Ficha IBMEC e FGV / 20141

(1)

1. (Ibmecrj2013) O gráfico da função quadrática definida por ^{f x}  ^^4x²^^{5x 1}^ é uma parábola de vértice V e intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A área do triângulo AVB é : a) 27/8

b) 27/16 c) 27/32 d) 27/64 e) 27/128

2. (Ibmecrj2013) Uma prova de Matemática contém oito questões, das quais quatro são consideradas difíceis. Cada questão tem quatro opções de resposta, das quais somente uma é correta. Se uma pessoa marcar aleatoriamente uma opção em cada uma das questões difíceis, é correto afirmar que :

a) a probabilidade de errar todas as questões difíceis é maior do que a probabilidade de acertar pelo menos uma questão difícil.

b) a probabilidade de errar todas as questões difíceis é maior que 0,5.

c) a probabilidade de errar todas as questões difíceis está entre 0,4 e 0,5.

d) a probabilidade de errar todas as questões difíceis está entre 0,3 e 0,4.

e) a probabilidade de errar todas as questões difíceis é menor do que 0,3.

3. (Fgvrj2013) Uma caixa sem tampa é construída a partir de uma chapa retangular de metal, com 8 dm de largura por 10 dm de comprimento, cortando-se, de cada canto da chapa, um quadrado de lado x decímetros e, a seguir, dobrando-se para cima as partes retangulares, conforme sugere a figura a seguir:

O volume, em dm ,³ da caixa assim obtida é : a) _{80x 36x}_ ²__4x³

b) _{80x 36x}_ ²__4x³ c) _{80x 18x}_ ²__x³ d) _{80x 18x}_ ²__x³ e) _{20x 9x}_ ²__x³

4. (Fgvrj2012) Um triângulo ABCisósceles tem os lados AB e _ACcongruentes. As medidas da projeção ortogonal do lado _ACsobre a base _BC, da altura relativa à base e a do lado _AC formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. Se o perímetro do triângulo ABCfor 32, a medida do lado _ACserá igual a:

a) 10 b) 10,5 c) 11

CENTRO EDUCACIONAL ESPAÇO INTEGRADO Ensino Médio

Aluno: ____________________________________________________________

Série:3°Turma: Data: ___/____/2015

Disciplina: MatemáticaProfessor(a): Emanuel Jaconiano

NOTA:

______

(2)

d) 11,5 e) 12

5. (Fgvrj2012) Cinco estudantes param para pernoitar em um hotel à beira da estrada. Há dois quartos disponíveis, um com duas camas e outro com três. De quantas maneiras eles podem se dividir em dois grupos, um com duas pessoas e outro com três, para se hospedar no hotel?

a) 80 b) 40 c) 20 d) 10 e) 5

6. (Fgvrj2012) Em uma lata cilíndrica fechada de volume 5175 cm ,³ cabem exatamente três bolas de tênis.

a)Calcule o volume da lata não ocupado pelas bolas.

b)Qual é a razão entre o volume das três bolas e o volume da lata?

7. (Fgvrj2012) O número N de habitantes de uma cidade cresce exponencialmente com o tempo, de modo que, daqui a t anos, esse número será N 20000(1 k)  ^t, onde k é um número real. Se daqui a 10 anos

a população for de 24 000 habitantes, daqui a 20 anos ela será de:

a) 28 000 habitantes b) 28 200 habitantes c) 28 400 habitantes d) 28 600 habitantes e) 28 800 habitantes

8. (Fgvrj2012) Adotando os valores log2 0,30 elog3 0,48, em que prazo um capital triplica quando aplicado a juros compostos à taxa de juro de 20% ao ano?

a) 5 anos e meio b) 6 anos

c) 6 anos e meio d) 7 anos

e) 7 anos e meio

9. (Fgvrj2012) a)Considere os números complexos z₁ 1 i; z₂ 2(1 i), em que ié o número complexo tal que i² 1.Represente, no plano cartesiano, o triângulo cujos vértices são os afixos dos números complexosz₁z , z₂ ₂z₁ e z z ._{1 2} Calcule a sua área.

b)A razão de semelhança entre um novo triângulo, semelhante ao triângulo original, e o triângulo original, é igual a 3. Qual é a área desse novo triângulo?

10. (Fgvrj2012) O quadrilátero ABCD é um quadrado e E, F, G e H são os pontos médios dos seus lados. Qual superfície tem maior área: a branca ou a hachurada?

(3)

11. (Ibmecrj2010) Num certo país, o imposto de renda é cobrado da seguinte forma: os que têm rendimento até 1 500 u.m (unidades monetárias) são isentos: aos que possuem renda entre 1 500 u.m e 6 000 u.m, cobra-se um imposto de 10%; acima de 6 000 u.m, o imposto é de 20%. Qual dos gráficos melhor representa a situação acima descrita?

a)

b)

c)

d)

12. (Ibmecrj2010) Um vagão de metrô tem 10 bancos individuais, sendo 5 de frente e 5 de costas. De 10 passageiros, 4 preferem sentar de frente, 3 preferem sentar de costas e os demais não têm preferência. De quantos modos eles podem sentar, respeitadas as preferências?

a) Um número inteiro maior que 40000.

b) Um número inteiro entre 167 e 40000.

c) Exatamente 166.

d) Um número inteiro menor que 100.

e) Exatamente 40000.

13. (Ibmecrj2009) O número de anagramas que podem ser formados com as letras de PAPAGAIO, começando por consoante e terminando por O, é igual a:

a) 120.

b) 180.

c) 240.

d) 300.

e) 320.

(4)

Gabarito:

Resposta da questão 1:

[E]

Os zeros da função f sãox₁ 1 e ₂ 1

x .

 4

O vértice do gráfico de _f é o ponto V ⁵, ⁹ . 8 16

  

 

 

Portanto, a área do triângulo _AVB é dada por

1 1 9 27

1 .

2 4 16 128

 

     

[D]

A probabilidade de errar todas as questões difíceis é dada por

3 4 81 0,31.

4 256

   

  

[A]

O volume da caixa é dado por

2

2 3

x (8 2x) (10 2x) x (80 16x 20x 4x ) 80x 36x 4x .

        

  

[A]

xé a medida dos lados congruentes

né a medida da projeção ortogonal do lado AC sobre BC hé a medida da altura relativa ao lado BC

 

2x 2m 32 x m 16 ( 1 ) m,h,x é uma P.A. m x 2h ( 2 )

    

   Substituindo ( 2 ) em (1) temos:

2h 16  h 8

(5)

No triângulo retângulo da figura, temos:

   

2 2 2 2 2

x 8 m x m 64 x m  x m 64 ( 3 ) Substituindo ( 1 ) em ( 3 ), temos:



^{x m 16 64}^



^ ^ ^{ }^{x m 4}^ ^{( 4 )}

Resolvendo o sistema com ( 1 ) e ( 4 ), temos:

x m 16 x m 4 x 10 e m 6

 



 



 

Portanto, AC = 10.

[D]

Escolhendo dois estudantes para o primeiro quarto sobram sempre três estudantes para o segundo quarto.

5,2 5,3 5!

C C 10

2!.3!

  

a) Sejam h e^r, respectivamente, a altura e o raio do cilindro.

Como o raio de cada bola é igual ao raio do cilindro e h 6r, temos

2 3 1725

r 6r 5175 r .

π 2

    π

Daí, segue que o volume de cada bola é igual a

3

4 4 1725

3 r 3 2

1150cm .

π π

   π



Portanto, o resultado é 5175 3 1150 1725cm .   ³

b) A razão entre o volume das três bolas e o volume da lata é 3450 2 51753.

[E]

N(10) = 20.000(1 + K)¹⁰ = 24 000^(1 + K)¹⁰ = 1,2

N(20) = 20000.(1+K)²⁰ = 20 000^^{1 k}^ ¹⁰^²=20 000.1,2² = 28 800 Resposta da questão 8:

[B]

Seja n o prazo necessário, em anos, para que um capital C triplique, quando aplicado à taxa de juro de 20% ao ano.

Logo,

(6)

n n 2 n

3C C (1 0,2) 3 (1,2) log3 log 2 3

10

log3 n (2 log2 log3 log10) n 0,48

0,08 n 6.

    

  

 

   

     

 

  Resposta da questão 9:

a) Temosz₁z₂ (3, 3), z₂z₁(1, 1) e z z₁ ₂ (0, 4).

A área do triângulo cujos vértices são os afixos dos números complexosz1z , z2 2z1 ez z ,1 2

é dada por

0 1 3 0

1 1 | 3 12 4 3 |

2 4 1 3 4 2 4 u.a.

     



b) Seja _A área que queremos calcular. Logo, A 32 A 36 u.a.

4   

A área da superfície branca é dada por AH AE 2

4 2 AH .

2

   

Como EFGH é um quadrado de lado 2 AH, segue que a área da superfície hachurada é igual a ( 2 AH) ² 2 AH .²

Portanto, as áreas são iguais.

[A]

O gráfico A representa melhor a situação, possui o primeiro intervalo nulo, o segundo uma reta crescente (y = 0,1x) e o terceiro uma reta crescente (y = 0,2x) com inclinação maior que a anterior (porcentagem maior).

[A]

(7)

= 43200

[B]

Há dois casos possíveis:

i) Anagramas que iniciam pela letra P e terminam por O:

! 120 3

! P₆⁽³⁾  6 

ii) Anagramas que iniciam pela letra G e terminam por O:

! 60 2

! 3

! P₆⁽³^,²⁾ 6 

 

Portanto, de (i) e (ii), temos 12060  180 anagramas.