Árvores em Processos Pontuais de Poisson

Iesus Carvalho Diniz

Tese apresentada ao

Instituto de Matemática e Estatística da

Universidade de São Paulo para

obtenção do título de

Doutor em Ciências

Programa: Estatística

Orientador: Prof. Dr. Pablo Augusto Ferrari

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio FAPESP processo 04/15864-1 São Paulo, abril de 2008

Agradecimentos

Agradecimentos ...

i

Resumo

Neste trabalho é construído um grafo aleatório conexo e sem ciclos, árvore, com um único caminho infinito auto-evitante,fim, cujos vértices são pontos de uma sequência de infinitos processos pontuais de Poisson definidos emR^dou em quaisquer conjuntos de medida finita (algoritmoA) e de um único processo pontual de Poisson definido em R^d (algoritmo B); ademais, esta última árvore será invariante por qualquer isometria.

Palavras-chave: Árvore Poissoniana de Único Fim, Processo Pontual de Poisson, Árvore Aleatória, Linha de Sucessão, Coalescência.

iii

Abstract

In this work is constructed a connected and without cycles random graph, a tree, with a single infinite self-avoiding path, an end, whose vertices are points of an infinite sequence of independent Poisson point processes defined on R^d or any finite measure sets (algorithm A) and by a unique poisson point Process defined onR^d(algorithmB); moreover, this tree is invariant for any isometry.

Keywords: One-Ended Poissonian Tree, Poisson Point Process, Random Tree, Random Matching, Succession Line, Coalescing.

v

Sumário

Lista de Figuras ix

1 APUFIP - Processos de Poisson Definidos em R^d. 1 1.1 Introdução e Descrição do Modelo . . . 1 1.2 APUFIP - Processos Definidos em R . . . 3 1.2.1 Critérios para Determinação da APUFIP como Função da Sequência de Taxas. 8 1.3 APUFIP - Processos Definidos em R^d, d≥2 . . . 10

2 APUF - Processo de Poisson Definido em R. 17

3 APUF - Processo de Poisson Definido em R^d. 29

A Árvore Poissoniana em Conjuntos de Medida Finita. 53

B 59

B.1 Cota Inferior para a Probabilidade Condicional de Coalescência. . . 59 B.2 Limite Inferior para a Probabilidade Condicional de Coalescência. . . 61

C Tempo de Retorno para uma Região de Comprimento Fixo em um Processo com Deriva “τ”.

Referências Bibliográficas 67

Índice Remissivo 68

vii

Lista de Figuras

1.1 Linha de sucessão de uma sequência de processos pontuais de Poisson e independentes. 2

1.2 Região que determina a coalescência entre os ancestrais dea^k eb^k em função da distribuição da distânciaR^aak^k+1

3.1 Posições relativas de distâncias máximas dos três primeiros ancestrais dea1, dada as posições dos pontos dos tip 3.2 H₂¹tk é o conjunto dos hipercubos hachurados contidos emHr^dk(a1). . . . 32

3.3 Respectivas posições relativas para distância máxima e mínima deξ^k+1 eξk⁽²⁾+1 em relação aa^k sob à condição 3.4 Respectivas posições relativas para distância máxima e mínima deξ^k+1 eξk⁽²⁾+1 em relação ab^k sob à condição 3.5 Cada seta duplamente orientada corresponde ao “diâmetro” de cada um dos “hiperanéis”, cujas interseções são

ix

Capítulo 1

APUFIP - Processos de Poisson Definidos em R

.

1.1 Introdução e Descrição do Modelo

Neste capítulo construiremos um grafo conexo e sem ciclos, árvore, com um único caminho infinito autoevitante,fim. Os vértices da árvore são pontos de uma sequência infinita de processos pontuais de Poisson independentes definidos emR^d (d∈N^∗), tais que para todo k∈N^∗, a taxa do k-ésimo processo Xk é λk. Chamaremos tal grafo de APUFIP.

Para cada ponto ξk∈Xk, o pontoξ_k+1 ∈X_k+1 mais próximo deξk é o seuancestral. Chamare- mos o algoritmo A ao procedimento que a partir de uma realização de uma sequência de infinitos processos pontuais de Poisson e independentes (Xk)_k≥1 gera um grafo cujos vértices são pontos de cada uma das realizações desses processos e cada elo é formado porξk ∈ Xk e o seu ancestral ξ_k+1 ∈ X_k+1. Este mecanismo é ilustrado na figura 1.1 para uma sequência de processos unidi- mensionais. Considere que cada ponto ξ_k também determina sua posição, i.e. X_k^ξk = ξ_k, e que D_k=|bk−a_k| é a distância entre os k-ésimos ancestrais dea₁ e b₁, escolhidos arbitrariamente em X₁.

Para provarmos a existência de um único caminho infinito autoevitante, no grafo gerado pelo algoritmoA, é suficiente provar que dados quaisquer dois pontos emX₁,a₁ eb₁, a seguinte condição é satisfeita:

k→∞lim

P(Dk6= 0) = 0

Diremos então quea₁ eb₁ coalescem em probabilidade. Desde que poderíamos escolher qualquer par de pontos de pontosaj e bj deXj, denotaremos a condição acima por

1

aκ

=bP κ:= lim

k→∞

P(D_k6= 0) = 0 se, e somente se,

k→∞lim

P(ak=bk) = 1.

(1.1)

X

X

X

X

−1

X

Figura 1.1: Linha de sucessão de uma sequência de processos pontuais de Poisson e independentes.

Observação 1 A condição estabelecida em (1.1) nos diz que escolhidos dois pontos quaisquer na

"geração1"; isto é, a1 e b1 são dois pontos selecionados arbitrariamente emX1, a probabilidade do evento da não coalescência entre os seus respectivosk-ésimos ancestrais, a_k e b_k, parak suficiente- mente grande, tende a zero. Poderíamos considerar em lugar de a₁ e b₁, dois pontos quaisquer a_m e bm de Xm, pois a coalescência destes pontos, implicará a coalescência de quaisquer outros de seus sucessores em Xj, em que1≤j < m.

Definição 1 Diremos que ak e bk coalescem quase certamente (ak

qc= bk), se o conjunto das tra- jetóriasT =∪_k≥1Tk nas quaisak ebk coalescem em alguma “geraçãol, l≥k",Tl, tem probabilidade um no espaço produto definido pela sequência (Xk)_k≥1.

Lema 1 a_k =^P b_k := lim

k→∞

P(a_k=b_k) = 1 se, e somente se, a_k =^qc b_k.

Demonstração: Sejaa₁, b₁ ∈X₁. Da condição queakcoalesce em probabilidade combk, tem-se que:

1.2. APUFIP - PROCESSOS DEFINIDOS EM R 3

k→∞lim P_a

1,b₁(ak=bk) = 1,

i.e. para todoǫ=ǫ(kn)>0existekntal que para todok≥knverifica-se queP(ak =bk)>1−ǫ(kn).

Denote por

• Ω = { Conjunto de todas as trajetórias dos ancestrais de a₁ e b₁ das infinitas realizações de cada um dosXk};

• ǫ(n) = ¹_n e Tkn={ω∈Ω|ak(ω) =bk(ω), ∀k≥kn}.

Tem-se então que T = [∞

n=1

Tkn é tal que P(T) = 1, pois para qualquern

P(T)≥P(Tkn) = 1−_n¹,

então P(T) = 1.

(⇐) Imediato.

Se os processos pontuais de Poisson forem definidos em R e lim infλk = 0, a determinação da APUFIP é feita com relativa facilidade, pois neste caso, pode-se determinar a probabilidade de coalescência na "geração k+1" dada a posição dos k-ésimos ancestrais dea₁ e b₁, ou seja,

P(D_k+1= 0|ak, b_k) =e^−2λk+1Dk(1 +λ_k+1D_k)

Por outro lado, se cada um dos processosXk estiverem definidos emR^d(d≥2), teremos apenas um limitante inferior paraP(D_k+1= 0|ak, bk), neste caso a determinação da APUFIP só será obtida através da condição dada no lema6, o qual estabelece que o limite da probabilidade de coalescência condicional é uniformente limitado por baixo por uma constanteǫ(d, α, β)que depende da dimensão d em que os processos estão definidos, da razão entre os decaimentos das taxas α dos processos e do valor β associado à deriva ou "drift" do processo reescalado d_k:= (α)^kdD_k.

1.2 APUFIP - Processos Definidos em R

Vimos na secção 1 que a condição suficiente para a determinação da APUFIP era que dados quaisquer dois pontos em Xm, am e bm, eles coalesceriam em algum ponto ξ = ξ(am, bm) ∈ Xk

em quek =k(am, bm) > m. Obviamente, a construção da APUFIP dependerá da dimensão dem que os processos estejam definidos e da sequência de taxas (λk)_k≥1. No teorema 1 será demons- trada a construção da APUFIP quando para todo k ≥1 os processos Xk forem definidos em R e lim infλk= 0.

Proposição 1 Seja X_k+1^ak+1 a posição do ancestral de ak em X_k+1. A distribuição de X_k+1^ak+1 condi- cionada a ak tem lei dada por

f_Xak+1

k+1 |ak(x) =λ_k+1e^{(−2λk+1|x−ak|)}. (1.2) Demonstração: Sejaa_k a posição dok-ésimo ancestral dea₁ emX_k, segue-se pela independên- cia dos processos (X_k)_k≥1 que∀t >0.

P(|X_k+1^ak+1|ak−a_k|> t) =P(X_k+1^ak+1|ak> a_k+t) +P(X_k+1^ak+1|ak < a_k−t)

=P(X_k+1^ak+1 ∈/ [ak−t, ak+t]) =e^−λk+12t. Como o processo é homegêneo

P(X_k+1^ak+1|ak> a_k+t) =P(X_k+1^ak+1|ak< a_k−t) = ¹₂e^−λk+12t.

Se x=ak+t, entãoP(X_k+1^ak+1|ak> x) = ¹₂e^{−λk+12(x−ak)}1(x>ak), então

f_Xak+1

k+1 |ak(x) =λ_k+1e^2λk+1ake^−2λk+1x1(x>ak). Analogamente, tem-se que

f_Xak+1

k+1 |ak(x) =λ_k+1e^−2λk+1ake^2λk+1x1(x<ak).

Lema 2 Seja X_k+1 um Processo Pontual de Poisson de taxaλ_k+1 independente de Xk. Seak e bk

1.2. APUFIP - PROCESSOS DEFINIDOS EM R 5 são dois pontos de X_k, então para todok≥1 tem-se

P(D_k+1 = 0|ak, bk) =e^−2λk+1Dk(1 +λ_k+1Dk), (k≥1). (1.3)

Demonstração: De acordo com o que foi convencionado no segundo parágrafo da secção 1.1, temos que para todok≥1, cada partícula determina a sua posição. Ou seja,

P(D_k+1= 0|X_k^ak, X_k^bk) =P(D_k+1 = 0|X_k^ak =a_k, X_k^bk =b_k)

=P(D_k+1 = 0|ak, bk).

Condicionando-se P(D_k+1 = 0|ak, bk) na posição do ancestral de ak, X_k+1^ak+1, e tomando o seu valor esperado, resulta que

P(D_k+1= 0|ak, b_k) =E(P(D_k+1= 0|ak, b_k, X_k+1^ak+1)). (1.4)

Tem-se respectivamente que

P D_k+1 = 0|ak, bk, X_k+1^ak+1 =x

=













e^{−λk+1(2bk−2ak)} se x≤a_k−1

e^{−λk+1(2bk−2x)} se a_k−1 < x < b_k−1

1 se x≥b_k−1

(1.5)

De (1.2), (1.4) e (1.5) resulta que

P(D_k+1 = 0|ak, b_k) =E(P(D_k+1= 0|ak, b_k, X_k+1^ak+1))

= Z _+∞

−∞

f_Xak+1

k+1 |ak,b_k(x)P(D_k+1 = 0|ak, bk, x)dx

= Z +∞

−∞

f_Xak+1

k+1 |ak(x)P(D_k+1= 0|ak, bk, x)dx

= Z ak

−∞

f_Xak+1

k+1 |ak(x)e^{(−λk+1(2bk−2ak))}dx +

Z bk

a_k

f_Xak+1

k+1 |ak(x)e^{(−λk+1(2bk−2x))}dx +

Z +∞

bk

f_Xak+1

k+1 |ak(x)dx=e^{(−λk+1(2Dk))} Z ak

−∞

f_Xak+1

k+1 |ak(x)dx +

Z b_k

ak

f_Xak+1

k+1 |ak(x)e^{(−λk+1(2bk−2x))}dx+ Z _+∞

bk

f_Xak+1

k+1 |ak(x)dx.

portanto, P(D_k+1= 0|ak, b_k) =e^−2λk+1Dk(1 +λ_k+1D_k).

Proposição 2 P(Dk= 0)≤P(D_k+1= 0) para todo k≥1.

Demonstração: Do cálculo de P(D_k+1= 0) a partir do condicionamento emDk, tem-se

P(D_k+1 = 0) =E(P(D_k+1 = 0|Dk))

=P(D_k= 0)·P(D_k+1= 0|Dk= 0) +P(D_k6= 0)·P(D_k+1= 0|Dk6= 0)

=P(D_k= 0) +P(D_k6= 0)·P(D_k+1= 0|Dk6= 0)

≥ P(Dk= 0).

Proposição 3 Seja X_k+1^ξk+1 a posição do ancestral de ξ_k em X_k+1, então E(X_k+1^ξk+1|ξk) =ξ_k.

Demonstração: O resultado segue diretamente da proposição 1, pois da lei condicional dada em (1.2), segue-se

E(X_k+1^ξk+1|ξk) = Z ξk

−∞

xλ_k+1e^−2λk+1ξke^2λk+1xdx

+ Z _∞

ξ_k

xλ_k+1e^2λk+1ξke^−2λk+1xdx=ξk.

1.2. APUFIP - PROCESSOS DEFINIDOS EM R 7

Proposição 4 Seja(Xk)_k≥1uma sequência de processos pontuais de Poisson (independentes) definidos emR, com a₁ e b₁ escolhidos arbitrariamente em X₁, então E(D_k+1) =E(Dk) =D₁, (k≥1).

Demonstração: Do fato dea1eb1 serem escolhidos de maneira determinística, tem-seE(D1) = E(X₁^b1−X₁^a1) =b1−a1 =D1.

Pela independência dos(X_k)_k≥1 e da proposição3, seguem-se as respectivas igualdades em cada um dos termos

E(X_k+1^bk+1|ak, b_k) =E(X_k+1^bk+1|bk) =b_k; E(X_k+1^ak+1|ak, bk) =E(X_k+1^ak+1|ak) =ak. Assim, para todo k≥1 tem-se que

E(D_k+1) =E(E(D_k+1|ak, b_k))

=E(E(X_k+1^bk+1−X_k+1^ak+1|ak, bk))

=E(E(X_k+1^bk+1|ak, b_k))−E(E(X_k+1^ak+1|ak, b_k))

=E(E(X_k+1^bk+1|bk))−E(E(X_k+1^ak+1|ak,))

=E(bk)−E(ak) =E(bk−ak) =E(Dk).

Segue-se que E(D_k) =E(D₁) =D₁, para todo k≥1.

Teorema 1 Seja(Xk)_k≥1 uma sequência de processos pontuais de Poisson independentes definidos emRtais queλké a taxa de Xk. Selim inf

k→∞ λk= 0; então, quase certamente, o algoritmoAconstrói uma APUFIP.

Demonstração: Tomando o valor esperado em (1.3), segue-se que

P(D_k+1= 0) =E(P(D_k+1= 0|ak, bk))

=E

e^−2λk+1Dk[1 +λ_k+1Dk]

≥E

e^−2λk+1Dk

≥e^{−2λk+1E(Dk)}=e^−2λk+1D1.

Pela proposição 2 tem-se que P(D_k) é uma sequência não decrescente, donde resulta que

1≥ lim

k→∞

P(D_k= 0) = lim sup

k→∞

P(D_k= 0)

≥lim sup

k→∞

e^−2λk+1D1 =e⁻² lim inf

k→∞ λ_k+1D₁

= 1.

1.2.1 Critérios para Determinação da APUFIP como Função da Sequência de Taxas.

Do resultado estabelecido na equação (1.3), vemos que para todo k≥1, a probabilidade condi- cional de coalescência nak-ésima “iteração” decai com o aumento da taxa λ_k+1 para qualquer valor positivo fixado u de Dk. O Teorema 1 dá uma condição suficiente da sequência de taxas (λk)_k≥1 para a existência de um grafo conectado, sem ciclos e com um únco fim. É possível obter uma outra condição sobre as taxas e obter o mesmo resultado do teorema1? Há uma sequência de taxas para a qual o grafo não é conectado? É possível obter limites inferiores para a probabilidade que o grafo seja não conectado?

As respostas para estas três questões serão dadas no teorema 2, teorema 3 e corolário1. Para qualquer k≥1, sejaG:R⁺×N→[0,1]definida da seguinte maneira.

G(λ_k+1, k) :=P(a_k+1 =b_k+1|Dk6= 0) = Z _∞

0⁺

e^−2λk+1u(1 +λ_k+1u)f_Dk(u)du

se, e somente se,

P(a_k+1 6=b_k+1|Dk6= 0) = 1− Z ∞

0⁺

e^−2λk+1u(1 +λ_k+1u)fDk(u)du

Os eventos relacionados a não-coalescência entre os ancestrais dea₁eb₁em cada um dos estágios, ponderados pela distribuição da distância da “geração” passada, são independentes. Portanto, a probabilidade de não termos a coalescência entre os ancestrais de a₁ e b₁, e portanto que o grafo seja não conectado, é dada por:

1.2. APUFIP - PROCESSOS DEFINIDOS EM R 9

h

1−e^−2λ2D1(1 +λ2D1)iY^∞

k=2

1−

Z ∞

0⁺

e^−2λk+1u(1 +λ_k+1u)fDk(u)du

Para todok≥1,G(λ_k+1, k)é uma função contínua para todoλ_k+1 ∈R⁺. Além disso,G(λ_k+1= 0, k) = 1 e G(λ_k+1=∞, k) = 0, portanto, para todo z_k∈(0,1), existe G(λ_k+1, k) =z_k.

Teorema 2 SeG(λ_k+1, k)> ¹_k, então com probabilidade um, algoritmoAgera uma APUFIP cujos vértices são todos os pontos dos processos(X_k)_k≥1.

Demonstração:

P(∀k ak6=b_k |D16= 0) =

h1−e^−2λ2D1(1 +λ₂D₁)iY^∞

k=2

1−

Z _∞

0⁺

e^−2λk+1u(1 +λ_k+1u)f_Dk(u)du

≤

Y∞

k=2

1−1

k

= 0 ⇒ P(existe no; ∀n > n0 an=bn|D16= 0) = 1

Teorema 3 Se G(λ_k+1, k) < _e¹k, então há uma probabilidade positiva que o algoritmo A gere um grafo não conectado e sem ciclos.

Demonstração:

P(∀k ak6=bk|D1 6= 0) =

h

1−e^−2λ2D1(1 +λ2D1)iY^∞

k=2

1−

Z ∞

0⁺

e^−2λk+1u(1 +λ_k+1u)fDk(u)du

>

h

1−e^−2λ2D1(1 +λ2D1)iY^∞

k=2

1− 1

e^k

Corolário 1 Para qualquer p∈ (0,1) é sempre possível obter uma sequência de taxas (λk)_k≥1 tal que a probabilidade de não existência de uma APUFIP é maior do que p.

Demonstração: Para qualquer p∈(0,1), existe uma sequência (zk)_k≥1 que satisfaz:

Y∞

k=1

(1−ak) =p

Assim, se G(λ_k+1)< zk e

1−e^−2λ2D1(1 +λ₂D₁)

< z₁, então:

P(∀k ak6=bk|D1 6= 0) =h

1−e^−2λ2D1(1 +λ₂D₁)iY^∞

k=2

(1−G(λ_k+1)) >

Y∞

k=1

(1−zk) =p

1.3 APUFIP - Processos Definidos em R^d, d≥2

Apresentaremos nesta secção a construção da APUFIP quando os processos (X_k)_k≥1 estiverem definidos em R^d, para d≥ 2 e λ_k = (α)^k, em que α ∈(0,1). Em comparação ao problema de se determinar a construção da APUFIP descrita na secção 1.2, as principais dificuldades que surgem agora são:

1.3. APUFIP - PROCESSOS DEFINIDOS EM R^D, D≥2 11 1. Não há uma "expressão fechada" para P(D_k+1 = 0|ak, b_k), diferentemente do que ocorre

em (1.3).

2. A distribuiçãoD_k não tem mais a propriedade descrita na proposição 4.

A obtenção de uma cota inferior para a probabilidade condicional de coalescência, P(D_k+1 = 0|ak, bk), será a alternativa ao resultado apresentado na equação (1.3). Quanto ao segundo item, consideraremos uma reescala determinística do processo Dk, de tal forma que no novo processo cujas distâncias serão denotadas por dk, ter-se-á a seguinte característica: se ak e bk estiverem

"suficientemente distantes", dk > Ld = f(α, β, d), então E(d_k+1|dk) < βdk. A partir disto, o teorema 11 garantirá que dk ≤ Ld para infinitos k. Este fato e a condição dada no lema 6, que estabelece um limitante inferior positivo para o limite da probabilidade condicional de coalescência, serão suficientes para demonstrar a existência da APUFIP para processos definidos em R^d.

Observação 2 Conforme será mostrado em (1.9), Ld é um valor constante que dependerá: da razão de decaimento α das taxas dos processos, da dimensão d em que processos estão definidos e do valor β que está relacionado ao "drift" médio do processo reescalado dk. Como α e β poderão ser escolhidos "a priori" satisfazendo (1.9) para qualquer sequência (Xk)_k≥1, indicaremos apenas o

"índice" dem Ld.

Determinaremos uma cota inferior para a probabilidade de coalescência, lema 4, a partir do condicionamento dado em (1.6), em que R^aa^k+1_k é a distribuição da distância entre um ponto a_k de X_k e o seu ancestrala_k+1 deX_k+1 e cuja densidade é dada no lema 3.

P(D_k+1 = 0|ak, bk) =E(P(D_k+1 = 0|ak, bk, R^aa^k+1k )) (1.6) Lema 3 Para todo k ≥ 1, (R^aa^k+1_k )^d ∼ Exp(λ_k+1v_d(1)), em que v_d(1) é o volume da bola d- dimensional de raio unitário.

ak

a_k+1 Dk bk

Ra^ak+1k

R^aak^k+1+Dk

Figura 1.2: Região que determina a coalescência entre os ancestrais dea^k eb^k em função da distribuição da distânciaR^aakk⁺¹ eD^k.

Demonstração: Para todor >0, tem-se que R^aa^k+1k > r se, e somente se, n

(R^aa^k+1k )^d> r^do

, então P(R^aa^k+1_k > r) =P((R^aa^k+1_k )^d> r^d) =e^{(−λk+1vd(1)rd)}, portanto f_Rak+1

ak (r) =dλ_k+1vd(1)r^d−1e^{(−λk+1vd(1)rd)}1(r≥0).

Observação 3 Para qualquer Ra^ak+1_k = r > 0, se não houver nenhum ponto de X_k+1 na região hachurada na figura 1.2, então necessariamente a_k+1 é o ponto mais próximo de a_k e b_k, determi- nando a coalescência destes últimos em X_k+1.

1.3. APUFIP - PROCESSOS DEFINIDOS EM R^D, D≥2 13 Lema 4 (Cota Inferior para a Probabilidade Condicional de Coalescência )

P(D_k+1= 0|Dk) =P(a_k+1=b_k+1|Dk)≥e^{(−λk+1Dkdvd(1))}+ Xd−1

j=1

d−1 j

d

−Dkvd(1)^1dj

λ_k+1^1dλ_k+1^jd Z _∞

(^λk+1D_k^dv_d(1))^1d e^(−wd)w^d−1−jdw Demonstração: Ver apêndiceB.1.

Apesar da dificuldade citada no item 2, isto é, que não se tem mais que ∀k≥ 1 E(Dk) = D1, pode-se obter um limitante superior paraE(Dk+1|Dk)o qual depende deDk eλk+1a partir de (1.7) e do corolário2.

D_k+1|Dk ≤Dk+Ra^ak+1k +R^b_b^k+1

k (1.7)

Corolário 2 Para todo k≥1,

E(R^aa^k+1k ) = 1

(λ_k+1v_d(1))^1dΓ

1 + 1 d

Demonstração: Do lema 3, comu=λ_k+1vd(1)x^d, segue-se que

E(R^aa^k+1_k ) = Z _∞

0

P(R^aa_k^k+1 > x)dx= Z _∞

0

e^{(−λk+1vd(1)xd)}dx=

1 d(λ_k+1v_d(1))^1d

Z ∞

0

e^(−u)u 1 d−1

!

du= 1

d(λ_k+1v_d(1))^d1Γ 1

d

=

1 (λ_k+1vd(1))^1d

Γ

1 +1 d

Disto tem-se que

E(D_k+1|Dk)≤Dk+ 1

(λ_k+1)^1dc(d) em que c(d) = 2Γ 1 +¹_d (vd(1))^1d

Para todo k ≥ 2, considere o seguinte reescalonamento para as distâncias entre os k-ésimos ancestrais de a₁ e b₁.

d_k:= (α)^kdD_k α∈(0,1). (1.8)

Assim, tem-se que para

Ld= c(d)

β−(α)^1d =

2^Γ(¹⁺¹_d)

(vd(1))^1d

β−(α)^1d em que β ∈(α^1d,1), (1.9)

E(d_k+1|dk)< βdk sempre quedk∈(Ld,∞). (1.10) 1. Ld é uma constante positiva, e como falado anteriormente, depende: da dimensão dem que os processos estão definidos, da razão α de decaimento das taxas dos processos e do valor β dado em (1.9) e (1.10) associado a "deriva média" do processo reescaladodk (1.8).

2. De (1.10), tem-se que a "deriva média" de d_k+1 em relação a d_k é pelo menos (1−β), se d_k ∈(Ld,∞).

3. Para uma dada dimensão d, para que se possa estalecer uma "deriva" de pelo menos 1−β, quanto maior forα, maior será o valor deLd.

4. Se dk∈[0,Ld],então Dk∈

"

0, Ld

(α)^kd

# . 5. {dk= 0} ⇔ {Dk= 0} ∀k≥2.

Observação 4 Do teorema 11 dado no apêndice C, pode-se estabelecer que para todo k≥ 1,a va- riável dk na qual se mede a distância escalonada entre os k-ésimos ancestrais de a₁ e b₁ sempre

1.3. APUFIP - PROCESSOS DEFINIDOS EM R^D, D≥2 15 assumirá um valor menor ou igual que Ld num tempo finito.

Observação 5 Os comentários sobre a distribuição Dk se estendem a dk, uma vez que dk é sim- plesmente uma reescala determinística de Dk.

Lema 5 Se L≥l, então para todok≥1

P(D_k+1 = 0|Dk=L)≤P(D_k+1= 0|Dk=l)

Demonstração: Sejam ak, bk, a^′_k e b^′_k pontos de Xk definido em R^d tais que L = |ak−bk| e l=|a^′_k−b^′_k|.

Podemos considerar, pelas propriedades de invariância por rotação e translação do processo de Poisson, os quatro pontos sobre a mesma reta de um plano π ⊂ R², com a_k e a^′_k sobre a mesma posição. Seja ξ_k+1^ak,bk o ancestral comum de a_k e b_k em X_k+1, isto é, a_k e b_k pertencem a Célula de Voronoi deξ^a_k+1^k,bk, implicando portanto que a^′_k e b^′_k também pertencerão, ou seja, a coalescência de ak ebk implicará a coalescência entrea^′_k e b^′_k.

Lema 6 (Limite inferior para a probabilidade condicional de coalescência)

k→+∞lim

P(d_k+1= 0|dk∈[0,Ld])≥exp(−α(Ld)^dv_d(1)) =ǫ(α, β, d)>0

Demonstração: A prova deste lema é dada no apêndice B.2, sendo uma adaptação de [2].

Teorema 4 Seja(X_k)_k≥1 uma sequência de processos pontuais de Poisson independentes definidos em R^d e λ_k =α^k, α ∈ (0,1), a taxa de X_k. Então quase certamente algoritomo A constrói uma APUFIP consistindo dos pontos de todos os processos.

Demonstração: Da observação 4 e do lema 6, segue-se que há infinitos instantes nos quais a probabilidade de coalescência entre os k-ésimos ancestrais dea₁ e b₁ é uniformemente limitada por baixo, implicando o resultado.

Capítulo 2

APUF - Processo de Poisson Definido em R .

Consideraremos neste capítulo a construção de uma árvore de um único fim cujos vértices são todos os pontos de um único processo pontual de Poisson X₀ de taxaλ. Designaremos daqui em diante tal grafo por APUF. Para tanto, seja a partição dos pontos de X₀ dada na definição2.

Definição 2 Sejam B(ξ, r) bola centrada em ξ de raior e {tk}_k≥1 uma sequência decrescente com t1 =∞. Um ponto ξ do processo pontual de Poisson(X0) será do tipo k, k≥1 se:

N(B(ξ, tk+1)) = 0 e N(B(ξ, tk)−B(ξ, t_k+1))≥1. (2.1)

Ademais, consideremos que a sequência(tk)_k≥1 é tal que:

k→∞lim t_k+1

t_k = 0 (2.2)

Definição 3 (Ponto Típico) Um pontoξ é dito típico do tipo k, se:

N(B(ξ, tk+1)) = 0 e N(B(ξ, tk))−N(B(ξ, tk+1)) = 1. (2.3)

Um ponto do tipo k é não típico, se e somente se, ocorrerem um ou mais "pontos extras" em um dos intervalos de comprimento∆t_k:=t_k−t_k+1 determinados pelo ponto típico.

17

P(ξ ser não típico |ξ é do tipok) = P(ξ ser não típico e ξ é do tipo k) P(ξ é do tipo k)

e^−2λtk+1 1−e^−2λ∆tk−e^−2λ∆tk2λ∆t_k

e^−2λtk+1(1−e^−2λ∆tk) = 1−e^−2λ∆tk2λ∆t_k 1−e^−2λ∆tk ≤ 1−e^−2λ∆tk2λ∆t_k

2λ∆tk

= 1−e^−2λ∆tk ≤2λ∆t_k (2.4)

Observação 6 Tem-se da equação (2.4) que a probabilidade de um ponto do tipok ser não típico, é da ordem de ∆tk. Pode-se com isso fazer com que a densidade de tais pontos seja tão pequena quanto desejarmos, uma vez que a sequência dos tk é decrescente.

Observação 7 Os pontos típicos do tipo kocorrem como pares de pontos cuja distância entre eles está entre t_k+1 e t_k, e são tão menos densos, quanto maior for o valor de k.

Observação 8 A partir da desigualdade (2.4) é razoável esperar que dado um ponto do tipo k, o ponto mais próximo a ele seja típico e também do tipo k. Tal configuração é tanto mais provável, quanto maior for k.

Lema 7 (Pontos Típicos com Vizinhança Simétrica) Seja V_δ(k)x o evento que representa a existência de uma vizinhança simétrica de raio δ(k) := tk+t_k+1 em torno de um ponto x de um par de pontos típicos do tipo k, isto é, considerando-se um ponto do par de pontos típicos, não haja outros pontos do processo, exceto o outro ponto formador do par. Então, ∀k≥1:

P(V_δ(k)x)≥exp(−2λδ(k)) ⇔ P( ¯V_δ(k)x)≤2λδ(k) (2.5)

Convencionaremos que pontos do mesmo tipo pertencerão a uma mesma geração. Assim, os pontos do processo pontual de Poisson serão particionados numa "sucessão de gerações", em que o ancestral de um ponto ξ_k da geração k, será o ponto mais próximo a ele da(k+ 1)-ésima geração.

Definição 4 (Algoritmo de Construção) Da partição dada na definição 2 dos pontos do pro- cesso pontual de Poisson, definiremos para todo k ≥ 1, o algoritmo B de construção do grafo aleatório cujos vértices são todos os pontos de X₀ e cada elo é formado por ξk ∈ Xk e o seu ancestral ξ_k+1∈X_k+1.

19 Para mostrarmos que o algoritmo B gera uma árvore, é necessário verificarmos que o grafo resultante é conexo e sem ciclos. A não existência de ciclos é evidente; pois para haver ciclos, um ponto de uma geração j, teria que ter um ancestral numa geração k : k < j, mas isto é absurdo pela definição do algoritmo B de construção do grafo. Resta mostrar a conexidade; isto é, dados dois pontos quaisquer, há sempre um caminho entre eles. Para isto, analogamente ao descrito na seção 1.1, é suficiente mostrar que tais pontos sempre apresentam um ancestral comum, ficando assim provado mais até do que a conexidade, mais também a existência de um único fim.

Lema 8 (Ancestrais Típicos) Sejam a₁ um ponto qualquer da geração inicial e (a_k)_k≥2 a se- quência dos ancestrais de a₁. Se

X∞

k=2

∆t_k<∞, então existe k₁ suficientemente grande tal que a_k é ponto típico, para todo k≥k1.

Demonstração: Da equação (2.4) segue-se que:

P(ak é não típico) =P(ak é não típico|ak é do tipo k)≤2λ∆tk ⇒

X∞

k=2

P(ak é não típico)≤ X∞

k=2

2λ∆tk<∞ ⇒

P(existir infinitos ancestrais não típicos dea1) = 0 (2.6)

Do lema 8 segue-se que escolhido um ponto em uma geração qualquer, a partir de uma certa geração, todos os seus ancestrais serão pontos típicos.

Lema 9 (Ancestrais Típicos e de Vizinhança Simétrica) Se X∞

k=2

δ(k) < ∞, então existe k₂ suficientemente grande, tal que para todo k ≥ k₂, a_k é ponto típico do tipo k, e numa região centrada ema_k de raioδ_k não há outro ponto do processo, exceto o outro ponto formador do par de pontos típicos.

Demonstração: A condição X∞

k=2

δ(k)<∞implica X∞

k=2

∆tk <∞, e portanto a exitência de um número finito de ancestros não típicos. De (2.5) e do lema 8, tem-se que:

X∞

k=2

P( ¯V_δ(k)x)≤

kX₁−1

k=2

P( ¯V_δ(k)x) + X∞

k=k1

2λδ(k)<∞ ⇒ P( ¯V_δ(k)x i.v) = 0

Observação 9 A partir de agora, quando nos referirmos a um ponto do tipo kna linha de sucessão de um ponto escolhido arbitrariamente na "geração inicial", estaremos admitindo ser típico e admitir uma vizinhança simétrica de raio δ(k).

Sejamx^′_k+1 ex_k+1 dois pontos consecutivos do tipok+ 1, tais quex^′_k+1< x_k+1comx_k+1 sendo o ponto mais próximo de x^′_k+1 à sua direita, à exceção do outro ponto formador do par de pontos típicos do tipok+ 1comx^′_k+1, o qual já sabemos estar distante entre t_k+2 e t_k+1 de x^′_k+1.

Qual seria então a lei que mede a distância d_k+1,k+1 entrex^′_k+1 e x_k+1? Sem perda de genera- lidade, considere a sequência de pontos ordenados do processo pontual de Poisson x^′_k+1 = ξ_k+1⁰ <

ξ¹ < ξ²< ... < ξ^N

k+1,k+1∗

k+1 =x_k+1 e variáveis aleatórias Yi, i∈n

1, ..., N_k+1,k+1^∗ o

tais que:

1. N(x^′_k+1+δ(k+ 1), ξ¹] = 1 e N(ξⁱ⁻¹, ξⁱ) = 0 ∀i∈n

2, ..., N_k+1,k+1^∗ o 2. Y₁ =ξ¹− x^′_k+1+δ(k+ 1)

e Yi=ξⁱ−ξⁱ⁻¹, i∈n

2, ..., N_k+1,k+1^∗ o 3. N_k+1,k+1^∗ :=

n≥1inf :ξⁿ=x_k+1, x^′_k+1=ξ_k⁰

Uma primeira tentativa para se determinar a lei da distância entre x^′_k+1 e x_k+1 seria uma soma aleatória de variáveis exponenciais com um número geométrico de termos. Acontece que o número de termos não é exatamente geométrico, poisξⁱ ser do tipok+ 1dependerá não somente det_k+2<

Y_i+1≤t_k+1, mas também de Y_i > t_k+2 para todoi∈2, ..., N_k+1,k+1^∗ , pois seY_i =|ξⁱ−ξⁱ⁻¹| ≤t_k+2, tem-se que P(ξⁱ 6=x_k+1) = 1.

Porx^′_k+1 admitir uma vizinhança simétrica de raioδ(k+ 1) :=t_k+1+t_k+2, temos queP(N[ξ¹− t_k+2, ξ¹) = 0) = 1, ou seja,ξ¹ ser do tipok+ 1é dado apenas em função det_k+2 < Y₂ ≤t_k+1.

Acontece que ∀i≥1, P(Yi > t_k+1) =e^−λtk+1, ou seja, com alta probabilidade, o "rótulo" deξⁱ dependerá apenas de Yi+1, sendo portanto independente deξⁱ⁻¹. Logo, para todo i≥1.

21

P(ξⁱ ser do tipo k+1|Y_i−1> t_k+1) =P(Y_i+1∈(t_k+2, t_k+1]) = e^−λtk+2(1−e^{−λ(tk+1−tk+2)}) =e^−λtk+2−e^−λtk+1

(2.7)

Para todo j≥1, sejam

1. E_j;k+1,k+1:={Y2 > t_k+1, ..., Yj > t_k+1, t_k+2< Yj+1≤t_k+1} 2. N_k+1,k+1:=

j≥1inf :ξ^j =x_k+1, Y₂ > t_k+1, ..., Yj > t_k+1, ξ⁰ =x^′_k+1

ou seja, E_j;k+1,k+1 é o evento queξ^j é o primeiro ponto do tipok+ 1à direita do par de pontos típicos ao qual x^′_k+1 pertence e as distâncias entre todos os pares de pontos consecutivos entre x^′_k+1+δ(k+ 1)e ξ^j são superiores at_k+1. Esta última condição, implica que o rótulo de ξ^j ser do tipok+ 1é determinado tão somente pelo fato deξ^j+1∈(ξ_j+t_k+2, ξ_j+t_k+2+t_k+1]. N_k+1,k+1 é a variável aleatória que representa o número de pontos do processo até a ocorrência do primeiro ponto do tipok+ 1, nas configurações cujas distâncias entre os pontos compreendidos entrex^′_k+1+δ(k+ 1) a x_k+1 é sempre superior a t_k+1 .

Da definição de E_j;k+1,k+1, seguem-se que:

1. E_i;k+1,k+1∩E_j;k+1,k+1=∅ para todoi6=j.

2. Para todoj≥1,P(E_j;k+1,k+1) = e^−λtk+1j−1

e^−λtk+2−e^−λtk+1 .

Seja α_k+1 a probabilidade de ocorrer algum E_j,k+1,k+1 tem-se da condição dada em (2.2) sobre a sequência(tk)_k≥1, que:

α_k+1 :=P



 [∞

j=1

E_j;k+1,k+1



= X∞

j=1

P(E_j;k+1,k+1) = X∞

j=1

e^−λtk+1j−1

e^−λtk+2−e^−λtk+1

=

e^−λtk+2−e^−λtk+1

1−e^−λtk+1 = λt_k+1−λt_k+2+o(t_k+2) +o(t_k+1) λt_k+1+o(t_k+1) ⇒

k→∞limα_k+1 = lim

k→∞

P



 [∞

j=1

E_j;k+1,k+1



= 1− lim

k→∞

t_k+2

t_k+1 = 1 (2.8)

Lema 10 (Distribuição de Nk+1,k+1)

N_k+1,k+1∼Geo(p_k+1,k+1 = 1−e^−λtk+1)

Demonstração: tem-se que:

P(N_k+1,k+1 =j) =P(E_j;k+1,k+1| [∞

i=1

E_i;k+1,k+1) =

P E_j;k+1,k+1∩ [∞

i=1

E_i;k+1,k+1

!!

P [∞

i=1

E_i;k+1,k+1

! = P(E_j;k+1,k+1) X∞

i=1

P(E_i;k+1,k+1)

= (e^−λtk+1)^j−1(1−e^−λtk+1)

Sejam d˜_k+1,k+1:=δ(k+ 1) +

Nk+1,k+1

X

i=1

Yi e d_k+1,k+1=|x_k+1−x^′_k+1|, então:

Corolário 3 (Distância entre pontos típicos adjacentes do tipo k+1, d_k+1,k+1)

d_k+1,k+1=







d˜_k+1,k+1 com probabilidade α_k+1 G_k+1,k+1 com probabilidade 1−α_k+1

Observação 10 Do corolário3, segue-se que com alta probabilidade,α_k+1, a lei da distância entre pontos consecutivos do tipo k+ 1 é dada pord˜_k+1,k+1.

Observação 11 Em d˜_k+1,k+1 =δ(k+ 1) +

N_k+1,k+1

X

i=1

Yi tem-se que:

k→∞limδ(k+ 1) = lim

k→∞(t_k+1+t_k+2) = 0

23 Com isso, resulta que:

d˜_k+1,k+1 ≈d¯_k+1,k+1 :=

N_k+1,k+1

X

i=1

Yi quando k→∞ (2.9)

A partir do resultado estabelecido em (2.9), tem-se uma aproximação assintótica para d˜_k+1,k+1 dada por d¯_k+1,k+1. Por outro lado, de (2.8) segue-se que para k suficientemente grande, com alta probabilidaded_k+1,k+1 = ˜d_k+1,k+1.

Lema 11 (Soma Geométrica de Exponenciais iid) SejamN_k+1,k+1,Yi ep_k+1,k+1como definidos anteriormente, então:

d¯_k+1,k+1=

N_k+1,k+1

X

i=1

Yi ∼Geo(λp_k+1,k+1 =λh

1−e^−λtk+1i )

Demonstração: sejaMd¯_k+1,k+1(t) a função geradora de momentos ded¯_k+1,k+1 em t.

Md¯_k+1,k+1(t) =E(e^t.d¯k+1,k+1) =E



exp



t

N_k+1,k+1

X

i=1

Yi







=E



E



exp



t

N_k+1,k+1

X

i=1

Yi



|Nk+1,k+1









Acontece que:

E



exp



t

N_k+1,k+1

X

i=1

Y_i



|Nk+1,k+1 =n



=E exp t Xn

i=1

Y_i

!!

=E( Yn

i=1

exp(tY_i)) =

Yn

i=1

Eexp(tYi) = Yn

i=1

MYi(t) = λ

λ−t n

⇒ E



exp



t

N_k+1,k+1

X

i=1

Yi



|N_k+1,k+1



=

λ λ−t

N_k+1,k+1

⇒ Md¯_k+1,k+1(t) =E λ

λ−t

N_k+1,k+1

= X∞

n=1

λ λ−t

n

p_k+1,k+1(1−p_k+1,k+1)ⁿ⁻¹ =