A constru¸ c˜ ao do grau

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Instituto de Matem´ atica e Estat´ıstica

A constru¸ c˜ ao do grau

topol´ ogico e sua aplica¸ c˜ ao a um sistema diferencial n˜ ao

linear com condi¸ c˜ oes de contorno.

Adriano Leandro da Costa Peixoto sob orienta¸ c˜ ao do Professor Doutor Pierluigi Benevieri.

Disserta¸c˜ao de mestrado apresentada ao Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica

da USP para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

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Nota¸ c˜ oes

sgn x pag. 14 −1 se x <0; 0 sex= 0; 1 se x >0

det pag. 14 determinante de uma matriz

∂ pag. 16 bordo topol´ogica

δ pag. 16 bordo diferencial

conv pag. 17 envolt´orio convexo

sup pag. 17 supremo

inf pag. 17 ´ınfimo

| · | pag. 18 norma de um elemento deR

(f, U, y) pag. 22 terna admiss´ıvel para o grau topol´ogico de Brouwer

deg_B pag. 22 grau topol´ogico de Brouwer {e₁, e2,· · ·, en−1, en} pag. 27 base canˆonica doRⁿ

h·,·i pag. 28 produto interno

span A pag. 28 espa¸co gerado pelo conjuntoA

3

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V^⊥ pag. 28 espa¸co ortogonal ao espa¸co V dist(x, y) pag. 32 distˆancia entre xe y

k · k pag. 32 norma de um elemento doRⁿ,n >1 B_α(x) pag. 33 bola aberta de centro x e raioα max{x, y} pag. 54 o m´aximo entre os valores dex, y∈R (f, U, y) pag. 68 terna admiss´ıvel para o grau topol´ogico

de Leray-Schauder

deg_LS pag. 73 grau topol´ogico de Leray-Schauder C pag. 84 C([0, T],Rⁿ)

C¹ pag. 84 C¹([0, T],Rⁿ)

CT pag. 84 {u∈C:u(0) =u(T)}

C_T¹ pag. 84 {u∈C¹ :u(0) =u(T), u⁰(0) =u⁰(T)}

L¹ pag. 84 L1([0, T],Rⁿ) L¹_m pag. 84 {h∈L¹:RT

0 h(t)dt= 0}

k · k₀ pag. 84 norma de um elemento deC k · k₁ pag. 84 norma de um elemento deC¹ k · k_L1 pag. 84 norma de um elemento deL1

N_f pag. 93 operador de Nemytski

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Resumo

O pricipal objetivo deste trabalho é apresentar a constru¸cão do grau topológico em dimensão finita e infinita. Veremos, também, algumas de suas propriedades e aplica¸cões topológicas, como o clássico Teorema de ponto fixo de Brouwer. Seguindo o que fizeram Manásevich e Mawhin no artigo

“Periodic Solutions for Nonlinear Systems withp-Laplacian-Like Operators.

Journal of Differential Equations, vol. 145, p. 367-393, 1998”, vamos provar a existência de solu¸cões para um sistema diferencial não linear com condi¸cões de contorno, usando, entre outras ferramentas, o grau topológico.

Palavras-chave: teoria do grau, grau de Brouwer, grau de Leray- Schauder.

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Abstract

The main purpose of this work is the construction of the topological degree in finite and infinite dimension. In addition, we will see some of its pro- perties and topological applications. Following the approach of Man´asevich and Mawhin in the paper “Periodic Solutions for Nonlinear Systems with p-Laplacian-Like Operators. Journal of Differential Equations, vol. 145, p.

367-393, 1998”, we will prove the existence of solutions for a nonlinear differential system with boundary conditions, using, among other tools, the topological degree.

Keywords: degree theory, Brouwer degree, Leray-Schauder degree.

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Sum´ ario

Introdu¸c˜ao 11

1 Preliminares 13

1.1 Algebra linear . . . .´ 13

1.2 Topologia diferencial . . . 16

1.3 An´alise . . . 16

1.4 Topologia geral . . . 18

2 Grau topológico em dimensão finita 21 2.1 Defini¸cão do grau para valores regulares . . . 22

2.2 Defini¸c˜ao do grau para valores cr´ıticos . . . 32

2.3 Defini¸c˜ao do grau para fun¸c˜oes cont´ınuas . . . 34

2.4 Propriedades do grau topol´ogico de Brouwer . . . 36

2.5 Grau de Brouwer em espa¸cos normados . . . 45

3 Algumas aplica¸c˜oes do grau de Brouwer 53 3.1 Teorema do ponto fixo de Brouwer . . . 53

3.2 Teorema de Borsuk . . . 56

4 Grau topológico em dimensão infinita 65 4.1 Introdu¸cão ao grau de Leray-Schauder . . . 65

4.2 Grau de Leray-Schauder . . . 68

4.3 Propriedades do grau de Leray-Schauder . . . 73

5 Sistemas n˜ao lineares 83 5.1 Introdu¸c˜ao . . . 83

5.2 Problema auxiliar . . . 84

5.3 Problema principal . . . 93 9

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Introdu¸ c˜ ao

Neste trabalho, vamos apresentar uma ferramenta muito importante da Análise funcional não linear chamada grau topológico. O grau topológico nos fornece informa¸cões sobre solu¸cões de equa¸cões do tipo

f(x) =y,

ondef :X→Y é uma fun¸cão dada entre, por exemplo, espa¸cos euclidianos (Rⁿ), variedades diferenciáveis ou espa¸cos normados de dimensão infinita, y é um ponto dado em Y e U ⊆ X é um conjunto onde procuramos as solu¸cões. Esta ferramenta é uma fun¸cão que associa a cada terna do tipo (f, U, y) um número inteiro.

A constru¸cão e as propriedades do grau topológico nos permitem obter informa¸cões sobre a equa¸cão f(x) = y em U. Tais informa¸cões podem ser, por exemplo, existência e localiza¸cão de solu¸cões. Isso será poss´ıvel gra¸cas

`

as propriedades que a constru¸cão do grau topológico permitirá provar. Por exemplo, a propriedade , talvez, mais importante é chamada de existência de solu¸cão. Tal propriedade diz que, se o grau topológico da terna (f, U, y)

´

e não nulo, então a equa¸cão f(x) = y possui solu¸cão em U. Uma outra propriedade é um tipo de invariância do grau topológico por homotopias.

Algumas vezes podemos nos deparar com uma fun¸cão f muito complicada, de tal maneira que se torna dif´ıcil determinar o grau topológico da terna (f, U, y). Entretanto, veremos que, se conseguirmos deformar continuamente a fun¸cãof a uma fun¸cão mais simples,g, o grau topológico da terna (g, U, y) será igual ao grau topológico da terna (f, U, y).

No Cap´ıtulo 1 deste trabalho, veremos alguns resultados preliminares de Algebra linear, Topologia geral, Topologia diferencial e An´´ alise que ser˜ao usados nos cap´ıtulos seguintes.

No Cap´ıtulo 2, faremos a constru¸cão do grau topológico em espa¸cos de dimensão finita, também chamado de Grau topológico de Brouwer. As principais referências deste cap´ıtulo são [13, Outerelo & Ruiz], [6, Fonseca

& Gangbo] e [5, Deimling].

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No Cap´ıtulo 3, vamos ver o Teorema do ponto fixo de Brouwer e o Te- orema de Borsuk, que s˜ao dois exemplos de aplica¸c˜ao do grau de Brouwer.

Esses teoremas podem ser encontrados em [13, Outerelo & Ruiz] e [6, Fon- seca & Gangbo].

No Cap´ıtulo 4, vamos estudar o grau topológico em espa¸cos de Banach de dimensão infinita, conhecido como Grau de Leray-Schauder. As referências para este cap´ıtulo são [12, Mawhin] e [6, Fonseca & Gangbo].

No último cap´ıtulo deste trabalho, Cap´ıtulo 5, usaremos o grau to- pológico para mostrar a existência de solu¸cões para um sistema de equa¸cões diferenciais não lineares com condi¸cões de contorno. Este cap´ıtulo é norteado pelo artigo [11, Manásevich & Mawhin].

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Preliminares

Neste trabalho, precisaremos de alguns resultados básicos de Álgebra linear, Topologia geral, Topologia diferencial e Análise. Neste cap´ıtulo, apresentaremos tais resultados.

1.1 Algebra linear ´

Os resultados a seguir s˜ao referentes a bases de espa¸cos vetoriais e de- terminantes de matrizes.

Defini¸cão 1.1. SejaV um espa¸co vetorial real de dimensão finita e considere B1 e B2 duas bases de V. Então, as bases B1 e B2 são equivalentes se a matriz de mudan¸ca de base entre B₁ e B₂ tem determinante positivo.

Proposi¸cão 1.2. Sejam V eW espa¸cos vetoriais reais de mesma dimensão finita e L : V → W um isomorfismo. Considere B e C bases de V e W, respectivamente, tais que a matriz A do operador linear L nestas bases tem determinante positivo. Então, a base Bb=L⁻¹(C) de V é equivalente à base B.

Demonstra¸cão. Seja M a matriz de mudan¸ca de base de Bb para B. Note que as colunas da matriz M são formadas pelas coordenadas dos vetores de Bb escritos na base B e as colunas da matriz A⁻¹ são formadas pelas coordenadas das imagens dos vetores de C pelo operador L⁻¹ escritos na base B. Como Bb = L⁻¹(C), então M = A⁻¹. Desde que detA⁻¹ > 0, temosBb equivalente à B.

Proposi¸c˜ao 1.3. SejamT :Rⁿ→Rⁿ um isomorfismo eA a matriz associada aT na base canˆonica. Considere uma outra base B doRⁿ e a matriz Ab

13

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associada a T, onde fixamos a base B no dom´ınio e a canônica no contradom´ınio. Então, sgn detAb= sgn detA se, e somente se, B é equivalente

`

a base canˆonica.

Demonstra¸c˜ao. Sejam Σn a base canˆonica doRⁿ eM a matriz de mudan¸ca da base Σ_n para a baseB. Observe o seguinte:

• As colunas da matriz A s˜ao formadas pelas coordenadas das imagens dos vetores de Σ_n pelo operador T escritas na base Σ_n;

• As colunas da matrizAb⁻¹s˜ao formadas pelas coordenadas das imagens dos vetores de Σn pelo operador T⁻¹ escritos na base B.

Da observa¸cão acima, conclu´ımos que as colunas da matriz Ab⁻¹A são formadas pelas coordenadas das imagens dos vetores de Σn pelo operador T⁻¹◦T =I escritos na baseB. Então,M =Ab⁻¹A.

Sabemos, pela Defini¸c˜ao 1.1, que as bases Σn e B serem equivalentes ´e o mesmo que dizer que detM >0. Desta forma, temos

detM >0⇔detAb⁻¹A >0⇔detAb⁻¹·detA >b 0.

Sendo assim,

sgn detA= sgn detA.b

Proposi¸cão 1.4. Considere um espa¸co vetorialV de dimensão finita sobre R. Sejam L : V → V um isomorfismo, α uma base de V fixada e Aα a matriz deL na base α. Então,detA_α não depende de α.

Demonstra¸cão. Sejamβ uma base qualquer deV eM a matriz de mudan¸ca da baseα para a baseβ. Desta forma,M⁻¹é a matriz de mudan¸ca da base β para a baseα. Observe que, seA_β é a matriz deLna baseβ, então

A_β =M A_αM⁻¹, portanto

detAβ = detAα.

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Proposi¸cão 1.5. Sejam V eW dois espa¸cos vetoriais de mesma dimensão finita sobre R. Considere os isomorfismos L : V → V, S : V → W e S ◦ L◦S⁻¹ : W → W. Fixadas as bases de V e W, se A é a matriz associada a L e B a matriz associada a S ◦L◦S⁻¹ nestas bases, então detA= detB.

Demonstra¸c˜ao. SejaM a matriz associada aS na base fixada deW. Temos B =M AM⁻¹,

portanto

detA= detB.

A prova da proposi¸c˜ao a seguir pode ser encontrada em [8, Hoffman &

Kunze].

Proposi¸c˜ao 1.6. Considere uma matriz em blocos de ordem n da seguinte forma

A B

0 C

,

onde A é uma matriz r×r,C é uma matriz s×s, B é uma matriz r×se 0 é a matriz nula s×r. Então,

det

A B

0 C

= detA·detC.

Analogamente, se a matriz em blocos ´e da forma A 0

B C

,

onde A é uma matriz r×r,C é uma matriz s×s, B é uma matriz s×r e 0 é a matriz nula r×s,então

det

A 0

B C

= detA·detC.

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1.2 Topologia diferencial

Nesta se¸cão, veremos alguns resultados de topologia diferencial. Con- sideramos conhecidas as defini¸cões de variedade diferenciável com bordo e sem bordo e, também, o conceito de difeomorfismo entre variedades.

Usaremos o s´ımbolo δX para denotar o bordo diferencial da variedade X. Vale lembrar que δX é uma variedade diferenciável sem bordo com dimensão igual a dimX−1. Ressaltamos que as variedades que aparecem no desenvolvimento deste trabalho são subvariedades do espa¸co euclidiano Rⁿ.

No caso em que X for um subconjunto de um espa¸co topológico Y, o s´ımbolo∂X denotará o bordo topológico deX.

Defini¸cão 1.7. Sejam X e Y variedades diferenciáveis e f : X → Y de classe C¹. Dizemos que x ∈ X é ponto regular de f se f⁰(x) é sobrejetor.

Caso contrário dizemos que xé ponto cr´ıtico de f. Além disso, se y ∈Y é tal que f⁻¹(y) contém pelo menos um ponto cr´ıtico, dizemos quey é valor cr´ıtico de f. Sef⁻¹(y) é vazio ou contém apenas pontos regulares, dizemos quey évalor regular de f.

As próximas três proposi¸cões podem ser encontradas em [13, Outerelo

& Ruiz].

Proposi¸cão 1.8. Considere X eY variedades diferenciáveis, X com bordo e Y sem bordo, e seja f : X → Y uma fun¸cão de classe C¹. Seja y ∈ Y um valor regular de f e def|_δX. Então,f⁻¹(y)é uma variedade com bordo f⁻¹(y)∩δX, cuja dimensão é dim(X)−dim(Y).

Proposi¸cão 1.9. Toda variedade de dimensão 1, compacta, conexa e com bordo é difeomorfa ao intervalo[0,1], se tiver bordo, ou aS¹, caso contrário.

Proposi¸cão 1.10 (Teorema de Sard). Considere X e Y variedades dife- renciáveis e f :X → Y de classe C^k, com k >dimX−dimY. Então, o conjunto dos valores regulares de f é denso em Y.

1.3 An´ alise

Iniciamos esta se¸c˜ao com resultados referentes a conjuntos convexos.

Defini¸c˜ao 1.11. Seja D ⊆ Rⁿ um conjunto qualquer. Dizemos que D ´e convexo se

λx+ (1−λ)y ∈ D,

(17)

para todox, y∈D e para todo λ∈[0,1].

Defini¸cão 1.12. Seja D ⊆ Rⁿ um conjunto qualquer. Chamamos de en- voltório convexo de D a interseçcão de todos os conjuntos convexos que contém D. Denotaremos o envoltório convexo deDpor convD.

A demonstra¸c˜ao do resultado seguinte pode ser encontrada em [2, Bach- man & Narici].

Lema 1.13. Seja D⊆Rⁿ um conjunto qualquer. Ent˜ao, convD=

( _n X

i=1

λ_ix_i :x_i ∈D;λ_i ∈[0,1] e

n

X

i=1

λ_i = 1;n∈N )

.

A seguir, apresentamos um importante teorema de extensão de fun¸cões cont´ınuas, cuja demonstra¸cão pode ser encontrada em [6, Fonseca & Gangbo, pag. 16].

Teorema 1.14 (Teorema de extensão de Tietze). Sejam X um espa¸co métrico, A⊆X um conjunto fechado e f :A → R uma fun¸cão cont´ınua e limitada. Então, existe uma fun¸cão cont´ınuag:X →R tal que g|_A=f e

sup

x∈X

g(x) = sup

x∈A

f(x) e inf

x∈Xg(x) = inf

x∈Af(x).

O teorema de Tietze acima tem uma extens˜ao imediata ao caso em que o contradom´ınio def tem dimens˜ao m >1. Veja [6, Fonseca & Gangbo].

Proposi¸cão 1.15. Sejam K, L ⊆ Rⁿ dois conjuntos compactos tais que K ⊆L. Considere uma fun¸cão cont´ınua f :K → R^m. Então, existe uma fun¸cão cont´ınuag:L→R^m tal que g|_K =f e

sup

x∈K

f_i(x) :i= 1,· · · , m

= sup

sup

x∈L

g_i(x) :i= 1,· · · , m

, onde f_i e g_i denotam as i-´esimas coordenadas de f eg, respectivamente.

Os dois resultados que seguem podem ser encontrados em [3, Bartle]

Proposi¸cão 1.16 (Teorema de Aproxima¸cão de Weierstrass). Seja f uma fun¸cão cont´ınua em um intervalo compacto deRe com valores em R. Então f pode ser aproximada uniformemente por uma fun¸cão polinomial.

Proposi¸cão 1.17 (Teorema de Ascoli-Arzelà). Sejam K um subconjunto compacto do Rⁿ e F uma fam´ılia de fun¸cões cont´ınuas em K com valores noR^m. Então, as seguintes propriedades são equivalentes:

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(a) A fam´ılia F ´e limitada e equicont´ınua emK.

(b) Toda sequˆencia emF tem uma subsequˆencia uniformemente convergente em K.

O pr´oximo resultado pode ser encontrado em [1, Apostol].

Proposi¸cão 1.18 (Teorema da convergência dominada de Lebesgue). Seja (f_n)uma sequência de fun¸cões Lebesgue-integráveis em um intervaloI. As- suma que

i) (f_n) converge paraf quase sempre em I.

ii) Existe uma fun¸cãog:I →Rnão negativa e Lesbegue-integrável tal que, para todo n≥1,

|f_n(x)| ≤g(x) para quase todo x∈I.

Então,f é Lesbegue-integrável, a sequência R

Ifn

converge e Z

I

f = lim

n→∞

Z

I

f_n.

O resultado que segue pode ser encontrado em [10, Elon].

Proposi¸cão 1.19 (Teorema da fun¸cão inversa). Seja f :U →Rⁿ de classe C^k(k ≥ 1) no aberto U ⊆ Rⁿ. Se a ∈ U é tal que f⁰(a) : Rⁿ → Rⁿ é invert´ıvel, então existe uma bola abertaB ⊆U tal que a restri¸cãof|_B é um difeomorfismo sobre um aberto V que contém f(a).

1.4 Topologia geral

Nesta se¸cão M e N são espa¸cos métricos.

Defini¸cão 1.20. Sejam Ω ⊆ M um subconjunto qualquer e f : M → N uma fun¸cão. Então, dizemos quef éprópriaem Ω sef⁻¹(K)∩Ω é compacto emM para todoK subconjunto compacto de N.

Defini¸cão 1.21. Considere uma fun¸cão f : M → N. Dizemos que f é fechada, sef(F) é um conjunto fechado emN para todoF fechado emM. Proposi¸cão 1.22. Sef :M →N é cont´ınua e própria nos fechados deM, então f é fechada.

(19)

Demonstra¸cão. FixeF ⊆Mfechado. Considere uma sequência (yn)⊆f(F) convergente para y ∈ N. Seja K = {y_n : n ∈ N} ∪ {y}, que é compacto em N, portanto, por hipótese, f⁻¹(K) ∩F é compacto em M. Agora, considere uma sequência (zn)⊆F tal que, para cada n,f(zn) =yn. Desta forma, (zn) ⊆f⁻¹(K)∩F. Pela compacidade de f⁻¹(K)∩F, existe uma subsequência (z_n_k) de (z_n) que converge para algum z em f⁻¹(K)∩ F.

Sendo f cont´ınua, segue que f(znk) converge para f(z), mas f(znk) é uma subsequência de (yn), portanto f(zn_k) converge para y. Pela unicidade do limite, temos f(z) = y. Como z ∈ F, então y ∈ f(F). Logo, f(F) é fechado.

A seguir, apresentamos um resultado no espa¸co euclidianoRⁿ.

Lema 1.23. Sejam U ⊆Rⁿ aberto e limitado e f :U →Rⁿ cont´ınua em U e de classe C¹ em U. Se y é valor regular de f em U e y /∈ f(∂U), então f⁻¹(y)∩U é um conjunto finito.

Demonstra¸cão. Podemos suporf⁻¹(y)∩U 6=∅. Como yé valor regular ef emU, então f⁰(x) é sobrejetor para todox∈f⁻¹(y)∩U. Portanto, usando o Teorema da Fun¸cão Inversa, conseguimos, para cada x₀ ∈ f⁻¹(y)∩U, uma vizinhan¸ca U_x₀ de x₀ tal que f⁻¹(y)∩U_x₀ = {x₀}. Assim, os pontos x ∈ f⁻¹(y)∩U são isolados. Este fato garante que f⁻¹(y)∩U é finito, pois caso contrário, como U é compacto, f⁻¹(y) ∩U tem um ponto de acumula¸cão x ∈ U. Sendo f cont´ınua, temosf(x) =y e como y /∈f(∂U), obtemosx∈U. Desta forma, encontramosx∈f⁻¹(y)∩U comxnão sendo ponto isolado, o que é uma contradi¸cão. Logo, f⁻¹(y)∩U é finito.

(20)

(21)

Grau topol´ ogico em dimens˜ ao finita

Como dito na introdu¸cão deste trabalho, o grau topológico é uma ferramenta que ajuda no estudo de equa¸cões do tipof(x) =y, ondef :X →Y

´

e uma fun¸cão dada e X e Y podem ser, por exemplo, espa¸cos euclidianos, variedades diferenciáveis ou espa¸cos normados de dimensão infinita. Além disso, y ∈ Y é um ponto dado e U ⊆ X é um conjunto onde as solu¸cões estão sendo procuradas.

Neste cap´ıtulo vamos construir o grau topológico para fun¸cões definidas entre espa¸cos vetoriais reais, normados e de dimensão finita, em particular, Rⁿ. Este grau topológico é conhecido como grau topológico de Brouwer, definido por Brouwer em [4]. A teoria do grau topológico de Brouwer pode ser encontrada, por exemplo, em [6, Fonseca & Gangbo] e [5, Deimling].

Na prática, para construir o grau topológico de Brouwer, vamos estabe- lecer uma fam´ılia T de ternas (f, U, y), que chamaremos de admiss´ıveis. O grau topológico de Brouwer será uma funcão deg_B :T → Z, ou seja, uma fun¸cão que associa a cada terna admiss´ıvel um número inteiro. A forma que fazemos a constru¸cão desta fun¸cão e as consequentes propriedades que ela verifica permitem obter infoma¸cões sobre a equa¸cãof(x) =y em U.

No primeiro momento, o espa¸co de dimensão finita considerado será o espa¸co euclidianoRⁿ. Neste caso, primeiramente, a fun¸cão f será de classe C² em U e y um valor regular de f em U. Em seguida, estenderemos a defini¸cão de grau topológico ao caso em que y será valor cr´ıtico de f em U, mantendo, ainda, f de classe C². O próximo passo será estender tal defini¸cão ao caso em que f será cont´ınua. Tendo definido o grau topológico, apresentaremos uma lista de suas propriedades.

21

(22)

Em um segundo momento, vamos considerar um espa¸co normado qualquer de dimensão finita sobre R. E então, seguiremos um caminho análogo ao feito no caso Rⁿ.

A partir deste ponto, diremos, simplesmente, grau em vez de grau topol´ogico.

2.1 Defini¸ c˜ ao do grau para valores regulares

Iniciaremos a constru¸c˜ao do grau de Brouwer com a seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸cão 2.1 (Terna admiss´ıvel). Considere Ω um subconjunto qualquer doRⁿeU um subconjunto aberto e limitado doRⁿcomU ⊆Ω. Sef : Ω→ Rⁿé cont´ınua emU ey∈Rⁿé tal quef(x)6=ypara todoxque pertence ao bordo (no sentido topológico) ∂U de U, então dizemos que (f, U, y) é uma terna admiss´ıvel para o grau topológico.

Segue agora a defini¸c˜ao do grau de Brouwer para um caso espec´ıfico, como veremos em seu enunciado.

Defini¸c˜ao 2.2. Seja (f, U, y) uma terna admiss´ıvel com f de classe C² em U e y valor regular de f em U. Ent˜ao, definimos o grau de Brouwer de (f, U, y) como

deg_B(f, U, y) = X

x∈f⁻¹(y)∩U

sgn f⁰(x), (2.1)

onde sgnf⁰(x) denota o sinal do determinante da matriz associada ao operador linearf⁰(x) em qualquer base. Sef⁻¹(y)∩U =∅, definimos

deg_B(f, U, y) = 0.

Pelo Lema 1.23, f⁻¹(y)∩U é um conjunto finito e portanto o segundo membro da fórmula (2.1) é uma soma finita, logo, neste caso particular, o grau de Brouwer está bem definido.

A fun¸c˜ao dada pela f´ormula (2.1), definida em um subconjunto do conjunto das ternas admiss´ıveis, possue as propriedades que veremos a seguir.

Proposi¸cão 2.3. As seguintes propriedades são válidas:

1. (Normaliza¸cão). Sejam I : Rⁿ → Rⁿ a fun¸cão identidade e U um subconjunto aberto e limitado do Rⁿ, então

deg_B(I, U, y) = 1,∀y∈U.

(23)

2. (Transla¸c˜ao). Seja (f, U, y) uma terna admiss´ıvel com f de classe C² em U ey valor regular de f em U. Ent˜ao,

deg_B(f, U, y) = deg_B(f −y, U,0).

3. (Aditividade). Seja (f, U, y) uma terna admiss´ıvel com f de classe C² em U e y valor regular de f em U. Se U₁, U₂ ⊆ U s˜ao abertos e disjuntos com y /∈f(U \(U₁∪U₂)), ent˜ao

deg_B(f, U, y) = deg_B(f, U1, y) + deg_B(f, U2, y).

4. (Invariância local). Seja(f, U, y)uma terna admiss´ıvel comf de classe C² em U ey valor regular def em U. Então, existe uma vizinhan¸ca V de y tal que, para todo z∈V, deg_B(f, U, z) está definido e

deg_B(f, U, z) = deg_B(f, U, y).

5. (Invariância homotópica). Sejam U um subconjunto aberto e limitado doRⁿ eH :U×[0,1]→Rⁿ cont´ınua emU×[0,1]e de classe C² em U ×[0,1]. Considere y ∈Rⁿ tal que H(x, λ)6=y para todo x ∈∂U e para todo λ∈ [0,1]. Denotando H0 =H(·,0) e H1 =H(·,1), se y é valor regular para H₀|_U e H₁|_U, então

deg_B(H₀, U, y) = deg_B(H₁, U, y).

Demonstra¸cão. 1 - Pela Defini¸cão 2.2, é evidente.

2 - Definindog=f−y, notamos quef(x) =yse, e somente se,g(x) = 0 e quef⁰(x) =g⁰(x) para todox∈U. Desta forma, temosf⁻¹(y) =g⁻¹(0), portanto

deg_B(f, U, y) = X

x∈f⁻¹(y)∩U

sgn f⁰(x) = X

x∈g⁻¹(0)∩U

sgng⁰(x) = deg_B(g, U,0).

Logo,

deg_B(f, U, y) = deg_B(f−y, U,0).

3 - Pela Defini¸c˜ao 2.2, ´e evidente.

4 - Suponha f⁻¹(y)∩U =∅, que, pela Defini¸c˜ao 2.2, implica deg_B(f, U, y) = 0.

Sendo U compacto e f|_U : U → Rⁿ cont´ınua, segue que f(U) ´e compacto e, portanto, fechado. Sendo assim, como y /∈ f(U), ent˜ao existe

(24)

uma vizinhan¸ca V de y com V ⊆ Rⁿ\f(U). Portanto, para todo z ∈ V, f⁻¹(z)∩U =∅. Assim, temos deg_B(f, U, z) = 0 para todo z∈V. Logo,

deg_B(f, U, z) = deg_B(f, U, y), ∀z∈V.

Agora, vamos supor que f⁻¹(y)∩U ={x₁,· · ·, x_k}. Afirmo que o conjunto C dos pontos cr´ıticos de f|_U é fechado. De fato, sex é ponto cr´ıtico de f|_U, então o determinante da matriz de f⁰|_U(x) é nulo. Como a fun¸cão que a cada pontox associa o determinante da matriz def⁰|_U(x) é cont´ınua, entãoCé fechado, poisCé a imagem inversa do 0 por uma fun¸cão cont´ınua.

ComoCé fechado dentro de um compacto, entãoC é compacto. Segue que f(C) é compacto, portanto, é fechado. Como y /∈ f(C), então existe uma vizinhan¸ca Vb de y formada apenas por valores regulares de f|_U. Usando o fato quef(∂U) é fechado e quey /∈f(∂U), podemos tomarVb de tal maneira queVb∩f(∂U) =∅. Logo, deg_B(f, U, z) existe para todo z∈Vb.

Vamos mostrar que temos uma vizinhan¸ca V de y, dentro de Vb, tal que o grau de (f, U, z) n˜ao depende de z ∈ V. Pelo Teorema da Fun¸c˜ao Inversa existem vizinhan¸cas U1,· · · , Uk de x1,· · · , xk, respectivamente, e vizinhan¸cas V1,· · ·, V_k de y tais que, para todo 1≤j≤k,

f|_U_j :Uj →Vj

´

e um difeomorfismo. Sejam V =\

j

Vj e, para cada j, U_j =f⁻¹(V)∩Uj. Desta forma, segue que, para cada j,

f_j =f|_U_j :U_j → V

´

e um difeomorfismo, e portanto sgn f_j⁰(x) ´e constante emU_j. Considere

V =V \f

U \[

j

U_j . Agora, observe o seguinte:

i - Como U \S

jU_j ´e compacto, ent˜ao f(U \S

jU_j) ´e fechado. Logo,V ´e aberto;

ii - y∈V, poisf⁻¹(y) ={x₁,· · ·, x_k} ⊆S

jU_j;

(25)

iii - Fixe z ∈ V. Então, z ∈ V. Sendo, para cada j, fj uma fun¸cão bijetora, entãof⁻¹(z)∩ U_j é um conjunto unitário que chamaremos de {a_j}. Sendo assim, {a₁,· · ·, a_k} ⊆ f⁻¹(z)∩U. Agora, suponha que exista a∈f⁻¹(z)∩U tal quea /∈ {a₁,· · · , ak}. Então, como cada fj é bijetora,a /∈S

jU_j. Desta forma, f(a)∈f(U\S

jU_j) ez=f(a)∈/V, o que ´e contradi¸c˜ao. Portanto, f⁻¹(z)∩ U ⊆ {a₁,· · · , a_k}. Logo, f⁻¹(z)∩U ={a₁,· · ·, a_k}.

Como, para cada j,f|_U_j :U_j → V ´e um difeomorfismo, segue que sgn f⁰(aj) = sgnf⁰(xj).

Desta forma, conclu´ımos que, para todoz∈V, deg_B(f, U, z) =X

j

sgnf⁰(aj) =X

j

sgnf⁰(xj) = deg_B(f, U, y).

5 - Vamos dividir essa demonstra¸c˜ao em dois casos. No primeiro, vamos suporyvalor regular deH|_U×[0,1]e, no segundo, vamos excluir esta hip´otese.

Caso 1: suponha y valor regular de H|_U×[0,1]. Pela Proposi¸cão 1.8, sabemos que H⁻¹(y) é uma variedade com bordo de dimensão 1 e

δH⁻¹(y) =H⁻¹(y)∩δ(U×[0,1]) =H₀⁻¹(y)∪H₁⁻¹(y). (2.2) Agora, usando a Proposi¸cão 1.9, segue que cada componente conexa de H⁻¹(y) é difeomorfa ao intervalo [0,1] ou à circunferênciaS¹. SeC for uma componente conexa deH⁻¹(y) difeomorfa à circunferência S¹, entãoC não terá bordo, portanto, por (2.2),

H₀⁻¹(y)∩C=∅ e H₁⁻¹(y)∩C =∅.

Diante deste fato e observando que para os cálculos dos graus de (H₀, U, y) e (H₁, U, y) serão usados pontos que pertencem aH₀⁻¹(y)∪H₁⁻¹(y), conclu´ımos que os pontos das componentes conexas difeomorfas à circunferência S¹ podem ser descartados. Esta situa¸cão está ilustrada na figura abaixo:

R Rⁿ

0 1

C

(26)

No caso em que C seja uma componente conexa de H⁻¹(y) difeomorfa ao intervalo [0,1], C tem exatamente dois pontos P0 e P1 no bordo, onde {P₀, P₁}é imagem de {0,1} através de qualquer difeomorfismo de [0,1] em C. Pode ocorrer uma das seguintes situa¸cões:

(i) {P₀, P₁} ⊆U × {0}, (ii) {P₀, P1} ⊆U × {1},

(iii) P₀, P₁ não pertencem à mesma se¸cão U × {0}ou U× {1}.

Ilustramos abaixo essas trˆes situa¸c˜oes:

R Rⁿ

0 1

(i) P₀

P₁ C

R Rⁿ

0 1

(ii)

P₀ P₁ C

R Rⁿ

0 1

(iii)

P₀ C P₁

Analisando o caso (i), vamos parametrizar C por γ : [0,1]→Rⁿ⁺¹

comγ(0) =P₀= (x₀,0),γ(1) =P₁= (x₁,0) eγ⁰(t)6= 0 para todot∈[0,1].

Como, para todo t∈[0,1], H(γ(t)) =y e γ(t) ´e ponto regular de H, ent˜ao H⁰(γ(t)) :Rⁿ⁺¹ →Rⁿ

´

e operador linear sobrejetor. Portanto, para cadat∈[0,1], kerH⁰(γ(t)) tem dimens˜ao 1 e ´e gerado porγ⁰(t), pois γ⁰(t)6= 0 eH⁰(γ(t))γ⁰(t) = 0.

Sendo H^j :Rⁿ⁺¹ →Ra j-´esima componente deH, temos

H⁰(γ(0))γ⁰(0) =







∂H¹

∂λ (x₀,0)

A ...

∂Hⁿ

∂λ (x₀,0)













γ₁⁰(0) ... γ_n⁰(0) γ_n+1⁰ (0)







=





 0

... 0 0





 ,

(2.3)

(27)

ondeA ´e a matriz n×ndo operador linear H₀⁰(x0) nas bases canˆonicas do Rⁿ, ou seja,

A=







∂H01

∂x₁ (x₀) ∂H01

∂x₂ (x₀) · · · ∂H01

∂x_n (x₀)

∂H02

∂x1

(x0) ∂H02

∂x2

(x0) · · · ∂H02

∂xn

(x0) ... ... . .. ...

∂H₀ⁿ

∂x₁ (x₀) ∂H₀ⁿ

∂x₂ (x₀) · · · ∂H₀ⁿ

∂x_n (x₀)





 ,

com ∂H₀^j

∂xi

denotando a derivada daj-ésima coordenada de H₀ com rela¸cão a i-ésima coordenada do pontox.

Agora, vamos supor que γ_n+1⁰ (0) = 0. Desta forma, por (2.3), temos







∂H₀¹

∂x1

(x₀) ∂H₀¹

∂x2

(x₀) · · · ∂H₀¹

∂xn

(x₀)

∂H₀²

∂x₁(x₀) ∂H₀²

∂x₂ (x₀) · · · ∂H₀²

∂x_n(x₀) ... ... . .. ...

∂H₀ⁿ

∂x1

(x0) ∂H₀ⁿ

∂x2

(x0) · · · ∂H₀ⁿ

∂xn

(x0)











 γ₁⁰(0)

γ₂⁰(0)

...

γ_n⁰(0)







=





 0

...

0





 .

SendoH₀⁰(x0) um isomorfismo, segue que (γ₁⁰(0),· · · , γ_n⁰(0)) = (0,· · · ,0).

Assim, temosγ⁰(0) = 0, o que é uma contradi¸cão, pois γ⁰(t)6= 0 para todo t ∈ [0,1]. Conclu´ımos, assim, que a condi¸cão de que γ_n+1⁰ (0) = 0 é falsa.

Portanto,γ⁰_n+1(0)6= 0.

Temos provado queγ⁰_n+1(0)6= 0 e, al´em disso, sabemos queγ_n+1(0) = 0.

Comoγn+1(t)∈[0,1] para todot em [0,1] e denotando a base canˆonica do Rⁿ⁺¹ por

{e₁,· · ·, e_n+1},

(28)

conclu´ımos que

hγ⁰(0), en+1i=γ_n+1⁰ (0)>0. (2.4) De forma an´aloga, segue que

hγ⁰(1), e_n+1i=γ_n+1⁰ (1)<0. (2.5) Agora, definimos

P_t=











γ(0) set∈

0,1 3

γ(3t−1) set∈ 1

3,2 3

γ(1) set∈ 2

3,1

e

v_t=











(1−3t)en+1+ 3tγ⁰(0) set∈

0,1 3

γ⁰(3t−1) set∈

1 3,2

3

(3−3t)γ⁰(1)−(3t−2)e_n+1 set∈ 2

3,1

.

Seja, para cada t,Vt= span {v_t}. Note que, para cadat∈[0,1], Vt tem dimensão 1. De fato, vejamos que v_té não nulo para todo t∈[0,1]:

• Set∈

0,1 3

, temosvt= (1−3t)en+1+ 3tγ⁰(0). Como 1−3te 3tn˜ao s˜ao simultaneamente nulos e hγ⁰(0), e_n+1i>0, segue que v_t6= 0.

• Se t∈ 1

3,2 3

, temosv_t=γ⁰(3t−1)6= 0.

• Set∈ 2

3,1

, temosv_t= (3−3t)γ⁰(1) + (3t−2)(−e_n+1). Como 3−3t e 3t−2 n˜ao s˜ao simultaneamente nulos ehγ⁰(1),−e_n+1i>0, segue que v_t6= 0.

Denotando por V_t^⊥ o espa¸co ortogonal a Vt, afirmamos queH⁰(Pt)|_V⊥ t : V_t^⊥ → Rⁿ é um isomorfismo. Para provarmos tal fato, basta mostrar que V_t^⊥ não contém o núcleo deH⁰(P_t). Observe que:

(29)

• set∈

0,1 3

, então o núcleo é gerado porγ⁰(0);

• set∈ 1

3,2 3

, então o núcleo é gerado porγ⁰(3t−1);

• set∈ 2

3,1

, então o núcleo é gerado porγ⁰(1).

Dizer que um elemento do núcleo de H⁰(P_t) não pertence aV_t^⊥ é dizer que seu produto escalar comvt é não nulo. Então, vejamos:

• set∈

0,1 3

, ent˜ao

hγ⁰(0), v_ti=hγ⁰(0),(1−3t)e_n+1+ 3tγ⁰(0)i, ou seja,

hγ⁰(0), v_ti= (1−3t)hγ⁰(0), e_n+1i+ 3thγ⁰(0), γ⁰(0)i.

Usando (2.4), temos

hγ⁰(0), vti>0;

• set∈ 1

3,2 3

, ent˜ao

hγ⁰(3t−1), v_ti=hγ⁰(3t−1), γ⁰(3t−1)i>0, poisγ⁰(3t−1)6= 0, para todo t∈

1 3,2

3

;

• set∈ 2

3,1

, ent˜ao

hγ⁰(1), v_ti=hγ⁰(1),(3−3t)γ⁰(1)−(3t−2)e_n+1i, ou seja,

hγ⁰(1), v_ti= (3−3t)hγ⁰(1), γ⁰(1)i −(3t−2)hγ⁰(1), e_n+1i.

Usando (2.5), temos

hγ⁰(1), v_ti>0.

(30)

Portanto,H⁰(Pt)|_V⊥

t :V_t^⊥ −→Rⁿ ´e um isomorfismo.

Denotando por Σ_na base canˆonica doRⁿ, considere, para cadat∈[0,1] a baseBe_tdeV_t^⊥obtida por [H⁰(P_t)|_V⊥

t ]⁻¹(Σ_n). Note que, para cadat∈[0,1], Be_t∪ {v_t} ´e base do Rⁿ⁺¹ e que V₀^⊥ =Rⁿ× {0} = V₁^⊥. Agora, definimos, para cada t∈[0,1], o seguinte isomorfismo:

F_t: V_t^⊥⊕V_t → Rⁿ×R (x+µv_t) 7−→ (H⁰(P_t)x, µ).

SejaB0 =Be0∪ {e_n+1}base deV₀^⊥⊕span{e_n+1}. Considere, para cada t ∈ [0,1], A_t a matriz de F_t nas bases B₀ do Rⁿ⁺¹ no dom´ınio e Σ_n+1 do Rⁿ×Rna imagem. Como, para cadat∈[0,1], F_t´e um isomorfismo, ent˜ao detAt6= 0 e, portanto, tem sinal constante. Sendo A0 a matriz identidade, temos detA_t>0 para todo t∈[0,1].

Pela Proposi¸cão 1.2,F₁⁻¹(Σn+1) é uma base do Rⁿ⁺¹ equivalente aB0. Pela defini¸cão deBe₁ e como v₁=−e_n+1, então

F₁⁻¹(Σ_n+1) = (H⁰(P₁)|_V⊥

1 )⁻¹(Σ_n)∪ {−e_n+1}=Be₁∪ {−e_n+1}.

Al´em disso, a matriz de mudan¸ca de base deB0 paraF₁⁻¹(Σn+1) ´e do tipo

M =







0

N ...

0

0 · · · 0 −1





 ,

ondeN ´e a matriz de mudan¸ca de base deBe₀ paraBe₁. Como detM =−1·detN >0,

ent˜ao

detN <0,

o que prova que Be₀ e Be₁ não são equivalentes. Desta forma, apenas uma das basesBe₀ e Be₁ é equivalente à base Σ_n, portanto, pela Proposi¸cão 1.3,

sgnH₀⁰(x0)6= sgn H₀⁰(x1). (2.6) Com uma demostra¸cão análoga, podemos provar, mas não o fazemos, que, no caso (ii),

sgnH₁⁰(x₀)6= sgn H₁⁰(x₁), (2.7)

(31)

onde P0 = (x0,1) e P1 = (x1,1). Também de forma análoga, podemos provar (não exibimos a prova) que, no caso (iii),

sgnH₀⁰(x0) = sgn H₁⁰(x1), (2.8) ondeP₀= (x₀,0) eP₁ = (x₁,1).

Neste ponto, vamos dividir as componentes conexas dos casos (i), (ii) e (iii), que s˜ao em n´umero finito, da seguinte maneira:

• Γ0 ⊆ U × {0} ´e o conjunto dos pontos em U × {0} das bordas das componentes conexas representadas no caso (i);

• Γ₁ ⊆ U × {1} ´e o conjunto dos pontos em U × {1} das bordas das componentes conexas representadas no caso (ii);

• Λ₀ ⊆ U × {0} ´e o conjunto dos pontos em U × {0} das bordas das componentes conexas representadas no caso (iii);

• Λ1 ⊆ U × {1} ´e o conjunto dos pontos em U × {1} das bordas das componentes conexas representadas no caso (iii).

Segue que

deg_B(H₀, U, y) = X

(x,0)∈Γ₀

sgnH₀⁰(x) + X

(x,0)∈Λ₀

sgnH₀⁰(x) e

deg_B(H₁, U, y) = X

(x,1)∈Γ₁

sgnH₁⁰(x) + X

(x,1)∈Λ₁

sgnH₁⁰(x) Por (2.6) e (2.7), obtemos

X

(x,0)∈Γ0

sgnH₀⁰(x) = X

(x,1)∈Γ1

sgnH₁⁰(x) = 0.

Portanto,

deg_B(H₀, U, y) = X

(x,0)∈Λ₀

sgnH₀⁰(x) e

deg_B(H₁, U, y) = X

(x,1)∈Λ₁

sgnH₁⁰(x) Finalmente, por (2.8),

deg_B(H₀, U, y) = deg_B(H₁, U, y),

(32)

que prova a invariˆancia homot´opica no caso 1.

Caso 2: vamos desconsiderar agora a hip´otese deyser valor regular para H|_U×[0,1]. Pelo item 4 acima, existe uma vizinhan¸ca V de y tal que

deg_B(H₀, U, z) = deg_B(H₀, U, y) e deg_B(H₁, U, z) = deg_B(H₁, U, y) para todoz∈V. Agora, comoH´e de classeC² emU×[0,1], podemos usar o Teorema de Sard e concluir que V cont´em algum valor regular (de fato, infinitos)zbde H|_U×[0,1]. Pelocaso 1, temos

deg_B(H₀, U,z) = degb _B(H₁, U,bz).

Logo,

E a prova ´e conclu´ıda.

2.2 Defini¸ c˜ ao do grau para valores cr´ıticos

Até agora, temos a defini¸cão de grau topológico para ternas admiss´ıveis (f, U, y), comf de classeC² em U ey valor regular def em U. O próximo resultado nos permite estender esta defini¸cão para o caso em queyseja valor cr´ıtico de f emU.

Proposi¸c˜ao 2.4. Considere uma terna admiss´ıvel(f, U, y), comf de classe C² em U. Sejam z0, z1 valores regulares de f em U tais que ky −zik <

dist(y, f(∂U)), i= 0,1. Ent˜ao,

deg_B(f, U, z₀) = deg_B(f, U, z₁).

Lembre que dist(y, f(∂U)) = infx∈∂Udist(y, f(x)).

Demonstra¸cão. Observe que a existência de z0 e z1 valores regulares de f emU tais queky−z_ik<dist(y, f(∂U)), i= 0,1, é garantida pelo Teorema de Sard. Considere a fun¸cão H:U×[0,1]→Rⁿ dada por

H(x, λ) =f(x)−[λz1+ (1−λ)z0].

Temos

H(x,0) =H₀(x) =f(x)−z₀ e H(x,1) =H₁(x) =f(x)−z₁.

(33)

Portanto, pela Proposi¸c˜ao 2.3, item 2,

deg_B(H₀, U,0) = deg_B(f, U, z₀) e deg_B(H₁, U,0) = deg_B(f, U, z₁).

Desta forma, basta mostrar que

deg_B(H₀, U,0) = deg_B(H₁, U,0).

Como H é uma homotopia C², pela Proposi¸cão 2.3, item 5, é suficiente mostrar que H(x, λ) 6= 0 para todo x ∈ ∂U e para todo λ ∈ [0,1]. Para tanto, suponha que para algum x⁰ ∈ ∂U e para algum λ⁰ ∈ [0,1] temos H(x⁰, λ⁰) = 0. Então,

f(x⁰) =λ⁰z₁+ (1−λ⁰)z₀.

Sejam α = dist(f(∂U), y) e Bα(y) a bola aberta de centro y e raio α.

SendoBα(y) convexa e z0, z1 ∈Bα(y), então λz1+ (1−λ)z0 ∈Bα(y) para qualquer λ∈[0,1]. E como B_α(y)∩f(∂U) =∅, segue que f(x⁰) ∈/ f(∂U), o que é uma contradi¸cão. Portanto, H(x, λ)6= 0 para todo x ∈∂U e para todo λ∈[0,1]. Logo, deg_B(H0, U,0) = deg_B(H1, U,0), ou seja,

deg_B(f, U, z0) = deg_B(f, U, z1).

Com o último resultado podemos estender a defini¸cão de grau topológico para valores cr´ıticos.

Defini¸c˜ao 2.5. Seja (f, U, y) uma terna admiss´ıvel com f de classe C² em U. Ent˜ao,

deg_B(f, U, y) = deg_B(f, U, y),

ondeyé um valor regular qualquer def emU comky−yk<dist(y, f(∂U)) e deg_B(f, U, y) é dado pela Defini¸cão 2.2.

Agora que estendemos a defini¸cão de grau para ternas admiss´ıveis (f, U, y), com f de classeC² emU ey valor cr´ıtico de f emU, poder´ıamos apresentar uma lista de propriedades análogas às vistas na Proposi¸cão 2.3. Porém, será apresentada, neste momento, somente a estensão da invariância ho- motópica, pois será de grande importância para estendermos a defini¸cão de grau às fun¸cões cont´ınuas. Após o término da constru¸cão do grau topológico de Brouwer, apresentaremos uma lista mais completa de propriedades.

(34)

Proposi¸cão 2.6 (Invariância homotópica-caso valor crit´ıco). Sejam U um subconjunto aberto e limitado do Rⁿ e H : U ×[0,1] → Rⁿ cont´ınua em U×[0,1]e de classeC²emU×[0,1]. Considerey∈Rⁿtal queH(x, λ)6=y, para todo x∈∂U e para todo λ∈[0,1]. Então,

deg_B(H0, U, y) = deg_B(H1, U, y).

Demonstra¸c˜ao. Usando o Teorema de Sard, tome z ∈ Rⁿ valor regular de H0 e H1, com kz−yk < dist(y, H(∂U ×[0,1])). Observe que kz−yk <

dist(y, H0(∂U)) e kz−yk<dist(y, H1(∂U)). Pela Defini¸c˜ao 2.5, temos deg_B(H₀, U, y) = deg_B(H₀, U, z)

e

deg_B(H1, U, y) = deg_B(H1, U, z).

Agora, note que o fato de kz −yk < dist(y, H(∂U ×[0,1])) implica que H(x, λ) 6= z para todo x ∈ ∂U e para todo λ ∈ [0,1]. Desta forma, podemos aplicar a Proposi¸c˜ao 2.3, item 5, e concluir que deg_B(H₀, U, z) = deg_B(H1, U, z).Logo,

deg_B(H0, U, y) = deg_B(H1, U, y).

2.3 Defini¸ c˜ ao do grau para fun¸ c˜ oes cont´ınuas

Para finalizarmos a constru¸cão do grau de Brouwer, vamos estender sua defini¸cão às fun¸cões cont´ınuas.

Proposi¸c˜ao 2.7. Seja (f, U, y) uma terna admiss´ıvel e considere g₀, g₁ : Ω→Rⁿ fun¸c˜oes cont´ınuas em U e de classe C² em U tais que

sup

x∈U

kg_i(x)−f(x)k<dist(y, f(∂U)), i= 0,1. Ent˜ao,

deg_B(g0, U, y) = deg_B(g1, U, y).

Demonstra¸cão. Primeiramente, é importante notar que a existência das fun-

¸cões g₀ e g₁ é garantida pelo Teorema de Aproxima¸cão de Weierstrass.

Defina H :U×[0,1]−→Rⁿpor

H(x, λ) =λg₁(x) + (1−λ)g₀(x).

(35)

Note que H ´e uma homotopia cont´ınua em U×[0,1] e de classe C² em U ×[0,1] e queH0 =g0 e H1=g1. Portanto, basta provar que

Pela Proposi¸c˜ao 2.6, ´e suficiente mostrar que H(x, λ) 6= y para todo x∈∂U e para todo λ∈[0,1]. Parax∈U e λ∈[0,1] temos

kH(x, λ)−f(x)k=kλg₁(x) + (1−λ)g₀(x)−λf(x)−(1−λ)f(x)k, portanto

kH(x, λ)−f(x)k=kλ(g₁(x)−f(x)) + (1−λ)(g0(x)−f(x))k.

Pela desigualdade triangular da norma,

kH(x, λ)−f(x)k ≤λkg₁(x)−f(x)k+ (1−λ)kg₀(x)−f(x)k.

Segue que

kH(x, λ)−f(x)k ≤λsup

x∈U

kg₁(x)−f(x)k+ (1−λ) sup

x∈U

kg₀(x)−f(x)k.

Mas, por hip´otese, sup

x∈U

kg_i(x)−f(x)k< α, i= 0,1, ondeα= dist(y, f(∂U)). Logo,

kH(x, λ)−f(x)k< λα+ (1−λ)α=α.

A desigualdade acima implica que H(x, λ) 6= y para todo x ∈ ∂U e para todo λ ∈ [0,1], pois se existisse (x₀, λ₀) ∈ ∂U ×[0,1] com H(x₀, λ₀) = y, ter´ıamos

kH(x₀, λ0)−f(x0)k=ky−f(x0)k< α, o que seria uma contradi¸c˜ao. Logo,

deg_B(g0, U, y) = deg_B(g1, U, y).

Agora, podemos concluir a constru¸cão do grau topológico, estendendo, finalmente, sua defini¸cão às fun¸cões cont´ınuas.

(36)

Defini¸c˜ao 2.8. Sejam (f, U, y) uma terna admiss´ıvel e g : Ω → Rⁿ uma fun¸c˜ao cont´ınua emU e de classe C² emU tal que

sup

x∈U

kg(x)−f(x)k<dist(y, f(∂U)).

Ent˜ao, definimos

deg_B(f, U, y) = deg_B(g, U, y), onde deg_B(g, U, y) ´e dado pela Defini¸c˜ao 2.5.

2.4 Propriedades do grau topol´ ogico de Brouwer

Vimos nas se¸cões anteriores algumas propriedades do grau de Brouwer restritas aos casos particulares das ternas admiss´ıveis (f, U, y), com f de classe C². Nesta se¸cão, estenderemos aquelas propriedades ao caso geral, ondef é cont´ınua. Além disso, apresentamos outras propriedades.

Proposi¸cão 2.9. As seguintes propriedades são válidas:

1. (Normaliza¸cão) Sejam I : Rⁿ → Rⁿ a fun¸cão identidade e U um subconjunto aberto e limitado do Rⁿ. Então,

deg_B(I, U, y) = 1,∀y∈U.

2. (Transla¸c˜ao)Seja (f, U, y) uma terna admiss´ıvel. Ent˜ao, deg_B(f, U, y) = deg_B(f −y, U,0).

3. (Aditividade) Seja (f, U, y) uma terna admiss´ıvel. Se U₁, U₂ ⊆U s˜ao abertos e disjuntos com y /∈f(U\(U1∪U2)), ent˜ao

deg_B(f, U, y) = deg_B(f, U₁, y) + deg_B(f, U₂, y).

4. (Excis˜ao)Seja (f, U, y) uma terna admiss´ıvel e considere um conjunto compactoK ⊆U tal que y /∈f(K). Ent˜ao,

deg_B(f, U, y) = deg_B(f, U \K, y).

5. (Invariância homotópica) Sejam U um subconjunto aberto e limitado doRⁿ,H :U×[0,1]→Rⁿ uma fun¸cão cont´ınua eγ : [0,1]→Rⁿuma curva cont´ınua tais que γ(t) ∈/ Ht(∂U), para todo t ∈ [0,1]. Então, deg_B(H_t, U, γ(t)) não depende de t;

(37)

6. (Continuidade em rela¸cão à fun¸cão f) Seja (f, U, y) uma terna admiss´ıvel. Então, existe > 0 tal que, para toda fun¸cão cont´ınua g: Ω→Rⁿ com

sup

x∈U

kg(x)−f(x)k< , a terna(g, U, y) ´e admiss´ıvel e

deg_B(f, U, y) = deg_B(g, U, y).

7. (Invariância local) Seja (f, U, y) uma terna admiss´ıvel. Então, existe uma vizinhan¸ca V de y tal que, para todo z ∈ V, deg_B(f, U, z) está definido e

deg_B(f, U, z) = deg_B(f, U, y).

8. (Existˆencia de solu¸c˜ao)Seja (f, U, y) uma terna admiss´ıvel. Se deg_B(f, U, y)6= 0,

ent˜ao f⁻¹(y)∩U 6=∅.

9. (Propriedade do bordo) Sejam (f, U, y) e(g, U, y) ternas admiss´ıveis.

Se f(x) = g(x) para todo x∈∂U. Ent˜ao,

10. (Mudan¸ca de variável)Sejam(f, U, y)uma terna admiss´ıvel,g:Rⁿ→ Rⁿ um difeomorfismo de classe C² e E ⊆ Rⁿ um conjunto aberto e limitado tal que g(E) = U. Se p=g⁻¹(y), então (g⁻¹◦f ◦g, E, p) é uma terna admiss´ıvel e

deg_B(f, U, y) = deg_B(g⁻¹◦f ◦g, E, p).

11. (Fun¸cão oposta)Se(f, U, y)for uma terna admiss´ıvel, então(−f, U,−y) será admiss´ıvel e

deg_B(−f, U −y) = (−1)ⁿdeg_B(f, U, y).

Aqui,n ´e a dimens˜ao do espa¸co euclidiano Rⁿ.

(38)

Demonstra¸cão. 1 - Já foi provada no item 1 da Proposi¸cão 2.3.

2 - Sejaα= dist(y, f(∂U)) = dist(0, f(∂U)−y).Pelo Teorema de Apro- xima¸c˜ao de Weierstrass, podemos tomar uma fun¸c˜ao g:U →Rⁿ de classe C² tal que

sup

x∈U

k(g(x)−y)−(f(x)−y)k= sup

x∈U

kg(x)−f(x)k< α.

Usando a Defini¸c˜ao 2.8, segue que

deg_B(f, U, y) = deg_B(g, U, y) e deg_B(f −y, U,0) = deg_B(g−y, U,0).

Agora, sabendo quey /∈g(∂U), temos dist(y, g(∂U)) =β >0. Aplicando o Teorema de Sard, tomez valor regular degemU tal que kz−yk< β.Pela Defini¸c˜ao 2.5,

deg_B(g, U, y) = deg_B(g, U, z).

Como dist(0, g(∂U)−y) = dist(y, g(∂U)) =βe sup_x∈Uk(g(x)−y)−(g(x)− z)k=kz−yk< β, ent˜ao, aplicando novamente a Defini¸c˜ao 2.8,

deg_B(g−y, U,0) = deg_B(g−z, U,0).

Finalmente, aplicamos a Proposi¸c˜ao 2.3, item 2, e conclu´ımos que deg_B(f, U, y) = deg_B(f−y, U,0).

3 - Primeiramente, note que∂U,∂U₁e∂U₂est˜ao contidos emU\(U₁∪U₂).

Considere >0 tal que dist(y, f(U\U₁∪U₂)) =. Podemos tomar uma fun¸cão g:U → Rⁿ de classe C² tal que sup_x∈Ukg(x)−f(x)k< ₂. Então, y /∈g(U\(U₁∪U₂)). De fato, sex∈U\(U₁∪U₂) é tal que g(x) =y, então

kg(x)−f(x)k=ky−f(x)k<

2, o que é contradi¸cão. Pela Defini¸cão 2.8,

Para x∈∂U, temos

ky−g(x)k ≥ ky−f(x)k − kg(x)−f(x)k> − 2 =

2.

Portanto, dist(y, g(∂U)) > ₂. Usando o Teorema de Sard, tome z ∈ Rⁿ\ g(∂U \U₁ ∪U₂), onde z ´e valor regular de g em U e kz−yk < ₂. Pela Defini¸c˜ao 2.5, segue que

deg_B(g, U, y) = deg_B(g, U, z).