i
AVALIAÇÃO DE METODOLOGIAS DE
DIMENSIONAMENTO DE SISTEMAS COM LAJES
FUNGIFORMES SUJEITOS À ACÇÃO SÍSMICA
João Manuel Borges Alves
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Civil
Orientador:
Professor Doutor António José da Silva Costa
Júri
Presidente: Professor Doutor Fernando Manuel Fernandes Simões
Orientador: Professor Doutor António José da Silva Costa
Vogal: Professor Doutor José Manuel Matos Noronha da Câmara
iii
Agradecimentos
Esta dissertação, embora seja fruto de um trabalho pessoal desenvolvido durante mais um ano, beneficiou do apoio de algumas pessoas sem as quais teria sido impossível atingir os objetivos estabelecidos. Por esta razão lhes expresso os meus profundos agradecimentos.
Ao Professor António Costa, orientador científico desta dissertação, agradeço o incentivo, a exigência e o apoio que sempre demonstrou, bem como a simpatia e a disponibilidade para o esclarecimento de dúvidas.
Aos meus amigos e colegas de curso, em especial à Teresa Hazel, ao Pedro Jorge, ao Nuno Brandão, ao Rodrigo Borges, à Mariana Gonçalves, ao João Cardoso, ao João Serra, ao João Rocha, ao João Santana e ao Tomás Peixoto, que me acompanharam na conclusão desta etapa, agradeço a amizade e o incentivo que sempre demonstraram, não só nesta fase mas ao longo de todo o meu percurso académico.
Ao Pedro Silvério, Jorge Gomes, Hugo Neves, Paulo Quartilho, Miguel Gomes, Pedro Mouta e agradeço a companhia e a amizade que tão importantes foram ao longo dos anos.
Ao meu irmão e aos meus pais agradeço a amizade e o apoio incondicional que sempre demonstraram, mesmo nas alturas mais difíceis.
Aos Professores José Câmara, João Almeida e José Oliveira Pedro por terem contribuído para a motivação que possuo no estudo de estruturas em betão armado.
À Cristina Ventura pela constante simpatia e disponibilidade demonstrada ao longo do meu percurso académico.
v
Resumo
A utilização de sistemas estruturais com laje fungiforme em edifícios é relativamente frequente em Portugal por se tratar de um sistema económico e atrativo em termos de arquitetura. Contudo, o comportamento de sistemas estruturais deste tipo relativamente à ação sísmica ainda não está suficientemente estudado. Os presentes códigos não contemplam este sistema estrutural como sistema primário na resistência a esta ação em zonas com moderada e elevada sismicidade, pelo que deve ser dimensionado como sistema estrutural secundário. Todavia, é necessário que este sistema mantenha a sua capacidade resistente para as ações gravíticas quando sujeito aos deslocamentos impostos pelos sismos.
Trata-se de um dimensionamento que levanta algumas dificuldades pois, em geral, é necessário assumir um comportamento elástico para este tipo de estrutura ao qual poderá está associado o desenvolvimento de esforços muito significativos na ligação laje-pilar. Um aspeto que tem uma importância relevante na quantificação destes esforços é a rigidez da laje a considerar na análise estrutural, assunto que se reveste de alguma complexidade.
A presente dissertação tem por objetivo principal a avaliação das metodologias de dimensionamento da ligação laje-pilar sujeita à ação sísmica. Analisou-se um edifício tipo com laje fungiforme localizado numa zona com moderada sismicidade, de modo a permitir a avaliação deste problema.
Para simular o comportamento do sistema fungiforme adotou-se um modelo de viga com largura efetiva para a avaliação do esforço de corte e a capacidade de transferência de momentos das ligações laje-pilar sujeitas a cargas laterais.
Discutem-se e apresentam-se 3 metodologias de análise do edifício em estudo. Em cada análise o tipo de modelação e os valores de rigidez efetiva atribuídos a cada elemento estrutural variam. Caso a segurança ao punçoamento não se verifique, procura-se discutir e equacionar uma solução a nível global e a nível local que evite a rotura por punçoamento desta ligação.
Verificou-se que os esforços obtidos na ligação laje-pilar são significativamente influenciados pela rigidez de flexão considerada para a laje e para a estrutura sísmica primária. A consideração de uma rigidez efetiva devidamente aferida para simular o comportamento estrutural sob a ação dos sismos é essencial para um dimensionamento adequado da laje ao punçoamento.
Palavras-chave
:
vii
Abstract
Flat-slab buildings are very popular in Portugal due to the economy of the structural system and the architectural versatility. Though the behavior of this systems under seismic action is not well known. The present codes do not contemplate this system as a primary lateral resisting system in moderate and high seismic regions. However it is necessary that this system maintain his capacity for gravity loads while lateral displacements are induced during an earthquake.
In the design of this systems, normally it is necessary the assumption of an elastic behavior, which increase the stresses in the slab-column connection. Also, a relevant aspect in the quantification of the stresses in the slab, is the stiffness considered in the analysis being done.
The main objective of this study is to evaluate the design methodologies of the slab-column connection for lateral loading. To evaluate this problem a flat-slab building under high seismic loading was analyzed.
To simulate the behavior of the flat-slab system an effective slab width method was chosen to predict the shear and unbalanced moment-transfer capacities of the slab-column connections under lateral loading.
It is discussed and presented three approaches for analyzing the building. Each analysis differ on the way of modeling and the values of the effective stiffness given for each structural member of the building. In case of punching failure, a global and local solution is developed.
It is noted that the stresses in the slab-column connection are extremely influenced by the flexure stiffness adopted for the slab and the primary seismic structure. An accurate effective stiffness estimative to simulate the behavior of the structure under seismic loading is essential for a good slab design against punching failure.
Keywords:
ix
Índice geral
Agradecimentos ... i Resumo ... v Palavras-chave: ... v Abstract ... vii Keywords: ... vii Índice geral ... ixÍndice de figuras ... xiii
Índice de tabelas ... xvii
Simbologia ... xix 1 INTRODUÇÃO ... 1 1.1 Enquadramento Geral ... 1 1.2 Objetivo da dissertação ... 2 1.3 Organização do documento ... 2 2 Revisão da literatura ... 5 2.1 Introdução ... 5 2.2 Resistência ao Punçoamento ... 5
2.2.1 Resistência ao Punçoamento de Lajes Fungiformes sob Carregamento Cíclico . 9 2.3 Modelos de Análise de Lajes Fungiforme ... 12
2.3.1 Modelo dos Pórticos Equivalentes (ACI 318) ... 14
2.3.2 Modelo Analítico de Viga com Largura Efetiva ... 16
2.3.2.1 Fator de largura efetiva ... 16
2.3.3 Análise por Pórticos Equivalentes (EC2) ... 20
2.3.4 Rigidez ... 21
2.3.4.1 Modelo dos Pórticos Equivalentes (ACI 318) ... 21
2.3.4.2 Modelo Analítico de Viga com Largura Efetiva ... 22
2.3.5 Modelo utilizado ... 29
2.4 Ligações Laje-Parede ... 31
3 Descrição do Caso de Estudo ... 33
x
3.2 Caracterização da Estrutura ... 33
3.2.1 Definição das ações ... 35
3.2.1.1 Ações permanentes ... 35
3.2.1.2 Ações variáveis ... 35
3.2.1.3 Ação sísmica ... 35
3.2.2 Combinação de ações ... 36
4 Modelação e Análise do Edifício ... 39
4.1 Introdução ... 39
4.2 Metodologia 1 ... 40
4.3 Metodologia 2 ... 44
4.3.1 Fator de Largura Efetiva de Laje ... 44
4.3.2 Fator de Redução de Rigidez ... 47
4.4 Metodologia 3 ... 54
4.4.1 Pilares ... 55
4.4.2 Paredes ... 59
4.4.2.1 Paredes da zona de escadas. ... 59
4.4.2.2 Núcleo de Elevadores ... 61 4.4.3 Viga de bordo ... 66 4.4.4 Síntese ... 67 5 Resultados ... 69 5.1 Introdução ... 69 5.2 Resistência ... 69 5.3 Resultados ... 71
6 Solução Geral e Dimensionamento Local ... 77
6.1 Introdução ... 77 6.2 Reforço ... 77 6.3 Resultados ... 79 7 Conclusões ... 85 8 Referências bibliográficas ... 87 ANEXOS ... 89 ANEXO A ... 90
xi
ANEXO B ... 94 ANEXO C ... 95
xiii
Índice de figuras
Figura 2.1 – Laje sujeita ao fenómeno do punçoamento (Marchão e Appleton [10]). ... 6
Figura 2.2 – Perímetros de controlo de lajes fungiformes para alguns pilares (Marchão e Appleton [10]). ... 6
Figura 2.3 – Distribuição de tensões tangenciais devido a um momento não equilibrado na ligação laje-pilar interior (EC2-1-6.4.3). ... 7
Figura 2.4 – Esquema da distribuição da armadura de punçoamento (Marchão e Appleton) ... 8
Figura 2.5 – Comportamento pós-punçoamento da ligação laje-pilar (Pan e Moehle 1992). ... 9
Figura 2.6 – Modelo de degradação da resistência ao corte proposto por Kang e Wallace (2006) em ligações laje-pilar interiores sem reforço com armadura de punçoamento. ... 11
Figura 2.7 – Efeito do carregamento gravítico no nível de deslocamentos entre pisos (Pan e Moehle 1992)... 12
Figura 2.8 – Evolução da capacidade de deformação de 4 ligações laje-pilar com o aumento do carregamento (Pan e Moehle 1992). ... 13
Figura 2.9 – Largura do pórtico equivalente de acordo com o ACI 318. ... 15
Figura 2.10 – Exemplo de um membro torsional de acordo com o ACI 318. ... 15
Figura 2.11 – Aplicação do fator de largura efetiva da laje. ... 16
Figura 2.12 – Modelo de viga com largura efetiva (Luo e Durrani 1993). ... 17
Figura 2.13 – Sumário do fator de largura efetiva da laje para cargas laterais por Vanderbilt e Corley, 1983. ... 17
Figura 2.14 – Secção efectiva da viga de bordo de acordo com ACI 318 (2005) [4]. ... 19
Figura 2.15 – Análise por pórticos equivalentes (EC2). ... 20
Figura 2.16 – Comparação entre o modelo dos pórticos equivalentes e os resultados experimentais (Pan e Moehle 1992). ... 21
Figura 2.17 – Comparação entre o modelo de viga com largura efetiva e os resultados experimentais (Pan e Moehle 1992). ... 23
Figura 2.18 – Secção crítica de esforço transverso para um pilar (ACI 318). ... 24
Figura 2.19 – Esquema do modelo de viga com largura efetiva proposto por Luo e Durrani (1995) ... 25
Figura 2.20 – Fatores de redução de rigidez da laje (β) para ligações interiores obtidos pelos resultados de testes analisados e pelas fórmulas (Han e Park 2009) ... 27
Figura 2.21 – Fatores de redução de rigidez da laje (β) para ligações exteriores obtidos pelos resultados de testes analisados e pelas fórmulas (Han e Park 2009) ... 27
Figura 2.22 – Esquema do modelo de viga com largura efetiva de Han e Park ... 28
Figura 2.23 – Curvas envolventes e curvas obtidas com as equações para o fator de redução de rigidez de duas ligações laje-pilar testadas (espécime RI – 50 interior e espécime RE – 50 exterior) sujeitas a cargas laterais (Han e Park 2009). ... 28
Figura 2.24 – Curvas envolventes e curvas obtidas com as equações para o fator de redução de rigidez de duas lajes fungiformes com dois vãos sujeitas a cargas laterais sujeitas a cargas laterais (Han e Park 2009). ... 29
xiv
Figura 2.25 – Cálculo de viga com largura efetiva para pórticos de laje com vão perpendicular ao
comprimento da parede. ... 31
Figura 2.26 – Cálculo de viga com largura efetiva para pórticos de laje com vão paralelo ao comprimento da parede. ... 32
Figura 3.1 – Planta geral do edifício usado caso de estudo. ... 34
Figura 3.2 – Espectros de resposta do sismo tipo 1 com coeficientes de comportamento 2,0 e 1,5. ... 36
Figura 4.1 – Visão 3D dos elementos verticais e viga de bordo do edifício. ... 40
Figura 4.2 – Largura efetiva do banzo da viga de bordo segundo as considerações do Eurocódigo 8. ... 41
Figura 4.3 – Planta do edifício com as recomendações da análise por pórticos equivalentes presente no Eurocódigo 2. ... 42
Figura 4.4 – Largura elástica dos pórticos laje segundo a direção x recorrendo às recomendações do Eurocódigo 2. ... 42
Figura 4.5 – Largura elástica dos pórticos laje segundo a direção y recorrendo às recomendações do Eurocódigo 2. ... 43
Figura 4.6 – Esquema de divisão dos elementos retangulares no membro torsional para o cálculo da constante C. ... 46
Figura 4.7 – Planta do edifício em estudo com as vigas de largura efetiva (β*α*l2) calculadas segundo a metodologia proposta por Han e Park (2009). ... 49
Figura 4.8 – Valores da largura efetiva (β*α*l2) para os pórticos de laje na direção X. ... 51
Figura 4.9 – Valores da largura efetiva (β*α*l2) para os pórticos de laje na direção Y. ... 52
Figura 4.10 – Metodologia de cálculo da rigidez efetiva para vigas. ... 54
Figura 4.11 – Metodologia de cálculo da rigidez efetiva para pilares e paredes. ... 55
Figura 4.12 – Cálculo da rigidez efetiva dos pilares centrais (piso 0). ... 55
Figura 4.13 – Cálculo da rigidez efetiva dos pilares centrais (piso 3). ... 56
Figura 4.14 – Cálculo da rigidez efetiva dos pilares centrais (piso 5). ... 56
Figura 4.15 – Cálculo da rigidez efetiva dos pilares de bordo (piso 0). ... 57
Figura 4.16 – Cálculo da rigidez efetiva dos pilares de bordo (piso 4). ... 57
Figura 4.17 – Cálculo da rigidez efetiva dos pilares de canto (piso 0). ... 58
Figura 4.18 – Cálculo da rigidez efetiva dos pilares de canto (piso 4). ... 58
Figura 4.19 – Parede da zona de escadas. ... 59
Figura 4.20 – Cálculo da rigidez efetiva da parede da zona de escadas. ... 60
Figura 4.21 – Direções principais de momentos no núcleo. ... 61
Figura 4.22 – Parede de maior inércia na direção de momentos M33. ... 61
Figura 4.23 - Paredes de maior inércia na direção de momentos M22. ... 62
Figura 4.24 – Secção equivalente do núcleo de elevadores para a direção de momentos M33. ... 63
Figura 4.25 – Secção equivalente do núcleo de elevadores para a direção de momentos M22. ... 64
xv
Figura 4.26 - Curva momento-curvatura para os momentos M33 do núcleo. ... 64
Figura 4.27 - Curva momento-curvatura para os momentos negativos M22 do núcleo. ... 65
Figura 4.28 - Curva momento-curvatura para os momentos positivos M22 do núcleo. ... 65
Figura 4.29 – Secção equivalente da viga de bordo. ... 66
Figura 4.30 – Cálculo da rigidez efetiva da viga de bordo (momentos negativos). ... 66
Figura 4.31 – Cálculo da rigidez efetiva da viga de bordo (momentos positivos). ... 67
Figura 5.1 – Deslocamentos máximos no topo de um pórtico obtidos sem a participação dos elementos secundários (δ1) e na estrutura global (δ2). ... 70
Figura 5.2 – Tensão de punçoamento atuante nas ligações laje-pilar do edifício para Metodologia 1 (direção X). ... 72
Figura 5.3 – Tensão de punçoamento atuante nas ligações laje-pilar do edifício para a Metodologia 2 (a preto) e para a Metodologia 3 (a azul) (direção X). ... 73
Figura 5.4 – Tensão de punçoamento atuante nas ligações laje-pilar do edifício para Metodologia 1 (direção Y). ... 74
Figura 5.5 – Tensão de punçoamento atuante nas ligações laje-pilar do edifício para a Metodologia 2 (a preto) e para a Metodologia 3 (a azul) (direção Y). ... 75
Figura 6.1 –Planta do edifício com paredes de reforço (solução de reforço geral). ... 77
Figura 6.2 – Tensão de punçoamento atuante nas ligações laje-pilar do edifício para Metodologia 1 (direção X). ... 80
Figura 6.3 – Tensão de punçoamento atuante nas ligações laje-pilar do edifício para a Metodologia 2 (a preto) e para a Metodologia 3 (a azul) (direção X). ... 81
Figura 6.4 – Tensão de punçoamento atuante nas ligações laje-pilar do edifício para Metodologia 1 (direção Y). ... 82
Figura 6.5 – Tensão de punçoamento atuante nas ligações laje-pilar do edifício para a Metodologia 2 (a preto) e para a Metodologia 3 (a azul) (direção Y). ... 83
xvii
Índice de tabelas
Tabela 3.1 - Dimensões dos pilares e vigas de bordo. ... 34
Tabela 3.2 – Materiais considerados no caso de estudo. ... 34
Tabela 3.3 – Valores do carregamento gravítico do edifício. ... 37
Tabela 4.1 - Fatores de rigidez de laje para ligações interiores do caso de estudo calculadas com as fórmulas de Banchick e Luo e Durrani. ... 45
Tabela 4.2 - Fatores de largura efetiva de laje (α), fatores de redução de rigidez (β) e larguras efetivas das vigas (β*α*l2) para as ligações interiores e exteriores segundo a direção de análise X. ... 49
Tabela 4.3 - Fatores de largura efetiva de laje (α), fatores de redução de rigidez (β) e larguras efetivas das vigas (β*α*l2) para as ligações interiores e exteriores segundo a direção de análise Y. ... 50
Tabela 4.4 - Relação EIeff/EI dos pilares centrais, de bordo e de canto da estrutura. ... 58
Tabela 4.5 - Dimensões da parede. ... 59
Tabela 4.6 - Condições para o comprimento do pilar fictício. ... 60
Tabela 4.7 - Relação EIeff/EI da parede da zona de escadas da estrutura. ... 60
Tabela 4.8 - Dimensões da parede de maior dimensão do núcleo. ... 61
Tabela 4.9 - Condições para o comprimento do pilar fictício. ... 62
Tabela 4.10 - Dimensões da parede de maior dimensão do núcleo. ... 62
Tabela 4.11 - Condições para o comprimento do pilar fictício. ... 63
Tabela 4.12 - Relação EIeff/EI do núcleo de elevadores da estrutura. ... 65
Tabela 4.13 - Relação EIeff/EI do núcleo de elevadores da estrutura. ... 67
Tabela 4.14 - Relação EIeff/EI dos elementos da estrutura primária do edifício. ... 67
Tabela 5.1 – Valores para o perímetro de controlo u1 e altura útil d da laje. ... 69
Tabela 5.2 - Deslocamentos máximos no topo do edifício obtidos sem a participação dos elementos secundários (δ1) e na estrutura global (δ2) para as diferentes metodologias. ... 71
Tabela 5.3 - Tensão de punçoamento resistente e atuante para as diferentes Metodologias (direção X). ... 72
Tabela 5.4 - Tensão de punçoamento resistente e atuante para as diferentes Metodologias (direção Y). ... 74
Tabela 6.1 - Deslocamentos máximos no topo do edifício obtidos sem a participação dos elementos secundários (δ1) e na estrutura global (δ2) para as diferentes metodologias. ... 79
Tabela 6.2 - Tensão de punçoamento resistente e atuante e área total de armadura de punçoamento para as diferentes Metodologias (direção X). ... 80
Tabela 6.3 - Tensão de punçoamento resistente e atuante e área total de armadura de punçoamento para as diferentes Metodologias (direção Y). ... 82
xix
Simbologia
1
c
Dimensão do pilar na direção do carregamento.2
c
Dimensão do pilar na direção perpendicular ao carregamento.1
l
Dimensão do vão da laje na direção do carregamento.2
l
Dimensão do vão da laje na direção perpendicular ao carregamento.sd
v
Tensão atuante de punçoamento (MPa).max ,
Rd
v
Tensão limite máxima de punçoamento.d
Altura útil da laje.c Rd
C
, Parâmetro do cálculo da resistência ao punçoamento com valorrecomendado
C
Rd,c
0
,
18
/
c ,
c
1
,
5
(EC2).k
Parâmetro do cálculo da resistência ao punçoamentok
1
200
/
d
.ck
f
Tensão característica do betão à compressão (em MPa).i
u
Perímetro de controlo considerado para a laje.sd
V
Esforço de corte atuante na ligação laje-pilar.z
b
,b
y Dimensões do perímetro de controlo considerado em cada direção.y
e
,e
z Excentricidades em cada direção, dadas pela relação entre
M /
sdV
sd.sd
M
Variação de momentos desequilibrados na ligação laje-pilar.g
V
Nível de esforço de corte na ligação (simbologia ACI 318 (2005)).o
V
Resistência ao corte por punçoamento (ACI 318 (2005)).'
c
f
Tensão característica de resistência do betão á compressão (simbologiaACI 318).
0
b
Perímetro de controlo (ACI 318 (2005)).s
K
Rigidez de flexão da laje.t
K
Rigidez de torsão dada pelo ACI 318 (2005).d
K
Fator que estima a degradação da viga com largura efetiva de acordo com o nível de deslocamento entre pisos.h
Altura da laje.FP
K
Fator que tem em conta o tipo de ligação em causa (1,0 para ligações interiores, 0,8 para ligações exteriores e 0,6 para ligações de canto)c
A
Área da secção crítica da laje dada pelo produto do perímetro de controlo pela altura útil da laje
b
0d
(ACI 318).xx
e
I
Momento de inercia efetivo de vigas especificado no ACI 318 (2005).a
M
Momento aplicado nas vigas.cr
M
Momento de fendilhação da secção da viga.g
I
Momento de inercia da secção.cr
I
Momento de inercia da secção fendilhada. β Fator de redução da rigidez em lajes fungiformes.
Fator de redução da resistência ao corte do betão fendilhado, podendo ser calculado através da expressão
0
,
6
1
f
ck/
250
.l
Taxa média de armadura na laje.cp
Tensão normal no betão na secção crítica/perímetro de controlo (MPa).
Coeficiente de Poisson.
Fator de redução de rigidez devido à presença de cargas gravíticas.1
Deslocamento máximo no topo do edifício obtidos na estrutura sem a participação dos elementos secundários.2
1
1 INTRODUÇÃO
1.1 Enquadramento Geral
A utilização de sistemas estruturais com laje fungiforme em betão armado em edifícios é relativamente frequente em Portugal. As lajes fungiformes possuem muitas vantagens em termos de flexibilidade arquitetural, uso de espaço, cofragem e tempo de construção, tornando-as muito competitivas relativamente às restantes opções.
Para cargas verticais as lajes fungiformes possuem um funcionamento que está bem estabelecido e documentado. Contudo o seu comportamento relativamente à ação sísmica ainda não é plenamente compreendido existindo algumas incertezas. O Eurocódigo 8 (EC8-1) [8] não contempla este sistema estrutural como sistema primário na resistência à ação sísmica em zonas com moderada e elevada sismicidade, pelo que deve ser dimensionado como sistema estrutural secundário. Todavia, é necessário que este sistema mantenha a sua capacidade resistente para às ações gravíticas quando sujeito aos deslocamentos impostos pelos sismos. A zona de ligação laje-pilar tem assim de possuir suficiente resistência ao corte para conseguir suportar uma grande deformação sem que ocorra rotura por punçoamento. Outras recomendações da atual norma são o uso de elementos resistentes para cargas laterais (paredes resistentes e pórticos), de modo a permitir a limitação dos esforços nestas zonas, e o reforço com armadura longitudinal inferior junto ao pilar, de modo a criar um mecanismo secundário de resistência para que no caso de ocorrer rotura por punçoamento num dos pilares, e assim evitar um colapso progressivo da laje. Grande parte dos edifícios antigos não verifica nenhum destes três aspetos, em especial o último. O desconhecimento do comportamento das lajes fungiformes relativamente a cargas sísmicas pode então levar a graves consequência em termos de segurança, reforçando assim a necessidade de se entender bem a resistência sísmica destes sistemas e adotar técnicas que melhorem a sua análise e desempenho.
Um problema com que os projetistas se deparam é a forma como devem abordar o dimensionamento deste tipo de estrutura sob a ação dos sismos. Trata-se de um dimensionamento que levanta algumas dificuldades pois, em geral, é necessário assumir um comportamento elástico para este tipo de estrutura ao qual poderá está associado o desenvolvimento de esforços muito significativos na ligação laje-pilar. Um aspeto que tem uma importância relevante na quantificação destes esforços é a rigidez da laje a considerar na análise estrutural, assunto que se reveste de alguma complexidade.
2
1.2 Objetivo da dissertação
A presente dissertação tem por objetivo principal analisar os resultados de diferentes metodologias de dimensionamento da ligação laje-pilar sujeita à ação sísmica. Para isso, foi modelado um edifício tipo com laje fungiforme maciça recorrendo a elementos finitos de barra e sujeito a um sismo de elevada intensidade, de modo a permitir uma boa avaliação deste problema.
O estudo efetuado envolve a revisão dos modelos existentes na literatura que permitam a modelação e avaliação correta do esforço de corte e da capacidade de transferência de momentos das ligações laje-pilar sujeitas a cargas laterais. Estes modelos têm por base o trabalho feito até à data por vários investigadores nesta matéria.
Pretende-se apresentar e comparar 3 metodologias de análise do edifício em estudo. Em cada análise o tipo de modelação e os valores de rigidez efetiva atribuídos a cada elemento estrutural variam.
Procura-se discutir o efeito que as abordagens consideradas apresentam na verificação da segurança à rotura por punçoamento da laje. Caso a segurança ao punçoamento não se verifique, discute-se e equaciona-se uma solução a nível global e a nível local que evite a rotura por punçoamento da ligação laje-pilar.
1.3 Organização do documento
A presente dissertação encontra-se dividida em sete capítulos:
No primeiro capítulo é feita uma breve introdução ao tema em estudo nesta dissertação. São referidos os principais objetivos que se pretendem alcançar.
No segundo capítulo efetua-se uma revisão bibliográfica sobre as considerações de resistência das ligações laje-pilar face ao fenómeno do punçoamento. É feita referência também à degradação da resistência ao punçoamento para ações cíclicas. Neste capítulo são ainda enunciados os modelos práticos de análise de ligações laje-pilar em estruturas com lajes fungiformes sob ação sísmica existentes, dando-se especial destaque aos conceitos de viga com largura efetiva e rigidez efetiva. Por último faz-se referência ao tema da ligação laje-parede. No terceiro capítulo é apresentado em pormenor o edifício usado como base para o estudo realizado.
3 No quarto capítulo são apresentadas as metodologias usadas para a avaliação e análise do edifício. Descreve-se detalhadamente as considerações de rigidez para cada elemento estrutural.
No quinto capítulo são apresentados os resultados obtidos para os esforços nas ligações laje-pilar em cada metodologia descrita no capítulo anterior. Efetua-se uma análise comparativa dos resultados das diferentes metodologias.
No sexto capítulo são descritas as soluções a nível global e local que foram adotadas para evitar a rotura por punçoamento das ligações laje-pilar.
5
2 Revisão da literatura
2.1 Introdução
Como ponto de partida para este estudo, as considerações de resistência das ligações laje-pilar face ao fenómeno do punçoamento dos códigos atuais são revistas. São avaliadas as condições de verificação de segurança destas ligações e apresentadas as metodologias de dimensionamento disponíveis para aplicação. É ainda feita referência à degradação da resistência ao punçoamento para ações cíclicas.
De seguida faz-se a contextualização dos modelos atuais e usados na prática para a análise da laje, apresentando os aspetos mais relevantes da pesquisa bibliográfica. Enunciam-se vários estudos de diferentes autores que contribuíram para o desenvolvimento e conhecimento do tema. É dada especial atenção aos conceitos de viga com largura efetiva e rigidez efetiva da laje. Por fim é referido qual o modelo escolhido para modelar a laje e justificado o porquê da sua escolha quando comparado com os restantes modelos. O tema da ligação laje-parede é também abordado.
2.2 Resistência ao Punçoamento
Uma das principais condicionantes no dimensionamento de lajes fungiformes é o estado limite último de punçoamento. Este fenómeno está associado a uma rotura frágil da laje quando esta está sujeita a forças distribuídas em pequenas áreas. No caso de ocorrência de rotura por punçoamento num dos pilares da estrutura, irá haver a transferência do carregamento deste pilar para os pilares vizinhos, podendo dar origem a um colapso progressivo da estrutura. Esta ocorrência põe seriamente em causa a segurança da estrutura, justificando-se a necessidade de uma avaliação correta da resistência e dos esforços atuantes na ligação laje-pilar. A Figura 2.1 ilustra a formação de fendas durante o fenómeno do punçoamento de uma laje fungiforme.
6
Figura 2.1 – Laje sujeita ao fenómeno do punçoamento (Marchão e Appleton [10]).
Segundo o Eurocódigo 2, a resistência ao punçoamento deverá ser verificada no perímetro de contorno do pilar e no perímetro de controlo u1. Por definição, o perímetro de controlo u1
corresponde à linha fechada que envolve a área carregada a uma distância não inferior a 2d e cujo perímetro é mínimo (Marchão e Appleton [10]), em que d corresponde à altura útil da laje. A Figura 2.2 ilustra alguns exemplos de perímetros de controlo para alguns pilares.
Figura 2.2 – Perímetros de controlo de lajes fungiformes para alguns pilares (Marchão e Appleton [10]).
O valor de cálculo da resistência ao punçoamento é dada pela seguinte expressão (2.1) presente no Eurocódigo 2 (EC2-1-6.4.4) [7]: cp ck l c Rd c Rd
C
k
f
k
v
1/3 1
, ,
(
100
)
(2.1)Onde
C
Rd,c
0
,
18
/
c(
c
1
,
5
);k
1
200
/
d
, sendo d a altura útil da laje;f
cké a tensão característica do betão à compressão (em MPa);
l
ly.
lz , sendo
ly e
lz as taxas médias de armadura de flexão em cada direção;
cpé dado pela expressão2
/
)
(
cy czcp
, onde
cy,
cz são as tensões normais no betão na secção crítica nas direções y e z (MPa).7 A tensão de punçoamento atuante no perímetro de controlo é dada pela expressão (2.2) presente no Eurocódigo 2 (EC2-1-6.4.3).
d
u
V
v
i sd sd.
(2.2)Onde
u
i corresponde ao perímetro de controlo considerado,d
representa a altura útil da laje esd
V
é o esforço de corte atuante na ligação. Existem várias expressões para o cálculo do parâmetro
. O valor de
é igual a 1,0 para cargas solicitantes centradas em relação ao pilar. Para pilares retangulares interiores em que a carga é excêntrica em relação aos dois eixos da ligação, a expressão (2.3) é a recomendada pelo Eurocódigo 2 (EC2-1-6.4.3).2 2
8
,
1
1
y z z yb
e
b
e
(2.3)Onde
b
z eb
y representam as dimensões do perímetro de controlo considerado ee
y ee
zcorrespondem às excentricidades dadas por
M /
sdV
sd em cada eixo. A Figura 2.3 ilustra a distribuição de tensões tangenciais devido a um momento não equilibrado na ligação laje-pilar interior (EC2-1-6.4.3).Figura 2.3 – Distribuição de tensões tangenciais devido a um momento não equilibrado na ligação laje-pilar interior (EC2-1-6.4.3).
O ideal no dimensionamento da laje fungiforme é que as dimensões do pilar e a espessura da laje sejam tal, que não seja necessário o uso de armaduras de punçoamento. Em muitos casos, recorre-se ao uso de capitéis caso não seja verificada a segurança ao punçoamento com uma espessura de laje económica. Contudo, é sabido que as ações sísmicas, em sistemas estruturais com lajes fungiformes, aumentam a excentricidade da carga a transmitir ao pilar, agravando as características resistentes por punçoamento (Marchão e Appleton). Nestes casos não existe
8
alternativa senão usar armadura de punçoamento. A área total de armadura transversal de punçoamento é dada pela expressão (2.4) presente no Eurocódigo 2:
d
u
sen
f
v
v
A
ef ywd c Rd cs Rd sp.
)
75
,
0
(
1 , , ,
(2.4)Onde
f
ywd,ef
250
0
,
25
d
(MPa), comd
em mm;
é a inclinação dos estribos. No caso de se adotar armadura de punçoamento, é necessário que a tensão de punçoamento atuante no contorno do pilar não ultrapasse valor máximo estabelecido pela expressão (2.5).cd Rd
sd
v
f
v
,max
0
,
5
.
.
(2.5)Onde é um fator de redução da resistência do betão fendilhado, podendo ser calculado através da expressão
0
,
6
1
f
ck/
250
, ondef
cké a tensão característica do betão à compressão (em MPa). Este limite máximo serve para limitar as compressões no betão no modelo de escoras e tirantes de resistência ao esforço transverso (idêntico ao que se realiza nas vigas com a verificação da tensão máxima de compressão no betão). A Figura 2.4 apresenta um esquema da distribuição da armadura de punçoamento retirado do documento Estruturas de Betão 2 por Marchão e Appleton [10].Figura 2.4 – Esquema da distribuição da armadura de punçoamento (Marchão e Appleton)
Existe ainda uma outra armadura que é de boa prática adotar como mecanismo secundário de resistência ao punçoamento. Pan e Moehle [23] em 1992 apresentaram um estudo no qual 4 ligações laje-pilar foram ensaiadas sob a ação combinada de carregamento gravítico e lateral. O comportamento pós-rotura por punçoamento foi investigado de modo a provar a adequabilidade do uso de armadura inferior sobre o pilar. O estudo foi conclusivo de que a armadura inferior junto ao pilar suspende eficazmente a laje após a rotura por punçoamento e permite que a ligação
9 laje-pilar sustenha as cargas gravíticas para ciclos de carregamento lateral posteriores. A Figura 2.5 apresenta o comportamento pós-punçoamento da ligação laje-pilar publicado no estudo de Pan e Moehle. Nesta figura é evidenciada o mecanismo de resistência do tipo ferrolho da armadura inferior.
Figura 2.5 – Comportamento pós-punçoamento da ligação laje-pilar (Pan e Moehle 1992).
Esta armadura deve ser colocada diretamente acima do pilar na laje fungiforme de modo a prevenir o colapso progressivo no caso de ocorrência de rotura por esforço transverso da ligação laje-pilar.
2.2.1 Resistência ao Punçoamento de Lajes Fungiformes sob
Carregamento Cíclico
Os requisitos de dimensionamento ao punçoamento de lajes fungiformes sujeitas a cargas gravíticas e laterais em regiões de baixa sismicidade estão bem estabelecidos no Eurocódigo 2. A rotura por punçoamento na ligação laje-pilar ocorre quando a tensão de corte dentro do perímetro de controlo, devido ao esforço de corte direto (cargas gravíticas) e esforço de corte excêntrico (desequilíbrio de momentos), excede a tensão de corte resistente definida pela equação (2.1). Contudo, para lajes fungiformes em regiões de elevada sismicidade é possível ocorrer a rotura por punçoamento mesmo que a tensão de corte atuante no perímetro de controlo não exceda a tensão de corte resistente relativa a ações monotónicas.
Nestes casos é posta a hipótese da degradação da resistência ao corte da laje no perímetro de controlo causada pelo carácter cíclico da ação. A rotura por punçoamento irá ocorrer quando existe degradação da tensão de corte resistente até um certo valor que iguala a tensão de corte
10
atuante no perímetro de controlo. Esta degradação da resistência ao corte nas lajes fungiformes não está contemplada nos requisitos de dimensionamento presentes no Eurocódigo 2.
De modo a ultrapassar esta dificuldade, em 1996 Moehle [20] propôs a utilização de um modelo de degradação da resistência ao corte na avaliação da capacidade de deformação lateral de ligações laje-pilar levadas à rotura por punçoamento. A deformação lateral é traduzida pelo deslocamento relativo entre pisos. Nesta abordagem assume-se que o deslocamento entre pisos é igual à rotação da laje. A rotação da laje é determinada por
u
y(
)
, onde a rotação da laje na cedência (
y) é aproximadamentel
1/(
2400
h
)
, sendol
1 eh
o vão e espessura da lajerespetivamente, e
é obtido a partir da relaçãoV /
gV
c usando o modelo de degradação da resistência ao corte para pilares de pontes em betão armado proposto por Aschheim e Moehle (1992) [1], ondeV
g corresponde ao nível de esforço de corte atuante na ligação, eV
c corresponde à resistência nominal do betão ao punçoamento sem armaduras de punçoamento para cargas monotónicas (ACI 318 2005 [4]). O modelo foi aplicado a 23 ligações laje-pilar interiores isoladas e a 3 ligações laje pilar interiores isoladas com pré-esforço. O modelo proposto por Aschheim e Moehle usa dois parâmetros, o valor da ductilidade em deslocamento para a qual se inicia degradação da resistência ao corte (
,1) e a taxa a que a resistência ao corte se degrada (m
).Em 2006 Kang e Wallace (2006) [15] reviram os resultados obtidos por Moehle (1996) ao aplicar o modelo de Aschheim e Moehle (1992) a 45 ligações laje-pilar interiores isoladas sem reforço com armadura de punçoamento (testadas anteriormente a 2006). Usando os dados dos testes das diferentes ligações, foram obtidos valores para a ductilidade de deslocamento para a qual se inicia degradação da resistência ao corte (
,1
1
) e para a taxa a que a resistência ao corte se degrada (m
1
/
3
). A Figura 2.6 apresenta o modelo de degradação da resistência ao corte obtido.11
Figura 2.6 – Modelo de degradação da resistência ao corte proposto por Kang e Wallace (2006) em ligações laje-pilar interiores sem reforço com armadura de punçoamento.
n
V
corresponde à resistência nominal ao punçoamento dada pela expressão do ACI 318 (2005) [4]V
n
V
c
V
s ondeV
s é a resistência nominal ao punçoamento dada pela armaduras de reforço ao punçoamento. Neste caso como as ligações laje-pilar usadas não possuem armadura de reforço ao corte,V
s é nulo.De referir que os parâmetros obtidos por Kang e Wallace para ligações laje-pilar interiores sem armadura de reforço ao corte são bastante similares aos usados (
,1
1
,m
1
/
3
,
5
) no modelo para os pilares de pontes proposto por Aschheim e Moehle, não havendo assim alteração na tendência geral do modelo.Este modelo apresenta grande utilidade no dimensionamento de novas construções ao permitir avaliar a resistência ao punçoamento de ligações laje-pilar interiores sem reforço com armadura de corte sujeitas à ação sísmica.
12
2.3 Modelos de Análise de Lajes Fungiforme
Vários métodos analíticos incluindo o método dos elementos finitos, métodos dos pórticos equivalentes e o modelo de viga com largura efetiva têm sido usados para analisar edifícios com laje fungiforme sujeitos a cargas gravíticas e laterais estáticas. Contudo a sua utilização é muitas vezes incorreta, não havendo preocupação na calibração precisa da rigidez da laje, o que pode levar a resultados que se afastam da realidade.
Pan e Moehle [22] e [23], nos seus estudos publicados em 1989 e 1992 provaram que o nível de carregamento gravítico é uma das principais variáveis a afetar o comportamento lateral de lajes fungiformes em betão armado. Foi observado que à medida que o esforço de corte devido a cargas gravíticas aumenta, a resistência, rigidez e capacidade para suportar deslocamentos das lajes testadas diminuía. A Figura 2.7 mostra a relação entre as cargas gravíticas e capacidade de deformação lateral traduzida pelo deslocamento entre pisos apresentado pelos autores para ligações laje-pilar testadas anteriormente a 1989 e para as 4 ligações testadas pelos autores em 1992 (detalhes dos espécimes testados estão presentes no Anexo A deste documento).
Figura 2.7 – Efeito do carregamento gravítico no nível de deslocamentos entre pisos (Pan e Moehle 1992).
Onde
V
g corresponde ao nível de esforço de corte na ligação. Atualmente no ACI 318 (2005) [4]o
V
foi substituído porV
c que corresponde à resistência nominal do betão ao punçoamento sem a existência de armadura de punçoamento. No estudo realizado por Pan e Moehle foi usada a expressão presente no ACI 318 (2005) para lajes sem pré-esforço:V
c
4
b
od
f
c' , ondef
c'corresponde ao valor característico da resistência do betão á compressão,
b
0 é o perímetro de controlo ed
é a altura útil da laje. O gráfico apresentado mostra claramente uma tendência na13 diminuição da capacidade da ligação laje-pilar para suportar deslocamentos com o aumento do nível de esforço de corte.
Foi também provado no estudo realizado por Pan e Moehle em 1992 que para carregamentos laterais biaxiais (carregamento com múltiplas direções que simula a ação do sismo/vento) a rigidez da laje é bastante afetada. A Figura 2.8 mostra a capacidade de deslocamento das 4 ligações testadas com o aumento do carregamento lateral, apresentado nesse estudo.
Figura 2.8 – Evolução da capacidade de deformação de 4 ligações laje-pilar com o aumento do carregamento (Pan e Moehle 1992).
Do gráfico é possível concluir que à medida que o carregamento lateral aumenta, o comportamento da estrutura afasta-se do comportamento em regime elástico (β=1). Além disso, foi também provado que para carregamentos biaxiais correspondentes às ligações 2 e 4, a redução da rigidez é superior à obtida para carregamentos uniaxiais correspondendo às ligações 1 e 3 (iguais a 2 e 4 respetivamente mas diferindo no tipo de carregamento lateral).
Mesmo para sismos de moderada intensidade, os esforços a que a laje está sujeita ultrapassam os valores para os quais ocorre fendilhação do betão, fator que influencia muito a rigidez da laje. O uso de uma análise elástica linear leva à obtenção de esforços muito superiores aos que na realidade a laje está sujeita. Os edifícios com laje fungiforme comportam-se inelasticamente, e o uso de uma análise tridimensional não linear para cargas sísmicas não é praticável no presente.
14
De modo a reduzir a complexidade e o elevado custo associado ao uso de análises com elementos finitos não lineares, recorre-se muitas vezes aos conceitos dos pórticos equivalentes (equivalente frame model) (retratado no capítulo 13 do ACI 318 (2005) [4]) e modelo analítico de viga com largura efectiva (effective beam width model) (Pecknold, 1975 [24])
Na prática corrente, as recomendações presentes na ASCE/SEI 41 (American Society of Civil Engineers e Structural Engineering Institute) [3] e na FEMA 274 (Federal Emergency Management Agency) [9] referem que estruturas com laje fungiforme sujeitas à ação combinada de cargas gravíticas e sísmicas podem ser analisadas recorrendo a três tipos de procedimentos: modelo de elementos finitos; análise por pórticos equivalente (equivalente frame model); modelo analítico de viga com largura efetiva (effective beam width model). Estes procedimentos diferem principalmente na forma como a rigidez da laje é incorporada no modelo analítico.
No Eurocódigo 2 [7] também existe referência a um modelo de análise simplificado que pode ser utilizado em estruturas com lajes fungiformes sob ações horizontais. Esta análise é feita por pórticos equivalentes, e assemelha-se ao modelo analítico de viga com largura efetiva.
Estes modelos revestem-se de grande utilidade para a determinação dos esforços na laje em sistemas estruturais fungiformes sujeitos à ação sísmica e que apresentem uma distribuição regular de pilares.
2.3.1 Modelo dos Pórticos Equivalentes (ACI 318)
O modelo dos pórticos equivalentes ou viga equivalente (equivalent frame model) envolve a simulação do sistema tridimensional da laje por uma série de pórticos equivalentes bidimensionais que são analisados para forças no plano do pórtico (ACI 318 (2005) [4]). Este método tem por base os estudos levados a cabo por Vanderbilt e Corley [29] (1983).
O modelo em causa compreende a existência de três elementos:
i) A laje é substituída por um elemento de viga equivalente com momento de inércia efetivo igual ao momento de inércia da largura da laje original. A largura de cada viga equivalente é delimitada pela linha que passa a meio dos vãos adjacentes. A Figura 2.9 ilustra a definição do pórtico equivalente.
15
Figura 2.9 – Largura do pórtico equivalente de acordo com o ACI 318.
ii) O segundo elemento corresponde às colunas ou outro tipo de suporte vertical, com extensão acima e abaixo da laje.
iii) As vigas equivalentes e as colunas estão ligadas por elementos torsionais que possibilitam a transferência de momentos entre estes. São compostos por partes da laje e da viga (caso exista) ligadas à face transversa da coluna. Estes elementos são normalmente modelados com molas que reduzem a rigidez elástica do elemento de viga usado para representar a laje.
A Figura 2.10 apresenta um esquema que exemplifica os elementos que compõem o modelo dos pórticos equivalentes presente no ACI 318.
16
2.3.2 Modelo Analítico de Viga com Largura Efetiva
O modelo analítico de viga com largura efetiva (effective beam width model) foi desenvolvido originalmente por Pecknold [24] em 1975 para a análise de um sistema de dois vãos de laje fungiforme sujeito a cargas estáticas laterais.
Neste modelo a laje é modelada como um elemento de viga com uma largura efetiva α.l2 (fator
de largura efetiva da laje (α)x largura da laje perpendicular à direção do carregamento sísmico (l2)) e com vão com o mesmo valor que na laje original. O fator de largura efetiva α representa o
rácio entre a largura da viga efetiva e a largura original da laje. Este fator é aplicado de modo a representar a rigidez elástica equivalente da laje, ou seja, representa a rigidez da laje antes de qualquer fenómeno de fendilhação ocorrer. A Figura 2.11 ilustra a aplicação do fator de largura efetiva da laje.
Figura 2.11 – Aplicação do fator de largura efetiva da laje.
Quando uma ligação laje-pilar interior é sujeita a um deslocamento lateral no topo da coluna, a rotação da laje ao longo da sua largura varia desde um máximo próximo da coluna até um valor mínimo próximo do meio vão.
2.3.2.1 Fator de largura efetiva
Pecknold [24] apresentou um estudo em 1975 sobre o modelo de largura efetiva de um painel de laje interior típico. Pondo em prática a teoria elástica de placas e a solução tipo de Levy padrão, chegou a uma equação para o cálculo do fator de largura efetiva α. O fator de largura efetiva é obtido da análise elástica de placas admitindo que a viga de largura efetiva sujeita a
17 uma rotação uniforme no apoio de valor θ permite que a coluna tenha o mesmo valor de rotação que a coluna original ligada à laje original com largura l2 e rotação variável (Durrani 1992 [17]). A Figura 2.12 apresenta um esquema apresentado por Luo e Durrani (1992) do funcionamento do modelo de viga com largura efetiva.
Figura 2.12 – Modelo de viga com largura efetiva (Luo e Durrani 1993).
Em 1977, Allen e Darvall [2] chegaram aos mesmos resultados de Pecknold com recurso a séries de Fourier. A Figura 2.13 apresenta um sumário proposto por Vanderbilt e Corley [30] para os valores de fatores de largura efetiva até 1983.
Figura 2.13 – Sumário do fator de largura efetiva da laje para cargas laterais por Vanderbilt e Corley, 1983.
18
O limite assinalado com “pilares muito flexivei” não modela um sistema estrutural realista, apenas fornece um limite inferior de rigidez de uma ligação linear elástica.
Em 1987 Banchik [5] usou o método dos elementos finitos para calcular os valores de fatores de largura efetiva. A variação deste fator para um pórtico interior, que inclui ligações interior e de bordo com vão perpendicular ao bordo está representada na equação (2.6). Os coeficientes para os pórticos exteriores, que incluem as ligações de bordo e canto, estão representados pela equação (2.7) 2 1 2 1
1
1
)
4
1
5
(
c
l
l
c
i (para pórticos interiores) (2.6)
2 2 1 2 1
1
1
)
8
1
3
(
l
l
l
c
e (para pórticos exteriores) (2.7)
Onde
c
1 el
1 correspondem à dimensão do pilar e do vão na direção do carregamentorespetivamente;
l
2 corresponde à dimensão do vão perpendicular à direção do carregamento; é o coeficiente de Poisson.
Luo e Durrani [18] e [18] em 1995 propôs novos fatores de largura efetiva para ligações interiores e ligações de exteriores. De notar que neste caso, ao contrário da ligação exterior proposta por Banchik, a ligação exterior refere-se às ligações com vão a fletir perpendicularmente ao bordo da laje. Ao calibrar os resultados obtidos na investigação de Pecknold, foi obtida uma equação mais simples que a proposta por este para o cálculo de ligações interiores (2.8).
)
(
1
,
1
)
(
8
,
2
)
(
2
)
(
002
,
0
05
,
0
)
(
1 1 2 1 1 3 1 1 4 2 1 2 2 12l
c
l
c
l
c
l
l
l
c
R
i
(2.8)Onde
c
2 corresponde à dimensão do pilar perpendicular à direção do carregamento;c
1 el
1correspondem à dimensão do pilar e do vão na direção do carregamento respetivamente; R12
toma o valor de 1,02 para
l
1/l
2 entre 0,5 e 2,0 ec
1/c
2 entre 0,5 e 2,0. Para ligações exteriores, a equação (2.9) foi proposta, tendo por base modificações no modelo dos pórticos equivalentes.2 2
l
K
K
K
l
s t t e
(2.9)19 Onde 1
4
l
I
E
K
cs
é a rigidez de flexão da laje;l
2 corresponde à dimensão do vão perpendicularà direção do carregamento.
A equação (2.9) tem conta com o facto de parte do momento na ligação laje-pilar exterior ser transferido em flexão por parte da laje e outra parte é indiretamente transferida em torsão por um elemento composto pela viga de bordo, caso exista, e parte da laje (elemento torsional referido em 2.2.1). A rigidez de torsão deste elemento é dada pela fórmula (2.10) indicada no ACI 318 (2005) [4].
3 2 2 2(
1
)
9
l
c
l
C
E
K
c t (2.10)Onde
E
c é o módulo de elasticidade do betão usado na laje;c
2 el
2 correspondem à dimensão do pilar e do vão perpendicular à direção do carregamento;C
corresponde à constante de torsão dada pela expressão (2.11) presente no ACI 318.
3
63
,
0
1
3y
x
y
x
C
(2.11)A constante
C
, no caso de secções em T, é obtida dividindo a secção em elementos retangulares com dimensões x e y e somando os valores deC
de cada um destes elementos. A Figura 2.14 ilustra este cálculo para a viga de bordo.20
De referir ainda que, as recomendações presentes na ASCE/SEI 41 [3] para o valor do fatores de largura efetiva são as propostas pelas fórmulas apresentadas por Hwang e Moehle (2000) [14] que dão valores na ordem de 0,5.
2.3.3 Análise por Pórticos Equivalentes (EC2)
Segundo a análise por pórticos equivalentes presente no Eurocódigo 2 (EC2-1) [7], as estruturas com laje fungiforme podem ser analisadas dividindo a estrutura longitudinal e transversalmente em pórticos constituídos por pilares e por troços de lajes compreendidos entre as linhas médias de painéis adjacentes. A Figura 2.15 ilustra a divisão dos painéis de laje fungiforme presente no Eurocódigo 2 (EC2-1).
Figura 2.15 – Análise por pórticos equivalentes (EC2).
De referir que neste modelo, apesar de apresentar o mesmo nome que o modelo de pórticos equivalentes do ACI 318, estes não são idênticos. A rigidez da laje pode ser calculada a partir das secções transversais brutas dos pórticos. Para cargas gravíticas, a rigidez a considerar para o painel de laje corresponde à largura total do painel. Para carregamento lateral, o recomendado é utilizar 40% da largura total do painel. Esta redução serve para traduzir a maior flexibilidade das ligações pilar-laje em estruturas fungiforme quando comparada com as ligações pilar-viga. Este tipo de análise assemelha-se muito ao modelo analítico de viga com largura efetiva na avaliação de lajes fungiformes sob cargas laterais.
21
2.3.4 Rigidez
Em todos os modelos referidos atrás, a rigidez elástica deve ser corrigida para ter em conta o efeito da fendilhação, típico do comportamento inelástico de sistemas fungiformes sob a ação de cargas gravíticas e sísmicas. Devido à complexidade do mecanismo de transferência de momentos entre a laje e o pilar sob carregamento horizontal, as suposições relativas à redução que se deve fazer na rigidez elástica da laje são muito subjetivas. Contudo estão disponíveis certas diretrizes para assistir o projetista a tomar essa decisão.
2.3.4.1 Modelo dos Pórticos Equivalentes (ACI 318)
Para ter em conta o efeito da fendilhação, as recomendações da ASCE/SEI 41 [3] e FEMA 274 [9] são as de que a rigidez do elemento torsional deverá ser reduzida por um fator de 1/3, valor que tem por base os estudos levados a cabo por Vanderbilt e Corley [30] (1983) e mais tarde por Pan e Moehle [21] (1988). No artigo publicado em 1992 no ACI journal, Pan e Moehle [23] provam que, para um valor de 0,2% de deslocamento entre pisos, a melhor estimativa para o fator de redução de rigidez dos elementos torsionais é 1/3 (Figura 2.16).
Figura 2.16 – Comparação entre o modelo dos pórticos equivalentes e os resultados experimentais (Pan e Moehle 1992).
22
2.3.4.2 Modelo Analítico de Viga com Largura Efetiva
A eficácia do uso do modelo analítico de viga com largura efetiva (effective beam width model) está fortemente dependente da aferição da rigidez da laje a considerar no modelo que é traduzida pela definição da largura efetiva da viga equivalente. Uma viga com largura efetiva, algures entre os valores de um terço a um meio da largura transversal original, é tida como uma boa estimativa e assume-se compensar todas as incertezas relativas à rigidez de uma laje fungiforme sob ação de cargas devidas ao sismo. Estas estimativas são referidas pela ASCE/SEI 41 [3] e FEMA 274 [9] e têm por base o estudo levado a cabo por Hwang e Moehle (1990) [13], que envolveu o teste de um pórtico com 9 painéis de laje à escala 4/10 sujeito a cargas gravíticas e laterais. Uma expressão (2.12) foi proposta para cálculo do fator de redução da rigidez (β) em lajes fungiformes, cujos valores variam entre 1/3 e 1/2.
3
1
1
40
1
,
0
5
L
l
c
(2.12)Onde
c
é a dimensão da coluna (quadrada);l
é a dimensão da laje (quadrada);L
corresponde à sobrecarga de serviço (em lb/ft2). Tais estimativas não são questionadas desde que resultemnum dimensionamento do lado da segurança. Para ter em conta o efeito da fendilhação afeta-se a rigidez elástica das lajes com este fator de redução de rigidez (β). Este fator é assim tido como o rácio entre a rigidez da laje fendilhada e a rigidez da laje sem fendas.
Em 1992 os estudos levados a cabo por Pan e Moehle [23] para 4 ligações laje-pilar sujeitas a carregamento gravítico e lateral comprovaram que, para um valor de 0,2% de deslocamento entre pisos, a melhor estimativa seria uma redução de 1/3 do coeficiente de largura efetiva elástica (com valor calculado igual a 0,65). A comparação entre o modelo de viga com largura efetiva e os resultados experimentais está apresentada na Figura 2.17.
Contudo, embora simples de aplicar, as estimativas de redução da rigidez da laje apresentadas podem a conduzir a estimativas que podem resultar em previsões desapropriadas da resposta do edifício. Existe a necessidade de se desenvolver um processo racional de análise que se aproxime do verdadeiro comportamento de estruturas com laje fungiforme.
23
Figura 2.17 – Comparação entre o modelo de viga com largura efetiva e os resultados experimentais (Pan e Moehle 1992).
Em 1997 Grossman [11] propôs a expressão (2.13) para o cálculo da viga com largura efetiva (l2’) tendo em conta o fator
K
d que estima a degradação da rigidez da viga com largura efetivade acordo com o nível de deslocamento entre pisos.
FP d
K
h
d
c
c
l
l
c
l
K
l
9
,
0
2
3
,
0
2 1 1 2 1 1 ' 2 (2.13)Onde
c
1 el
1 correspondem à dimensão do pilar e do vão na direção do carregamento respetivamente;c
2 el
2 correspondem à dimensão do pilar e do vão perpendicular à direção docarregamento; d representa a altura útil da laje; h corresponde à altura da laje;
K
FP é um fator que tem em conta o tipo de ligação em causa (1,0 para ligações interiores, 0,8 para ligações exteriores e 0,6 para ligações de canto). Contudo nesta expressão, é verificado queK
d representa a degradação de rigidez lateral, que não é o mesmo que degradação da rigidez da viga com largura efetiva (Han e Park 2009 [12]).24
Luo e Durrani [18] e [20] apresentaram em 1995 uma metodologia diferente para a obtenção da rigidez efetiva da laje. De modo a ter em conta a redução de rigidez devido à presença de cargas gravíticas, foi criado um fator
(2.14) que multiplica pela largura elástica da laje:'
4
4
,
0
1
c c gf
A
V
(2.14) Onde '4
c c gf
A
V
corresponde ao rácio entre o valor do esforço total de corte na ligação devido
a cargas gravíticas e a resistência ao corte da laje dada pelo ACI 318 (2005) já apresentada atrás em 2.3.
A
c é a área da secção crítica da laje dada pelo produto do perímetro de controlo pela altura útil da laje
b
0d
. O perímetro de controlo ou secção crítica de esforço transverso em lajes (Figura 2.18) é dada pelos segmentos de reta distanciados a d/2 da área efetiva de carga (ACI 318).Figura 2.18 – Secção crítica de esforço transverso para um pilar (ACI 318).
De modo a ter em conta com a redução de rigidez da laje devido a cargas laterais, Luo e Durrani usaram o momento de inércia efetivo de vigas especificado no ACI 318. Conforme especificado no ACI 318, a inércia efetiva dada pela expressão (2.15) têm em conta a relação entre o nível de momento aplicado na viga (
M
a ) e o momento de fendilhação da secção da viga (M
cr).cr a cr g a cr e
I
M
M
I
M
M
I
3 31
(2.15)25 Aplicado às lajes,
I
g corresponde ao momento de inércia da secção
il
2 na metodologia deLuo e Durrani,
I
cr corresponde ao momento de inércia dessa mesma secção fendilhada,M
cré o momento de fendilhação da secção referida eM
a é o momento máximo na laje. A Figura 2.19 apresenta o modelo de viga com largura efetiva proposto por Luo e Durrani (1995) [28].Figura 2.19 – Esquema do modelo de viga com largura efetiva proposto por Luo e Durrani (1995)
Contudo, a expressão anterior apresenta uma particularidade pouco prática. Para o cálculo de
e
I
é necessário saber à partida a quantidade de armadura na laje, nomeadamente no cálculo deI
cr (momento de inercia da secção
il
2fendilhada). Numa fase inicial de dimensionamento,não é possível saber a quantidade de armadura existente na laje.
Face à complexidade existente na determinação de uma redução de rigidez apropriada em lajes fungiformes usando o modelo de viga com largura efetiva, Han e Park [12] em 2009 publicaram um estudo sobre o do fator de redução da rigidez (β), com maior simplicidade de aplicação. O modo de aplicação deste fator é idêntico ao fator proposto por Hwang e Moehle (1990) e Pan e Moehle (1992) apresentados anteriormente nesta secção. O estudo realizado por Han e Park envolve o desenvolvimento de equações para o fator de redução de rigidez da laje (β) através de uma análise com regressão não linear, usando os resultados obtidos em testes realizados em
