CURSOS DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA PROF: JEREMIAS STEIN RODRIGUES DISCIPLINA: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDO)
São equações diferenciais do tipo 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
Observamos as equações diferenciais de primeira ordem de um ponto de vista geométrico (campos de direções) e de um ponto de vista numérico (método de Euler). E do ponto de vista simbólico? Seria bom ter uma fórmula explícita para uma solução de uma equação diferencial.
Infelizmente, isso não é sempre possível. Mas, nesta seção, examinaremos um tipo de equação diferencial que pode ser resolvida explicitamente.
Uma equação separável é uma equação diferencial de primeira ordem na qual a expressão para 𝑑𝑦/𝑑𝑥 pode ser fatorada como uma função de x multiplicada por uma função de y. Em outras palavras, pode ser escrita na forma
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑔(𝑥)ℎ(𝑦)
Definição: Uma equação diferencial de primeira ordem da forma 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑔(𝑥)ℎ(𝑦) é chamada de separável ou variáveis separáveis
Exemplo: Verifique quais das seguintes EDO's são separáveis.
𝑎)𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝑦2𝑥𝑒3𝑥+4𝑦 𝑏)𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝑦 + sin 𝑥
Como resolver uma EDO separável?
Seja a EDO separável
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑔(𝑥)ℎ(𝑦) temos então que,
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
VARIÁVEIS SEPARÁVEIS
1 ℎ(𝑦)
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑔(𝑥) fazendo 1
ℎ(𝑦) = 𝑝(𝑦), temos
𝑝(𝑦)𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑔(𝑥) e portanto
∫ 𝑝(𝑦) 𝑑𝑦 = ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑃(𝑦) = 𝐺(𝑥) + 𝐶
Exemplo: Resolva as EDO's separáveis.
𝑎) (1 + 𝑥)𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 = 0
𝑏)𝑑𝑦
𝑑𝑥= −𝑥2 𝑦2
𝑐)𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 6𝑥2 2𝑦 + cos 𝑦
𝑑)(𝑒2𝑦− 𝑦) cos 𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝑒𝑦sin 2𝑥 , 𝑦(0) = 0
Quando 𝑔(𝑥) = 0, a equação linear é chamada de homogênea; do contrário é não homogênea.
Forma Padrão: Dividindo ambos os lados da equação acima pelo coeficiente dominante 𝑟(𝑥), obtemos uma forma mais conveniente, a forma padrão, de uma equação linear:
Um exemplo de uma equação linear é 𝑥𝑦′+ 𝑦 = 2𝑥 porque, para 𝑥 ≠ 0, esta pode ser escrita na forma
𝑦′+1
𝑥𝑦 = 2
Definição: Uma equação diferencial de primeira ordem da forma 𝑟(𝑥)𝑑𝑦
𝑑𝑥+ ℎ(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) é chamada de equação linear.
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥) EQUAÇÕES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM
Observe que essa equação diferencial não é separável, porque é impossível fatorar a expressão para 𝑦′ como uma função de 𝑥 vezes uma função de 𝑦. Mas ainda podemos resolver a equação observando que, pela Regra do Produto,
𝑥𝑦′+ 𝑦 = (𝑥𝑦)′ e assim podemos escrever a equação como
(𝑥𝑦)′= 2𝑥 Se integrarmos ambos os lados dessa equação, obtemos
𝑥𝑦 = 𝑥2 + 𝐶 𝑜𝑢 𝑦 = 𝑥 +𝐶 𝑥 Se nos tivesse sido dada a equação diferencial na forma 𝑦′+1
𝑥𝑦 = 2, teríamos de fazer uma etapa preliminar multiplicando cada lado da equação por x.
Ocorre que toda equação diferencial linear de primeira ordem pode ser resolvida de uma maneira similar pela multiplicação de ambos os lados da EDO por uma função adequada 𝜇(𝑥), chamada fator integrante. Tentamos encontrar 𝜇 de modo que o lado esquerdo da EDO, quando multiplicado por 𝜇(𝑥), torna-se a derivada do produto 𝜇(𝑥)𝑦:
𝜇(𝑥)(𝑦′+ 𝑃(𝑥)𝑦) = 𝜇(𝑥)𝑓(𝑥)
Se pudermos encontrar tal função 𝜇(𝑥), a EDO, 𝑦′+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥) ficará (𝜇(𝑥)𝑦)′= 𝜇(𝑥)𝑓(𝑥)
Integrando ambos os lados, temos
𝜇(𝑥)𝑦 = ∫ 𝜇(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶
de modo que a solução será
𝑦(𝑥) = 1
𝜇(𝑥)[∫ 𝜇(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶]
Para encontrarmos esse 𝜇, expandimos 𝜇(𝑥)(𝑦′+ 𝑃(𝑥)𝑦) = (𝜇(𝑥)𝑦)′ e cancelamos termos:
𝜇(𝑥)𝑦′+ 𝜇(𝑥)𝑃(𝑥)𝑦 = 𝜇′(𝑥)𝑦 + 𝜇(𝑥)𝑦′ 𝜇(𝑥)𝑃(𝑥) = 𝜇′(𝑥)
Esta é uma equação separável para 𝜇, que resolvemos como a seguir:
∫𝑑𝜇
𝜇 = ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
ln|𝜇| = ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶
𝜇 = 𝐴𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
em que 𝐴 = ±𝑒𝐶. Estamos procurando um fator integrante particular, não o mais geral; assim, tomamos 𝐴 = 1 e usamos
𝜇(𝑥) = 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
ExemploS. Resolva as seguintes EDO's Lineares.
𝑎)𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 3𝑥2𝑦 = 6𝑥2 𝑏) 𝑦′+ 2𝑥𝑦 = 1 𝑐) 𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑥− 4𝑦 = 𝑥6𝑒𝑥
𝑑) (𝑥2− 9)𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑥𝑦 = 0 𝑒)𝑥2𝑦′+ 𝑥𝑦 = 1; 𝑦(1) = 2
Antes de considerar o conceito de equação diferencial homogênea de primeira ordem e seu método de solução, precisamos primeiro examinar de perto a natureza de uma função homogênea.
Começamos com a definição deste conceito.
Exemplo: São homogêneas as seguintes funções.
𝑎) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 5𝑦2 𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥3 2+ 𝑦2 𝑐) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2√𝑥𝑦 − 𝑦
(𝑖) Ponha a equação 𝑟(𝑥)𝑑𝑦
𝑑𝑥+ ℎ(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) na forma padrão 𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥)
(𝑖𝑖) Identifique 𝑃(𝑥) na forma padrão e então encontre o fator integrante 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
(𝑖𝑖𝑖) Multiplique a forma padrão da equação pelo fator integrante. O lado esquerdo da equação resultante é automaticamente a derivada do produto do fator integrante por 𝑦.
(𝑖𝑣) Integre ambos os lados dessa última equação.
Definição: Função Homogênea Se uma função 𝑓 satisfaz
𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = 𝑡𝑛𝑓(𝑥, 𝑦)
para algum número real 𝑛, então dizemos que 𝑓 é uma função homogênea de grau 𝑛.
RESOLVENDO UMA EQUAÇÃO LINEAR DE PRIMEIRA ORDEM
EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS
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Em outras palavras, 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 é homogênea se
𝑀(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = 𝑡𝑛𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑒 𝑁(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = 𝑡𝑛𝑁(𝑥, 𝑦) Definição: Equação Diferencial Homogênea
Uma equação diferencial da forma
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
é chamada de homogênea se ambos os coeficientes 𝑀 𝑒 𝑁 são funções homogêneas do mesmo grau.
A equação diferencial homogênea
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
pode ser resolvida por meio de uma substituição algébrica. Especificamente, a substituição 𝑦 = 𝑢𝑥 𝑜𝑢 𝑥 = 𝑣𝑦
em que 𝑢 𝑒 𝑣 são as novas variáveis independentes, transformará a equação em uma equação diferencial de primeira ordem separável.
Primeiramente reescrevemos a EDO
𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = −𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑑𝑥= −𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑁(𝑥, 𝑦)
Agora, seja 𝑦 = 𝑢𝑥, então, sua diferencial 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝑢 + 𝑥𝑑𝑢
𝑑𝑥 , substituindo na equação acima temos
𝑢 + 𝑥𝑑𝑢
𝑑𝑥 = −𝑀(𝑥, 𝑢𝑥) 𝑁(𝑥, 𝑢𝑥)
𝑥𝑑𝑢
𝑑𝑥 = −𝑀(𝑥, 𝑢𝑥) 𝑁(𝑥, 𝑢𝑥)− 𝑢 EQUAÇÃO DIFERENCIAL HOMOGÊNEA
MÉTODO DE SOLUÇÃO
Exemplo: Resolva as seguintes EDO's homogêneas.
𝑎) (𝑥2+ 𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑥2− 𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0 𝑏) (2√𝑥𝑦 − 𝑦)𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦 = 0 𝑐) 2𝑥3𝑦𝑑𝑥 + (𝑥4+ 𝑦4)𝑑𝑦 = 0
𝑑) 𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑦 + 𝑥𝑒𝑦𝑥, 𝑦(1) = 1
Se 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) é uma função da duas variáveis com derivadas parciais primeiras contínuas em uma região 𝑅 do plano 𝑥𝑦, sua diferencial (também chamada de diferencial total) é;
Agora, se 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐, segue que
Em outras palavras, dada uma família de curvas a um parâmetro 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐, podemos gerar uma equação diferencial de primeira ordem computando a diferencial. Por exemplo, se 𝑥2− 5𝑥𝑦 + 𝑦3 = 𝑐 temos
(2𝑥 − 5𝑦)𝑑𝑥 + (−5𝑥 + 3𝑦2)𝑑𝑦 = 0
Para nossos propósitos, é importante considerar o problema inverso, isto é, dada uma EDO de primeira ordem como podemos reconhecer que ela é equivalente à equação diferencial 𝑑(𝑥2− 5𝑥𝑦 + 𝑦3) = 0.
𝑑𝑧 =𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑑𝑥 +𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑑𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑑𝑥 +𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑑𝑦 = 0
Definição: Equação Exata
Uma expressão diferencial 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 é uma diferencial exata em uma região 𝑅 do plano 𝑥𝑦 se correspem que à diferencial de alguma função 𝑓(𝑥, 𝑦). Uma equação diferencial de primeira ordem da forma
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
é chamada de equação exata se valer a seguinte igualdade
𝜕𝑀
𝜕𝑦 = 𝜕𝑁
𝜕𝑥 EQUAÇÃO DIFERENCIAL EXATA
Exemplos: Verifique se as EDO's são exatas.
𝑎) 2𝑥𝑦 𝑑𝑥 + (𝑥2− 1)𝑑𝑦 = 0 𝑏) (𝑒2𝑦− 𝑦 cos(𝑥𝑦))𝑑𝑥 + (2𝑥𝑒2𝑦 − 𝑥 cos(𝑥𝑦) + 2𝑦)𝑑𝑦 = 0
𝑐)𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝑥𝑦2− cos 𝑥 sin 𝑥 𝑦(1 − 𝑥2)
Dada uma equação diferencial na forma
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
determine se é da forma exata, se for, então existe uma função 𝑓 para a qual
𝜕𝑓
𝜕𝑥= 𝑀(𝑥, 𝑦)
Podemos encontrar 𝑓 integrando 𝑀(𝑥, 𝑦) em relação a 𝑥 e mantendo 𝑦 constante:
𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦)
em que a função arbitrária 𝑔(𝑦) é a "constante" de integração. Diferenciando a expressão acima em relação a 𝑦 e supondo
𝜕𝑓
𝜕𝑦= 𝑁(𝑥, 𝑦) temos então que:
𝜕𝑓
𝜕𝑦 = 𝜕
𝜕𝑦∫ 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑔′(𝑦) = 𝑁(𝑥, 𝑦) Isso nos dá
𝑔′(𝑦) = 𝑁(𝑥, 𝑦) − 𝜕
𝜕𝑦∫ 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 Agora integramos em relação a 𝑦 e substituímos o resultado em
𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦)
a solução implícita da equação é 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐
Exemplos: Resolva as seguintes EDO's Exatas.
𝑎) 2𝑥𝑦 𝑑𝑥 + (𝑥2− 1)𝑑𝑦 = 0 𝑏) (𝑒2𝑦− 𝑦 cos(𝑥𝑦))𝑑𝑥 + (2𝑥𝑒2𝑦 − 𝑥 cos(𝑥𝑦) + 2𝑦)𝑑𝑦 = 0
𝑐)𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝑥𝑦2− cos 𝑥 sin 𝑥
𝑦(1 − 𝑥2) ; 𝑦(0) = 2
MÉTODO DE RESOLUÇÃO DE UMA EDO EXATA
Lembre-se das EDO's lineares que o lado esquerdo da equação linear 𝑦′+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥) pode ser transformado em uma derivada quando multiplicamos a equação por um fator integrante. A mesma ideia básica funciona algumas vezes para uma equação diferencial não exata 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0. Ou seja, é possível, algumas vezes, encontrar um fator integrante 𝜇(𝑥, 𝑦) de tal forma que, quando multiplicado por ele, o lado esquerdo de
𝜇(𝑥, 𝑦)𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝜇(𝑥, 𝑦)𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
é uma diferencial exata. Na tentativa de encontrar 𝜇, consideremos o critério para uma diferencial ser exata. A equação 𝜇(𝑥, 𝑦)𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝜇(𝑥, 𝑦)𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 se e somente se (𝜇𝑀)𝑦 = (𝜇𝑁)𝑥, em que os subscritos representam derivadas parciais. Pela regra da diferenciação do produto, a última equação é igual a 𝜇𝑀𝑦+ 𝜇𝑦𝑀 = 𝜇𝑁𝑥+ 𝜇𝑥𝑁 ou ainda
𝜇𝑥𝑁 − 𝜇𝑦𝑀 = 𝜇(𝑀𝑦− 𝑁𝑥)
Embora 𝑀, 𝑁, 𝑀𝑦 𝑒 𝑁𝑥 sejam funções conhecidas de 𝑥 e 𝑦, a dificuldade aqui para determinar 𝜇(𝑥, 𝑦) com base na equação 𝜇𝑥𝑁 − 𝜇𝑦𝑀 = 𝜇(𝑀𝑦− 𝑁𝑥), é que precisamos resolver uma equação diferencial parcial. Como não estamos preparados para isso, vamos fazer uma hipótese simplificadora.
Suponha que 𝜇 dependa somente de 𝑥. Nesse caso, 𝜇𝑥 =𝑑𝑢
𝑑𝑥 e a equação anterior fica 𝑑𝑢
𝑑𝑥 = 𝑀𝑦− 𝑁𝑥 𝑁 𝜇 Continuamos em um impasse, se o quociente 𝑀𝑦−𝑁𝑥
𝑁 depende tanto de 𝑥 quanto de 𝑦. Contudo, se depois de terem sido feitas todas as simplificações algébricas óbvias, o quociente 𝑀𝑦−𝑁𝑥
𝑁 resultar em uma função dependente somente da variável 𝑥, então 𝑑𝑢
𝑑𝑥 será uma EDO de primeira ordem. Podemos determinar 𝜇, pois 𝑑𝑢
𝑑𝑥 é separável bem como linear.. Analogamente, segue de 𝜇𝑥𝑁 − 𝜇𝑦𝑀 = 𝜇(𝑀𝑦− 𝑁𝑥)
que se 𝜇 depender somente da variável 𝑦, então 𝑑𝑢
𝑑𝑦= 𝑁𝑥− 𝑀𝑦
𝑀 𝜇
Nesse caso, se 𝑁𝑥−𝑀𝑦
𝑀 for uma função somente de 𝑦, então poderemos resolver a equação acima para 𝜇. Vamos resumir os resultados para a equação diferencial.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS QUASE EXATAS
Exemplo: Resolva a seguinte EDO não exata transformando-a em exata.
𝑎) 𝑥𝑦 𝑑𝑥 + (2𝑥2+ 3𝑦2− 20)𝑑𝑦 = 0 𝑏) (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑦 = 0
Dada a equação não exata
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
se 𝑀𝑦−𝑁𝑥
𝑁 for uma função somente de 𝑥, então um fator integrante para a equação diferencial será
𝜇(𝑥) = 𝑒∫
𝑀𝑦−𝑁𝑥 𝑁 𝑑𝑥
se 𝑁𝑥−𝑀𝑦
𝑀 for uma função somente de y, então um fator integrante para a equação diferencial será
𝜇(𝑦) = 𝑒∫
𝑁𝑥−𝑀𝑦 𝑀 𝑑𝑦
