CAPACIDADE DE ESTRUTURAS TUBULARES DANIFICADAS SUJEITAS A CARREGAMENTO COMBINADO
Andressa Baptista Knupp
Projeto de Graduação apresentado ao Curso de Engenharia Naval e Oceânica da Escola Politécnica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Engenheiro.
Orientadores: Murilo Augusto Vaz
Julio Cesar Ramalho Cyrino
Baptista Knupp, Andressa
Capacidade de estruturas tubulares danificadas sujeitas a carregamento combinado/Andressa Baptista Knupp. – Rio de Janeiro: UFRJ/Escola Politécnica, 2017.
X, 46 p.: il.; 29,7 cm.
Orientadores: Murilo Augusto Vaz e Julio Cesar Ramalho Cyrino Projeto de Graduação – UFRJ/Escola Politécnica/Curso de Engenharia Naval e Oceânica, 2017.
Referências Bibliográficas: p. 45 – 46.
1. Capacidade remanescente. 2. Estruturas tubulares perfuradas. 3. Carregamento combinado. 4. Perda de material. I. Vaz, Murilo Augusto Vaz et al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Naval e Oceânica. III. Capacidade de estruturas tubulares danificadas sujeitas a carregamento combinado.
Agradecimentos
Primeiramente, à Deus, por ter me dado forças e iluminado meu caminho durante esta longa jornada.
À toda minha família, que sempre esteve presente em todos os momentos da minha vida. Agradeço principalmente aos meus pais, Angela Baptista e Ezequias Knupp, que são meu exemplo a ser seguido. Obrigada por todo incentivo, apoio incondicional e por sempre terem acreditado no meu potencial.
Aos professores, Murilo Vaz e Julio Cyrino, por todo suporte e conhecimento compartilhado durante os anos de pesquisa.
Aos amigos navais, que me ensinaram que remando juntos é possível chegar mais longe. Obrigada pelo companheirismo e amizade, que com certeza levarei para a vida.
Por fim, agradeço ao Programa de Recursos Humanos da Agência Nacional do Petróleo, Gás Natural e Biocombustíveis (ANP), em especial ao PRH–03, pelo suporte no desenvolvimento desse estudo e apoio financeiro.
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Naval e Oceânico.
Capacidade de estruturas tubulares danificadas sujeitas a carregamento combinado
Andressa Baptista Knupp
Fevereiro/2017
Orientadores: Murilo Augusto Vaz
Julio Cesar Ramalho Cyrino Curso: Engenharia Naval e Oceânica
O objetivo desse trabalho é desenvolver formulações para determinar a capacidade remanescente de estruturas tubulares perfuradas sujeitas a carregamento combinado de flexão e esforços axiais, não considerando efeitos de pressão interna e cargas de origem térmica. Através de análises analíticas foram desenvolvidas expressões gerais as quais descrevem a capacidade do elemento tubular, além da integridade estrutural da seção transversal. Para a validação dos resultados analíticos foram realizados modelos numéricos os quais retratam o comportamento global do membro.
A necessidade de extensão da operação por períodos mais longos do que inicialmente previstos, a possibilidade de realocação e/ou reuso destas estruturas tubulares, por exemplo, tem motivado estudos relacionados à integridade estrutural destas instalações e de seus subcomponentes. Procura-se apresentar formulações que auxiliem a tomada de decisão de reparar/reforçar elementos deteriorados identificados em inspeções, tendo em vista o alto impacto econômico advindo de obras offshore e, principalmente, de possíveis perdas de produção.
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Engineer.
Capacity of damaged tubular structures subjected to combined loading
Andressa Baptista Knupp
February/2017
Advisors: Murilo Augusto Vaz
Julio Cesar Ramalho Cyrino Course: Naval and Ocean Engineering
The purpose of this work is to develop formulations to determine the remaining capacity of perforated tubular structures subjected to combined loading of axial forces and bending moment, not considering internal pressure effects and thermal origin loads. Through analytical analysis, general expressions have been developed, that describe the capacity of the tubular element as well as the structural cross-section integrity. For the analytical results validation, numerical models which depict the overall member behavior were evolved.
The need for extension of the operation for longer periods than initially foreseen, the possibility of relocation and/or reuse of these tubular structures, for example, have motivated studies related to the structural integrity of these facilities and their subcomponents. It is sought to present formulations that help the decision making to repair/reinforce or replace deteriorated elements identified in inspections, due to the high economic impact coming from offshore works and, mainly, of possible production losses.
Key-words: remaining capacity, damaged tubular structures, combined loading, material loss.
Sumário
1 Introdução ... 1
1.1 Motivação ... 1
1.2 Objetivo do trabalho ... 3
2 Descrição do problema ... 3
2.1 Propriedades geométricas da seção transversal ... 6
2.1.1 Área remanescente ... 7
2.1.2 Excentricidade ... 8
2.1.3 Inércia modificada ... 9
3 Capacidade residual da seção transversal ... 11
3.1.1 Carga axial aplicada no eixo centroidal ... 11
3.1.2 Carga axial aplicada no eixo de coordenadas x ... 15
3.1.3 Carga axial aplicada no eixo de coordenadas y ... 16
4 Capacidade global do elemento ... 19
4.1 Modelo analítico ... 20 4.1.1 Equações governantes ... 20 4.1.2 Valores críticos ... 22 4.1.3 Deslocamento linear ... 28 4.2 Modelo numérico ... 30 4.2.1 Tipo de elemento ... 32 4.2.2 Condições de contorno ... 34 4.2.3 Carga axial ... 35
4.2.4 Momento puro e carregamento combinado ... 36
5 Conclusão ... 44
Lista de Figuras
Figura 1 – Plataforma do tipo jaqueta. ... 2
Figura 2 – Flare boom. ... 2
Figura 3 – Esquematização da viga. ... 4
Figura 4 – Representação do furo. ... 4
Figura 5 – Representação do furo. ... 5
Figura 6 – Seção transversal típica. ... 5
Figura 7 – Parâmetros da seção transversal. ... 6
Figura 8 – Gráfico de área adimensionalizada. ... 8
Figura 9 – Gráfico da excentricidade adimensionalizada. ... 9
Figura 10 – Gráfico da relação entre as inércias. ... 11
Figura 11 – Distribuição de tensões. ... 12
Figura 12 – Comparação entre o modelo proposto e Okada et al. (2001). ... 14
Figura 13 – Capacidade da seção perfurada na presença de momento fletor secundário. ... 16
Figura 14 – Comportamento da estrutura perfurada com carga aplicada no eixo de coordenadas y. ... 19
Figura 15 – Representação da variável d*. ... 23
Figura 16 – Gráfico de esbeltez por λ2. ... 25
Figura 17 – Capacidade para L/D=20. ... 26
Figura 18 – Capacidade para L/D=40. ... 27
Figura 19 – Capacidade para L/D=60. ... 27
Figura 20 – Deslocamento para L/D=40, θA=2π/3 e M=0. ... 29
Figura 21 – Deslocamento para L/D=40, θA=2π/3 e P=0. ... 29
Figura 22 – Condição crítica. ... 30
Figura 23 - Curva do material. ... 30
Figura 24 – Representação da curvatura... 31
Figura 25 – Elemento B31. ... 32
Figura 26 – Nós. ... 32
Figura 27 – Perfil pipe. ... 33
Figura 28 – Perfil arbitrário. ... 33
Figura 29 – Perfil para o furo de 60 graus. ... 34
Figura 31 – Gráfico de força por deslocamento. ... 35
Figura 32 – Gráfico de momento por rotação para o tubo intacto. ... 37
Figura 33 – Gráfico de momento por rotação para o tubo com furo de 60°. ... 38
Figura 34 – Gráfico de momento por rotação para o tubo com furo de 120°. ... 38
Figura 35 – Gráfico de momento por rotação para o tubo com furo de 180°. ... 39
Figura 36 – Vista superior do tubo, tensão de Von Mises (MPa). ... 40
Figura 37 – Vista inferior do tubo, tensão de Von Mises (MPa)... 41
Figura 38 – Gráfico de momento por força para o tubo intacto. ... 42
Figura 39 – Gráfico de momento por força para o tubo com furo de 60°. ... 42
Figura 40 – Gráfico de momento por força para o tubo com furo de 120°. ... 43
Lista de Tabelas
Tabela 1 – Características do aço API 5L grau B. ... 25
Tabela 2 – Dimensões do tubo. ... 31
Tabela 3 – Condições de contorno. ... 35
Tabela 4 – Comparação de resultados para compressão. ... 36
Tabela 5 – Resumo dos resultados para carregamento combinado. ... 39
1 Introdução
A primeira fase da era do petróleo no Brasil iniciou-se em 1864, quando pequenos exploradores iniciaram a busca por reservas, com a necessidade de substituir o óleo proveniente da pesca de baleias que era utilizado como principal combustível para iluminação e estava se tornando escasso em função da crescente demanda mundial. Em 1919, o Governo Federal decidiu participar ativamente das atividades de exploração para diminuir a dependência do país por combustíveis importados.
Nos primeiros anos de atividade da Petrobras, a empresa constatou que as descobertas em terra não seriam suficientes para diminuir a necessidade de importação de petróleo, portanto foi decidido redirecionar as explorações para o mar. Foram muitos anos de intenso desenvolvimento brasileiro na área offshore, até que em 2006 iniciou-se a Era do Pré-Sal com a descoberta de reservas gigantes de petróleo em águas profundas. Apesar da queda dos preços do petróleo por conta da recente crise internacional, as expectativas de demanda futura ainda permanecem positivas. Para o Brasil, este é um mercado especialmente promissor devido a suas imensas reservas de petróleo.
O contínuo crescimento da indústria offshore motivou abundante investimento em pesquisa e desenvolvimento (P&D) na área de petróleo e gás com o intuito de produzir novas tecnologias e possibilitar a minimização de custos, seja na construção, manutenção ou operação das plataformas e embarcações de apoio.
1.1 Motivação
Membros tubulares são amplamente utilizados na indústria offshore, como por exemplo, em jaquetas (Figura 1) e flare booms (Figura 2), o extenso uso desse tipo de estrutura se deve à sua versatilidade de uso e alta resistência estrutural. A exposição destes elementos ao ambiente marinho sem proteção adequada pode ocasionar processos degradativos que com o decorrer do tempo podem alcançar níveis avançados, o qual a estrutura não foi projetada para suportar. Além disso, podem haver danos na estrutura devido a colisões com outros objetos, a extensão da avaria pode ser mínima ou até mesmo causar colapso total do membro.
É de extrema importância estimar a integridade estrutural residual dos membros danificados, a fim de auxiliar no desenvolvimento de critérios a respeito do reparo da estrutura, tendo em vista a dificuldade de obras no mar, o impacto econômico oriundo das possíveis perdas na produção e que uma falha estrutural pode resultar em perda de vidas humanas e desastres ambientais.
A análise da confiabilidade das estruturas oceânicas tem motivado o desenvolvimento de diversos estudos na área e é um dos maiores desafios da indústria petrolífera. Na literatura atual existem trabalhos que abordam a perda de integridade estrutural devido a danos estruturais. Okada et al. (2001) apresentaram um critério de falha linearizado para determinar a capacidade residual da seção transversal de membros perfurados sujeitos a carregamento combinado de flexão e compressão, destacando o efeito de furos em colunas na resistência última de jaquetas. Lutes et al. (2001) e Hernández (2014) analisaram a relação entre a perda de capacidade compressiva associada à redução da espessura da parede do tubo devido a efeitos de corrosão. Murakami et al. (1998) apresentaram, que além da perda de integridade estrutural, o comportamento de flambagem também pode ser afetado devido à concentração de tensão nas proximidades do furo.
.
1.2 Objetivo do trabalho
No presente trabalho, pretende-se analisar os efeitos da perda de material na integridade de estruturas tubulares perfuradas esbeltas, com razão diâmetro espessura superior a vinte (D/t>20) e razão comprimento diâmetro inferior a sessenta (L/D<60), sujeitas a carregamento combinado de carga axial e momento fletor.
Inicialmente, através de análises analíticas são desenvolvidas expressões gerais as quais descrevem a integridade estrutural da seção transversal do elemento em função dos parâmetros que representam a perda de material. Em seguida, é desenvolvido um modelo analítico que propõe a solução exata para o sistema de equações diferenciais que governam o comportamento global da estrutura no regime elástico. Por fim, é proposto um modelo numérico para avaliar a capacidade da estrutura, considerando material elástico-perfeitamente plástico para fins de comparação com os resultados obtidos previamente.
Para ambos os modelos é considerado que o furo se encontra na metade do comprimento, que é a região mais desfavorável. São analisados diferentes ângulos de furo e também a estrutura intacta, de modo a ilustrar como a perda de material afeta o comportamento do membro danificado, diminuindo sua capacidade de resistir a possíveis carregamentos.
2 Descrição do problema
Elementos tubulares são submetidos a momentos fletores, cargas axiais e combinação entre os dois tipos de carga. Em todos os casos de carregamento, há a presença da excentricidade que gera momento fletor secundário que acelera o processo de falha do elemento tubular, pois reduz sua capacidade residual.
Na Figura 3 apresenta-se uma idealização da estrutura como viga bi-apoiada submetida a carregamento combinado. Como citado anteriormente, considera-se que o furo se encontra na metade do comprimento, que é a região mais desfavorável do ponto de vista estrutural.
Figura 3 – Esquematização da viga.
As regiões I e II compreendem as partes intacta e perfurada, respectivamente. Para fins de simplificação do modelo a região perfurada é considerada como um rasgo no tubo, como pode ser visto no exemplo da Figura 4 (esquerda). Tal consideração torna o modelo mais conservador, pois a idealização real do furo apresenta menor perda de material, como representado na Figura 4 (direita).
Figura 4 – Representação do furo.
Na Figura 5 é possível verificar que a extensão do rasgo utilizada é a igual ao diâmetro do furo para um mesmo valor de ângulo geratriz. O valor de 𝑑 é função do ângulo geratriz como é possível ver na Figura 6.
Figura 5 – Representação do furo.
Figura 6 – Seção transversal típica.
O valor do diâmetro do furo 𝑑 é expresso pela seguinte fórmula:
𝑑 = 2𝑟 sen(𝜋 − 𝜃𝐴) (2.1-a)
A análise de perda de capacidade será feita para diferentes ângulos de furo e para diferentes razões diâmetro por comprimento, dessa forma é possível reescrever a equação (2.1-a) para que a extensão do rasgo varie em função dos parâmetros citados:
𝑑̅ = 𝑑 𝐿= sen(𝜋 − 𝜃𝐴) 𝐿 𝐷 ⁄ (2.1-b)
De acordo com a Figura 3, 𝑥𝑡 é a coordenada longitudinal, medida a partir da origem, que determina o ponto de transição entre a região intacta e a região do furo. Tal coordenada é expressa pela seguinte fórmula:
𝑥𝑡 =1 − 𝑑̅ 2 = 1 2(1 − sen(𝜋 − 𝜃𝐴) 𝐿 𝐷 ⁄ ) (2.2)
2.1 Propriedades geométricas da seção transversal
A capacidade da estrutura tubular perfurada encontra-se estreitamente relacionada com as propriedades de sua seção transversal. A perda de material provoca uma redução da integridade estrutural do membro que dependendo da magnitude do dano pode ser significativa, dessa forma comprometendo a segurança operacional da unidade.
Na Figura 7 está apresentada uma idealização da seção transversal de uma estrutura tubular perfurada de parede fina. Assume-se que o defeito é simétrico em relação ao eixo vertical da seção, o que fornece uma simplificação ao modelo.
A perda de material na parede do elemento produz uma mudança do eixo centroidal, essa variação denomina-se excentricidade e é medida com relação ao eixo centroidal intacto, na Figura 7 está representado por 𝑒. O parâmetro 𝜃𝐴 representa metade da área remanescente da seção transversal, considerando simetria em relação ao eixo vertical.
Para cada combinação de momento e carga axial o eixo neutro, que separa a zona comprimida da tracionada, assume uma posição correspondente, denomina-se 𝜂 a distância entre a linha neutra e o eixo centroidal modificado proveniente da perda de material.
2.1.1 Área remanescente
A presença do furo na estrutura provoca uma redução da área da seção transversal do membro. Para estruturas tubulares perfuradas de parede fina a área remanescente é expressa por: 𝐴𝑜𝑜 = ∫ 𝑑𝐴 Ω = 2 ∫ 𝐷 2 𝜃𝐴 0 𝑡 𝑑𝜃 = 𝜃𝐴𝐷𝑡 𝑜𝑛𝑑𝑒 0< 𝜃𝐴 <π (2.3)
A área total da seção intacta é representada pela seguinte expressão:
𝐴𝑥𝑥 = ∫ 𝑑𝐴 Ω = 2 ∫ 𝐷 2 𝜋 0 𝑡 𝑑𝜃 = 𝜋𝐷𝑡 (2.4)
A área remanescente pode ser adimensionalizada pela área da seção intacta, de forma que a análise independa do diâmetro externo D da seção transversal, da espessura t e seja função apenas do ângulo 𝜃𝐴, como pode ser visto na Figura 8.
𝛼 =𝐴𝑜𝑜 𝐴𝑥𝑥 = 𝜃𝐴𝐷𝑡 𝜋𝐷𝑡 = 𝜃𝐴 𝜋 (2.5)
Figura 8 – Gráfico de área adimensionalizada.
2.1.2 Excentricidade
A perda de material assimétrica em relação ao eixo de coordenadas horizontal produz um deslocamento vertical do eixo centroidal. A excentricidade ocasiona o surgimento de um momento secundário na estrutura, de magnitude igual ao produto da excentricidade em relação ao eixo centroidal intacto e a carga axial aplicada.
𝑀𝑠 = 𝑃𝑒 (2.6)
A presença do momento secundário pode intensificar o carregamento flexo-compressivo o qual a estrutura está submetida, pois dependendo de seu sentido pode ser somada com o momento primário que está sendo aplicado no membro, dessa forma reduzindo ainda mais a capacidade remanescente da estrutura perfurada.
Tendo como referência a geometria da seção transversal apresentada na Figura 7, a excentricidade pode ser determinada calculando o primeiro momento de área em relação ao eixo centroidal intacto.
𝑒𝐴𝑜𝑜 = ∫ 𝑦 𝑑𝐴 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑦 =𝐷
2𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑒 𝑑𝐴 = 𝐷
2𝑡 𝑑𝜃 (2.7)
𝑒 =∫ 𝑦 𝑑𝐴 𝐴𝑜𝑜 = 2 ∫ 𝐷 2cos 𝜃 ∙ 𝐷 2𝑡 𝑑𝜃 𝜃𝐴 0 𝜃𝐴𝐷𝑡 = 𝐷 2sen 𝜃𝐴 𝜃𝐴 (2.8-a)
Da mesma forma que foi feito na seção anterior para a área remanescente, é conveniente adimensionalizar a equação. Nesse caso a excentricidade é adimensionalizada pelo raio da seção transversal.
𝑒̅ = 𝐷𝑒 2
= sen 𝜃𝐴 𝜃𝐴
𝑜𝑛𝑑𝑒 0< 𝜃𝐴 < π (2.8-b)
Na Figura 9 está o gráfico da variação da excentricidade em função do ângulo 𝜃𝐴.
Figura 9 – Gráfico da excentricidade adimensionalizada.
2.1.3 Inércia modificada
O momento de inércia de área é uma propriedade geométrica da seção transversal de elementos estruturais. Fisicamente o segundo momento de inércia está relacionado com as tensões e deformações que aparecem por flexão em um elemento estrutural e, portanto, junto com as propriedades do material determina a resistência de um elemento estrutural sob flexão. A perda de material no membro provoca uma redução na inércia da seção transversal, que pode ser calculada da seguinte forma:
𝐼 = ∫ 𝑦2 𝑑𝐴 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑦 =𝐷
2𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑒 𝑑𝐴 = 𝐷
2𝑡 𝑑𝜃 (2.9)
Fazendo as substituições necessárias, obtém-se:
𝐼𝑚= 2 ∫ (𝐷 2cos 𝜃) 2 ∙𝐷 2𝑡 𝑑𝜃 𝜃𝐴 0 =𝐷 3𝑡 8 (𝜃𝐴+ sen 𝜃𝐴cos 𝜃𝐴) (2.10)
A equação representa a inércia da seção em relação ao eixo centroidal intacto, não levando em consideração a excentricidade presente na seção transversal, dessa forma para calcular a inércia em relação ao eixo centroidal modificado é necessário fazer uso do Teorema dos Eixos Paralelos:
𝐼𝑜𝑜 = 𝐼𝑚− 𝐴𝑜𝑜𝑒2 (2.11)
Substituindo a equação (2.10) em (2.11), o momento de inércia modificado é obtido: 𝐼𝑜𝑜 = 𝐷3𝑡 8 (𝜃𝐴+ sen 𝜃𝐴cos 𝜃𝐴) − 𝜃𝐴𝐷𝑡 ( 𝐷 2 sen 𝜃𝐴 𝜃𝐴 ) 2 (2.12)
A inércia da seção intacta, sem nenhum tipo de dano, é representada por:
𝐼𝑥𝑥 = 2 ∫ (𝐷 2cos 𝜃) 2 ∙𝐷 2𝑡 𝑑𝜃 𝜋 0 =𝜋𝐷 3𝑡 8 (2.13)
Da mesma forma que feito nas seções anteriores, também é conveniente obter o fator adimensional que relaciona a inércia modificada e a inércia intacta:
𝑓(𝜃𝐴) =𝐼𝑜𝑜 𝐼𝑥𝑥 =
𝜃𝐴2+ 𝜃𝐴sin 𝜃𝐴cos 𝜃𝐴 + 2 cos 𝜃𝐴2− 2
𝜋𝜃𝐴
(2.14)
Figura 10 – Gráfico da relação entre as inércias.
3 Capacidade residual da seção transversal
Assume-se que a estrutura é submetida a um carregamento combinado de momento e carga axial. No processo de carregamento a distribuição de tensões é linear somente no regime elástico, conforme o processo continua e a magnitude do carregamento aumenta, uma zona plástica começa a se formar de um lado da linha neutra, seguido da formação da segunda zona plástica do lado oposto, esse processo também ocorre nas seções vizinhas à seção que está sendo analisada. Para o propósito dessa seção considera-se que a estrutura está totalmente plastificada e que o material tem comportamento elástico-perfeitamente plástico. As deformações plásticas que precedem a formação do regime totalmente plástico não serão consideradas, já que o foco dessa seção é o limite plástico e não o mecanismo de transição. Dependendo da posição da linha neutra da seção, diferentes combinações de momento e carga axial podem ser geradas (Zyczkowski, 1981).
3.1.1 Carga axial aplicada no eixo centroidal
seção transversal típica de uma estrutura tubular perfurada está demonstrada na Figura 11 e na Figura 12 está ilustrada a distribuição de tensões para um carregamento combinado hipotético, a convenção utilizada é de sinal negativo para compressão e positivo para tração.
O ângulo α descreve a posição da linha neutra, dessa forma tem-se que:
𝛼 = acos(𝑒̅ + 𝜂) 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑒̅ = 𝑒
𝐷/2 (3.1)
Para se obter as forças resultantes trativas e compressivas integra-se as tensões na seção transversal:
𝑁+ = 𝐴+𝜎
𝑜 = 𝛼𝐷𝑡𝜎𝑜 (3.2-a)
𝑁− = 𝐴−𝜎𝑜 = (𝜃𝐴− 𝛼)𝐷𝑡𝜎𝑜 (3.2-b)
Os braços resultantes das forças positivas e negativas, isto é, as distâncias dos centroides das áreas sob tração e compressão, são dados pelo teorema do primeiro momento de área:
𝑟 =∫ 𝑦𝑑𝐴
∫ 𝐴 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑦 = 𝑟 sen 𝜃 𝑒 𝑑𝐴 = 𝑟𝑡 𝑑𝜃 (3.3) Figura 11 - Seção transversal típica.
Devido à presença da excentricidade na seção, os braços devem ser calculados em relação ao eixo centroidal modificado (Figura 12), dessa forma para o centroide da área sob tração, tem-se que:
𝑟+
̅̅̅ =∫ 𝑦𝑑𝐴 ∫ 𝐴 − 𝑒̅ =
sen 𝛼
𝛼 − 𝑒̅ (3.4-a)
Para a área em compressão:
𝑟−
̅̅̅ =∫ 𝑦𝑑𝐴 ∫ 𝐴 + 𝑒̅ =
(sen 𝜃𝐴 − sen 𝛼)
𝛼 − 𝜃𝐴 + 𝑒̅ (3.4-b)
As resultantes de força e momento fletor no regime plástico são obtidas por:
𝑁 = ∫ 𝜎𝑑𝐴 = 𝑁+− 𝑁−
(3.5)
𝑀 = ∫ 𝜎𝑟𝑑𝐴 = 𝑁+∙ 𝑟++ 𝑁−∙ 𝑟−
(3.6)
É possível reescrever as equações anteriores no formato adimensional, com isso a análise independe das propriedades geométricas da seção transversal e do tipo de aço.
𝑁̅ = 𝑁 𝑁𝑜=
𝑁+− 𝑁−
π𝐷𝑡𝜎𝑜 (3.7)
Onde 𝑁𝑜 representa a força axial aplicada na seção intacta com a seção
totalmente plastificada. Igualmente o momento fletor aplicado é dado por:
𝑀̅ = 𝑀 𝑀𝑃
= (𝑁̅̅̅̅ ∙ 𝑟+ ̅̅̅ + 𝑁+ ̅̅̅̅ ∙ 𝑟− ̅̅̅)− 𝜋
2
(3.8)
Onde 𝑀𝑃 = 𝜎𝑜𝑍𝑃 = 𝐷2𝑡𝜎𝑜 representa o momento da seção intacta totalmente plastificada e 𝑟̅̅̅, 𝑟+ ̅̅̅ são os braços adimensionalizados por 𝐷 2− ⁄ .
O parâmetro η descreve a posição da linha neutra e pode variar entre os limites [− (𝑒̅ + sen (𝜃𝐴 −
π
2)) , 1 − 𝑒̅]. Para η mínimo a seção assume o valor de máxima
tração possível, enquanto o momento é zero. Para η=0 o momento assume seu máximo valor, enquanto a força axial é zero. Finalmente, para η máximo a seção assume o valor máximo de compressão e o momento fletor é nulo.
Okada et al. (2001) apresentaram critérios similares para a resistência estrutural da seção de membros tubulares danificados sujeitos a carregamentos combinados. Definiu-se a seguinte equação governante:
𝑀 𝑀𝑃 = sen 𝜃𝐴 2 ∙ cos ( π 2 𝑁 𝑁𝑜) − sen 𝜃𝐴 2 (3.9)
A partir dessa formulação, um modelo linearizado foi proposto. 𝑀
𝑀𝑃,
+ 𝑁 𝑁𝑜,
= 1 (3.10)
A Figura 13 apresenta a comparação entre os modelos apresentados por Okada et al. (2001) somente válido para compressão, e o modelo proposto nesse trabalho.
Do gráfico é possível constatar que a presença de furo na estrutura afeta consideravelmente sua capacidade de resistir a carregamentos combinados. Quanto maior é o valor de 𝜃𝐴, menor é o ângulo do furo e maior a capacidade da seção.
Para o cenário de compressão o modelo aqui desenvolvido e o proposto por Okada et al. (2001) apresentam resultados muito semelhantes. Além disso, é possível constatar que o modelo linearizado apresenta um elevado grau de conservadorismo quando comparado ao modelo original.
3.1.2 Carga axial aplicada no eixo de coordenadas x
A formulação apresentada anteriormente considera que a força axial é aplicada no eixo centroidal modificado, porém se a força for aplicada no eixo centroidal intacto haverá a geração de um momento fletor secundário devido a excentricidade da seção transversal. O momento fletor secundário é uma carga de flexão adicional ao momento aplicado.
𝑀̅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑀̅𝑝𝑟𝑖𝑚á𝑟𝑖𝑜+ 𝑀̅𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑á𝑟𝑖𝑜 (3.11)
𝑀̅𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑á𝑟𝑖𝑜 = 𝑁̅ ∙ 𝑒̅ (3.12)
Na seção íntegra, sem danos, não há a presença de excentricidade, pois a seção é simétrica nos dois eixos de coordenadas, dessa forma não há a geração do momento fletor secundário. O sentido do momento fletor secundário depende do sentido da carga axial que é aplicada na seção. A partir do gráfico da Figura 14, nos quais os quadrantes são antissimétricos, é possível constatar que dependendo do sentido do momento fletor secundário, ele pode permitir que seja aplicado na seção um momento maior ou menor do que o momento total. No caso do primeiro quadrante o momento fletor secundário é positivo, portanto o momento total que a estrutura tem a capacidade de suportar é maior que o momento aplicado. Já no segundo quadrante, o momento fletor secundário é negativo, dessa forma o momento que é aplicado na estrutura é maior que o total.
Figura 13 – Capacidade da seção perfurada na presença de momento fletor secundário.
3.1.3 Carga axial aplicada no eixo de coordenadas y
A metodologia proposta na seção anterior consiste no carregamento combinado com carga axial aplicada no eixo de coordenadas x. Nessa seção será analisado o caso da seção transversal rotacionada, ou seja, considera-se que a carga axial é aplicada no eixo de coordenadas y. Nesse caso não há interferência da excentricidade causada pela perda de material, pois a variação do eixo centroidal é na mesma direção do eixo de coordenadas y.
De forma análoga à obtenção da equação (3.1) e considerando que a excentricidade é zero, tem-se que:
𝛼 = acos 𝜂 (3.13)
No caso em questão, o desenvolvimento das equações deve ser dividido em dois casos distintos. No primeiro caso (Figura 15) a linha neutra encontra-se em uma das regiões extremas, não compreendendo a região do furo, ou seja, 𝜃𝐴 > 𝛼 +
π
2. No segundo
caso (Figura 16) a linha neutra encontra-se na região do furo, 𝜃𝐴 < 𝛼 + π 2.
Primeiramente são obtidas as áreas para ambos os casos:
𝐴+ = { 𝛼𝐷𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜃𝐴 > 𝛼 + π 2 (𝛼 −𝛽 2) 𝐷𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜃𝐴 < 𝛼 + π 2 (3.14-a) 𝑂𝑛𝑑𝑒 𝛽 = { 𝜃𝐴− 𝛼 −π 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜃𝐴 > 𝛼 + π 2 𝛼 +π 2−𝜃𝐴 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜃𝐴 < 𝛼 + π 2 𝐴− = 𝜃𝐴𝐷𝑡 − 𝐴+ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 (3.14-b)
Definidas as áreas, pode-se representar a força axial por sua resultante:
𝑁̅ = 𝑁 𝑁𝑜 =𝑁 +− 𝑁− π𝐷𝑡𝜎𝑜 = 𝐴 +− 𝐴− π𝐷𝑡𝜎𝑜 (3.15)
Assim como o procedimento adotado nas Equações (3.4-a) e (3.4-b), é necessário calcular os braços resultantes das forças positivas e negativas, mas nesse caso a componente da excentricidade não é considerada.
Figura 15 – Seção transversal rotacionada (Caso 1).
Figura 16 – Seção transversal rotacionada (Caso 2).
𝑟+ ̅̅̅ =∫ 𝑦𝑑𝐴 ∫ 𝐴 = sen 𝛼 𝛼 (3.16-a) 𝑟− ̅̅̅ = 𝐴1 − ̅̅̅̅ ∙ 𝑦̅̅̅̅ + 𝐴𝑐1− 2 − ̅̅̅̅ ∙ 𝑦̅̅̅̅𝑐2− 𝐴− ̅̅̅̅ (3.16-b) 𝑂𝑛𝑑𝑒 { 𝐴1− ̅̅̅̅ = 𝛽 𝐴2− ̅̅̅̅ =𝜃𝐴 𝜋 − 𝐴1 − ̅̅̅̅ − 𝐴̅̅̅̅ = + π 2 𝑦𝑐1− ̅̅̅̅ =∫ 𝑦𝑑𝐴 ∫ 𝐴 = sen(𝛼 + 𝛽) − sen 𝛼 𝛽 𝑦𝑐2− ̅̅̅̅ =∫ 𝑦𝑑𝐴 ∫ 𝐴 = 2 ∙ cos𝜃𝐴 π
Para o segundo caso, onde 𝜃𝐴 < 𝛼 +π
2: 𝑟+ ̅̅̅ =∫ 𝑦𝑑𝐴 ∫ 𝐴 = (sen(𝛼 − 𝛽) + sen𝛼) 2𝛼 − 𝛽 (3.17-a) 𝑟− ̅̅̅ =∫ 𝑦𝑑𝐴 ∫ 𝐴 = (sen𝛼 − cos𝜃𝐴) 2𝜃𝐴 − 2𝛼 + 𝛽 (3.17-b)
A adimensionalização do momento total é feita de forma análoga à equação (3.8):
𝑀̅ = 𝑀
𝑀𝑃 = (𝑁̅̅̅̅ ∙ 𝑟+ ̅̅̅ + 𝑁+ ̅̅̅̅ ∙ 𝑟− ̅̅̅)− 𝜋 2
(3.18)
Com todas as equações estabelecidas é possível plotar o gráfico (Figura 17) para diferentes ângulos de furo. O primeiro caso é delimitado no intervalo [sen𝜃𝐴, 1] 𝑈 [−sen𝜃𝐴, −1] e o segundo no intervalo [−sen𝜃𝐴, sen𝜃𝐴].
Figura 14 – Comportamento da estrutura perfurada com carga aplicada no eixo de coordenadas y.
Diferentemente dos gráficos apresentados nas seções anteriores a Figura 17 apresenta simetria em relação ao eixo vertical, pois o intervalo de variação da linha apresenta geometria simétrica.
Comparando os resultados da Figura 13, onde a carga é aplicada no eixo centroidal modificado, e os resultados da Figura 17, onde a carga é aplicada no eixo de coordenadas y, constata-se que o caso da seção rotacionada apresenta uma capacidade estrutural consideravelmente maior que o caso, essa discrepância se deve ao fato que a variação do eixo centroidal ocorre somente no eixo de coordenadas y.
4 Capacidade global do elemento
Para a capacidade global do elemento foram desenvolvidos dois modelos, um modelo analítico e um modelo numérico. O modelo analítico considera apenas o regime elástico do material, enquanto o modelo numérico considera o comportamento elasto-plástico do material.
4.1 Modelo analítico
O modelo analítico visa estabelecer expressões que descrevem a redução da capacidade da estrutura perfurada de suportar carregamentos combinados, em função da propriedades do defeito, assim como a determinação dos valores críticos de carga e momento no regime elástico.
4.1.1 Equações governantes
A equação diferencial da curva de deflexão básica de uma viga é dada por:
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 =
𝑀 𝐸𝐼
(4.1)
Da Figura 3 tem-se que a estrutura está dividida em duas regiões, intacta e com furo, portanto os valores de momento fletor são diferentes para cada região:
𝑀 = −(𝑃𝑦1+ 𝑀) 𝑅𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝐼 (4.2-a)
𝑀 = −[(𝑃+𝑒)𝑦1+ 𝑀] 𝑅𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝐼𝐼 (4.2-b) Utilizando o subscrito 1 para a região I e subscrito 2 para a região II, as equações (4.2-a) e (4.2-b) podem ser reescritas da seguinte forma:
𝐸𝐼𝑥𝑥 𝑦1′′+ 𝑃𝑦
1 = −𝑀
(4.3-a)
𝐸𝐼𝑜𝑜 𝑦2′′+ 𝑃𝑦2 = −(𝑃𝑒 + 𝑀)
(4.3-b)
É possível reescrever as equações anteriores de forma adimensional fazendo as seguintes considerações:
{ 𝑥̅ =𝑥 𝐿 𝑦1 ̅̅̅ =𝐷𝑦1 2 ⁄ 𝑦2 ̅̅̅ =𝐷𝑦2 2 ⁄ 𝑃̅ = √ 𝑃𝐿 2 𝜋2𝐸𝐼 𝑥𝑥 𝑀̅ = 𝑀𝐿 2 𝐸𝐼𝑥𝑥𝐷⁄2 = 4 𝑀 𝑀𝑦 𝜎𝑦 𝐸 ( 𝐿 𝐷) 2
Reescrevendo as equações (4.3-a) e (4.3-b) tem-se que:
𝑦̅1′′+ 𝑃̅2𝜋2𝑦̅̅̅ = −𝑀1 ̅ (4.4-a) 𝑦̅2′′+𝑃̅ 2𝜋2𝑦 2 ̅̅̅ 𝑓(𝜃𝐴) = −(𝑃̅2𝜋2𝑒̅ − 𝑀̅ ) 𝑓(𝜃𝐴) (4.4-b)
As soluções das equações diferenciais lineares de segunda ordem são:
𝑦1 ̅̅̅(𝑥̅) = 𝑎 sen(𝜋𝑃̅𝑥̅) + 𝑏 cos(𝜋𝑃̅𝑥̅) − 𝑀̅ 𝑃̅2𝜋2 (4.5-a) 𝑦2 ̅̅̅(𝑥̅) = 𝑐 sen ( 𝜋𝑃̅𝑥̅ √𝑓(𝜃𝐴) ) + 𝑏 cos ( 𝜋𝑃̅𝑥̅ √𝑓(𝜃𝐴) ) − 𝑀̅ 𝑃̅2𝜋2 − 𝑒̅ (4.5-b)
Para determinar as constantes é necessário determinar as condições de contorno aplicadas ao problema: { 𝑦1 ̅̅̅(0) = 0 𝑦̅2′(1 2) = 0 𝑦1 ̅̅̅(𝑥𝑡) = 𝑦̅̅̅(𝑥2 𝑡) 𝑦̅̅ (𝑥1′ 𝑡) = 𝑦̅̅ (𝑥2′ 𝑡)
Lembrando que 𝑥𝑡 (equação (2.2)) é a coordenada longitudinal, medida a partir da origem, a qual determina o ponto de transição entre a região intacta e a região do furo.
A primeira condição garante que o deslocamento linear na origem é igual a zero, ou seja, não há deslocamento na direção y. A segunda garante que não há rotação no centro da estrutura, ponto de maior deslocamento linear. A terceira e a quarta garantem a igualdade de deslocamentos linear e angular no ponto de transição.
Aplicando as quatro condições de contorno é possível determinar as constantes:
𝑎 = 𝑑 sen ( 𝜋𝑃̅ 2√𝑓(𝜃𝐴) ) sen ( 𝜋𝑃̅𝑥𝑡 √𝑓(𝜃𝐴) ) cos ( 𝜋𝑃̅ 2√𝑓(𝜃𝐴) ) + 𝑑 cos ( 𝜋𝑃̅𝑥𝑡 √𝑓(𝜃𝐴) ) − 𝑒̅ −𝑀̅ cos(𝜋𝑃̅𝑥𝑡) 𝑃̅2𝜋2 sen(𝜋𝑃̅𝑥𝑡) 𝑏 = 𝑀̅ 𝑃̅2𝜋2 𝑐 = 𝑑 sen ( 𝜋𝑃̅ 2√𝑓(𝜃𝐴) ) cos ( 𝜋𝑃̅ 2√𝑓(𝜃𝐴) ) 𝑑 = (cos ( 𝜋𝑃̅ 2√𝑓(𝜃𝐴)) √𝑓(𝜃𝐴)(cos(𝜋𝑃̅𝑥𝑡)𝑒̅ 𝑃̅ 2𝜋2) + cos2(𝜋𝑃̅𝑥 𝑡)𝑀̅ + sen2(𝜋𝑃̅𝑥 𝑡)𝑀̅) / (𝑃̅2𝜋2(cos(𝜋𝑃̅𝑥𝑡) √𝑓(𝜃𝐴) sen ( 𝜋𝑃̅𝑥𝑡 √𝑓(𝜃𝐴)) sen ( 𝜋𝑃̅ 2√𝑓(𝜃𝐴)) + cos(𝜋𝑃̅𝑥𝑡) √𝑓(𝜃𝐴) cos ( 𝜋𝑃̅𝑥𝑡 √𝑓(𝜃𝐴)) cos ( 𝜋𝑃̅ 2√𝑓(𝜃𝐴)) − sen(𝜋𝑃̅𝑥𝑡) cos ( 𝜋𝑃̅𝑥𝑡 √𝑓(𝜃𝐴)) sen ( 𝜋𝑃̅ 2√𝑓(𝜃𝐴)) + sen(𝜋𝑃̅𝑥𝑡) sen ( 𝜋𝑃̅𝑥𝑡 √𝑓(𝜃𝐴)) cos ( 𝜋𝑃̅ 2√𝑓(𝜃𝐴))))
4.1.2 Valores críticos
A estrutura quando submetida a carregamento combinado de força axial e momento fletor se encontra em um cenário de flexo-compressão. A capacidade residual da estrutura perfurada é definida pela seguinte expressão:
Substituindo os valores das tensões, obtém-se que: 𝜎𝑦 ≥ 𝑃 𝐴𝑜𝑜+ [𝑃(𝑦𝑚𝑎𝑥 + 𝑒) + 𝑀]𝑑∗ 𝐼𝑜𝑜 (4.7)
A variável 𝑦𝑚𝑎𝑥 representa o máximo deslocamento linear da estrutura. Já 𝑑∗ é a
distância do eixo centroidal modificado até a fibra mais externa, como mostra a Figura 18:
Figura 15 – Representação da variável d*.
𝑑∗ = cos(𝜋 − 𝜃 𝐴)
𝐷 2 + 𝑒
(4.8)
Como já definido anteriormente nas equações (2.3), (2.8-a) e (2.12) tem-se que:
{ 𝐴𝑜𝑜 = 𝜃𝐴𝐷𝑡 𝑒 = 𝐷 2 sen 𝜃𝐴 𝜃𝐴 𝐼𝑜𝑜 = 𝐷 3𝑡 8 (𝜃𝐴+ sen 𝜃𝐴cos 𝜃𝐴) − 𝜃𝐴𝐷𝑡 ( 𝐷 2 sen 𝜃𝐴 𝜃𝐴 ) 2
Além disso, para possibilitar a adimensionalização da equação os seguintes parâmetros serão utilizados novamente:
{ 𝑃̅ = √ 𝑃𝐿 2 𝜋2𝐸𝐼 𝑥𝑥 𝑀̅ = 𝑀𝐿 2 𝐸𝐼𝑥𝑥𝐷⁄2 𝑒̅ =sen 𝜃𝐴 𝜃𝐴 𝑦̅ = 𝑦 𝐷 2 ⁄
Reescrevendo a equação (4.7) no formato adimensional, obtém-se que:
𝜆2 ≥𝑃̅ 2𝜋 𝜃𝐴 + 2𝑃̅2 𝑓(𝜃𝐴)(𝑦̅ + 𝑒̅)(𝑒̅ + cos(𝜋 − 𝜃𝐴)) + 2𝑀̅ 𝜋2𝑓(𝜃 𝐴) (𝑒̅ + cos(𝜋 − 𝜃𝐴)) (4.9)
Onde λ representa o coeficiente de esbeltez efetiva e é definido por:
𝜆 = 𝐿 𝑅𝑔√
𝜎𝑦
𝜋2𝐸
(4.10)
O raio de giração da viga tubular de parede fina é expresso da seguinte forma:
𝑅𝑔 = √𝐼𝑥𝑥 𝐴𝑥𝑥 = √𝜋𝐷 3𝑡 8 𝜋𝐷𝑡 = √ 𝐷2 8 (4.11)
Reescrevendo a equação (4.10) tem-se que:
𝜆2 = (𝐿 𝐷) 2 (8𝜎𝑦 𝜋2𝐸) (4.12)
Para exemplificar a capacidade residual de diferentes estruturas os parâmetros 𝐿
𝐷 e
𝜃𝐴 serão variados. O material definido para a análise é o aço API 5L grau B, que possui as propriedades apresentadas na Tabela 1:
Tabela 1 – Características do aço API 5L grau B.
Na Figura 19 está o gráfico que demonstra a relação de L/D pelo quadrado do coeficiente de esbeltez efetiva:
Figura 16 – Gráfico de esbeltez por λ2.
Foi desenvolvido no software Matlab um código com um método iterativo com o propósito de resolver a equação (4.9). Definido todos os parâmetros da equação com exceção do momento fletor e da carga axial, o seguinte procedimento é seguido para cada combinação de 𝐿
𝐷 e 𝜃𝐴:
i. Define-se 𝑀̅ = 0 para identificar qual é a carga axial máxima 𝑃̅𝑚𝑎𝑥; ii. Define-se 𝑃̅ = 0 para identificar qual é o momento fletor máximo 𝑀̅𝑚𝑎𝑥; iii. Para cada valor escolhido entre 0 e 𝑃̅𝑚𝑎𝑥, o momento fletor associado é
Nos gráficos das Figuras 20, 21 e 22 estão os resultados de capacidade residual para as combinações de L/D=20, 40 e 60 com 𝜃𝐴 =
2𝜋 3 , 3𝜋 4 𝑒 5𝜋 6. Os gráficos de
capacidade têm no eixo das ordenadas a variável M/My e no eixo das abcissas P/Py, os quais são representados pelas equações (4.13) e (4.14):
𝑀 𝑀𝑦 = 𝑀̅𝐸 4𝜎𝑦 (𝐷 𝐿) 2 (4.13) 𝑃 𝑃𝑦 = 𝑃̅2𝐸𝜋 8𝜎𝑦 ( 𝐷 𝐿) 2 (4.14)
Figura 18 – Capacidade para L/D=40.
Figura 19 – Capacidade para L/D=60.
também é função de 𝜃𝐴, que quanto maior for também permite uma capacidade residual maior.
4.1.3 Deslocamento linear
O deslocamento linear do elemento tubular é expresso pelas equações (4.5-a) e (4.5-b) definidas anteriormente. 𝑦1 ̅̅̅(𝑥̅) = 𝑎 sen(𝜋𝑃̅𝑥̅) + 𝑏 cos(𝜋𝑃̅𝑥̅) − 𝑀̅ 𝑃̅2𝜋2 0 ≤ 𝑥̅ ≤ 𝑥𝑡 𝑦2 ̅̅̅(𝑥̅) = 𝑐 sen ( 𝜋𝑃̅𝑥̅ √𝑓(𝜃𝐴) ) + 𝑏 cos ( 𝜋𝑃̅𝑥̅ √𝑓(𝜃𝐴) ) − 𝑀̅ 𝑃̅2𝜋2 − 𝑒̅ 𝑥𝑡 ≤ 𝑥̅ ≤ 1 2
As constantes já foram determinadas na seção anterior, dessa forma em posse dos outros valores é possível plotar os gráficos de deslocamento linear.
Foram plotados os gráficos (Figuras 23 e 24) de deslocamento dos casos de carga axial máxima (M=0) e momento máximo (P=0) para a combinação de 𝐿 𝐷⁄ = 20 e 𝜃𝐴 = 2𝜋 3⁄ , a fim de ilustrar como é a variação de deslocamento. 𝑃𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 e 𝑀𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 são os
valores máximos que garantem que a tensão sob a qual a estrutura está submetida não ultrapasse a tensão de escoamento.
Figura 20 – Deslocamento para L/D=40, θA=2π/3 e M=0.
4.2 Modelo numérico
A metodologia dessa seção consiste na utilização do software de elementos finitos Abaqus para analisar a capacidade residual de estruturas tubulares esbeltas sujeitas a carregamento de força axial, momento puro e combinado. A integridade estrutural depende da perda de material proveniente do dano, dessa forma, há a necessidade de considerar diferentes configurações de furo.
Nos casos de momento puro e carregamento combinado a aplicação do momento é feita considerando a condição mais crítica devido a localização do furo, conforme Figura 25.
Figura 22 – Condição crítica.
O material utilizado para as análises numéricas é o mesmo definido na seção 4.1.2., o aço API 5L grau B, cujas principais características estão apresentadas na Tabela 1. O material considerado tem comportamento elástico-perfeitamente plástico (Figura 26).
No caso analítico, as dimensões do tubo não precisaram ser definidas pois as equações estavam adimensionalizadas. Para as análises de elementos finitos as dimensões escolhidas estão apresentadas na Tabela 2. Tais dimensões foram escolhidas com base em tubos comerciais para representar em escala o elemento principal da estrutura de um flare boom, pois os dados dos casos de compressão axial serão comparados com resultados experimentais posteriormente.
Tabela 2 – Dimensões do tubo.
Nos casos de momento puro e carregamento combinado o output é feito por gráficos de momento fletor por deslocamento rotacional. Na Figura 27 está a representação geométrica da viga curvada e em seguida está a relação entre o deslocamento rotacional e curvatura para o tubo em questão:
Figura 24 – Representação da curvatura.
𝑘 =1 𝜌= 𝛥𝜃 𝐿 = 2𝜃 𝐿 (4.15)
Onde k é a curvatura, L é o comprimento do tubo e ρ é o raio de curvatura. Para o tubo em questão L=2 m.
4.2.1 Tipo de elemento
Para a modelagem do elemento tubular em malha de elementos finitos foi utilizado o elemento do tipo B31, que é um elemento tipo viga Timoshenko, que considera o efeito de cisalhamento durante a flexão. B31 é um elemento tridimensional e utiliza interpolação linear (Figura 28). As vantagens desse tipo de elemento são que possuem poucos graus de liberdade, geometria simples, além de poder ser utilizado para modelagem de membros de espessura fina ou grossa.
Figura 25 – Elemento B31.
Foi feito um estudo de refinamento de malha que visa estabelecer o número de elementos, de forma a fornecer uma solução com boa precisão e com o menor esforço computacional. Com o resultado de tal estudo foi estabelecido que cada seção da viga teria 40 nós, totalizando 120 nós (Figura 29), lembrando que a região central é onde o rasgo está situado.
Figura 26 – Nós.
O perfil das regiões intactas (esquerda e direita) utilizado foi o pipe thin-walled, que é definido pelo raio externo e espessura da parede. A integração desse perfil utiliza o Método dos Trapézios com 8 pontos (Figura 30).
Figura 27 – Perfil pipe.
Na região perfurada (central) foi utilizado o perfil arbitrário, na Figura 31 se encontra um exemplo desse tipo de perfil. Para definir esse perfil o input é o número de segmentos e as coordenadas A e B de cada, e a espessura do segmento que conecta esses dois pontos.
Figura 28 – Perfil arbitrário.
Para definir o perfil arbitrário que representa a seção transversal do tubo com perda de material foram definidos 300 pontos, conforme mostra o exemplo da Figura 32 (perfil utilizado para o furo de 60 graus). Através do Abaqus é possível verificar a excentricidade, área e inércia da seção, devido ao grande número de pontos utilizados para definir o perfil, os valores de saída do programa e os calculados analiticamente coincidem.
Figura 29 – Perfil para o furo de 60 graus.
4.2.2 Condições de contorno
As condições de contorno para o modelo numérico são baseadas na referência da Figura 33 e estão apresentadas na Tabela 3.
Tabela 3 – Condições de contorno.
4.2.3 Carga axial
A aplicação de força axial é feita a partir de deslocamento linear aplicado no nó extremo esquerdo. Para todos os casos foi aplicado um deslocamento de 4 mm no eixo de coordenadas x, é importante ressaltar que o tubo não deslocará os 4 mm sem falhar, porém, o importante é identificar o valor de força máxima. Na Figura 34 está o gráfico de força por deslocamento para diferentes configurações de furo.
Figura 31 – Gráfico de força por deslocamento.
de 60° (ângulo mais encontrado em furos reais em flare booms) a resistência diminui de 1592,2 kN para 1016,3 kN, ou seja, a capacidade da estrutura reduz mais de 35%.
Para um projeto externo do Núcleo de Estruturas Oceânicas (COPPE/UFRJ) [2] foi desenvolvido um modelo numérico utilizando elemento de casca para determinar a capacidade residual das estruturas perfuradas sob compressão uniaxial. O modelo de casca foi aplicado para as mesmas dimensões e configurações de furo do modelo de viga, a comparação dos valores críticos está na Tabela 4.
Para o mesmo projeto citado foram realizados testes experimentais para comparação de resultados com a análise numérica. A análise experimental levou em consideração as imperfeições da amostra, como o empenamento do tubo e imperfeições geométricas das seções. A variação de espessura deve-se principalmente aos processos de fabricação dos tubos e às variações geométricas, ovalizações ou impactos nas estruturas durante os processos de conformado/manufatura, transporte e usinagem das amostras. Os valores experimentais estão apresentados na Tabela 4.
Tabela 4 – Comparação de resultados para compressão.
O modelo de viga apresenta menores resultados de força máxima em comparação ao modelo de casca, porém os valores são relativamente próximos, a maior variação percentual é de 4,9%. Os valores obtidos pela análise experimental são mais altos do que os obtidos pelos modelos numéricos, porém isso pode ser justificado pelo fato de que os modelos de casca e viga utilizaram as características nominais do aço, os valores reais são diferentes, inclusive variam de amostra para amostra.
4.2.4 Momento puro e carregamento combinado
A aplicação de momento fletor puro é feita a partir de deslocamentos angulares nos nós extremos, o maior valor aplicado foi de 0,03 rad (1,72°). O sentido de aplicação das rotações é o que promove a condição mais crítica (Figura 25).
Para o carregamento combinado as combinações de momento e força serão feitas para 20%, 40%, 60% e 80% da força máxima, a qual foi definida na seção anterior. Esse caso é dividido em dois steps, no primeiro step é aplicada a força compressiva no nó extremo esquerdo, no segundo step a força é mantida e é aplicado o deslocamento angular nos nós extremos. Foram elaborados os gráficos de momento fletor por deslocamento angular para o tubo intacto e para os furos de 60°, 120°, 180° (Figuras 35, 36, 37 e 38).
Figura 33 – Gráfico de momento por rotação para o tubo com furo de 60°.
Figura 35 – Gráfico de momento por rotação para o tubo com furo de 180°.
A resistência é significativamente reduzida com o aumento do ângulo do furo, além disso quanto maior a força aplicada menor é a capacidade da estrutura de suportar o carregamento. O resumo dos resultados está apresentado na Tabela 5.
Tabela 5 – Resumo dos resultados para carregamento combinado.
muda de 60° para 120° a redução da força axial e momento admissíveis gira em torno de 45%, o que representa uma perda de integridade estrutural muito significativa.
Tabela 6 – Perdas percentuais envolvendo os furos de 60° e 120.
Uma grande vantagem da análise de elementos finitos é a visualização gráfica das tensões na estrutura. Como citado na seção 4.2.1. na região do furo foi utilizado o elemento arbitrário, de acordo com o manual do programa a visualização de beam stresses (tensões de Von Mises nos nós) tem uma limitação em representar as tensões no elemento arbitrário, esse tipo de contorno só está definido para perfis pré-definidos, como por exemplo o perfil pipe que foi utilizado para definir a região intacta. É importante ressaltar que é apenas uma limitação gráfica, as tensões são corretamente calculadas no elemento arbitrário. As Figuras 39 e 40 ilustram a representação das tensões do caso do furo de 60° com o carregamento combinado de 20% da força crítica e momento fletor. A região branca nas figuras é exatamente a região que o elemento arbitrário foi utilizado.
Figura 37 – Vista inferior do tubo, tensão de Von Mises (MPa).
A partir das análises realizadas é possível construir os gráficos de momento fletor por carga axial. Nos gráficos das Figuras 41, 42, 43 e 44 além dos resultados do modelo numérico por viga, também estão plotados os resultados das análises analíticas e numéricas por casca. Os valores das análises numéricas por casca para carregamento combinado foram fornecidos pela ex-aluna do Núcleo de Estruturas Oceânicas e do Curso de Engenharia Naval e Oceânica Marcella Dias de Freitas, tais análises foram apresentadas em seu projeto de graduação [3].
Figura 38 – Gráfico de momento por força para o tubo intacto.
Figura 40 – Gráfico de momento por força para o tubo com furo de 120°.
Figura 41 – Gráfico de momento por força para o tubo com furo de 180°.
A partir dos gráficos apresentados constata-se que o modelo analítico apresentou valores bem abaixo dos encontrados pelos modelos numéricos, isso já era esperado pois como já comentado anteriormente o modelo analítico considerou somente o
5 Conclusão
Avaliaram-se os efeitos da perda de material na capacidade da seção transversal, considerando o regime plástico. Para capacidade global da estrutura, o modelo analítico considerou o regime elástico e o numérico considerou o comportamento elasto-plástico do material. Além disso, foram identificadas as relações entre as propriedades da seção intacta e seção perfurada, como área e inércia.
Em vista dos resultados apresentados, pode-se dizer que dependendo da configuração do furo presente na estrutura a capacidade residual do elemento é consideravelmente reduzida. Na análise da integridade da seção transversal da seção 3.1.1., para o caso de momento puro, um furo de 120° na estrutura reduz a capacidade da seção em mais de 50% (Figura 13), o que é um valor muito significativo em termos de segurança operacional.
Na análise analítica do comportamento global do elemento, é possível constatar que quanto maior a razão L/D do membro, maior é sua capacidade de suportar carregamentos combinados. Além disso, quanto maior for o ângulo do furo, menor é a capacidade residual da estrutura. Através da análise numérica foi possível validar os resultados encontrados na análise analítica, visto que os resultados são coerentes. A partir da Tabela 4 é possível verificar que para uma mesma configuração de furo, quanto maior é a força aplicada na estrutura, menor é a capacidade da mesma de suportar momento fletor. Através da análise dos valores da Tabela 5 verifica-se que quando a configuração do furo muda de 60° para 120° a redução da força axial e momento admissíveis gira em torno de 45%, o que representa uma perda de integridade estrutural muito significativa. Com o resultado desse trabalho é possível avaliar como a perda de material afeta a capacidade da estrutura tubular submetida a carregamento combinado, dessa forma fornecendo critérios auxiliares na tomada de decisões sobre o reparo de estruturas que atingiram um certo nível de degradação em sua operação.
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