Aula Tecnicas de Contagem

(1)

PROBABILIDADE E

ESTATÍSTICA

(2)

TÉCNICAS DE CONTAGEM

Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória

(3)

Dois conceitos são fundamentais para a análise combinatória:

• Princípio Fundamental da Contagem. • Fatorial de um número .

Os três tipos principais de agrupamentos são as

(4)

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Com duas calças e três camisas, de quantas maneiras diferentes uma pessoa pode se vestir?

md = {(A, C), (A, D), (A, E), (B, C), (B, D), (B, E) }

Calça A

Calça B

Camisa D Camisa C

(5)

EXEMPLO

Suponhamos que uma placa de carro contenha três letras, seguidas por quatro algarismos. Qual é o numero máximo de placas que poderão ser encontradas?

26 alternativas

10 alternativas

(6)

Suponhamos que uma placa de carro contenha três letras, seguidas por quatro algarismos, sendo a segunda letra A e o terceiro número diferente de zero e dois. Qual é o numero máximo de placas que poderão ser encontradas?

EXERCÍCIO

PRINCÍPIO

FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

A

26 alternativas

26 alternativas10 alternativas_{10 alternativas}

8 alternativas

10 alternativas

(7)

FATORIAL

Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) como

sendo:

n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 para n >= 2.

Para n = 0 , teremos : 0! = 1. Para n = 1 , teremos : 1! = 1 Ex1: 4! = 4.3.2.1 = 24

Ex2:



(8)

PERMUTAÇÕES

São agrupamentos com n elementos, de forma que os

n elementos sejam distintos entre si pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.

Exemplo: com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.

O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é :

(9)

Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares.

(10)

PERMUTAÇÕES COM REPETIÇÕES

Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c

elementos repetidos e assim sucessivamente , o

(11)

Determine o número de anagramas da palavra

ESTATÍSTICA. (não considere o acento)

Temos a = 2, b = 3, c = 2, d = 2, logo

600 .

831 !

2 !

3 !

2 !

11

48.800 916 . 39 ) 2 , 2 , 3 , 2 (

11



(12)