análise 3

(1)

22460-320 Rio de Janeiro, RJ Impresso no Brasil / Printed in Brazil Capa: Rodolfo Capelo e Noni Geiger.

Coleção Matemática Universitária Comissão Editorial:

Elon Lages Lima (Editor) S. Collier Coutinho Paulo Sad

Títulos Publicados:

• Análise Real, vol. l: Funções de uma Variável - Elon Lages Lima • EDP: Um Curso de Graduação - Valéria lório

• Curso de Álgebra, Volume l - Abramo Hefez • Álgebra Linear - Elon Lages Lima

• Introdução às Curvas Algébricas Planas - Israel Vainsencher

• Equações Diferenciais Aplicadas - Djairo G. de Figueiredo e Aloisio Freiria Neves • Geometria Diferencial - Paulo Ventura Araújo

• Introdução à Teoria dos Números - José Plínio de Oliveira Santos • Cálculo em uma Variável Complexa - Mareio G. Soares

• Geometria Analítica e Álgebra Linear - Elon Lages Lima • Números Primos: Mistérios e Recordes - Paulo Ribenboim • Análise no Espaço R" - Elon Lages Lima

• Análise Real, vol. 2: Funções de n Variáveis - Elon Lages Lima • Álgebra Exterior - Elon Lages Lima

• Equações Diferenciais Ordinárias - Claus Ivo Doering e Artur Oscar Lopes • Análise Real, vol. 3: Análise Vetorial - Elon Lages Lima

Distribuição: IMPA

Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ e-mail: ddic@impa.br

http://www.impa.br _{BIBLIOTECA UNIVERSITÁRIA}

2792107-0 /

Conteúdo

l Integrais Curvilíneas l 1 Formas diferenciais de grau l l 2 Integrais curvilíneas 11 3 Invariância homotópica 14 4 O número de voltas de um caminho fechado 21 5 Exercícios 24 2. Formas Alternadas 28 1. Aplicações r-lineares 28 2. Formas alternadas 31 3. Determinantes 34 4. O produto exterior de funcionais lineares 38

5. Coordenadas e matrizes em 2lr(.E) 40

6. A Álgebra de Grassmann 43 7. Exercícios 47 3. Formas Diferenciais 50 1. Primeiras definições 50 2. A diferencial exterior 56 3. Exercícios 65 4. Ohne Titel 67 1. A vizinhança tubular 67 2. Partições da unidade 75 3. O Teorema de Jordan-Brouwer 83 Apêndice: Toda hiperfície compacta é orientável 87 4. Exercícios 89 T.. O Teorema de Stokes 91 1. Integral de superfície 91 2. Superfícies com bordo 98 3. ( ) Teorema de Stokes 109 •I. A orientação induzida no bordo 113

,rt. Amíliso vetorial clássica 118

(2)

6. Soluções dos Exercícios 1. Integrais curvilíneas . . . . 2. Formas alternadas 3. Formas diferenciais 4. Ohne Titel 5. O Teorema de Stokes . Referências Bibliográficas índice Remissivo 124 .124 .128 .133 .136 .137 141 142

Prefácio

Em prosseguimento aos assuntos tratados nos dois volumes ante-riores, fazemos neste livro uma introdução às integrais curvilíneas e de superfície.

Tradicionalmente, as superfícies sobre as quais se calculam essas in-tegrais são aquelas contidas no espaço tridimensional. Isto permite que se integrem campos de vetores. Se, entretanto, a co-dimensão da su-perfície é superior a l (mesmo que ela seja bidimensional) , nela não faz sentido integrar um campo de vetores. O objeto adequado para ser posto sob o sinal de integral é uma forma diferencial, dado o seu caráter intrínseco, independente da parametrização tomada para representá-la analiticamente.

Outra grande vantagem das formas sobre os vetores é o seu lado func-torial, que se exprime assim: se / : M — > N é uma aplicação diferenciável da superfície M na superfície N, a cada forma w em N corresponde uma forma /*o> em M e a correspondência w i->- f*w goza de propriedades simples, elegantes e úteis. (Trata-se, na verdade, de uma formalização do antigo conceito de mudança de variáveis.) Campos de vetores, por seu turno, são rígidos. Não se prestam a mudanças de variáveis, salvo em casos bem especiais.

A Análise Vetorial clássica gira em torno dos chamados Teoremas Integrais, associados a nomes ilustres como Gauss, Green, Stokes, Rie-n i i u i Rie-n , Ostrogradsky, etc. Com o uso das formas difereRie-nciais (especial-mente da diferenciação exterior devida a E. Cartan) todos esses teoremas se reduzem a um único, conhecido (um tanto injustamente) como Teo-rema, de Stokes, o qual se exprime de maneira concisa e elegante sob a Kxplicar o significado da igualdade acima, esclarecendo cada conceito nela envolvido, dar algumas aplicações e ilustrar as diversas utilidades i Ir NCIIS componentes é o principal objetivo deste livro.

l'! quase desnecessário esclarecer que este pequeno trabalho contém apriius u n i a , introdução a alguns assuntos relevantes, cuja presença no r n i T Í r n l o universitário considero importante. Os tópicos aqui

(3)

apresenta-dos serão reencontraapresenta-dos mais tarde em diferentes teorias matemáticas. Para a publicação deste livro, contei com a colaboração de Fran-cisco Petrúcio, que cuidou das figuras, Aryana Cavalcante, que fez uma cuidadosa revisão, José Regis, que revisou os dois primeiros capítulos e Wilson Góes, que se encarregou da digitação.

Rio de Janeiro, junho de 2007 ELON LAGES LIMA

Integrais Curvilíneas

l Formas diferenciais de grau l

Como vimos no Vol. 2 (pag. 101), se /: U — > R é uma função diferen-ciável no aberto U C Kn, sua diferencial em cada ponto x e U é o funcional linear df(x) £ (W1}* cujo valor no vetor v € W1 é

Na notação tradicional do Cálculo, a base canónica de (R™)*, dual da base canónica {ei, . . . , en} C Mn, é representada por {dxi, . . . , dxn}.

A expressão do funcional df(x) em termos desta base é

1=1

Isto sugere a definição seguinte.

Uma/orma diferencial de grau l, ou simplesmente uma 1-forma de-I m i i l a . no conjunto X C M", é uma aplicação w: X -> (R")*. A cada I M I H I . I I :c c- X, u associa o funcional linear w(x), o qual se exprime em l,ci mós da base {dx\, . . . ,dxn} C (En)* como

AM funções n\ . , «„ : X —> IR, cujos valores em cada ponto x e X nu coordenadas do funcional ui(x) na base canónica, são tais qne

(4)

2 Integrais Curvilíneas Cap. l _{Seção l} _{Formas diferenciais de grau l 3}

di(x) = u](x) • GÍ . Quando X = U C K" é aberto e essas funções são de

classe Ck, diz-se que o; é uma forma de classe Ck e escreve-se w 6 Ck .

Se u; = df é a diferencial de uma função / : [7 — > K, diz-se que to é uma

forma exata em Í7 e que / é sua primitiva,. Evidentemente, se c G R, f + c também é primitiva de LU.

Ao afirmar que a forma LU é exata, é indispensável especificar seu domínio U. Uma fornia u: U — >• (Rn)* pode ser exata num aberto

V C U e não ser exata em [7.

Intimamente associado à 1-forma ui: X — > (Rn)* é o campo de ve-tores f : X — > Kn tal que w(x) • u = (v (x], u) para todo vetor u G Rn e todo ponto x- e X. Em cada ponto x € X, se w (.r) = ]P a.i(x)dxi então t>(x) = (ai (x), . . . , an(x)) = ^ cii(x)ei . A forma w = d/ é exata se, e somente se, t> = grad/. A função / chama-se então uma função

potencial do campo v.

Assim, o estudo das formas diferenciais de grau l definidas em sub-conjuntos do espaço Rn equivale ao estudo dos campos de vetores de-finidos nesses conjuntos e a questão de saber se uma forma é exata ou não corresponde a indagar se o campo de vetores que lhe corresponde é um campo gradiente.

Uma condição necessária para que a 1-forma u = ^ a^dxi , de classe

C1 no aberto U C R™, seja exata é que sejam satisfeitas as chamadas

r ~ , i - 4 i. -r j J daí da3 r • 1 \ de integrabilidade — — = — — (z, j = l, . . . , n). OXj OXi

Com efeito, se u = df então ai = i , portanto

da,j d2f

dxidxj

da,

em virtude do Teorema de Schwarz. Analogamente, as condições —^ = r\ são. necessárias para que o campo de vetores C1, v: U —> W1, dado

por v (x) = (ai ( x ) , . . . , an(x)), seja o campo gradiente de uma função /: [7->.R, de classe C2.

Quando LU: U —>• (Mn)*, de classe C1, cumpre as condições da<i/dxj — daj/dxi, diz-se que a forma to c fechada. Com esta terminologia, toda

forma exata é fechada.

Mas nom toda forma fechada é exala. Um exemplo é fornecido pela

forma O: M2 - {0} ->• (R2)* definida por

rw N -y

x2 + y2 dx +

x2 + y2dy.

Escrevendo fi = adx + frcfy, um cálculo simples mostra que

dx (x2 + y

y

2

- x

2 2\2

da dy '

logo fi é fechada. Entretanto, se U C R2 — {0} é um aberto que contém uma circunferência C, de raio r e centro na origem, O não é exata em

U. Para mostrar isto, consideraremos o campo de vetores v: U —> IR2, associado a Í2, o qual é dado por

l''l|.',iini l. Campo do vetores unitários u ( x , y ) =

_

Trm i;i' l i n i (r,,/) .

, s — l

(5)

4 Integrais Curvilíneas Cap. l

Provaremos que v não é o gradiente de uma função f : U —>• R. Com efeito, uma tal /, com v = grad/, assumiria um valor máximo no ponto p da circunferência C, a qual é um conjunto compacto. Então

V(P) — grad/(í>) seria normal a C, logo múltiplo do vetor Op o que é

absurdo.

Conhecida como o elemento de ângulo no plano, a 1-forma Q provém da tentativa de definir, no aberto U C R2 — {0}, uma função-ângulo

0: U -> R, de classe C"30, cujo valor em cada ponto z = (x, y) e U seja uma determinação em radianos do ângulo que o semi-eixo positivo das abcissas faz com a semi-reta Oz. Mais precisamente, 6: U -> R deve ser

C°° e, para cada z = (x, y) e U, deve-se ter

cos 9(x, y) = e sen6(x,y) =

y

_(*)

x

Figura 2. A função-ângulo 9. Tem-se cosO(x,y] = x/^x2 + y2.

A relação entre a 1-forma fi e as funções-ângulo é estabelecida pelo teorema seguinte.

Teorema 1. Há uma função-ângulo 0: U -{0}

-y

_{rd,X +} no aberto U C_{-,dy é exata em U.}

se, e somente se, a forma O = ^ , „ 0,

x2 + y x2 + y2

Demonstração: Mostraremos primeiro que se existir uma função-ângulo

0: (J —> R então dO = íl ein U. Com efeito, das ignaJdades (*) acima.

Seção l Formas diferenciais de grau l 5

resulta que -isto é Q Segue-se que — = ou seja,

y

_ fí ~dx'S' ' ~

y

+ y /X2 + y2 X' + y2 ^& + .

- em todos só pontos (x, y) e U com y ^ 0. De modo análogo, derivando em relação a o; ambos os membros da segunda das igualdades (*) e utilizando a primeira delas, obtemos

Õ9_ dx

-y

x + y2

00

S°

-y

cm todos os pontos (x, y) e U com x 7^ 0. Como U C R2 — {0}, em todos os pontos de U. De modo , logo de = Cl em U. D , 00 concluímos que — = (J JL J-i \

de x

Hemelhante, se vê que —— = —^— oy xz

+1/-A demonstração da recíproca é mais longa e resulta da sequência de proposições que estabeleceremos abaixo.

Proposição A. Se 9: U —> R é uma função-ângulo então ô: U -> R

l,(inil)('m é se, e somente se, O = 6 + Ikn onde k G Z é constante em cada componente conexa de U.

I himonstração: Basta observar que dois números reais têm o mesmo HI'iio c; o mesmo cosseno se, e somente se, diferem por um múltiplo inteiro i Io li/i. 10, alem disso, uma função contínua com domínio conexo e valores inteiros é constante. D 1'roposição B. Se p = Ob é a semi-reta em R2 que parte da origem e

i'tiul("in. o ponto b e S*1, então existe uma função-ângulo 0: R — p —> R. Demonstração: A junção da Euler E: R -> S1, definida por E (t) = ( r i « i /, sen /,), é um difeomorfismo local sobrejetivo entre as "superfícies"de i I l m n i H u o l , IR e S], pois sua derivada é ^ O (logo bijetiva) em todo ponto

/ t |R. Assim, quando restrita a um aberto U C R no qual é injetiva, /'.' é n m d i Isomorfismo de U sobre E (U). Em particular, em todo inter-valo n h c r t o (a, a + 2?r) de comprimento 2?r, E é um difeomorfismo sobre •V ) / ) ) , / ; = , li (a). Dado b E S1, escolhemos um ponto a 6 R tal que

(6)

(i Integrais Curvilíneas Cap. l

E (a) = ò, definimos a função-ângulo 6: M2 — p —t R pondo, para todo

O

-H

S

_{E(t) = (cosi, sen í)}

x

Figura 3. A função de Euler E: R -» S1.

(Note que, como z £ p, tem-se z/\z\ ò, logo-E"1: S*1 -{b} -)• (a, a+2yr)

está definida no ponto zf\z\.) D Corolário 1. Todo ponto z G M2 — {0} é centro de um disco aberto onde

está definida uma função-ângulo.

Corolário 2. Se uma função 6: U —> M, contínua no aberto U C R2 — {0}, é tal que cos 0(x, y) = x/^/x2 + y2 e sen 9(x, y] — y/^x2 + y2 para todo ponto (x, y) E U então d e C°° e, portanto, é uma função-ângulo.

Com efeito, todo ponto ZQ = (xo,yo) £ U pertence a um disco aberto

D C U, no qual está definida uma função-ângulo 0. Como cos 6 = cos 6

e sen# = sení? em C/, segue-se que para todo ponto z = (x,y)_e D existe um inteiro k tal que O (x, y) = 9(x, y) + 2kn. Como 9 e 6 são contínuas no conjunto conexo D, o número k é constante em D. Sendo

9 de classe (7°°, concluímos que 9 e C00 ria vizinhança, de u n i ponto

arbitrário z<) G í/, ou seja, 0: U -> IR é uma função-ângulo. D

Secão l Formas diferenciais de grau l 7

Corolário 3. A forma elemento de ângulo é localmente exata. R a a + 27T

= (z, y)

Figura 4. Uma função-ângulo 0 : R — p — > R.

Proposição C. ,Seja C/ = um aberto conexo em expresso A6L

mm» reunião de discos abertos. Suponha que a cada A € L corresponde

um número real t\ que t\ t^ € TL sempre que. D\ D^ ^ 0. Se, para algum AO G L, tem-se t\ G Z então t\ Z para todo A G Z-.

Demonstração: Dado arbitrariamente A G L, existem discos D\,D\, , , . , l)\ = DA tais que DA^ H DAÍ 7^ 0> Para « = l,. • • , ^, pois U é conexo. Então t\ (ÍA^ ~~ ^ A ^ _ I ) + • • • + (ÍA2 ~~ ÂI) + (ÂI ~ Âo) + Â0 é

uma soma de inteiros, logo t\ Z. D Observação. A reunião dos discos DA , A G L, que podem ser ligados n, l>\ por uma cadeia da forma acima é certamente um aberto em U. Tiunhém é aberta a reunião dos discos D A , A G L, que não podem m-r li|';;i,(los a DAO desta forma. Esses dois abertos são disjuntos e o p r i m e i r o não é va/io. Então o segundo é, pois U é conexo. Isto justifica n u l i t ina,ç;u) feita na demonstração.

A proposição seguinte completa a demonstração do Teorema 1. ('ropn.signo D. Sc. a forma clc.rnc.nto de. ângulo íí é exata no aberto

(7)

Demonstração: Suponhamos inicialmente que U seja conexo. Seja /: U -> IR tal que df = íí em U. Pelo Corolário l da Proposição B,

podemos escrever U = [J D\e modo que em cada disco aberto D\á definida uma função-ângulo 6\: D\ > R. Fixemos um XQ £ L.

No conjunto conexo D\ as funções / e 6\ têm a mesma diferencial fi. Portanto / — Q\ = c é constante em D\ . Substituindo / por / — c, que também é uma primitiva de Í7, podemos admitir que / = 0\ em

D\ . Para todo A € L, a diferença / — 9\ constante em D\ ponhamos

ÍA = ir- (f — 0\)- Se D\ D^ ^ 0, como 9\ 9^ são funções-ângulo no £i7V

conjunto conexo D\ D^ , concluímos que

é um inteiro. Além disso, t\ = 0. Segue-se da Proposição C que t\&TL

para todo A. Conseqúentemente, / (ou / — c na notação inicial) é uma função-ângulo. Caso U não seja conexo, o argumento acima prova que existe uma função-ângulo em cada componente conexa de U, a qual é um conjunto aberto. Essas funções, consideradas conjuntamente, dão uma função-ângulo O : U — > R. D Exemplo 1. Uma função u: U — > M, de classe C2 no aberto U C IR2,

d2u d2u

chama-se harmónica quando satisfaz a equação de Laplace — ^ H 0. Isto equivale a afirmar que a 1-forma w = du

— ^

--dx2 dy2

— dx H -- dy, definida

oy ox

em U, é fechada. Para que a forma o; seja exata, deve existir uma função

dv —du dv du

U , de classe C , tal que — — = e ~ — Estas são as

dx dy dy dx

equações de Cauchy-Riemann. (cfr. Vol. 2, Cap. 5, Exemplo 7.) Elas significam que a função /: U -» C, definida por f (z) = u(z) + iv(z),

é holomorfa, isto é, possui derivada no sentido complexo em todos os

pontos de seu domínio U. Portanto a função harmónica u: U —> M é a parte real de uma função holomorfa /: U —>• C se, e somente se, a

f j l f / / ? /

1-forma fechada w: U —> (R2)*, u = —— dx + -— dy é exata.

dy dx

Exemplo 2. Vejamos dois casos particulares do Exemplo 1. A função

u: R2 —>• R, definida por u(x,y) = x2 — y2, é harmónica. A 1-forma

a ela associada é u = 2ydx + 2xdy, a qual é exata: u ~ dv, onde '«(.r, y) = 2.r y. E, do fato, u é a parte real da função holomorfa / : '(" > C,

Seção l Formas diferenciais de grau l 9

l

Por outro lado, a função harmónica n: R2 — {0} R,

-y

2 2

x -\- y dx ~\ y) = - log(ar + y ) origina a 1-forma Í7 =

Z

que não é exata em M2 — {0}. Logo, u = -log(x2 + y2) não é a parte

Z

real de uma função holomorfa em R2 — {0}.

Exemplo 3. Seja / = a + ib uma função holomorfa no aberto U C C. Em virtude das equações de Cauchy-Riemann, as 1-formas ui = adx — bdy e (p = bdx + ady são fechadas. Elas são exatas em U se, e somente se,

du du

existem funções u, v : U — > R, de classe C2, tais que —— = a, — — = —6,

ox oy

õv dv

— = b e — = a. Então a função complexa g = u + iv: U — >• C cumpre

ox oy

du du

as condições de Cauchy-Riemann, logo é holomorfa, e g1 — — — h i -^- = C/X C/X (i + ib = /. Portanto, a fim de que a função holomorfa f : U —> C,

dada por f = a + ib, possua uma primitiva g: U — >• C (isto é, g' = /) ó necessário e suficiente que as 1-formas fechadas u = adx — bdy e

(p = bdx + ady sejam ambas exatas em U.

Kxemplo 4. Como caso particular do Exemplo 3, tomemos / : C — {()} ->• C, f (z) = l/z = x/(x2 + y2) - iy/(x2 + y2). Com a notação

iicima, temos ui = (xdy + ydx] / (x2 + y2) e <p = O = elemento de ângulo.

A l -forma w é exata em C— {0}; de fato w = du, onde u = log \fx2 + y2.

Mas sabemos que fi não é exata, logo / não admite primitiva em C— {0}. l 'ara concluir estas considerações gerais sobre 1-formas fechadas e exalas, ampliaremos a validez do Corolário 3 da Proposição B acima, provando que todo ponto do domínio de uma forma fechada possui uma vi/inliança, restrita à qual a forma é exata. Este é o significado do Trnroma 2. Toda forma fechada é localmente exata.

l )iiiimnst;ração: Provaremos que, num disco aberto em W1, toda forma

|i'rli;ula é exata. Para simplificar a notação, consideraremos a forma Inchada w = adx + bdy + cdz, definida no disco aberto U com centro na

. da db da de db de

• I M I T I U cm IR . Temos — = — , — = — e TT = TT" Definimos a

oy ox oz ox oz oy

I n i i r í i u /' : (l > K, pondo, para todo (x, y, z) e U:

(8)

10 Integrais Curvilíneas _{Cap. l} Seção 2 Integrais curvilíneas 11

Designemos por A : [0,1] —> U o caminho retilíneo que liga a origem ao ponto (x, y, z) 6 U. Pela Regra de Leibniz (derivação sob o sinal de integral, cfr. Teorema 3 do Cap. 3, vol. 2) temos

— (x, y, z) = dx JQ da — dx db de — - t y + -—-tz\ ox dx

onde as derivadas parciais são calculadas no ponto (tx,ty,tz). Como

db/dx — da/dy e dc/dx = da/dz, podemos escrever

da da —-oy da —-az dt = ri / [ ( a o X ) - t ] ' d t = Jo

De modo análogo se vê que — — = b e — = c, logo df = w.

oy az D

Figura 5. Conjuntos estrelados.

Observação. Um conjunto X C M" chama-se estrelado quando contém um ponto p (o vértice) tal que o segmento de reta unindo qualquer ponto x G X a p está contido em X. Por exemplo, todo conjunto convexo é estrelado e qualquer um dos seus pontos serve de vértice. O argumento acima mostra que se o aberto U C W1 é estrelado então

toda 1-forma fechada de classe C1 em U é exata. O teorema acima

permite acrescentar aos Exemplos l e 3 que toda função harmónica de duas variáveis é localmente a parte real de uma função holomorfa e que toda função holomorfa possui localmente uma primitiva holomorfa. E se o aberto U C W1 é estrelado (em particular, se U = M"), toda função

harmónica é a parte real de uma função holomorfa em U e todo carnpo

v: U -> W1 de classe C1, que cumpra as condições de intcgrabilidade

^r— = —— (onde v (x) = (ai ( . - r ) , . . . , an(x}} para todo x G f/) é o campo u',L j (jr.r,'\e de uma função ./': U -t K.

2 Integrais curvilíneas

Sejam ui — { uma 1-forma contínua no conjunto X C m 7: [a, ò] -> X um caminho de classe C1, com 7(í) = ( z i ( í ) , . . . ,xn(t)),

t e [a, 6]. A integral de uj ao longo de 7 é definida como

n „{,

= £/

i=l Ja

Analogamente, se v: X ->• IR" é um campo vetorial contínuo, sua integral ao longo do caminho 7 é definida como

V =

Seu é o campo associado à forma w, tem-se (v (7 (t)),-y'(t)) = w(7(í))-7'(/;). Neste caso, portanto, f uj = f v.

Exemplo 5. Se w = df é uma forma exata em C/, tem-se:

fu=ídf= fb

,/ y ./•y 7a

Portanto a integral de uma forma exata depende apenas das extre-midades do caminho de integração. Em particular, se 7 é um caminho lirliado (7(a) = j(fy) e w é exata então J w = 0.

Ncsl,e contexto, o Teorema 2 é fundamental: se 7 e r/ são caminhos i l r classe; C'1 com as mesmas extremidades, ambos contidos na mesma l H ila aberta B então, para toda forma fechada w definida em B, tem-se

l n» / w. ' i •'</

O teorema seguinte mostra que J w é invariante sob uma repara-inH.ii/.açao do caminho 7, desde que o sentido geral do percurso seja

tido.

^

Tnon-mn U. Sc.ja (f: [c,d] -> [a, b] de classe C1. Se (f>(c) = a e ip(d] = b vnlim / ' , , , , w = L(JJ. Se, porém, tp(c) = b e (p(d) — a então j^0ípu —

(9)

12 Integrais Curvilíneas Cap. l Secão 2 Integrais curvilíneas 13

Demonstração: Supondo (p (c) = a e (p (d) = ò, o Teorema de Mudança de Variáveis (Vol. l, Cap. 11, Teor. 2) e a Regra da Cadeia nos dão

• i(if(a)} • (p

1

(s) ds

(jj = 7 ^V(c) f 7 (í) dt = l w(7 o <£>(s)) J c íd í = í ui(j o (p(s)) • (7 o tp) (s) ds = l LU. J C J ^0(p

Se for <p(c) = b e (p(d) = a, basta ver que J =

a

Dizemos que 7 o <^ é uma reparametrização positiva de 7 quando <£>: [c, d] -> [a, 6], 7: [a, ò] —)• M", </j(c) = a, </?(<i) = 6 e (p e C1. Se, ao contrário, tem-se <p(c] = b e <^(oí) = a, 7 o tp chama-se uma

reparame-trização negativa de 7.

Um exemplo típico de reparametrização negativa é dado pelo

ca-minho oposto 7*: [a, ò] —>• R™ do caca-minho 7. Tem-se, por definição,

7*(í) = 7(0 + b — í), logo 7* = 7 o <^, onde </?: [a, ò] —>• [a, 6], dada por

tp(t) = a + b — í, é tal que <p(a) = b e y>(ò) = a. Então L* w = — J u>

para toda forma w.

A função <^: [0,1] —>• [a, ò], com tp(s) = (l — s)a + sb origina uma reparametrização positiva 7 = 7 o tp: [0,1] —)• Rn do caminho 7: [a, 6] —> R". Tem-se Jlw = f u para qualquer 1-forma contínua w cujo domínio contenha a imagem de 7 (que é a mesma de 7).

-rd

" 7 i (&) = 72 ( c ) - - c

-L O

Figura 6. O caminho justaposto 7 = 71 V 72: tem-se 71: [a, ò] —* R" c 72: [c, d] -> R", com 71(6) = 72(0). Então 7 = 71 V 72 : [0,1] -» R" ó dado por 7(í) = 7i(<p(í)) se O < í < 1/2 c 7(í) = 72(V'(Í)) HC '/- < : '• < J-,

= a l 1t(b - a) t> •(/'(£) = 2c: - í/ + 2í(f/ - r).

O caminho justaposto 7 = 71 V 72 : [0,1] — >• R", de dois caminhos Tl j 72 : [0, 1] ->• M™, tais que 71 (1) = 72(0), é definido por j(t) — 71 (2í) se í e [0,1/2] e 7(í) = j2(2t - 1) se í € [1/2,1]. A observação que

acabamos de fazer permite definir o caminho justaposto 7 = 71 \/72 para quaisquer 71: [a, b] — )• R" e 72 : [c, d] ->• R" desde que 71(6) = 72 (c). E podemos escolher como domínio de 7 um intervalo compacto arbitrário. Diz-se que o caminho 7 : [a, 6] — >• R71 é de classe C por partes quando 7 é contínuo e, além disso, existe uma partição P = {a = ÍQ < ti < • • • <

tm — b} tal que a restrição de 7 a cada intervalo [íj-i, tj], j = l, . . . , m,

ó de classe Ck. Isto equivale a dizer que 7 = 71 V • • • V jm é o justaposto

de caminhos de classe Ck .

Um exemplo de caminho de classe C00 por partes é o caminho

poli-i/onal, formado pela justaposição de caminhos retilíneos.

Se 7: [a, 6] — )• X C Rn é um caminho de classe C1 por partes, dado

pela justaposição 7 = 71 V • • • V 7m de caminhos de classe C1, define-se; a integral J u; de uma 1-forma contínua w: X pondo-se

!~t]

Esta definição independe da partição P do intervalo [a, ò], em cujos intervalos [ t j - i , t j ] estão definidos os caminhos 7^ de classe C1. Para

mostrar isto, começamos notando que se Q é uma partição que refina / ' , o valor de J o; é o mesmo, quer se use Q ou P, pois cada intervalo / dr /' é a reunião de intervalos consecutivos de Q e, como 7 é de classe í '1 cm /, a aditividade da integral na reta garante o resultado. No caso y.nal, torna-se uma partição R que refine P e Q, e as integrais, usando

/' mi (,j, coincidem com aquela usando R.

( ) teorema seguinte é a caracterização mais geral de uma 1-forma i ' H í i l , ; i .

TtMHTinti 4. As seguintes afirmações a respeito de uma forma u, de

rln/nif C'*; no aberto U C R", são equivalentes:

\) tti r exala em, U.

',',) j w O para, todo caminho fechado, de classe C1 por partes,

i l ) / d) dc.pmde unicamente dos extremos 7(0) e 7(6) do caminho i | n , / i | > 11 tli' c.lafmc. C*1 por partes.

0flllloiiMl,ração: Evidentemente, 1) => 2). Alem disso, se admitirmos V ) i ' i i t , i i n , dados os r a m i n h o s 7,7: |a,/>| > f / , de classe (71 |>or ]);i,rl,es,

(10)

M Integrais Curvilíneas _{C.i|i. l}

com os mesmos extremos, isto é, 7(0) = 7(0), 7(6) = 7(6), o caminho 7 V 7*, obtido justapondo 7 com o oposto 7* de 7, é fechado portanto, por 2), tem-se

— / u; = / w + UJ =

7*

= 0,

7V7*

l°g° /7 W = /yw, ou seja, 2) => 3). Suponhamos agora que valha 3) e, temporariamente, admitamos que U seja conexo. Fixamos um ponto

p <E U -e definimos a função /: U -> R pondo, para cada x € U, f (x) — $* w, onde Jpx significa a integral de w ao longo de qualquer caminho C1

em U ligando p a x. Se w = vamos provar que

t

i = l, . . . ,n, em todo ponto x € U, portanto df = w em U. Ora, usando

d

— para indicar sempre a derivada no ponto í = O, temos:

^J J / \* p / F)r- rli t/X 3 U, i d dt d /•* = — / a,i(x + sei)ds = ai ai 7o

No caso geral, este argumento fornece uma primitiva de w em cada componente conexa do aberto U e isto define uma função /: U ->• M, de

classe Ck+l, tal que df = w. D

3 Invariância homotópica

Provaremos a seguir que a integral de uma 1-forma fechada não varia quando se submete o caminho de integração a uma deformação contínua mantendo fixas suas extremidades ou, se o caminho for fechado, preser-vando este fato. A deformação deve processar-se dentro do domínio da forma. Ela é chamada uma homotopia. Intuitivamente, uma homotopia

H entre os caminhos 70,71: [a, ò] ->• X no conjunto X C W1 é uma

família de caminhos Ht: [a, b] ->• X, t € [0,1], começando com H0 = 70 ,

terminando com HI = 7! e Ht dependendo continuamente do parâmetro t. A fim de que esta noção não seja inócua, exige-se que 70 e 7! tenham

as mesmas extremidades, as quais permanecem fixas durante a homoto-pia, isto é, são as extremidades do caminho Ht para todo t € [0,1]. Se

7o e 71 forem caminhos fechados, exige-se que cada Ht, t e [0,1], seja

Seçiío 3 l n variância homotópica

fechado e t,em-sc o que se chama de homotopia livre (pois nenhum ponto é obrigado a permanecer fixo). Passemos às definições formais.

Sejam 70,71: [a, 6] —> X caminhos no conjunto X C W1, com 70(0) =

7i(a) e 7o(&) = 7i(&)- Uma homotopia entre 70 e 71 é uma aplicação contínua H: [a, b] x [0,1] -» X tal que H ( a , t ) = 70(0), H (b, t) = 70(6), Jí(s,0) = 7 0 ( s ) e H(s,l) =71 (s) para todo í e [0,1] e todo s e [a, 6].

Se 70,71: [a, b] —>• X são caminhos fechados, uma homotopia livre entre 70 e 71 é uma aplicação contínua H: [a,b] x [0,1] —>• X tal que ff (a, í) =íf(M), #M) =7o(s) e f f ( s , l ) =71(5) para todo í e [0,1] e todo s E [a, 6].

Na interpretação intuitiva acima dada, os caminhos Ht definidos pela

homotopia H são Ht: [a, b] -)• X, Ht(s) = H(s,t), s e [a, 6], t € [0,1]. A

continuidade de H exprime que o caminho Ht depende continuamente de t. X O-1 -H 1-r K

Figura 7. Uma homotopia H entre caminhos com mesmas extremidades e uma homotopia livre K entre caminhos fechados.

Escreve-se H: 70 ^ 71 para indicar que H é uma homotopia entre os caminhos 70 e 71 que têm as mesmas extremidades e H: 70 — 71 para indicar uma homotopia livre entre os caminhos fechados 70 e 71 .

(11)

16 Integrais Curvilíneas Cap. l Seção 3 Invariância homotópica 17

mente o conjunto X no qual a homotopia tem lugar (ou seja, o contra-domínio da aplicação H: [a,b] x [0,1] —>• X) pois, ampliando X, dois caminhos que não eram homotópicos podem passar a ser. E vice-versa, restringindo X, caminhos antes homotópicos podem perder esta proprie-dade.

Exemplo 6. Sejam 70,71: [a, b] —> X caminhos com as mesmas extre-midades tais que, para todo s e [a,b], o segmento de reta L7o(s),7i(s)] está contido em X. Então 70 — 7i . Com efeito, a aplicação H: [a, ò] x [0,1] -> X, definida por H (s, t) = (l — í)7o(s) + £71 (s) é, como se vê facilmente, uma homotopia entre 70 e 71 . H é o que se chama uma

homotopia linear. Resultado análogo vale para homotopia livre entre

caminhos fechados.

Exemplo 7. Se (f. [a, 6] —> [a, b] é uma função contínua tal que f (a) = a

e ip(b) — b então, para todo caminho 7: [a, ò] —> X, tem-se 7 o (p =

7. Basta considerar a função contínua ff :[a,ò] x [0,1] —>• X, dada por

H ( s , t) — 7 ( ( 1 — t } ( p ( s ) + t s ) . Analogamente, se (p (a) — b e </?(&) = a,

tem-se jotp = 7* (oposto de 7), como mostra a homotopia H: [a, b] x [0,1] ->

X, dada por H(s, t) = j((l - t)(p(s) +t(a + b- s ) ) .

A relação de homotopia (com extremos fixos ou livre entre caminhos fechados) é reflexiva, simétrica e transitiva. Com efeito, ff (s, t) = 7(5) é uma homotopia entre 7 0 7 . E se H: [a, ò] x [0,1] —>• X é uma homotopia entre 70 e 71 então K: [a, b] x [0,1] —)• X, dada por K(s, í) = H (s, l — í) é uma homotopia entre 71 e 70 . Finalmente, se H, K: [a, 6] x [0,1] —>• X são homotopias entre 70 e 71 e entre 71 e 72 respectivamente então

L: [a,b] x [0,1] -> X, definida por L(s,í) = ff(s,2í) se t 6 [0,1/2] e L(s, t) = K ( s , 2í — 1) se t e [1/2,1], é uma homotopia entre 70 e 72 .

Teorema 5. Sejam to uma l-forma fechada no aberto U d W1 e

7,77: [a, b] —> C7 caminhos de classe C1 por partes, com as mesmas ex-tremidades. Se 7 e r] são homotópicos em U então f LO = J w.

Demonstração: Seja f f : [a, b] x [O, ! ] — > • [ / uma homotopia entre 7 e r/. Como a imagem H (R) do retângulo f? = [a, 6] x [0,1] é um subconjunto compacto de U, pelo Cor. 2 do Cap. l, Vol. 2, existe e > O tal que para todo (s, í) 6 f?, a bola de centro ff(s,í) e raio e está contida cru

U. Pela continuidade uniforme de H, existe S > O tal que a imagem

por ff de qualquer subconjunto de R com diâmetro < í tem diâmetro < £, logo está contida numa bola B e Í7, na qual u; é exala. Tomemos partições P — {<>. = .s() < .si < ••• < ,sm = /;} dr |u,/>| e (<? = {O =

ÍQ < íi < • • • < ír = 1} de [0,1] tão finas que os retângulos RÍJ — [sj_i,Sj] x [íj_]_, íj] tenham diâmetros < S, logo H (Ri j) está contido numa bola f3jj C U. Escrevendo Zij = H (sj,íj), vemos que os caminhos retilíneos «^ = [zi_ij,^] e fy = [ z i j - i , Z i j ] , bem como c^j-i e A - i j , estão contidos na bola -Bjj . (l < i < m, l < j • < r). (Notemos que PQJ e /3mj são constantes, reduzidos aos pontos 7(0) e 7(6) respectivamente,

seja qual for j = l, . . . , r.)

Consideremos os caminhos poligonais

1T

k"

j = O, l, . . . , r.

a s i S<2

Figura 8. O caminho poligonal a2 = «12 V a22 V a32.

O teorema estará provado se mostrarmos que f w = fa u, f u> = L, "' (' , / < v , _ i w = /cy w Para •?; = 1' • • • 'r- Pondo; 7í = 7 l [si-i,Si], ve-I ve-I H M ve-I i j i i c / o; = |a w para todo i = l , . . . , m pois 7^ e o^o são caminhos (Jtim ÍIH iiKismas extremidades, contidos na bola BÍQ , na qual LU é exata. l'ui l.nnl.o

w — / w + • • • + / LU = l LU •

l -'71 -'7m •'«10

+ / Lu = I Lu.

cemo Jaó

l 'um i i mesmo argumento se mostra que J w = fa u. Por sua vez,

h

/i; l(j

W l / OJ + l U) = —

'Vi J - l

U + UJ

" i / '' /'* | , V at i / i V//,;v são caminhos com as mesmas extremidades, l i l i i i i na bola, ///;- , na qual w é uma forma exata.

(12)

Figura 9. Os caminhos /3,*_]i3- V a,;j-i V /S,y e ai?- estão contidos na bola

BÍJ e têm as mesmas extremidades. (Lembrar que /?* significa o caminho

oposto de /?.) Pelo Teorema 2, a integral da forma fechada uj é a mesma em qualquer desses dois caminhos.

Portanto

W Lu — Lu w + a> —

+ LU — Lu + W

LO + LO + W = W.

(Lembrando que fa .w = fg . w = O pois os caminhos /3oj e /3mj- são constantes.) D Teorema 6. Sejam w wma 1-forma fechada no aberto U C Rn e 7, r/: [QÍ,/3] —>• C7 caminhos fechados, de classe C1 por partes. Se 7 e

?/ são livremente Jiomotópicos em U então / w = /,; w.

_

Seção 3 Invariância homotópica 19

Demonstração: Segue as mesmas linhas acima, apenas com uma

pe-quena alteração: para cada j = l , . . . , r, obtém-se:

w = UJ = UJ

pois os caminhos PQJ e /3mj são iguais. D

Resulta do Teorema 5 que se w é uma 1-forma fechada no aberto U C R™ então a integral J w faz sentido, seja qual for o caminho contínuo 7: [a, b] —> [7, mesmo que 7 não seja de classe C1 por partes.

Com efeito, a imagem de 7 é um subconjunto compacto de U, logo (pelo Corol. 2, Cap. l, vol. 2) existe e > O tal que, para todo t e [a, ò], a bola de centro 7(í) e raio e está contida em U. Como 7 é uniformemente contínuo, existe ó > O tal que s, t E. [a, 6], s — t\ ô =>• \ j ( s ) — 7(í)| < e. Portanto, se P — {a = to < • • • < tk — b} é uma partição de [a, b] com norma < ô, o caminho poligonal r/: [a, b] -> R™, cujos vértices são os pontos 7(íj), i = O, l , . . . , k, está contido em U e, para todo í G [a, 6], o segmento de reta [j(t),rj(t)] também está contido em U. Portanto existe uma homotopia linear H: 7 = r/. Como r\ de classe C1 por partes, a

integral f w faz sentido. Pomos então, por definição, J u = f u. Esta definição não depende da escolha de r] (ou seja, da partição P) por causa da transitividade da relação de homotopia: se, usando o mesmo processo, tomássemos o caminho A: —> U ern vez de 77, teríamos

UJ.

ainda 7 = A, logo A = rj e, pelo Teorema 5, viria JA LU = J

Um conjunto X C Rn chama-se simplesmente conexo quando é co-nexo por caminhos e todo caminho fechado 7: [a, b] —)• X é livremente homotópico a um caminho constante. Por exemplo, todo conjunto es-trelado X C W1 (em particular, todo conjunto convexo) é simplesmente

conexo. Com efeito, se p 6 X é o vértice da estrela 6 7 : [a, b] —> X r qualquer caminho em X então //: [a, ò] x [0,1] —> X, definida por

/ / ( . s , /,) = (l — t ) j ( s ) + tp é uma homotopia entre 7 0 0 caminho coris-l.ante, igual a p.

l'elo Teorema 6, se w é uma 1-forma fechada em U e 7: [a, b] —>• £7 t'1 um raminho fechado livremente homotópico a um caminho constante rnlao /, w = 0. Corno consequência, podemos concluir que o caminho I r r h a d n 7: [O, 2?r] —> K2 — {0}, definido por 7(4) = (cosí,sení), não é homotópico a, um caminho constante. De fato, é fácil ver que f Q = 2?r,

-y

(13)

Assim, vemos que R2 — {0} não é simplesmente conexo. Mais ge-ralmente, o mesmo argumento mostra que se o conjunto X C K2 — {0} contém uma circunferência de centro O (como, por exemplo, X = S1}

então X não é simplesmente conexo. O exemplo seguinte mostra que a situação é diferente quando n > 1.

Exemplo 8. Se n > l, a esfera Sn é simplesmente conexa. Para mostrar

isto, consideraremos inicialmente um caminho 7: [a, b] —> Sn que não

seja sobrejetivo e provaremos que ele é homotópico a um caminho cuja imagem é um compacto com interior vazio em Sn. Com efeito, existe

pelo menos um ponto p e Sn que não pertence à imagem de 7, logo tem

sentido considerar o caminho £ 0 7 : [a, ò] —> Rn, onde £: Sn — {p} —> W1 é a projeção estereográfica (Ex. 16, Cap. l, vol. 2). Em Rn, £ o 7 é homotópico (linearmente) a um caminho retilíneo A = [c,d}. Logo

r) = £-1 o A é homotópico a 7 — Ç~l o (£ o 7). Notemos que, sendo

A retilíneo, rj = £~l o A é um arco de circunferência em Sn, interseção

dessa esfera com o plano (bi-dimensional) que contém o segmento [c, d] e o ponto p, pólo da projeção estereográfica. Logo a imagem de 77 é um conjunto compacto com interior vazio em Sn. No caso geral, dado o

caminho 7: [a, b] —>• Sn, a continuidade uniforme fornece uma partição

{a = ÍQ < í i < • • • < ífe = b} C [a, 6] tal que os caminhos 7; = 7 | [íi_i,íj] não são sobrejetivos, logo cada 7; (i = l , . . . , k] é homotópico a A j : [íi-i,íj] —> <Sn, cuja imagem é um compacto com interior vazio em

Sn. Então 7 = 71 V • • • V 7/t é homotópico ao caminho A = AI V • • • V A& ,

cuja imagem é compacta e tem interior vazio em Sn. Vemos assim que,

se n > l, todo caminho 7: [a, ò] -> Sn é homotópico a um caminho

A: [a, b] —>• Sn, que não é sobrejetivo. Usando novamente a projeção

estereográfica, vemos que A pode ser considerado como um caminho em Mn, o qual é linearmente homotópico a um caminho retilíneo e, como seus extremos permanecem fixos durante a homotopia, se 7 for fechado (logo A também), esse caminho retilíneo se reduz a um ponto.

Observação. A hipótese n > l foi usada ao afirmarmos que um arco de circunferência tem interior vazio em Sn.

O corolário abaixo resulta dos Teoremas 4 e 6.

Corolário 4. Se o aberto U C K1 é simplesmente conexo então toda forma fechada w: U —> (W1)* é exata.

Em particular, se o aberto U C C é simplesmente conexo então toda função harmónica 11: U —> K é a parte real de uma função holonioría

Secão 4 O número de voltas de um caminho fechado 21

/: U —>• C e toda função holomorfa /: U —> C possui uma primitiva. Uma formulação equivalente do Corolário l diz que se U C Kn é simplesmente conexo então todo campo vetorial v: U —> Rn, de classe C1, dado por v (x) = (ai (x),..., an(zO)> cumpre as condições de

integra-rj r-v

bilidade -^- = —-2- então v é o gradiente de uma função /: U —)• R.

7

* x

Figura 10. A função contínua a: [a, ò] — > R é uma função-ângulo do caminho 7: [a, ò] — > R2 - {0} quando, para cada t e [a, b], a(t) é uma determinação da medida (em radianos) do ângulo do eixo das abcissas Ox com a semi-reta Oy(i). Isto significa que E(a(t}} =

7(í)/|7(í)|-4 O número de voltas de um caminho fechado

Di/,-se que a função contínua a: [a, b] ->• E é uma função-ângulo do

caminho 7: [a, b] -)• M2 - {0}, onde 7(í) = ( x ( t ) , y ( t ) ) , quando se l.rm, para cada t € [a, b], cosa(í) = x(t}/^x(t)2 + y(t)2 e sena(í) =

//('•)/ \A(<)2 +y(<)'2- Usando a função de Euler E: M. ->• S1, isto

equi-vulc a. di/cr que E((v(t.)) = 7(<)/l7(í

)l-Tooreina 7. Dado o caminho 7: [a, b] ->• M2 - {()} R escolhido «o E IR l ai (/'«.'' /'/'(< Y O ) 7("')/l7("')l> '"'•'«. v/ r: '"•'»'<«•, <: xomc.nlc. uma, fimçao-ânyido

(14)

22 Integrais Curvilíneas Ca p. l

a: [a, 6] — > IR para o caminho 7 tal que a (a) = ao .

Demonstração: Suponhamos inicialmente que a imagem de 7 esteja contida no complementar M2 — p de uma semi-reta p que parte da origem. Então, pela Proposição B, existe uma função- ângulo 6: R2 — p — > R, com

6(j(a)) = ao . Neste caso, definimos a: [a, b] — > K pondo a = 9 o 7. No

caso geral, a continuidade uniforme de j/\j\: [a, b] — > S1, fornece uma

partição de [a, 6] cujos intervalos [íj_i,íj são tais que 7, restrito a cada um deles, tem imagem contida no complementar de uma semi-reta pi . Definimos a sucessivamente nos intervalos [a,íi], [í 1,^2] 5 et c. escolhendo o valor inicial a(t\) em [íi,Í2] de modo a coincidir com o valor final a(íi) em [a, ti] e assim por diante. Quanto à unicidade de a, basta lembrar que duas f unções- ângulo do mesmo caminho 7 diferem em cada ponto

t G [a, 6] por um múltiplo inteiro de 2vr e sendo [a, b] conexo, esse inteiro

é constante. Se ele é zero no ponto t = a, é zero sempre e as funções coincidem. D Teorema 8. Se o caminho 7: [a, b] — > R2 — {0} é de classe Ck (k > 0)

então toda função-ângulo a: [a, b] — >• K de 7 também é de classe C .

Demonstração: A função-ângulo definida na demonstração do Teo-rema 7 é de classe Ck se 7 6 Ck . Qualquer outra função-ângulo para

7 difere daquela por um múltiplo inteiro constante de 2yr, logo é de

classe Ck. D

Corolário 5. Se 7: [a, 6] — > R2 — {0} é um caminho de classe Ck por partes, toda função-ângulo de 7 também é C por partes.

O teorema abaixo se refere à forma elemento de ângulo O = (— ydx + Teorema 9. Seja a: [a, 6] — >• IR uma função-ângulo para o caminho 7: [a, b] —S- K2 - {0}; de classe C1 por partes. Então J ' íl = a (b) — a(a). Demonstração: Escrevendo j(t) = (x (t), y (t)) temos, para todo t E

[a, b], x (t) = \"f(t)\) e y (t) = \j(t)\n a (í). Abreviadamente: x = |7| cosa e y = [7] sen a. Por definição, tem-se

- x y dt.

Temos x = \j\s a e y = \j\n a. Logo x' = |7|' cos a — \j\n a • a' e

?/ = IT!' sen ^ + IT! cos a ' a'• ^aí resulta imediatamente que xy' — x'y = y2, vemos então que J íí = jf'a,'(t) dl, =

Como 2 = x'2

Seção 4 O número de voltas de um caminho fechado 23

Oi(b)—a(a). No caso geral, em que 7 é C1 por partes, temos uma partição

P = [a = ÍQ < ti < • • • < tk = b} onde 7^ = 7|[ít_i,íj] é de classe C1

para cada i = l , . . . , k e, por definição,

i=l

Corolário 6. Seja 7: [a, ò] C1 por p

ou nulo).

D

2 — {0} um caminho fechado, de classe C1 por partes. O número n(j} = — f $1 é inteiro (positivo, negativo

2yr 7

Figura 11. Número de voltas de cada caminho ern torno do ponto 0: n(7l; 0) - 2, n(72; 0) = -l, n(73; 0) = 0.

O número n (7) acima introduzido chama-se o número de voltas do caminho fechado 7 em torno da origem em Rn. Deve-se observar que se l,rata do número líquido de voltas, ou seja, as voltas no sentido positivo menos as dadas no sentido negativo da orientação natural Ox —> Oy do pla.no.

Segue-se imediatamente do Teorema 5 que o número de voltas 71(7) ilo caminho fechado 7 é um invariante homotópico: se 7,??: [a, b] —> IHf'! • {()} são caminhos fechados, de classe C1 por partes, livremente

liomotópicos então n(7) = n(r)).

Na verdade, todas estas conclusões são válidas para caminhos fecha-dos 7: [a, b] —> R2 — {0}, de classe C° (isto é, apenas contínuos, como l,i n Io caminho deve ser, por definição).

( ! < ) i n efeito, .se 7: [a, b] —> R2 — {0} é um caminho fechado (de classe l '" a,pona,s), consideramos, como na seção anterior, um caminho poli-IV mal fechado •//: [a, b] —> M2 — {0} homotópico a 7, logo f Í2 = fr Í2,

c daí —- / í l é um inteiro, chamado ainda o número de voltas de; 7 i'ln torno da, origem. 1'or t r a n s i t i v i d a d e da hotnotopia, este;

(15)

24 Integrais Curvilíneas Cap. l

"(T) = 7j- /7 ^ não depende do caminho poligonal ij e é também um invariante homotópico do caminho 7.

Um importante complemento do Corolário 6, que será provado no Capítulo 5 (Ver Corolário 4), diz que se a imagem de 7 é uma curva de Jordan C de classe C3 então n(7) = ±1 se a origem está no interior de C ou n ( j ) = O se a origem pertence ao exterior de C.

Exemplo 9. Seja 7: [O, 27r] —)• R2 — {0} o caminho fechado definido por 7(í) = (cos /cí, senkt), onde k £ Z,. Então a: [O, 2vr] —> K, dada por Ct(í) = fcí, é uma função-ângulo de 7. Como —f«(27r) — a(0)l = k,

2yr

vemos que o caminho 7 dá n voltas em termo da origem O, ou seja,

71(7) = k.

5 Exercícios

Seção 1: Formas diferenciais de grau l

1. Seja u> a forma em M2 definida por u(x, y) = —ydx + xdy. Prove que uj não é

fechada mas as formas a = -^-ui, /3 = p-o; e 7 = -j^-uj são, na realidade, exatas no conjunto U = {(x,y] e R2; x > O,y > 0}. Ache funções f , g , h: U -> R tais

que df = a, dg = 0 e dh — 7.

2. Sejam U C Rm, T/ C R" abertos e </?: [7 -> V uma aplicação de classe C1.

Para toda forma diferencial u em F, defina o pullback de w por y como a forma (p*u: U -*• (Rm)* tal que

(V*w)(a;) • w = w(y(z)) ' ( f ' ( x ) • v), x € U, v e Rm.

Prove as seguintes afirmações:

(i) (p* (a -LU + b - ú j ) = a • <p"uj + b • <p*új se a, 6 € R e u,u: V -> (R11)*;

(ii) (^)o y>)*u; = ip*(i/j'oj) se íp: U -*V e t/i: V -> W; (iii) Sejam < p i , . . . ,<pn: U —> R as funções-coordenada de f.

n

Se w(j/) = Y^ ai(y}dyj , y 6 V, então, para todo x e U, tem-se

1=1 í=l

(iv) Para toda /: V -> R de classe C1, tem-se ip*(df) = d(f o <

ij (v) Se o; é fechada então (f>"uj é fechada;

(vi) Se uj é exata crn V então tpfuj é exata em U. \] ,,

Seção 5 Exercícios 25

3. O elemento de ângulo de vértice p = (a, b) é a forma diferencial Í7P , definida

em R2 - {p} por

•dx +

J p (x - a)2 + (y - 6)2

Prove as seguintes afirmações: , (i) Qp é fechada mas não é exata em R2 — {p};

(ii) Definindo convenientemente função-ângulo de vértice p, a forma fip é

exata no aberto U = R2 — {p} se, e somente se, existe uma função-ângulo

de vértice p definida em U;

(iii) fip é exata no aberto R2 — p, onde p é uma semi-reta de origem p.

4. Seja o;: 17 —> (Rm)* uma forma fechada de classe C1 que não se anula em

ponto algum de U. Dada a função /: U -> R de classe C1, prove que a forma

/ • w é fechada se, e somente se, df é um múltiplo de uj. Seção 2: Integrais curvilíneas

1. Sejam o;: U —> (R71)* uma forma contínua no aberto {7 C Rn e 7: [a, 6] —> t/ um

caminho de classe C1. Para cada partição pontilhada P* = (P, f) do intervalo

[a,6] (cfr. Cap. 11 do Vol. 1), ponhamos S(P*) = X>(7(&)H7(íi)-7(íi-i)], onde P = {a = ío < íi

|P| = max ti -ti-i\.

Ki<k

<tk =b}. Prove que / w = lim E(P*), sendo

2. Seja o) : £7 — > (Rn)* contínua em f/ C R". Suponha que para um certo M > O,

valha |w(a;) • v\ M • \ quaisquer que sejam x 6 U e w 6 Rn. Prove que, dado

o caminho 7: [0,6] — > U de classe C1, tem-se | / w| < Aí • £(7), onde £(7) é o

comprimento de 7.

3. Sejam U C Rm, V C R71 abertos e /: f/ -> V uma aplicação de classe C1.

Prove que, para todo caminho 7: [a, b] — » 17 de classe C71, tem-se J /*oj =

4. Seja w uma forma de classe C1 no aberto U C R" tal que, para todo caminho

fechado 7 de classe C1 em [7, a integral J w é uni número racional. Prove que

uj é exata.

5. Uma forma diferencial complexa é, no aberto U C R2, uma expressão do tipo

uj = a + ifí onde a e /3 são formas reais em U e i = \/— T. Se 7 é um caminho

de classe C1 em U põe-se / w ="= / a 4i * • / j8. Se C/ C R2 — {0} prove que

/' ^ = * • / fZ para qualquer caminho 7 em [7.

(i. No contexto do exercício anterior, diz-se que a forma w = a + z/3 é fechada quando a c /? são fechadas. Se f (z) = u(z) + iv(z) e dz = dx + idy, prove que a forma complexa f(z)dz é fechada se, e somente se, a função de classe C1,

(16)

26 Integrais Curvilíneas Cap. l Secão 5 Exercícios 27

Seção 3: Invariância homotópica

1. Seja B = B[0;l] C R2. Prove que o caminho fechado 7: [0,27r] -> X, no

conjunto X C R™, é livremente homotópico a um caminho constante se, e somente se, existe uma aplicação contínua F: B -» X tal que F(coss,sens) = 7(5) para todo s £ [O, 27r].

2. Seja U C R2 um aberto limitado. Prove as seguintes afirmações:

(i) Existe r > O tal que, para todo p = (a, b) € R2 — U com \p\ r, a forma __ (b - j/)ffa + (x - opcfo/

- * - '

definida em K2 — {p}, é exata em U;

(ii) Se R2 — U é conexo por caminhos então para cada p £ R2 — U existe uma

função-ângulo de vértice p definida em U.

3. Prove que todo caminho fechado em Rn+1 — {0} é livremente homotópico a

um caminho contido em S". Conclua que Rn+1 — {0} é simplesmente conexo

quando n > 1.

4. Se -B C R*1 é um subespaço vetorial de dimensão < n — 3, prove que R71 — E é

simplesmente conexo.

5. Para cada t e [0, 1], seja ft : U — > V de classe C1 do aberto U C Rm no aberto

V C R". Suponha que f t dependa continuamente de í no sentido seguinte: a

aplicação F: U x [0, 1] — > V, definida por F (x, t] = f t ( x ) , é contínua. Se u; é uma forma fechada em V e 7: [a, b] — > U k um caminho fechado de classe C1

por partes, prove que J7 /0*u; = J^, /í w.

Seção 4: O número de voltas de um caminho fechado

1. Prove que se dois caminhos fechados em R2 — {0} dão o mesmo número de

voltas em torno da origem O então eles são livremente homotópicos.

2. Seja 71: [O, ZTT] — } R2 — {0} o caminho definido por 71 (í) = (cost,sent). Se

uma forma fechada u em R2 — {0} é tal que / u = O, prove que w é exata.

3. Seja w uma forma fechada em R2 — {0}. Prove que existem uma função / : R2 —

{0} -» R de classe C2 e um número real c tais que w = df + c • SI.

4. Suponha que w é uma forma fechada em R2 — {0}, limitada numa vizinhança

da origem (isto é, existem õ > O e M > O tais que O < \z\ 5 implica

\u(z) -v\<M-\v\a todo v 6 R2). Prove que w é exata.

5. Sejam f , g: U ->• R funções de classe C1 no aberto U C R2 e B = B\p;r]

um disco fechado contido em U. Indique com o mesmo símbolo C o bordo de

B e o caminho C: [0,2-rr] — > U dado por C (t) = (a + r cost,b + r sent), onde p — (a, b). Suponha que /2 + g2 > O em todos os pontos de C. Prove:

~ 9

, definida no aberto A = {z £ U; f (z)2 +g(z)2 > 0}

(i) A forma u = é fechada;

(ii) Se l(, uj / O então existe um ponto z = (x, y) 6 B tal que f (z) = ;/(z) — 0.

6. Prove o Teorema de Cauchy: se a função /: U -* C, de classe C1 no aberto

U C C, é holomorfa então, para cada caminho fechado 7, homotópico a uma

constante em U, tem-se /7 f ( z ) d z = 0.

_

(17)

'

Seção l Aplicações r-lineares 29

Formas Alternadas

No prosseguimento deste livro a noção de integral curvilínea, introduzida no capítulo anterior, será ampliada considerando-se situações em que o campo de integração tem dimensão maior do que l (mais precisamente, é uma superfície em Rn). Correspondentemente, é necessário generalizar o objeto a ser integrado, o que leva à noção de forma diferencial de grau superior. Do mesmo modo que uma forma diferencial de grau l é um funcional linear cujas coordenadas variam de ponto a ponto, uma forma de grau mais elevado (que será chamada uma forma exterior) é uma forma alternada com coeficientes variáveis.

Este capítulo é um pequeno interlúdio algébrico onde são estuda-dos, de forma resumida, objetos que há um século eram chamados ten-sores covariantes anti-simétricos e hoje se denominam formas alternadas. As noções aqui apresentadas são apenas as suficientes para o uso dos capítulos seguintes. Uma apresentação mais extensa do assunto pode ser vista em [6].

l Aplicações r-lineares

Sejam E\, . . . , Er,F espaços vetoriais. A aplicação f:E\ • • • x Er->F

chama-se r-linear quando é linear separadamente em relação a cada uma de suas r variáveis. Mais explicitamente, para quaisquer v\ EI, . . . ,

vi: Wi e EÍ, . . . , vr e Er e A e R, deve-se ter

/ ( « l , , . . , Vi + Wi, . . . , Vr) = + /(?;, , . . . , Wi, . . . , W,.)

e f(vi,...,\Vi,...,vr) = X- f(vi,...,Vi,...,vr).

O conjunto £(Ei,... ,Er;F) das aplicações r-lineares / : E\ • • • x Er -> F, munido das operações de adição e multiplicação por um número

real, definidas de modo óbvio, é um espaço vetorial.

Pretendemos, no que se segue, efetuar trocas de posição entre as variáveis; por isso nos ocuparemos principalmente do caso em que E\

• • • — Er . Escreveremos, então, Lr(E; F) para significar o espaço

veto-rial formado pelas aplicações r-lineares f : E x • • • x E —> F. Quando

F = E, uma aplicação r-linear f : È x • •• x E -í íi é chamada uma forma r-linear.

Exemplo 1. Para r = l, tem-se C\(E\F) = £(E;F) = espaço das transformações lineares de E em F. Em particular, £i(l?;IR) = E* — espaço dual de E. Assim, os funcionais lineares /: E —>• R são formas 1-lineares.

Exemplo 2. Aplicações bilineares frequentemente encontradas são a

avaliação f : £(E; F) x E -» F, onde f (A, v) = A • v, a composição de

transformações lineares /: £(F; G)x£(E; F) -> £(E; G), onde f (B,A) =

B • A (com A: E -> F e B: F ->• G lineares) e o produto interno

/: R" x W1 —> R, f (x,y) = (x,y), que é uma forma bilinear.

O produto tensorial dos funcionais lineares /i,/2, • • • ,/r £ E* é a forma r-linear / = /i • /2 • . . . • fr E £r(E;R), definida por

f(vi,v2,...,vr) = fr(vr).

Não somente o produto tensorial /i • /2 • • • • • /r de funcionais lineares

(\a forma r-linear como a própria aplicação P: E* x • • • x E* —> £r(E; R), dada por P(fi, /2,.. • , /r) = f l • h • • • • • f r também é r-linear. Teorema 1. Seja G um conjunto de geradores do espaço vetorial E.

fie- as aplicações r-lineares /, g E £r(E;F) são tais que f(vi,... ,vr) — <l('<>\ vr) para quaisquer v\,... ,vr E G então f = g.

Demonstração: (Indução em r.) Sejam / , g : E —>• F transformações lineares tais que f (v) = g(v) para todo v E G. Dado w E E ar-f l bil.rário, temos w = SajUi com vi,...,Vk E G, pois o conjunto G gera ,/','. Knl,ão f (w) = Sai • f ( v i ) = S «i • g(vi) = g (w) portanto / = g. Supondo o teorema verdadeiro para aplicações r-lineares, sejam f , g E £,., i (/','; /•') tais que f(v],...,vr+i) = g(vi,... ,vr+í) se VI,...,VT+Í E (l. \a cada v E E, definamos as aplicações r-lineares fv,gv E £r(E; F)

(18)

30 Formas Alternadas Cap. 2

Então, para todo v 6 G, temos fv = gv . Observando que as

corres-pondências v (->• /„ e v i-»- gv são transformações lineares de E em £r(E; F), concluímos, pela primeira parte da demonstração, que /„ = gv

para qualquer v Ç E. Isto significa que f = g. D Exemplo 3. Diferentemente do caso linear, a imagem de unia aplicação multilinear / : E x • • • x E — >• F não é necessariamente um sub espaço vetorial de F. Por exemplo, seja P: (K2)* x (M2)* -> £2(K2;K) dada por P(f,g) = f • g. A forma bilinear (p — ê\ &\ êi • è? , definida a partir da base {61,62} C (M2)*, dual da base canónica {61,62} C R2, não pertence à imagem de P, embora ê\-ê\ 62 • 62 pertençam. De fato, supondo, por absurdo, que existissem /, g G (R2)* tais que ip = f • g, como (p(ei,ez) = O, seria f ( e \ -5(62) = 0. E, como p(ei,ei) = l, seria

f(ei) ' d (eí ) = l- Conclusão: g(e^) — 0. Por outro lado, <p (62,62) = l

implica /(e2) • 5(62) = l, logo 5(62) 7^ O, uma contradição.

O símbolo /„ indica o conjunto {l, 2 , . . . , n} dos números naturais de l até n.

Teorema 2. Sejam {ei, . . . , en} C -E wmo frase e {è"i, . . . , ên} C E* a base dual. Para cada sequência (s) = (ii,...,ir) de números em In , indiquemos com ê/s\ ê^ • êj2 ... êir o produto tensorial destes funcio-nais. As formas r-lineares assim definidas compõem uma base do espaço vetorial Cr (E- R).

Demonstração: O valor ê(s)(ej1 , . . . , ejr) é l ou O conforme a sequência

(jii • • • tjr) coincida ou não com (s). Portanto, se a combinação linear

/ — X^a(s) ' £(s) é nula então, para toda sequência (í) = (ji,...,jr)

(*) tem-se

O = f(

e

jii--->

e

jr) =

•ê(s)(ej

í

,...,ej

T

) = a

(í)

,

(s)

logo todos os coeficientes a^ são nulos e as formas ê^ são linearmente independentes. Em seguida, dada arbitrariamente / e £r(2£;R) po-nhamos, para cada (s) = (ii, . . . ,ir), a^ = /(e^, . . . , e;r). A forma r-linear g = ^ a^ • ê^) é tal que

(s)

para toda sequência (s) = ( i i , . . . , ir) de números ern /„, . Como os vetores e; geram E, o Teorema l nos dá / = y. Assim, as r-formas r.^ geram £r(E; IR) e conseqúentemento c.oiisl.itueiti uma bane. D

Seção 2 Formas alternadas 31

Corolário 1. Se dimE = n então dim£r(E;R) =

Corolário 2. Seja { e i , . . . , en} C -B uma base. Para cada sequência

(s) = ( i i , . . . ,ir) de números em In , suponhamos dado um número real

G7S) . Existe uma, e somente uma, forma r-linear f £ £(£?; R) tal que

/(e^,... ,6ir) = a(s) para cada ( i i , . . . ,ir) = (s).

Com efeito, basta tomar f = ^ a^ • ê^ . D

2 Formas alternadas

Uma aplicação r-linear / € Lr(E;F) diz-se alternada quando f(vi,. . .,

ur ) = O sempre que há repetição na sequência v\, . . . , vr , isto é, tem-se

i; i = •Uj com i ^ j.

Exemplo 4. A forma bilinear /: R2 x E2 -> R, definida por f (u, v) =

xy' — x' y se u = (x, y) e u = (x', y'), é alternada.

Exemplo 5. O produto vetorial x : W1 x • • • x W1 -> Rn (Seção 4,

Cap. 7, Vol. 2) é uma aplicação (n — l)-linear alternada.

Diz-se que a forma / e £r(.E;R) é anti- simétrica quando seu valor muda de sinal ao se trocarem as posições de duas de suas variáveis, isto 6, quando, para quaisquer vi,...,vr£E, tem-se

/ ( . . . , U j , . . . , Vi,... ) = - / ( . . . , Vi,..., Vj,...).

Tomando Vi = Vj = v acima, vem /(...«,..':,«,...) = — /(. . . i>, . . . , v, . . . ), logo f(...v,...,v,...) = 0 , portanto toda forma anti-simétrica <'• alternada. Reciprocamente, se / e £r(.E;R) é alternada então, escre-vendo f[v{,Vj], por simplicidade, para significar /(. . . , Vj, . . . , Vj, . . . ),

+V j, Vi + V j] = f[Vi,Vi] + f [V j , V j] + f[Vi, V j ] + f (V j , Vi]

l t l l ' " - ! . -logo J <í anti-sirnetnca.

liidicarcHnoH com 2lr(JB) o conjunto das formas r-lineares alternadas (ou aiiti-simétric.as) no (ís]>aço vetorial E. Evidentemente, ^ (r( E ] F ) é

(19)

32 Formas Alternadas Ca p. 2 Seção 2 Formas alternadas 33

Admitiremos que 2li(-E) = £1(J5;R) = E*, ou seja, que todo funcio-nal linear é uma forma alternada. De certa maneira, isto é natural pois não é possível violar a condição de anti-simetria quando se tem apenas uma variável. E, por extensão, aceitaremos também que 2lo(.E) = R.

Uma permutação de r objetos é uma bijeção a: Ir —> Ir do conjunto Ir = { l , . . . , r} sobre si mesmo. A composição de funções faz do conjunto &r das permutações a: Ir —> Ir um grupo com r! elementos, chamado grupo simétrico. Uma permutação T G 6r chama-se uma transposição quando existem i ^ j em Ir tais que r(i) = j, T (j) = i e r(k] = k quando k £ {i, j}. Toda permutação cr e &r se escreve na forma a = TI -TZ • • • T^ ,

como produto de transposições. Isto pode ser feito de várias maneiras mas a paridade do número k é sempre a mesma, isto é, o número ea =

(—l)f c depende apenas de a. Tem-se epa = ep • £a e ea-i = ea . Quando EU = l diz-se que a é uma permutação par. Se ca = — l , a permutação a diz-se ímpar.

A aplicação r-linear f : E x • • • x E —> F é anti-simétrica (ou alter-nada) se, e somente se, para toda a € Sr e quaisquer vi,..., vr G E,

tem-se f ( vf f ( 1) , . . . ,va(r)) = ea • f(vi,... ,vr).

Seja { e i , . . . , en} C E uma base. Usando o Corolário 2, definimos,

para cada subconjunto / = {ii < • • • < ir} C /„ com r elementos, uma

forma r-linear ê/: E x • • • x E —> M, do seguinte modo:

1) êi(ej1,... ,6jr) = O se o conjunto J = {j\,..., jr} for diferente de

/. (Em particular, se a sequência ( j i , . . . , jr) tiver repetições.)

2) Se J = J então existe uma permutação a de r objetos tal que

ji = c r ( l ) , . . . , jr = a(r) e, neste caso, pomos ê / ^ , . . . , ejr) = ea .

Em particular, ê / ( e jl ;. . . ,ejr) = l, ê / ( . . . , e ^ , . . . , ej ;. . . ) = O e

Teorema 3. As formas r-lineares ej acima definidas são alternadas e

constituem uma base do espaço vetorial

Demonstração: Continuamos usando a notação simplificada [fi,^] = (?;i , . . . , Vi, . . . , Vj, . . . , vr) sempre que, num raciocínio, as variáveis

dife-rentes de Vi G v j permaneçam fixas. Então, como ê/[ej, ei\ O e ê/[ej, e j] —ê/ [«7, <•;,;], concluímos que, para todo v = ~^,aiei , vale

i, j

= 0.

(No último somatório, trocamos os nomes dos índices i e j, e subs-tituímos otjai por a,aj , o que não afeta o resultado.)

Portanto as formas ê/ são alternadas. Para provar que elas são li-nearmente independentes, suponhamos que se tenha / — ^ a/ • ê/ = O, a

/

soma sendo estendida a todos os subconjuntos I C /„ com r elementos. Então, para todo J = {j\ • • • < jr} C In , temos

0 =

logo todos os coeficientes a/ são nulos. Finalmente, para mostrar que as formas ê/ geram 2tr(£?), suponhamos dada uma forma / E ^ír(E). Para

cada I = {ii < • • • < ir} C /„ , tomemos a/ = /(e^ , . . . , eir ) e ponhamos

.'/ — ]C ai ' êl • Vamos mostrar que g = f . Para isso, basta verificar, em

r

virtude do Teorema l, que se tem /(e^, ... , e jr) = g ( e j1, . . . , ejr) para

toda sequência (s) = (ji, . . . , jr) de r elementos em In . Isto é claro se a

Híiqiiência tem elementos repetidos, pois ambas, / e g, são alternadas logo HC anulam neste caso. Também vale esta igualdade quando ji < • • • < jr

pois isto implica f ( e j1, . . . , e jr) = otj = g ( e jl : . . . , ej r). Finalmente, se a

MC(|iiência de termos distintos (ji, . . . , jr) é obtida de (*i < • • • < ir) por

n ma, j)ermutação cr, temos

coiiijileta a demonstração do Teorema 3. D

(!oroliirio 3. Se

( J o i i i rfrilo,

= n então dim2lr(E) =

^^^

é o número de subconjuntos de In com r elementos.