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Tales de Mileto
(640-546 a.C.), matemático, professor, astrónomo e filósofo grego ficou conhecido como um dos sete sábios da antiga Grécia. Por muitos considerado o pai do raciocínio dedutivo, introduziu o estudo da Geometria na Grécia. Supõe-se que viveu algum tempo no Egipto onde provavelmente aprendeu geometria e na Babilónia onde entrou em contacto com tabelas e instrumentos astronómicos. A Tales associam- se as primeiras descobertas matemáticas. Acredita-se que foi o primeiro geómetra a provar as suas teorias por meio de demonstrações feitas passo a passo. Atribui-se a Tales o cálculo da pirâmide de Quéops, recorrendo à semelhança de triângulos e medição de distâncias dos navios no mar à praia, entre muitos resultados geométricos importantes.Pesquisa mais informações sobre Tales e outros matemáticos que estudaram a semelhança de triângulos e suas aplicações.
Para Aplicar…
1.
(a) Dois triângulos equiláteros são semelhantes? Por quê?
(b) Dois triângulos isósceles quaisquer são semelhantes? Por quê?
2. Observa a figura ao lado
▪ [ADC] é um triângulo rectângulo em D;
▪ B é o ponto médio de [AC];
▪
____
10 AB= cm.
(a) Mostra que os triângulos [ABD] e [DBC] são equivalentes.
(b) Calcula
____
DE.
2
3. Na figura está representado um trapézio [ABCD] e as suas diagonais [AD] e [BC].
3.1 Prova que:
(a)
^ ^
B A E=E DC (b)
^ ^
A B C=E CD (c)
^ ^
A E B=C ED 3.2 Conclui que ∆[CED]~∆[AEB].
3.3 Prova que
____ ____ ____ ____
CE EA⋅ =BE ED⋅
4.
(a) Prova que os ângulos U e O são rectos.
(b) Prova que os triângulos [SOL] e [LUA] são semelhantes e indica a razão de semelhança.
(c) Qual será a razão entre as áreas dos dois triângulos?
5. Considera o triângulo [ABC]. BD bissecta o ângulo ABC e DE é paralelo a AB.
Supõe
____ ____
AB=BC e que
^
100º A B C= .
Indica, justificando, quais das seguintes afirmações são verdadeiras:
(a) ∆[BDA]~∆[BDE].
(b) ∆[ABC]~∆[DCE].
(c)
____ ____
____ ____
AD AB DC BC
= .
(d) ∆[ABD]~∆[BCD].
(e)
____ ____
DE=EB. (f)
____ ____
EB=DB
(g) ∆[ABD]~∆[BEC].
6. O Diogo e o Zito estavam curiosos para saber a altura do pavilhão gimnodesportivo onde jogam futebol.
Usando a sombra do Diogo e o Edifício conforme se mostra no desenho, calcula a altura do pavilhão gimnodesportivo.
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3
M N C
A B
7. O triângulo
[
ABC]
é uma ampliação do triângulo[
CDE]
, com razão de semelhança r=2. (a) Calcula o raio da circunferência.(b) Determina a área do círculo (fazendo
14 ,
=3 π ).
(c) Qual é a razão entre as áreas do triângulo
[
ABC]
e do triângulo[
CDE]
? Justifica.(d) Calcula a área do triângulo
[
ABC]
.8. Observa a figura:
O Pedro vai no seu barco do Faial (F) até à ilha de Santa Maria (S). Na sua rota, passa pelo Pico (P).
Atendendo aos dados da figura, calcula, com aproximação às unidades:
(a)
___
FS, a distância do Faial a Santa Maria.
(b)
___
FP, a distância do Faial ao Pico.
(c)
___
PG, a distância do Pico à Graciosa (G)
9. Na figura seguinte representa-se a localização das casas de três amigos.
▪ Entre as três casas há um pequeno jardim triangular.
▪ A casa do Tobias está a igual distância da casa da Maria e do Aníbal.
▪ Da casa da Maria à casa do Aníbal são mais 20 metros que da casa da Maria à casa o Tobias.
(a) Calcula a distância da casa do Tobias à casa da Maria.
(b) Os dois triângulos representados são semelhantes?
Justifica.
(c) Indica a razão de semelhança, como redução.
(d) Indica a razão das áreas (enquanto redução).
10. Observa a figura seguinte
Sabendo que M é o ponto de [AC] e N é o ponto médio de [CB], prova que:
(a) ∆[ABC]~∆[MNC].
(b)
_____ 1_____
2 MN = AB. (c) MN // AB.
(d) A área do triângulo [MNC] é ¼ da área do triângulo [ABC].
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11. Num triângulo, os lados são 10,4 cm, 12 cm e 9,6 cm. Determina o comprimento dos lados de um triângulo semelhante com 80 cm de perímetro.
12. Sabe-se que as áreas de dois triângulos semelhantes são 25 cm2 e 9 cm2. Qual é a razão de semelhança dos perímetros?
13. Os perímetros de dois triângulos semelhantes são 36 cm e 24 cm. Determina a área do triângulo maior, sabendo que a área do outro é 24 cm2.
14. A D. Maria tem um terreno de forma triangular. No seu interior, existe um canteiro semelhante ao terreno. Sabe-se que a razão entre os comprimentos dos respectivos lados é 1
3.
(a) Sabendo que a D. Maria gastou 714 m de rede para vedar o terreno, que quantidade de rede necessita para vedar o canteiro?
(b) Sabendo que o canteiro tem de área 12 m2, qual a área do terreno? E a área compreendida entre o terreno e o canteiro?
15. Diz-se que o ecrã de um televisor tem formato «4:3» quando é semelhante a um rectângulo com 4 cm de comprimento e 3 cm de largura. O ecrã do televisor do Miguel tem formato «4:3», e a sua diagonal mede 70 cm. Determina o comprimento e a largura do ecrã. Apresenta todos os cálculos que efectuares e, na tua resposta, indica a unidade de medida.
Exame Nacional de 9º
16. Considera um triângulo equilátero que tem 6 cm de lado. Recorrendo a material de desenho e de medição, constrói a ampliação, de razão 1,5, deste triângulo. Efectua a construção a lápis. Não apagues as linhas auxiliares que traçares para construíres o triângulo.
Exame Nacional de 9º
Bom Trabalho!
