Sistemas Complexos

Sistemas Complexos

Luiz Renato Fontes

Grafo aleatório de Erdős e Rényi

SejaKn= (Vn,En) o grafo com n sítios (vértices):

Vn={1, . . . ,n}; e elos entre cada par de sítios:

E_n={hi,ji: i,j ∈V_n,i 6=j}

K6

2 3

4

5 6

1

O grafo aleatório de Erdős e Rényi consiste, fixadop ∈[0,1], no grafo

G_n(p) := (V_n,E_n(p)),

ondeEn(p) é uma amostra de elos de En

escolhida por meio da seguinte família de va’s iid{η_e;e ∈E_n}com distr de Bernoulli de parâmetrop: E_n(p) ={e∈E_n: η_e = 1}^∗.

2 3

4

5 6

1

G6( )^1/2

∗P(ηe= 1) =p= 1−P(ηe= 0); seηe= 1, diz-se quee estáabertoou presente; do contrário,fechadoouausente

2

Regime crítico; Transição de fase

Regime: p=λ/n,λ >0 e n> λ.

Interesse na ocorrência ou não decomponente gigante(com ∼n sítios)com alta probabilidade(c.a.p.), dependendo do valor deλ.

c.a.p.: com probabilidade→ 1 qdon → ∞ Teorema 1. Seja λ=np, com λ >0 fixo.

(i) Se λ <1, então c.a.p. o maior componente de G(n,p) tem no máximo _(1−λ)³ 2 logn sítios.

(ii) Se λ >1 eβ =β(λ)>0 for a prob de sobrevivência de um processo de ramificação com distribuição de prole de Poisson(λ), então c.a.p. omaior componente deG(n,p) tem

(1 +o(1))βn sítios;

além disto, osegundo maior componente tem no máximo

16λ

(λ−1)² logn sítios.

Teo 1 (Obs)

A noção de conectividade é a natural (e usual): dois sítiosx ey de V_n estão conectados se x =y ou se houver um caminho de elos abertos ligandox ay; em outras palavras, se existirem`≥1 e

x =x₀, . . . ,x<sub>`</sub>=y∈V<sub>n</sub> tq η<sub>hxi−1,xii</sub>= 1,i = 1, . . . , `.

SejamC₁^∗,C₂^∗ o primeiro e segundo maiores componentes,

respectivamente (segundo o número de sítios; com algum critério de desempate, se necessário).

Então, fixadoε >0 arbitrário, as afirmações do Teo 1 dizem que as seguintes probabilidades se anulam no limite qdon→ ∞:

(i)P

|C₁^∗|> _(1−λ)³ 2 logn;

(ii)P(|C₁^∗|<(1−ε)βn),P(|C₁^∗|>(1 +ε)βn), P

|C₂^∗|> _(λ−1)^16λ2 logn

4

Lembrete: Processo de Ramificação

Modela os tamanhos de sucessivas gerações de uma família:

Z₀= tamanho inicial; para k≥1, Z_k =

(PZk−1

j=1 X_kj, seZ_k−1 >0;

0, seZ_k−1 = 0, onde

{X_ij;i,j ≥1} é uma família de v.a.’s iid inteiras não negativas;

Z_k representa o tamanho dak-ésima geração,k ≥1;

X_ij representa(ria) o número de filhos doj-ésimo indivíduo da i−1-ésima geração (se ele estiver presente naquela geração);

Note que seZ`= 0 para algum `≥0, então, Zi = 0,i > `, e, neste caso, dizemos que a família se extingue;

Sejaβ=P(sobrevivência); no caso deX11∼Poisson(λ),λ >0, denotamosβ=β(λ). Sabe-se queβ >0 sse E(X₁₁)>1.

Simulação do proc ramificação

𝑍_!= 1

𝑍_"= 3 𝑍_#= 5 𝑍_$= 3 𝑍_%= 1

𝑋_!!= 3

𝑋_"!= 2 𝑋_""= 2 𝑋_"#= 1

𝑋_##= 1 𝑋_#$= 2

𝑋_#!= 0 𝑋_#"= 0 𝑋_#%= 0

𝑋_$!= 0 𝑋_$"= 0 𝑋_$#= 1

𝑋_%!= 0

𝑍_&= 0

6

Processo de crescimento para um aglomerado de G

(p)

Sejax∈Vn, e C_x oaglomerado de x, ie, C_x ={y ∈V_n: y está conectado a x}.

Vamos construirC_x por um processo de crescimento a ser subsequentemente comparado com processos de ramificação:

Começamos comZ₀ =W₀ ={x};

parak ≥1, enqto ∅ 6=Z_k−1 ={y₁^k−1, . . . ,y_r^k_k−1⁻¹}, façamos Y₀^k =∅, e para j = 1, . . . ,r_k−1:

X_kj ={y ∈V_n\ W_k−1\ Y_j−1^k :hy_j^k−1,yi aberto};

Y_j^k =Y_j−1^k ∪ X_kj; Z_k =Y_r^k

k−1; W_k =W_k−1∪ Z_k. SejaK=K_x = min{k ≥1 : Z_k =∅}. Então,C_x =W_K.

Simulação do proc crescimento

Z1

Z5=∅ Z3

Z4

Z0

Z2 X34

X₂₁

X₃₁= ∅

X₂₃ X₂₂

X33

X₄₃ X₁₁

X₃₂= ∅

X₄₂= ∅ X₄₁= ∅

X51= ∅ X₃₅= ∅

C

8

Processo de adição e saturação

Vamos pensar no processo de crescimento como feito passo a passo, com os passos sucessivos

0,R0= 1,R0+ 1, . . . ,R1,R1+ 1, . . . ,RK, ondeRk =r0+· · ·+rk,k = 0, . . . ,K.

No passo 0/inicial, começamos com o aglomerado inicial{x};

em dado passo seguinteR₀,R₀+ 1, . . .:

(i)adicionamosnovos sítios, a saber, os elementos de X_kj, para certos 1≤k≤ K, 1≤j ≤rk−1†, ao aglomerado do passo anterior: W_k−1∪ Y_j−1^k —o que resulta no aglomerado do passo atual: W_k−1∪ Y_j^k —, e

(ii) declaramosy_j^k−1 saturado.

†segundo a ordem natural do proc cres, como descrito no slide 7

Obs.

1) Pode (e vai) acontecer de em dado passo, o correspondenteXkj ser vazio; neste caso, na prática não há adição, mas de toda forma há saturação dey_j^k−1;

2) A cada passo do proc cresc após o passo inicial, o correspondente y_j^k−1pertence aoaglomerado do passo anteriorW_k−1∪ Y_j−1^k ; 3) No final do procedimento (completado o passoR_K),C_x consiste

exatamente de todos os sítios saturados pelo procedimento.

Noi-ésimo passo do procedimento, i≥1, seja Ai o aglomerado do passo anterior, ie, para os correspondentesk,j na rotulagem original,

A_i =W_k−1∪ Y_j−1^k ; e sejam

A_i =|A_i|eX_i=|X_kj|.

4) a) Parai≥1,Ai =Pi−1

`=0X`, ondeX0= 1;

b) dado queAi =m, com 1≤m≤n,Xi ∼Bin(n−m,p);

note que, sem=o(n), então X_i≈Poisson(λ);

5) Podemos obter, aumentando o esp de prob subjacente, se necessário, para dada realização deX₁,X₂, . . ., uma seq de v.a.’sX₁⁺,X₂⁺, . . .iid comX₁⁺∼Bin(n,p) eX_i ≤X_i⁺, i≥1.

10

G

(p) e Ramificação

Vamos usar o proc ramif com desc Poisson(λ) para analisar Gn(p) a partir dos aglomerados de sítios deG_n(p), cujos primeiros estágios de crescimento, como indicado acima, tem adiçõesX_i com distr aprox Bin(n,p)≈Poisson(λ) enqtoA_i não for muito grande (da ordem de n).

Quandoλ <1, os aglomerados do proc de ram nunca são muito grandes, então esta estratégia funciona bem neste caso.

Quandoλ >1, há sobrevivência no proc de ram (família com infinitas gerações não vazias) com prob>0, e se dada geração da família for bastante grande, então haverá alta prob de sobrevivência da família.

Ideia da dem do Teo 1 (ii): como há muitos sítios emVn, e enqto os respectivos aglomerados não forem muito grandes, tudo se passa como na ramif: a prob de pelo menos um aglomerado atingir tamanho bastante grande é próx de 1; além disto, dado o confinamento deGn(p)^‡, se dois aglomerados atingem um tamanho bastante grande, então

subsequentemente coalescem com alta prob.

‡algo que não ocorre na ramif

Teo 1 — Dem de (i)

Basta mostrar que a prob comC₁ no lugar deC₁^∗ é o(1/n), pois, fazendo`=d_(1−λ)³ 2 logne, temos que

P(|C₁^∗|> `) =P(∪<sub>x∈Vn</sub>{|C<sub>x</sub>|> `})≤nP(|C₁|> `).

Segundo o procedimento de construção descrito anteriormente, temosRK> `, e logo ao menos `+ 1 sítios adicionados nos passos de 1 a`+ 1 (pois os sítios saturados em dado passo foram

incluídos até aquele passo — de fato, antes). Logo P(|C1|> `)≤P(P`+1

i=0Xi> `) =P(P`+1

i=1Xi ≥`)≤P(P`+1

i=1X_i⁺≥`) (∗) Note que<sup>P`+1</sup>_i=1X_i⁺∼Bin((`+ 1)n,p).

Poderíamos agora prosseguir usando cotas de Chernoff para a cauda da distr binom (note que (`+ 1)np∼λ``, pois λ <1).

Em vez disto, vamos comparar a distr binom com a distr Poisson, e obter cotas + diretas para a esta.

12

Comparação da distr binom com a distr de Poisson

Fatos: (i) Dadop∈(0,¹₂), seja ˜p=−log(1−p), eY1,Y2, . . . va’s iid∼Poisson(˜p). Então, paraN≥1,

B:=PN

i=11{Yi>0}∼Bin(N,p) (verifique) e, claramente, B≤S :=PN

i=1Y_i∼Poisson(N˜p). (1)

(ii) Por outro lado{S >B+ 5} está contido em PN

i=11{Yi≥4}≥1 ∪ PN

i=11{Yi=2}≥6

∪ PN

i=11{Yi=3}= 1;PN

i=11{Yi≥2}≥3

Subadtvdd: probs dos eventos da união acima podem ser cotados por NP(Y1≥4),N⁶P(Y1= 2)⁶eN³P(Y1= 3)P(Y1≥2)², resp;

por sua vez, estas expr podem ser cotadas por, a menos de cte mult, Np⁴,(Np²)⁶eN³p⁷, resp.

∴P(S>B+ 5)≤const{Np⁴+ (Np²)⁶+N³p⁷}. (2) Corolário.Do fato (1), temos a seguinte cota superior para a última prob em (∗) no slide anterior: P(S⁺≥`), onde S<sup>+</sup>∼Poisson((`+ 1)n˜p).

Estimação de P (S

≥ `)

P(S⁺≥`) =e^−M

∞

X

i=`

Mⁱ

i! =e^−MM^M M!

s1

z }| {

∞

X

i=`

i

Y

j=M+1

M j , onde M = (`+ 1)n˜p ∼λ`, e por Stirling,e^{−M M}_M!^M ∼ ^const√

M ≤1. Agora, s₁≤

∞

X

k=0

`

Y

j=M+1

M j

| {z }

ñ dep dek

`+k

Y

j=`+1

M j

| {z }

≤(M/`)^k

≤expn

−M

`

X

j=M+1

log( j M)1

M

| {z }

s2

o 1 1−M/`

| {z }

∼1/(1−λ)

,

e temos ques₂ ≈^R

1 λ

1 logx dx = ^1−λ_λ log_λ¹ ≥ ^(1−λ)_λ ². ComoM ∼λ_(1−λ)³ 2logn, segue que paran grande

s1 ≤ ^const_1−λn⁻² =o(1/n) Teo 1 (i)

Obs.Note que obtemos igualmente a cota deo(1/n) se substituirmos 3 por qualquer const>1, e logo o Teo 1 (i) é válido com esta substituição.

§lembre queλ <1 neste caso

14

Dem. Teo 1 (ii) — Lema 1

Sejamk−= _(λ−1)^16λ2lognek+=n^2/3. Lembre queλ >1 neste caso.

Lema 1C.a.p., para todo k∈[k₋,k+] e todo sítio x∈Vn, ou o proc cresc deCx descrito acima termina antes de k₋ passos ou há pelo menos (λ−1)k/2 sítiosnão saturadosgerados pelo proc cresc até aí. Em particular, c.a.p., nenhum aglomerado deGn(p) tem (exatamente)k sítios comk ∈[k−,k+].

Dem.Dadox ∈Vn, se RK≥k, então no (final do) passok do proc de cresc deCx temosk+ 1 sítios sat, eNk :=Pk

`=1X`−k sítios não sat.

No eventoE_k^x ={R_K≥k,Nk ≤(λ−1)k/2}, temos que Pk

`=1X`≤k+ (λ−1)k/2 = (λ+ 1)k/2,

e logo, supondo aindak≤k₊, temos queA<sub>`</sub>≤<sup>λ+1</sup><sub>2</sub> k<sub>+</sub>, 1≤`≤k.

Da 1^a parte da Obs. 4b no Slide 10, segue que existem, no espaço de prob aumentado do modelo como na Obs. 5 no mesmo slide, va’s X₁⁻, . . . ,X_k⁻ iid∼Bin(n−^λ+1₂ k+,p) tq, emE_k^x,X<sub>`</sub><sup>−</sup>≤X`,`≤k.

Dem. Lema 1 (cont)

A prob deE_k^x é então limitada parak∈[k−,k+] por P(Pk

`=1X<sub>`</sub>⁻≤^λ+1₂ k)≤P(S₋≤K⁰) +o(1/n^5/3), (1) ondeK⁰ =^λ+1₂ k+ 5,S₋ ∼Po(K),K =k(n−^λ+1₂ k+)˜p.

Obs.Usamos (2) do Slide 13 comN=k(n−^λ+1₂ k+)≤n^5/3.

Estimação deP(S−≤K⁰)^¶

Obs.K⁰ ∼λ⁰k,K ∼λk,λ⁰= ^λ+1₂ < λ, logoK⁰ K parangde.

Dadosa,btqλ⁰<a<b< λ, se ngde,P(S₋≤K⁰) é cotada por

ak

X

i=1

e^−bk(bk)ⁱ i! ≤b

a ak

e^−bk

ak

X

i=1

(ak)ⁱ i! ≤b

a ak

e^−bke^ak

=b

ae^1−baak

≤b

ae^1−baak−

=n^−2P, (2)

ondeP =_(λ−1)^8λ 2a ^b_a −1−log(^b_a) .

¶lembre queλ >1 neste caso

16

Est. P (S

≤ K

) (cont.)

Lema 1⁰. Dadoλ >1, existem a,b como acima tqP >1.

Dem.Por continuidade, basta tomar a=λ⁰,b=λ.

Neste caso, fazendoδ= ^λ−1_λ+1, temos que P = (1 +δ)_δ²2(δ−log(1 +δ)).

Note queδ=δ(λ) : (1,∞)→(0,1).

Expandindo o log em Taylor em torno de 0 e rearranjando:

P = 1 +^P_j≥1j(j^(1−δ)j+1_+1)(2j+1)δ^2j−1>1 seδ >0.

Dem. Lem 1 (cont)

De volta à dem Lema 1, usando o Lema 1⁰ em (2), subst em (1), temos que

P(E_k^x) =o(1/n^5/3). (3) Agora, o eventoE_n em que o proc de cresc de algum sítio deV_n chegou a algum passok ∈[k−,k⁺] com menos do que ^λ−1₂ k sítios não saturados satisfaz

E_n⊂ ∪_x∈Vn∪_k∈[k−,k+]E_k^x.

Por subadtvdde —|V_n|=n,k⁺=n^2/3 — e (3), temos que P(E_n)≤n×n^2/3×o(1/n^5/3) =o(1) Lema 1

18

Lema 2

Sex,y∈Vn são tais que|Cx|,|Cy| ≥k+, então c.a.p. Cx =Cy. Dem.Dadosx 6=y ∈V_n, seR_Kx,R_Ky ≥k₊, sejamNz o conjunto de sítios não saturados no passok₊do proc cresc deCz,z =x,y. Note que

|Nz|=N_z (vide 1^opar dem Lema 1, slide 15). Pelo Lema 1, no evento Eˆxy :={R_Kx,R_Ky ≥k+}, temos que c.a.p.Nz ≥ ^λ−1₂ k+,z =x,y.

Em{R_Kz ≥k₊}, sejaS_z o conjunto de sítios saturados no passok₊ do proc cresc deCz,z =x,y. Temos então que, em{R_Kx,R_Ky ≥k+}, ou Nx∪ Sx ∩

Ny∪ Sy 6=∅, e neste casoCx =Cy; se não,Nx∩ Ny =∅.

Logo, em ˆE_xy, para queCx 6=Cy, é preciso que ocorra o evento ˜E_xy de que os elos (u,w),u∈ N_x, w ∈ N_y devem estar todos fechados. Como neste caso nenhum destes elos terá sido ainda examinado até o passok₊, temos que, fazendoE_xy^∗ = ˆE_xy ∩E˜_xy,

P(E_xy^∗)≤(1−p) ^{λ−12 k+} 2

=h

1−^λ_nⁿi^(λ−1)2₄ n^1/3

≤e^{−λ(λ−1)24 n1/3}=o _n¹₂

∴a prob de que ∃x,y ∈Vntq|Cx|,|Cy| ≥k+eCx 6=Cy é cotada por P(∪x,y∈VnE_xy^∗)≤n²×o _n¹2

→0 qdo n→ ∞. ^{Lema 2}

Dem. Teo 1 (ii) — Lema 3

Dos lemas anteriores, temos que c.a.p. cada sítiox deV_n pode ser classificado como

pequeno: se|C_x| ≤k−; ou como

grande: se|C_x| ≥k₊; todos os sítios gdes num mesmo aglom Para completar a prova do teo:

estimar Y := #{sítios pequenos deG_n(p)}

Lema 3. C.a.p. Y = [1−β−o(1)]n

Dem.Dado x ∈Vn, seja ρ=ρ(n,p) = prob de que x seja peq.

Entãoρ≤ρ+(n,p) = prob ext proc ram c/desc Bin(n−k−,p).

(Pois, como apontado na situação similar no final do slide 15, podemos obter a existência de va’s ˜X1,X˜2, . . . iid com distr Bin(n−k−,p) tq ˜X_{`</sub>≤X<sub>`},`≤RK, em {|C_x| ≤k−}; logo,

|C_x| ≤k−⇒ tamanho da família do proc ram com desc ˜X ≤k−.)

20

Dem. Lem 3 (cont)

Por outro lado, comoX_{`</sub> ≤X<sub>`}⁺, se ocorrer o evento A={proc ram c/descX⁺ se extingue até passok−}^k, então|C_x| ≤k−; logo

ρ≥P(A) =

:=ρ−

z }| {

P(proc ram c/descX⁺ se extingue)

−P(proc ram c/descX⁺ se extingue apósk− passos)

=ρ−+o(1)

Obs. ρ₊, ρ− →1−β qdo n→ ∞

Segue queE(Y) =nρ=n(1−β+o(1)).

Note agora queY² = ^P_x∈Vn1{|Ci|≤k−}

2

=

=^P_x∈Vn1{|C_x|≤k−} P

y∈C_x 1{|C_y|≤k−}

| {z }

|Cx|

+^P_{y∈C/ x}1{|C_y|≤k−}

i

kmesmo proc cresc p/proc ram do que p/Cx

Dem. Lem 3 (cont)

∴E(Y²)≤nρk−+^P_x∈VnE ^Py∈C/ _x 1{|Cy|≤k−};|C_x| ≤k− (1) Obs. {C_y,y ∈ C/ _x}: componentes de G_n−|Cx|(p)

E[· · ·] =^P_{C⊂Vn:|C|≤k−}^P_y∈C/ P(|C_y| ≤k−;C_x =C)

=^Pk_k=1^{− P}_C:|C|=k^P_y∈Vn−kP(|C_y^k| ≤k−)

| {z }

ρ(n−k,p)

P(C_x =C)

≤ max

1≤k≤k−

ρ(n−k,p)nρ

=nρρ(n−k−,p)≤nρρ₊(n−k−,p), (2) ondeC_y^k é o aglomerado de y emGn−k(p).

Subst (2) em (1):

E(Y²)≤n²ρρ+(n−k−,p)≤(1 +o(1))[E(Y)]² (3)

22

Dem. Lem 3 (cont)

Tchebichev:

P(|Y −E(Y)|> εE(Y))≤ Var(Y)

ε²(E(Y))² = E(Y²)−(E(Y))² ε²(E(Y))²

(3)

≤ o(1)

ε² →0 qdon→ ∞ ∀ ε >0, e, logo, podemos tomarε=o(1).

Lema 3, Teo 1 (ii)