14. CONCLUSÃO

14. CONCLUSÃO

Foram resolvidos 215.740 pilares em balanço e 67.443 pilares biapoiados, sempre com seção retangular. Cada pilar foi resolvido por dois processos:

a) Processo com desacoplamento (índice d)

O primeiro processo considera a integração numérica como meio de se obter os efeitos de 2ª ordem (deslocamentos e momentos fletores). As curvaturas em cada seção são obtidas com a consideração da rigidez secante, constante para todas as seções e todas as iterações. A rigidez secante é determinada para a flexão normal composta em cada direção independentemente. Essa consideração das rigidezes secantes determinadas independentemente para cada direção principal de inércia foi chamada de “desacoplamento das flexões”. As curvaturas então, são obtidas dividindo-se o momento fletor solicitante minorados pelo fator γ

= 1,1, em cada seção, pela rigidez secante. Ou seja:

xx f Sxd

x

EI

M r

3

) (

1 γ

 =



 



 (14.1)

yy f Syd

y

EI

M r

3

) (

1 γ

 =



 



 (14.2)

A rotação em cada seção é obtida integrando-se as curvaturas desde a seção da base do pilar até a seção em consideração.

O deslocamento em cada seção é obtido integrando-se as rotações desde a seção da base do pilar até a seção em consideração.

Para os pilares biapoiados, depois de realizadas as duas integrações, são feitas correções nas rotações e deslocamentos para restabelecer as condições de contorno originais. Ou seja, foi dada uma rotação na linha elástica do pilar de modo a anular o deslocamento da seção do topo. Essa correção está mostrada nas figuras 13.5 e 13.7.

As integrações das curvaturas e das rotações são feitas independentemente em

cada direção principal de inércia (“x” e “y”) como se se tratasse de duas flexões

normais compostas. Ao final, se analisa a condição de segurança no estado limite último do pilar para a flexão oblíqua composta considerando atuando simultaneamente as solicitações N

, M

e M

.

Os efeitos de segunda ordem são calculados considerando os valores das solicitações divididos por γ

= 1,1 e a tensão máxima no concreto igual a σ

= 1,1.f

em lugar do tradicional σ

= 0,85.f

. Isto é, os deslocamentos e momentos de 2ª ordem são calculados para as solicitações de primeira ordem:

3

* f Sd d

N N

= γ (14.3)

e

3

* 1

f Sxd xd

M M

= γ (14.4)

para a flexão normal composta na direção x e

3

* f Sd d

N N

= γ (14.5)

e

3

* 1

f Syd yd

M M

= γ (14.6)

para a flexão normal composta na direção y.

Ao final cada seção tem sua segurança analisada no estado limite último para a solicitação de flexão oblíqua composta dada por:

3

* f Sd d

N N

= γ (14.7)

* 3 ,_{final f}

.

xd

M

M = γ (14.8)

e M

= γ

. M

(14.9)

A segurança do pilar é analisada pela relação entre o momento total solicitante em determinada seção e o momento resistente do estado limite último

( ) (

)

2 ,

,final xd final yd final

Sd

M M

M = + (14.10)

(

)

(

)

Rd

M M

M = + (14.11)

este último também determinado para a força normal N

=N

. A condição de segurança do pilar é:

0 ,

,

≤ 1

 

 

Rd d final Sd

M

M (14.12)

O índice “d” foi colocado na expressão (14.12) para fazer referência ao desacoplamento das flexões

b) Processo com acoplamento das flexões (índice a)

O segundo processo considera também a integração numérica como meio de se obter os efeitos de 2ª ordem (deslocamentos e momentos fletores). As curvaturas em cada seção são obtidas com a consideração simultânea das duas flexões (direções x e y) e portanto, considerando sempre a solicitação de flexão oblíqua composta sem o desacoplamento feito no primeiro processo. Neste caso as curvaturas na direção x são influenciadas pela solicitação de flexão atuante na direção y e vice-versa. Ou seja:

) , , 1 (

3 3

3 f

yd f

xd f

d x x

M M f N

r  = γ γ γ



 



 (14.13)

) , , 1 (

3 3

3 f

yd f

xd f

d y y

M M f N

r  = γ γ γ



 



 (14.14)

A diferença entre os dois processos está justamente na determinação dessas curvaturas em cada seção.

A rotação em cada seção é obtida integrando-se as curvaturas desde a seção da base do pilar até a seção em consideração, como no processo com desacoplamento.

O deslocamento em cada seção é obtido integrando-se as rotações desde a seção da base do pilar até a seção em consideração, como no processo com desacoplamento.

Para os pilares biapoiados são feitas as mesmas correções citadas no processo com

desacoplamento.

As integrações das curvaturas e das rotações são feitas independentemente em cada direção principal de inércia (“x” e “y”) como se se tratasse de duas flexões normais compostas.

Ao final cada seção tem sua segurança analisada no estado limite último para a solicitação de flexão oblíqua composta dada por:

Sd d f

d

N N

N = γ

.

= (14.15)

* 3 ,_{final f}

.

xd

M

M = γ (14.16)

e M

= γ

. M

(14.17)

A segurança do pilar é analisada pela relação entre o momento total solicitante em determinada seção e o momento resistente do estado limite último

( ) (

)

2 ,

,final xd final yd final

Sd

M M

M = + (14.18)

(

)

(

)

Rd

M M

M = + (14.19)

este último também determinado para a força normal N

=N

e mesma inclinação θ do eixo de solicitação. Essa inclinação θ define a proporção entre as flexões nas direções x e y e é dado por

 





 



= 

final yd

final xd

M tg M arc

,

.

θ (14.20)

A condição de segurança do pilar é:

0 ,

,

≤ 1

 

 

Rd a final Sd

M

M (14.21)

O índice “a” foi colocado na expressão (14.21) para fazer referência ao processo com acoplamento das flexões.

c) Comparação entre os processos com e sem desacoplamento

Os resultados, obtidos para todos os pilares-exemplo através de cada processo, foram analisados por meio de gráficos relacionando as relações _



 





Rd final Sd

M M

do

processo com desacoplamento e do processo com acoplamento , conforme a figura

12.2 reproduzida na figura 14.1. São determinadas as coordenadas dos pontos “P”

para cada pilar. Com essas coordenadas identificou-se em que região do gráfico da figura 14.1 o ponto P se localiza.

As regiões A1, A2, B, C e D do diagrama da figura 14.1 foram descritas no capítulo 12.

Figura 14.1 – Diagrama (M

/M

)

-(M

/M

)

Da análise dos resultados do processamento de milhares de pilares se obteve os números das tabelas 12.1 e 13.1, reproduzidas nas tabelas 14.1 e 14.2

Tabela 14.1 – Pilares em balanço. Quantidades de resultados encontrados em cada região do gráfico

da figura 14. 1.

λ = 65 λ = 75 λ = 90 λ = 115 λ = 115b Totais

Região A1 --- --- --- --- ---

Região A2 66.322 25.232 13.057 11.902 6.112 122.625 (56,84%)

Região B --- --- --- --- --- ---

Região C 1.740 775 22.044 2.733 1.754 29.046 (13,46%)

Região D 3.218 18.948 25.511 15.378 1.014 64.069 (29,70%)

Totais 71.280 44.955 60.612 30.013 8.880 215.740

Tabela 14.2 – Pilares biapoiados. Quantidades de resultados encontrados em cada região do gráfico

da figura 14. 1.

λ = 50 λ = 90 λ = 115 Totais

Região A1 --- --- --- ---

Região A2 23.130 17.672 19.656 60.458 (89,64%)

Região B --- --- --- ---

Região C --- 300 2.006 2.306 (3,42%)

Região D --- 3.121 1.558 4.679 (6,94%)

Totais 23.130 21.093 23.220 67.443

P

(MSd/MRd)a

1,0 1,0

B A1

A2 C

D

O

Reta s (MSd/MRd)d

Nos capítulos 12 e 13 foram analisados também os diagramas momento-curvatura para a direção y, de maior esbeltez, para diversos valores de M

. No capítulo 12 isso é feito por exemplo na figura 12.14 e tabela 12.4. Da análise feita concluiu-se que a parte útil da curva é o trecho que está acima da reta que define a rigidez secante. Na figura 14.2 o trecho útil da curva OAB é o trecho OA. Estando a curva momento-curvatura acima da reta da rigidez secante as curvaturas determinadas pela curva são menores que as obtidas da reta da rigidez secante.

Figura 14.2 – Diagrama momento-curvatura esquemático, mostrando a relação entre uma curva construída pa M

> 0 e a reta da rigidez secante.

O ponto A do diagrama da figura 14.2 corresponde ao momento solicitante total

(

)

(

)

Sd

M M

M = + que assume valores superiores ao momento resistente do estado limite último

M

≥ M

.

A prova disso está no fato de não se obter nenhum resultado nas regiões A1 e B do gráfico da figura 14.1 para os milhares de pilares que foram resolvidos. Para esses pilares se obteve sempre maior rigidez na solução através das curvas momento- curvatura do que na solução através da rigidez secante. Isso foi mostrado pelos resultados obtidos do processamento de milhares de pilares exemplo dos quais só se obteve pontos P nas regiões A2, C e D. Somente na região D se obtém pontos P abaixo da “reta s” do diagrama da figura 14.1.

A B

Mxd > 0 Mxd = 0

1/ry

My

Mu yd/γ^f3 Muyd,A

(1/ry)A

O

Reta da rigidez secante

(1/ry) da rigidez secante (1/ry) da curva

momento-curvatura

Conclusão:

A favor da segurança, para pilares de seção retangular solicitados a flexão oblíqua composta, se pode sempre encontrar os efeitos de segunda ordem utilizando o desacoplamento das flexões nas direções dos eixos centrais principais de inércia empregando a rigidez secante para cada direção independentemente.

Pilar de seção retangular solicitado à flexão oblíqua composta:

a) Pré-dimensionamento da armadura (φ, n

e n

);

b) Cálculo da rigidez secante para cada direção principal de inércia (EI)

e (EI)

;

c) Diagrama de momentos fletores de 1ª ordem para cada direção principal de inércia;

d) Cálculo das curvaturas

( )

i

x

EI

M r

3 ,

1 γ

 =



 





( )

i

y

EI

M r

3 ,

1 γ

 =



 





e) Obtenção das rotações ϕ

e ϕ

através da integração das curvaturas;

f) Obtenção dos deslocamentos a

e a

através da integração das rotações

g) Corrigir os momentos solicitantes com os efeitos de segunda ordem M

= M

+ M

h) Cálculo das novas curvaturas

( )

i

x

EI

M r

3 ,

1 γ

 =



 





( )

i

y

EI

M r

3 ,

1 γ

 =



 





i) Obtenção das rotações ϕ

e ϕ

através da integração das curvaturas;

j) Obtenção dos deslocamentos a

e a

através da integração das rotações;

k) Voltar ao item (g) até que em duas iterações sucessivas não se tenha alteração nos resultados, dentro de uma margem de tolerância previamente estabelecida;

l) Verificar as condições de segurança das seções no Estado Limite

Último.