02. Modelos no Espaço de Estados (Aula 03)

Do 1 ao 4, determine um modelo de espaço de estados para cada um dos sistemas da lista 1 a) Explicite os vetores de estado x e de entrada u e mostre a equação de estado;

b) Escolha uma variável de saída y e mostre a equação de saída; c) Apresente as matrizes A, B, C e D resultantes de sua representação.

1. Determine uma equação diferencial que descreve o comportamento do circuito RLC paralelo apresentado no diagrama abaixo. Note que a função forçante é uma fonte de corrente.

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜

De acordo com a equação de estado encontrada 𝑑2_𝑣(𝑡) 𝑑𝑡2 + 1 𝑅𝐶 𝑑𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 + 1 𝐿𝐶𝑣(𝑡) = 1 𝐶 𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 ⇒𝑑 2_𝑣(𝑡) 𝑑𝑡2 = − 1 𝑅𝐶 𝑑𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 − 1 𝐿𝐶𝑣(𝑡) + 1 𝐶 𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 temos que a variável 𝑣(𝑡) está relacionada com 𝑑𝑣(𝑡)/𝑑𝑡:

𝑑 𝑑𝑡( 𝑑𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 ) = (− 1 𝑅𝐶) 𝑑𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 + (− 1 𝐿𝐶) 𝑣(𝑡) + ( 1 𝐶) 𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 Então, obtendo a segunda equação de estado em que:

𝑑

𝑑𝑡[𝑣(𝑡)] = 𝑑𝑣(𝑡)

𝑑𝑡 podemos formar a equação de estado na forma matricial:

𝑑 𝑑𝑡( 𝑑𝑣(𝑡)/𝑑𝑡 𝑣(𝑡) ) ⏟ 𝐱 = (−1/𝑅𝐶 −1/𝐿𝐶 1 0 ) ⏟ 𝐀 (𝑑𝑣(𝑡)/𝑑𝑡 𝑣(𝑡) ) ⏟ 𝐱 + (1/𝐶 0 ) ⏟ 𝐁 𝑖(𝑡)⏟ 𝑢(𝑡) ⇒ 𝑑 𝑑𝑡𝐱 = 𝐀𝐱 + 𝐁𝑢(𝑡) Definindo as variáveis de saída como as relações algébricas:

( 𝑖₁ 𝑖₂ 𝑖₃ ) = ( 𝑣_𝑅/𝑅 𝐿 𝑑𝑣_𝐿/𝑑𝑡 𝑖(𝑡) − 𝑖₁− 𝑖₂ ) = ( 𝑣(𝑡)/𝑅 𝐿 𝑑𝑣(𝑡)/𝑑𝑡 𝑖(𝑡) − 𝑣(𝑡)/𝑅 − 𝐿 𝑑𝑣(𝑡)/𝑑𝑡 ) ⇒ ( 𝑖₁ 𝑖₂ 𝑖₃ ) ⏟ 𝐲 = ( 0 1/𝑅 𝐿 0 −𝐿 −1/𝑅 ) ⏟ 𝐂 (𝑑𝑣(𝑡)/𝑑𝑡 𝑣(𝑡) ) ⏟ 𝐱 + ( 0 0 1 ) ⏟ 𝐃 𝑖(𝑡)⏟ 𝑢(𝑡) ⇒ 𝐲 = 𝐂𝐱 + 𝐃𝑢(𝑡) temos o modelo de espaços de estado totalmente definido.

Por outro lado, de acordo com a outra equação de estado encontrada 𝑑2_𝑖 2 𝑑𝑡2 + 1 𝑅𝐶 𝑑𝑖₂ 𝑑𝑡 + 1 𝐿𝐶𝑖2= 1 𝐿𝐶𝑖(𝑡) ⇒𝑑 2_𝑖 2 𝑑𝑡2 = − 1 𝑅𝐶 𝑑𝑖₂ 𝑑𝑡 − 1 𝐿𝐶𝑖2+ 1 𝐿𝐶𝑖(𝑡) temos que a variável 𝑖₂ está relacionada com 𝑑𝑖₂/𝑑𝑡:

𝑑 𝑑𝑡( 𝑑𝑖₂ 𝑑𝑡) = (− 1 𝑅𝐶) 𝑑𝑖₂ 𝑑𝑡 + (− 1 𝐿𝐶) 𝑖2+ 1 𝐿𝐶𝑖(𝑡) Então, obtendo a segunda equação de estado em que:

𝑑 𝑑𝑡(𝑖2) =

𝑑𝑖₂ 𝑑𝑡 podemos formar a equação de estado na forma matricial:

𝑑 𝑑𝑡( 𝑑𝑖₂/𝑑𝑡 𝑖₂ ) ⏟ 𝐱 = (−1/𝑅𝐶 −1/𝐿𝐶 1 0 ) ⏟ 𝐀 (𝑑𝑖2/𝑑𝑡 𝑖₂ ) ⏟ 𝐱 + (1/𝐿𝐶 0 ) ⏟ 𝐁 𝑖(𝑡)⏟ 𝑢(𝑡) ⇒ 𝑑 𝑑𝑡𝐱 = 𝐀𝐱 + 𝐁𝑢(𝑡)

Aqui, as variáveis de vetores e matrizes possuem o mesmo nome que do espaço de estado anterior apenas para ilustração.

Definindo as variáveis de saída como as relações algébricas:

( 𝑖₁ 𝑖₃ 𝑣(𝑡) ) = ( 𝑣_𝑅/𝑅 𝑖(𝑡) − 𝑖₁− 𝑖₂ 𝑣_𝐿 ) = ( 𝑣(𝑡)/𝑅 𝑖(𝑡) − 𝑣(𝑡)/𝑅 − 𝑖₂ 𝐿 𝑑𝑖₂/𝑑𝑡 ) = ( (𝐿/𝑅) 𝑑𝑖2/𝑑𝑡 𝑖(𝑡) − (𝐿/𝑅) 𝑑𝑖₂/𝑑𝑡 − 𝑖₂ 𝐿 𝑑𝑖₂/𝑑𝑡 ) ⇒ ( 𝑖₁ 𝑖₃ 𝑣(𝑡) ) ⏟ 𝐲 = ( 𝐿/𝑅 0 −𝐿/𝑅 −1 𝐿 0 ) ⏟ 𝐂 (𝑑𝑖2/𝑑𝑡 𝑖₂ ) ⏟ 𝐱 + ( 0 1 0 ) ⏟ 𝐃 𝑖(𝑡)⏟ 𝑢(𝑡) ⇒ 𝐲 = 𝐂𝐱 + 𝐃𝑢(𝑡)

temos o modelo de espaços de estado totalmente definido, novamente. Assim, temos os seguintes modelos de espaços de estado possíveis:

{ 𝑑 𝑑𝑡( 𝑑𝑣(𝑡)/𝑑𝑡 𝑣(𝑡) ) = ( −1/𝑅𝐶 −1/𝐿𝐶 1 0 ) ( 𝑑𝑣(𝑡)/𝑑𝑡 𝑣(𝑡) ) + ( 1/𝐶 0 ) 𝑖(𝑡) ( 𝑖₁ 𝑖₃ 𝑣(𝑡) ) = ( 𝐿/𝑅 0 −𝐿/𝑅 −1 𝐿 0 ) (𝑑𝑖2/𝑑𝑡 𝑖₂ ) + ( 0 1 0 ) 𝑖(𝑡) ou { 𝑑 𝑑𝑡( 𝑑𝑖₂/𝑑𝑡 𝑖₂ ) = ( −1/𝑅𝐶 −1/𝐿𝐶 1 0 ) ( 𝑑𝑖₂/𝑑𝑡 𝑖₂ ) + ( 1/𝐿𝐶 0 ) 𝑖(𝑡) ( 𝑖₁ 𝑖₂ 𝑖₃ ) = ( 0 1/𝑅 𝐿 0 −𝐿 −1/𝑅 ) (𝑑𝑣(𝑡)/𝑑𝑡 𝑣(𝑡) ) + ( 0 0 1 ) 𝑖(𝑡)

2. Determine uma equação diferencial para o circuito série paralelo abaixo.

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜

De acordo com a equação de estado encontrada 𝑑2𝑣_𝐶 𝑑𝑡2 + ( 𝑅₁ 𝐿 + 1 𝑅2𝐶 )𝑑𝑣𝐶 𝑑𝑡 + ( 𝑅₁+ 𝑅₂ 𝑅2𝐿𝐶 ) 𝑣𝐶 = 1 𝐿𝐶𝑣(𝑡) ⇒𝑑 2_𝑣 𝐶 𝑑𝑡2 = − ( 𝑅₁ 𝐿 + 1 𝑅₂𝐶) 𝑑𝑣_𝐶 𝑑𝑡 − ( 𝑅₁+ 𝑅₂ 𝑅₂𝐿𝐶 ) 𝑣𝐶+ 1 𝐿𝐶𝑣(𝑡) temos que a variável 𝑣_𝐶 está relacionada com 𝑑𝑣_𝐶/𝑑𝑡:

𝑑 𝑑𝑡( 𝑑𝑣_𝐶 𝑑𝑡 ) = − ( 𝑅₁ 𝐿 + 1 𝑅₂𝐶) 𝑑𝑣_𝐶 𝑑𝑡 − ( 𝑅₁+ 𝑅₂ 𝑅₂𝐿𝐶 ) 𝑣𝐶 + 1 𝐿𝐶𝑣(𝑡) Então, obtendo a segunda equação de estado em que:

𝑑

𝑑𝑡(𝑣𝐶) = 𝑑𝑣_𝐶

𝑑𝑡 podemos formar a equação de estado na forma matricial:

𝑑 𝑑𝑡( 𝑑𝑣_𝐶/𝑑𝑡 𝑣_𝐶 ) ⏟ 𝐱 = (−𝑅1/𝐿 − 1/𝑅2𝐶 −(𝑅1+ 𝑅2)/𝑅2𝐿𝐶 1 0 ) ⏟ 𝐀 (𝑑𝑣𝐶/𝑑𝑡 𝑣_𝐶 ) ⏟ 𝐱 + (1/𝐿𝐶 0 ) ⏟ 𝐁 𝑣(𝑡)⏟ 𝑢(𝑡) ⇒ 𝑑 𝑑𝑡𝐱 = 𝐀𝐱 + 𝐁𝑢(𝑡) Definindo as variáveis de saída como as relações algébricas:

( 𝑣_𝑅1 𝑣𝐿 𝑖1 𝑖₂ 𝑖₃₎ = ( 𝑅1𝑖1 𝐿 𝑑𝑖1/𝑑𝑡 𝑖2+ 𝑖3 𝐶 𝑑𝑣_𝐶/𝑑𝑡 𝑣_𝑅2/𝑅_{2 )} = ( 𝑅1𝐶 𝑑𝑣𝐶/𝑑𝑡 + 𝑣𝐶𝑅1/𝑅2 𝐿𝐶 𝑑2_𝑣 𝐶/𝑑𝑡2+ (𝐿/𝑅2) 𝑑𝑣𝐶/𝑑𝑡 𝐶 𝑑𝑣_𝐶/𝑑𝑡 + 𝑣_𝐶/𝑅₂ 𝐶 𝑑𝑣𝐶/𝑑𝑡 𝑣_𝐶/𝑅₂ ) = ( 𝑅₁𝐶 𝑑𝑣_𝐶/𝑑𝑡 + 𝑣_𝐶𝑅₁/𝑅₂ −𝑅₁𝐶𝑑𝑣_𝐶/𝑑𝑡 − (𝑅₁/𝑅₂+ 1)𝑣_𝐶+ 𝑣(𝑡) 𝐶 𝑑𝑣𝐶/𝑑𝑡 + 𝑣𝐶/𝑅2 𝐶 𝑑𝑣_𝐶/𝑑𝑡 𝑣𝐶/𝑅2 ) ⇒ ( 𝑣_𝑅1 𝑣_𝐿 𝑖1 𝑖₂ 𝑖3 ) ⏟ 𝐲 = ( 𝑅₁𝐶 −𝑅₁𝐶 𝐶 𝐶 0 𝑅₁/𝑅₂ −𝑅₁/𝑅₂− 1 1/𝑅₂ 0 1/𝑅₂ ) ⏟ 𝐂 (𝑑𝑣𝐶/𝑑𝑡 𝑣_𝐶 ) ⏟ 𝐱 + ( 0 1 0 0 0) ⏟ 𝐃 𝑣(𝑡)⏟ 𝑢(𝑡) ⇒ 𝐲 = 𝐂𝐱 + 𝐃𝑢(𝑡) temos o modelo de espaços de estado totalmente definido.

3. Determine um conjunto de equações diferenciais para o sistema mecânico de translação abaixo. Este é um conjunto de dois graus de liberdade de translação, um para cada massa. Haverá uma equação diferencial para 𝑥₁ e outra para 𝑥₂, mas ambas serão acopladas. Qual é a ordem do sistema de equações diferenciais resultante?

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜

De acordo com as equações de estado encontradas

{ 𝑥̈₁+ 𝑏 𝑚₁𝑥̇1− 𝑏 𝑚₁𝑥̇2+ 𝑘₁+ 𝑘₂ 𝑚₁ 𝑥1− 𝑘₂ 𝑚₁𝑥2 = 0 𝑥̈₂+ 𝑏 𝑚₂𝑥̇2− 𝑏 𝑚₂𝑥̇1+ 𝑘₂ 𝑚₂𝑥2− 𝑘₂ 𝑚₂𝑥1= 1 𝑚₂𝐹(𝑡) e com 𝑥̇ = 𝑣, temos: { 𝑣̇₁= − 𝑏 𝑚₁𝑣1+ 𝑏 𝑚₁𝑣2− (𝑘₁+ 𝑘₂) 𝑚₁ 𝑥1+ 𝑘₂ 𝑚₁𝑥2 𝑣̇₂= 𝑏 𝑚₂𝑣1− 𝑏 𝑚₂𝑣2+ 𝑘₂ 𝑚₂𝑥1− 𝑘₂ 𝑚₂𝑥2+ 1 𝑚₂𝐹(𝑡) 𝑥̇₁ = 𝑣₁ 𝑥̇₂ = 𝑣₂ podemos formar a equação de estado na forma matricial:

𝑑 𝑑𝑡( 𝑣₁ 𝑣₂ 𝑥₁ 𝑥₂ ) ⏟ 𝐱 = ( −𝑏/𝑚₁ 𝑏/𝑚2 1 0 𝑏/𝑚₁ −𝑏/𝑚2 0 1 −(𝑘₁+ 𝑘₂)/𝑚₁ 𝑘₂/𝑚₂ 0 0 𝑘₂/𝑚₁ −𝑘2/𝑚2 0 0 ) ⏟ 𝐀 ( 𝑣₁ 𝑣₂ 𝑥₁ 𝑥₂ ) ⏟ 𝐱 + ( 0 1/𝑚₂ 0 0 ) ⏟ 𝐁 𝐹(𝑡)⏟ 𝑢(𝑡) ⇒ 𝑑 𝑑𝑡𝐱 = 𝐀𝐱 + 𝐁𝑢(𝑡) Definindo as variáveis de saída como as relações algébricas:

( 𝑣₁ 𝑣₂ 𝑥₁ 𝑥₂ ) ⏟ 𝐲 = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) ⏟ 𝐂 ( 𝑣₁ 𝑣₂ 𝑥₁ 𝑥₂ ) ⏟ 𝐱 + ( 0 0 0 0 ) ⏟ 𝐃 𝐹(𝑡)⏟ 𝑢(𝑡) ⇒ 𝐲 = 𝐂𝐱 + 𝐃𝑢(𝑡)

4. Determine um conjunto de equações diferenciais para o sistema mecânico de translação a seguir. Este é um conjunto de dois graus de liberdade de translação, um para cada massa. Haverá uma equação diferencial para 𝑥₁ e outra para 𝑥₂, mas ambas serão acopladas. Qual é a ordem do sistema de equações diferenciais resultante?

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜

De acordo com as equações de estado encontradas

{ 𝑥̈₁+ 𝑏 𝑚₁𝑥̇1− 𝑏 𝑚₁𝑥̇2+ 𝑘₁+ 𝑘₂ 𝑚₁ 𝑥1− 𝑘₂ 𝑚₁𝑥2= 1 𝑚₁𝐹(𝑡) 𝑥̈₂+ 𝑏 𝑚₂𝑥̇2− 𝑏 𝑚₂𝑥̇1+ 𝑘₂+ 𝑘₃ 𝑚₂ 𝑥2− 𝑘₂ 𝑚₂𝑥1= 0 e com 𝑥̇ = 𝑣, temos: { 𝑣̇₁ = − 𝑏 𝑚₁𝑣1+ 𝑏 𝑚₁𝑣2− (𝑘1+ 𝑘2) 𝑚₁ 𝑥1+ 𝑘₂ 𝑚₁𝑥2+ 1 𝑚₁𝐹(𝑡) 𝑣̇₂= 𝑏 𝑚2 𝑣₁− 𝑏 𝑚2 𝑣₂+ 𝑘2 𝑚2 𝑥₁−(𝑘2+ 𝑘3) 𝑚2 𝑥₂ 𝑥̇₁ = 𝑣₁ 𝑥̇₂ = 𝑣₂ podemos formar a equação de estado na forma matricial:

𝑑 𝑑𝑡( 𝑣₁ 𝑣₂ 𝑥₁ 𝑥₂ ) ⏟ 𝐱 = ( −𝑏/𝑚₁ 𝑏/𝑚₂ 1 0 𝑏/𝑚₁ −𝑏/𝑚₂ 0 1 −(𝑘₁+ 𝑘₂)/𝑚₁ 𝑘₂/𝑚₂ 0 0 𝑘₂/𝑚₁ −(𝑘₂+ 𝑘₃)/𝑚₂ 0 0 ) ⏟ 𝐀 ( 𝑣₁ 𝑣₂ 𝑥₁ 𝑥₂ ) ⏟ 𝐱 + ( 1/𝑚₁ 0 0 0 ) ⏟ 𝐁 𝐹(𝑡)⏟ 𝑢(𝑡) ⇒ 𝑑 𝑑𝑡𝐱 = 𝐀𝐱 + 𝐁𝑢(𝑡) Definindo as variáveis de saída como as relações algébricas:

( 𝑣₁ 𝑣₂ 𝑥₁ 𝑥₂ ) ⏟ 𝐲 = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) ⏟ 𝐂 ( 𝑣₁ 𝑣₂ 𝑥₁ 𝑥₂ ) ⏟ 𝐱 + ( 0 0 0 0 ) ⏟ 𝐃 𝐹(𝑡)⏟ 𝑢(𝑡) ⇒ 𝐲 = 𝐂𝐱 + 𝐃𝑢(𝑡) temos o modelo de espaços de estado totalmente definido.

5. Determine um modelo de espaço de estados para o sistema mecânico de translação abaixo. Este é um conjunto de dois graus de liberdade, um para cada massa. Adote como saída os deslocamentos 𝑥₁ e 𝑥₂.

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜

Através das premissas de forças para a mola e para o amortecedor, onde, Tomando 𝑥̇ = 𝑣, temos respectivamente

𝐹_𝑘 = 𝑘𝑥 e 𝐹𝑏 = 𝑏𝑣 ,

podemos balancear as forças do sistema com a força resultante para cada objeto de massa. Logo, obtemos o seguinte sistema para a massa 𝑚1 e 𝑚2:

{ 𝐹(𝑡) − 𝐹𝑘1− 𝐹𝑘2− 𝐹𝑏1= 𝑚1𝑣̇1 −𝐹𝑘₂− 𝐹𝑏₁− 𝐹𝑏₂= 𝑚2𝑣̇2 ⇒ { 𝐹(𝑡) − 𝑘1𝑥1− 𝑘2(𝑥1− 𝑥2) − 𝑏1(𝑣1− 𝑣2) = 𝑚1𝑣̇1 −𝑘₂(𝑥2− 𝑥1) − 𝑏1(𝑣2− 𝑣1) − 𝑏2𝑥̇2= 𝑚2𝑣̇2 ⇒ { 𝑣̇₁= − 𝑏1 𝑚₁𝑣1+ 𝑏₁ 𝑚₁𝑣2− (𝑘₁+ 𝑘₂) 𝑚₁ 𝑥1+ 𝑘₂ 𝑚₁𝑥2+ 1 𝑚₁𝐹(𝑡) 𝑣̇₂= 𝑏1 𝑚₂𝑣1− (𝑏₁+ 𝑏₂) 𝑚₂ 𝑣2+ 𝑘₂ 𝑚₂𝑥1− 𝑘₂ 𝑚₂𝑥2 𝑥̇₁= 𝑣₁ 𝑥̇₂= 𝑣₂ podemos formar a equação de estado na forma matricial:

𝑑 𝑑𝑡( 𝑣₁ 𝑣₂ 𝑥₁ 𝑥₂ ) ⏟ 𝐱 = ( −𝑏₁/𝑚₁ 𝑏1/𝑚2 1 0 𝑏₁/𝑚₁ −(𝑏₁+ 𝑏₂)/𝑚₂ 0 1 −(𝑘₁+ 𝑘₂)/𝑚₁ 𝑘₂/𝑚₂ 0 0 𝑘₂/𝑚₁ −𝑘2/𝑚2 0 0 ) ⏟ 𝐀 ( 𝑣₁ 𝑣₂ 𝑥₁ 𝑥₂ ) ⏟ 𝐱 + ( 1/𝑚₁ 0 0 0 ) ⏟ 𝐁 𝐹(𝑡)⏟ 𝑢(𝑡) ⇒ 𝑑 𝑑𝑡𝐱 = 𝐀𝐱 + 𝐁𝑢(𝑡) Definindo as variáveis de saída como as relações algébricas:

(𝑥_𝑥1 2) ⏟ 𝐲 = (0 0 0 0 1 0 0 1) ⏟ 𝐂 ( 𝑣₁ 𝑣₂ 𝑥₁ 𝑥₂ ) ⏟ 𝐱 + ( 0 0 0 0 ) ⏟ 𝐃 𝐹(𝑡)⏟ 𝑢(𝑡) ⇒ 𝐲 = 𝐂𝐱 + 𝐃𝑢(𝑡)

6. Determine um modelo de espaço de estados para o sistema mecânico de translação abaixo. Este é um conjunto de dois graus de liberdade de translação, um para cada massa. Adote como saída os deslocamentos 𝑥₁ e 𝑥₂.

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜

Através das premissas de forças para a mola e para o amortecedor, onde, Tomando 𝑥̇ = 𝑣, temos respectivamente

𝐹_𝑘 = 𝑘𝑥 e 𝐹𝑏 = 𝑏𝑣 ,

podemos balancear as forças do sistema com a força resultante para cada objeto de massa. Logo, obtemos o seguinte sistema para a massa 𝑚1 e 𝑚2:

{ −𝐹𝑘1− 𝐹𝑏1− 𝐹𝑘2− 𝐹𝑏2 = 𝑚1𝑣̇1 −𝐹𝑘₂− 𝐹𝑏₂+ 𝐹(𝑡) = 𝑚2𝑣̇2 ⇒ { −𝑘1𝑥1− 𝑏1𝑣1− 𝑘2(𝑥1− 𝑥2) − 𝑏2(𝑣1− 𝑣2) = 𝑚1𝑣̇1 −𝑘₂(𝑥2− 𝑥1) − 𝑏2(𝑣2− 𝑣1) + 𝐹(𝑡) = 𝑚2𝑣̇2 ⇒ { 𝑣̇₁ = −(𝑏1+ 𝑏2) 𝑚₁ 𝑣1+ 𝑏₂ 𝑚₁𝑣2− (𝑘1+ 𝑘2) 𝑚₁ 𝑥1+ 𝑘₂ 𝑚₁𝑥2 𝑣̇₂= 𝑏2 𝑚2 𝑣₁− 𝑏2 𝑚2 𝑣₂+ 𝑘2 𝑚2 𝑥₁− 𝑘2 𝑚2 𝑥₂+ 1 𝑚2 𝐹(𝑡) 𝑥̇₁= 𝑣₁ 𝑥̇₂= 𝑣₂ podemos formar a equação de estado na forma matricial:

𝑑 𝑑𝑡( 𝑣₁ 𝑣₂ 𝑥₁ 𝑥₂ ) ⏟ 𝐱 = ( −(𝑏₁+ 𝑏₂)/𝑚₁ 𝑏₂/𝑚₂ 1 0 𝑏₂/𝑚₁ −𝑏₂/𝑚₂ 0 1 −(𝑘₁+ 𝑘₂)/𝑚₁ 𝑘₂/𝑚₂ 0 0 𝑘₂/𝑚₁ −𝑘₂/𝑚₂ 0 0 ) ⏟ 𝐀 ( 𝑣₁ 𝑣₂ 𝑥₁ 𝑥₂ ) ⏟ 𝐱 + ( 0 1/𝑚₂ 0 0 ) ⏟ 𝐁 𝐹(𝑡)⏟ 𝑢(𝑡) ⇒ 𝑑 𝑑𝑡𝐱 = 𝐀𝐱 + 𝐁𝑢(𝑡) Definindo as variáveis de saída como as relações algébricas:

(𝑥_𝑥1 2) ⏟ 𝐲 = (0 0 0 0 1 0 0 1) ⏟ 𝐂 ( 𝑣₁ 𝑣₂ 𝑥₁ 𝑥₂ ) ⏟ 𝐱 + ( 0 0 0 0 ) ⏟ 𝐃 𝐹(𝑡)⏟ 𝑢(𝑡) ⇒ 𝐲 = 𝐂𝐱 + 𝐃𝑢(𝑡) temos o modelo de espaços de estado totalmente definido.

7. Seja o circuito RLC abaixo. Determine um modelo de espaço de estados para o mesmo. a) Explicite os vetores de estado 𝑥 e de entrada 𝑢 e mostre a equação de estado; b) Escolha como variáveis de saída as correntes 𝑖1, 𝑖2, 𝑖3 e mostre a equação de saída;

c) Apresente as matrizes 𝐴, 𝐵, 𝐶 e 𝐷 resultantes de sua representação.

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜

Sabendo de antemão as premissas dos componentes do sistema, em que: 𝑖₁= 𝑖₂+ 𝑖₃ 𝑣(𝑡) − 𝑣_𝑅1− 𝑣_𝐿1= 𝑣_𝐶1= 𝑣_𝑅2+ 𝑣_𝐿2+ 𝑣_𝐶2 𝑣_𝑅1= 𝑅₁𝑖₁ 𝑑 𝑑𝑡 𝑣_𝑅2 = 𝑅₂𝑖₃ 𝑑 𝑑𝑡 𝑣_𝐿1 = 𝐿₁𝑑𝑖1 𝑑𝑡 𝑣_𝐿2 = 𝐿₂𝑑𝑖3 𝑑𝑡 𝑖₂= 𝐶₁𝑑𝑣𝐶1 𝑑𝑡 𝑖₃= 𝐶₂𝑑𝑣𝐶2 𝑑𝑡 podemos perceber que uma das correntes é linearmente dependente das outras, e cada um dos potenciais dos capacitores dependem das correntes dos indutores, que são taxas de variações independentes, podemos montar uma variável de controle 𝐱 tal que:

𝐱 = ( 𝑖₁ 𝑖₃ 𝑣_𝐶1 𝑣_𝐶 2 )

Através das premissas, temos, para 𝑖₁:

𝑣(𝑡) − 𝑣_𝑅1− 𝑣_𝐿1 = 𝑣_𝐶1 ⇒ 𝑣(𝑡) − 𝑅₁𝑖₁− 𝐿₁𝑑𝑖1 𝑑𝑡 = 𝑣𝐶1 ⇒𝑑𝑖1 𝑑𝑡 = − 𝑅₁ 𝐿₁𝑖1− 1 𝐿₁𝑣𝐶1+ 1 𝐿₁𝑣(𝑡) Para 𝑖3: 𝑣_𝐿2 = 𝐿₂𝑑𝑖3 𝑑𝑡 ⇒𝑑𝑖3 𝑑𝑡 = 𝑣_𝐶 1− 𝑣𝑅2− 𝑣𝐶2 𝐿₂ ⇒𝑑𝑖3 𝑑𝑡 = − 𝑅₂ 𝐿₂𝑖3+ 1 𝐿₂𝑣𝐶1− 1 𝐿₂𝑣𝐶2

Para 𝑣𝐶1: 𝑑𝑣_𝐶1 𝑑𝑡 = 𝑖2 𝐶₁ ⇒𝑑𝑣𝐶1 𝑑𝑡 = 1 𝐶₁𝑖1− 1 𝐶₁𝑖3 E para 𝑣𝐶2: 𝑑𝑣_𝐶2 𝑑𝑡 = 1 𝐶₂𝑖3

Podemos então formar a equação de estado na forma matricial: 𝑑 𝑑𝑡( 𝑖₁ 𝑖₃ 𝑣_𝐶1 𝑣_𝐶2 ) ⏟ 𝐱 = ( −𝑅₁/𝐿₁ 0 1/𝐶₁ 0 0 −𝑅₂/𝐿₂ 1/𝐶₁ 1/𝐶₂ −1/𝐿₁ 1/𝐿₂ 0 0 0 −1/𝐿₂ 0 0 ) ⏟ 𝐀 ( 𝑖₁ 𝑖₃ 𝑣_𝐶1 𝑣_𝐶2 ) ⏟ 𝐱 + ( 1/𝐿₁ 0 0 0 ) ⏟ 𝐁 𝑣(𝑡)⏟ 𝑢(𝑡) ⇒ 𝑑 𝑑𝑡𝐱 = 𝐀𝐱 + 𝐁𝑢(𝑡)

Assim, podemos encontrar as variáveis de saída como as relações algébricas:

( 𝑖₁ 𝑖₂ 𝑖₃ ) ⏟ 𝐲 = ( 1 1 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 ) ⏟ 𝐂 ( 𝑖1 𝑖₃ 𝑣_𝐶 1 𝑣_𝐶2 ) ⏟ 𝐱 + ( 0 0 0 ) ⏟ 𝐃 𝑣(𝑡) ⏟ 𝑢(𝑡) ⇒ 𝐲 = 𝐂𝐱 + 𝐃𝑢(𝑡)