Tablas de Derivadas e Integrales

(1)

Tabla de derivadas

1. 1. D D uu nunu D D x xuu n n n n x x 1 1 )) (( −− = = 2. 2. D D x x((uu++vv))== D D x xuu++ D D x xvv 3. 3. D D x x((uvuv))==uDuD x xvv++vDvD x xuu 4. 4. 22 vv vv uD uD u u vD vD vv u u D D x x xx x x − − = =













5. 5. D D ee ee D D x xuu u u u u x x(( ))== 6. 6. D D aa aa aa D D x xuu u u u u x x(( ))== lnln 7. 7. D Duu u u u u D D x x x x 1 1 )) (ln (ln == 8.

8. D D x x((sensenuu))==coscosuu D D x xuu

9.

9. D D x x(cos(cosuu))==−−sensenuu D D x xuu

10. 10. D D x x uu uu D D x xuu 2 2 sec sec )) (tan (tan == 11. 11. D D x x uu uu D D x xuu 2 2 csc csc )) (cot (cot ==−− 12.

12. D D x x(sec(secuu))==secsecuutantanuu D D x xuu

13. 13. D D x x(csc(cscuu))==−−csccscuucotcotuu D D x xuu 14. 14. D Duu u u u u arcsen arcsen D D x x ₂₂ x x 1 1 1 1 )) (( − − = = 15. 15. D Duu u u u u D D x x ₂₂ x x 1 1 1 1 )) (arccos (arccos − − − − = = 16. 16. D Duu u u u u D D x x ₁₁ 22 x x 1 1 )) (arctan (arctan + + = = 17. 17. D Duu u u u u arc arc D D x x 22 x x 1 1 1 1 )) cot cot (( + + − − = = 18. 18. D Duu u u u u u u arc arc D D x x x x 1 1 1 1 )) sec sec (( 2 2₋₋ = = 19. 19. D Duu u u u u u u arc arc D D x x x x 1 1 1 1 )) csc csc (( 2 2₋₋ − − = = 20.

20. D D x x((senhsenhuu))==coshcoshuu D D x xuu

21.

21. D D x x(cosh(coshuu))==senhsenhuu D D x xuu

22. 22. D D x x uu hh uu D D x xuu 2 2 sec sec )) (tanh (tanh == 23. 23. D D x x uu hh uu D D x xuu 2 2 csc csc )) (coth (coth ==−− 24.

24. D D x x(sec(sechhuu))==−−secsechhuutanhtanhuu D D x xuu

25. 25. D D x x(csc(cschhuu))==−−csccschhuucothcothuu D D x xuu

Tabla de integrales

Formas elementales Formas elementales 1. 1.

∫ ∫

dudu==uu++cc 2. 2.

∫ ∫

aadudu==auau++cc 3. 3.

∫ ∫

[[ f f ((uu))++gg((uu)])]dudu==

∫ ∫

f f ((uu))dudu++

∫ ∫

gg((uu))dudu 4. 4. (( 11)) 1 1 1 1 ≠ ≠ + + + + = = + +

∫ ∫

cc nn n n u u du du u u n n n n 5. 5. uu cc u u du du + + = =

∫ ∫

lnln

Formas racionales que contienen Formas racionales que contienenaa++bubu

6. 6.

∫ ∫

==

[ [

++ −− ++

]]

++ + +bubu bb aa bubu aa aa bubu cc a a du du u u ln ln 1 1 2 2 7. 7.

( (

aa bubu

))

aaaa bubu aa aa bubu cc b b bu bu a a du du u u + +









+ + + + + + − − + + = = + +

∫ ∫

22 (( )) lnln 2 2 1 1 1 1 22 22 3 3 2 2 8. 8.

( (

))

∫ ∫

_

++











+ + + + + + = = + + aa bubu aa bubu cc a a b b bu bu a a du du u u ln ln 1 1 2 2 2 2 9. 9.

( (

))

∫ ∫

_

++











+ + − − + + − − + + = = + + aa bubu aa aa bubu cc a a bu bu a a b b bu bu a a du du u u ln ln 2 2 1 1 22 3 3 2 2 2 2 10. 10.

(

)

(

aa

))

bubu aa bubu cc a a b b bu bu a a du du u u + +













+ + − − + + = = + +

∫ ∫

11 2 2 1 1 2 2 2 2 3 3 11. 11.

( (

))

∫ ∫

++ + + = = + + aa bubu cc u u a a bu bu a a u u du du ln ln 1 1 12. 12.

( (

))

∫ ∫

==−− ++ ++ ++ + + uu cc bu bu a a a a b b au au bu bu a a u u du du ln ln 1 1 2 2 2 2 13. 13.

( (

))

( (

))

aa bubu cc u u a a bu bu a a a a bu bu a a u u du du + + + + + + + + = = + +

∫ ∫

₂₂ 11 11₂₂lnln

Formas que contienen Formas que contienen aa++bubu

14. 14.

(

bubu aa

))(

(

aa bubu

)

cc b b du du bu bu a a u u ++ == −− ++ ++

∫ ∫

3322 3 3 33 22 15 15 2 2 15. 15.

( (

bbuu abuabu aa

))

( (

aa bubu

))

cc b b du du bu bu a a u u ++ == −− ++ ++ ++

∫ ∫

22 22 22 3322 3 3 2 2 8 8 12 12 15 15 105 105 2 2 16. 16.

( (

))

(

)

(

)

(

)

(

)

∫ ∫

++ + + − − + + + + = = + + −− du du bu bu a a u u n n b b an an n n b b bu bu a a u u du du bu bu a a u unn nn 22 nn11 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 17. 17.

_∫ ∫

==

( (

−−

))

++ ++ + +bubu bb bubu aa aa bubu cc a a du du u u 2 2 3 3 2 2 2 2 18. 18.

( (

bb uu abuabu aa

))

aa bubu cc b b bu bu a a du du u u ₌₌ ₋₋ ₊₊ ₊₊ ₊₊ + +

∫ ∫

22 22 22 3 3 2 2 8 8 4 4 3 3 15 15 2 2 19. 19.

( ) ( )

∫ ∫

−− ₊₊ ₊₊ + + + + = = + + − − bu bu a a du du u u n n b b an an n n b b bu bu a a u u bu bu a a du du u unn nn nn11 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 20. 20.

∫ ∫

== + +bubu a a u u du du 0 0 arctan arctan 2 2 0 0 ln ln 1 1 < < + + − − + + − − > > + + + + + + − − + + a a si si cc a a bu bu a a a a a a si si cc a a bu bu a a a a bu bu a a a a 21. 21.

( (

))

( (

))

( (

))

∫ ∫

−− −−₋₋ ₊₊ − − + + − − = = + + −− −− bu bu a a u u du du n n a a n n b b u u n n a a bu bu a a bu bu a a u u du du n n n n n n 11 11 1 1 2 2 3 3 2 2 1 1 22. 22.

∫ ∫

+ + + + + + = = + + bu bu a a u u du du a a bu bu a a u u du du bu bu a a 2 2 23. 23.

( (

))

( (

))

( (

))

( (

))

∫ ∫

−− −− + + − − − − − − − − + + − − = = + + 1 1 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 5 5 2 2 1 1 nn nn n n _u_u du du bu bu a a n n a a n n b b u u n n a a bu bu a a u u du du bu bu a a

(2)

Formas que contienen Formas que contienen 22 22

u u a a ±± 24. 24. cc a a u u a a u u a a du du + + = = + +

∫ ∫

₂₂ ₂₂ 11arctanarctan 25. 25. ++ == − − + + = = − −

∫ ∫

cc a a u u a a u u a a u u a a du du ln ln 2 2 1 1 2 2 2 2 a a u u si si cc a a u u arc arc a a a a u u si si cc a a u u h h a a > > + + < < + + coth coth 1 1 arctan arctan 1 1 26. 26. ++ == + + − − = = − −

∫ ∫

cc a a u u a a u u a a a a u u du du ln ln 2 2 1 1 2 2 2 2 a a u u si si cc a a u u arc arc a a a a u u si si cc a a u u h h a a > > + + − − < < + + − − coth coth 1 1 arctan arctan 1 1

Formas que contienen Formas que contienen _u_u22_±_±_a_a22

En las fórmulas 27 a 38 se puede sustituir En las fórmulas 27 a 38 se puede sustituir

))

2 2 2 2 ln lnuu++ uu ++aa porpor a a u u arcsenh arcsenh 2 2 2 2 ln lnuu++ uu −−aa porpor a a u u h h arccos arccos u u a a u u a a 22 22 ln ln ++ ++ porpor u u a a arcsenh arcsenh 27. 27. uu uu aa cc a a u u du du ₌₌ ₊₊ _±_± ₊₊ ± ±

∫ ∫

22 22 2 2 2 2 lnln 28. 28.

∫ ∫

uu ±±aa dudu==uu uu ±±aa ±±aa uu++ uu22±±aa22 ++cc 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 _ln_ln 2 2 2 2 29. 29.

∫ ∫

uu uu ±±aa dudu==uu

( (

uu ±±aa

))

uu ±±aa −−aa uu++ uu22±±aa22 ++cc 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ln ln 8 8 2 2 8 8 30. 30. cc u u a a u u a a a a a a u u u u du du a a u u + + + + + + − − + + = = + +

∫ ∫

22 22 22 22 2 2 2 2 ln ln 31. 31. cc a a u u arc arc a a a a u u u u du du a a u u + + − − − − = = − −

∫ ∫

22 22 secsec 2 2 2 2 32. 32. uu uu aa cc u u a a u u u u du du a a u u + + ± ± + + + + ± ± − − = = ± ±

∫ ∫

22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ln ln 33. 33. uu uu aa aa uu uu aa cc a a u u du du u u ±± ₊₊ _±_± ₊₊ − − ± ± = = ± ±

∫ ∫

22 22 22 22 22 2 2 2 2 2 2 ln ln 2 2 2 2 34. 34. cc u u a a u u a a a a a a u u u u du du + + + + + + − − = = + +

∫ ∫

22 22 lnln 22 22 1 1 35. 35. cc a a arc arc a a a a u u u u du du + + = = − −

∫ ∫

11 secsec11 2 2 2 2 36. 36. cc u u a a a a u u a a u u u u du du + + ± ± ± ± − − = = ± ±

∫ ∫

22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 37. 37. 38. 38.

∫ ∫

(

uu ±±

)

aa

)

dudu==uu

(

uu ±± aa

))

uu ±±aa ++ aa uu++ uu22±±aa22 ++cc 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 ln ln 8 8 3 3 5 5 2 2 8 8 39. 39.

( (

))

aa uu aa cc u u a a u u du du + + ± ± ± ± = = ± ±

∫ ∫

33₂₂ 22 22 22 2 2 2 2

Formas que contienen Formas que contienen 22 22

u u a a −− 40. 40. cc a a u u arcsen arcsen u u a a du du + + = = − −

∫ ∫

22 22 41. 41. cc a a u u arcsen arcsen a a u u a a u u du du u u a a −− == −− ++ ++

∫ ∫

22 22 ₂₂ 22 22 ₂₂22 42. 42.

( (

))

cc a a u u arcsen arcsen a a u u a a a a u u u u du du u u a a u u −− == −− −− ++ ++

∫ ∫

22 ₈₈ 8 8 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 43. 43. cc u u a a h h a a u u a a cc u u u u a a a a a a u u a a u u du du u u a a + + − − − − = = + + − − + + − − − − = = − −

∫ ∫

lnln 22 22 arccosarccos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 44. 44. cc a a u u arcsen arcsen u u u u a a u u du du u u a a + + − − − − − − = = − −

∫ ∫

22 22 22 2 2 2 2 45. 45. cc a a u u arcsen arcsen a a u u a a u u u u a a du du u u + + + + − − − − = = − −

∫ ∫

₂₂ 22 22 ₂₂22 2 2 2 2 2 2 46. 46. cc u u a a h h a a cc u u u u a a a a a a u u a a u u du du + + − − = = + + − − + + − − = = − −

∫ ∫

11lnln 11arccosarccos 2 2 2 2 2 2 2 2 47. 47. cc u u a a u u a a u u a a u u du du −− ₊₊ − − = = − −

∫ ∫

22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 48. 48.

(

)

(

))

cc a a u u arcsen arcsen a a u u a a a a u u u u du du u u a a −− ==−− −− −− ++ ++

∫ ∫

22 55 33₈₈ 8 8 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 49. 49.

( (

))

aa aa uu cc u u u u a a du du + + − − = = − −

∫ ∫

33₂₂ 22 22 22 2 2 2 2

(3)

Formas que contienen Formas que contienen 22

2 2auau−−uu 50. 50. cc a a u u a a u u au au a a u u du du u u au au



++











− − + + − − − − = = − −

∫ ∫

22 arccosarccos11 11 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 51. 51. cc a a u u a a u u au au a a au au u u du du u u au au u u



++











− − + + − − − − − − = = − −

∫ ∫

arccosarccos11 2 2 2 2 6 6 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 52. 52. cc a a u u a a u u au au u u du du u u au au + +













− − + + − − = = − −

∫ ∫

22 22 22 arccosarccos11 2 2 53. 53. cc a a u u u u u u au au u u du du u u au au + +













− − − − − − − − = = − −

∫ ∫

22 22 22 arccosarccos11 2 2 2 2 2 2 54. 54. cc a a u u u u au au du du + +













− − = = − −

∫ ∫

arccosarccos11 2 2 22 55. 55. cc a a u u a a u u au au u u au au du du u u + +













− − + + − − − − = = − −

∫ ∫

22 arccosarccos11 2 2 2 2 2 2 56. 56.

( (

))

cc a a u u a a u u au au a a u u u u au au du du u u + +













− − + + − − + + − − = = − −

∫ ∫

arccosarccos11 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 57. 57. cc au au u u au au u u au au u u du du + + − − − − = = − −

∫ ∫

22 22 2 2 2 2 58. 58.

( (

))

aa auau uu cc a a u u u u au au du du + + − − − − = = − −

∫ ∫

22 22 2 2 3 3 2 2 ₂₂ 2 2 59. 59.

( (

))

aa auau uu cc u u u u au au du du u u + + − − = = − −

∫ ∫

33₂₂ 22 2 2 ₂₂ 2 2 60. 60.

Formas que contienen

Formas que contienen funciones trigonométricasfunciones trigonométricas

61.

∫ ∫

sensenuududu==−−coscosuu++cc

62.

∫ ∫

coscosuududu==sensenuu++cc

63.

∫ ∫

tantanuududu==lnlnsecsecuu++cc

64.

∫ ∫

cotcotuududu==lnlnsensenuu++cc

65. 65.

∫ ∫

uududu== uu++ uu++cc==

( (

++ uu

))

++cc 2 2 1 1 4 4 1 1 tan tan ln ln tan tan sec sec ln ln sec sec π π 66. 66.

∫ ∫

uududu== uu−− uu++cc== uu ++cc 2 2 1 1 tan tan ln ln cot cot csc csc ln ln csc csc 67.

67.

∫ ∫

secsec22uududu==tantanuu++cc

68.

∫ ∫

csccsc22uududu==−−cotcotuu++cc

69.

∫ ∫

secsecuutantanuududu==secsecuu++cc

70.

∫ ∫

csccscuucotcotuududu==−−csccscuu++cc

71.

∫ ∫

sensen uududu== uu−− sensen22uu++cc 4 4 1 1 2 2 1 1 2 2 72. 72.

∫ ∫

uududu== uu++ sensen22uu++cc 4 4 1 1 2 2 1 1 cos cos22 73.

73.

∫ ∫

tantan22uududu==tantanuu−−uu++cc

74.

∫ ∫

cotcot22uududu==−−cotcotuu−−uu++cc

75. 75.

∫ ∫

−− −−

∫ ∫

−− + + − − = = sensen uududu n n n n u u u u sen sen n n du du u u sen sennn nn 11 11 nn 22 cos cos 1 1 76. 76.

∫ ∫

−− −−

∫ ∫

−− + + = = uududu n n n n u u sen sen u u n n du du u u nn nn n n 11 22 cos cos 1 1 cos cos 1 1 cos cos 77. 77.

∫ ∫

−− ₋₋

∫ ∫

−− − − = = uu uududu n n du du u u nn nn n

n _tan_tan 11 _tan_tan 22

1 1 1 1 tan tan 78. 78.

∫ ∫

−−

∫ ∫

−− − − − − − − = = uu uududu n n du du u u nn nn n n 11 22 cot cot cot cot 1 1 1 1 cot cot 79. 79.

∫ ∫

−−

∫ ∫

−− − − − − + + − − = = uududu n n n n u u u u n n du du u u nn nn n n 22 22 sec sec 1 1 2 2 tan tan sec sec 1 1 1 1 sec sec 80. 80.

∫ ∫

−−

∫ ∫

−− − − − − + + − − − − = = uududu n n n n u u u u n n du du u u nn nn n n 22 _csc_csc 22 1 1 2 2 cot cot csc csc 1 1 1 1 csc csc 81. 81.

( (

))

( (

))

( (

))

( (

mm nn

))

cc u u n n m m sen sen n n m m u u n n m m sen sen du du nu nu sen sen mu mu sen sen ++ − − − − + + + + + + − − = =

∫ ∫

₂₂ ₂₂ 82. 82.

( (

))

( (

))

( (

))

( (

))

∫ ∫

++ − − − − + + + + + + = = cc n n m m u u n n m m sen sen n n m m u u n n m m sen sen du du nu nu mu mu 2 2 2 2 cos cos cos cos 83. 83.

( (

))

( (

))

( (

))

( (

mm nn

))

cc u u n n m m n n m m u u n n m m du du nu nu mu mu sen sen ++ − − − − − − + + + + − − = =

∫ ∫

coscos coscos₂₂ coscos₂₂

84.

∫ ∫

uusensenuududu==sensenuu−−uucoscosuu++cc

85.

∫ ∫

uucoscosuududu==coscosuu++uusensenuu++cc

86.

∫ ∫

uu22sensenuududu==22uusensenuu++

( (

22−−uu22

))

coscosuu++cc

87.

∫ ∫

uu22coscosuududu==22uucoscosuu++

( (

uu22−−22

))

sensenuu++cc

88. 88.

∫ ∫

−− + + − − = = uu uu nn uu uududu du du u u sen sen u

unn nn_cos_cos nn 11_cos_cos

89. 89.

∫ ∫

₌₌ ₋₋

∫ ∫

−− du du u u sen sen u u n n u u sen sen u u du du u u u unn nn nn 11 cos cos 90. 90.

∫ ∫

−− + + − − + + − − + + + + = = sensen uu uu dudu n n m m m m n n m m u u u u sen sen du du u u u u sen sen mm nn n n m m n n m m cos cos 1 1 cos cos cos cos 11 11 22

∫ ∫

−− − − + + + + − − + + + + = = sensen uu uududu n n m m n n n n m m u u u u sen sen mm nn n n m m 2 2 1 1 1 1 cos cos 1 1 cos cos

Formas que contienen

Formas que contienen funciones trigonométricas inversasfunciones trigonométricas inversas 91.

91.

∫ ∫

arcsenarcsenuududu==uuarcsenarcsenuu++ −−uu22 ++cc 1 1 92. 92.

∫ ∫

uududu==uu uu−− −−uu22++cc 1 1 arccos arccos arccos arccos 93. 93.

∫ ∫

uududu==uu uu−− ++uu22 ++cc 1 1 ln ln arctan arctan arctan arctan 94.

94.

∫ ∫

arcarc_cot_cotuududu==uuarcarc_cot_cotuu++_ln_ln ₁₁++uu22++cc

95.

(4)

96.

∫ ∫

arcarccsccscuududu==uuarcarccsccscuu++lnlnuu++ uu22−−11++cc ==uuarcarccsccscuu++arccosarccoshhuu++cc

Formas que contienen funciones exponenciales y logarítmicas Formas que contienen funciones exponenciales y logarítmicas

97. 97.

_∫ ∫

eeuududu₌₌eeuu₊₊cc 98. 98. cc a a a a du du a a u u u u ₌₌ ₊₊

∫ ∫

_ln_ln 99. 99.

_∫ ∫

ueueuududu₌₌eeuu

( (

uu₋₋

))

₊₊cc 1 1 100. 100.

∫ ∫

−− − − = =uuee nn uu ee dudu du du ee u unn uu nn uu nn 11uu 101. 101.

∫ ∫

−− − − = = uu aa dudu a a n n a a a a u u du du a a u u nn uu u u n n u u n n 11 ln ln ln ln 100. 100.

( (

))

∫ ∫

−− −− − − + + − − − − = = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 nn u u n n u u n n u u u u du du ee n n u u n n ee u u du du ee 101. 101.

( (

))

∫ ∫

==−− ₋₋ −−11++ ₋₋ −−11 1 1 ln ln 1 1 nn u u n n u u n n u u u u du du a a n n a a u u n n a a u u du du a a 102. 102.

∫ ∫

lnlnuududu==uulnlnuu−−uu++cc 103. 103.

( (

nn

))

[ [

( (

nn

))

uu

]]

cc u u du du u u u u n n n n ₊₊ ₋₋ ₊₊ + + = = + +

∫ ∫

11lnln 11 1 1 ln ln ₂₂ 1 1 104. 104. uu cc u u u u du du + + = =

∫ ∫

lnlnlnln ln ln 105. 105.

( (

aasensennunu nn nunu

))

cc n n a a ee du du nu nu sen sen ee au au au au ₋₋ ₊₊ + + = =

∫ ∫

₂₂ ₂₂ coscos 106. 106.

( (

aa nunu nnsensennunu

))

cc n n a a ee du du nu nu ee au au au au ₊₊ ₊₊ + + = =

∫ ∫

coscos ₂₂ ₂₂ coscos

Formas que contienen funciones hiperbólicas Formas que contienen funciones hiperbólicas

107.

∫ ∫

senhsenhuududu==coshcoshuu++cc

108.

∫ ∫

coshcoshuududu==senhsenhuu++cc

109.

∫ ∫

tanhtanhuududu==lnlncoshcoshuu++cc

110.

∫ ∫

cothcothuududu==lnlnsenhsenhuu++cc

111.

∫ ∫

secsechhuududu==arctanarctan

( (

senhsenhuu

))

++cc

112. 112.

∫ ∫

hhuududu== uu++cc 2 2 1 1 tanh tanh ln ln csc csc 113.

113.

∫ ∫

secsechh22uududu==tanhtanhuu++cc

114.

∫ ∫

csccschh22uududu==−−cothcothuu++cc

115.

∫ ∫

secsechhuutanhtanhuududu==−−secsechhuu++cc

116.

∫ ∫

csccschhuucothcothuududu==−−csccschhuu++cc

117.

∫ ∫

senhsenh uududu== senhsenh uu−− uu++cc 2 2 1 1 2 2 4 4 1 1 2 2 118. 118.

∫ ∫

uududu== senhsenh uu++ uu++cc 2 2 1 1 2 2 4 4 1 1 cosh cosh22 119.

119.

∫ ∫

tanhtanh22uududu==uu−−tanhtanhuu++cc

120.

∫ ∫

cothcoth22uududu==uu−−cothcothuu++cc

121.

∫ ∫

uusenhsenhuududu==uucoshcoshuu−−senhsenhuu++cc

122.

∫ ∫

uucoshcoshuududu==uusenhsenhuu−−coshcoshuu++cc

123. 123.

( (

aasenhsenhnunu nn nunu

))

cc n n a a ee du du nu nu senh senh ee au au au au ₋₋ ₊₊ − − = =

∫ ∫

₂₂ ₂₂ coshcosh 124. 124.

( (

aa nunu nnsenhsenhnunu

))

cc n n a a ee du du nu nu ee au au au au ₋₋ ₊₊ − − = =

∫ ∫

coshcosh ₂₂ ₂₂ coshcosh

Técnicas de integración

Integración por partes

∫ ∫

uudvdv==uvuv−− vvdudu(Un Día Vi.=Una Vaca - Vestida De Uniforme)(Un Día Vi.=Una Vaca - Vestida De Uniforme) Integrales trigonométricas

Integrales trigonométricas

Caso 1 (donde n es un número entero positivo impar) Caso 1 (donde n es un número entero positivo impar)

i. i.

∫ ∫

sensennn x xdxdx

( (

))

( (

))

( (

))

( ( ))

( (

))

( (

x x

))

( ( ))

( (

sensen x xdxdx

))

dx dx x x sen sen x x sen sen dx dx x x sen sen x x sen sen dx dx x x sen sen n n n n n n n n 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 cos cos 1 1 − − − − − − − − = = = = = = ii.

ii.

∫ ∫

_cos_cosnn x xdxdx

( (

))

( (

))

( (

))

( ( ))

( (

))

( (

sensen x x

))

( ( ))

( (

x xdxdx

))

dx dx x x x x dx dx x x dx dx x x dx dx x x n n n n n n n n cos cos 1 1 cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 − − − − − − − − = = = = = =

Caso 2 (donde al menos uno de los exponentes es un número entero positivo impar) Caso 2 (donde al menos uno de los exponentes es un número entero positivo impar)

∫ ∫

sensennn x x mm x xdxdx cos cos

i.

i. Si n es impar, entoncesSi n es impar, entonces

( (

))

( (

))

( ( ))

( (

))

( (

))

( (

x x

))

( ( ))

( (

x x

))

( (

sensen x xdxdx

))

dx dx x x sen sen x x x x sen sen dx dx x x sen sen x x x x sen sen dx dx x x x x sen sen m m n n m m n n m m n n m m n n cos cos cos cos 1 1 cos cos cos cos cos cos 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 − − − − − − − − = = = = = = ii.

ii. Si m es impar, entoncesSi m es impar, entonces

( (

))

( (

))

( ( ))

( (

))

( (

sensen x x

))

( ( ))

( (

x xdxdx

))

x x sen sen dx dx x x x x x x sen sen dx dx x x x x x x sen sen dx dx x x x x sen sen m m n n m m n n m m n n m m n n cos cos 1 1 cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 − − − − − − − − = = = = = =

Caso 3 (donde m y n son números positivos pares) Caso 3 (donde m y n son números positivos pares) i. i.

∫ ∫

sensennn x xdxdx

( (

x x

))

dxdx dx dx x x sen

sennn ₁₁ _cos_cos₂₂ nn22 2 2 1 1 − − = = ii. ii.

∫ ∫

nn x xdxdx cos cos

( (

x x

))

dxdx dx dx x x nn n n ₂₂ 2 2 cos cos 1 1 2 2 1 1 cos cos == ++ iii.

iii.

∫ ∫

sensennn x x mm x xdxdx cos cos

(

x x

)

(

x x

))

dxdx dx dx x x x x sen

sennn mm nn22 ₁₁ _cos_cos₂₂ mm22 2 2 1 1 2 2 cos cos 1 1 2 2 1 1 cos cos == −− ++

(5)

Caso 4 (donde n es un número entero positivo) Caso 4 (donde n es un número entero positivo)

i. i.

∫ ∫

nn x xdxdx tan tan

( (

x x

))

dxdx x x dx dx x x nn n

n _tan_tan _sec_sec ₁₁

tan

tan ₌₌ −−22 22 ₋₋

ii.

∫ ∫

_cot_cotnn x xdxdx

( (

x x

))

dxdx x x dx dx x x nn n n _cot_cot _csc_csc ₁₁ cot cot ₌₌ −−22 22 ₋₋

Caso 5 (donde n es un número entero positivo par) Caso 5 (donde n es un número entero positivo par)

i. i.

∫ ∫

nn x xdxdx sec sec

( (

x x

))

( ( ))

( (

x xdxdx

))

dx dx x x n n n n 22 2222 22 sec sec 1 1 tan tan sec sec − − + + = = ii. ii.

∫ ∫

nn x xdxdx csc csc

( (

x x

))

( ( ))

( (

x xdxdx

))

dx dx x x n n n n 22 22 2 2 2 2 ₁₁ _csc_csc cot cot csc csc − − + + = =

Caso 6 (donde m es un número entero positivo par) Caso 6 (donde m es un número entero positivo par)

i.

∫ ∫

_tan_tannn x x_sec_secmm x xdxdx

( (

x x

))

( ( ))

( (

x xdxdx

))

x x dx dx x x x x m m n n m m n

n _sec_sec _tan_tan _tan_tan22 ₁₁ 2222_sec_sec22 tan tan − − + + = = ii.

ii.

∫ ∫

_cot_cotnn x x_csc_cscmm x xdxdx

( (

x x

))

( ( ))

( (

x xdxdx

))

x x dx dx x x x x m m n n m m n

n _csc_csc _cot_cot _cot_cot22 ₁₁ 2222 _csc_csc22 cot cot − − + + = = Caso 7 (donde n es u

Caso 7 (donde n es u n número entero positivo impar)n número entero positivo impar)

i.

∫ ∫

( (

x x

))

( ( )) x x

( (

x x x xdxdx

))

dx dx x x x x mm nn mm n

n _sec_sec _sec_sec ₁₁ _sec_sec _sec_sec _tan_tan

tan tan 22 −−1122 −−11 − − = = ii.

ii.

∫ ∫

_cot_cotnn x x_csc_cscmm x xdxdx

( (

x x

))

( ( )) x x

( (

x x x xdxdx

))

dx dx x x x x mm nn mm n n cot cot csc csc csc csc 1 1 csc csc csc csc cot cot 22 −−1122 −−11 − − = = Caso 8 (donde n

Caso 8 (donde n es un número positivo impar, aplicar integración por es un número positivo impar, aplicar integración por partes)partes)

i.

∫ ∫

_sec_secnn x xdxdx

Considerar

Considerar uu₌₌_sec_secnn−−22 x x

yy dvdv₌₌_sec_sec22 x xdxdx ii. ii.

∫ ∫

_csc_cscnn x xdxdx Considerar Considerar uu₌₌_csc_cscnn−−22 x x yy dvdv₌₌_csc_csc22 x xdxdx

Caso 9 (donde n es un número entero positivo par y m es un número positivo entero impar) Caso 9 (donde n es un número entero positivo par y m es un número positivo entero impar)

i.

∫ ∫

( (

x x

))

x xdxdx dx dx x x x x mm nn mm n n sec sec 1 1 sec sec sec sec tan tan ₌₌ 22 ₋₋ 22 ii. ii.

∫ ∫

nn x x mm x xdxdx csc csc cot cot

( (

x x

))

x xdxdx dx dx x x x x mm nn mm n n _csc_csc _csc_csc ₁₁ _csc_csc cot cot ₌₌ 22 ₋₋ 22

Integración por sustitución trigonométrica Integración por sustitución trigonométrica

Caso 1 El integrando contiene una expresión de la

Caso 1 El integrando contiene una expresión de la formaforma_a_a22₋₋_u_u22

Considere

Considere _u_u==_a_a_sen_senθ θ θ θ 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos a a u u a a −− ==

Caso 2 El integrando contiene una expresión de la formaforma 22 22 u u a a ++ Considere

Considere uu==aatantanθ θ θ θ 2 2 2 2 2 2 2 2 _u_u _a_a _sec_sec a a ++ ==

Caso 3 El integrando contiene una expresión de la formaforma_u_u22₋₋_a_a22

Considere

Considere uu==aasecsecθ θ θ θ 2 2 2 2 2 2 2 2 tan tan a a a a u u −− ==