Disciplina: Matem ´atica
AULA 12: Progress ˜
oes
P
rogressões são sequências numéricas orde-nadas que obedecem a certas regras de for-mação. As progressões abordadas nesse ma-terial serão as progressões aritméticas e geométri-cas.1
Progress ˜
oes Aritm ´eticas
Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência de números cuja diferença entre um termo e seu anteces-sor é uma constante. A essa constante dá-se o nome de razão (r).
As principais representações utilizadas em uma PA são:
• An: Sequência dos termos • an: Enésimo termo (termo geral) • r : Razão da PA
• Sn: Soma dos n primeiros termos
Por exemplo, na PA (2; 5; 8; 11; 14) temos os seguin-tes parâmetro:
• An= (2; 5; 8; 11; 14)
• a1= 2, a2= 5, a3= 8, a4= 11, a5= 14
• r = 3
• S5= 2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40:
1.1
Classificac¸ ˜
oes de uma PA
As progressões aritméticas podem ser classificadas quanto a sua monotonicidade. Uma PA é dita:
• Crescente, se cada termo for maior que seu ante-rior, ou seja, r > 0. Exemplo: (−3; 0; 3; 6; . . . ) • Decrescente, se cada termo for menor que seu
an-terior, ou seja, r < 0. Exemplo:(3; 1; −1; −3; −5) • Constante, se cada termo for igual ao seu anterior.
Neste caso, r = 0. Exemplo: (5; 5; 5; . . . )
As progressões aritméticas podem também ser clas-sificadas quanto ao número de termos. Uma PA é dita:
• Finita, se tem um número finito de termos. Exem-plo: (9; 9 − 12; 8; 8 −12)
• Infinita, se tem um número infinito de termos. Exemplo: (1; 1 +
√
2; 1 + 2√2; . . . )
1.2
F ´
ormula do termo geral
Considerando a sequência (a1, a2, a3, . . . , an, . . . )
como uma PA de razão r, podemos escrever: a2= a1+ r a3= a2+ r .. . an−1= an+ r an= an−1+ r
Somando membro a membro as n − 1 equações, temos:
a2+ a3+ · · · + an−1+ an=
= (a1+ r) + (a2+ r) + · · · + (an+ r) + (an−1+ r)
Efetuando as simplificações que decorrem, obtemos a fórmula do termo geral de uma PA:
an= a1+ (n − 1) · r
Com essa fórmula podemos encontrar qualquer um dos elementos da sequência, dada sua posição.
Exemplo: Determine o vigésimo termo da PA: (3; 7; 11; 15; . . . )Solução:
a20= a1+ (20 − 1) · r = 3 + 19 · 4 = 79
Exemplo: Sabendo que para uma certa PA a4= 18 e
Solução: a4= a1+ 3 · r = 18 a8= a1+ 7 · r = 30 ∴ a8− a4= a1+ 7 · r − (a1+ 4 · r) = 4r r = a8− a4 3 = 30 − 18 4 ∴ r = 3 a15= a1+ 14 · r = a1+ 7 · r + 7 · r = a8+ 7 · r a15= 30 + 7 · 3 = 51
1.3
Soma dos n primeiros termos
Antes de encontrar a fórmula da soma dos n primei-ros termos, é importante destacar uma propriedade comum a todas as progressões aritméticas. Dois ter-mos de uma PA são ditos equidistantes dos extreter-mos quando o número de termos que precede um deles é igual ao número de termos que segue o outro. Por exemplo: na PA (2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29), os nú-meros 5 e 26, 8 e 23, 11 e 20, 14 e 17, são equidistantes dos extremos 2 e 29. Note que se fizermos a soma de cada um desses pares de números, o resultado é sempre igual a 31.
De forma geral, a soma dos termos
equidistan-tes dos extremos é igual à soma dos extremos. De
forma geral:
a1+ an= a2+ an−1= a3+ an−2= · · · = a1+ an−1
Assim, se denotarmos a soma dos n primeiros termos por Sn, obtemos:
Sn= a1+ a2+ · · · + an−1+ an(I) ou
Sn= an+ an−1+ · · · + a2+ a1(II)
Somando membro a membro as igualdades (I) e (II), obtemos:
2Sn= (a1+ an) + (a2+ an−1) + . . .
· · · + (a2+ an−1) + (a1+ an)
∴ 2Sn= n · (a1+ an)
Assim, a soma dos n primeiros termos é dada por:
Sn=
n · (a1+ an)
2
1.4
Interpolac¸ ˜ao Aritm ´etica
Designamos por meios aritméticos os termos situa-dos entre dois termos não consecutivos de uma PA. In-terpolar k termos entre dois números A e B é o mesmo que construir uma PA com k + 2 termos cujo primeiro
termo é A e o último é B. A interpolação consiste, por-tanto, em se determinarem os termos intermediários e a razão da PA formada. Ou seja :
A = a1, B = an, n = k + 2 ∴
B = A + (k + 2 − 1) · r ∴ r =B − A
k + 1
Definida a razão r, é trivial encontrar qualquer dos meios aritméticos utilizando a fórmula do termo geral.
1.5
Exerc´ıcios
Exercício 1
Obter uma PA decrescente com 5 termos cuja soma dos termos é -10 e a soma dos quadrados é 69
RESOLUÇÃO: Escrevendo a PA da seguinte
forma: (a − 2r; a − r; a; a + ra + 2r) .
S5= (a − 2r) + (a − r) + a+
+ (a + r) + (a + 2r) = 5a 5a = −10 ∴ a = −2
Denotando por S52a soma dos quadrados dos
termos, podemos escrever:
S52= (−2 − 2r)2+ (−2 − r)2+ (−2)2+ + (−2 + r)2+ (−2 + 2r)2∴ S52= (4 + 4r + 4r2) + (4 + 2r + r2) + 4+ + (4 − 2r + r2) + (4 − 4r + 4r2) ∴ S52= 20 + 10r2= 69 ∴ r2= 49 ∴ r = ±7
Dessa forma podemos temos as seguintes PA’s
((−16); (−9); −2; (5); (12)) ou ((12); (5); −2; (−9); (−16))
Exercício 2
Qual a soma dos múltiplos de 11 compreendi-dos entre 100 e 10000?
RESOLUÇÃO: Começamos encontrando o
maior múltiplo de 11 menor que 10000 (an). Podemos fazer isso escrevendo esses números em termos de múltiplos de 11:
100 = 9 · 11 + 1 10000 = 909 · 11 + 1 ∴ a1= 9 · 11 + 11 = 110
e an= 909 · 11 = 9999
Em seguida, utilizamos a fórmula do termo ge-ral para encontrar o número de termos da PA de razão 11, com a1= 110 e an= 99999. an= a1+ (n − 1) · r ∴ 9999 = 110 + (n − 1) · 11 ∴ n = 9999 − 110 11 + 1 n = 900
Ou seja, temos 900 múltiplos de 11 entre 100 e 10000.
Exercício 3
Insira n meios aritméticos entre 1 e 2n. Deter-mine a razão da PA.
RESOLUÇÃO: Inserir n meios aritméticos
equi-vale a construir uma PA com n + 2 termos. Para isso podemos usar a fórmula para a razão em interpolação aritmética:
a1= 1 an+2= 2n
r = 2n − 1 n + 1
Podemos construir a PA da seguinte forma: (1; 1 +2n − 1
n + 1; 1 + 2 · 2n − 1
n + 1; · · · ; 2n)
Problema 1
(UFRJ) Num Ka Kay, o oriental famoso por sua inabalável paciência, deseja bater o recorde mundial de construção de castelo de cartas. Ele vai montar um castelo na forma de um prisma triangular no qual cada par de cartas inclina-das que se tocam deve estar apoiado em uma carta horizontal, excetuando-se as cartas da base, que estão apoiadas em uma mesa. A fi-gura a seguir apresenta um castelo com três níveis.
Num Ka Kay quer construir um castelo com 40 níveis. Determine o número de cartas que ele vai utilizar (a) 2460 (b) 1230 (c) 4840 (d) 2420 (e) 4920
RESOLUÇÃO: Note que cada nível tem 3 cartas
a mais que o nível logo acima, de tal maneira que o número de cartas em cada nível formam uma progressão aritmética de razão r = 3 e termo inicia a1= 3 e número de termos n = 40
onde a1é o nível mais alto e a40o nível mais baixo.
Primeiro devemos calcular o último termos (a40).
a40= a1+ (n − 1) · r = 3 + (40 − 1) · 3 ∴
a40= 120
Agora podemos calcular o total de cartas utili-zando a fórmula da soma nos n primeiros ter-mos. S40= (a1+ an) · n 2 = (3 + 120) · 40 2 ∴ S40= 2460
Entretanto a base do castelo não precisa de car-tas base para se apoiar, então devemos subtrair tais cartas. Note que seriam 120 cartas na base se para cada duas cartas apoiadas utilizássemos outra carta como base, mas é necessário sub-trair um terço das cartas da base, ou seja, 40 cartas. Assim o total de cartas no castelo é:
2460 − 40 = 2420
Problema 2
(Fuvest) 500 moedas são distribuídas entre três pessoas A, B e C, sentadas em círculo, da seguinte maneira: A recebe uma moeda, B duas, C três, A quatro, B cinco, C seis, A sete, e assim por diante, até não haver mais moedas suficientes para continuar o processo. A pessoa seguinte, então, receberá as moedas restantes.
(a) Quantas foram as moedas restantes e quem as recebeu? (Deixe explícito como você obteve a resposta.)
(b) Quantas moedas recebeu cada uma das três pessoas?
RESOLUÇÃO: O número de moedas distribuído
até a n-ézima vez que moedas são dadas é dado pela soma da PA (1, 2, 3,...,n).
Sn=
(1 + n)n
2 (fórmula da soma dessa PA) 500 = (1 + n)n
2 ∴ n
2+ n − 100 = 0
n = 31, 126oun = −32, 126
O número de termos n é inteiro e positivo, por-tanto devemos adotar o número inteiro anterior à 31,126. No caso n=31. Agora calculando o número de moedas distribuídas em n=31. S31=
(1 + a31)31
2 =
(1 + 1 + (31 − 1)31
2 = 496
Ou seja, sobraram 500-496= 4 moedas. Note que em 30 rodadas todos receberam moedas 10 vezes, então na 31 quem recebe é A e na próxima seria B, entretanto não há moedas su-ficientes. Portanto quem recebe o resto de 4 moedas é B.
Note que o número de moedas que A recebe é 1+4+7+... e que se foram 31 rodadas, nesse caso A recebeu 11 vezes. Assim o número de moedas que A possui é dado pela soma dos 11 primeiros números da PA (1, 4, 7,...).
SA=
(1 + 1 + (11 − 1)3)11
2 = 176
A recebe 176 moedas
Analogamente para C, o número de moedas será dado pelos 10 primeiros termos da PA (3, 6, 9,...) SC= (3 + 3 + (10 − 1)3)10 2 = 165 C recebe 165 moedas B recebe 500 -165 -176 = 159 Respostas: a) B recebe o resto de 4 moedas. b) A=176, B=159 e C=165 moedas.
Problema 3
(Unesp) As medidas dos lados de um triângulo retângulo formam uma progressão aritmética crescente de razão r
(a) Mostre que as medidas dos lados do tri-ângulo, em ordem crescente, são 3r, 4r e 5r.
(b) Se a área do triângulo for 48, calcule r
RESOLUÇÃO: Denotando por a-r, a, a+r as
medidas dos lados do triângulo, e assumindo r > 0 podemos aplicar o teorema de Pitágoras.
(a + r)2= (a − r)2+ a2∴
a2 + 2ar + r2 = a2 − 2ar + r2 + a2
∴ 4ar = a2∴
a = 0
absurdo, a é lado de um triângulo, então a = 4r ∴ os lados são: (3r; 4r; 5r)
A área de um triângulo retângulo é a metade do produto dos catetos.
48 =3r · 4r
2 = 6r ∴ r = 6
Resposta: r=6
2
Progress ˜
oes Geom ´etricas
Uma progressão geométrica é uma sequência de números reais não-nulos em que, a partir do segundo termo, o quociente entre cada termo e seu antecessor é uma constante. A essa constante dá-se o nome de
razão (q).
Exemplo: Verificar se as seguintes sequências são
progressões geométricas: a) (1, 3, 9, 27, 81) b) (2, 4, 8, 10)
Solução:
a) A sequência é uma PG de razão q = 3, pois: 3 1 = 9 3 = 27 9 = 81 27= 3 =⇒ q = 3
b) A sequência não é uma PG, pois, apesar de 4 2 = 8 4 = 2, temos 10 8 6= 2.
2.1
Classificac¸ ˜
oes de uma PG
As progressões geométricas podem ser classificadas quanto ao número de termos. Uma PG é dita:
• Finita, se possuir uma quantidade limitada de termos. Exemplo: (1; 3; 9; 27)
• Infinita, se possuir uma quantidade infinita de termos. Exemplo: (a; a · b; a · b2; a · b3; . . . )
Também podemos classificar as progressões quanto à
monotonicidade. Uma PG é dita:
• Crescente, se cada termo for maior que seu antecessor. Isso pode ocorrer de duas maneiras:
– Caso os termos sejam positivos e q > 1.
Exemplo: (3; 6; 12; 24; 48)
– Caso os termos sejam negativos e 0 < q < 1.
Exemplo: (−10; −2;−25 ; −2
25; . . . )
• Decrescente, se cada termo for menor que seu anterior. Isso pode ocorrer de duas maneiras:
– Caso os termos sejam positivos e 0 < q < 1.
Exemplo: (2; 1;12; 1 4;
1 8)
– Caso os termos sejam negativos e q > 1.
Exemplo: (−2; −6; −18; −54; −162; . . . )
• Constante, se cada termo for igual ao seu an-tecessor. Isso ocorre quando q = 1. Exemplo: (3; 3; 3; 3; 3)
• Alternante, se os termos alternam o sinal. Neste caso q < 0. Exemplo: (2; −6; 18; −54; 162; . . . )
Casos especiais: alguns casos requerem especial
atenção por não se enquadrarem em nenhum dos casos previamente citados. São eles:
• PG nula, quando todos os termos são nulos. Neste caso, a sequência é dita constante e de razão indeterminada. Exemplo: (0; 0; 0; 0; . . . ) • PG de razão nula e termo inicial não nulo.
Neste caso, a sequência não tem monotonicidade, ou seja, não é crescente, decrescente ou constante. Exemplo: (8; 0; 0; 0; . . . )
2.2
F ´
ormula do termo geral
Considerando a sequência (a1, a2, a3, . . . , an, . . . )
como uma PG de razão q, podemos escrever: a2= a1· q
a3= a2· q
.. .
an= an−1· q
Multiplicando membro a membro essas n − 1 equações, obtemos:
a2· a3· ... · an−1· an= a1· a2· ... · an−1· qn−1
Efetuando as simplificações possíveis, obtemos a fór-mula do termo geral de uma PG:
an= a1· qn−1
Exemplo: Dermine a fórmula do termo geral da PG:
(1
3; 1; 3; 9; 27 · · · )
Solução: Primeiramente, encontramos a razão q,
dividindo um termo qualquer por seu antecessor. Em seguida, utilizamos a fórmula para termo geral:
q = 3 1 = 3 an= a1· qn−1= 1 3 · 3 n−1
Exemplo: Encontrar o décimo termo da PG:
(5; 10; 20; 40; · · · ) Solução: q =10 5 = 2 a10= a1· qn−1= 5 · 210−1 a10= 5 · 29= 2560
2.3
Interpolac¸ ˜ao Geom ´etrica
Similar ao que acontece com uma PA, podemos in-serir k termos entre dois números A e C, de mesmo sinal, formando assim uma PG com k +2 termos e cujos extremos são A e C. A interpolação geométrica consiste em encontrar a razão q da PG.
Consideremos então: A = a1, C = an, n = k + 2
as-sim, utilizando a fórmula do termo geral encontramos: C = Aqk+2−1∴ q = k+1
r C A
Exemplo: Interpolar 3 meios geométricos entre 2 e
162.
Solução: nesse exemplo k = 3 A = 2 e C = 162,
então: q = 3+1 r 162 2 = 3 ∴ An= (2; 6; 18; 54; 162)
Exemplo: Inserir 2 meios geométricos entre 3 e 21. Solução: Para esse exemplo k = 2, A = 3 e C = 21:
q = 2+1 r 21 3 = 3 √ 7 ∴ An= (3; 3 · 3 √ 7; 3 · (√37)2; 21)
2.4
Soma dos termos de uma PG finita
Vamos agora considerar a soma dos n primeiros termos de uma PG com razão não nula e diferente de 1 denotada por SnSn = a1+ a2+ a3+ · · · + an∴
Sn· q = a1· q + a2· +a3· q + . . . an· q ∴
Sn· q = a2+ a3+ a4+ · · · + an+ an+1
Subtraindo a terceira equação da primeira e fazendo as simplificações que decorrem, obtemos:
Sn− Sn· q = a1− an+1∴
Sn· (1 − q) = a1− an+1
Aplicando a fórmula do termo geral para an+1e iso-lando Sn, obtemos a fórmula da soma dos n primeiros termos dada por
Sn=
a1· (1 − qn)
1 − q
2.5
Soma dos termos de uma PG
infi-nita (|q| < 1)
Para uma PG com razão q, em que |q| < 1, a soma de seus infinitos termos é um número finito. Isso acontece pois os termos vão se tornando cada vez menores em módulo, de tal forma que sua soma se aproxima cada vez mais de um dado valor. Voltando à fórmula da soma dos n primeiros termos:
Sn=
a1· (1 − qn)
1 − q
Se n tender ao infinito (n → ∞), qn tenderá a zero (qn → 0) e a soma Sntenderá ao valor dado por:
Sn=
a1
1 − q
FIQUE LIGADO
É importante notar que a fórmula da soma de in-finitos termos de uma PG de razão com módulo menor que um também é válida para razões negativas. Como citado no exemplo a seguir
Exemplo: Calcule a soma da PG infinita com
pri-meiro termo a1= 1 e razão q = −12.
Solução: Note que é uma PG com razão com
mó-dulo menor que um. Então podemos realizar a soma infinita pela fórmula.
S = a1 1 − q = 1 1 − (−12) = 2 3 S = 2 3
2.6
Propriedades da PG
Todas as progressões geométricas satisfazem algumas propriedades, a saber:
• Cada termo a partir do segundo é a média geomé-trica entre seu termo antecessor e sucessor. Desse modo: an= ± √ an−1· an+1 Exemplo: Seja a PG (5; 10; 20; 40; 80; · · · ): √ 20 · 80 =√1600 = 40 ou √ 5 · 20 =√100 = 10
É necessário observar o sinal que os termos da sequência seguem para a escolha do sinal correto para o radical (nesse caso, positivo).
• Em uma PG finita, o produto de dois termos equi-distantes dos extremos é igual ao produto dos extremos. Desse modo:
ai· an−i= a1· an
Exemplo: Dada a PG (1
2; 1; 2; 4; 8; 16; 32),
pode-mos notar que: 1
FIQUE LIGADO
Em alguns exercícios trabalharemos com o produto dos termos de uma PG. Nesses casos pode se tornar conveniente escrever a PG da seguinte maneira:
Para um número ímpar de termos: (· · · ; a
q2;
a
q; a; aq; aq
2; · · · )
Para um número par de termos: (· · · ; a
q32
; a q12
; aq12; aq32; · · · )
Dessa forma, quando efetuarmos o produto dos termos, as parcelas em que a razão aparece irão se cancelar. Isso é útil quando o produto dos termos é conhecido mas não conhecemos os termos e/ou a razão.
Exemplo: Sabendo que o produto de 5 termos
con-secutivos de uma PG é 243 e que o primeiro termo é 13
determine todos os termos.
Resolução: Denotaremos por P5o produto desses 5
termos: An= (· · · ; a q2; a q; a; aq; aq 2 ; · · · ) ∴ Pn = a q2 · a q· a · a q · a q2= a5∴ 243 = a5∴ a =√5 243 = 3 a1= a q2 ∴ 1 3 = 3 q2 ∴ q = ±3 An= ( 1 3; 1; 3; 9; 27) ou An= ( 1 3; −1; 3; −9; 27)
2.7
Exerc´ıcios
Exercício 4A soma dos termos de uma PG de cinco termos reais é 186, sendo a soma dos termos de ordem par, 60. Determine os termos dessa progressão.
RESOLUÇÃO: Seja (a) o termo central (a3)
po-demos reescrever; a · (1 q2 + 1 q + 1 + q + q 2) = 186 (1) a · (1 q + q) = 60 (2)
Dividindo a primeira equação pela se-gunda,vem: 1 q2 + 1 q + 1 + q + q 2 1 q + q =31 10 fazendo y = q +1q, temos: q2+ 1 q2 = y 2 − 2 ∴ 1 q2 + 1 q + 1 + q + q 2 1 q + q =31 10 = =y 2+ y − 1 y = 31 10 ∴ y1= − 2 5, y2= 5 2.
Mas y1 nos oferece q não reais, o que não é aceitável. A raiz y2nos oferece q = 2 ou q = 12.
Utilizando y2na equação (2) : a · y2= 31 10 ∴ a = 24 Substituindo encontramos (6; 12; 24; 48; 96) ou (96; 48; 24; 12; 6) Resposta: (6; 12; 24; 48; 96) ou (96; 48; 24; 12; 6) Exercício 5
Um quadrado de Área A é dividido em quatro partes e tem uma dessas partes é pintada de verde, em seguida, um dos quadrados em branco é partido em quatro e tem uma de suas partes pintadas de verde (conforme a figura). Se o processo se repetir infinitamente qual será o total de área verde dentro do quadrado?
RESOLUÇÃO: Se o quadrado inicial tem área
A, então o primeiro quadrado verde que foi pintado tem área A/4. Da mesma forma, cada quadrado verde terá uma área que corresponde a um quarto do quadrado verde anterior. Assim
as áreas verdes formam uma PG de razão 1/4 e termo inicial A/4. Podemos agora calcular o total de área verde através da soma dos infinitos termos dessa PG.
Averde= a1 1 − q = A 4 1 −14 Averde= A 3 Resposta: A 3 Problema 4
(Unicamp-Adaptada) Considere uma progres-são geométrica de termos não-nulos, na qual cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos imediatamente anteriores. Calcule os dois valores possíveis para a razão q dessa progressão.
RESOLUÇÃO: Três termos consecutivos
quais-quer devem satisfazer a condição do problema dada por:
an= an−1+ an−2
a1qn−1= a1qn−2+ a1qn−3
dividindo ambos os membros por a1qn−3:
q2= q + 1 ∴ q2− q − 1 = 0 q = 1 ± √ 5 2 Resposta: q = 1±√5 2
3
Lista de Exerc´ıcios
Alguns dos exercícios apresentados na lista abaixo, bem como alguns resolvidos nesta aula, foram retira-dos de Lopes, 1998; Bianchini e Paccola, 1993 e do
site Projeto Medicina. Outros problemas foram
retira-dos diretamente retira-dos cadernos de prova retira-dos referiretira-dos vestibulares.
1. Qual é o centésimo primeiro termo de uma PA cujo primeiro termo é 107 e a razão é 6?
2. Qual é a posição do termo 109 em uma PA de razão 3, cujo primeiro termo é igual a 10? 3. Calcule 31º termo da sequência (4, 7, 10, ... ) 4. (UNESP) Um estacionamento cobra R$1,50
pela primeira hora. A partir da segunda, cujo
valor é R$1,00 até a décima segunda, cujo valor é R$ 0,40,os preços caem em progressão aritmética. Se um automóvel ficar estacionado 5 horas nesse local, quanto gastará seu proprietário? 5. (UEL) Numa progressão aritmética de primeiro termo 1/3 e razão 1/2, a soma dos n primeiros termos é 20/3. O valor de n é?
6. (UFRS) As medidas dos três lados de um triângulo retângulo são números em progressão aritmética. Qual o valor da área do triângulo, sabendo-se que o menor lado mede 6 cm?
7. (PUC-PR) Um balão viaja a uma altitude de cruzeiro de 6600 m. Para atingir esta altitude, ele ascende 1000 m na primeira hora e, em cada hora seguinte, sobe uma altura 50 m menor que a anterior. Quantas horas leva o balonista para atingir a altitude de vôo?
8. (UFRJ) Em uma PA não constante de 7 termos, com termo médio igual a 6, os termos a2, a4e a7, nesta ordem, formam uma PG. Determine esta PA. 9. (UFSM) Numa progressão aritmética crescente, os dois primeiros termos são as raízes da equação x2 + 2x − 8 = 0. Sabendo que o número de termos dessa P.A. é igual ao triplo da sua razão. Qual o valor da soma dos termos dessa PA? 10. (FEI) (a, 2a, a2, b) formam, nessa ordem, uma
progressão aritimética estritamente crescente. Qual o valor de b?
11. A soma de quatro termos consecutivos de uma PA é -6 e o produto do primeiro deles pelo quarto é -54. Determine esses termos.
12. (UEPG) Assinale o que for correto:
01) As raízes da função f (x) = x2− 3x − 4 são os dois primeiros termos de uma P.A. decrescente. Então, o terceiro termo dessa P.A. vale 15. 02) A sucessão (s , 2s , 3s, ...) com s 6= 0 , é uma P.G. crescente.
04) A razão da P.G. (ex, e2x, e3x, ...) é ex.
08) Numa P.A. de número ímpar de termos, o primeiro termo é 3 e o último termo é 27. Assim, o termo médio dessa P.A. vale 15.
16) A razão da P.A. (log 4, log 12, log 36, ...) é log 3. 13. (UFSC) Sejam an uma progressão geométrica e bnuma progressão aritmética cuja razão é 3/10 da razão da progressão geométrica an. Sabendo
que a1 = b1 = 2 e que a2 = b7 calcule a soma
b1+ b2+ · · · + b7
14. (Fuvest) Uma progressão geométrica tem pri-meiro termo igual a 1 e razão igual a
√ 2. Se o produto dos termos dessa progressão é 239, então o número de termos é igual a:
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
15. A soma de três números em PG é 19. Subtraindo-se 1 ao primeiro eles passam a formar uma PA. Calcule-os.
16. (UFPR) Considere as progressões geométricas nas quais anindica o n-ésimo termo, sendo a3= 8 e
a5= 32. É correto afirmar que:
01) A razão de cada uma dessas progressões é 4. 02) Todos os termos dessas progressões são necessariamente positivos.
04) O primeiro termo de cada uma dessas progressões é 1.
08) Se i > 0 é a razão de uma das progressões geométricas, os números logba1, logba3e logba5
formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. 17. (UDESC) Numa Progressão Aritmética de termos diferentes e positivos, o 1º termo, o 5º termo e o 21º termo formam, nesta ordem, uma Progressão Geométrica. Encontre a razão desta PG.
18. (UFRS) Na seqüência de figuras, cada quadrado tem 1 cm2 de área. Supondo que as figuras continuem evoluindo no mesmo padrão aqui encontrado, a área da figura 20 terá valor:
a) entre 0 e 1000 b) entre 1000 e 10.000 c) entre 10.000 e 50.000
d) entre 50.000 e 100.000 e) maior que 100.000
19. (Ufv) Na sequência de quadrados representada nas figuras a seguir, cada novo quadrado tem seus vértices nos pontos médios do quadrado que o antecede. Se o perímetro do primeiro quadrado é P e supondo que essa sequência continue indefinidamente, calcule o perímetro:
a) do terceiro quadrado; b) do n-ésimo quadrado;
c) de todos os infinitos quadrados, somados. 20. (UFSC) Sabendo que a sequência (1-3x,
x-2,2x+1) é uma P.A. e que a sequencia (4y, 2y-1, y+1) é uma P.G., determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S). 01. A P.A. é crescente.
02. O valor de y é 1/8.
04. A soma dos termos da P.A. é zero. 08. -3/2 é a razão da P.G.
16. O valor de x é 2.
21. Determine a razão da PG infinita cujo primeiro termo é 1 e cada termo é igual a soma de todos os termos que o sucedem.
A DESAFIO A
Num exame era pedida a soma dos cinco termos de uma PG crescente, sendo dados o primeiro e o último. Um aluno aplicou, erradamente, a fórmula da soma dos termos de uma PA e achou um valor 6,5 a mais que o valor verdadeiro (S5+ 6, 5). Sabendo que seu termo
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Respostas dos Exerc´ıcios
RESPOSTAS 1. a100= 707 2. n=34 3. a31 = 94 4. R$ 5,14 5. 05 6. 24cm2 7. 8h 8. (3;4;5;6;7;8;9) 9. 846 10. 12 11. (-9;-4;1;6) 12. 28 13. 35 14. b 15. (4;6;9) ou (9;6;4) 16. 08 17. 4 18. e 19. P3=P2, Pn= √P 2n−1, SP = P (2 + √ 2) 20. 01+02+04+08+16=31 21. q = 12COLABORADORES DESTA AULA
• Texto:
Henrique Bonafé Takamori James S. Eger
• Diagramação:
Henrique Bonafé Takamori James S. Eger
• Revisão: James S. Eger
Refer ˆencias Bibliogr ´aficas
Bianchini, E. e H. Paccola (1993). Curso de Matemática
- volume único. Vol. 1. São Paulo: Editora Moderna.
Lopes, L. (1998). Manual de Progressões. Vol. 1. Rio de Janeiro: Interciência.
Sousa, Júlio. Projeto Medicina. url: https : / / projetomedicina . com . br / materia / progressoes/ (acesso em 11/11/2020).
