Defini¸c˜ao 4.10 (Grau de Leray-Schauder). Sejam (f, U, y) uma terna ad-miss´ıvel e Tb : U → E uma fun¸c˜ao de dimens˜ao finita tal que, para todo x∈U,
kTb(x)−T(x)k<dist(y, f(∂U)),
onde T = I −f. Defina fb: U → E por fb(x) = x−Tb(x). Se S ⊆ E ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita tal que y ∈ S e Tb(U) ⊆ S, ent˜ao definimos ograu de Leray-Schauder de (f, U, y) por
degLS(f, U, y) = degB(fb|U∩S, U ∩S, y).
a terna(I−P, U, y)´e admiss´ıvel e
degLS(I −P, U, y) = degLS(f, U, y).
6. (Invariˆancia homot´opica)Sejam E um espa¸co de Banach e U ⊆E um conjunto aberto e limitado. Considere y∈E e uma fun¸c˜ao compacta F :U ×[0,1]→ E tais que x−F(x, t) 6=y para todo x ∈∂U e para todot∈[0,1]. Ent˜ao,
degLS(I−F(·, t), U, y) n˜ao depende de t.
7. (Invariˆancia local) Seja (f, U, y) uma terna admiss´ıvel. Ent˜ao, existe uma vizinhan¸ca V de y tal que, para todo z ∈ V, degLS(f, U, z) est´a definido e
degLS(f, U, z) = degLS(f, U, y).
8. (Existˆencia de solu¸c˜ao)Seja (f, U, y) uma terna admiss´ıvel. Se degLS(f, U, y)6= 0,
ent˜ao existe x∈U tal quef(x) =y.
9. (Propriedade do bordo) Sejam (f, U, y) e (g, U, y) duas ternas ad-miss´ıveis tais quef|∂U =g|∂U. Ent˜ao,
degLS(f, U, y) = degLS(g, U, y).
Demonstra¸c˜ao. 1 - SejaS = span{y}. Segue, da Defini¸c˜ao 4.10, que degLS(I, U, y) = degB(I|U∩S, U ∩S, y).
Comoy∈U, ent˜ao y∈U∩S, portanto, pela Proposi¸c˜ao 2.18, item 1, degLS(I, U, y) = degB(I|E∩S, U ∩S, y) = 1.
2 - Para x∈∂U, sabemos, por hip´otese, quef(x)6=y, portanto f(x)− y6= 0. Logo, (f−y, U,0) ´e admiss´ıvel.
Agora, tome Tb : U → E uma fun¸c˜ao de dimens˜ao finita tal que, para todo x∈U,
kTb(x)−T(x)k<dist(y, f(∂U)),
ondeT =I−f. Seja S= span {Tb(U)∪ {y}}. Segue que
degLS(f, U, y) = degB((I−T)|b U∩S, U ∩S, y). (4.2) Veja que, para todo x∈U,
k(Tb+y)(x)−(T +y)(x)k=kTb(x)−T(x)k<dist(y, f(∂U)), ou seja,
k(Tb+y)(x)−(T+y)(x)k<dist(0,(f −y)(∂U)).
Podemos, pela Defini¸c˜ao 4.10, concluir que
degLS(f−y, U,0) = degB((I−Tb−y)|U∩S, U ∩S,0). (4.3) Pela Proposi¸c˜ao 2.18, item 2,
degB((I−Tb)|U∩S, U ∩S, y) = degB((I−Tb−y)|U∩S, U ∩S,0).
Sendo assim, por (4.2) e (4.3),
degLS(f, U, y) = degLS(f−y, U,0).
3 - Note que ∂U1 ⊆ U \(U1 ∪U2), portanto para x ∈ ∂U1, f(x) 6= y.
Logo, (f, U1, y) ´e admiss´ıvel. De forma an´aloga, (f, U2, y) ´e admiss´ıvel.
Considere uma fun¸c˜ao de dimens˜ao finitaTb:U →E tal que, para todo x∈U,
kTb(x)−T(x)k<dist(y, f(∂U)), kTb(x)−T(x)k<dist(y, f(∂U1)) e
kTb(x)−T(x)k<dist(y, f(∂U2)),
ondeT =I−f. SejaS= span {Tb(U)∪ {y}}. Segue, da Defini¸c˜ao 4.10, que degLS(f, U, y) = degB((I−Tb)|U∩S, U ∩S, y),
degLS(f, U1, y) = degB((I−Tb)|U∩S, U1∩S, y) e
degLS(f, U2, y) = degB((I−Tb)|U∩S, U2∩S, y).
Pela Proposi¸c˜ao 2.18, item 3, conclu´ımos que
degLS(f, U, y) = degLS(f, U1, y) + degLS(f, U2, y).
4 - Como y /∈ f(∂U) e y /∈ f(K), ent˜ao y /∈ f(∂(U \K)). Portanto, (f, U \K, y) ´e admiss´ıvel.
Considere uma fun¸c˜ao de dimens˜ao finitaTb:U →E tal que, para todo x∈U,
kTb(x)−T(x)k<dist(y, f(∂U)),
ondeT =I−f. Seja S= span {Tb(U)∪ {y}}. Pela Defini¸c˜ao 4.10,temos degLS(f, U, y) = degB((I−T)|b U∩S, U ∩S, y)
e
degLS(f, U \K, y) = degB((I−Tb)|U∩S,(U \K)∩S, y).
Pela Proposi¸c˜ao 2.18, item 4, temos
degB((I −Tb)|Ω∩S, U ∩S, y) = degB((I−Tb)|Ω∩S,(U \K)∩S, y).
Logo,
degLS(f, U, y) = degLS(f, U \K, y).
5 - Fa¸car = dist(y, f(∂U)) e fixe P :U →E uma fun¸c˜ao compacta com sup
x∈U
kP(x)−T(x)k< r 2.
Defina g = I −P. Para mostrar que (g, U, y) ´e uma terna admiss´ıvel, basta provar quey /∈g(∂U). Para tanto, fixex∈∂U. Segue que
ky−g(x)k=ky−f(x) +f(x)−g(x)k ≥ ky−f(x)k − kf(x)−g(x)k, portanto
ky−g(x)k ≥ ky−f(x)k − kP(x)−T(x)k ≥ r 2. Logo, y /∈g(∂U).
Agora, sejam T1, P1 :U → E duas fun¸c˜oes de dimens˜ao finita tais que, para todox∈U,
kT(x)−T1(x)k ≤r e kP(x)−P1(x)k ≤ r 2.
Fazendo f1 = I −T1, g1 = I−P1, S = span{T1(U)∪P1(U)∪ {y}} e usando a defini¸c˜ao do grau de Leray-Schauder, temos
degLS(f, U, y) = degB(f1|U∩S, U ∩S, y)
e
degLS(g, U, y) = degB(g1|U∩S, U ∩S, y).
SejaW =U ∩S e defina a seguinte homotopia:
H : W ×[0,1] → S
(x, t) 7→ H(x, t) =tf1|U∩S(x) + (1−t)g1|U∩S(x).
Afirmo que y /∈ H(∂W ×[0,1]). De fato, tome (x, t) ∈ ∂W ×[0,1].
Ent˜ao,
kH(x, t)−f(x)k=ktf1|U∩S(x) + (1−t)g1|U∩S(x)−tf(x)−(1−t)f(x)k, portanto
kH(x, t)−f(x)k ≤tkf1|U∩S(x)−f(x)k+ (1−t)kg1|U∩S(x)−f(x)k
≤tkf1|U∩S(x)−f(x)k+ (1−t)(kg1|U∩S(x)−g(x)k+kg(x)−f(x)k).
Segue que
kH(x, t)−f(x)k ≤tr+ (1−t)r 2 +r
2
=r.
Sendo ∂W = ∂(U ∩S) =∂U ∩S, conclu´ımos que y /∈ H(∂W ×[0,1]).
Desta forma, podemos usar a Proposi¸c˜ao 2.18, item 5. Assim temos degB(f1|U∩S, U ∩S, y) = degB(g1|U∩S, U∩S, y).
Logo,
degLS(f, U, y) = degLS(g, U, y).
6 - Fa¸ca, para todot∈[0,1], H(·, t) = I−F(·, t) e r = dist(y, H(∂U× [0,1])). Vamos mostrar que r >0. Para tanto, defina a fun¸c˜ao
Hb : U×[0,1] → E×R
(x, t) 7→ H(x, t) = (x, t)b −(F(x, t), t), ou seja,
H(x, t) = (x−F(x, t),0).
Agora, defina Fb:U ×[0,1]→E×R por Fb(x, t) = (F(x, t), t).
Segue que
Hb =I −F .b
Afirmo que Fb ´e compacta. De fato, primeiramente, comoF ´e cont´ınua, ent˜aoFb´e cont´ınua. Tome, agora, uma sequˆencia (xn, tn)⊆U×[0,1]. Como [0,1] ´e compacto, existe uma subsequˆencia (tnj)⊆(tn) tal que
j→∞lim tnj =t0∈[0,1].
Pela compacidade da fun¸c˜ao F, existe uma subsequˆencia (xnjk, tnjk) ⊆ (xn, tnj) tal que
k→∞lim F(xnjk, tnjk) =y0∈E.
Logo,
k→∞lim F(xb njk, tnjk) = lim
k→∞(F(xnjk, tnjk), tnjk) = (y0, t0).
Portanto,Fb´e uma fun¸c˜ao compacta.
Usando o Lema 4.7, segue que H(∂Ub ×[0,1]) ´e um conjunto fechado, ou seja, H(∂U×[0,1],0) ´e um conjunto fechado em E×R, o que implica H(∂U ×[0,1]) ´e um fechado em E. Como y /∈ H(∂U ×[0,1]), podemos concluir quer >0.
Defina K =F(U×[0,1])⊆E. Pelo Lema 4.6, existe um subespa¸co de dimens˜ao finita Sr
2 ⊆ E e uma fun¸c˜ao cont´ınua gr
2 :K → Sr
2 verificando, para todox∈K,
kx−gr
2(x)k< r 2. SejaH1 :U×[0,1]→E definida por
H1(x, t) =x−gr
2(F(x, t)).
Veja que, para todo x∈U e para todo t∈[0,1], kH(x, t)−H1(x, t)k=kx−F(x, t)−x+gr
2(F(x, t))k, portanto
kH(x, t)−H1(x, t)k=kF(x, t)−gr
2(F(x, t))k< r 2. Segue, para todo t∈[0,1], que
sup
x∈U
kH(x, t)−H1(x, t)k< r 2.
Da´ı, aplicando o item 5 acima, temos, para todo t∈[0,1], degLS(H(·, t), U, y) = degLS(H1(·, t), U, y).
SejaS⊆E um subespa¸co de dimens˜ao finita contendogr
2(F(U×[0,1])) e y. Aplicando a defini¸c˜ao do grau de Leray-Schauder, podemos concluir que, para todot∈[0,1],
degLS(H1(·, t), U, y) = degLS(H1(·, t)|Ω∩S, U ∩S, y).
Finalmente, usando a Proposi¸c˜ao 2.18, item 5, conclu´ımos que degLS(H(·, t), U, y)
n˜ao depende de t.
7 - Considere uma fun¸c˜ao de dimens˜ao finita Tb : U → E tal que, para todo x∈U,
kTb(x)−T(x)k<dist(y, f(∂U)), ondeT =I−f. Seja S= span {Tb(U)∪ {y}}. Segue que
degLS(f, U, y) = degB((I−Tb)|U∩S, U ∩S, y).
Pela Proposi¸c˜ao 2.18, item 7, sabemos que existe uma vizinhan¸ca V de y, tal que, para todo z∈V, degB((I−Tb)|U∩S, U ∩S, z) est´a definido e
degB((I−Tb)|U∩S, U ∩S, z) = degB((I−Tb)|U∩S, U ∩S, y).
Por outro lado, a Defini¸c˜ao 4.10 implica que
degLS(f, U, z) = degB((I−Tb)|U∩S, U ∩S, z).
Logo,
degLS(f, U, y) = degLS(f, U, z).
8 - Para todo n > 1
dist(y, f(∂U)), existeTn:U →E de dimens˜ao finita tal que
kTn(x)−T(x)k< 1 n para todox∈U, ondeT =I−f. Sejam
Sn= span {Tn(U)∪ {y}} e Un=U∩Sn.
Assim,
degLS(f, U, y) = degB((I−Tn)|U∩S
n, Un, y).
Por hip´otese, degB((I −Tn)|U∩S, Un, y)6= 0 e, aplicando a Proposi¸c˜ao 2.18, item 8, existexn∈Un tal que
xn−Tn(xn) =y (4.4)
Como T|U ´e compacta e, para cada n,xn∈U, ent˜ao podemos assumir, sem perda de generalidade, que a sequˆencia T(xn) converge para algum p∈X. Da´ı, por (4.4), (xn) converge paray+p∈U. Pela continuidade da fun¸c˜aof, obtemos
f(p+y) = lim
n→∞f(xn) = lim
n→∞[xn−T(xn)] =y.
Sabemos que y /∈f(∂U), portanto p+y ∈ U. Desta forma, a equa¸c˜ao f(x) =y admite a solu¸c˜ao p+y.
9 - SejamT : Ω→E eS : Ω→E fun¸c˜oes completamente cont´ınuas tais que
f =I−T e g=I−S.
Considere a fun¸c˜ao compactaF :U×[0,1]→E definida por F(x, t) =tT(x) + (1−t)S(x).
Para x∈∂U e para t∈[0,1],F(x, t) =tT(x) + (1−t)S(x) =T(x) =S(x).
Portanto,x−F(x, t) =f(x)6=y. Da´ı, aplicando o item 6 acima, degLS(f, U, y) = degLS(g, U, y).
Para finalizar a se¸c˜ao das propriedades do grau de Leray-Schauder, e consequentemente finalizar este cap´ıtulo, destacamos a proposi¸c˜ao a seguir, que relaciona o grau em em espa¸co de BanachE, com o grau em um subspa¸co F deE. Este resultado ´e an´alogo ao da Proposi¸c˜ao 2.19, que foi apresentada quando tratamos de espa¸cos de dimens˜ao finita.
Proposi¸c˜ao 4.12. Sejam E e F espa¸cos de Banach, onde F ⊆ E. Sejam Ω ⊆ E um conjunto qualquer e U ⊆ E aberto e limitado com U ⊆ Ω.
Considere uma fun¸c˜ao completamente cont´ınuaT : Ω→F e defina f : Ω→ E por f(x) = x−T(x). Se f|Ω∩F : Ω∩F → F for a restri¸c˜ao de f em Ω∩F com contradom´ınio F e y∈F \f(∂U), ent˜ao
degLS(f, U, y) = degLS(f|Ω∩F, U ∩F, y).
Demonstra¸c˜ao. Tome Tb : U → F uma fun¸c˜ao de dimens˜ao finita tal que, para todox∈U,
kTb(x)−T(x)k<dist(y, f(∂U)).
Sejam G= span {Tb(U)∪ {y}} e fb:U →E dada por f(x) =b x−T(x).b Pela defini¸c˜ao do grau de Leray-Schauder,
degLS(f, U, y) = degB(fb|U∩G, U ∩G, y).
Fa¸ca h =f|Ω∩F, ou seja, h : Ω∩F → F ´e dada por h(x) =x−T(x).
Observe que Tb|U∩F ´e uma fun¸c˜ao de dimens˜ao finita tal que, para todo x∈U ∩F,
kTb|U∩F(x)−T|Ω∩F(x)k<dist(y, h(∂U∩F)).
Sejam W = span{Tb|U∩F(U∩F)∪ {y}} e bh : U∩F → W dada por bh(x) =x−Tb|U∩F(x). Pela defini¸c˜ao do grau de Leray-Schauder,
degLS(h, U∩F, y) = degB(bh|U∩W, U ∩W, y).
Note queW ⊆GeTb|U∩G(U ∩G)⊆W. Desta forma, a Proposi¸c˜ao 2.19 garante que
degB(fb|U∩G, U∩G, y) = degB(bh|U∩W, U∩W, y).
Logo,
degLS(f, U, y) = degLS(f|Ω∩F, U ∩F, y).
Solu¸ c˜ oes de sistemas n˜ ao lineares com condi¸ c˜ oes de contorno
5.1 Introdu¸ c˜ ao
O objetivo deste cap´ıtulo ´e usar o grau topol´ogico para estudar a exis-tˆencia de solu¸c˜oes para o seguinte sistema n˜ao linear de equa¸c˜oes diferenciais:
(φ(u0))0 =f(t, u, u0), u(0) =u(T), u0(0) =u0(T). (5.1) Este problema foi estudado por Man´asevich e Mawhin no artigo [11]. No artigo citado, os autores transformam o problema (5.1) em um problema de ponto fixo em espa¸cos de fun¸c˜oes. Em seguida, sob certas condi¸c˜oes, usam o grau de Leray-Schauder para provar a existˆencia de solu¸c˜oes do problema acima. Vamos aqui apresentar esta abordagem.
Seguem os detalhes do problema acima:
• φ:Rn→Rn´e uma fun¸c˜ao satisfazendo:
(H1) Para todo x1, x2 ∈Rn,x1 6=x2,
hφ(x1)−φ(x2), x1−x2i>0.
(H2) Existe uma fun¸c˜ao α: [0,+∞[→[0,+∞[, com lims→+∞α(s) = +∞, tal que
hφ(x), xi ≥α(kxk)kxk ∀x∈Rn. 83
Observa¸c˜ao 5.1. Sob essas condi¸c˜oes,φ´e um homeomorfismo doRn no Rn. Al´em disso,
kyk→+∞lim kφ−1(y)k= +∞.
Veja [5, Deimling, cap. 3].
• ParaT fixado,f : [0, T]×Rn×Rn→Rn´e uma fun¸c˜ao Carath´eodory, ou seja,
(i) para quase todo t∈[0, T],f(t,·,·) ´e cont´ınua;
(ii) para qualquer (x, y)∈Rn×Rn,f(·, x, y) ´e mensur´avel;
(iii) para qualquer ρ > 0, existe g∈L1([0, T],R) tal que, para quase todo t ∈ [0, T] e para todo (x, y) ∈ Rn ×Rn, com kxk ≤ ρ e kyk ≤ρ, temos kf(t, x, y)k ≤g(t).
Entendemos por solu¸c˜ao do problema (5.1) uma fun¸c˜ao u: [0, T]→ Rn de classe C1 satisfazendo as condi¸c˜oes de contorno e tal que a fun¸c˜ao t 7→
φ(u0(t)) seja absolutamente cont´ınua e satisfa¸ca (φ(u0(t)))0 =f(t, u(t), u0(t)) para quase todo t em [0, T]. Para chegarmos ao nosso objetivo, na Se¸c˜ao 5.2, apresentaremos um problema que vai nos auxiliar no estudo do problema (5.1). E, na Se¸c˜ao 5.3, vamos provar o principal teorema deste cap´ıtulo, que garante, sob certas condi¸c˜oes, a existˆencia de solu¸c˜ao para o problema (5.1).
Nota¸c˜oes b´asicas. Neste cap´ıtulo, para T fixado, denotaremos C = C([0, T],Rn), C1 =C1([0, T],Rn) e L1 =L1([0, T],Rn), que s˜ao espa¸cos de Banach dotados, respectivamente, com as normas
kuk0 = max
t∈[0,T]
ku(t)k, kuk1 =kuk0+ku0k0 e khkL1 = Z T
0
kh(t)kdt.
Denotaremos, tamb´em, CT = {u ∈ C : u(0) = u(T)}, CT1 = {u ∈ C1 : u(0) = u(T), u0(0) = u0(T)} e L1m ={h ∈ L1 :RT
0 h(t)dt = 0} subespa¸cos fechados, respectivamente, deC,C1 e L1.