As Equações de Maxwell Macroscópicas

As Equações de Maxwell Macroscópicas

Dentro da matéria há moléculas por toda parte. Em cada molécula, há átomos compostos por núcleos positivos orbitados por elétrons negativos. Sobre cada uma dessas minúsculas partículas, se consideradas puntiformes, o campo elétro-magnético diverge, assumindo valores innitos. Mas, nessa armação, estamos falando do campo eletromagnético microscópico, que não pode ser medido por uma ponta de prova, que, por sua vez, também é composta por átomos. Pre-cisamos, então, formular uma maneira de tratar o campo eletromagnético den-tro da matéria que seria observável através de medições feitas por um aparato macroscópico. No vácuo, as equações de Maxwell são as que já temos consider-ado: ∇ · Emic(r, t) = 4πρmic(r, t), ∇ · Bmic(r, t) = 0, ∇ × Emic(r, t) = −1 c ∂Bmic(r, t) ∂t e ∇ × Bmic(r, t) = 4π c Jmic(r, t) + 1 c ∂Emic(r, t) ∂t ,

onde adicionei o subscrito mic para indicar que essas são equações microscópicas. Entre um elétron e um próton, por exemplo, os campos são os microscópicos; não há outro meio senão o vácuo entre eles. O problema é que, para medir os campos, as cargas e as correntes, utilizamos instrumentos macroscópicos. Não há como medirmos diretamente as grandezas microscópicas. Assim, um aparato macroscópico mede sempre um valor efetivo médio, no espaço e no tempo, das grandezas eletromagnéticas. Vamos, portanto, seguir o livro de J. D. Jackson e fazer uma média espacial das equações acima para deduzir as equações de Maxwell macroscópicas.

Seja f(r) uma função centrada na origem e esfericamente simétrica, mas que se anule exponencialmente para distâncias sucientemente grandes. Por exemplo, como a luz visível não mostra a natureza granular da matéria, mas os raios X mostram, podemos convencionar como o limite macroscópico uma distância típica que divida o âmbito visível do âmbito de raios X, digamos, como Jackson, cerca de 100Å. Isso signica que podemos supor que f(r) se anule para distâncias da ordem de 100Å. As médias espaciais das grandezas eletromagnéticas, então, cam

⟨Emic(r, t)⟩ = ˆ d3r′f (r′)Emic(r− r′, t), ⟨Bmic(r, t)⟩ = ˆ d3r′f (r′)Bmic(r− r′, t),

⟨ρmic(r, t)⟩ = ˆ d3r′f (r′)ρmic(r− r′, t) e ⟨Jmic(r, t)⟩ = ˆ d3r′f (r′)Jmic(r− r′, t),

onde as integrais são sobre todo o espaço. Os campos macroscópicos são denidos como as médias dos respectivos campos microscópicos:

E(r, t) ≡ ⟨Emic(r, t)⟩ e

B(r, t) ≡ ⟨Bmic(r, t)⟩ ,

onde as quantidades macroscópicas não têm o subscrito mic.

Agora, tomando as médias das equações de Maxwell microscópicas, obtemos

⟨∇ · Emic(r, t)⟩ = 4π ⟨ρmic(r, t)⟩ , ⟨∇ · Bmic(r, t)⟩ = 0, ⟨∇ × Emic(r, t)⟩ = −1 c ⟨ ∂Bmic(r, t) ∂t ⟩ e ⟨∇ × Bmic(r, t)⟩ = 4π c ⟨Jmic(r, t)⟩ + 1 c ⟨ ∂Emic(r, t) ∂t ⟩ . No entanto,

⟨∇ · Emic(r, t)⟩ = ∇ · ⟨Emic(r, t)⟩ , pois, como ∇ opera apenas sobre r e não sobre r′_,

⟨∇ · Emic(r, t)⟩ = ˆ d3r′f (r′)∇ · Emic(r− r′, t) = ∇ · ˆ d3r′f (r′)Emic(r− r′, t) = ∇ · ⟨Emic(r, t)⟩ = ∇ · E(r, t). De maneira análoga, também temos

⟨∇ × Emic(r, t)⟩ = ∇ × ⟨Emic(r, t)⟩ = ∇ × E(r, t),

⟨∇ · Bmic(r, t)⟩ = ∇ · ⟨Bmic(r, t)⟩ = ∇ · B(r, t) e

⟨∇ × Bmic(r, t)⟩ = ∇ × ⟨Bmic(r, t)⟩ = ∇ × B(r, t).

Como a derivada parcial com relação ao tempo não opera sobre r e nem sobre r′, segue que ⟨ ∂Emic(r, t) ∂t ⟩ = ˆ d3r′f (r′)∂Emic(r− r ′_{, t)} ∂t = ∂ ∂t ˆ d3r′f (r′)Emic(r− r′, t) = ∂ ∂t⟨Emic(r, t)⟩ = ∂E(r, t) ∂t e, analogamente, ⟨ ∂Bmic(r, t) ∂t ⟩ = ∂ ∂t⟨Bmic(r, t)⟩ = ∂B(r, t) ∂t .

Assim, as duas equações macroscópicas homogêneas de Maxwell já estão de-duzidas: ∇ · B(r, t) = 0 e ∇ × E(r, t) = −1 c ∂B(r, t) ∂t .

Ainda precisamos calcular ⟨ρmic(r, t)⟩ e ⟨Jmic(r, t)⟩. Vamos supor que haja

N cargas em cada molécula do material e, para simplicar sem perder a

gen-eralidade, vamos supor também que o material seja uma substância pura, isto é, composto por moléculas idênticas. Seja sn a posição da n-ésima molécula, medida com relação a um núcleo atômico especíco. Assim, cada carga qkn, da

n-ésima molécula ca no ponto skn, com relação ao vetor posição da molécula,

sn. Isso quer dizer que, com relação à origem do sistema de coordenadas, a posição da carga qkn é dada por skn+ sn. Também vamos imaginar que haja cargas livres, qm, nas posições rm. Como há movimento dessas cargas todas, todas as posições mencionadas devem ser consideradas como funções do tempo. Assim, ρmic(r, t) = ∑ m qmδ(3)(r− rm) + ∑ n ∑ k qknδ(3)(r− skn− sn)

e, portanto, ⟨ρmic(r, t)⟩ = ˆ d3r′f (r′)ρmic(r− r′, t) = ˆ d3r′f (r′)∑ m qmδ(3)(r− r′− rm) + ˆ d3r′f (r′)∑ n ∑ k qknδ(3)(r− r′− skn− sn) = ∑ m qmf (r− rm) + ∑ n ∑ k qknf (r− skn− sn).

Tipicamente, |skn| é da ordem de alguns angströms apenas e, portanto, f(r−

skn−sn)não difere apreciavelmente de f(r−sn). Podemos, portanto, aproximar:

f (r− skn− sn) ≈ f(r − sn)− skn· ∇f(r − sn) + 1

2(skn· ∇)

2_{f (r− s}

n) e, com essa aproximação, obtemos

⟨ρm(r, t)⟩ ≈ ∑ m qmf (r− rm) + ∑ n ∑ k qknf (r− sn)− ∑ n ∑ k qknskn· ∇f(r − sn) + ∑ n ∑ k qkn 1 2(skn· ∇) 2_{f (r− sn)} = ∑ m qmf (r− rm) + ∑ n ∑ k qknf (r− sn)− ∇ · ∑ n ( ∑ k qknskn ) f (r− sn) + 1 6 ∑ n ∇ · [( 3∑ k qknsknskn ) · ∇f(r − sn) ] .

O dipolo elétrico da n-ésima molécula é pn =

∑ k

qknskn

e denimos também o momento quadrupolar elétrico da n-ésima molécula como

←→

Q_n ≡ 3∑

k

qknsknskn.

Para simplicar nossos cálculos abaixo, suponhamos que

←→

Q_n = ←→0 ,

ou seja, que as moléculas do material tenham momento quadrupolar elétrico nulo. A polarização do meio ca, então,

Pmic(r, t) = ∑ n

já que a n-ésima molécula tem um dipolo instantâneo pn. Com essas obser-vações, concluímos que

⟨Pmic(r, t)⟩ = ⟨ ∑ n pnδ(3)(r− sn) ⟩ = ∑ n pn ˆ d3r′f (r′)δ(3)(r− r′− sn) = ∑ n pnf (r− sn) = ∑ n ( ∑ k qknskn ) f (r− sn)

e, reconhecendo essa quantidade na expressão de ⟨ρmic(r, t)⟩ acima, vem

⟨ρmic(r, t)⟩ ≈ ∑ m qmf (r− rm) + ∑ n ∑ k qknf (r− sn)− ∇ · ⟨Pmic(r, t)⟩ .

Supondo que cada molécula seja neutra, temos ∑ k qkn = 0 e, consequentemente, ⟨ρmic(r, t)⟩ ≈ ∑ m qmf (r− rm)− ∇ · ⟨Pmic(r, t)⟩ . A densidade de carga livre é, naturalmente, denida como

ρ(r, t) ≡ ⟨ ∑ m qmδ(3)(r− rm) ⟩ = ˆ d3r′f (r′)∑ m qmδ(3)(r− r′− rm) = ∑ m qmf (r− rm) e, denindo P(r, t) ≡ ⟨Pmic(r, t)⟩ , podemos escrever ⟨ρmic(r, t)⟩ ≈ ρ(r, t) − ∇ · P(r, t),

analogamente ao caso eletrostático. A Lei de Gauss macroscópica ca, então,

isto é,

∇ · E(r, t) = 4πρ(r, t) − 4π∇ · P(r, t),

ou seja,

∇ · D(r, t) = 4πρ(r, t),

onde denimos o vetor deslocamento como

D(r, t) ≡ E(r, t) + 4πP(r, t).

Calculemos, agora, ⟨Jmic(r, t)⟩. Da própria denição de Jmic(r, t)temos Jmic(r, t) ≡ ρmic(r, t)vmic(r, t),

onde vmic(r, t) é o campo de velocidades das cargas do meio material. Mas, como vimos, ρmic(r, t) = ∑ m qmδ(3)(r− rm) + ∑ n ∑ k qknδ(3)(r− skn− sn) e, portanto, Jmic(r, t) = ∑ m qmδ(3)(r− rm)vmic(r, t) + ∑ n ∑ k qknδ(3)(r− skn− sn)vmic(r, t) = ∑ m qm˙rmδ(3)(r− rm) + ∑ n ∑ k qkn(˙skn+ ˙sn)δ(3)(r− skn− sn),

onde, por exemplo,

δ(3)(r− rm)vmic(r, t) = δ(3)(r− rm)vmic(rm, t)

e o campo de velocidades das cargas calculado exatamente sobre a m-ésima carga livre dá o valor de sua velocidade, ou seja,

vmic(rm, t) = ˙rm, com ˙rm ≡ drm dt . Analogamente, δ(3)(r− skn− sn)vmic(r, t) = δ(3)(r− skn− sn)vmic(skn+ sn, t). Mas o vetor skn+ sn indica a posição da k-ésima carga da n-ésima molécula. Logo, o campo de velocidades das cargas calculado exatamente sobre a posição da k-ésima carga da n-ésima molécula dá sua velocidade, ou seja,

onde ˙skn ≡ dskn dt e ˙sn ≡ dsn dt .

Com esses resultados, podemos escrever

⟨Jmic(r, t)⟩ = ˆ d3r′f (r′)Jmic(r− r′, t) = ∑ m qm˙rm ˆ d3r′f (r′)δ(3)(r− r′− rm) + ∑ n ∑ k qkn(˙skn+ ˙sn) ˆ d3r′f (r′)δ(3)(r− r′− skn− sn) = ∑ m qm˙rmf (r− rm) + ∑ n ∑ k qkn(˙skn+ ˙sn)f (r− skn− sn).

Podemos aproximar, novamente,

f (r− skn− sn) ≈ f(r − sn)− skn· ∇f(r − sn) e denir, naturalmente, a densidade macroscópica de corrente livre,

J(r, t) ≡ ⟨ ∑ m qm˙rmδ(3)(r− rm) ⟩ = ∑ m qm˙rm ˆ d3r′f (r′)δ(3)(r− r′− rm) = ∑ m qm˙rmf (r− rm). Logo, ⟨Jmic(r, t)⟩ ≈ J(r, t) + ∑ n ∑ k qkn(˙skn+ ˙sn)f (r− sn) − ∑ n ∑ k qkn(˙skn+ ˙sn)skn· ∇f(r − sn).

Como estamos trabalhando agora para obter a equação de Ampère-Maxwell macroscópica, precisamos fazer aparecer, nos resultados acima, o rotacional da magnetização, além da derivada temporal da polarização. A magnetização é dada por

Mmic(r, t) = ∑ n

onde mn é o momento dipolar magnético da n-ésima molécula, denido como mn ≡ 1 2c ∑ k qknskn× ˙skn.

Assim, queremos reconhecer, na expressão para ⟨Jmic(r, t)⟩, o rotacional de

⟨Mmic(r, t)⟩: ∇ × ⟨Mmic(r, t)⟩ = ∇ × ⟨ ∑ n mnδ(3)(r− sn) ⟩ = ∇ ×∑ n mnf (r− sn) = −∑ n mn× ∇f(r − sn) = −1 2c ∑ n ∑ k qkn(skn× ˙skn)× ∇f(r − sn) = −1 2c ∑ n ∑ k qkn˙sknskn· ∇f(r − sn) + 1 2c ∑ n ∑ k qknskn˙skn· ∇f(r − sn). Como ˙sknskn = −skn˙skn+ d dt(sknskn), segue que ∇ × ⟨Mmic(r, t)⟩ = − 1 2c ∑ n [ ∑ k qkn d dt(sknskn) ] · ∇f(r − sn) + 1 c ∑ n ∑ k qknskn˙skn· ∇f(r − sn) = −1 6c ∑ n [ d dt(3 ∑ k qknsknskn) ] · ∇f(r − sn) + 1 c ∑ n ∑ k qknskn˙skn· ∇f(r − sn) = −1 6c ∑ n ( d←→Q_n dt ) · ∇f(r − sn) + 1 c ∑ n ∑ k qknskn˙skn· ∇f(r − sn). Mas como estamos supondo que

←→

vem ∇ × ⟨Mmic(r, t)⟩ = 1 c ∑ n ∑ k qknskn˙skn· ∇f(r − sn),

que também é equivalente a

∇ × ⟨Mmic(r, t)⟩ = − 1 c ∑ n ∑ k qkn˙sknskn· ∇f(r − sn), e, portanto, ⟨Jmic(r, t)⟩ ≈ J(r, t) + ∑ n ∑ k qkn(˙skn+ ˙sn)f (r− sn) − ∑ n ∑ k qkn(˙skn+ ˙sn)skn· ∇f(r − sn) = J(r, t) +∑ n ∑ k qkn˙sknf (r− sn) + ∑ n ∑ k qkn˙snf (r− sn) − ∑ n ∑ k qkn˙sknskn· ∇f(r − sn)− ∑ n ∑ k qkn˙snskn· ∇f(r − sn) = J(r, t) +∑ n ∑ k qkn˙sknf (r− sn) + ∑ n ∑ k qkn˙snf (r− sn) + c∇ × ⟨Mmic(r, t)⟩ −∑ n ∑ k qkn˙snskn· ∇f(r − sn).

Como também estamos supondo que a carga total de cada molécula seja nula, isto é, ∑ k qkn = 0, temos ∑ n ∑ k qkn˙snf (r− sn) = ∑ n ( ∑ k qkn ) ˙snf (r− sn) = 0, implicando que ⟨Jmic(r, t)⟩ ≈ J(r, t) + c∇ × ⟨Mmic(r, t)⟩ + ∑ n ∑ k qkn˙sknf (r− sn)− ∑ n ∑ k qkn˙snskn· ∇f(r − sn).

A derivada temporal parcial da polarização é dada por ∂P(r, t) ∂t = ∂ ∂t⟨Pmic(r, t)⟩ = ∂ ∂t [ ∑ n ∑ k qknsknf (r− sn) ] = ∑ n ∑ k qkn ∂skn ∂t f (r− sn) + ∑ n ∑ k qknskn∂ ∂tf (r− sn) = ∑ n ∑ k qkn˙sknf (r− sn) − ∑ n ∑ k qknskn˙sn· ∇f(r − sn) e, dessa forma, ∑ n ∑ k qkn˙sknf (r− sn) = ∂P(r, t) ∂t + ∑ n ∑ k qknskn˙sn· ∇f(r − sn). Portanto, ⟨Jmic(r, t)⟩ ≈ J(r, t) + c∇ × ⟨Mmic(r, t)⟩ +∂P(r, t) ∂t + ∑ n ∑ k qkn[skn˙sn· ∇f(r − sn)− ˙snskn· ∇f(r − sn)] = J(r, t) + c∇ × ⟨Mmic(r, t)⟩ + ∂P(r, t) ∂t + ∑ n ∑ k qkn∇ × [(skn× ˙sn)f (r− sn)] = J(r, t) + c∇ × ⟨Mmic(r, t)⟩ +∂P(r, t) ∂t + ∇ × [ ∑ n ∑ k qknskn× ˙snf (r− sn) ] , ou seja, 4π c ⟨Jmic(r, t)⟩ ≈ 4π c J(r, t) + 4π c ∂P(r, t) ∂t + 4π∇ × [ ⟨Mmic(r, t)⟩ + 1 c ∑ n ∑ k qknskn× ˙snf (r− sn) ] .

Comparemos os termos entre colchetes: ⟨Mmic(r, t)⟩ + ∑ n ∑ k qknskn× ˙sn c f (r− sn) = ∑ n mnf (r− sn) + 1 c ∑ n ∑ k qknskn× ˙snf (r− sn) = 1 2c ∑ n ∑ k qknskn× ˙sknf (r− sn) + 1 c ( ∑ n ∑ k qknskn× ˙sn ) f (r− sn). Vamos supor também que o material não esteja em movimento, de forma que as velocidades das moléculas, ˙sn, sejam muito menores, em valor absoluto médio, do que as velocidades das cargas em cada molécula, ˙skn, também em valor absoluto médio. Com isso, podemos desprezar o segundo termo da equação acima e escrever 4π c ⟨Jmic(r, t)⟩ ≈ 4π c J(r, t) + 4π c ∂P(r, t) ∂t + 4π∇ × ⟨Mmic(r, t)⟩ . A equação de Ampère-Maxwell, então, em média espacial, ca

⟨∇ × Bmic(r, t)⟩ = 4π c ⟨Jmic(r, t)⟩ + 1 c ⟨ ∂Emic(r, t) ∂t ⟩ , isto é, ∇ × B(r, t) = 4π c J(r, t) + 4π c ∂P(r, t) ∂t + 4π∇ × ⟨Mmic(r, t)⟩ + 1 c ∂E(r, t) ∂t , ou ainda, ∇ × [B(r, t) − 4π ⟨Mmic(r, t)⟩] = 4π c J(r, t) + 1 c ∂ ∂t[E(r, t) + 4πP(r, t)]. Denindo M(r, t) ≡ ⟨Mmic(r, t)⟩ , H(r, t) ≡ B(r, t) − 4πM(r, t) e reconhecendo o campo deslocamento elétrico

obtemos ∇ × H(r, t) = 4π c J(r, t) + 1 c ∂D(r, t) ∂t ,