Topologia de Superf´ıcies
Eduardo Colli
As superf´ıcies
Essas pe¸cas que lembram objetos art´ısticos ou de artesanato1 representam uma das mais belas ´areas da matem´atica, a Topologia Alg´ebrica. Nessa teoria, as superf´ıcies s˜ao vistas por suas proprie-dades mais intr´ınsecas, que n˜ao variam sob deforma¸c˜oes. Isso segue na contram˜ao da Geometria, que se preocupa com a forma exata da superf´ıcie no espa¸co.
Nota-se que algumas das superf´ıcies n˜ao tˆem um bordo, en-quanto outras tˆem. O bordo constitui-se de uma ou mais curvas fechadas no espa¸co, entrela¸cadas em si mesmas e entre si. Os bordos formados por somente uma curva s˜ao chamados de n´os, enquanto aqueles que envolvem v´arias curvas s˜ao chamados de en-laces.
As superf´ıcies distinguem-se tamb´em por sua orientabilidade: as orient´aveis tˆem “dois lados”, enquanto as n˜ao-orient´aveis permi-tem voltar ao mesmo ponto da superf´ıcie “pelo outro lado”. Um exemplo cl´assico ´e a Faixa de M¨obius, mas h´a outros (tente identi-fic´a-los!).
Outra informa¸c˜ao importante sobre uma superf´ıcie ´e sua
ter´ıstica de Euler, que pode ser obtida a partir de uma divis˜ao da superf´ıcie em triˆangulos. Contando-se faces (F ), arestas (A) e v´ertices (V ) da triangula¸c˜ao, calcula-se o n´umero χ = F − A + V . ´
E poss´ıvel mostrar que esse n´umero n˜ao depende da triangula¸c˜ao escolhida. Ele tamb´em serve para distinguir superf´ıcies essencial-mente diferentes.
Defini¸
c˜
ao de superf´ıcie
Daremos neste texto uma defini¸c˜ao restrita de uma superf´ıcie, pensada apenas em fun¸c˜ao das pe¸cas artesanais. As pe¸cas procuram representar uma id´eia abstrata de objetos matem´aticos que n˜ao podem ser fabricados no nosso “mundo real”. Ao leitor que quiser saber um pouco mais recomenda-se visitar Aderbal, o Top´ologo, no site inacabado
http://www.ime.usp.br/ colli/Aderbal/
Uma superf´ıcie ´e um conjunto S no espa¸co tridimensional que satisfaz algumas propriedades, que discutiremos abaixo uma por uma.
Vizinhan¸cas s˜ao equivalentes a discos A primeira propriedade diz
respeito `a estrutura da superf´ıcie em torno de qualquer um de seus pontos. Para cada ponto p do conjunto S consideramos Br(p), a
bola de centro p e raio r, que ´e o conjunto de pontos que n˜ao distam de p mais do que r (isso inclui os pontos da superf´ıcie da bola, pois para esses pontos a distˆancia a p ´e igual a r). O conjunto S ∩ Br(p), chamado de r-vizinhan¸ca de p ´e o conjunto dos pontos
que est˜ao em S ao mesmo tempo que n˜ao distam mais do que r do ponto p. Ent˜ao pede-se que para todos os valores (positivos) suficientemente pequenos de r a r-vizinhan¸ca de p seja equivalente
a um disco. Um disco ´e o conjunto de pontos do plano a uma distˆancia n˜ao maior do que r de um ponto dado (o ponto dado pode ser a origem).
´
E preciso explicar melhor o que queremos com essa imposi¸c˜ao. Equivaler a um disco significa, intuitivamente, que se pode de-formar o conjunto, suavemente, sem romper ou rasgar, at´e que ele adquira o formato de um disco. Outra defini¸c˜ao ´e a seguinte: existe uma fun¸c˜ao, entre o conjunto e um disco, que ´e bijetora (isto ´e, a cada ponto do dom´ınio corresponde um e somente um ponto do contra-dom´ınio) e ´e bicont´ınua (isto ´e, ´e cont´ınua e sua inversa ´e cont´ınua). Veja que a primeira defini¸c˜ao se encaixa na segunda, uma vez que poder´ıamos acompanhar o trajeto de cada ponto ao longo da deforma¸c˜ao, e a fun¸c˜ao seria dada dessa maneira: a cada ponto do conjunto se relaciona o ponto de chegada no disco, que ´
e o contradom´ınio.
Esfera, toro e bitoro s˜ao exemplos de superf´ıcies. Mesmo com a esfera, vˆe-se que as r-vizinhan¸cas tomadas devem ter r pequeno. Sen˜ao, tomando um ponto da esfera e r grande ter´ıamos S ∩ Br(p) = S (todos os pontos da esfera estariam a menos de r
de p), e esse conjunto n˜ao ´e deform´avel num disco. Tamb´em ´e surpreendente por´em correto que os pontos de um poliedro satisfa-zem a exigˆencia, mesmo que sejam pontos de v´ertices ou arestas. N˜ao faz mal que a superf´ıcie tenha vincos e dobras, desde que seus pedacinhos possam ser alisados!
Aqui fica evidente porque uma superf´ıcie n˜ao pode ser produ-zida no mundo real: ela tem a espessura de um disco, um objeto bidimensional, que no espa¸co tridimensional ´e infinitamente fino! As pe¸cas artesanais tˆem espessura (e n˜ao ´e pouca), mas um pouco de imagina¸c˜ao pode nos convencer de que elas n˜ao tˆem, da mesma forma que podemos ver poliedros de cartolina como uma uni˜ao de
verdadeiros pol´ıgonos planos.
Nessa discuss˜ao, ´e importante destacar que h´a dois tipos de pontos numa superf´ıcie, os pontos interiores e os pontos de bordo. Para os pontos interiores, uma deforma¸c˜ao bem feita pode trans-formar sua vizinhan¸ca num disco de forma que o pr´oprio ponto p, se acompanhado em sua trajet´oria, v´a parar no centro do disco. J´a para os pontos de bordo isso n˜ao ´e poss´ıvel: eles dever˜ao ficar, ap´os a deforma¸c˜ao, na circunferˆencia do disco. Por exemplo, imagine um cilindro, visto aqui como um rolo vazio de papel higiˆenico com um papel˜ao infinitamente fino. Os dois c´ırculos lim´ıtrofes do cilindro constituem-se de pontos de bordo, pois para eles a r-vizinhan¸ca tem o formato de uma letra “D” cheia, que pode ser deformada para um disco, mas sempre com o ponto base na fronteira. Os demais pontos desse cilindro s˜ao todos pontos interiores.
A superf´ıcie ´e limitada A primeira propriedade acima descrita ´e
crucial e elimina v´arios conjuntos. Mas para excluir ainda outros, pediremos que o conjunto seja limitado. Ser limitado ´e n˜ao se estender ao infinito, por´em ´e mais preciso dizer que existe uma caixa (abstrata, ´e claro) que pode conter o conjunto inteiro. Por exemplo, o plano xy no espa¸co tridimensional satisfaz a primeira propriedade (as vizinhan¸cas s˜ao discos), mas n˜ao ´e limitado. Esta propriedade ´e bem-vinda, pois sen˜ao ficaria um bocado dif´ıcil construir as pe¸cas...
A superf´ıcie ´e conexa Outra propriedade ´e a conexidade. Pedi-remos que a superf´ıcie seja conexa, isto ´e, que se possa ir de um ponto a outro da superf´ıcie por um caminho inteiramente contido nela. Isto exclui chamar o conjunto formado por duas esferas de uma superf´ıcie.
A superf´ıcie ´e fechada Finalmente, pediremos que a superf´ıcie seja fechada. Podemos dar duas defini¸c˜oes equivalentes para esse con-ceito. Essas defini¸c˜oes s´o fazem sentido, no entanto, nesse mundo abstrato. A primeira defini¸c˜ao fala do que est´a de fora: se q ´e um ponto que n˜ao est´a na superf´ıcie ent˜ao para r maior do que zero e suficientemente pequeno a bola Br(q) n˜ao intersecta S. A
outra defini¸c˜ao fala de aproxima¸c˜ao. Suponha que uma seq¨uˆencia de pontos da superf´ıcie se aproxime assintoticamente de um ponto no espa¸co. Ent˜ao o ponto do qual ela se aproxima n˜ao pode estar fora da superf´ıcie.
Por exemplo, tome um quadrado (cheio), no espa¸co, sem um v´ertice. Chamemos de q esse ponto de v´ertice, que ´e um ponto do espa¸co, por´em fora do conjunto. Qualquer bola em torno de q intersecta o conjunto, condi¸c˜ao que deveria ser evitada na defini¸c˜ao de superf´ıcie. Ou ainda: uma seq¨uˆencia de pontos do quadrado que se aproxime de q ´e assint´otica a um ponto de fora da superf´ıcie (o ponto q). Em outras palavras, um quadrado sem um ponto de v´ertice n˜ao ´e uma superf´ıcie! Mesmo assim, todas as outras exigˆencias s˜ao satisfeitas (verifique!).
Sobre as pe¸
cas
As defini¸c˜oes acima acabam por impor que o conjunto de pontos de bordo, se n˜ao for vazio, forma uma cole¸c˜ao de curvas fechadas no espa¸co, sem auto-interse¸c˜oes e interse¸c˜oes m´utuas. Uma cole¸c˜ao de curvas assim ´e chamada de enlace (mesmo que elas estejam, digamos, “separadas”) e de n´o se for uma cole¸c˜ao de apenas uma curva (vide os textos do site sobre Teoria dos N´os).
Abaixo mostramos as pe¸cas, agrupadas por semelhan¸ca, e des-crevemos suas principais propriedades.
mente depois da esfera. Embora as pe¸cas sejam figuras s´olidas, aqui estamos nos referindo a sua “casca”.
Depois do toro temos o exemplo do bitoro e, evidentemente, o tritoro, o quadritoro, etc, todos superf´ıcies sem bordo.
Algumas vezes eles aparecem em formas inusitadas, como o bi-toro da foto abaixo.
Esse bitoro, por incr´ıvel que possa parecer, pode ser deformado em um bitoro “cl´assico”. A seguinte seq¨uˆencia mostra algumas etapas da deforma¸c˜ao.
Entre as superf´ıcies com bordo temos a seguinte, cujo bordo constitui-se de dois an´eis enla¸cados no espa¸co. Esse enlace recebe o nome de enlace de Hopf.
Perceba que se os an´eis n˜ao estiverem enla¸cados a superf´ıcie ´e apenas um cilindro deformado.
Essas superf´ıcies s˜ao ditas orient´aveis, pois tˆem “dois lados”: uma formiguinha andando sobre ela n˜ao pode passar para o outro lado a n˜ao ser que passe pelo bordo, se houver bordo. Assim, a esfera, o toro e o bitoro s˜ao orient´aveis (superf´ıcies n˜ao-orient´aveis e sem bordo n˜ao existem segundo a defini¸c˜ao acima de superf´ıcie; ´e preciso abstrair o conceito um pouco mais, ver o site do Aderbal).
A Faixa de M¨obius ´e o exemplo mais conhecido de superf´ıcie n˜ao orient´avel. Ela tem uma ´unica componente de bordo, que pode ser deformada num c´ırculo.
J´a outras superf´ıcies tˆem como bordo o n´o trif´olio, que n˜ao pode ser deformado num c´ırculo, isto ´e, n˜ao pode ser “desmanchado”. As superf´ıcies abaixo tˆem como bordo o n´o trif´olio, e s˜ao orient´aveis. Na verdade, um Teorema (Seifert) garante que todo n´o ´e bordo de uma superf´ıcie orient´avel.
O n´o trif´olio tamb´em ´e bordo de uma superf´ıcie n˜ao orient´avel.
Essa superf´ıcie pode ser comparada com a Faixa de M¨obius da seguinte maneira. Um cilindro ´e uma tira de papel colada “correta-mente” na outra ponta, sem tor¸c˜ao. A Faixa de M¨obius ´e resultado de uma meia-tor¸c˜ao na tira. A superf´ıcie cujo bordo ´e o enlace de Hopf, mostrada acima, ´e o resultado de duas meias-tor¸c˜oes. E esta superf´ıcie n˜ao orient´avel, cujo bordo ´e o n´o trif´olio, emerge de uma colagem ap´os trˆes meias-tor¸c˜oes. Um n´umero par de meias-tor¸c˜oes produz uma superf´ıcie orient´avel, enquanto que um n´umero ´ımpar produz uma superf´ıcie n˜ao orient´avel.
Outro exemplo de n´o que aparece como bordo ´e o n´o figura-oito.
As seguintes superf´ıcies tˆem bordo com trˆes componentes, cada uma um c´ırculo.
Caracter´ıstica de Euler
Uma triangula¸c˜ao ´e uma divis˜ao da superf´ıcie em dom´ınios, cada um deles deform´avel em um disco, delimitados por trˆes arestas (n˜ao necessariamente retas) e trˆes v´ertices entre as arestas. Esses dom´ınios, tamb´em chamados de faces, podem ser entendidos como deforma¸c˜oes de triˆangulos. A triangula¸c˜ao deve respeitar o bordo da superf´ıcie. Isto quer dizer que se uma aresta intersecta o bordo ent˜ao a interse¸c˜ao ´e apenas um v´ertice ou ´e a aresta inteira.
Assim como se faz com poliedros, podemos contar o n´umero de faces (F ), arestas (A) e v´ertices (V ) da triangula¸c˜ao. Essa contagem n˜ao depende tanto do formato exato da superf´ıcie, pois as deforma¸c˜oes n˜ao estragam, qualitativamente, a triangula¸c˜ao. O mais surpreendente, por´em, ´e que o n´umero F − A + V ´e indepen-dente da triangula¸c˜ao escolhida para a superf´ıcie.
Isso mostra que F −A+V ´e um n´umero intr´ınseco `a superf´ıcie e portanto merece um nome: ´e a caracter´ıstica de Euler da superf´ıcie (vide “Poliedros”).
Esfera, toro e bitoro tˆem caracter´ıstica de Euler igual a 2, 0 e -2, respectivamente. Qual ´e a caracter´ıstica de Euler das demais superf´ıcies?
Superf´ıcies de Seifert
O matem´atico alem˜ao H. Seifert mostrou, em 1934, que todo n´o ´e o bordo de uma superf´ıcie orient´avel, e sugeriu um algoritmo para constru´ı-la. Ver “The Knot Book”, de Colin Adams, para uma descri¸c˜ao do algoritmo.
As superf´ıcies de Seifert nem sempre s˜ao as mais ´obvias para um determinado n´o. Por exemplo, no n´o trif´olio ´e mais evidente a superf´ıcie n˜ao-orient´avel equivalente a tomar uma tira de papel
colada nas pontas ap´os trˆes meias-tor¸c˜oes.
Exerc´ıcios e experimentos
1. Obter a caracter´ıstica de Euler de todos os modelos artesanais. 2. Suponha que se arranque um disco de uma superf´ıcie (deixan-do-se o bordo do disco), forman(deixan-do-se em conseq¨uˆencia uma superf´ıcie diferente. Descubra como muda a caracter´ıstica de Euler nesse processo.
3. Suponha que se arranquem dois discos de uma superf´ıcie e colem-se os bordos de um cilindro nos contornos que ficaram. Como muda a caracter´ıstica de Euler da superf´ıcie? Relacione com o que acontece `a esfera, ao toro e ao bitoro.
4. Modelos de superf´ıcies podem ser constru´ıdos sem muita difi-culdade com arame e fita crepe (evidentemente requer-se ha-bilidade com o acabamento, mas isso fica a cargo de cada um). Fa¸ca um n´o ou enlace usando arame e depois defina a superf´ıcie usando fita crepe. As pe¸cas artesanais foram feitas assim, e depois recobertas com massa pl´astica. Busque os n´os e enlaces em tabelas. Perceba que o mesmo n´o ou enlace pode ser bordo de superf´ıcies diferentes, orient´aveis ou n˜ao.
