Aritmética - 1er Año

(1)

7 7 10 10 5 5 9 9 0 0 9 9 3 3 9 9 057 057 3 3 A A C Cºº (( )) ==(( −− )()( −− )()( −− )()( −− ))

==

))((ºº

400400207207AACC

AA

_{= = − + − + − + − + + + − − − −− −}

[((!!!!!("(([((!!!!!("((222222

# $ece%# $ece%

5577

                

&

d

'

2424

66 24 6 4

24 6 4

(2)

(3)

OPERACIONES COMBINADAS OPERACIONES COMBINADAS * 14 – (4) + 16 * 14 – (4) + 16

÷÷

8 8 * * 9 9 x x (-2) (-2) + + 1717

÷÷

(1) (1) 110 + 0 + 2 = 2 = 112 2 --118 + 8 + 117 7 = = --11 * (128 * (128

÷÷

8) x (24 8) x (24

÷÷

8) + (18 x 15) - 3 8) + (18 x 15) - 333 _{* 2}_{* 2}77

_÷÷

₂₂44_{+ 3}_{+ 3}22_{– 3}_{– 3}00_{+ 16x2}_{+ 16x2} 16 x 16 x 3 3 + + 270 270 – – 27 27 2233 ₊_{+ 9 –}_{9 – 1 +}_{1 + 32}₃₂ 48 48 + + 270 270 – – 27 27 = = 291 291 17 17 + + 31 31 = = 4848 * (16 x 5) * (16 x 5)

÷÷

(30 (30

÷÷

3) + (25 x 3) 3) + (25 x 3)

÷÷

(75 (75

÷÷

5) - 2 5) - 222 80 80

÷÷

10 10 + + 7575

÷÷

15 15 – – 44 8 8 + + 5 5 – – 4 4 = = 99 Cifra

Cifra x x CifraCifra

••

4675 4675 = 4000 + = 4000 + 600 + 600 + 70 + 70 + 55 = = 4 4 x x 101033_{+ 6x10}_{+ 6x10}22_{+ 7x 10 + 5}_{+ 7x 10 + 5}

••

5831 = 5000 + 800 + 30 + 15831 = 5000 + 800 + 30 + 1 = = 5x105x1033_{+ 8x10}_{+ 8x10}22_{+ 3x10 + 1}_{+ 3x10 + 1}

••

3427 = 3000 + 400 + 20 + 73427 = 3000 + 400 + 20 + 7 = = 3x103x1033_{+ 4x10}_{+ 4x10}22_{+ 2x10 + 7}_{+ 2x10 + 7} Observación: Observación:

••

50215021(7)(7) = 5x7 = 5x733 + 2x7 + 2x711+1+1

••

34523452(6)(6) = 3x6 = 3x633 + 4x6 + 4x622 + 5x6 + 2 + 5x6 + 2

••

1000110001(5)(5) = 1x5 = 1x544+ 1+ 1

Los orígenes empíricos de Los orígenes empíricos de la

la matematemáticmática a egipcegipcia ia lala d

deessppoojjaarroon n dde e llaass fantasias de la magia. La fantasias de la magia. La rriigguurroossa a eexxppeerriieenncciiaa c

coommo o ffuueenntte e dde e llaa Aritmética

Aritmética puedepuede c

coommpprroobbaarrsse e een n eell doc

documeumento nto mamatemtemátiáticoco m

máás s aannttiigguuo o qquue e ssee posee:

posee: el el papiropapiro descubierto por Rhind en descubierto por Rhind en el siglo XX! que el escriba el siglo XX! que el escriba Ahmes

Ahmes "A#hmes "A#hmes "A"A$ $ h h %% mose& copi' en ()*+ A.,.! mose& copi' en ()*+ A.,.! de una obra anterior. -ste de una obra anterior. -ste papiro!

papiro! llamado llamado de de RhindRhind o

o AAhhmmeess! ! gguurra a een n eell /useo 0ritánico.

/useo 0ritánico.

DE

DESC

SCOM

OMPO

POSI

SICI

CIÓN

ÓN PO

POLI

LINÓ

NÓMI

MICA

CA DE

DE UN

UN

NUMERAL

(4)

Factorización o Descomposición Factorización o Descomposición de Números :

de Números :

••

DescompoDescompoer e er e fac!ores"fac!ores" aa)) 224400 224400 22 112200 22 60 60 22 30 30 22 15 15 33 55 55 11

∴

240 = 2 240 = 244_{x 3 x 5}_{x 3 x 5} c) 332 c) 332 332 2 332 2 116666 22 8833 8833 11

∴

332 = 2 332 = 222_{x 83}_{x 83} aa₌_{= a}_{a x}_{x a}_{a x}_{x a}_{a x}_{x a}_{a x}_{x ######## x}_{######## x a}_a _aa

_≠≠

_{0$ }_{0$ }

_∈

_%_%++  fac!ores  fac!ores Propiedades:

Propiedades: aa

∧∧

& &

≠≠

0 0 Ejemplo AplicativoEjemplo Aplicativo

1) 1) mm  mm  a a a a x x a a 1)1) ₃₃22_x_x₃₃33 ₃₃22 33 ₃₃55 ₂₄₃₂₄₃ 2) 2) __ mm  m m a a a a a a 2) 2) 22 22 44 2 2 2 2 ₃₃ ₁₁ ₂₂ 1 1 3 3 3) 3)    a a 1 1 a a ₃₎₃₎ 3 3 1 1 3 3 11 4) 4) mm  mm xx a a a a 4)4) 2233 22 2233..22 2266 6464 5) 5)    & & x x a a a& a& 5)5) 22xx33 22 2222xx3322 3636 6) 6) __ a a   & & a a & & a a

POTENCIACIÓN

&) 140 &) 140 114400 22 70 70 22 35 35 55 77 77 11 140 = 2 140 = 222_{x 5 x 7}_{x 5 x 7} OBSERVA: OBSERVA: ¡Qué fácil es ¡Qué fácil es aprender! aprender! 6) 6) 64 64 27 27 4 4 3 3 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 OBSERVA: OBSERVA: ¡Qué fácil es ¡Qué fácil es aprender! aprender! (1550 – 1517) (1550 – 1517) /atemático escocés /atemático escocés in1entor de los logaritmos in1entor de los logaritmos neperianos. Recomend' neperianos. Recomend' en ()(2 el uso del punto en ()(2 el uso del punto ".& para separar la parte ".& para separar la parte decimal de la entera.

(5)

'a ecaci es a reaci e i,aa e es!a&ece e!re 2 expresioes a,e&raicas e !iee como m.imo a /aria&e#

ENUNCADO

!Forma "erbal# E$P%E&'N (A)E(*)CA!Forma &imbólica#

•

a sma e 2 meros

cosec!i/os#

⇒

x + (x + 1)

•

a sma e 3 meros

e!eros cosec!i/os#

⇒

x + (x + 1) + (x + 2)

•

i !e,o a e!oces e

carpe e o e !e,o#

⇒

4a

•

i !e,o  e!oces e o&e e o e !e,o ame!ao

e 20#

⇒

2 + 20

•

i !e,o  e!oces e !ripe e o e !e,o ismiio e

10#

⇒

3 - 10

•

 carao e a sma e 2

meros#

⇒

(x + )2 1# Cacar" = - 15 + (18 – 16 + 19) – 3 (15 – 4)  = - 91 – (16 – 17 - 17) – 2 (- 18) aar "  +  2# Cacar" : = -35 – 5 (8 - 16) + (16 – 19) + 26 ; = 45 – 35(17 – 23) – (15 + 16) aar" : - ; 3# Cacar"  = - 25 – 17 – 5 (6 – 7) - 3 (- 5)  = -15 + 19 – 6 (8 – 7) – 2 (-3) aar"  x  4# i" : = 4 – 15 + 19 – 2 (16 – 23) ; = -19 – 35 – 3 (5 – 7) – ( - 8) aar" : x ; 5# Descompoer 420 e"

<#  proc!o e 2 fac!ores %+

###################################################################### <<#  proc!o e 4 fac!ores %+

###################################################################### <<<# proc!o e 5 fac!ores %+

###################################################################### <# proc!o e 7 fac!ores %+

###################################################################### 6# Descompoer 1260 e"

<#  proc!o e 2 fac!ores %+_{cosec!i/os#} ###################################################################### <<#  proc!o e 6 fac!ores %+

###################################################################### <<<#  proc!o e 7 fac!ores %+

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

(6)

###################################################################### 7# i" 3 5 6 x 8 : 3 2 3 4 3 3 2 x 2 ; 3 2 3 2 8# i" 3 3 3 5 2 64 125  2 2 3 2 x 3 3 x 121 144  a ar"  +  1# fec!ar" 5 – 7 (-2) (3 – 4)

÷

( - 1) – (-5) >p!a#" ################################ 2# fec!ar (-7) (17) – ( 15 – 14) – 2 (13 – 5) >p!a#" ################################ 3# Descompoer 600 e"

 proc!o e 2 fac!ores cosec!i/os# #################################################################### Descompoer 72 como e proc!o e 2 fac!ores cosec!i/os" #################################################################### 4# Cacar" -2 (3 – 5) – (-2) (-7 + 9) – (-1) >p!a#" ################################ 5# Cacar" -(-2) – (-3) (-5) – (-30)

÷

(-2) >p!a#" ################################ 6# i" 0 3 0 2 0 3 ₈ _x ₆ ₅ 7 0 0 2 0 3 0 2 0 3 4 3 3 2 x 2  aar"  # # >p!a#" ################################ 7# i" 0 3 3 3₁₂₅ ₂ ₅ ? 2 3 0 3 3 144 @ aar ? + @ >p!a#" ################################ 8# Coocar /eraero () o faso (A) se,

correspoa" 0 0 4 16 2 < ( ) 0 0 2 9 3 <<. ( ) 4 0 5 0 3 2 2 x 2 <<< . ( ) >p!a#" ################################ .

A C T I V I D A D

(7)

1# aar  +  si"

 = 8 + (- 7) + 15

÷

(- 3)

 = (24

÷

8) x (160

÷

10) + (18 x 15) -33

2# aar  mero co carao ismiio e 119 es i,a a 25#

3#

a) i B e!ero posi!i/o aems (+2)=80 Eaar B#

&) De o a!erior Eaar B# i ( + 1) = 210

4# i se sa&e e a sma e 3 meros e!eros cosec!i/os es i,a a 30 Eaar e mero maor"

5# 'a persoa !iee F#20000  o!ra F#7500 caa a aEorra aame!e F#500 Ge!ro e c!os aHos a for!a e a primera ser e o&e e a se,aI

6# e compra cier!o mero e reoJes por F#5625 sa&ieo e e mero e reoJes compraos es i,a a precio e os reoJes e soes GC!os reoJes se Ea compraoI 7# i a sma e 2 meros es 38 

s iferecia 12 Eaar e mero meor#

8# GC es a ea ac!a e  pare e pica a ea e s EiJo  Eace 24 aHos s ea era 10 /eces e a ea e s EiJoI

1# aar ? + @ si" ? = 9 x – 5 + 28

÷

- 7

@ = (800

÷

10)

÷

(30

÷

3) + 75

÷

15 – 22

>p!a#" ################################ 2# GC es e mero co carao ame!ao

e 30 es i,a 430I

>p!a#" ################################ 3#  proc!o e 2 meros a!raes

cosec!i/os es 56 Eaar e mero meor# >p!a#" ################################ 4# a sma e 3 meros cosec!i/os es i,a a

18 Eaar e mero maor#

>p!a#" ################################ 5# :ae !iee F# 50000  Araceses F#150000

caa o aEorra aame!e F#1000 Ge!ro

e c!os aHo a for!a e primero ser e o&e e se,oI

>p!a#" ################################ 6# KosL compra cier!o mero e i&ros por

F#625 sa&ieo e e mero e i&ros compraos es i,a a precio e  i&ro e soes# GC!os i&ros se Ea compraoI

>p!a#" ################################ 7# i a iferecia e 2 meros es 26  a sma

e eos es 42 Eaar e meor#

>p!a#" ################################ 8# a sma e os caraos e 2 meros es

125# i o e eos es e o&e e o!ro Eaar e mero meor#

>p!a#" ################################

A C T I V I D A D E N A U L A

(8)

Número: !e ma!em!ico os permi!e ca!ificar os eeme!os e a a!raea#

N+meral: s a represe!aci e  mero meia!e s.m&oos o ,arismos#

5 C<;CM  #######

Ci,ra: o s.m&oos e por co/eci se !iia para represe!ar  mera#

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Cifras si,ifica!i/as

CoJ!o e re,as e permi!e formar expresar  represe!ar meros#

-ase de +n &istema de N+meración Posicional

s  e!ero posi!i/o maor e a ia e iica a ca!ia e iaes e formar a ia e ore imeia!o sperior#

"AO% A-&OU)O DE UNA CF%A /"A0 s e /aor e represe!a a cifra#

CONCEPTOS PREVIOS

SISTEMA DE NUMERACIÓN

N+meración N+meración

;mero

;mero ;mera_;mera

is!ema e ;meraci is!ema e ;meraci

ase ase Co/ersi Co/ersi _{Descomposici} ?oimica Descomposici ?oimica De &ase ifere!e e 10 a &ase 10 De &ase ifere!e e 10 a &ase 10 De &ase 10 a &ase ifere!e e 10 De &ase 10 a &ase ifere!e e 10 De &ase ifere!e e 10 a &ase ifere!e e 10 De &ase ifere!e e 10 a &ase ifere!e e 10

¿ Estabas Enterado

Estabas Enterado?

-n sus comien3os! el hombre numeraba las cosas con los dedos. 4i quería decir (! le1antaba un dedo! si

deseaba decir 5!

le1antaba dos dedos! 6 así sucesi1amente. ,on las dos manos podía contar hasta (+. 7ara se8alar un n9mero ma6or hacía girar las manos: dos 1eces por 5+! tres para +! etc. Algunos

pueblos utili3aban!

además! los dedos de

los pies como

(9)

VALOR RELATIVO DE UNA CIFRA (VR)

s e /aor e !iee a cifra por a posici e ocpa# Ejemplo:

<ie e   > e as cifras e se iica por  4 3 2  = 3 > = 30

5 6 2 7 4  = 2 > = 200 2 1 3 4 6 7  = 1 > = 1000

4 0 7 5 9 6 3  = 7 > = 70000

LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS ENTEROS

POSITIVOS

•

&istema Decimal: s ae sis!ema e empea &ase 10 se e ama !am&iL sis!ema Lcpo se, a Eis!oria e 10 se e&e a os eos e as maos#

s!e sis!ema empea a represe!ar ss meros as cifras e 0 a 9# De 1 a 9 se es ama Bcifras si,ifica!i/as" mie!ras a 0 (cero) se e ama Bcifra axiiar#

•

Principios F+ndamentales:

1#  escri&ir  mero a posici e caa cifra se ama Bore  Ls!as e erecEa a iiera se eomia iaes ce!eas miares eceas e miar e!c#

Jempo" ea 4 3 5 7 2 9 0 1N ore " iaes () 2N ore " eceas () 3N ore " ce!eas (c) 4N ore " miares (m)

5N ore " eceas e miar (m) 6N ore " ce!eas e miar (cm) 7N ore " mioes (:)

2#  mera e sis!ema ecima caa ,rpo e 3 cifras e erecEa a iiera se ama case  caa ,rpo e 6 cifras se ama per.oo#  per.oo compree 2 cases e se ama case e iaes  case e miares#

Numeración

Griega

TEMPLO DEL PARTENÓN

-xiste unanimidad al

armar que las

matemáticas se

desarrollaron en

;recia a lo largo de los siglos <! 6 < antes de ,risto! una 1e3 que los griegos

formali3aron un

alfabeto más o menos uniforme! aunque los historiadores! aunque los historiadores modernos admiten que nuestros conocimientos sobre la ciencia de esa época carecen de un s'lido fundamento.

(10)

Jempo 1" e ee" 25 325 4257 68396 780320 3256437 67569203 593600240 2652345238 43257000007 20300034543256 ei!icico iaes

Orescie!os /ei!icico iaes 4 mi 257 iaes

68 mi 396 iaes 780 mi 320 iaes

3 mioes 256 mi 437 iaes 67 mioes 569 mi 203 iaes 593 miares 600 mi 240 iaes

2 mi 652 mioes 345 mi 238 iaes 43 mi 257 mioes 7 iaes

20 &ioes 300 mi 34 mioes 543 mi 256 iaes Jempo 2"

Como se eomia e ore e 5 e os meraes iicaos e e esema"

5 3 2

→

ce!ea

5 0 2 4 3

→

ecea e miar

4 3 5 0 0 0 0 2 1

→

mi

5 3 0 2 8 3 3 4 4 3 4 0

→

ce!ea miar e mi

c + ( c + ( c + ( c + ( c + ( c + ( 2 5 3 2 5 4 2 5 7 6 8 3 9 6 7 8 0 3 2 0 3 2 5 6 4 3 7 6 7 5 6 9 2 0 3 5 9 3 6 0 0 2 4 0 2 6 5 2 3 4 5 2 3 8 4 3 2 5 7 0 0 0 0 0 7 2 0 3 0 0 0 3 4 5 4 3 2 5 6 PE% ODO )%..ONE&

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*

e

C*ase mi**ares C*ase (i+a+es PE% ODO -..ONE& PE% ODO (..ONE& PE% ODO UNDAD C*ase mi**ares C*ase (i+a+es C*ase mi**ares C*ase (i+a+es c + ( c + ( c + ( c + ( c + ( c + ( c + ( c + ( 5 3 2 5 0 2 4 3 4 3 5 0 0 0 0 2 1 5 3 0 2 8 3 3 4 4 3 4 0 4 5 3 2 1 1 1 2 6 2 3 4 3 2 4 5 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 (i+a+es

)%..ONE& -..ONE& (..ONE& UNDADE&

mi**ar (i+a+es mi**ar (i+a+es mi**ar (i+a+es mi**ar

Observa Como se lee Observa Como se lee

(11)

4 5 3 2 1 1 1 2 6 2 3 4 3 2 4

→

ecea e &i

5 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3

→

ce!ea miar e !ri

1# Compe!e# GC!as cifras si,ifica!i/as !iee os meraes si,ie!esI

347 ##########################cifras si,ifica!i/as 450 ##########################cifras si,ifica!i/as 258008#########################cifras si,ifica!i/as 2# a sma e as cifras si,ifica!i/as impares e

620431005 es"

3# GCmo se eomia e ore e a cifra e mera" 147200340025I

4# a cifra e maor ore e mera 725409068

5# a cifra e maor ore e mera 12340028965

6# <icar a sma e as 2 cifras e maor ore e 773254

7# G c!o excee a cifra e meor ore a a cifra e maor ore e e mera 236025I

8#  proc!o e as 2 cifras e maor ore e maor mera e 4 cifras es"

1# GC!as cifras si,ifica!i/as !iee os si,ie!es meraesI

854 ##########################cifras si,ifica!i/as 18010##########################cifras si,ifica!i/as 2180001######################cifras si,ifica!i/as 2# a sma e as cifras si,ifica!i/as pares e

857418 es#

3# GCmo se eomia e ore e a cifra 4 e mera$ 83614501I

4# GCmo se eomia e ore e a cifra 6 e mera$ 54001310063I

5# a cifra e maor ore e mera$ 54310034979 es"

6# a cifra e maor ore e mera$ 145349678

7# <ie a sma e cifras e maor  meor ore e" 3614754310

8# <icar a sma e as 2 cifras e meor ore e" 54310371

A C T I V I D A D E N A U L A

(12)

-ase Nombre del_&istema Ci,ras 2+e +san 2 iario 0 1 3 Oerario 0 1 2 4 Ca!erario 0 1 2 3 5 @iario 0 1 2 3 4 6 eario 0 1 2 3 4 5 7 ep!aario 0 1 2 3 4 5 6 8 Mc!aario 0 1 2 3 4 5 6 7 9 ;oario 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 Decima 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 'ecima 0 1 2 3 #########################10 12 Doecima 0 1 2 3 ################################ 11

Ooo mera pee ser expresao &aJo a forma e  ?oiomio e fci e a &ase eomiose escomposici poimica# Jempo"  &ase 10 7 9 4 5 = 7 x 1 0 3 _{+ 9 x 1 0} 2 _{+ 4 x 1 0} 1 _{+ 5} M&ser/aci" c  x &  x a a&c_ 2 &  x a a&_ Doe"

PRINCIPALES SISTEMA DE NUMERÁCIÓN

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA

a( b ) n

N

UMERACIÓN

;riegos 6 romanos no tu1ieron una adecuada manera de representar los n9meros! lo que les impidi' hacer ma6ores progresos en el cálculo matemático. Los hind9es! en cambio! habían desarrollado un práctico sistema de notaci'n numeral! al descubrir el cero 6 el 1alor posicional de las

cifras. Los árabes

dieron a conocer el sistema en -uropa a partir del siglo <

"=.,.& 7or eso!

nuestras se llaman

(13)

•

344(5) = ######################################### ###############

•

2574(9) = ######################################### ###############

•

2372(8) = ######################################### ###############

•

34213(9) = ######################################### ###############

•

2333(4) = ######################################### ###############

•

1212(5) = ######################################### ###############

1# De os eciaos iicar e o os meraes ma escri!os#

<) 28(3) <<) 126(5) <<<) 1111(9) <) 961(11)

2# <icar si es /eraero o faso"

<) 24(5) PPPQ PPPP#23(6) ( ) <<) 30(9)PPPQ PPPP#27 ( )

<<<) 23(7) PPPR PPPP#21(9) ( ) 3# GC!o sma !oos os posi&es /aores e

BaI 5 234 a a) 7 &) 8 c) 9 ) 10 e) 11

4# <ie GL meros es! ma escri!osI <) 104(3)

<<) 806(9)

<<<) a&a& 1  & R a R 0

5# GC!as cifras !iee os si,ie!es meros si es! &ie escri!osI <) a&2 8

<<) (10) (11) 7(20)

6# <icar Gc!as cifras !iee os si,ie!es meros si es! &ie escri!osI

<) a&2 8 <<) (10) (11)84(13) 7# aar B si" 31() + 23() = 54(6) 9# aar B si" 31() + 23() = 54(6)

¡AHORA HAZLO TÚ!

A C T I V I D A D E N A U L A

(14)

1# <icar e o os meraes ma escri!os e os si,ie!es eciaos" <) 104(3) <<) 999(9) <<<) 456(7) <) 1088(9)

2# <icar si es /eraero o faso"

<) 31(6) PPPQ PPPP#33(7) ( ) <<) 43(5) PPPQ PPPP#44(6) ( ) <<<) 71(8) PPPR PPPP#72(7) ( ) 3# GC!o sma !oos os posi&es /aores e

BcI

6

c 345

4# De os eciaos iie os meros ma escri!os#

<) c34 6 (c R 6)

<<) 483(9) <<<) 12345(4)

5# GC!as cifras !iee os si,ie!es meros si es! &ie escri!osI

<) 4 (12) 8 <<) 7 (16) (13) 6

6# i os meros es! &ie escri!os iicar# Gc!as cifras !ieeI

<) 68 & 14 9

<<) 34567(8)

7# aar B si"

21() + 35() = 36

8# aar e /aor e B&"

i" &3 6 &45

A C T I V I D A D

(15)

-n el a8o 22 lleg' a 0agdad una cara1ana procedente de la ndia. -ntre los regalos

suntuosos que había para el califa al % /ansur estaba el manuscrito llamado 4iddhanta! en el que se escondía un fabuloso tesoro: era un tratado de astronomía con sus tablas 6 las die3 cifras con las que actualmente contamos incluida la cifra del cero: e>a! d1a! tra6a! chatur! pancha! 4hatt! sapta! ashat! na1a 6 shun6a que quiere decir ?1acío@ 6 se notaba por un peque8o redondel. Los árabes lo tradujeron por sifr que los latinos tradujeron por 3ephirum 6 de ahí el cero. 4R sir1i' para

llamar a todos los n9meros: ,RA.

 es!a secci se iicar as

!Lcicas e

!rasformaci o co/ersi para a escri!ra e  mero e &ase aa a o!ra &ase# Ooo sis!ema posicioa !iee a &ase e es  mero e!ero  maor e a ia e ca os iica a ca!ia

e iaes

ecesarias 

sficie!es e  ore caesiera para formar a ia e ore imeia!o sperior#

Ejemplos:

>eprese!ar 16 iaes simpes e os sis!emas"

I   " # $ % & & '  

El saber es la única propiedad que no puede perderse. El saber es la única propiedad que no puede perderse.

(16)

Observación

16 = 20(8) = 31(5) = 100(4)

20(8) = 31(5) 8 R 5 (&ases)

20 Q 31 (meraes)

3. DE -A&E DFE%EN)E DE 34 A -A&E 34

s!e mL!oo eomiao BDescomposici ?oimica M&ser/a"  123₍₄₎ = 1 x 42 + 2 x 4 + 3 = 16 + 8 + 3 = 27 !oces" 123(4) = 27  ₁₀₂₍₃₎ _{= 1 x 3}2_{+ 0 x 3 + 2} = 9 + 0 + 2 = 11 !oces" 102(3) = 11  45₍₆₎ = 4 x 6 + 5 = 24 + 5 = 29 = 45(6) = 29  320₍₄₎ = !oces"  324₍₅₎= !oces"  234₍₅₎ = !oces" 5. DE -A&E 34 A -A&E DFE%EN)E DE 34

s!e mL!oo eomiao BDi/isioes cesi/as M&ser/a" 327 4 32 81 4 007 8 20 4 4 1 20 5 4 3 0 4 1

M

UJERES

M

ATEMÁTICAS

MILIE DE CHATELET

(+,-  +/0)

/arquesa de ,hatelet naci' en el seno de una familia ilustre el (2 de diciembre de (2+) en 4aint % Bean % en % ;re1e % rancia. ,on die3 a8os 6a había estudiado matemáticas 6 la metafísicaC a los (5 sabía inglés! italiano! espa8ol 6 alemán 6 traducía textos en latín. -n un café de 7arís no la dejaron entrar por ser mujer. -studi' a =escartes! Leibni3 6 a DeEton. -scribi' las instituciones de la física! libro que contiene el cálculo innitesimal. Facia (2G* tradujo los principios de la matemática de DeEton.

¡Ahora hazlo

(17)

327 = 11013(4) 425 3 3 141 3 12 12 47 3 12 21 3 15 3 005 21 17 15 5 3 3 0 15 0 3 1 2 2 2 425 = 120202 (3)

6. DE -A&E DFE%EN)E DE 34 A -A&E DFE%EN)E DE 34 M&ser/a" xpresar 210(5) e &ase 4#

a) 210(5) = 2 x 52 + 1 x 51 + 0 = 2 x 25 + 5 = 55 * 55 4 4 13 4 15 12 3 12 1 3 210 (5) = 55 = 313 (4) &) 213(6) e &ase 5

213(6) =2 x 62 + 1 x 61 + 3 = 2 x 36 + 6 + 3 213(6) = 81 * 81 5 5 16 5 31 15 3 30 1 1 213 (6) = 81 = 311 (5) Mira que fácil Mira que fácil

SOF1A SONIA

2OVALEVS

2AYA

(*34,  *333)

Daci' en /osc9! el (* de enero del a8o (H*+. gracias a /ittag % LeIer! 4onia pudo trabajar a prueba durante un a8o en la uni1ersidad de -stocolmo. =urante este tiempo 4onia escribi' el más importante de sus trabajos! que resol1ía algunos de los problemas al que matemáticos famosos habían dedicado grandes esfuer3os para resol1erlos! más tarde sería premiada por la Academia de ,iencias de 7arís!

(18)

1# >eacioa am&as comas aecaame!e# <) 23(5) ################################## ( ) 15 <<) 15(7) ################################## ( ) 13 <<<) 33(4) ################################## ( ) 12 2# Co/er!irse a &ase (5) <) 239 <<) 347

3# GC es e meor mera e 2 cifras e &ase 4I a) 11(4) &) 12(4) c) 10(4) ) 13(4) e) 14(4) 4# Co/er!ir a &ase (10) <) 123(6) <<) 234(5)

5# :are /eraero () o faso (A)" <) 42(5) Q 46(7) ###################### ( ) <<) 31(4) R 42(5) ###################### ( ) <<<) 42(5) Q 57(8)###################### ( ) <) 30(4) Q 41(5)###################### ( ) 6# i ;= 73_{x 5 + 7}2_{x 4 + 7 x 3 + 9} co/er!ir a &ase 7#

7# i os si,ie!es meros es! &ie escri!os iicar Gc!as cifras !ieeI

<) a&c11 15

<<) a&13c 16

8# aar Ba + & si"

5 9 143

a&

1# >eacioa am&as comas aecaame!e" <) 32(4) ################################## ( ) 23 <<) 43(5) ################################## ( ) 14 <<<) 23(4) ################################## ( ) 11 2# Co/er!ir a &ase (4) os meros"

<) 304 <<) 207

3# GC es e meor mera e 2 cifras e &ase 5I a) 10(5) &) 11(5) c) 12(5) ) 13(5) e) 14(5) 4# Co/er!ir a &ase (10) <) 234(6) <<) 342(5)

5# Coocar /eraero () o faso (A)" <) 16(7) = 15(8) ###################### ( ) <<) 23(5) Q 23(6) ###################### ( ) <<<) 28(9) Q 121(4) ###################### ( ) <) 46(7) Q 47(8)###################### ( ) 6# i ; = 83_{x 7 + 8}2_{x 5 + 8 x 4 + 2} co/er!ir B; a &ase 8# a) 7541(8) &) 7542(8) c) 5472(8) ) 7564(8) e) 8654(8)

7# Cacar Ba si"

2 3 100

1 a

8# aar Ba si"

5 4 132

aaa

A C T I V I D A D E N A U L A

(19)

3. DEA DE CON7UN)O

e e!iee como a coecci e o&Je!os &ie efiios amaos eeme!os  pee ser cocre!as o a&s!rac!as# os coJ!o se om&ra co e!ras mascas"   C #### e!c# s eeme!os separaos co comas (  ) o p!o  coma ( $ ) o &ie iicao a propiea com e eos#

CONCEPTOS PREVIOS

C O N 5 U N T O S

REPRESENTACIÓN REPRESENTACIÓN REPRESENTACIÓN DE CONJUNTO REPRESENTACIÓN DE CONJUNTO PERTENENCIA PERTENENCIA INCLUSIÓN INCLUSIÓN EXTENSIÓN EXTENSIÓN COMPRENSIÓN COMPRENSIÓN DIAGRAMA DE VENN EULER DIAGRAMA DE VENN EULER DIAGRAMA DE CARROL DIAGRAMA DE CARROL CONJUNTOS ESPECIALES CONJUNTOS ESPECIALES OPERACIONES CON CONJUNTOS OPERACIONES CON CONJUNTOS C: VACÍO C: VACÍO C: UNITARIO C: UNITARIO C: UNIVERSAL C: UNIVERSAL UNIÓN UNIÓN INTERSECCIÓN INTERSECCIÓN DIFERENCIA DIFERENCIA

(20)

Jempos"

 _{i amamos B a coJ!o e /ocaes e!oces"}

 = Sa e i o T

 i amamos %+ a coJ!o e os e!eros posi!i/os e!oces"

%+_{= S1$ 2$ 3$ 4$ #####T}

 i amamos B: a coJ!o e os meros a!raes pares

meores e 12  maores e cero# : = S2$ 4$ 6$ 8$ 10T

5. CA%DNA DE UN CON7UN)O

s e mero e eeme!os ifere!es e posee  coJ!o fii!o# Jempos"  ea"  = Sa$ e$ i$ o$ T !oces () = 5 @e se ee"  caria e B es 5#  ea" C = S1$ 2$ 3$ 4$ 5$ 6$ 7T !oces (C) = 7 @e se ee"  caria e BC es 7#  ea" U = S1$ 3$ 5$ 7$ 9$ 11$ 13T !oces (U) = 7 @e se ee"

 caria e BU es 7#

6. %EP%E&EN)AC'N 8%*FCA DE O& CON7UN)O& 6.3. Dia9rama de "enn E+ler

s!e ia,rama es a forma is!ra!i/a  m prc!ica i!i!i/ame!e as reacioes e!re coJ!os"

Jempos"  = S2$ 3$ 4$ 6T  = S1$ 3$ 5$ 6$ 7T ' = S1$ 2$ 3$ 4$ 5$ 6$ 7$ 8$ 9T

G

6#"76

C

8#"

(1845 – 1918)

/atemático alemán nacido en 4an 7etersburgo "ahora Leningrado! Rusia& 6 fallecido en Falle. Ja en la escuela ,antor mostr' talento por las matemáticas! haciendo posteriormente de ellas su profesi'n! obteniendo el puesto de profesor en la uni1ersidad de Falle en (H25. -n (H2G ,antor empe3' a introducir conceptos extra8os de lo innito! estableciendo que para tratar el innito se debe establecer correspondencia entre dos series! más a9n! esta correspondencia debe ser biuní1oca. =e este modo se puede ra3onar que la cantidad de n9meros pares es igual a la de los n9meros naturales! diferenciando entre la aritmética de lo innito 6 la aritmética familiar de los n9meros nitos. ,antor constru6' una estructura l'gica completa! en la cual se postulaba diferentes

'rdenes de innitos.

Así la denici'n de ,antor de n9mero real identica a

(21)

a interpretación sera:

 2  4 per!eece a B#  3  6 per!eece a B  B#  _{1$ 5  7 so per!eece a B#}

 _{8  9 o per!eece a os coJ!os i a  i a #}

6.5. Dia9rama de Carroll

e sa ,eerame!e para represe!ar coJ!os isJ!os# Jempos"

 e Ea eces!ao a 40 persoas so&re e so e raio

10 mJeres o !iee raio 10 mJeres !iee raio  5 Eom&res o !iee raio# Gc!os Eom&res !iee raioI Oo!a " 40  : x 10 5 10 ;. %EAC'N DE PE%)ENENCA

i  eeme!o es! e  coJ!o o forma par!e e L iremos e Bper!eece a icEo coJ!o  o eo!aremos co e s.m&oo B

∈

# a)  = S1$ 2$ 3$ 4$ 5T  = S2$ 4$ 6$ 8T a) x + 10 + 10 + 5 = 40 x = 40 = 25 x = 15 > = >aio > ;> 2 _∈  1 _∈  4 _∈  6 _∉  8 _∉  3 _∉  2 _∈  3 _∈  '   2 4 3 6 1 5 7   3 5 2 4 6 8 1 KLa educaci'n es la preparaci'n a la 1ida completa.K KLa educaci'n es la preparaci'n a la 1ida completa.K

(22)

&)

> = Sa$ &$ c$ $ e$ fT  = S&$ $ ,$ E$ iT

<. DE)E%(NAC'N DE CON7UN)O& <.3. Por E=tensión

Cao ss eeme!os es! iicaos exp.ci!ame!e es ecir se mecioa e forma compe!a os eeme!os e coJ!o#

Jempo"

 = S7$ 8$ 9$ 10$ 11T

 e ee" B es e coJ!o cos eeme!os so" 7$ 8$ 9$

10  11#

<.5. Por Comprensión:

Cao se ecia a propiea com e carac!eria a os eeme!os e icEo coJ!o#

s. por eJempo$ e eJercicio a!erior#  = SxFx ∈ ;$ 6 Q x Q 12T

 _{e ee" B es e coJ!o cos eeme!os Bx !a e}

Bx es  mero a!ra aems es maor e 6 pero meor e 12#

>. %EAC'N EN)%E CON7UN)O& >.3. ncl+sión de Conj+ntos 

⊂



↔ ∀

x

∈



→

x

∈

  e ee" a _∈ > E _∉ >  _∈  i _∉ > V _∉ > < _∈  A _∉  C _∉  >  i c e &  , E a f

L

eonhard

E

uler

(1707-1783) ,ientíco más importante de 4ui3a 6 uno de los tres matemáticos más grandes de la época moderna "los otros dos son ;auss 6 Riemann&. ui3á fue el autor más prolíco de todos los tiempos.

A pesar de que este notable cientíco sui3o sufri' una ceguera total durante los 9ltimos (2 a8os de su 1ida! logr' aumentar

considerablemente la producci'n de sus obras! que para entonces era 6a prodigiosa.

Mira que fácil esta este temaMira que fácil

(23)

B es! icio e B si  so si para caier Bx e per!eece a B es!e !am&iL per!eece a B#

 ems" B

⊂



B es! icio e B B es! co!eio e B B es s&coJ!o e B#  B

⊃

 B ice a B B co!iee a B B es spercoJ!o e B >.5. 9+aldad de Conj+ntos

i !oos os eeme!os e coJ!o B per!eece a coJ!o B  !oos os eeme!os e coJ!o B per!eece a coJ!o B e!oces se ice e es!os 2 coJ!os so i,aes#

e eo!a "  =  Jempo"

 = SxFx es a e!ra e a paa&ra aromaT  = SxFx es a e!ra e a paa&ra maromaT !oces"

 = S$ >$ M$ :T  = S:$ $ >$ MT e,o"  = 

>.6. Conj+nto Potencia de A

s e coJ!o cos eeme!os so !oos os s&coJ!os e coJ!o #

Jempo"  = Sa$ &T

?() = SSaT$ S&T$ Sa$ &T$

∅

T

W?()X = 2() Doe"  () = caria e  W?()X = 22_{= 4} El número puede decirseque gobiernaal mundo de la cantidad,ylas cuatroreglasde laaritmética puede ser

considerada

como equipo

completo del

(24)

1# Dao e coJ!o"

 = S7$ 8$ 10$ 15T

<icar /eraero () o faso (A) se, correspoa"

i) 7

∈

 ( ) ii) S10T

∈

 ( ) iii) 9

∈

 ( ) i/) S15T

∈

 ( )

 = S5 S7T$ 9$ 12T

<icar /eraero () o faso (A)$ se, correspoa"

i) 7

∈

 ( ) ii) S9T

∈

 ( ) iii) 5

∉

 ( ) i/) 12

∈

 ( )

3# GC!os s&coJ!os !iee  coJ!o e posee 5 eeme!osI

4# Dao"

 =S5$ S7T$ 9$ S12TT

<icar /eraero () o faso (A)$ se, correspoa"

i) S5T

∈

 ( ) ii) S7T

∉

 ( ) iii) 9

⊂

 ( ) i/) S5$ S2TT

⊂

 ( )

: = Sa$ S&T$ SmT pT GC!as proposicioes so fasasI

i) S&T

⊂

: ( )

ii) &

∈

: ( )

iii) SSmTT

⊂

: ( )

i/) SS&T$ SmTT

∈

: ( )

6# aar a sma e os eeme!os e caa coJ!o"

 = SxFx

∈

;$ 6 Q x Q 12T  = Sx2_{+ 1F x}

_∈

_{%$ 3 Q x Q T}

7# i  coJ!o !iee 15 s&coJ!os propios# GC!os eeme!os !iee e coJ!oI

8# i"

 = Sx + 1F x

∈

%$ 4 Q x Q 12T  = Sx + 2F x

∈

%$ 2 Q x Q 6T

GC!os eeme!os !iee os 2 coJ!os si repe!ir ss eeme!osI

(25)

 = S1$ 3$ 5$ 7T

<icar /eraero () o faso (A) se, correspoa" i) 3

∈

 ( ) ii) 7

∈

 ( ) iii) 6

∈

 ( ) i/) 2

∉

 ( ) >p!a# PPPPPPPPPP# 2# Dao e coJ!o"

 = S3$ S6T$ 9$ 15T

<icar /eraero () o faso (A)$ se, correspoa" i) S3T

∈

 ( ) ii) S6T

∈

 ( ) iii) S15T

∈

 ( ) i/) 9

∈

 ( ) >p!a# PPPPPPPPPP#

3# GC!os s&coJ!os !iee  coJ!o e posee 6 eeme!osI

>p!a# PPPPPPPPPP#

4# i  coJ!o !iee 4 eeme!os# GC!os s&coJ!os !ieeI

>p!a# PPPPPPPPPP#

5# Dao" % = S4$ 6$ S8T$ S10TT

<icar /eraero () faso (A)$ se, correspoa" i) 4

∈

% ( ) ii) S8T

∈

% ( ) iii) SS10TT

∈

% ( ) i/) S4$ S8TT

⊂

% ( ) >p!a# PPPPPPPPPP#

; = S1$ S3T$ S5T$ 7T GC!as proposicioes so fasasI

i) S3T

⊂

; ( ) ii) 3

∈

; ( ) iii) SS3TT

⊂

; ( ) i/) SS5T$ S7T

⊂

; ( ) /) 3

∈

; ( ) >p!a# PPPPPPPPPP# 7# aar a sma e os eeme!os e caa

coJ!o"

A = SxFx

∈

;$ 7 Q x Q 13T V = Sx2_{+ 1 F x}

_∈

_{%$ 4 Q x 19T}

>p!a# PPPPPPPPPP# 8# i  coJ!o !iee 31 s&coJ!os propios#

Gc!os eeme!os !iee e coJ!oI a) 3 &) 4 c) 6 ) 15 e) 31

>p!a# PPPPPPPPPP#

(26)

3. CON7UN)O E&PECAE& 3.3. Conj+nto "aco o N+lo

s ae coJ!o e o posee eeme!o# e e represe!a por" S T  se eo!a por e s.m&oo"

∅

$ es ecir" SxFx

≠

xT = S T =

∅

Jempos"

 SxFx

∈

;$ 6 Q x Q 7T = S T

;o exis!e  Bx

∈

; e sea maor e 6  meor e 7 a a /e#

  coJ!o e !oos os Eom&res imor!aes#

? = S T = o ? =

∅

3.5. Conj+nto Unitario

s ae e es! cos!i!io por  soo eeme!o# e e ama !am&iL Bsi,ar#

 SxFx

∈

;$ 6 Q x Q 8T = S7T

?es!o e B6

∈

; es e ico compreio e!re 6  8#

  coJ!o e sa!Li!e e posee a !ierra# SaT

Ejemplos:

 _{i e coJ!o B es i!ario Eaar Ba + &#}

 = S 7 – a$ & + 4$ 5T  7 - a = 5

⇒

7 – 5 = a 2 = a & + 4 = 5

⇒

& = 5 – 4 & = 1

∴

a + & = 2 + 1 = 3

5 #9

V

6

E

%:6"

ue un matemático británico que se hi3o famoso por sus diagramas l'gicos. Los diagramas de <enn se emplean a menudo para ense8ar matemáticas elementales.

(27)

33..66.. CCoonnjj++nntto o UUnniivveerrsasall s

s   cocoJJ!o !o rerefefererecciaia  e e iicce e a a !o!ooos s ooss coJ!os cosieraos  se e eo!a ,eerame!e por coJ!os cosieraos  se e eo!a ,eerame!e por B' o &ie# # B' o &ie# #  = S2  = S2$ 4$ 6$ 8T$ 4$ 6$ 8T  = S1$ 2$ 3$ 6$ 9$ 11$ 13T  = S1$ 2$ 3$ 6$ 9$ 11$ 13T

∪

= S1$ 2$ 3$ 4$ 5$ 6$ 7$ 8" 9$ 10$ 11T = S1$ 2$ 3$ 4$ 5$ 6$ 7$ 8" 9$ 10$ 11T Nota: Nota:

' Oam&iL pee expresarse ' Oam&iL pee expresarse

∪

= SxFx = SxFx

∈

$ 1 Q x Q 11T  $ 1 Q x Q 11T 

∪

= SxFx = SxFx

∈

% %++_{$ x Q 12T}_{$ x Q 12T}



 i os coJ!os B  B so i!arios Eaar Bai os coJ!os B  B so i!arios Eaar Ba22+&+&22

 =  = Sa + &$ 12TSa + &$ 12T  = S4$ a –&T  = S4$ a –&T a + & = 12 a + & = 12 a – & = 4 a – & = 4 2a 2a = 16= 16 a = 8 a = 8 a + & = 12

a + & = 12 _⇒_⇒ a + 8 = 12 a + 8 = 12 & = 4

& = 4

∴

∴ a a22_{+ &}_{+ &}22_{= 8}_{= 8}22_{+ 4}_{+ 4}22_{= 80}_{= 80}

5.

5. OPOPE%E%ACACONONE& COE& CON CONN CON7UN7UN)O)O&& 55..33.. %%e+e+nnióión n dde e CCoonnj+j+nnttooss

e ama rei e B co B a coJ!o e !oos os e ama rei e B co B a coJ!o e !oos os eeme!os e  e  o e am&os#

eeme!os e  e  o e am&os#



 e sim&oia por e sim&oia por 

∪

# #

5.

5.5.5. nntetersrsececcición ón de de CoConjnj+n+ntotoss

e eomia i!ersecci e B co B a coJ!o e e eomia i!ersecci e B co B a coJ!o e !oos os eeme!os comes a B  a B#

!oos os eeme!os comes a B  a B# ∪ ∪    44 55 66 88 11 99 33 77 22 1111 13 13 10 10

R

6;

D

6<&8"6<

(*40-=*-4,) (*40-=*-4,) D

Daaccii' ' de de uunna a ffaammiilliiaa

francesa noble en la

francesa noble en la MMurena %urena %

r

ranancicia. a. LoLos s apaporortetes s ququee

rreeaallii33' ' a a lla a mmaatteemmááttiiccaa

ffuueerroon n een n eel l áárreea a ddee

estadística 6 probabilidades. estadística 6 probabilidades. 4e

4e rerecucuererda da sosobrbre e totodo do aa

est

este e frafrancéncés s extextraoraordirdinarnarioio

por

por su su in1enci'n in1enci'n de de lala

/a

/atetemámátiticaca. . 7e7ero ro su su lologrgroo

más notable fue la reducci'n más notable fue la reducci'n d

de e lla a DaDatuturralalee3a 3a a a lele66eess

matemáticas. matemáticas.

?,onsiderada que no sé nada ?,onsiderada que no sé nada de

de íísisica ca si si tatan n s's'lo lo fufuesesee

c

capapa3 a3 dde e eexxprpreesasar r c'c'mmoo

de

debeben n seser r lalas s cocosasas! s! peperoro

fues

fuese e incapincapa3 a3 de de demodemostrar strar

que no pueden ser de otra que no pueden ser de otra manera.

manera. D

Do o obobssttaannttee! ! hhaabbiieennddoo

lo

logrgradado o rereduducicir r la la íísisica ca aa

llaas s //aatteemmááttiiccaass! ! llaa

de

demomoststraracici'n 'n es es enentotoncnceses

posible!

posible! 6 6 pienso pienso que que puedopuedo

re

realali3i3ararla la cocon n el el rereduducicidodo

alcance de mi conocimiento@. alcance de mi conocimiento@.

(28)

M&ser/aci" M&ser/aci" i 

i 

∩

  ==

∅

 se ice e B  B so se ice e B  B so isJ!os#

isJ!os#

55..66.. DDii,,eerreenncciiaa

e cooce como iferecia e B  B a coJ!o e e cooce como iferecia e B  B a coJ!o e !oos os eeme!os e per!eece a B pero o a B# !oos os eeme!os e per!eece a B pero o a B#



(29)

Jempos" Jempos"   i"i"  =  = S0$ 1$ 2$ 3$ 4$ 6$ 8TS0$ 1$ 2$ 3$ 4$ 6$ 8T  = S1$ 3$ 4$ 5$ 7$ 9T  = S1$ 3$ 4$ 5$ 7$ 9T !oces" !oces"  

∪

 = S0$ 1$ 2$ 3$ 4$ 5$ 6$ 7$ 8$ 9T  = S0$ 1$ 2$ 3$ 4$ 5$ 6$ 7$ 8$ 9T  

∩

 = S1$ 3$ 4T  = S1$ 3$ 4T  –  –  = S0$ 2$ 6$ 8T = S0$ 2$ 6$ 8T  –  = S5$ 7$ 9T  –  = S5$ 7$ 9T   i"i" O = Sm$ /$ !$ pT O = Sm$ /$ !$ pT ? = Sm$ /$ !$ s$ $ pT ? = Sm$ /$ !$ s$ $ pT !oces" !oces" O O

∪

? = Sm$ /$ !$ p$ s$ ? = Sm$ /$ !$ p$ s$ TT O O

∩

? = Sm$ /$ !$ pT ? = Sm$ /$ !$ pT O O – – ? ? = = S S T T ==

∅

? – O = Ss$ T ? – O = Ss$ T 1#

1# i oi os coJs coJ!os B:!os B:  B; so i  B; so i!ar!arioios Eas Eaaar r pp22_{+ }_{+ }22 : = Sp + $ 12T : = Sp + $ 12T ; = S4$ p – T ; = S4$ p – T 2#

2# i e i e coJcoJ!o B!o B% es % es i!ari!ario# io# aaaar Bm + r Bm +  % = S 7 – m$  +

% = S 7 – m$  + 4$ 5T4$ 5T

3#

3# i i oos cs cooJJ!!osos"" ? = Sp$ a$ $ o$ m$ aT ? = Sp$ a$ $ o$ m$ aT @ = S$ o$ m$ a$ sT @ = S$ o$ m$ a$ sT e!oces Eaar B? e!oces Eaar B?

∩

@ @ 4#

4# De 50 aDe 50 ammoos e s e  a aa poa posesee ie i&r&ros eos e ma

ma!e!emm!i!ica ca o o ee,,aaJeJe$ $ 40 40 !i!ieee e ii&r&ro o ee

:a!em!ica  15 e :a!em!ica  e,aJe# :a!em!ica  15 e :a!em!ica  e,aJe# GC!os !iee so e i&ro e e,aJeI GC!os !iee so e i&ro e e,aJeI

5#

5# i B%i B% es  es  co coJJ!o i!o i!ario!ario Ea Eaar ar a + &a + & % = S22 – a$ & + 8 $

% = S22 – a$ & + 8 $ 18T18T 6#

6# De De a eca eceses!a re!a reaaiaiaa a 120 aa a 120 ammoos es e a i/ersia se sa&e e$ 75 es!ia 35 a i/ersia se sa&e e$ 75 es!ia 35 !ra&aJa  20 es!ia  !ra&aJa# GC!os !ra&aJa  20 es!ia  !ra&aJa# GC!os so es!iaI

so es!iaI 7#

7#   a fiesa fies!a o!a oe ase asis!is!ieriero 70 peo 70 persorsoas seas se sa&e e 36 ,s!a &aiar sasa$ 42 ,s!a e sa&e e 36 ,s!a &aiar sasa$ 42 ,s!a e &aiar rocY GC!as persoas o ,s!a e &aiar rocY GC!as persoas o ,s!a e K-ducar no es dar

K-ducar no es dar carrera para 1i1ir! carrera para 1i1ir! sino templar sino templar el alma para las el alma para las dicultades de la dicultades de la 1ida.K 1ida.K

A C T I V I D A D E N A U L A

(30)

8# i os coJ!os    so i!arios cacar a + & + c

1# i B>  B so coJ!os i!arios Eaar a2_– &2_#

> = Sa + &$ 16T  = S8$ a – &T

2# i se sa&e e e coJ!o Bx es i!ario Eaar Bm – p

x = S9 – m$  + 4$ 5T 3# i os coJ!os"

: = Sm$ a$ $ $ e$ T ; = Ss$ a$ m$ $ e$ T Eaar B:

∪

;#

4# De 60 amos e coe,io Beoaro e ici posee comp!aora o cear$ 32 !iee comp!aora  12 comp!aora  cear# GC!os !iee so cearI

5# i os coJ!os ?  @ so i!arios Eaar r+ s

? = Sr + s$ 18T @ = S6$ r – sT

6# e reaia a eces!a a 140 es!ia!es e 1ro# e secaria e coe,io BOrice  se sa&e e" 81 es!ia 32 /e !ee/isi  18 es!ia  /e !ee/isi# GC!os so /e !ee/isiZ

7# De 85 persoas 35 ,s!a e a!aci  25 ,s!a e a!e!ismo Gc!as persoas so ,s!a e a!aci si se sa&e e 10 persoas ,s!a e am&os epor!esI

8# GC!os s& coJ!os !iee ;I ; = S1$ S2$ 2TT

(31)

A D I C I Ó N

s a operaci irec!a e cosis!e e reir  coJ!o e ca!iaes Eomo,Leas e a soa" caa a e as ca!iaes se eomia smao  a res!ao sma#

S n a 3 a 2 a 1 a + + +...+ =

Doe $ e!c so os smaos$   es a sma#

S U S T R A C C I Ó N

s a operaci e a e aas os ca!iaes amaas mieo (:) ss!raeo () respec!i/ame!e se !ra!a e Eaar a !ercera ca!ia amaa iferecia (D)#

: –  = D : = D + 

⇒

: +  + D = 2:

C O M P L E M E N T O A R I T M  T I C O ( C > A )

s o e e fa!a a  mero para ser s respec!i/a ia imeia!a sperior#

  . *.S. + 6

⇒

C[ e 6 = 10 - 6=4 78

⇒

C[ e 78= 100 - 78=22 1 306

⇒

C[ e 1 306= 10 000 - 8 694 abc

_⇒

₁₀3

C[ e abc= 1000 - abc %e9la Pr?ctica:

Dao  mero para e!ermiar s compeme!o ari!mL!ico meia!e a re,a prc!ica se procee e a si,ie!e maera" se res!a e e/e !oas as cifras e mero empeao por a primera e a iiera excep!o a !ima si,ifica!i/a e a erecEa e se res!a e ie  si a co!iaci e es! E&iera ceros se cooca a fia

Jempos"

Estudia no para

saber algo más sino para saber algo mejor Estudia no para saber algo más sino para saber algo mejor

(32)

&) CºA(207400) = 600 792 00 4 10 7 9 0 9 2 9− )( − )( − )( − ) = ( c) C[ (56 009) = ##############

aar os meros e!eros a coocar e os casieros

1# (+1) - = (+3) - (-2) 2# (+8) - (-2) - = (+3) 3# - (+2) = (+3) 4# - (-6) = (-2)

5#i" abcc+accc=50## aar e /aor e

(a+&+c)

6#i" a1b+a2b+ a3b+...+a9b=5 922 aar e /aor e (a+&)

7#aar a sma" =5+17+29+41+###

(30 smaos)

8#aar a sma e !oos os meros e !res cifras e empiea  !ermia e cifra 7# Dar como respes!a a sma e ss cifras#

9! DespLs e /eer a mo!o perieo \120 pres!e \200  me ee co \380# GC!o me Ea&.a cos!ao a mo!oI

10#Kefre aci e 1888 se cas e e aHo 1924$ os aHos espLs aci s primer EiJo  mri cao s EiJo !e.a 38 aHos# G L aHo mriI

11#i reci&iera \ 2480 por.a comprarme  a!o :aa !imo moeo e \ 11500# GC!o !e,oI

12# meor e os meros es 15239  a iferecia e!re am&os es 257# aar e maor# 13# maor e os meros es 3592  a

iferecia e!re am&os es 649# aar e meor  ar como respes!a a meor cifra empeaa e s escri!ra#

14#a sma e os meros es 2491  a mi!a e meor es 521# aar e maor#

15#G c!o excee a sma e 193  249 a a iferecia e!re 1982  1647I

16#i rico !/iera 10 aHos meos !er.a 36 aHos  si :ar.a Ae !/iera 13 aHos ms !er.a 28 aHos# GC!o ms Jo/e es :ar.a Ae e ricoI

1# >ocio ,as! F# 20 soes e comprarse ,oosias  2 soes ms e comprar  poo# GC!o ,as!ar.a si se compra 6 poosI

2# Kor,e ,as! F# 10 e comprarse  CD e a ]CacEia]  30 soes ms e comprarse  !eLfoo cear e e mismo si!io# GC!o ,as!ar.a e comprarse !res CD   !eLfoo cearI

3# a se poe a ie!a#  primer mes &aJ 1200 ,r e se,o mes &aJo 400 ,r ms e e mes a!erior  e !ercer mes s&i 900 ,r por comerse !or!as  ces# GC!os ,ramos &aJ a Eas!a e !ercer mesI

4#   Je,o  apos!aor ,aa F# 60  e,o piere F# 85 espLs ,aa F# 72  por !imo /e/e a perer F# 35# GC!o ,a o periI

A C T I V I D A D E N A U L A

(33)

5# i ?a&o aci e e ce!eario e a iepeecia e ?er# G@L ea cmpir e e aHo 2001I

6# GC!o cos! o e a /eerse e F# 2937 eJa a ,aacia e F# 129I

7# GC!o cos! o e a /eerse e \ 600 eJa a pLria e \ 123I

8# >mo ,as! a comprar por par!es s comp!aora \490# i iere ,aar \ 230 G c!o o !iee e /eerI

(34)

M U L T I P L I C A C I Ó N

?oemos afirmar e e a prac!ica a m!ipicaci es a operaci e a&re/ia a sma#

Ejm. 3: Ka !iee e co&rar F# 5 a 22 persoas e!oces !iee e co&rar " 5 5 5 5 22 5 22 ,! 110 %umand-%  S Doe" 5

→

m!ipicao 22

→

m!ipicaor x

→

operaor 110

→

proc!o

Ejm 5: of.a a /eer 12 &sas piere e caa a 7 soes e!oces piere e !o!a"

(  (  (  !!!!! (  (  ,! 12 #4 %umand-% /  Doe" -7

→

###################################################### 12

→

###################################################### -84

→

######################################################

%e9la de &i9nos para la (+ltiplicación de Números Enteros

 i os meros e!eros !iee e :<:M <V;M s proc!o

!er <V;M ?M<O<M#

 _{i os meros e!eros !iee D<O<;OM <V;M s proc!o}

!er <V;M ;VO<M# Ejm : (+5) x (+3) = +15 (-9) x (+2) = ############ (+6) x (-6) = ############ (-9) x (-2) = ############ (+3) x (-3) = ############ (-1) (-1) (-1) = ############ (-5) (-1) (-7) (-8)= ############

La operación resultaba muy compleja para los antiguos. Los griegos se auxiliaban de la tabla pitagórica, que ya conocían antes de nacer Pitágoras. Los babilonios empleaban tablas de cuadrados. Entre los romanos, la operación era lenta y trabajadora, como se obsera en la ilustración, debido a su notación numeral. el signo de multiplicar, !ru" de #an $ndr%s,

se atribuye a &. 'ug(tred,

(acia )*+. "La educación es la preparación a la vida completa." !!!!!! S,!       . = 7 7 7 7 7 12             S

(35)

Ejercicios: 1# (+8) (-3) = 2# (+9) (-2) (-1) = 3# (-2) (-1) (-1) = 4# (-1) (-2) (+2) (-3) = 5# (+2) (+2) (+2) (-2) = 6# (+5) (-2) (-1) (-3) (-5) = 7# (+1) (+1) (-1) (-1) (-1) =

D I V I S I Ó N

División#- Di/iir es cacar e mero e /eces e co!iee  mero amao i/ieo (D) a o!ro amao Di/isor ()# s!e ];mero e /eces] reci&e e om&re e cocie!e ()

Ejm: GC!as /eces co!iee 24 a 6I s ecir"

24

6 24 6 4

4 " reci&e e om&re e cocie!e# 24 " reci&e e om&re e i/ieo# 6 " reci&e e om&re e i/isor#

División E=acta.@ i e D<<D;DM (D) co!iee a ca!ia ^CO e /eces a i/isor () e!oces !eemos a D<<<_; ^CO#

s!a i/isi se represe!a as. " D   =  $ 

≠

0 Jm 1" 45  5 = 9 pore" 5 x 9 = 45

* M!ra forma e represe!ar"

& d '

%e9las de &i9nos en la División

(+) ` (+) = (+) ( - ) ` (-) = (+) (+) ` (-) = (-) (-) ` (+) = (-) Ejercicios 1# (+6) ` (+2) = 2# (+8) ` (-2) = 3# (+10) ` (+5) =

Babilonia e hindúes fueron los primeros en conocer la división. Los métodos actuales para resolver la división se derivan de los hindúes, que disponían en una mesa de arena los elementos de la operación: dividendo,divisor,cociente y residuo. Estos conocimientos fueron transmitidos a Europa por los árabes. Leonardo de Pisa los expuso en 1202. Oughtred, en 1647, propuso elsigno (:)para indicarla

(36)

6# (+9) ` (-3) =

1# (+2)(+7) - = +6

* fec!ar os si,ie!es eJercicios com&iaos" 2# (-1)(+5) + (-3)(-2) =

3# (-7)(+2) - (+3) =

4# a iferecia e os meros e!eros es 31  s correspoie!e sma es -61# GC es e mero meorI

5# e pre,!a a Ka/ier por s ea  Ls!e respoe" i a o&e e mi ea e sma 4 o&!iee 40 aHos# GC es a ea e Ka/ierI 6# ' sar,e!o iere formar a ss soaos

e 5 fias e 6 caa a pero o&ser/a e e fa!ar.a 4 soaos e!oces os forma e 4 fias e 5# GC!os e so&ra aEoraI 7# a sma e os meros es 406 s cocie!e

es 2  e res!o 91# GCes so os merosI

1# fec!ar"

A

=

[ (

− + − +

2 

(

2  ! ! ! ! ! (

+ −

2  " (

−

 (

−



# $ e c e %

5

7

           >p!a#" ################################### 2# fec!ar"  = [ (− + − + 1  ( 1 ! ! ! ! ! (+ − 1  " ( −  9 $ e c e % 2 >p!a#" ################################### * Compe!ar e os recaros os meros

e!eros e fa!a  e /erifie a i,aa# 3# (-1) x (7) + = -5

>p!a#" ###################################

4# (-6)(+3) + = -12

>p!a#" ###################################

5# !re ?ero  Ka !iee F# 126# i a ca!ia e !iee ?ero es 17 /eces a e !iee Ka GC!o ms !iee ?ero e KaI

>p!a#" ################################### 6# as eaes e Ka  .c!or sma 78# i a

ea e Ka es e o&e e a e .c!or GC es a ea e KaI

>p!a#" ################################### 7# !re os persoas !iee F# 200# i a

ca!ia e !iee a e eas es e !ripe e o e !iee a o!ra# GCes so icEas ca!iaesI

>p!a#" ################################### 8# as eaes e  pare  s EiJo sma 85

aHos# i a ea e EiJo es a car!a par!e e a e s pare GC es a ea e EiJoI

>p!a#" ###################################

A C T I V I D A D E N A U L A

(37)

1# i a i/iir ; e!re 109 e cocie!e es e po e i/isor G@L mero es ;I

2# G?or c mero Ea e i/iir 154800 para e e cocie!e sea 15I

3# e repar!i cier!o mero e araJas e!re 21 persoas  espLs e ar 7 araJas a caa persoa so&raro 18# GC!as araJas Ea&.aI

4# i  comercia!e /ee a F# 11 caa cacaora ,aa F# 75$ pero si ecie /eer caa cacaora a F# 6 piere F# 50# GC!as cacaoras !iee para /eerI 5# i \ 163 se repar!e e!re cier!o mero e

persoas a caa a e !ocar.a \ 9  so&rar.a \ 10# GC es e mero e persoasI

6# Cao i/iimos cier!o mero por 50 o&!eemos como resio 20# i i/iimos e mismo mero por 52 o&!eemos e mismo cocie!e pero 4 e resio# Cacar e cocie!e e se o&!iee e am&os casos

7# i a ea e ! a&ei!o a m!ipicas por 8 e,o a i/ies por 10  e cocie!e a m!ipicas por 3 aHaieo e se,ia 36 o&!er.as 180# GC es a ea e ! a&ei!oI

8# e or,aia a fci e !ea!ro e es!ro coe,io# i e eHor ]K#] pa,a F# 6 por caa e!raa e so&rar.a F#16$  si pa,a F# 7 por caa e!raa e so&rar.a F# 8# GC!as e!raas comprI

1# s!e&a /ee  !erreo e 20 reas a \ 600 e rea  reci&e e pa,o o!ro !erreo e 900 me!ros caraos a ra e \ 4 e me!ro carao# GC!o e aeaI

>p!a" ############### 2# e compra 8 i&ros e :a!em!icas a \10

caa o 5 apiceros a \1  6 pmas fe!es a \5 caa a# i se /ee !oo e \180# GC!o se piereI

>p!a" ############### 3# e compra 144 me!ros caraos e !erreo a \2 e me!ro carao  se /ee a \80 a ocea e me!ros# GC!o se ,aaI

>p!a" ############### 4# Ka ,aa \10 por .a e !ra&aJo  !ra&aJa 6

.as a a semaa# i ,as!a 38 ares a a

semaa GC!o pee aEorrar e 22 semaasI

>p!a" ############### 5# e !iee a m!ipicaci e !res fac!ores si se pica o e eos  se !ripica o!ro G c!o /ar.a e proc!o iiciaI

a) @ea m!ipicao por 12 &) @ea i/iio por 6 c) @ea m!ipicao por 6 ) @ea i/iio por 12 e) Aa!a a!os

6# i e a m!ipicaci e !res meros e!eros se pica caa o e eos# GCmo ea afec!ao e proc!oI

a) @ea m!ipicao por 2 &) @ea m!ipicao por 8 c) @ea i/iio por 2 ) @ea i/iio por 8 e) ;o se a!era

A C T I V I D A D E N A U L A

(38)

>p!a" ############### 8# i e cocie!e exac!o es 851  e i/isor 93#

GC es e i/ieoI