Observa¸c˜ao 5.1. Sob essas condi¸c˜oes,φ´e um homeomorfismo doRn no Rn. Al´em disso,
kyk→+∞lim kφ−1(y)k= +∞.
Veja [5, Deimling, cap. 3].
• ParaT fixado,f : [0, T]×Rn×Rn→Rn´e uma fun¸c˜ao Carath´eodory, ou seja,
(i) para quase todo t∈[0, T],f(t,·,·) ´e cont´ınua;
(ii) para qualquer (x, y)∈Rn×Rn,f(·, x, y) ´e mensur´avel;
(iii) para qualquer ρ > 0, existe g∈L1([0, T],R) tal que, para quase todo t ∈ [0, T] e para todo (x, y) ∈ Rn ×Rn, com kxk ≤ ρ e kyk ≤ρ, temos kf(t, x, y)k ≤g(t).
Entendemos por solu¸c˜ao do problema (5.1) uma fun¸c˜ao u: [0, T]→ Rn de classe C1 satisfazendo as condi¸c˜oes de contorno e tal que a fun¸c˜ao t 7→
φ(u0(t)) seja absolutamente cont´ınua e satisfa¸ca (φ(u0(t)))0 =f(t, u(t), u0(t)) para quase todo t em [0, T]. Para chegarmos ao nosso objetivo, na Se¸c˜ao 5.2, apresentaremos um problema que vai nos auxiliar no estudo do problema (5.1). E, na Se¸c˜ao 5.3, vamos provar o principal teorema deste cap´ıtulo, que garante, sob certas condi¸c˜oes, a existˆencia de solu¸c˜ao para o problema (5.1).
Nota¸c˜oes b´asicas. Neste cap´ıtulo, para T fixado, denotaremos C = C([0, T],Rn), C1 =C1([0, T],Rn) e L1 =L1([0, T],Rn), que s˜ao espa¸cos de Banach dotados, respectivamente, com as normas
kuk0 = max
t∈[0,T]
ku(t)k, kuk1 =kuk0+ku0k0 e khkL1 = Z T
0
kh(t)kdt.
Denotaremos, tamb´em, CT = {u ∈ C : u(0) = u(T)}, CT1 = {u ∈ C1 : u(0) = u(T), u0(0) = u0(T)} e L1m ={h ∈ L1 :RT
0 h(t)dt = 0} subespa¸cos fechados, respectivamente, deC,C1 e L1.
(φ(u0))0 =h(t), u(0) =u(T), u0(0) =u0(T), (5.2) ondeh∈L1m e φsatisfaz as condi¸c˜oes (H1) e (H2).
Supondo que u seja solu¸c˜ao do problema (5.2) e integrando de 0 at ∈ [0, T], segue que
φ(u0(t)) =a+H(h)(t), ondeH :L1→C ´e o operador integral definido por
H(h)(t) = Z t
0
h(s)ds
e a∈Rn ´e uma constante oportuna. Aplicando φ−1, temos u0(t) =φ−1[a+H(h)(t)].
Integrando novamente de 0 a t ∈ [0, T], deduzimos que, se u ´e solu¸c˜ao do problema (5.2), ent˜ao
u(t) =u(0) + Z t
0
φ−1[a+H(h)(s)]ds. (5.3) Comou(0) =u(T), ent˜ao
Z T 0
φ−1[a+H(h)(t)]dt= 0.
Agora, defina, para cada l∈C, a fun¸c˜ao Gl:Rn→Rn por Gl(a) =
Z T 0
φ−1(a+l(t))dt, (5.4) Resumindo, fixadah∈L1m, se (5.2) admite solu¸c˜ao emCT1, ent˜ao existe a∈Rn(que depende de h) tal que
GH(h)(a) = 0.
Por outro lado, suponha que, para algum h ∈ L1m, exista a ∈ Rn tal que GH(h)(a) = 0. Defina u: [0, T]→Rn por
u(t) =u(0) + Z t
0
φ−1[a+H(h)(s)]ds.
Derivando, temos
u0(t) =φ−1[a+H(h)(t)]. (5.5) Aplicando a fun¸c˜ao φ, segue que
φ(u0(t)) =a+H(h)(t). (5.6) Agora, derive novamente e conclua que
(φ(u0(t)))0 =h(t). (5.7)
Destacamos que as igualdades (5.5) e (5.6) s˜ao para todo t∈ [0,1] e a igualdade (5.7) ´e para quase todo t∈[0,1].
Como
GH(h)(a) = Z T
0
φ−1[a+H(h)(t)]dt= 0,
temosu(0) =u(T). Al´em disso, como h∈L1m, por (5.5), segue que u0(0) =φ−1(a) =u0(T).
Diante do exposto acima, podemos concluir que o problema (5.2) admite solu¸c˜ao emCT1 se, e somente se, existea∈Rn tal queGH(h)(a) = 0.
Na proposi¸c˜ao a seguir apresentamos duas propriedades importantes da fun¸c˜ao G.
Proposi¸c˜ao 5.2. Se φ satisfaz as condi¸c˜oes (H1) e (H2), ent˜ao a fun¸c˜ao Gl tem as seguintes propriedades:
(i) Para cada l∈C, a equa¸c˜ao
Gl(a) = 0 (5.8)
possui uma ´unica solu¸c˜aoea(l).
(ii) A fun¸c˜ao ea: C → Rn, definida em (i), ´e cont´ınua e envia conjuntos limitados em conjuntos limitados.
Demonstra¸c˜ao. Fixe l ∈ C. Por (H1), segue que, para a1, a2 ∈ Rn com a16=a2,
Z T 0
hφ−1(a1+l(t))−φ−1(a2+l(t)), a1−a2idt >0,
portanto
hGl(a1)−Gl(a2), a1−a2i>0.
Desta forma, se (5.8) tem solu¸c˜ao, ela ´e ´unica. Agora vamos provar a existˆencia. Para tanto, ainda coml∈Cfixado, vamos mostrar quehGl(a), ai
>0 para kak suficientemente grande. Temos hGl(a), ai=
Z T 0
hφ−1(a+l(t)), aidt.
Segue que hGl(a), ai=
Z T 0
hφ−1(a+l(t)), a+l(t)idt− Z T
0
hφ−1(a+l(t)), l(t)idt.
Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, Z T
0
hφ−1(a+l(t)), l(t)idt≤ Z T
0
kφ−1(a+l(t))k kl(t)kdt Portanto,
Z T 0
hφ−1(a+l(t)), l(t)idt≤ klk0 Z T
0
kφ−1(a+l(t))kdt.
Assim, hGl(a), ai ≥
Z T
0
hφ−1(a+l(t)), a+l(t)idt− klk0 Z T
0
kφ−1(a+l(t))kdt. (5.9) Como φsatisfaz (H2), para qualquery∈Rn, temos
hφ−1(y), yi ≥α(kφ−1(y)k)kφ−1(y)k. (5.10) De (5.9) e (5.10),
hGl(a), ai ≥ Z T
0
(α(kφ−1(a+l(t))k)− klk0) kφ−1(a+l(t))kdt. (5.11) Sabendo que kφ−1(a+l(t))k tende para o infinito uniformemente em t∈I quando kaktende para o infinito, deduzimos de (5.11) que existe um r >0 tal que, para todo a∈Rn com kak=r,
hGl(a), ai>0. (5.12)
Agora, considere uma fun¸c˜aoH :Br(0)×[0,1]→Rn dada por H(x, t) = (1−t)x+tGl(x).
Se x∈∂Br(0) et∈[0,1], pela desigualdade 5.12, temos
h(1−t)x+tGl(x), xi= (1−t)hx, xi+thGl(x), xi>0.
Portanto, para todox∈∂Br(0) e para todot∈[0,1], H(x, t)6= 0.
Da´ı, pelas propriedades Invariˆancia homot´opica e Normaliza¸c˜ao do grau de Brouwer,
degB(Gl, Br(0),0) = degB(I, Br(0),0) = 1.
Logo, pela propriedade Existˆencia de solu¸c˜ao, para cada l∈C, a equa¸c˜ao Gl(a) = 0
tem solu¸c˜ao. E, como j´a vimos, essa solu¸c˜ao ´e ´unica. Desta forma, definimos a fun¸c˜ao ea:C →Rn que satisfaz
Z T 0
φ−1(ea(l) +l(t))dt= 0. (5.13) Para provarmos (ii), sejam Λ⊆C um conjunto limitado el∈Λ fixado. Por (5.13),
Z T 0
hφ−1(ea(l) +l(t)),ea(l)idt= 0.
Assim, Z T
0
hφ−1(ea(l) +l(t)),ea(l) +l(t)idt= Z T
0
hφ−1(ea(l) +l(t)), l(t)idt. (5.14) Vamos supor que o conjunto Γ ={ea(l) :l∈Λ} n˜ao seja limitado. Tome R >0 qualquer tal que Λ⊆BR(0). Pela defini¸c˜ao da fun¸c˜ao α, existeN tal ques > N implicaα(s)> R. A Observa¸c˜ao 5.1 implica que podemos tomar M tal que, sekyk> M, ent˜ao kφ−1(y)k> N. Como Γ n˜ao ´e limitado e Λ ´e limitado, ent˜ao existe l∈Λ tal que, para qualquert∈I,kea(l) +l(t)k> M.
Finalmente, podemos dizer que existel∈Λ tal que, para qualquert∈I, R < α(kφ−1(ea(l) +l(t))k).
Da´ı, R
Z T 0
kφ−1(ea(l) +l(t))kdt <
Z T 0
α(kφ−1(ea(l) +l(t))k) kφ−1(ea(l) +l(t))kdt.
Por (5.10), R
Z T 0
kφ−1(ea(l) +l(t))kdt <
Z T 0
hφ−1(ea(l) +l(t)),ea(l) +l(t)idt.
Usando (5.14), deduzimos que R
Z T 0
kφ−1(ea(l) +l(t))kdt <
Z T 0
hφ−1(ea(l) +l(t)), l(t)idt.
Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, temos R
Z T 0
kφ−1(ea(l) +l(t))kdt <
Z T 0
kφ−1(ea(l) +l(t))k kl(t)kdt.
Finalmente, R
Z T 0
kφ−1(ea(l) +l(t))kdt <klk0 Z T
0
kφ−1(ea(l) +l(t))kdt.
Portanto, R < klk0, o que ´e uma contradi¸c˜ao. Logo, ea envia conjuntos limitados emC em conjuntos limitados emRn.
Para finalizar, vamos mostrar que ea´e uma fun¸c˜ao cont´ınua. Para tanto, seja (ln)⊆C uma sequˆencia tal que
n→∞lim ln=l∈C. (5.15)
Como (ea(ln)) ´e uma sequˆencia limitada, ent˜ao possui uma subsequˆencia (ea(lnj)) convergente. Digamos que
j→∞lim ea(lnj) =ba. (5.16) Temos, para cada j,
Z T
0
φ−1(ea(lnj) +lnj(t))dt= 0.
Por (5.15) e (5.16), (ea(lnj) +lnj) converge uniformemente para ba+l.
Como φ−1 ´e cont´ınua, ent˜ao (φ−1(ea(lnj) +lnj(·))) converge uniformemente paraφ−1(ba+l(·)). Portanto,
j→∞lim Z T
0
φ−1(ea(lnj) +lnj(t))dt= Z T
0
φ−1(ba+l(t))dt= 0.
Assim,ea(l) =ba, o que mostra queea´e cont´ınua.
Agora defina a:L1→Rn por
a(h) =ea(H(h)). (5.17)
Desta forma, a´e cont´ınua e envia conjuntos limitados de L1 em conjuntos limitados de Rn. De fato, para provarmos tal afirma¸c˜ao, note queH ´e uma fun¸c˜ao linear e, al´em disso, temos, parah∈L1,
kH(h)k0= max
t∈I kH(h)(t)k= max
t∈I
Z t
0
h(s)ds
≤max
t∈I
Z t 0
kh(s)kds≤ Z T
0
kh(s)kds=khkL1,
ou seja, H ´e uma fun¸c˜ao limitada. Sendo H linear e limitada, conclu´ımos queH´e cont´ınua e envia conjuntos limitados em conjuntos limitados. Como a´e uma composi¸c˜ao de fun¸c˜oes cont´ınuas e, al´em disso, ea envia conjuntos limitados em conjuntos limitados, segue que a´e cont´ınua e envia conjuntos limitados em conjuntos limitados.
Diante do exposto acima, conclu´ımos quea´e uma fun¸c˜ao completamente cont´ınua.
Vamos retornar `a express˜ao (5.3), ou seja,
u(t) =u(0) +H φ−1(a(h) +H(h)) (t).
Aqui, por um abuso de nota¸c˜ao, φ−1 ´e entendida como uma fun¸c˜ao φ−1 : C→C dada porφ−1(v)(t) =φ−1(v(t)). ´E claro queφ−1´e cont´ınua e envia conjuntos limitados em conjuntos limitados.
Defina as fun¸c˜oesP :CT1 →CT1 e Q:L1 →L1 dadas por P u=u(0) e Qh= 1
T Z T
0
h(s)ds.
Observe que podemos decompor CT1 da forma
CT1 =E1⊕E2, (5.18)
onde E1 ´e o espa¸co das fun¸c˜oes eu tais queu(0) = 0 ee E2 ´e o subespa¸co de dimens˜ao n das fun¸c˜oes constantes. Desta forma, P ´e a proje¸c˜ao cont´ınua sobre E2. Al´em disso, podemos decomporL1 da forma
L1 =L1m⊕F2,
ondeF2 ´e o subespa¸co de dimens˜ao ndas fun¸c˜oes constantes. Segue que o operador Q´e a proje¸c˜ao cont´ınua emF2.
Considere a fun¸c˜ao K:L1 →CT1 dada por K(h)(t) =H
φ−1[a((I−Q)(h)) +H((I−Q)(h))]
(t) para todot∈I.
(5.19) Se, para alguma h ∈L1m,u ∈C1 ´e solu¸c˜ao de (5.2), ent˜ao u satisfaz a equa¸c˜ao (5.3), ou seja, para todot∈[0, T],
u(t) =u(0) +H φ−1(a(h) +H(h)) (t).
Portanto,u satisfaz a equa¸c˜ao
u=P u+Qh+K(h). (5.20) Por outro lado, se u∈CT1 ´e uma solu¸c˜ao de (5.20) para alguma h∈L1, segue, pela defini¸c˜ao da fun¸c˜aoa, que
K(h)(T) =H{φ−1[a((I−Q)h) +H((I −Q)h)]}(T) = 0.
Portanto,
u(T) =u(0) +Qh, que implica
Qh= 0.
Vejamos que, desta forma, u=u(0) +K(h) ´e solu¸c˜ao de (5.2). De fato, temos
u(t) =u(0) +H{φ−1[a(h) +H(h)]}(t) Derivando, obtemos
u0(t) =φ−1[a(h) +H(h)](t). (5.21) Aplicando a fun¸c˜ao φ, segue que
φ(u0(t)) = [a(h) +H(h)](t). (5.22) Agora, derive novamente e conclua que
(φ(u0(t)))0 =h(t). (5.23) Destacamos que as igualdades (5.21) e (5.22) s˜ao para todot∈[0,1] e a igualdade (5.23) ´e para quase todo t∈[0,1].
Diante do exposto acima, temos que os problemas (5.2) e (5.20) s˜ao equivalentes.
Para terminar esta se¸c˜ao, apresentamos propriedades importantes da fun¸c˜ao K.
Lema 5.3. A fun¸c˜aoK, definida acima, ´e cont´ınua e envia conjuntos equi-integr´aveis de L1 em conjuntos relativamente compactos deCT1.
Demonstra¸c˜ao. A continuidade deKcom valores emCsegue do fato de que K ´e uma composi¸c˜ao de fun¸c˜oes cont´ınuas. Al´em disso, temos que
K(h)0
(t) =φ−1[a((I−Q)(h)) +H((I−Q)(h))](t), que ´e uma composi¸c˜ao de fun¸c˜oes cont´ınuas e, portanto, ´e cont´ınua.
Seja E um conjunto equi-integr´avel em L1. Ent˜ao, se h ∈ E, existe η∈L1([0, T],R) tal que, para quase todot∈I,
kh(t)k ≤η(t).
Queremos mostrar que K(E) ⊆ CT1 ´e um conjunto compacto. Para tanto, tome (vn) uma sequˆencia em K(E) e (hn) uma sequˆencia em L1 tal que vn=K(hn). Para todo n∈Ne para todo t∈[0, T], temos
kH(I−Q)(hn)(t)k ≤
Z t 0
hn(s)ds
+kQhnkt
≤
Z t 0
η(s)ds
+ t T
Z T 0
η(s)ds≤2 Z T
0
η(s)ds.
Portanto, a sequˆencia H(I −Q)(hn)
´
e uniformemente limitada. Al´em disso, para todo n∈Ne parat, t0 ∈[0, T], segue que
kH(I−Q)(hn)(t)−H(I−Q)(hn)(t0)k ≤
Z t
t0
hn(s)ds
+kQhnk |t−t0|
≤
Z t t0
η(s)ds
+ |t−t0| T
Z T 0
η(s)ds.
Observe que, se |t−t0| convergir para zero, kH(I −Q)(hn)(t) −H(I − Q)(hn)(t0)ktamb´em convergir´a para zero. Desta maneira, a sequˆencia H(I− Q)(hn)
´
e equicont´ınua. Pelo Teorema de Ascoli-Arzel`a, H(I −Q)(hn) possui uma subsequˆencia convergente em C, que vamos chamar de H(I− Q)(hnj)
. Ent˜ao, passando a uma subsequˆencia, se necess´ario, temos que a sequˆencia
a((I−Q)(hnj)) +H(I−Q)(hnj)
´
e convergente emC. Usando queφ−1:C →C ´e cont´ınua e que K(hnj)0
=φ−1[a((I −Q)(hnj)) +H((I−Q)(hnj))],
segue que a sequˆencia (K(hnj))0
´e convergente emC e, portanto, (vnj) = (K(hnj))
´e convergente em CT1. Para finalizar a prova, suponha (vn) ⊆ K(E). Seja (ln)⊆ K(E) tal que
n→∞lim kln−vnk1 = 0.
Seja, tamb´em, (lnj) uma subsequˆencia de (ln) que converge para l. Segue quel∈ K(E) e (vnj) converge paral. Portanto, o resultado est´a provado.