MODELAGEM DINÂMICA DO ESCOAMENTO BIFÁSICO EM RISERS DE EXPLORAÇÃO DE PETRÓLEO EM ÁGUAS PROFUNDAS

MODELAGEM DINÂMICA DO ESCOAMENTO

BIFÁSICO EM RISERS DE EXPLORAÇÃO

DE PETRÓLEO EM ÁGUAS PROFUNDAS

DYNAMIC MODELING OF TWO PHASE FLOW IN

DEEP WATER OIL EXPLORATIONS RISERS

MODELADO DINÁMICO DEL ESCURRIMIENTO BIFÁSICO EN

RISERS DE EXPLORACIÓN DE PETRÓLEO EN AGUAS PROFUNDAS

Jaime Neiva Miranda de Souza1 José Luiz de Medeiros1 André Luiz Hemerly Costa1

RESUMO

Uma etapa fundamental na produção de petróleo em águas profundas é a elevação do óleo de profundidades superiores a 1 000 metros até a superfície. O principal componente de todas as tubulações envolvidas nesse transporte é um duto vertical denominado riser, de natureza rígida ou flexível, que conecta um trecho de tubulação submarina à plataforma.

A complexidade nessa operação é bastante elevada já que compreende não-apenas o escoamento do petróleo, mas também de gás e, em algumas situações, água e areia. O conhecimento do comportamento dinâmico do escoamento em um riser de produção de petróleo é de fundamental importância no controle das operações de uma plataforma. Esse trabalho propõe o desenvolvimento de uma ferramenta computacional para simulação dinâmica de redes de escoamento bifásico correspondente a uma fase líquida (incompressível) e uma fase gasosa (compressível) que possibilita a determinação do comportamento temporal da pressão, da fração de ocupação das fases (hold up) e das vazões mássicas de cada fase ao longo do comprimento dos dutos.

ABSTRACT

A fundamental stage in the deep water production of oil is the elevation of the oil from depths over 1 000 meters up to the surface. The main component of all the piping involved in this transport is a vertical duct called riser, of rigid or flexible nature, which connects a section of subsea piping to the rig. The complexity of this operation is very high, since it involver not only the flow of oil, but also the flow of gas and, in some situations, water and sand. The knowledge of the dynamic behavior of the flow in an oil production riser is fundamentally important in the control of the operations of a rig. Herein we propose the development of a computer tool for dynamic simulation of two phase flow networks corresponding to one liquid phase (non compressible) and one gas phase (compressible), allowing the determination of the timely behavior of the pressure, of the occupation fraction of the phases (hold up) and the mass flows of each phase along the length of the ducts.

RESUMEN

Una etapa fundamental en la producción de petróleo en aguas profundas es la elevación del petróleo de profundidades

1 _{Laboratório SDV – Dutos, Escola de Química, Universidade do Federal do Rio de Janeiro.} e-mail:jaimeneiva@uol.com.br

superiores a 1 000 metros hasta la superficie. El principal componente de todas las tuberías involucradas en ese transporte es un conducto vertical denominado riser, de naturaleza rígida o flexible, que conecta un tramo de tubería submarina a la plataforma. La complejidad en esa operación es bastante elevada, ya que comprende no solo el escurrimiento del petróleo sino también de gas y, en algunas situaciones, agua y arena. El conocimiento del comportamiento dinámico del derrame en un riser de producción de petróleo es de fundamental importancia en el control de las operaciones de una plataforma. Se propone, aquí, el desarrollo de una herramienta computacional para simulación dinámica de redes de derrame bifásico correspondiente a una fase líquida (incompresible) y una fase gaseosa (compresible), que posibilita la determinación del comportamiento temporal de la presión, de la fracción de ocupación de las fases (hold up) y de los caudales másicos de cada fase a lo largo de los conductos.

OBJETIVO

O estudo aqui apresentado possui os seguintes objetivos:

(i) desenvolvimento de um modelo dinâmico de rede escoamento bifásico;

(ii) desenvolvimento do software MF-SIM para a simulação de redes de escoamento multifásico estratificado ou anular;

(iii) aplicação desse modelo na simulação de um sistema de exploração de petróleo em águas profundas.

1. INTRODUÇÃO

A Petrobras é a líder mundial em exploração de petróleo em águas profundas e ultraprofundas. Essa hegemonia fez-se necessária devido às características das reservas nacionais que, ao final de 1999, compreendiam 17,3 bilhões de barris onde: 14% em terra firme, 11% em águas rasas, 25% em águas profundas e 50% em águas ultraprofundas. Informação essa reforçada pela descoberta, em dezembro de 2002, no Espírito Santo, do campo batizado como Jubarte, perfurado a uma profundidade de 1 500 metros, com reservas avaliadas em 300 milhões de barris de petróleo. Diante desse contexto, cada vez mais se torna necessário o desenvolvimento de tecnologias de produção de petróleo em águas profundas.

Uma etapa fundamental na produção de petróleo em águas profundas é a elevação do óleo de profundidades superiores a 1 000 metros até a superfície. O principal componente de todas as tubulações envolvidas nesse transporte é um duto vertical denominado riser, de natureza rígida ou flexível, que conecta um trecho de tubulação submarina à plataforma. A complexidade nessa operação é bastante elevada já que compreende não-apenas o escoamento do petróleo, mas também de gás e, em algumas situações, água e areia. O conhecimento do comportamento dinâmico do escoamento em um riser de produção de petróleo é de fundamental importância no controle das operações de uma plataforma.

Com essa motivação, propõe-se, aqui, o desenvolvimento de uma ferramenta computacional para simulação dinâmica de redes de escoamento bifásico correspondente a uma fase líquida (incompressível) e uma fase gasosa (compressível) que possibilita a determinação do comportamento temporal da pressão, da fração de ocupação das fases (hold up) e das vazões mássicas de cada fase ao longo do comprimento dos dutos. O modelo está baseado nas equações de continuidade e de momento de cada fase, compondo um sistema rígido de quatro equações diferenciais parciais ordinárias não-lineares não-homogêneas de primeira ordem. A solução desse sistema é feita via métodos Runge-Kutta, com ajuste de passo após discretização dos trechos de tubulação via Método dos Elementos Finitos, aplicando o formalismo de Galerkin no espaço com funções do tipo pulso triangular. Essa metodologia também fornece a solução estacionária para o escoamento multifásico através da solução do sistema de equações não-lineares obtidas após a discretização no espaço. Simulações dinâmicas do escoamento de gás e líquido simultaneamente em um duto envolvem a elaboração de códigos extremamente complexos que se refletem nos preços dos simuladores comerciais usualmente utilizados na indústria de gás e óleo. Como citado por Masella et al. (1) e Taitel et al. (2), os simuladores OLGA, PLAC, TACITE e TRAFLOW utilizam aproximações do tipo quasi-estacionária ou do tipo drift

flux. É desconhecida a existência de simuladores comerciais que utilizem uma abordagem rigorosa

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

O escoamento estacionário bifásico foi amplamente estudado nas últimas décadas. Os primeiros trabalhos correspondem a análises experimentais para a determinação de padrões de escoamento bifásico (3)_{. Muitos} outros pesquisadores restringiram-se a sistemas ar-água desenvolvendo modelos empíricos de escoamento (4 - 6)_. O desenvolvimento de simuladores dinâmicos bifásicos iniciou-se na indústria nuclear, porém com um enfoque totalmente diferente do buscado nas indústrias de petróleo e gás. No contexto da indústria nuclear, o maior interesse reside nos transientes de elevada velocidade, permitindo a consideração de quasi-equilíbrio nas equações de balanço de momento, simplificando em muito o modelo.

Taitel et al. (7) propôs um modelo em que apenas a equação de continuidade do liquido é rigorosamente tratada, enquanto a equação de continuidade do gás e as equações de momento são assumidas como quasi-estacionárias. Essa abordagem possibilita a obtenção de boa estimativa em escoamentos, onde a fase gás escoa em altas velocidades, porém impede a verificação de acúmulo de gás dentro na linha.

Seguindo o processo evolutivo, Taitel et al. (2) _{propuseram um novo modelo, agora considerando equações de} continuidade rigorosas para ambas as fases, mas mantendo a hipótese quasi-estacionária para as equações de momento.

Outra linha de pesquisa buscou a unificação das duas equações de momento e a inclusão de relações algébricas entre variáveis do modelo. Estes modelos são denominados drift-flux (1)_.

Pires Neto et al. (8) apresentam o desenvolvimento de um modelo dinâmico de escoamento compressível, adiabático, unidimensional, de um fluido homogêneo com temperatura e viscosidade constantes. Esse trabalho utiliza metodologias propostas por Pires Neto tanto na descrição do modelo termodinâmico de escoamento quanto na resolução numérica do modelo.

3. MODELAGEM DINÂMICA DE REDES ESCOAMENTO BIFÁSICO

O modelo matemático utilizado para a descrição do comportamento transiente do escoamento bifásico em um duto é composto por equações de continuidade e momento para cada fase. Devido à complexidade deste sistema físico, algumas simplificações foram utilizadas de modo a reduzir o esforço computacional, são elas: (i) Fluxo unidimensional: as variáveis de estado assumem um valor único em cada posição axial ao longo do duto; (ii) Relação termodinâmica de escoamento para a fase gás de natureza simplificada; (iii) viscosidades e diâmetro do duto constantes ao longo do escoamento; (iv) fluidos imiscíveis; (v) líquido incompressível; (vi) padrão de escoamento anular ou estratificado ao longo de todo o duto. A aplicação dos dois conjuntos de equações, considerando-se as premissas anteriores, gera um sistema de quatro equações diferenciais parciais não-lineares, não-homogêneas de ordem 1, referentes à fração de área de seção transversal ocupada pelo gás (α), a pressão (P), a vazão mássica da fase líquida (qL) e vazão mássica da fase gás (qG).

3.1. Equações da Continuidade e da Quantidade de Movimento das Fases

As equações da continuidade e da quantidade de movimento são obtidas aplicando-se o princípio da conservação de massa e momento, respectivamente, em um volume de controle.

Fig. 1 - Volume de controle. Fig. 1 - Control volume.

Considerando a situação descrita na figura 1, chega-se à apresentação do modelo (Apêndice 1) contendo, respectivamente, as expressões finais da continuidade da fase líquida e da fase gás e as expressões finais da quantidade de movimento da fase líquida e da fase gás:

(1)             ∂ ∂ + ∂ ∂ − − = ∂ ∂ x L q L x G q G T P A T P t T P ρ ρ γ α γ 1 0 1 (2) ) 1 )( ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 0 2 ) 1 ( 2 0 α θ ρ ψ ψ α ρ α α α ρ − − − − + ∂ ∂ − − ∂ ∂ − − ∂ ∂ − − = ∂ ∂         gsen L A IL I K L L K x L q L A L q x T P AP x L A L q T P AP t L q (3) (4)

Definindo-se um vetor de estados

y

T

(

x

,

t

)

=

[

α

P

_T

q

_L

q

_G

]

, o modelo pode ser expresso em termos residuais: (5)

























=

10 9 8 6 5 4 3 12 1

0

0

0

0

0

0

0

)

(

F

F

F

F

F

F

F

F

F

y

A

,

























=

11 7

0

0

)

(

F

F

y

B

x

x+∆x

θ

q

G

q

L

A

G

A

L γ γ γ γ α θ ρ ψ ψ α ρ α α ρ γα ρ α 1 1 1 1 ) ( 2 0 0 2 0 2 0 1 0 2 0 T G IG I G G G T G G T G G T T T G G G P gsen A K K x q P A q x P A q P AP x P P A q AP t q − − − + ∂ ∂ − ∂ ∂         − − ∂ ∂         − − = ∂ ∂ + x q A t L L ∂ ∂ = ∂ ∂

ρ

α

1 ) ( ) ( B y x y y A t y +       ∂ ∂ +       ∂ ∂ = ℜ

A F L

ρ

1 1 =− ;

ρ

α

γ

A

P

F

L T

=

12 ,

_ρ

_α

γ

γ γ 0 1 3 G T

A

P

F

−

=

,













−

−

−

=

₀ 2 ₂ 4

)

1

(

α

ρ

_L L T

A

q

P

AP

F

, 5 0

)

1

(

P

A

F

=

−

α

) 1 ( 2 6 =

_ρ

₋

_α

L L A q F ,

A

g

K

K

F

₇

=

_L

ψ

_L

+

_I

ψ

_IL

+

ρ

_L

sen(

θ

)(

1

−

α

)

_,

















−

=

γ

α

ρ

₂ 1 0 2 0 8 T G G T

P

A

q

P

AP

F

,

















−

=

₊ γ

α

γρ

α

₁ 1 0 2 0 9 T G G

P

A

q

AP

F

, γ

α

ρ

1 0 10

2

T G G

P

A

q

F

=

,

A

g

P

K

K

F

_G

ψ

_{G I}

ψ

_IG

ρ

_{G T}1γ

_sen(

θ

₎

α

0 11

=

+

+

(6) (7) Estas equações constituem generalizações do modelo de Pires Neto et al. (8) para escoamento dinâmico compressível.

3.2. Resolução Numérica do Modelo de Escoamento

O modelo representado pelas equações (1-4) ou (5-7) foi resolvido no espaço através do método dos elementos finitos usando o formalismo Galerkin (Cook, 1981). Esse procedimento permite a redução das equações diferenciais parciais do modelo a um sistema de equações diferenciais ordinárias no tempo.

O método é aplicado ao duto k, através da discretização em Nk elementos de tamanho

h

k

=

L

k

/

N

k

delimitados pelo conjunto de nós

j

=

0

,

1

,

...

,

N

_k, sendo o elemento j delimitado pelos nós j-1 e j. Define-se um vetor de estados nodais empilhados:

[

_T

]

T N T T k y y y k Y = _{0 1 L}

O aproximador para o vetor de estados ao longo do duto é definido como um truncamento em séries de Fourier a partir da base

φ

_j

(x

)

correspondente a uma função pulso triangular como mostrado a seguir:

∑

=

j j j

x

t

y

t

x

y

(

,

)

(

)

(

(

))

~

_φ

_θ

_{, onde} k k

h

jh

x

x

)

(

)

/

(

=

−

θ

(8)















≥

<

≤

−

<

≤

−

+

−

<

=

.

1

)

(

,

0

,

1

)

(

0

),

(

1

,

0

)

(

1

),

(

1

,

1

)

(

,

0

))

(

(

x

x

x

x

x

x

x

j

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

φ

(9)

onde yj(t) representa o vetor de estado para o nó j da malha de discretização.

O procedimento Galerkin prevê a substituição de (8) em (5), gerando-se o vetor de resíduos em cada elemento j:

~

₍

~

₎

~

₍

~

( )

₎

(10) ) ( ) ( ) ( ) ( j j j j j

y

B

x

y

y

A

t

y

+













∂

∂

+













∂

∂

=

ℜ

Aplicando as propriedades das funções base φj(θ), explicitadas no Anexo 2 deste trabalho, a (10) chega-se a:

(11) Impondo-se a ortogonalidade entre cada função pulso triangular com ℜ:

(12) ₀

0

} 1 { ) 1 (

₌

ℜ

∫

φ

dx

Definindo-se as seguintes expressões para cálculo:

dx H _j j j j =

∫

ℜ

φ

} { ) ( (13) Substituindo-se (11) em (13): dx Y B y dx Y A y dx Y A dx y dx y H j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j

∫

φ

φ

∫

φ

φ

∫

φ

φ

∫

φ

φ

+

∫

φ

        +         + + = ₋ − − ₋ } { ) ( } { ) ( 1 } { 1 ) ( } { } { 1

1 & ( )& ( )& ( )

& dx Y B y dx Y A y dx Y A dx y dx y J j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

∫

∫

∫

∫

∫

+ + + + + + + + + + + + +         + +         + + = } 1 { ) 1 ( } 1 { ) 1 ( 1 } 1 { 1 ) 1 ( } 1 { } 1 { 1 1 ) ( ) ( ) ( & & & & (14)

Aplicando-se as restrições das funções-base contidas no Anexo 2:

(15)

Dessa forma, a equação (12) fica:

0

=

+

_j j

J

H

para (16) ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) 1 1 ) ( 1 1 ) ( j j j j j j j j j j j j _{= y + y + AY y + AY y +B Y}

ℜ _{& −}

φ

_{− &}

φ

₋

φ

&₋

φ

&

1

1

≤

j

≤

N

_K

−

0 } 1 { ) 1 ( } { ) ( _{+ ℜ =} ℜ

_∫

∫

+ + _dx dx _j j j j j j

_φ

_φ

0 } { ) ( ₌ ℜ

∫

_kdx K k N N N

_φ

k

N

j

=

1

..

dx J _j j j j

∫

φ

+ + ℜ = } 1 { ) 1 (

1

..

0

−

=

N

_k

j

(

)

φ

θ

θ

φ

φ

d y y h B Y d Y A y h y h J j j j k j j j j j j j k j k j

∫

∫

+ + + + + + + − +         + + = } 1 { ) 1 ( 1 } 1 { 1 ) 1 ( 1 ₃ ( ) ( )

6 & & &

1

..

1

−

=

N

_k

j

0

=

Nk

H

0

0

=

J

para para

j

=

N

_k

Admitindo o formato matricial:

[

] [

]

{

_{k k}

}

k _k k k k M Y M Y = −1 Λ − Λ − −1Ξ 0 0 & (17) Onde:                       = I I I I I I I I I I I I I I I I h M k k 2 4 4 4 4 2 6 O O O

Com dimensionamento (Nk+1)x(Nk+1) em blocos de 4x4, e

I

corresponde à matriz identidade 4x4. O vetor

Yk é composto pelos vetores de variáveis de estado nodais empilhados com dimensão 4(Nk+1)x1. A matriz

0

tem dimensionamento 4(Nk+1)x4 e a matriz seguinte tem dimensionamento (Nk+1)xNk em blocos 4x4:













































=

Λ

− − − k k k k k k N N N N N N k

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

1 1 1 34 33 23 22 12 11 01

O

O

E:                 + + = Ξ k kN N k B B B B B B h M 23 22 12 11 01

com dimensão (Nk+1)x1 em blocos 4x1. A obtenção das matrizes

jj

A

e 1 +

jj

A

e dos vetores e se faz pela integração numérica através do método de quadratura Gauss-Lagrange de ordem 3, 5, 10 ou 12.

0 =

j

jj

A resolução da equação (16) fornece equações diferenciais no tempo do vetor de valores nodais para cada duto k com as seguintes condições de contorno e condições iniciais:

k k k T k k k T k

Z

Y

t

t

E

P

t

E

L

x

t

E

P

t

E

x

=

⇒

=







=

=

⇒

=







=

=

⇒

=

)

0

(

0

)

(

)

(

)

(

)

(

0

4 3 2 1

α

α

(17)

Como verificado em (17), é necessário o conhecimento de α e PT nas extremidades do duto, reduzindo-se de

4 o número de incógnitas do vetor Yk(t). Define-se, então, um vetor de estado reduzido Wk(t) com tamanho

4Nkx1. O sistema de equações diferenciais ordinárias e suas condições iniciais em termos do vetor de estado reduzido adquirem a seguinte forma:

[

] [

]

{

}

{

}

)

0

(

)

0

(

)

(

)

(

)

(

0

0

1 1 k k W k k k E k k S k k k k k k k k W k

Y

S

W

t

E

S

t

W

S

t

Y

M

Y

M

S

W

=

+

=

Ξ

−

Λ

−

Λ

=

− −

&

(18)

Onde as matrizes seletoras

k S S , k E S e k W

S são definidas da seguinte forma:

(i) 1 , =     n C k S

S , se o n-ésimo estado reduzido corresponde à c-ésima variável nodal do tubo;

(ii) 1 , =     C n k W

S , se a c-ésima variável nodal do tubo é o n-ésimo estado reduzido;

(iii) 1 , =     m C k E

S , se a m-ésima condição de contorno corresponde a c-ésima variável nodal do tubo; e iguais a zero, caso contrário.

3.3. Tratamento dos Vértices da Rede

Os vértices, correspondentes aos trechos de junção entre dois ou mais dutos, são tratados com base em dois princípios: (i) balanços transientes de massa para cada fase; e (ii) álgebra de grafos orientados. Dessa forma, as seguintes equações de vértices são obtidas:

(

diag LV

)

(

MEqLS MSqLE QL

)

dt d + − − = −1 ) (

ρ

α

[

]

(

)

[

]

T

(

E GS S GE G

)

G L LE S LS E T L T

Q

q

M

q

M

P

diag

diag

V

diag

Q

q

M

q

M

diag

V

diag

P

diag

dt

P

d

+

−

+

+

+

−

=

+ − −

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1 * 1 0 1 1 γ

α

ρ

γ

α

ρ

γ

(19)

Classificando-se os vértices em duas categorias: A e B. A classe A correspondendo aos vértices com que a vazão mássica ao longo do tempo é conhecida e a classe B em que a fração de gás e a pressão ao longo do tempo são conhecidas. Além disso, os vértices devem ser caracterizados por seus volumes (V_A,V_B) que são essenciais para as suas modelagens dinâmicas. Seguem-se as expressões para as classes de vértices A e B, como conseqüência do desdobramento de (19):

onde i_A e i_B são, respectivamente, vetores de índices de vértices da classe A e B; q_E e q_S representam respectivamente as vazões de entrada e saída de tubos; e as funções ( , , )

A T A A L t P Q

α

, ( , , ) A T A A G t P Q

α

, e ) (t P B

T são as especificações da rede.

3.4. Sistema em Rede

As redes de escoamento são constituídas de um conjunto de elementos como tubulações, vértices, válvulas e bombas interconectados, com o objetivo de transportar fluidos entre pontos de fornecimento e pontos de consumo. No contexto desse trabalho serão considerados apenas dutos e vértices de Classe A e B, representados graficamente por uma matriz de incidência com orientações atribuídas aos dutos de modo que valores negativos de vazão indicam um escoamento no sentido contrário à orientação adotada.

A estrutura na forma de redes implica na utilização de especificações de vértices para representar todo o comportamento da rede, no caso desse trabalho, corresponde a duas especificações por vértices, de acordo com a classe de cada vértice.

A modelagem de uma rede de escoamento multifásico corresponde a quatro equações diferenciais parciais por trecho de tubulação (equações 1-4) e duas equações diferenciais ordinárias por vértice do tipo A (equação 20). Através do Método dos Elementos Finitos e usando o formalismo de Galerkin, descrito em seções anteriores, é possível transformar esse sistema de equações diferenciais parciais em um sistema de quatro equações diferenciais ordinárias por elemento finito por duto e duas equações diferenciais ordinárias por vértice da Classe A. Compõe-se, então, o grande vetor de estados reduzidos:

[

_T

]

T A T T A T m T

_W

_P

W

X

=

₁

_L

α

Desta forma, o grande sistema de equações diferenciais e seus respectivos contornos é:

)

(t

B

α

(

)

(

)

[

]

(

)

[

]

(

)

[

]

(20) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( :) , ( :) , ( ) , , ( ) ( :) , ( :) , ( ) , ( ) 0 ( ) 0 ( 0 ) , , ( :) , ( :) , ( ) ( ) ( ) ( ) , , ( :) , ( :) , ( ) ( ) ( ) ( ) , , ( :) , ( :) , ( ) ( 1 1 1 * 0 1 1 * 0 1 * 1 0 1 1 dt d P diag V diag dt P d P diag diag V diag q i M q i M P t Q dt d V diag q i M q i M t Q P P t P t Q q i M q i M P diag diag V diag P t Q q i M q i M diag V diag P diag dt P d P t Q q i M q i M V diag dt d B A T B G B T A T B B G LS B E LE B S B T B B G B B L LS B E LE B S B B L A T A T A A A T A A G GE A S GS A E A T A A G A T A A L LE A S LS A E A A L A T A T A T A A L LE A S LS A E A L A

α

γ

ρ

γ

α

ρ

α

α

ρ

α

α

α

α

γ

α

ρ

α

α

ρ

γ

α

ρ

α

γ γ γ + + + − = − − = = = = + − + + + − = + − − = − − − − − −

[

_T

]

T P T T m T

X

&

=

Π

₁

_L

Π

Π

_α

Π

(21)

[

_T

]

T T T A T m T

_W

_P

W

X

(

0

)

=

₁

(

0

)

_L

(

0

)

α

(

0

)

(

0

)

A integração no tempo dessas equações diferenciais é feita através de métodos Runge-Kutta adaptativos de ordem 15/23 (solvers ODE-15s e ODE-23s do MATLAB 6.1).

O sistema de equações diferenciais ordinárias descritos em (21) produz como subproduto um modelo estacionário para o escoamento bifásico em uma rede de dutos:

[

Π

₁

Π

Π

Π

T

]

T

=

0

P T T m T α

L

(22) Esse sistema de equações algébricas foi resolvido utilizando-se o método de Newton-Raphson, em que a estimativa inicial foi gerada através da simulação estacionária do escoamento incompressível de cada uma das fases isoladamente. O modelo de escoamento estacionário incompressível está descrito no Anexo 4 deste trabalho.

4. SIMULAÇÕES E RESULTADOS

Foi modelada uma rede de dutos correspondente a um sistema de produção de petróleo em águas profundas. Essa rede é composta por um grande duto (Tubo 1) de 20 cm de diâmetro e 50 km de comprimento, a uma profundidade de 1 000 metros. Uma das extremidades do duto (Vértice 3) corresponde ao poço de petróleo modelado como um vértice de Classe B, ou seja, em que se conhece a pressão da linha e a fração ocupação de gás. A outra extremidade (Vértice 1) corresponde a um vértice de Classe A, ou seja, são conhecidas as vazões mássicas das fases que nesse caso são nulas. O que implica que esse vértice tem a única função de conectar o grande duto submarino ao riser de produção. O riser (Tubo 1) também possui um diâmetro de 20 cm e possui sua extremidade superior (Vértice 2) fixada à plataforma e caracterizada por um vértice de Classe B. Na figura 2 mostra-se a tela principal do software desenvolvido neste trabalho e demonstra a estrutura desse sistema de transporte.

Fig. 2 - Estrutura da rede analisada. Fig. 2 - Analyzed network structure.

Os fluidos em escoamento anular correspondem a: (i) gás de viscosidade 0,02 cP, densidade de referência 280 Kg/m3 _{a uma pressão de referência de 100 bar e expoente politrópico 1,2; e (ii) óleo de viscosidade 8 cP} e densidade 800 Kg/m3_{. A rugosidade dos dutos foi suposta 250 µm. O comportamento dinâmico do} escoamento é verificado pela alteração da pressão do poço ao longo do tempo que se inicia a 150 bar, atingindo um valor máximo de 170 bar e retornando ao valor inicial. Além disso, fez-se uma alteração da fração de gás na plataforma ao longo do tempo partindo de 0,25, atingindo 0,28 e, em seguida, retornando a

0,26. Foram utilizados 20 elementos finitos em cada trecho de tubulação, o que corresponde a um sistema de 162 equações diferenciais ordinárias.

É importante ressaltar que a metodologia desenvolvida é capaz de representar redes com múltiplas conexões (e.g. multi-well trunkline).

Nas figuras 3, 4, 5 (a e b) e 6 descreve-se o comportamento no tempo e no espaço da fração de ocupação, da pressão, da vazão mássica de gás e da vazão mássica de líquido, respectivamente. Nas figuras 7, 8 e 9 descreve-se o comportamento dos vértices. As demais variáveis descrevem o comportamento do escoamento como tensões de cisalhamento, número de Reynolds e velocidade das fases reunidas no Apêndice 5 desse trabalho.

Fig. 3 - Fração de ocupação ao longo dos dutos. Fig. 3 - Occupation fraction along the ducts.

Fig. 4 - Pressão ao longo dos dutos. Fig. 4 - Pressure along the ducts.

Fig. 5a- Vazão mássica da fase líquida ao longo dos dutos. Fig. 5a - Mass flow of the liquid phase along the ducts.

Fig. 5b - Vazão mássica da fase líquida ao longo dos dutos. Fig. 5b - Mass flow of the liquid phase along the ducts.

Fig. 6 - Vazão mássica da fase gasosa ao longo dos dutos. Fig. 6 - Mass flow of the gas phase along the ducts.

Fig. 7 - Comportamentos do vértice 1. Fig. 7 - Behavior of vertex 1.

Fig. 8 - Comportamentos do vértice 2. Fig. 8 - Behavior of vertex 2.

Fig. 9 - Comportamentos do vértice 3. Fig. 9 - Behavior of vertex 3.

Nas figuras 10 11 e 12 ilustram-se telas que compõem a interface gráfica do software desenvolvido ao longo desse trabalho.

Fig. 10 - Gráficos de acompanhamento da simulação dinâmica. Fig. 10 - Charts for follow up of the dynamic simulation.

Fig. 11 - Interface para plotagem dos resultados. Fig. 11 - Interface for plotting the results.

Fig. 12 - Telas de configuração do simulador. Fig. 12 - Configuration screens of the simulator.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

(1) _{MARSELLA, J. M.; TRAN, Q. H.; FERRE, D.; PAUCHON, C. Transient Simulation of Two-Phase} Flows in Pipes, Int. J. Multiphase Flow, 24, 739-755, 1998.

(2) _{TAITEL, Y.; BARNEA, D. Simplified Transient Simulation of Two-Phase Flow using} Quasi-Equilibrium Momentum Balances, Int. J. Multiphase Flow, 23, 3, 493-501,1997.

(3) _{GOLAN, L. P.; STENNING, A. H. Two-Phase Vertical Flow Map, Proc. Instn. Mech. Engrs., 184, 3C,} 108-114, 1969.

(4) _{TAITEL, Y.; Dukler, A. E. A Model for Predicting Flow Regime Transitions in Horizontal and Near} Horizontal Gas-Liquid Flow, AIChE Journal, 22, 1, 47-54, 1976.

(5) _{TAITEL, Y.; BORNEA, D.; DUKLER, A. E. Modelling Flow Pattern Transitions for Vertical Steady} Upward Gas-Liquid Flow in Vertical Tubes, AIChe Journal, 26, 3, 345-354, 1980.

(6) _{BARNEA, D.; SHOHAM, O.; TAITEL, Y.; DUKLER, A. E. Gas Liquid in Inclinjed Tubes: Flow} Pattern Transitions for Upward Flow, Chem. Eng. Sci., 40, 1, 131-136, 1985.

(7) _{TAITEL, Y.; SHOHAM, O.; BRILL, J. P. Simplified Transient Solution and Simulation of Two Phase} Flow in Pipes, Chem. Eng. Sci., 44, 1353-1359, 1989.

(8) _{PIRES NETO, J. P. Modelagem Dinâmica em Redes de Escoamento Compressível para Aplicações à} Detecção de Vazamentos em Tempo Real. Rio de Janeiro: UFRJ/EQ, 2001.

(9) _{WONGWISES, S.; KONGKIATWANITCH, W. Interfacial Friction Factor in Vertical Upward} Gas-Liquid Annular Two-Phase Flow, Int. Comm. Heat Mass Transfer, 28, 3, 323-336, 2001.

APÊNDICE 1

MODELO DINÂMICO DE ESCOAMENTO MULTIFÁSICO EM DUTOS

Seja um elemento de volume de fluido

∆

V

, mostrado na figura , composto por uma fase líquida (L) e uma fase gás (G). Esse elemento de volume pode ser decomposto em:

G

L

V

V

V

=

∆

+

∆

∆

(A1-1)

Que, em termos de área da seção transversal, corresponde a:

x

A

x

A

x

A

∆

=

_L

∆

+

_G

∆

(A1-2) As áreas preenchidas pelas diferentes fases relacionam-se através da fração ocupada por gás (α) pelas seguintes expressões:

A

A

_G

=

α

(A1-3)

(

)

A

A

_L

= 1

−

α

(A1-4)

Fazendo-se balanços de massa nesse volume de controle para cada fase em escoamento, considerando-se a inexistência de escoamentos secundários (ao longo da seção transversal do duto), ou seja, considerando-se que as variáveis do modelo sejam função apenas do tempo e da posição ao longo do comprimento do duto, tem-se:

(A1-5)

Substituindo-se (A1-2) em (A1-5):

(

)

(

)

) ( ) ( ) ( ) ( x x q x q t A x x x q x q t A x G G G G L L L L ∆ + − = ∂ ∂ ∆ ∆ + − = ∂ ∂ ∆

ρ

ρ

(A1-6)

Fazendo-se

∆x

→

0

na expressão (A1-6), tem-se:

(

)

(

)

x q t A x q t A G G G L L L ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂

ρ

ρ

(A1-7)

Substituindo-se (A1-3) e (A1-4) em (A1-7):

(A1-8)

(

)

(

)

_{( ) ( )} ) ( ) ( x x q x q t V x x q x q t V G G G G L L L L ∆ + − = ∂ ∆ ∂ ∆ + − = ∂ ∆ ∂

ρ

ρ

(

)

(

)

x q A t x q A t G G L L ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ ∂ − = ∂ − ∂ 1 1 ) 1 (

α

ρ

α

ρ

Utilizando-se a hipótese de incompressibilidade do líquido:

(A1-9) Fazendo-se balanços de quantidade de movimento no volume de controle para cada fase em escoamento, considerando, novamente, a inexistência de escoamentos secundários ao longo da seção transversal do duto, tem-se:

(

)

(

)

(

)

x

x

A

g

xK

xK

x

x

v

x

x

x

x

A

x

v

x

x

A

x

x

P

x

x

A

x

P

x

A

t

v

V

L L IL I L L L L L L L L L L L L L

∆

−

∆

−

∆

−

+

∆

+

∆

+

∆

+

−

+

+

∆

+

∆

+

−

=

∂

∆

∂

)

(

)

sen(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2 2

θ

ρ

ψ

ψ

ρ

ρ

ρ

(A1-10)

(

)

(

)

(

)

x

x

A

g

xK

xK

x

x

v

x

x

x

x

A

x

v

x

x

A

x

x

P

x

x

A

x

P

x

A

t

v

V

G G IG I G G G G G G G G G G G G G

∆

−

∆

−

∆

−

+

∆

+

∆

+

∆

+

−

+

+

∆

+

∆

+

−

=

∂

∆

∂

)

(

)

sen(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2 2

θ

ρ

ψ

ψ

ρ

ρ

ρ

(A1-11) Sendo KL, KG e KI os perímetros correspondentes à fase líquida, à fase gás e à interface, respectivamente.

Como esses perímetros dependem do padrão de escoamento, já que: (i) no caso de escoamento anular o líquido está em contado com toda a parede e com o gás, enquanto este está em contato apenas com o líquido; e (ii) no caso de escoamento estratificado, tanto o líquido quanto o gás estão em contato entre si e com a parede. Logo, a utilização deste modelo requer a adoção de regime de escoamento estratificado ou anular. Como a formulação proposta é aplicável a ambos regimes, esta seguirá utilizando os perímetros de contato. A distinção será feita ao final de todo o desenvolvimento.

Sendo

ρ

_i

∆

V

_i

v

_i

=

∆

x

q

_i para

i

∈

{ }

L,

V

e fazendo-se

∆x

→

0

:

( )

L L IL IL L L L L L L L _{K K g A} x v A x P A t q ) sen( 2

θ

ρ

ψ

ψ

ρ

_{− − −} ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ∂ ∂ (A1-12)

( )

G G IG IG G G G G G G G _{K K g A} x v A x P A t q ) sen( 2

θ

ρ

ψ

ψ

ρ

− − − ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ∂ ∂ (A1-13) Sendo: i i i i i i

A

q

v

A

ρ

ρ

2

₌

2 _(A1-14)

Substituindo-se (A1-14) em (A1-12) e (A1-13), tem-se:

)

1

)(

sen(

)

1

(

1

)

1

(

2

α

θ

ρ

ψ

ψ

ρ

α

α

−

−

−

−













−

∂

∂

−

∂

−

∂

−

=

∂

∂

g

A

K

K

q

x

A

x

P

A

t

q

L IL IL L L L L x q A t t x q A t G G G L L ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ 1 1

α

ρ

ρ

α

α

ρ

α

θ

ρ

ψ

ψ

αρ

α

)

sen(

1

2

g

A

K

K

q

x

A

x

P

A

t

q

G IG IG G G G G G

₋

₋

₋













∂

∂

−

∂

∂

−

=

∂

∂

(A1-16) Utilizando-se a hipótese de incompressibilidade do líquido em (A1-15):

)

1

)(

sen(

1

1

)

1

(

2

α

θ

ρ

ψ

ψ

α

ρ

α

₋

₋

₋

₋













−

∂

∂

−

∂

−

∂

−

=

∂

∂

g

A

K

K

q

x

A

x

P

A

t

q

L IL IL L L L L L (A1-17) Derivando-se os termos da equação (A1-17):

)

1

)(

sen(

)

1

(

2

)

1

(

)

1

(

₂ 2

α

θ

ρ

ψ

ψ

α

ρ

α

α

ρ

α

−

−

−

−

+

∂

∂

−

−

∂

∂













−

−

+

∂

∂

−

−

=

∂

∂

g

A

K

K

x

q

A

q

x

A

q

AP

x

P

A

t

q

L IL IL L L L L L L L L (A1-19) Derivando-se os termos da equação (A1-16), tem-se:

α

θ

ρ

ψ

ψ

ρ

αρ

αρ

α

ρ

α

α

)

sen(

2

₂ 2 2 2

g

A

K

K

x

A

q

x

q

A

q

x

A

q

AP

x

P

A

t

q

G IG IG G G G G G G G G G G G

−

−

−

+

∂

∂

+

∂

∂

−

∂

∂













+

−

+

∂

∂

−

=

∂

∂

(A1-20) A partir deste momento, torna-se necessária a utilização de uma expressão para relacionar a densidade do gás às demais variáveis de estado do modelo, já que a utilização de equações de estado traria grande aumento na complexidade do sistema de equações diferenciais pela inclusão de balanços de energia para ambas as fases. Com o objetivo de evitar o uso de equações de balanço de energia, foi adotada uma relação termodinâmica de escoamento que se traduz em uma forma semi empírica do tipo

PV

_Gγ

=

C

, que estabelece uma relação entre a pressão e a densidade do gás:

C

PM

PV

G

=

=

_γγ γ

ρ

_(A1-21)

Diferenciando-se com respeito a uma variável qualquer η, tem-se:

η

ρ

γρ

η

γ γ

∂

∂













=

∂

∂

− G G

M

C

P

1 (A1-22) Substituindo-se (A1-21) em (A1-22), tem-se:

η

ρ

ρ

γ

η

∂

∂













=

∂

∂

_G G

P

P

(A1-23) Obtendo-se como subproduto as seguintes relações:













=

∂

∂

G G

P

P

ρ

γ

ρ

(A1-24)

x

P

P

x

G G

∂

∂













=

∂

∂

γ

ρ

ρ

(A1-25)

t

P

P

t

G G

∂

∂













=

∂

∂

γ

ρ

ρ

(A1-26) Com o objetivo de simplificar as equações e escalonar as variáveis de estado, será utilizado um estado de referência P0 e ρG0, e variáveis adimensionais PT e ρGT obtidas através das relações a seguir:

T

P

P

P

=

₀ (A1-28) GT G G

ρ

ρ

ρ

=

₀ (A1-29) γ

ρ

GT T P = _(A1-30)

Substituindo-se (A1-26), (A1-28), (A1-29) e (A1-30) em (A1-9B), tem-se:

x q A P t P t P _G G T T T ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ −

α

ρ

γ

α

α

γ

γ γ 0 1 (A1-31) Substituindo-se (A1-26), (A1-28), (A1-29) e (A1-30) em (A1-19), tem-se:

)

1

)(

sen(

)

1

(

2

)

1

(

)

1

(

₂ 2 0 0

α

θ

ρ

ψ

ψ

α

ρ

α

α

ρ

α

−

−

−

−

+

∂

∂

−

−

∂

∂













−

−

+

∂

∂

−

−

=

∂

∂

g

A

K

K

x

q

A

q

x

A

q

P

AP

x

P

P

A

t

q

L IL IL L L L L L L L T T L (A1-32)

Substituindo-se (A1-26), (A1-28), (A1-29) e (A1-30) em (A1-20), tem-se:

α

θ

ρ

ψ

ψ

αρ

α

ρ

α

α

γαρ

γ γ γ γ

)

sen(

2

1 1 1 1 0 0 0 2 2 0 0 1 0 2

g

P

A

K

K

x

q

P

A

q

x

P

A

q

P

AP

x

P

AP

P

A

q

t

q

T G IG IG G G G T G G T G G T T T G G G

−

−

−

+

∂

∂

−

∂

∂

















+

−

+

∂

∂

















−

=

∂

∂

+ (A1-33) Após as modificações descritas acima, obtém-se o seguinte conjunto de equações diferenciais:

x q A t L L ∂ ∂ = ∂ ∂

ρ

α

1 (A1-9A) q P P P_{T T T G} ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ −

α

ρ

γ

α

α

γ

γ γ 1

)

1

)(

sen(

)

1

(

2

)

1

(

)

1

(

₂ 2 0 0

α

θ

ρ

ψ

ψ

α

ρ

α

α

ρ

α

−

−

−

−

+

∂

∂

−

−

∂

∂













−

−

+

∂

∂

−

−

=

∂

∂

g

A

K

K

x

q

A

q

x

A

q

P

AP

x

P

P

A

t

q

L IL IL L L L L L L L T T L (A1-32)

α

θ

ρ

ψ

ψ

αρ

α

ρ

α

α

γαρ

γ γ γ γ

)

sen(

2

1 1 1 1 0 0 0 2 2 0 0 1 0 2

g

P

A

K

K

x

q

P

A

q

x

P

A

q

P

AP

x

P

AP

P

A

q

t

q

T G IG IG G G G T G G T G G T T T G G G

−

−

−

+

∂

∂

−

∂

∂

















+

−

+

∂

∂

















−

=

∂

∂

+ (A1-33)

Representando-se o modelo de forma simplificada:

x q F t L ∂ ∂ − = ∂ ∂ 1

α

(A1-34) x q P F t P F t P G T T T ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ ) , ( ) , ( 3 2

α

α

α

(A1-35) ) , , ( ) , ( ) ( ) , , ( 5 6 7 4 T L L L T L T L _{F P q} x q q F x P F x q P F t q

_α

α

_α

_α

_α

− ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ∂ ∂ (A1-36) ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( 9 10 11 8 T G T G T T G G T G G _{F P q} x q q P F x P q P F x q P F t q

_α

α

_α

_α

₋

_α

∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ∂ ∂ (A1-37) Onde: A F L

ρ

1 1=− (A1-38)

α

γ

α

T T P P F₂( , )= (A1-39)

α

ρ

γ

α

γ γ 0 1 3

(

,

)

G T T

A

P

P

F

−

=

(A1-40)

(

)













−

−

−

=

₀ 2 ₂ 4

1

)

,

,

(

α

ρ

α

L L T L T

A

q

P

AP

q

P

F

(A1-41) 0 5

(

)

A

(

1

)

P

F

α

=

−

α

_(A1-42)

) 1 ( 2 ) , ( 6

α

=

_ρ

₋

_α

L L L A q q F (A1-43)

A

g

K

K

q

P

F

₇

(

α

,

_T

,

_L

)

=

_L

ψ

_L

+

_IL

ψ

_IL

+

ρ

_L

sen(

θ

)(

1

−

α

)

_(A1-44)

















−

=

γ

ρ

α

α

1 0 2 2 0 8

(

,

,

)

T G G T G T

P

A

q

P

AP

q

P

F

(A1-45)

















−

=

₊ γ

γαρ

α

α

₁ 1 0 2 0 9

(

,

,

)

T G G G T

P

A

q

AP

q

P

F

(A1-46) γ

αρ

α

1 0 10

(

,

,

)

2

T G G G T

P

A

q

q

P

F

=

(A1-47)

A

g

P

K

K

q

P

F

₍

α

_,

_T

_,

_G

₎

_G

ψ

_{G IG}

ψ

_IG

ρ

_{G T}1γ

_sen(

θ

₎

α

0 11

=

+

+

_(A1-48)

Substituindo-se (A1-34) em (A1-35), obtém-se:

x q P F x q P F F t P G T L T T ∂ ∂ − = ∂ ∂ − ∂ ∂ ) , ( ) , ( 3 2 1

α

α

(A1-49) Que corresponde a: x q P F x q P F t P G T L T T ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ∂ ∂ ) , ( ) , ( 3 12

α

α

(A1-50)

)

,

(

)

,

(

_{1 2} 12

P

T

F

F

P

T

F

α

=

−

α

_(A1-51)

O modelo modificado passa a ser descrito pelas seguintes equações:

x q F t L ∂ ∂ − = ∂ ∂ 1

α

(A1-34) x q P F x q P F t P G T L T T ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ∂ ∂ ) , ( ) , ( 3 12

α

α

(A1-52) ) , , ( ) , ( ) ( ) , , ( 5 6 7 4 T L T L L T L L _{F P q} x q q F x P F x q P F t q

_α

α

_α

_α

₋

_α

∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ∂ ∂ (A1-36) ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( 9 10 11 8 T G G G T T G T G T G _{F P q} x q q P F x P q P F x q P F t q

_α

α

_α

_α

_α

− ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ∂ ∂ (A1-37)