valor descontado?
(VD = R$ 24.128,69; D = R$ 5.871,31)
5. Se o desconto racional concedido for de R$ 60,00, qual será a taxa considerada se o valor nominal for de R$ 600,00 e o período de antecipação, de três meses? (44,44% a.a.)
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6. Um título de valor nominal R$ 13.000,00 foi resgatado antes do seu vencimento, sendo bonificado com um desconto racional de R$ 350,00. Sendo a taxa de 30% a.a., qual foi a antecipação? (1 mês e 3 dias)
7. O valor descontado de uma promissória é de R$ 1.600,00, tendo sido adotada a taxa de 20% a.a. Qual será o prazo de antecipação se o desconto racional for de R$ 70,00? (2 meses e 18 dias)
8. Um título cujo resgate foi efetuado a 150 dias do vencimento foi negociado à taxa de 25% a.a. Qual era o valor nominal do título, uma vez que o valor descontado racional recebido foi de R$ 2.000,00? (R$ 2.200,33)
4 DESCONTO SIMPLES COMERCIAL
4.1 Desconto simples comercial ou por fora
Ao final deste capítulo, o aluno deverá ser capaz de identificar as operações de desconto simples comercial e, conhecendo a nomenclatura das suas grandezas, fazer os cálculos por meio das fórmulas montadas a partir das definições.
Será capaz também de calcular a taxa efetiva envolvida na operação de desconto comercial.
Definição: segundo o critério comercial ou por fora, o
desconto simples é calculado como o juro simples do valor nominal da dívida, pelo prazo de antecipação da data de pagamento.
Fórmulas:
1. Desconto simples comercial ou por fora
Se o desconto comercial é o juro simples do valor nominal pelo prazo de antecipação, sua fórmula será:
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2. Valor descontado ou líquido comercial ou por fora
De acordo com o conceito de valor descontado, temos:
Vd = N – d.
Substituindo d por sua fórmula, teremos:
Vd = N – N.i.n ou Vd = N.(1 – i.n)
Em síntese, vimos que o desconto comercial ou por fora tem sua base de cálculo no valor nominal da dívida, sendo o mais aplicado nas áreas de finanças das empresas.
Exercícios propostos
1. Calcule o desconto comercial dos títulos abaixo:
Valor nominal Taxa Prazo até vencimento
a. R$ 100.000,00 40% a.a. 300 dias (R$ 33.333,33)
b. R$ 150.000,00 38% a.a. 4 meses (R$ 19.000,00)
c. R$ 245.000,00 50% a.a. 3 meses e 20 dias (R$ 37.430,56)
2. Calcule o valor descontado comercial dos títulos abaixo:
Valor nominal Taxa Prazo até vencimento
a. R$ 100.000,00 40% a.a. 300 dias (R$ 66.666,67)
b. R$ 150.000,00 38% a.a. 4 meses (R$ 131.000,00)
c. R$ 245.000,00 50% a.a. 3 meses e 20 dias (R$ 207.569,44)
3. Uma nota promissória foi descontada quatro meses antes do seu vencimento, à taxa de 26% a.a. Sabendo que o seu valor atual comercial foi de R$ 20.000,00, calcule seu valor nominal. (R$ 21.897,81)
4. O valor nominal de um título é quinze vezes o seu desconto comercial a 30% a.a. Qual será o prazo de antecipação?
(80 dias)
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5. O valor atual comercial recebido de um título é de R$ 23.600,00, considerando-se a taxa de 28% a.a. e o prazo de antecipação de 72 dias. Qual foi o desconto comercial desse título? (R$ 1.400,00)
6. Pelo valor nominal de R$ 10.000,00 uma pessoa recebeu R$ 9.556,94 como valor atual comercial. Qual seria a antecipação se a taxa de juros adotada tivesse sido de 29% a.a.? (55 dias)
