Electromagnetismo e Óptica 2014/15 MEAmbi+MEMat/MEBiol+MEQuim

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Dep. de Física / Amilcar Praxedes (Responsável) Problemas 1: CP+DPP+Energia pág. 1

Carga elétrica e processos de electrização CP 1

A carga eléctrica estática gerada por atrito entre dois objectos é um fenómeno quotidiano que facilmente nos surge quando nos pentearmos num dia seco, ou ao tirarmos um casaco de lã, ou mesmo quando caminhamos sobre um tapete.

O que acontece é que há um desiquilibrio entre o número de protões e electrões entre os dois materiais friccionados, fazendo com que um deles adquira carga positiva ficando o outro com carga negativa.

Uma lista, chamada de triboeléctrica, permite concluir qual o material que ficará carregado positivamente.

A ordem desta lista é tal que qualquer material adquire carga positiva se for esfregado pelos materiais que o seguem na lista e quanto mais afastados estiverem na lista, maior será a quantidade de electricidade estática adquirida pelos parceiros.

Com base na lista indidcada indique quais as afirmações que estão correctas:

1) A pele de coelho quando esfregada com teflon ficará carregada positivamente pois irá perder electrões para este.

2) Quando electrizados por atrito o vidro e a seda quando se aproximarem atraem-se mutuamente.

3) Quando electrizamos por atrito vidro e papel, o vidro adquire +5 unidades de carga e o papel irá adquirir -5 unidades de carga.

4) Esfregar couro e teflon irá produzir mais electricidade estática do que se esfregarmos couro e pele de coelho.

5) Duas varetas de vidro depois de serem electrizadas com pele de coelho irão atrair-se. 6) Uma vara de madeira quando esfregada com outra barra de madeira ficará electrizada.

Justifique as suas respostas

CP 2

Duas esferas idênticas, A e B, feitas de material condutor, estão carregadas com +3e e -5e, respectivamente sendo (e) a carga do electrão: 1,6x10-19 C. Colocam-se as duas esferas em contacto. Depois de atingirem o equilibrio electrostático,

separam-se as esferas. A esfera A é então posta em contacto com uma esfera C que foi previamente carregada com uma carga de +3e.

Depois de atingirem o equilibrio electrostático, quando forem separadas, qual a carga final da esfera A:

1) +2e; 2) -1e; 3) +1e; 4)-2e; 5) 0e.

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CP3

Uma esfera metálica descarregada éstá suspensa de um fio isolante. Um bastão isolante que está carregado positivamente é colocado próximo da esfera, mas sem se encostar nela. Qual das alternativas irá acontecer:

1) A esfera é repelida pelo bastão porque fica carregada positivamente.

2) A esfera é atraída pelo bastão porque fica carregada negativamente.

3) A esfera é atraída pelo bastão porque ocorre um rearranjo das cargas da esfera, mas esta continua neutra.

Justifique as suas respostas.

Força elétrica – Lei de Coulomb

CP 4

Uma partícula de carga elétrica positiva igual a 10-3 C está suspensa por um fio inextensível e de peso desprezavel que está fixo ao teto.

Outra partícula de massa 9 g e carga negativa igual a 2,5x10-9C é colocada, conforme a figura, livremente num ponto abaixo na mesma linha vertical da outra partícula.

Quando se alcança o equilíbrio ambas as partículas se encontram na mesma linha vertical separadas a uma distância de:

( a ) 0,25 m ( b ) 0,50 m ( c ) 1,20 m ( d ) 7,00 m ( e ) 0,45 m Considere a aceleração da gravidade g = 10m/s² e que 1/40= 9 x 109 N.m²/C²

Justifique a sua resposta.

CP 5

Uma partícula de massa m e carga elétrica negativa gira, em órbita circular com velocidade escalar constante de módulo igual a v, próxima a uma carga elétrica positiva fixa, que se encontra no centro da trajectória, conforme ilustra a figura.

Desprezando a interação gravitacional entre as partículas e tomando a energia potencial elétrica nula quando elas estão infinitamente afastadas, é correto afirmar que a energia deste sistema é igual a

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CP 6

Num determinado instante, dois corpos de pequenas dimensões estão eletricamente neutros e colocados no ar.

Um certo processo de eletrização permitiu que cerca de 5x1013 elétrons “passassem” de um corpo para outro.

Em seguida, são afastados entre si de uma distância de 1,0cm. Aparecerá então entre eles: a) uma repulsão eletrostática mútua, de intensidade 5,76 kN.

b) uma repulsão eletrostática mútua, de intensidade 7,2 x 105 kN.

c) uma interação eletrostática mútua desprezível, impossível de ser determinada. d) uma atração eletrostática mútua, de intensidade 7,2 x 105 kN.

e) uma atração eletrostática mútua, de intensidade 5,76 kN. Dados: 1/40= 9 x 109 N.m²/C²; carga do electrão: 1,6x10-19 C Justifique a sua resposta.

CP 7

Em 2012 foi comemorado o centenário da descoberta dos raios cósmicos, que são partículas provenientes do espaço.

a) Os neutrinos são partículas que atingem a Terra, provenientes na sua maioria do Sol.

Sabendo-se que a distância do Sol à Terra é igual a 1,5x1011 m , e considerando a velocidade dos neutrinos igual a 3,0x108 m/s , calcule o tempo de viagem de um neutrino solar até à Terra.

b) As partículas ionizam o ar e um instrumento usado para medir esta ionização é o eletroscópio.

Ele consiste em duas hastes metálicas que se repelem quando carregadas.

De forma simplificda, as hastes podem ser tratadas como dois pêndulos simples de mesma massa m e mesma carga q localizdas nas suas extremidades.

Para a situação ilustrada na figura, qual é a carga q , se m=0,004 g ?

Campo Elétrico

CP 8

Duas cargas pontuais q1= 3,0μC e q2=6,0μC são colocadas a uma distância de 1,0 m entre si.

Calcule a distância, em metros, entre a carga q1 e a posição, situada entre as cargas, onde o campo elétrico é nulo. Justifique a sua resposta.

Considere 1/40= 9 x 109 N.m²/C²

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CP 9

Fixam-se as cargas pontuais q1 e q2, do mesmo sinal, nos pontos A e B, da figura:

Para que no ponto C o vetor campo elétrico seja nulo, é necessário que

a) q2 = (1/9)q1 b) q2 = (1/3)q1 c) q2 = 3q1 d) q2 = 6q1 e) q2 = 9q1 Considere 1/40= 9 x 109 N.m²/C²

Justifique a sua resposta.

CP 10

Um equipamento, como o esquematizado na figura abaixo, foi utilizado por J.J.Thomson, no final do século XIX, para o estudo de raios catódicos em vácuo.

Um feixe fino de electrões com velocidade em módulo vo, e com direcção na horizontal x, atravessa a região entre um par de placas paralelas, horizontais, de comprimento L.

Entre as placas, há um campo elétrico de módulo constante E na direção vertical y.

Após saírem da região entre as placas, os eléctrons descrevem uma trajetória retilínea até ao ecrã fluorescente T.

Determine

a) o módulo

a

da aceleração dos electrões enquanto estão entre as placas; b) o intervalo de tempo Δt que os electrões permanecem entre as placas;

c) o desvio Δy na trajetória dos electrões, na direção vertical, ao final de seu movimento entre as placas;

d) a componente vertical vy da velocidade dos electrões ao saírem da região entre as placas. Nota: Ignore os “efeitos de borda” do Campo Eléctrico e o Campo Gravitacional.

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Linhas de força (de campo) – Potencial eletrostático

CP 11

Durante as tempestades é normal haver uma grande ocorrência de trovoadas acompanhadas de descargas eléctricas, os chamados “raios”.

Estas descargas elétricas ocorrem na atmosfera, geralmente entre as nuvens e o solo ou entre duas nuvens.

Segundo especialistas ocorrem a cada segundo, em média, três raios tipo nuvem–solo, e, em cada um desses raios, é gerada uma energia da ordem de 109J.

Considere a chamada rigidez dielétrica do ar igual a 3x106V/m, isto é, a maior intensidade do campo elétrico que pode ser aplicado ao ar sem que ele se torne condutor.

Recorde que E=V/d, onde E é a intensidade do campo elétrico, V a diferença de potencial elétrico entre a nuvem e o solo e d a distância entre a nuvem e o solo.

A) Supondo que as cargas elétricas estão uniformemente distribuídas na base de uma nuvem que se situa a 3 km de altura do solo e induzem, neste, cargas de sinais opostos, calcule a diferença de potencial mínima, VM, capaz de quebrar a rigidez dielétrica do ar de modo que ocorram raios.

B) Determine a potência média gerada pelos três raios que caem a cada segundo.

C) Se toda a potência gerada pelos três raios que caem a cada segundo pudesse ser utilizada como fonte de energia elétrica, qual seria o número de raios necessários para gerar uma potência elétrica de 15.000 MW (1,5.1010W), ou seja, uma potência equivalente à gerada por uma grande barragem? Justifique as suas respostas.

CP12

Duas esferas metálicas de raios RA e RB, com RA>RB, estão no vácuo e isoladas eletricamente uma da outra. Cada uma é electrizada com uma mesma quantidade de carga positiva.

Posteriormente as esferas são interligadas por meio de um fio condutor de capacitância desprezível. Após atingir o equilíbrio electrostático, a esfera A possuirá uma carga QA e um potencial VA, e a esfera B uma carga QB e um potencial VB.

Baseado nas informações anteriores, podemos, então, afirmar que:

a) VA< VB e QA= QB; b) VA= VB e QA= QB; c) VA< VB e QA< QB; d) VA= VB e QA> QB; e) VA> VB e QA=QB

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Superfícies equipotenciais – trabalho da força eletrostática

CP 13

Um raio proveniente de uma nuvem transportou para o solo uma carga de 10 C sob uma diferença de potencial de 100 milhões de volts. Dado: 1J= 3x107 kWh A energia libertada por esse raio é de:

a) 30 MWh; b) 3 MWh; c) 300 kWh; d) 30 kWh; e) 3 kWh. Justifique a sua resposta.

CP 14

O aumento de vida de prateleira de alimentos é obtido por várias técnicas de conservação de alimentos, como as técnicas térmicas, por exemplo, a pasteurização, até as técnicas nucleares, como a irradiação por nuclídeo. Há uma técnica, em particular, que usa campos eléctricos pulsantes, que provocam variações no potencial eléctrico de células, destruindo as paredes celulares.

Em um modelo simplificado, admita que a membrana da célula de um patógeno (micro-organismo que pode provocar doenças) seja rompida se houver uma diferença de potencial estabelecida entre as paredes celulares, Vpc, da ordem de 1 V e que o diâmetro médio de uma célula seja de um micro, d=1μm.

O equipamento onde se coloca o alimento é um tipo de condensador plano com placas paralelas, onde é estabelecido um campo elétrico uniforme e pulsado.

Com base no texto, estime a intensidade do campo elétrico necessário para romper a membrana celular do patógeno. Qual a alternativa correta:

( a ) intensidade do campo elétrico de 1 MV/m; ( b ) intensidade do campo elétrico de 2 MV/m;

( c ) intensidade do campo elétrico de 1 V/m; ( d ) intensidade do campo elétrico de 2 V/m;

( e ) faltam dados para se fazer qualquer estimativa sobre a intensidade do campo elétrico necessário para romper a membrana celular do patógeno.

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Dep. de Física / Amilcar Praxedes (Responsável) Problemas 1: CP+DPP+Energia pág. 7 1 12 0 8,854 10     Fm 



9 2 2 0 10 9 4 1 _ _  C Nm  CP15

Considere 2 cargas pontuais Q₁4nCe Q₂ 4nC que foram fixadas nas respectivas posições, como se indica na figura, em que L=1 cm.

a) Calcule o valor (vector) do Campo Eléctrico E para o ponto (+L, 0). b) Deduza a expressão do Potencial Eléctrico para a origem do referencial c)Determine as coordenadas do ponto M(x,y) onde devo colocar a carga de prova Q1nC, para que a força eléctrica que sobre ela é exercida pelas duas cargas Q₁e Q₂ , seja nula.

CP16

Considere 2 cargas pontuais Q1 4nCe Q2 4nC que foram fixadas

nas respectivas posições, como se indica na figura, em que L=1 cm. a) Calcule o valor (vector) do Campo Eléctrico E para o ponto (0, L). b) Deduza a expressão do Potencial Eléctrico para a origem do referencial c)Suponha que coloca sobre o eixo dos YY uma barra fina, de massa desprezável, de comprimento 2L. O meio da barra está na origem do referencial. Nas extremidades da barra estão duas esferas muito pequenas carregadas com carga Q1nC. Nesse instante qual é a força total aplicada na barra? Justifique.

CP17

Considere 3 cargas pontuais distribuídas como se indica na figura. a) Deduza a expressão analítica do campo electrostático E[NC-1], para o ponto P(x,0,0).

b) Deduza a expressão analítica do potencial electrostático para o ponto P(x,0,0), VP [Volt].

c) Suponha que Q1=+1 nC, Q2=+2 nC. Se Q2, Q3 estiverem fixas nos pontos respectivos, qual o valor de Q3 de modo que Q1 fique imóvel?

CP18

Considere 3 cargas pontuais distribuídas nos vértices de um triângulo rectângulo com lado L, como se indica na figura.

a) Deduza a expressão vectorial do Campo Eléctrico E para o ponto (0, L). b) Deduza a expressão do Potencial Eléctrico para o ponto (0, L).

c) Suponha que Q2=4nC e Q3= - √ nC. Coloque uma carga Q4=6nC no ponto (0, L).

Se Q1, Q2 e Q3 estiverem fixas nos pontos respectivos, qual deverá ser o valor de Q1 de modo a que Q4 fique imóvel?

CP19

Considere 3 cargas pontuais distribuídas como se indica na figura com L=1cm. a) Na origem do referencial o campo electrostático E[NC-1] é nulo.

Sendo Q= +1nC qual o valor de Q1 ?

b) Deduza a expressão analítica do potencial electrostático na origem do referencial, V [Volt].

c) Determine a energia necessária para colocar na origem do referencial, uma quarta carga Q4=+2nC, que inicialmente se encontra a uma grande distância das outras três cargas. P(x,0,0) Q3 Q2 Q1 Y X Q2 Q3 Q1 Y X L L 45o X L L Q Q Q1 L Y Q2 P Q1 Y X L L L P Q1 Q2 Y X L L L

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CP20

Considere 4 cargas pontuais distribuídas nos vértices de um quadrado com lado 2 , como se indica na figura. L

a) Deduza a expressão vectorial do Campo Eléctrico para o centro do quadrado.

b) Deduza a expressão do Potencial Eléctrico para o centro do quadrado. c) Suponha que Q1=0nC, Q2=4nC, Q3=4nC, Q4=6nC e que L=10cm.

Se Q1, Q2 e Q3 estiverem fixas nos pontos respectivos e considerando a

situação da figura, qual o valor da Força F a que Q4 fica submetida instantaneamente?

Distribuição contínua de cargas (DCC)

12 1

0 8,854 10     Fm 

_

9 2 2 0 10 9 4 1 _ _  C Nm 



CP 21

Um arco de circunferência de raio R de um material isolante, está carregado com uma densidade de carga uniforme  [Cm-1].

a) Determine a expressão analítica do Campo Eléctrico ⃗⃗ na origem do referencial.

b) Determine a expressão analítica para o Potencial na origem do referencial.

CP 22: (Probl. 1.3)

Considere uma espira circular de raio R uniformemente carregada com uma densidade de carga em comprimento e cuja carga total é Q. A espira está no plano XY e no seu centro, coincidente com a origem das coordenadas, está colocada um carga pontual –Q.

a) Determine a expressão analítica do Campo Eléctrico ⃗⃗ num ponto P situado sobre o eixo Z à distância Z0 da origem.

b) Determine a expressão analítica para o Potencial Electrostático no ponto P.

CP 23

Uma barra muito fina de material isolante, está carregada com uma densidade de carga uniforme [Cm-1].

a) Determine a expressão analítica do Campo Eléctrico ⃗ no ponto x=+L/2.

b) Determine a expressão analítica para o Potencial no ponto x=+L/2.

Q2 Q4 Q3 Q1 Y X R X Y  -L X Y R Z -Q Z0 P Q=2R

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Dep. de Física / Amilcar Praxedes (Responsável) Problemas 1: CP+DPP+Energia pág. 9 CP 24 (Probl. 1.2)

Considere um disco de raio R, uniformemente carregado com densidade de carga superficial .

a) Use coordenadas cilíndricas para determinar a expressão analítica do Campo Eléctrico ⃗⃗ _{num ponto do eixo do disco a uma distância Z}₀_do

seu centro.

b) Aplicando o resultado da a) deduza o campo eléctrico devido a um plano infinito carregado com densidade de carga superficial .

RESPOSTAS: CP 1: correctas: 2), 3) e 4) CP2: 3) CP3: 3) CP4: b) CP5: d) CP6: e) CP7: a) 8 min e 2 segundos;

b) q= 2 nC, ambas positivas ou ambas negativas CP8: (B) CP9: e) CP10: a)

a=

qE/m

;

b)t=L/v0; c) y= q E L2/(2mv02); d) vy=q E L/(m v0) CP11: A) V= 9x109Volt; B) P= 3x109Watt; C) 15 raios CP12: d) CP13: c) CP14: a) CP15: a)E9104e_x36104e_y NC1 ; b) ) ( ) 2 ( 1 4 1 ₂ 1 0 Volt Q Q L V    ; c) ) 2 10 , 0 ( 2 m m M  CP16: a)E18 2104e_x NC1 ; b) 1( ) ( ) 4 1 2 1 0 Volt Q Q L V    ; c) F e_x N  5 10 2 36     R Z Z0 P Q=R2

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Dep. de Física / Amilcar Praxedes (Responsável) Problemas 1: CP+DPP+Energia pág. 10 CP17:

(11)

Dep. de Física / Amilcar Praxedes (Responsável) Problemas 1: CP+DPP+Energia pág. 11 CP18: a) ) } ( ) 4 2 ( ) 4 2 {( 1 4 1 1 1 2 3 2 2 0       Q Q e Q Q e NC L E _x _y  ; b) ) ( ) 2 ( 1 4 1 3 2 1 0 Volt Q Q Q L V     ; c) Q1 2 nC CP19:

(12)

Dep. de Física / Amilcar Praxedes (Responsável) Problemas 1: CP+DPP+Energia pág. 12 CP20: a) {( ) ( ) } ( ) 2 2 1 4 1 1 4 3 2 1 4 3 2 1 2 0          Q Q Q Q e Q Q Q Q e NC L E x y     ; b) 1( ) ( ) 4 1 4 3 2 1 0 Volt Q Q Q Q L V      ; c) F 108 10 {ex ey} N 7       

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(14)

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Dep. de Física / Amilcar Praxedes (Responsável) Problemas 1: CP+DPP+Energia pág. 15 CP23:a) ⃗ ( ) ⃗⃗⃗ [ _{] ⃗ (} ₎ ⃗⃗⃗ [ _] b) ( ) [ ] ( ) [ ] CP24:

(16)

Electrostática no vazio (

0

)

Lei de Coulomb: e_r r q q F 1₂2  0 4 1 

 [Newton] (sendo e_r o versor da direcção r)

Campo Eléctrico da carga qi : r

i i e r q E ₂  0 4 1 

 [Newton Coulomb-1] (sendo e_r o versor da direcção r)

Força eléctrica sobre a carga q: f_elect qE





[Newton]

Potencial V1 no ponto r1, relativamente a V2 no ponto r2 será:  



2

1 ) . ( 2 1 r r Edr V V   [Volt]

Emergia Electrostática num sistema de cargas pontuais:

Fontes:

1)"Electromagnetismo” Alfredo Barbosa Henriques, Jorge Crispim Romão, IST Press, Colecção Ensino da Ciência e da Tecnologia, nº18.

Electromagnetismo e Óptica 2014/15 MEAmbi+MEMat/MEBiol+MEQuim

a



Distribuição contínua de cargas (DCC)

_



a=

;

Electrostática no vazio (

)





Joule



V

q

W





2

1