ELETRICIDADE APLICADA I TEORIA

(1)

PROF.

PROF. PROF.

PROF. EDSON EDSON EDSON EDSON G. PEREIRAG. PEREIRAG. PEREIRAG. PEREIRA PROF

PROFPROF

PROFaaaa_{. TANIA G. PEREIRA}_{. TANIA G. PEREIRA}_{. TANIA G. PEREIRA}_{. TANIA G. PEREIRA}

ELETRICIDADE APLICADA I

Revisão Técnica Revisão Técnica Revisão Técnica Revisão Técnica

Prof. Armando Lapa Júnior Colaboradores

Colaboradores Colaboradores Colaboradores Prof. Norberto Nery Prof. Nelson Kanashiro Prof. Salvador Sampaio

(2)

1

1. CONCEITOS DE ELETROSTÁTICA E ELETRODINÂNIMA__________________________________ 3

1.1 Estrutura do Átomo ______________________________________________________________________ 3

1.2 Carga Elétrica _____________________________________________________________________________ 4

1.3 Materiais Condutores ____________________________________________________________________ 5

1.4 Materiais Isolantes _______________________________________________________________________ 5

1.5 Lei de Coulomb ___________________________________________________________________________ 6

1.6 Campo Elétrico ___________________________________________________________________________ 7

1.7 Potencial Elétrico (Vp) ___________________________________________________________________ 8

1.8 Diferença de potencial (d.d.p.) ou Tensão elétrica (V) ________________________________ 9

1.9 Corrente Elétrica _________________________________________________________________________ 9 1.9.1 Sentido da Corrente elétrica _______________________________________________________10 1.9.2 Intensidade da corrente elétrica (I) _______________________________________________10

1.10 Leis de Ohm ____________________________________________________________________________11 1.10.1 Resistência Elétrica e a Primeira Lei de Ohm ___________________________________11 1.10.2 Segunda Lei de Ohm ______________________________________________________________14

1.11 Variação da Resistividade com a Temperatura ______________________________________17

1.12 Variação da Resistência com a temperatura _________________________________________17

1.13 Energia Consumida no Deslocamento de Cargas Elétricas _________________________17

1.14 Potência Elétrica _______________________________________________________________________19

1.15 Rendimento – > ________________________________________________________________________20

2. CIRCUITOS ELÉTRICOS EM CORRENTE CONTÍNUA _____________________________________22

2.1 Definições fundamentais _______________________________________________________________22 2.1.1 Bipolo elétrico_______________________________________________________________________22 2.1.1.1 Bipolo ativo _____________________________________________________________________22 2.1.1.2 Bipolo passivo __________________________________________________________________22

2.2 Circuito elétrico _________________________________________________________________________23 2.2.1 Ponto elétrico _______________________________________________________________________23 2.2.2 Nó ____________________________________________________________________________________23 2.2.3 Ramo _________________________________________________________________________________24 2.2.4 Malha ________________________________________________________________________________24

2.3 Leis de Kirchhoff ________________________________________________________________________24 2.3.1 Lei dos Nós (1ª Lei de Kirchhoff) __________________________________________________24 2.3.2 Lei das Malhas ( 2ª Lei de Kirchhoff) _____________________________________________25

2.4 Associação de Resistores _______________________________________________________________27

(3)

2

2.4.2 Associação Série de Resistores ____________________________________________________27 2.4.3 Associação Paralelo de Resistores _________________________________________________29

2.5 Técnicas de Resolução de Circuitos ____________________________________________________31 2.5.1 Resolução por Associação de Bipolos _____________________________________________31

2.6 Verificações ______________________________________________________________________________39

3. CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (CA) ___________________________________________42

3.1. Tensão Alternada _______________________________________________________________________42

3.2. Tensão Alternada Senoidal (ou simplesmente tensão alternada) __________________43

3.4. Gerador de Tensão Alternada __________________________________________________________45 3.4.1 Geração de uma tensão alternada _________________________________________________46

3.5. Corrente Alternada _____________________________________________________________________47

3.6. Representação de uma Grandeza Alternada por um Fasor __________________________47

3.7 Forma Fasorial da Lei de Ohm em Corrente Alternada ______________________________48

3.7.1 Introdução _____________________________________________________________________________48 3.7.2 Impedância - ______________________________________________________________________48

3.7.3 Forma fasorial da Lei de Ohm para o resistor ____________________________________49 3.7.4 Indutor _______________________________________________________________________________50 3.7.4.1 Forma fasorial da Lei de Ohm para o indutor ________________________________52 3.7.5 Capacitor ____________________________________________________________________________53 3. 7.5.1 Forma fasorial da Lei de Ohm para o capacitor _____________________________56

3.8 Forma Fasorial das Leis de Kirchhoff __________________________________________________58

3.9 Associação de Impedâncias _____________________________________________________________59 3.9.1 Associação série ____________________________________________________________________59 3.9.2 Associação paralelo _________________________________________________________________59

4. Resolução de Circuito C.A por Associação de Bipolos ____________________________________60

(4)

3

1. 1. 1.

1. CONCEITOS DE ELETROSTÁTICA E ELETRODINÂNIMACONCEITOS DE ELETROSTÁTICA E ELETRODINÂNIMACONCEITOS DE ELETROSTÁTICA E ELETRODINÂNIMACONCEITOS DE ELETROSTÁTICA E ELETRODINÂNIMA

1.1 1.11.1

1.1 Estrutura do ÁtomoEstrutura do ÁtomoEstrutura do ÁtomoEstrutura do Átomo

A matéria é algo que possui massa e ocupa lugar no espaço. A matéria é constituída por partículas muito pequenas chamadas de átomos. Toda a matéria pode ser classificada em qualquer um desses dois grupos: elementos ou compostos. Num elemento, todos os átomos são iguais. São exemplos de elementos o alumínio, o cobre, o carbono, o germânio e o silício. Um composto é formado por uma combinação de elementos. A água, por exemplo, é um composto constituído pelos elementos hidrogênio e oxigênio. A menor partícula de qualquer composto que ainda contenha as características originais

daquele composto é chamada de molécula.

(5)

4

Os átomos de elementos diferentes diferem entre si pelo número de elétrons e de prótons que contêm. No seu estado natural, um átomo de qualquer elemento contém um número igual de elétrons e de prótons. Como a carga negativa (-) de cada elétron tem o mesmo valor absoluto que a carga positiva (+), as duas cargas opostas se cancelam. Um átomo nestas condições é eletricamente neutroeletricamente neutroeletricamente neutroeletricamente neutro, ou está em equilíbrio.

1.2 1.2 1.2

1.2 CCCCarga arga arga arga EEEElétricalétricalétricalétrica

Como certos átomos são capazes de ceder elétrons e outros capazes de receber elétrons, é possível produzir uma transferência de elétrons de um corpo para outro. Quando isto ocorre, a distribuição igual das cargas positivas e negativas em cada corpo deixa de existir. Portanto, um corpo conterá um excesso de elétrons e a sua carga terá uma polaridade elétrica negativa, ou menos (-). O outro corpo conterá um excesso de prótons e a sua carga terá uma polaridade positiva, ou mais (+).

Quando um par de corpos contém a mesma carga, isto é, ambas positivas (+) ou ambas negativas (-), diz-se que os corpos têm cargas iguais. Quando um par de corpos contém cargas diferentes, isto é, um corpo é positivo (+) enquanto o outro é negativo (-), diz-se que eles apresentam cargas desiguais ou opostas. A lei elétrica pode ser enunciada da seguinte forma:

Cargas iguais se repelem, cargas opostas se atraem Cargas iguais se repelem, cargas opostas se atraemCargas iguais se repelem, cargas opostas se atraem Cargas iguais se repelem, cargas opostas se atraem.

(6)

5

1.3 1.3 1.3

1.3 Materiais Materiais Materiais Materiais CondutoresCondutoresCondutores Condutores

A classificação dos materiais sólidos em condutores e isolantes é feita com base no fato dos elétrons da camada de valência (os mais afastados do núcleo) se movimentarem de átomo para átomo ao longo do material quando sujeito a um campo elétrico.

Se os átomos constituintes do material em sua camada de valência tiver elétrons que podem ter um movimento ordenado pela ação de um campo elétrico, mesmo que este seja de pequena intensidade, o material é dito condutorcondutorcondutorcondutor. A energia elétrica é transferida através dos materiais por meio de elétrons livres que se deslocam de átomo para átomo no interior do condutor. Cada elétron percorre uma distância muito curta até um átomo vizinho, onde substitui um ou mais dos seus elétrons, desalojando-os de sua órbita externa. Os elétrons substituídos repetem o processo em outros átomos próximos, até que o movimento de elétrons tenha sido transmitido através de todo o condutor. Quanto maior o número de elétrons que podem ser deslocados em um material, para uma dada força aplicada, melhor é o condutor. Os metais em geral, são bons condutores.

1.4 1.4 1.4

1.4 Materiais Materiais Materiais Materiais IsIsIsolantesIsolantesolantesolantes

Se os elétrons da camada de valência estiverem fortemente ligados ao núcleo de tal modo que para movimentá-los se faz necessário aplicar um campo elétrico muito intenso, o material é chamado de isolanteisolanteisolanteisolante. A borracha, vidros, cerâmica e os plásticos são exemplos de isolantes.

Cargas iguais negativas se repelem

Cargas iguais positivas se repelem

Cargas diferentes se atraem

--

(7)

6

1. 1.1.

1.5555 Lei de CoulombLei de CoulombLei de CoulombLei de Coulomb

Charles Coulomb ( físico francês 1736 Charles Coulomb ( físico francês 1736 Charles Coulomb ( físico francês 1736

Charles Coulomb ( físico francês 1736 ---- 1806)1806)1806) 1806)

Para estabelecer a Lei de Coulomb (força entre as cargas), devemos inicialmente estabelecer o conceito de carga elétrica puntiforme, já que a lei de Coulomb se refere a este tipo de carga elétrica. Um corpo eletrizado, de dimensões desprezíveis comparadas com as demais envolvidas na análise de uma questão, é denominado carga elétrica puntiforme.

Charles A. Coulomb foi quem primeiro verificou experimentalmente que a intensidade

da força de atração ou de repulsão entre duas cargas puntiformes Q1 e Q2, é diretamente

proporcional ao produto destas cargas, isto é:

F=Q F=Q F=Q

F=Q1111 x Qx Qx Qx Q222 2 (1)

Utilizando uma balança de torção, após repetidas verificações, Coulomb concluiu que a

intensidade da força de atração ou de repulsão entre duas cargas puntiformes Q1 e Q2,

distantes d entre si, é inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa, isto é:

Reunindo as conclusões (1) e (2), temos:

A constante de proporcionalidade, que representa o meio material onde o experimento se realiza, usualmente simbolizada por K. Introduzindo esta constante, resulta a expressão da intensidade de força que interage entre duas cargas puntiformes, conhecida como Lei de Coulomb.

Newton (N)

Utilizando-se unidades do Sistema Internacional (SI), o valor da constante de

proporcionalidade K. Quando as duas cargas se encontram no vácuo K = 9 x 109

F FF

F === = 1111

d dd d2222

(2)

F FF

F ==== QQQQ1111 x Qx Qx Qx Q2222

d dd d2222

F FF

(8)

7

N m2_/C2_.

1.6 C 1.6 C1.6 C

1.6 Campo ampo ampo ampo EEEElétricolétricolétrico létrico

Propriedade adquirida pelos pontos de uma região do espaço, quando da presença de uma carga elétrica, onde qualquer carga de prova colocada nesta região ficará sujeita a ação de uma força de atração ou de repulsão dependendo dos sinais do campo e da carga. Se os sinais forem contrários a força será de atração, caso sejam iguais a força será de repulsão.

A característica fundamental de uma carga elétrica é a sua capacidade de exercer uma força. Esta força está presente no campo que envolve cada corpo carregado. Quando dois corpos de polaridades opostas são colocados próximos um do outro, o campo eletrostático se concentra na região compreendida entre eles. O campo elétrico é representado por linhas de forças desenhadas entre os dois corpos. Se um elétron for abandonado no ponto A nesse campo, ele será repelido pela carga negativa e será atraído pela positiva. Assim, as duas cargas tenderão a deslocar o elétron na direção do movimento adquirido pelo elétron se ele estivesse em posição diferente do campo eletrostático.

Linhas de força

Corpo negativo Corpo positivo

Q

F FF F1111 F

FF F2222

F FF F

(9)

8

Quando duas cargas idênticas são colocadas próximas uma da outra, as linhas de força repelem-se mutuamente como mostra a figura abaixo.

Um corpo carregado manter-se-á carregado temporariamente, se não houver transferência imediata de elétrons para o do corpo. Neste caso, diz-se que a carga em repouso. A eletricidade em repouso é chamada de eletricidade estática.

1.7 1.7 1.7

1.7 Potencial ElétricoPotencial ElétricoPotencial ElétricoPotencial Elétrico (Vp)(Vp)(Vp) (Vp)

Propriedade adquirida por um corpo qualquer quando imerso em um campo elétrico.

Podemos determinar o potencial do ponto A da seguinte forma:

Onde:

VpA – Potencialelétrico do ponto A dado em volt (V);

ε

–

Constante de permissividade do meio dada em (C2_/Nm2_);

Q – Carga elétrica dada em Coulomb (C);

d – distancia da ponto até a carga dada em metros (m).

Q

d A

Q Q Q Q Vp

Vp Vp VpAAAA =

4 πε 4 πε 4 πε 4 πε

1

(10)

9

1.8 1.8 1.8

1.8 Diferença de potencial (d.d.p.)Diferença de potencial (d.d.p.)Diferença de potencial (d.d.p.)Diferença de potencial (d.d.p.) ou Tensão elétricaou Tensão elétricaou Tensão elétricaou Tensão elétrica (V)(V)(V)(V)

Define-se tensão elétrica como sendo a diferença de potencial entre dois pontos quaisquer que podem ou não estarem no mesmo campo.

V = Vp V = Vp V = Vp

V = VpA A A A [ [ [ [ VpVpVpVpBBBB

Onde:

VpA ---- potencial do ponto A dado em volt (V);

VpB – potencial do ponto B dado em volt (V);

V – diferença de potencial ou tensão (V).

Convencionou-se indicar uma diferença de potencial por uma seta que aponta sempre para o maior potencial,

1.9 1.9 1.9

1.9 CCCCorrente orrente orrente Eorrente EElétrica Elétrica létrica létrica

A corrente elétrica é o fluxo ordenado de partículas portadoras de carga elétrica promovido pela aplicação de uma diferença de potencial em um material condutor qualquer.

Q

Vp Vp Vp VpAAAA

Vp VpVp VpBBBB

V V V V

Material condutor Elétrons livres em movimento

+ [

V V V V

[ ----_- +

-

--

(11)

10

1.9.1 1.9.1 1.9.1

1.9.1 Sentido da Corrente elétricaSentido da Corrente elétricaSentido da Corrente elétricaSentido da Corrente elétrica

No início da história da eletricidade definiu-se o sentido da corrente elétrica como sendo o sentido do fluxo de cargas positivas, ou seja, as cargas que se movimentam do pólo positivo para o pólo negativo. Naquele tempo nada se conhecia sobre a estrutura dos átomos. Não se imaginava que em condutores sólidos as cargas positivas estão fortemente ligadas aos núcleosnúcleosnúcleosnúcleos dos átomos e, portanto, não pode haver fluxo macroscópico de cargas positivas em condutores sólidos. No entanto, quando a física subatômica estabeleceu esse fato, o conceito anterior já estava arraigado e era amplamente utilizado em cálculos e representações para análise de circuitos. Esse sentido continua a ser utilizado até os dias de hoje e é chamado sentido convencional da convencional da convencional da convencional da corrente

correntecorrente

corrente. Em qualquer tipo de condutor, este é o sentido contrário ao fluxo líquido das cargas negativas ou o sentido do campo elétrico estabelecido no condutor. Na prática qualquer corrente elétrica pode ser representada por um fluxo de portadores positivos sem que disso decorram erros de cálculo ou quaisquer problemas práticos.

1.9.2 1.9.2 1.9.2

1.9.2 Intensidade da corrente elétrica (I)Intensidade da corrente elétrica (I)Intensidade da corrente elétrica (I)Intensidade da corrente elétrica (I)

Consideremos um material condutor onde se estabeleceu o fenômeno da corrente elétrica, podemos definir a intensidade dessa corrente como sendo a quantidade de cargas elétricas que atravessam a seção transversal do condutor por unidade de tempo.

--

-- Fluxo de elétrons Fluxo convencional

Material condutor Elétrons livres em movimento

+ [

V

VV

V

[ +

--

(12)

11

Sendo assim temos:

Lembrando que ∆Q = nQ = nQ = nQ = n .... qqqqeeee

Onde:

I – intensidade da corrente elétrica dada em Ampère (A);

∆Q – quantidade de cargas elétricas que atravessam a seção transversal do condutor

dada em Coulomb (C);

∆t – unidade de tempo (s);

n - é o número de elétrons; e

qe - é a carga de 1 elétron (qe = -1,6 x 10 -19 C)

1.10 1.10 1.10

1.10 Leis de OhmLeis de OhmLeis de Ohm Leis de Ohm

George Simon Ohm (físico matemático alemão 1789 George Simon Ohm (físico matemático alemão 1789 George Simon Ohm (físico matemático alemão 1789

George Simon Ohm (físico matemático alemão 1789 –––– 1854)1854)1854)1854)

1.10. 1.10.1.10.

1.10.1 1 1 1 Resistência Elétrica e a Resistência Elétrica e a Resistência Elétrica e a Resistência Elétrica e a PrimeiraPrimeiraPrimeira Lei de OhmPrimeiraLei de OhmLei de OhmLei de Ohm

O que significa resistência elétrica?

A corrente elétrica é o movimento ordenado de elétrons livres em um condutor, mas isso não ocorre espontaneamente, pois necessitamos de uma fonte de força elétrica (d.d.p.) para movimentar os elétrons livres através do condutor. Se removermos a fonte de energia elétrica a corrente deixa de existir. Analisando os fatos acima, podemos

V V V V

Elétrons livres em movimento

--

-- Material condutor

+ [

[ _---- +

--

(13)

12

deduzir que existe alguma coisa no condutor que resiste à corrente elétrica e que segura os elétrons livres até que uma força suficiente seja aplicada. Baseado nesse fato Ohm iniciou seus estudos.

Vamos imaginar suas experiências e tentar analisar os problemas que ele enfrentou e o que concluiu, Lembre-se que alguns fatos que vamos descrever a seguir são apenas suposições.

O seu objetivo era escrever algo inédito, e ele resolveu focar suas experiências nos conceitos conhecidos sobre a eletricidade. Podemos dizer que naquela época não se conhecia muito a esse respeito. Ele tinha a sua disposição as fontes de tensão, o conhecimento dos condutores e aparelhos que mediam tensão e corrente. Sendo assim, montou o seguinte circuito:

Com este circuito era possível medir a tensão (V) e a corrente (I) variando os tipos de condutores.

Quantos tipos de condutores existiam ou eram conhecidos?

Podemos concluir, conhecendo o resultado dessa experiência, que existiam vários tipos de condutores, mas Ohm observou que alguns em particular, resultavam em valores de tensão e corrente que, plotados em um gráfico, resultavam numa reta passando pelo zero e todos os pontos estavam alinhados.

Condutor _A

(14)

13

Curva característica

A conclusão não era válida para qualquer bipolo (dispositivo elétrico com dois terminais: os condutores são bipolos elétricos) somente alguns bipolos particulares apresentavam estas características. Pela observação do gráfico pode-se concluir que:

Ou seja: neste bipolo o quociente da tensão pela corrente é uma constante, isto é, se a tensão aplicada for mudada, muda como consequência a corrente, de tal forma que o quociente permanece constante.

Nestas condições concluímos que esta constante é uma característica própria do bipolo (condutor) já que não depende da tensão aplicada ou da corrente que o percorre.

Com estas considerações Ohm enunciou a seguinte Lei, válida para bipolos que possuem o comportamento acima descrito:

Ou seja, a constante (tg α), foi denominada de Resistência Elétrica do bipolo,

simbolizada por R e medida em Ohms (Ω) no sistema internacional de medidas SI e aos

condutores, isto é, aos materiais cuja curva característica é uma reta, ele denominou-os de Resistores.

Simbologia elétrica:

V (V) V (V) V (V) V (V)

V

VV

V111 1 V V V V2222 V

VV

VN

IIII1111 IIII2222 IIIINNNN IIII (A)(A)(A) (A) α

αα

α

(15)

14

1.10.2 1.10.21.10.2

1.10.2 SegundaSegundaSegundaSegunda Lei de OhmLei de OhmLei de OhmLei de Ohm

Dando continuidade a nossa “viagem” ao laboratório de Ohm, podemos imaginar que como físico e bem provável uma pessoa extremamente investigativa, nas diversas variações nos materiais utilizados e as repetitivas vezes que deve ter feito os levantamento dos dados, ele deve ter notado algumas diferenças, por exemplo, em relação à temperatura ambiente e do material, que o resultado variava também de acordo com o tamanho da amostra do material.

Todas essas observações levou Ohm a descrever, ou melhor, a desenvolver uma equação que relacionava todas essas variáveis no valor da resistência dos então denominados resistores.

Afirmamos anteriormente que a resistência elétrica é uma característica própria do resistor, independendo da tensão ou da corrente, entretanto, verifica-se que a resistência elétrica de um bipolo varia com outros parâmetros, a saber:

a) a) a)

a) Comprimento do resistorComprimento do resistorComprimento do resistor Comprimento do resistor

Imaginemos dois condutores filiformes (conforme esquema abaixo), submetidos à mesma tensão (V), com o mesmo valor de seção transversal, feitos de mesmo material, porém de comprimento diferente:

V V V V

+ [

SSSS L

LL L

--

(16)

15

Podemos notar que para uma mesma tensão aplicada as cargas elétricas do condutor de

comprimento L1 deverão percorrer um caminho mais longo do que o de comprimento L,

sendo assim podemos concluir que quanto maior o comprimento do resistor, maior a

dificuldade de passagem da corrente elétrica, portanto maior a resistência elétrica. A A A A

resistência elétrica e diretamente proporcional ao comprimento do resistor. resistência elétrica e diretamente proporcional ao comprimento do resistor.resistência elétrica e diretamente proporcional ao comprimento do resistor. resistência elétrica e diretamente proporcional ao comprimento do resistor.

b) b) b)

b) Área da seção transversalÁrea da seção transversalÁrea da seção transversal Área da seção transversal

Imaginemos agora dois condutores de mesmo comprimento, feitos de mesmo material,

submetidos à mesma tensão (V), entretanto de seções diferentes S e S1.

[ -- -- -- -- -- + SSSS L LL L1111

V V V V -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- V V V V + [ SSSS L LL L -- -- -- -- -- -- -- -- --

(17)

16

Podemos notar que para a mesma tensão aplicada (V), as cargas da seção S1 que

possuem um caminho mais livre e também que nessa seção teremos um número maior de cargas elétricas livres que na seção S, então podemos concluir que quanto maior a seção menor é a resistência. A resistência elétrica é inversamente proporcional A resistência elétrica é inversamente proporcional A resistência elétrica é inversamente proporcional A resistência elétrica é inversamente proporcional a a a a área da área da área da área da seção transversal

seção transversalseção transversal seção transversal....

c) c) c)

c) Resistividade do materialResistividade do materialResistividade do materialResistividade do material

Dentro dos materiais caracterizados como condutores se pode notar diversas diferenças intrínsecas relativas à sua densidade, número atômico, distância dos elétrons ao núcleo, isto é cada material difere do outro, como se cada um possuísse um “DNA” diferente. Sendo assim é quase que obvio concluir que dependendo do material a resistência deve variar. Essas características são classificadas de forma a nos fornecer um valor chamado de resistividade do materialresistividade do materialresistividade do materialresistividade do material. A resistividade do material é representada pela letra grega

(rô) ρ.

A resistência elétrica é diretamente proporcional à resist A resistência elétrica é diretamente proporcional à resistA resistência elétrica é diretamente proporcional à resist

A resistência elétrica é diretamente proporcional à resistividade do material.ividade do material.ividade do material.ividade do material.

Os valores de resistividade são fornecidos, normalmente através de tabelas, pois são constantes para cada material, com isso sua unidade é sempre fixa, não devendo nunca ser alterada.

Enunciado da 2 Enunciado da 2Enunciado da 2

Enunciado da 2aaaa_{Lei de Ohm}_{Lei de Ohm}_{Lei de Ohm}_{Lei de Ohm}

Com as três considerações anteriores somos capazes de entender a expressão abaixo, conhecida como 2ª Lei de Ohm:

Onde:

R - resistência elétrica do condutor; dada em (Ω);

l - comprimento do condutor, dado em metros (m);

(18)

17

ρ - resistividade do material, no SI dada (Ω.m) , também pode ser usualmente expressa

em Ω.mm2_/m , nesse caso devemos ter a área da seção transversal dada em mm2 e o

comprimento em m sendo a resistência expressa em Ω.

1.11 1.11 1.11

1.11 Variação da Variação da Variação da RVariação da RRResistividade com a esistividade com a Tesistividade com a esistividade com a TTTemperatuemperatuemperaturaemperaturarara

Como salientamos, a resistência elétrica de um condutor depende da temperatura do seu

corpo. Especificamente, quem depende da temperatura é a resistividade do material.

Para variações de temperatura não excessivas, pode-se admitir como linear a variação ρ

com θ. Nestas condições, a resistividade ρ a uma temperatura θ é dada por:

ρ

ρρ

ρ = = = = ρρρρ0 . 0 . 0 . 0 . [ 1 + [ 1 + [ 1 + [ 1 + αααα ((((θθθθ ---- θθθθoooo) ]) ] ) ]) ]

Onde:

ρ - é a resistividade à temperatura final, em Ω.m ou Ω.mm2/m;

ρ0 - é a resistividade do material na temperatura inicial, Ω.m ou Ω.mm2/m;

α - é um coeficiente que depende da natureza do material, denominado coeficiente de

variação da resistividade com a temperatura, com unidade SI, grau Célsius elevado a menos um( o_C-1_);

θ - θo = Δθ - Variação da temperatura, em (oC).

1.12 1.12 1.12

1.12 Variação da Resistência com a temperaturaVariação da Resistência com a temperaturaVariação da Resistência com a temperatura Variação da Resistência com a temperatura

Com esse conceito, a resistência (R) de um condutor na temperatura θ, conhecido sua

resistência (R0) na temperatura θ0 e seu coeficiente de temperatura α, pode ser

calculada mediante:

R = R R = R R = R

R = R0 . 0 . 0 . 0 . [ 1 + [ 1 + [ 1 + [ 1 + αααα ((((θθθθ ---- θθθθoooo) ]) ]) ]) ]

1.13 1.13 1.13

1.13 Energia Energia Energia CEnergia CCConsumida no onsumida no onsumida no Donsumida no DDDeslocamento de eslocamento de Ceslocamento de eslocamento de CCCargas argas argas Eargas EEElétricaslétricaslétricas létricas

(19)

18

Calculemos a energia consumida (

τ

ab) no deslocamento de uma massa m de uma altura

ha para uma altura hb. Como o campo é conservativo esse trabalho independe da

trajetória.

Observando a figura podemos concluir que:

τ

ab =Epa [ Epb

τ

ab =mgha [ mghb

τ

ab =m(gha [ ghb)

Fazendo uma comparação com o sistema elétrico temos a massa que queremos deslocar é um conjunto de cargas elétricas de potencial menor para um potencial maior, desta forma temos:

τ

ab = ΔQ . (Va –Vb)

Considerando (Va –Vb) = V (ddp) temos:

ττττ

abababab = V . ΔQ= V . ΔQ= V . ΔQ= V . ΔQ (1)

mas pela definição de corrente ΔQ = I . Δt (2)

Substituindo (2) em (1) temos:

ττττ

abababab = V . I . Δt= V . I . Δt= V . I . Δt= V . I . Δt (3)

Pela Lei de Ohm temos que: V= R . I (4)

Epa Epb

hb

ha m

m

_τ

ab

SSSS

+Va +Va +Va +Va [

[[ [VbVbVb Vb

ΔQ ΔQΔQ ΔQ --

--

(20)

19

ττττ

abababab = R . I= R . I= R . I= R . I2222 . Δt. Δt. Δt. Δt (5)

ou ainda I = V/R (6)

ττττ

ab ab ab ab = (V= (V= (V= (V2222/R) . Δt/R) . Δt/R) . Δt/R) . Δt

Unidades de energia elétrica

Da equação (3):

[

τ

] = V . A . s = Joule (J)

Por ser o Joule (J) uma unidade muito pequena adotou-se para medida de consumo de energia elétrica o kWh (quilowatt hora) onde:

1 kWh equivale a 3,6 x 106 _Joule

1.14 1.14 1.14

1.14 Potência Potência Potência EPotência EElétricaElétricalétricalétrica

Define-se potência como sendo a capacidade de realização de trabalho em uma unidade de tempo.

P = Δ P = Δ P = Δ

P = Δ

ττττ

////

ΔtΔtΔt Δt

Não devemos confundir potencia com energia, pois a energia depende do tempo em que esta sendo consumida e a potencia é calculada para um dado intervalo de tempo, razão pela qual podemos ter motores de diferentes potências consumindo a mesma quantidade de energia. Tudo depende do tempo em que ficam ligados.

Por outro lado, utilizando as expressões definidas para energia temos:

P= V . I . Δt / Δt

P = V . I P = V . IP = V . I P = V . I

ou

P = R . I2_{. Δt / Δt}

(21)

20

ou ainda

P = [(V2_{/R) . Δt/ Δt}

P = V P = VP = V P = V2222_{/ R}_{/ R}_{/ R}_{/ R}

Unidade de Potência elétrica

Tomando P= V. I temos:

[P] = V . A = watt (W)

Outras unidades de Potência

É comum expressar, principalmente nos motores elétricos, a potência em HP ou CV, porém estas unidades são relacionadas à potência mecânica que é medida no eixo do motor, já excluindo todas as perdas. São os seguintes os fatores de conversão:

1 HP =746 W

1 CV =735 W

Normalmente um motor recebe potência elétrica e fornece potência mecânica. Nestas condições, é razoavelmente fácil de entender que se possuirmos um motor ideal (rendimento 100%) e a este motor fornecemos a potência elétrica de 746 W, o mesmo será capaz de nos dar a potência de 1HP, ou seja:

1.15 1.15 1.15

1.15 Rendimento Rendimento Rendimento –––– >>>> Rendimento

Em qualquer sistema real, elétrico ou não, a energia fornecida é maior do que o trabalho útil por ele realizado, devido as indesejáveis e existentes perdas das mais diversas origens a depender do sistema, tais como atrito e efeito joule.

((((Energia Energia Energia Energia mecânica)mecânica)mecânica)mecânica) P

P P

PFFFF=746 W=746 W=746 W=746 W Motor idealMotor idealMotor idealMotor ideal

>>>>

= 100%= 100%= 100%= 100% PPPPUUUU = 1 HP= 1 HP= 1 HP= 1 HP

(22)

21

Com base no exposto define-se rendimento como:

>>>> = = = =

ττττ

u /u /u /u /

ττττ

FFFF

Para um Δt constante podemos reescrever

>>>> = P= P= P= Pu u u u //// PPPPFFFF

Podemos também expressar o rendimento em porcentagem, isto é:

>>>> %= (%= (%= (%= (

ττττ

u /u /u /u /

ττττ

FFFF) .) .) .) . 100%100%100%100%

>>>>% =( P% =( P% =( P% =( Pu u u u //// PPPPFFFF)))) .... 100 %100 %100 %100 %

Energia útil Energia fornecida

τ

d

ττττ

uuuu

τ

FFFF

Sistema Sistema Sistema Sistema

(23)

22

2 22

2. . . . CIRCUITOS ELÉTRICOSCIRCUITOS ELÉTRICOSCIRCUITOS ELÉTRICOSCIRCUITOS ELÉTRICOS EM CORRENTE CONEM CORRENTE CONEM CORRENTE CONTÍNUA EM CORRENTE CONTÍNUA TÍNUA TÍNUA

2.1 2.1 2.1

2.1 Definições fundamentaisDefinições fundamentaisDefinições fundamentaisDefinições fundamentais

2.1.1 2.1.1 2.1.1

2.1.1 Bipolo elétricoBipolo elétricoBipolo elétricoBipolo elétrico

Qualquer dispositivo elétrico que possua dois terminais acessíveis. Dependendo de sua função no circuito pode ser classificado em Ativo ou Passivo.

2.1.1.1 2.1.1.1 2.1.1.1

2.1.1.1 Bipolo ativoBipolo ativoBipolo ativo Bipolo ativo

Um bipolo elétrico será dito ativo, quando estiver fornecendo energia. Por convenção, os seus sentidos de tensão e corrente são concordantes. Ex: bateria, gerador, pilha etc.

Simbologia:

2.1.1.2 2.1.1.2 2.1.1.2

2.1.1.2 Bipolo passivoBipolo passivoBipolo passivo Bipolo passivo

Um bipolo elétrico será dito passivo, quando estiver recebendo energia, ou ainda, quando chegarmos à conclusão que os seus sentidos de tensão e de corrente são discordantes.

Ex: bateria do celular quando colocada para recarregar, resistores, etc.

Simbologia:

+ [ V V V

V IIII

+ [ V V V

(24)

23

2.2 2.2 2.2

2.2 Circuito elétricoCircuito elétricoCircuito elétricoCircuito elétrico

Define-se como circuito elétrico qualquer conjunto de bipolos interligados de tal forma a

permitir a passagem de uma corrente elétrica.

Exemplo:

2.2.1 2.2.1 2.2.1

2.2.1 Ponto elétricoPonto elétricoPonto elétricoPonto elétrico

Define-se como ponto elétrico qualquer conjunto de condutores ideais que possuam o mesmo potencial. Podemos ainda entender, como sendo ponto elétrico qualquer caminho que possa ser realizado tomando-se somente condutores ideais interligados entre si em um circuito.

No exemplo temos os seguintes pontos elétricos: A, C, E e G

2.2.2 2.2.2 2.2.2 2.2.2 NóNóNóNó

Definimos como nóqualquer conexão existente entre três ou mais condutores ideais em

um circuito.

No exemplo temos os seguintes nós: B, D, F, H e I

A A A A

F FF F

C CC C

D D D D

G G G G H

HH

H

E E E E B

BB

(25)

24

2.2.3 2.2.3 2.2.3 2.2.3 RamoRamoRamoRamo

Definimos como ramo qualquer trecho com ou sem bipolo compreendido entre dois nós consecutivos de um circuito.

No exemplo temos os seguintes ramos: HAB, BCD, DEF, FGH, HI e ID

2.2.4 2.2.4 2.2.4 2.2.4 MalhaMalhaMalhaMalha

Definimos como malha qualquer contorno fechado, de cada região em que fica dividido um plano, quando neste plano, colocamos um circuito elétrico.

No exemplo temos as seguintes malhas internas: ABIHA, BCDIB, IDEFI, IHGFI e a malha externa ABCDEFGHA.

2.3 2.3 2.3

2.3 Leis de KirchhoffLeis de KirchhoffLeis de KirchhoffLeis de Kirchhoff Gus tav Kirchhof Gus tav Kirchhof Gus tav Kirchhof

Gus tav Kirchhof f f f f (físico alemão 18(físico alemão 18(físico alemão 1824 (físico alemão 1824 24 24 –––– 1887)1887)1887)1887)

2.3.1 2.3.1 2.3.1

2.3.1 Lei dos Lei dos Lei dos Lei dos NNNNósósósós (1ª Lei de Kirchhoff)(1ª Lei de Kirchhoff)(1ª Lei de Kirchhoff) (1ª Lei de Kirchhoff)

Esta Lei se aplica exclusivamente aos nós de um circuito elétrico. Ela afirma que em um nó a somatória das intensidades de corrente que chegam deve ser igual à somatória das intensidades de corrente que saem deste nó.

Matematicamente teremos:

IIII8888

IIII7777

IIII6666

IIII5555 IIII4444

IIII3333 IIII2222

IIII1111

F FF F

D D D D H

HH

H

B

BB

(26)

25

No exemplo teremos:

Nó B →I3 + I8 = I4

Nó D→I6 + I8 = I5

Nó F→I1 + I5 = I7

Nó H→I2 + I3 = I1

Nó I→I2 + I4 + I6 = I7

Note que para cada condutor ligado, que faz parte do nó existe uma corrente. Sendo assim a equação para o nó terá o numero de correntes igual ao número de condutores. No exemplo o nó B tem três condutores interligados, portanto teremos três correntes diferentes na equação, já no nó I temos quatro condutores e, portanto na equação temos quatro correntes diferentes.

2.3.2 2.3.2 2.3.2

2.3.2 Lei das MalhasLei das MalhasLei das MalhasLei das Malhas ( 2ª Lei de Kirchhoff)( 2ª Lei de Kirchhoff)( 2ª Lei de Kirchhoff)( 2ª Lei de Kirchhoff)

Esta Lei, unicamente aplicável às malhas afirma que a soma algébrica das tensões ao

longo de uma malha qualquer do circuito é igual à zero. Para montarmos essa equação

devemos levar em consideração o sentido das tensões. Podemos definir, por convenção, para cada malha um sentido de percurso e a partir dele considerar positivo ou negativo os sentidos encontrados das tensões ao longo desse percurso.

Exemplo

(27)

26

V2 + V6 + V5 + V4 + V3 - V1 -V7 = 0

O que acabamos de executar também é conhecido como: circuitação das malhascircuitação das malhascircuitação das malhascircuitação das malhas.

No exemplo:

Podemos também montar a equação da malha observando o sentido das tensões e comparando com o sentido horário ou anti-horário. Usando esse principio no exemplo, assim teremos:

Malha 1: V2 + V10 + V7 + V6 + V5 = V1

Malha 2: V9+V8 = V10

V V V V15151515

V

VV

V14141414 V

V V V13131313

V

VV

V12121212 V

V V V11111111 V

V V V10101010

V

VV

V5555 V

VV

V9999 VVVV8888 VVVV7777 VVVV6666

V V V V4444

V V V V3333 V V V

V2222 VVVV1111

A AA A C CC C G G G G

IIII8888

IIII7777

IIII6666

IIII5555 IIII4444

IIII3333 IIII2222

IIII1111

F FF F D D D D H HH H B BB

B IIII

E

EE

E 1

2

3 4

V

VV

V7777 V

VV

V6666

V V V V3333 V

VV

V5555 VVVV4444

V V V

V2222 VVVV1111

(28)

27

Malha 3: V11 + V4 = V13 +V14

Malha 4: V2 + V3 +V4 + V11+V12+V15 = 0

Malha externa: V5 + V6 + V7 + V8 + V9 = V1 + V3 + V13 + V14 + V15

2.4 2.4 2.4

2.4 Associação de Associação de Associação de Associação de RRResistoresResistoresesistores esistores

2.4.1 2.4.1 2.4.1

2.4.1 Resistor Resistor Resistor Resistor EEEEquivalentequivalente ---- Rquivalentequivalente RRREQEQEQEQ

Sendo dada uma associação qualquer com n resistores ligados entre si, poderemos calcular o resistor equivalente a todos os demais e substituí-lo por este, de tal forma que o equivalente quando submetido à mesma tensão V aplicada na associação original será percorrido pela mesma corrente I total da associação.

Exemplo

2.4.2 2.4.2 2.4.2

2.4.2 Associação Associação Associação Associação SSSSérie de érie de érie de Rérie de RRResistoresesistoresesistoresesistores

Conceito de resistor em série: nnnn resistores serão ditos associados em série quando a corrente que percorrer qualquer um deles também percorrer todos os demais: ou seja: nnnn resistores serão ditos em série quando forem percorridos pela mesma corrente Resistor Resistor Resistor Resistor equivalente

equivalente equivalente

equivalente de uma associação sériede uma associação sériede uma associação sériede uma associação série:

Consideremos uma associação de nnnn resistores em série:

R

RR

RNNNN R

RR

R5555 R

R R R3333

R

RR

R4444 R

RR

R2222

R R R R1111

V I

(29)

28

Consideremos também o resistor equivalente desta associação, REQ a partir do conceito

inicialmente exposto de equivalência, ou seja:

Notemos que:

A corrente que percorre R1, R2, R3,....,Rn é a mesmamesmamesmamesma (definição de série) e ainda igual á

corrente que percorre o resistor equivalente REQ.

Analisando a associação verificamos que: (Lei das malhas)

V = V1 + V2 + V3 + ...+ VN

Entretanto, considerando que pela Lei de Ohm teremos:

V1 = R1 x I

V2 = R2 x I

V3 = R3 x I

VN = RN x I

e ainda, no resistor equivalente REQ:

V = REQ x I

R R R

R1111 RRRR2222 RRRR3333 RRRRNNNN

V

VV

V IIII V

VV

V1111 VVVV2222 VVVV3333 VVVVNNNN

V

VV

V R

R R REQEQEQEQ

(30)

29

teremos:

REQ x I = R1 x I + R2 x. I + R3 x I + ... + RN x I

ou ainda:

REQ x I = I x (R1 + R2 + R3 + ...+ RN )

Portanto podemos concluir que o resistor equivalente de uma associação série de nnnn

resistores é dado por:

R RR

REQEQEQEQ = R= R= R= R1111 + R+ R+ R+ R2222 + R+ R+ R+ R3333 + ...+ R+ ...+ R+ ...+ R+ ...+ RNN NN

Caso particular:

n resistores de mesma resistência R, teremos:

R RR

RSSSS = n. R= n. R= n. R= n. R

2.4.3 2.4.3 2.4.3

2.4.3 Associação Associação Associação Associação PPPParalelo de aralelo de aralelo de aralelo de RRRResistoresesistoresesistoresesistores

Conceito de resistor em paralelo: nnnn resistores serão ditos associados em paralelo, quando a tensão que estiver aplicada em qualquer um deles também estiver aplicada em tensão que estiver aplicada em qualquer um deles também estiver aplicada em tensão que estiver aplicada em qualquer um deles também estiver aplicada em tensão que estiver aplicada em qualquer um deles também estiver aplicada em todos os demais:

todos os demais:todos os demais:

todos os demais: ou ainda: nnnn resistores serão ditos associados em paralelo quando estiverem ligados entre os mesmos pontos.

Resistor equivalente de uma associação paralelo:

Consideremos uma associação de nnnn resistores em paralelo:

Consideremos também o resistor equivalente desta associação REQ, a partir do mesmo

conceito inicialmente exposto de equivalência, ou seja:

R

RR

R1111 RRRR2222 RRRRNNNN

V V V V

IIII1111

R

RR

R3333 V

V V

V VV VV VVVV VV VV

IIII2222 IIII333 3 IIIINN NN

(31)

30

Notemos então que:

A tensão que é aplicada em R1, R2, R3, ..., RN é a mesma (definição de paralelo), e ainda

igual á tensão que é aplicada no resistor equivalente REQ.

Analisando a associação pode-se verificar que (Lei dos nós):

I = I1 + I2 + I3 +... + IN;

mas considerando que pela Lei de Ohm, teremos:

E ainda, no resistor equivalente REQ:

teremos:

Portanto concluímos que o resistor equivalente de uma associação em paralelo de nnnn

resistores será dado por:

Associação de dois resistores em paralelo:

Consideremos uma associação de apenas dois resistores em paralelo:

R R R REQEQEQEQ V

V V

(32)

31

Portanto

Caso particular: n resistores de mesma resistência R:

R RR

REQEQEQEQ = R / n = R / n = R / n = R / n

2. 2.2.

2.5555 Técnicas de Técnicas de Técnicas de Técnicas de RResolução de RResolução de esolução de esolução de CCCCircuitosircuitosircuitos ircuitos

Devemos inicialmente compreender que “resolver” um circuito elétrico, significa a determinação de todas as suas tensões e todas as suas correntes. Para tanto, qualquer que seja o método utilizado, torna-se fundamental o domínio da 1º Lei de Ohm e das Leis de Kirchhoff. Veremos a seguir o principal método de resolução de circuitos elétricos. Existem vários métodos, porém para este curso veremos apenas o baseado nas leis acima mencionadas.

2. 2.2.

2.55.1 55.1 .1 .1 Resolução por Resolução por Resolução por Resolução por AAAAssociação ssociação de ssociação ssociação de de de BBBBipolosipolosipolosipolos

Este método poderá somente ser aplicado a circuitos que por associação de bipolos podem ser reduzidos a uma única malha e um único gerador.

Com o objetivo de demonstrar esse método vamos resolver passo a passo, um exemplo de um circuito elétrico.

Exemplo:

A

AA

A

R R R

R1111 RRRR2222

B

BB

B

A

AA

A

R

RR

REQEQEQEQ

B

BB

(33)

32

Para podermos resolver este circuito, devemos calcular seu resistor equivalente total

REQT. Para isso vamos simplificar o circuito.

A simplificação deve ser feita por partes e para melhor entendimento e visualização de todos os passos, a cada associação feita redesenha-se o circuito substituindo a

associação por seu REQ.

Observando o circuito devemos visualizar as primeiras associações que poderão ser feitas. Neste exemplo podemos efetuar as seguintes associações série:

REQ1 é igual a 6Ω em série com 6Ω , isto é:

REQ1 = 6 + 6

REQ1 = 12Ω

REQ2 é igual a 5Ω em série com 5Ω, isto é:

REQ2 = 5 + 5

REQ2 = 10Ω

6 6 6 6 Ω 6 6 6 6 Ω

12 12 12 12 Ω

6 6 6 6 Ω

1,8 1,81,8 1,8 Ω

10,5 10,5 10,5 10,5 Ω

5 55 5 Ω

5 55 5 Ω 30

30 30 30 Ω 180 V 180 V 180 V 180 V 12 12 12 12 Ω

12 1212 12 Ω

6 6 6 6 Ω

1,8 1,8 1,8 1,8 Ω

10,5 10,5 10,5 10,5 Ω

10 10 10 10 Ω 30

(34)

33

Substituindo as associações por seus equivalentes e redesenhando o circuito teremos:

Agora as próximas associações serão paralelo:

12Ω em paralelo com 12Ω, isto é,

REQ3 =

12 12

+ x

REQ3 = 6Ω

Ainda podemos fazer conjuntamente,

30Ω em paralelo com 10Ω, isto é,

REQ4 =

10 30

+ x

REQ4 = 7,5Ω

As demais resistências permanecem, e devem ser redesenhadas conforme mostramos abaixo:

Observando novamente o circuito encontramos duas associações que podem ser efetuadas:

REQ5 é igual a 6Ω em série com 6Ω , isto é:

REQ5 = 6 + 6

REQ5 = 12Ω

E ainda:

REQ6 é igual a 10,5Ω em série com 7,5Ω , isto é:

6 66 6 Ω

6 6 6 6 Ω

1,8 1,81,8 1,8 Ω

10,5 10,5 10,5 10,5 Ω

(35)

34

REQ6 = 10,5 + 7,5

REQ6 = 18Ω

As demais resistências permanecem, e devem ser redesenhadas conforme mostramos abaixo:

Agora, o correto será fazer REQ7, que é 12Ω em paralelo com 18Ω.

CUIDADO é muito comum, e errado fazer 1,8Ω em paralelo com 18Ω ou 12Ω, não

podemos fazer essa simplificação, pois esses resistores não estão em paralelo. Somente

os resistores de 18Ω e 12Ω estão ligados nos mesmos dois pontos A e B. Entre o resistor

de 1,8Ω e o ponto B temos uma fonte de 180V.

Após esta observação, vamos retomar a resolução do circuito exemplo, calculando REQ8.

REQ8=

18 12

+ x

REQ8 = 7,2Ω

12 12 12 12 Ω

1,8 1,8 1,8 1,8 Ω

18 18 18 18 Ω 180 V 180 V180 V 180 V

12 12 12 12 Ω

1,8 1,8 1,8 1,8 Ω

18 18 18 18 Ω 180 V 180 V180 V 180 V

A

AA

A

(36)

35

E por ultimo faremos REQT que é igual a associação série de 1,8Ω com 7,2Ω,

REQT = 1,8 + 7,2

REQT = 9Ω

A partir do conhecimento do valor do resistor equivalente, devemos calcular as tensões e correntes, neste circuito simplificado.

NOTA:

É muito importante termos bem fixado os conceitos de série e paralelo, isto é:

Série Série Série

Série –––– mesma correntemesma correntemesma corrente mesma corrente

Paralelo Paralelo Paralelo

Paralelo –––– mesma tensãomesma tensãomesma tensão mesma tensão

Agora iremos voltar nos circuitos a partir do REQT:

Neste circuito iremos calcular I:

9 99 9 Ω 180 V

180 V180 V 180 V

1,8 1,8 1,8 1,8 Ω

(37)

36

Como o resistor de 9Ω é resultado da associação série de 7,2Ω e 1,8Ω e numa associação

série temos a mesma corrente, podemos então calcular as tensões nos referidos resistores.

V = R x I

V= 7,2 x 20 = 144 V

V = 1,8 x 20 = 36 V

Observe que V1 + V2 = V fonte

144 + 36 = 180 (OK)

Seguindo a mesma ideia, o resistor de 7,2Ω é resultado da associação paralelo entre 12Ω

e 18Ω, como na associação paralelo teremos a mesma tensão, então vamos calcular as

correntes que percorrem os respectivos resistores.

Pela lei dos nós teremos:

9 99 9 Ω 180 V

180 V 180 V 180 V

20 A 20 A20 A 20 A

180 V 180 V180 V 180 V

1,8 1,8 1,8 1,8 Ω

7,2 7,2 7,2 7,2 Ω 180 V

180 V 180 V 180 V

20 A 20 A 20 A 20 A 36 V

36 V36 V 36 V

(38)

37

I = I1 + I2

12 + 8 = 20 (OK)

Para os próximos cálculos, observamos que a associação em série de 6Ω e 6Ω deu

origem ao resistor de 12Ω·, sendo assim teremos nos resistores de 6Ω a corrente de

12A, poderemos calcular suas tensões

V = R x I

V= 6 x 12

V = 72V

Como as resistências são iguais e a corrente é e mesma consequentemente suas tensões serão iguais.

Podemos verificar, fazendo:

V1 = V3 + V6

144 = 72 + 72 (OK)

O mesmo raciocínio deverá ser usado para os resistores de 10,5Ω e 7,5Ω.

V = 10,5 x 8

V = 84V

V = 7,5 x 8

V = 60V

Verificando: 144 = 60 + 84 (OK)

144 V 144 V144 V 144 V 20 A

20 A 20 A 20 A 144 V

144 V 144 V 144 V

12 12 12 12 Ω

1,8 1,8 1,8 1,8 Ω

18 18 18 18 Ω 180 V 180 V180 V 180 V 36 V

36 V36 V 36 V 12 A

12 A 12 A 12 A

(39)

38

Neste ponto iremos calcular as correntes em cada um dos resistores de 12Ω. Como a

tensão sobre eles é a mesma, suas correntes serão iguais

Verificando pela Lei dos nós:

12 = 6 + 6

O mesmo raciocínio deve ser aplicado aos resistores de 30Ω e de 10Ω.

Verificando:

8 = 2 + 6 (OK)

E para finalizar a resolução, devemos calcular as tensões nos resistores de 6Ω e de 5Ω.

V = R x I

12 12 12 12 AAAA 8 A 8 A 8 A 8 A 36 V

36 V36 V 36 V 60 V 60 V 60 V 60 V 72 V

72 V72 V 72 V

6 66 6 Ω

6 6 6 6 Ω

1,8 1,8 1,8 1,8 Ω

10,5 10,5 10,5 10,5 Ω

7,5 7,57,5 7,5 Ω 180 V 180 V 180 V 180 V 20 A 20 A 20 A 20 A 84 V 84 V 84 V 84 V 72 V

72 V72 V 72 V

20 A 20 A20 A 20 A

60 V 60 V60 V 60 V 72 V 72 V 72 V 72 V 84 V 84 V84 V 84 V 72 V 72 V 72 V 72 V 72 V 72 V 72 V 72 V 60 V 60 V 60 V 60 V 36 V 36 V 36 V 36 V 8 A 8 A 8 A 8 A 12 A 12 A 12 A 12 A 12 12 12 12 Ω

12 12 12 12 Ω

6 6 6 6 Ω

1,8 1,81,8 1,8 Ω

10,5 10,5 10,5 10,5 Ω

10 1010 10 Ω 30

3030 30 Ω 180 V 180 V 180 V 180 V 6 A 6 A 6 A 6 A 2 A 2 A 2 A 2 A 6 A

(40)

39

V= 6 x 6

V = 36V

Como a série e composta por dois resistores iguais suas tensões também serão iguais

Verificando:

72 = 36 + 36 (OK)

O mesmo raciocínio deve ser aplicado na serie composta pelos dois resistores de 5Ω.

V = R x I

V= 5 x 6

V = 30V

Verificando:

V = V + V

60 = 30 + 30 (OK)

2. 2.2.

2.6666 VerificaçõesVerificaçõesVerificaçõesVerificações

Agora temos os valores de tensões e correntes em todos os bipolos do circuito. Lembre-se que este é um exemplo de resolução e, portanto alguns passos aqui apreLembre-sentados podem ser suprimidos. Ao longo do exemplo foram feitas varias verificações que poderiam ter sido feitas apenas ao término da resolução, porém caso houvesse algum erro você só iria descobrir ao final do exercício o que poderia complicar seu desempenho e dificultar a determinação do erro. Esse método de verificação dos

6 6 6 6 Ω

5 55 5 Ω 20 A 20 A 20 A 20 A 30 V 30 V30 V 30 V 84 V 84 V 84 V 84 V 72 V

72 V72 V 72 V 72 V 72 V 72 V 72 V 60 V 60 V 60 V 60 V 36 V

36 V36 V 36 V 8 A 8 A 8 A 8 A 12 A 12 A12 A 12 A 12

1212 12 Ω

6 6 6 6 Ω

1,8 1,8 1,8 1,8 Ω

10,5 10,510,5 10,5 Ω

5 55 5 Ω 30

30 30 30 Ω 180 V 180 V 180 V 180 V 6 A 6 A6 A 6 A 2 A 2 A 2 A 2 A 6 A 6 A 6 A 6 A 6 A 6 A6 A 6 A

30 V 30 V30 V 30 V

(41)

40

resultados, que utiliza as 2ª Lei de Kirchhoff, demonstrado durante a resolução do exercício é conhecido como “CircuitaçãoCircuitaçãoCircuitaçãoCircuitação””””.

Tomaremos agora nosso circuito resolvido e analisaremos cada uma de suas malhas para verificar se os resultados obedecem a Lei das Malhas, caso isso não aconteça com certeza existe algum erro no circuito.

Malha 1: 36 + 36 = 72 (OK)

Malha 2: 72 + 72 + 36 = 180 (OK)

Malha 3: 180 = 60 + 84 + 36 (OK)

Malha 4: 60 = 30 + 30 (OK)

Malha Externa: 36 + 36 + 72 = 30 + 30 + 84 (OK)

Podemos ainda utilizar um outro método de verificação, chamada de “Balanço “Balanço “Balanço “Balanço energético”.

energético”.energético”.

energético”. Esse método baseia-se no princípio da Conservação de Energia: Assim. a somatória das potencias fornecido ao circuito pelos bipolos ativos, devem ser igual somatória das potencias consumidas pelos bipolos passivos.

Potencia gerada (bipolo ativo)

Pg = 180 V x 20 A = 3.600 W

Potencia consumida (bipolo passivo)

PC = V x I 6 6 6 6 Ω

5 55 5 Ω 20 A 20 A 20 A 20 A 30 V 30 V30 V 30 V 84 V 84 V 84 V 84 V 72 V

72 V72 V 72 V 72 V 72 V 72 V 72 V 60 V 60 V 60 V 60 V 36 V

36 V36 V 36 V 8 A 8 A 8 A 8 A 12 A 12 A12 A 12 A 12

1212 12 Ω

6 6 6 6 Ω

1,8 1,8 1,8 1,8 Ω

10,5 10,510,5 10,5 Ω

5 55 5 Ω 30

30 30 30 Ω 180 V 180 V 180 V 180 V 6 A 6 A6 A 6 A 2 A 2 A 2 A 2 A 6 A 6 A 6 A 6 A 6 A 6 A6 A 6 A

30 V 30 V30 V 30 V

6 6 6 6 Ω 36 V 36 V 36 V 36 V 36 V 36 V 36 V 36 V

(42)

41

36 x 6 = 216 W

72 x 6 = 432 W

72 x 12 = 864 W

36 x 20 = 720 W

84 x 8 = 672 W

60 x 2 = 120 W

30 x 6 = 180 W

=3600 W

Pg = Pc

(43)

42

3. CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA 3. CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA 3. CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA 3. CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA (CA)(CA)(CA)(CA)

3. 3.3.

3.1. 1. 1. 1. Tensão AlternadaTensão AlternadaTensão Alternada Tensão Alternada

É uma tensão cujo valor e polaridades se modificam ao longo do tempo. Conforme o comportamento da tensão tem-se diferentes tipos de tensão alternada: quadrada, triangular, senoidal, etc.

De todas essas, a senoidal é a que tem um maior interesse, pois a quase totalidade dos sistemas de geração, transmissão e distribuição de energia elétrica trabalha com tensões e correntes variáveis senoidalmente no tempo. Isso se deve ao fato de:

• A elevação e o abaixamento de tensão são mais simples

Para reduzir as perdas energéticas no transporte de energia elétrica é necessário elevar o valor da tensão. Posteriormente, a distribuição dessa energia elétrica aos consumidores, é necessário voltar a baixar essa tensão. Para isso utilizam-se transformadores elevadores e abaixadores de tensão, de construção bastante simples e com um bom rendimento. O processo de reduzir e aumentar a tensão em CC é bastante mais complexo, embora, hoje em dia, existem sistemas de eletrônica de potência capazes de executar essa tarefa (embora com limitações de potência).

• Os alternadores (geradores de CA) são mais simples e têm melhor rendimento que os

(44)

43

• Os motores de CA, particularmente os motores de indução são mais simples e têm

melhor rendimento que os motores de CC.

• A corrente alternada pode transformar-se facilmente em CC por intermédio de

sistemas retificadores.

3. 3.3.

3.2. 2. 2. 2. Tensão Alternada Senoidal Tensão Alternada Senoidal Tensão Alternada Senoidal (ou simpleTensão Alternada Senoidal (ou simple(ou simple(ou simplesmente tensão alternadasmente tensão alternadasmente tensão alternadasmente tensão alternada))))

É uma tensão variável no tempo conforme expressão matemática e gráfico representativo descritos a seguir.

Expressão matemática representativa:

vvvv (t) = (t) = (t) = Vmax (t) = Vmax Vmax Vmax sensen ((((ωsensen ωωωt + t + t + t + ∝)∝)∝)∝)

Nota: a expressão matemática que descreve as grandezas em regime CA pode ser descritas segundo a função seno ou segundo a função cosseno. Adotaremos em nosso curso a função seno.

Gráfico representativo

T ∝

3π/2

π/2 π

0 2π

v (t)

ωt ωt ωt ωt (rd)(rd)(rd)(rd)

+Vmax

(45)

44

Onde:

Valor Instantâneo Valor Instantâneo Valor Instantâneo Valor Instantâneo ---- v(tv(tv(tv(t)

O valor instantâneo de uma grandeza alternada senoidal. Este valor depende diretamente do instante considerado. Dado em volt (V)

Valor Máximo Valor Máximo Valor Máximo

Valor Máximo ---- Vmax Vmax Vmax Vmax

Também designada por valor de pico, é o valor instantâneo mais elevado atingido pela grandeza (tensão, corrente, f.e.m., etc.). Para as grandezas tensão e corrente, este valor

pode ser representado pelos símbolos Vmax e Imax. Podem considerar-se valores máximos

positivos e negativos. Dado em volt (V)

Ângulo ou fase inicial Ângulo ou fase inicial Ângulo ou fase inicial

Ângulo ou fase inicial ---- ∝∝∝ (referencial)∝(referencial)(referencial)(referencial)

∝ é o ângulo de fase inicial. É evidente que em na figura apresentada anteriormente ∝ é igual a zero. Convém notar que ao variar o eixo dos tempos fisicamente estará se variando o ângulo inicial. Dado em graus (°) ou radianos (rad).

Velocidade ou frequência angular Velocidade ou frequência angularVelocidade ou frequência angular Velocidade ou frequência angular –––– ωωωω

Espaço angular percorrido dividido pelo intervalo de tempo. Dado em rd/s

Lembrando que a todo fenômeno cíclico ωωωω está associado um período e uma frequência

relacionados da seguinte forma:

ω ω ω

ω = 2= 2= 2= 2ππππ.f = 2.f = 2.f = 2π .f = 2π π π / T/ T/ T / T

Período Período Período Período ---- T T T T

Tempo necessário para descrever um ciclo completo. Dado em segundo (s)

Frequência Frequência Frequência Frequência ---- ffff

Esta relacionada ao número de ciclos que ocorre dentro de um intervalo de tempo. Dada em Hertz – Hz (ciclos/segundo).

A relação entre a frequência e o período é então:

(46)

45

Exemplo:

No Brasil, a tensão (e a corrente) da rede pública tem uma frequência f = 60 Hz, correspondendo a um período T = 16,66 ms e a uma velocidade angular ω = 377 rd/s.

Quer isto dizer que a tensão de que dispomos nas tomadas de nossas casas descreve 60 ciclos num segundo, mudando de sentido 120 vezes por segundo.

Convém ressaltar que outros países adotam sua frequência em 50 Hz.

Note-se que o período e a frequência são características comuns a todos os sinais periódicos isto é, não se utilizam apenas em corrente alternada senoidal, mas também em sinais de outras formas (quadrada, triangular, etc.).

3. 3.3.

3.3333 Valor Eficaz Valor Eficaz Valor Eficaz Valor Eficaz (V)(V)(V)(V)

O valor eficaz de uma grandeza alternada é o valor da grandeza contínua que, para uma

dada resistência, produz num dado intervalo de tempo, o mesmo Efeito de Joule

(calorífico) que a grandeza alternada considerada. Dado em volt (V)

No caso de grandezas alternadas senoidais, o valor eficaz é vez menor que o valor

máximo, independentemente da frequência, ou seja:

V= V V= VV= V

V= Vmaxmaxmaxmax/ / / / = 0,707 V= 0,707 V= 0,707 V= 0,707 Vmaxmaxmaxmax

Tomando as expressões da tensão alternada e do valor eficaz temos:

v(t) = Vmax sen (ωt + ∝) (1)

V= Vmax/ (2)

vvvv (t) = (t) = (t) = (t) = V V senV V sen ((((ωsensen ωωωt + t + t + ∝)t + ∝)∝) ∝)

3.4 3.43.4

3.4. . . . Gerador Gerador Gerador dGerador ddde Tense Tense Tense Tensão Alternadaão Alternadaão Alternadaão Alternada

É um dispositivo que impõe entre seus terminais de saída, uma tensão alternada de

(47)

46

Símbolo

3. 3.3.

3.4.1 4.1 4.1 4.1 Geração de uma tensão alternadaGeração de uma tensão alternadaGeração de uma tensão alternadaGeração de uma tensão alternada

No gerador simplificado que aparece na figura abaixo, a espira de material condutor gira através de um campo magnético uniforme e intercepta suas linhas de força para gerar uma tensão CA induzida através de seus terminais (Lei de Faraday). Uma rotação completa da espira é chamada de ciclo. Analise a posição da espira em cada quarto de volta durante um ciclo completo conforme figura abaixo. Na posição A, a espira gira paralelamente ao fluxo magnético e consequentemente não intercepta nenhuma linha de força. A tensão induzida é igual a zero. Na posição B, a espira intercepta o campo num ângulo de 90°, produzindo uma tensão máxima. Quando ela atinge C, o condutor está se deslocando novamente paralelamente ao campo e não pode interceptar o fluxo. A onda de A até C constitui meio ciclo de rotação. Em D, a espira intercepta o fluxo novamente gerando uma tensão máxima, mas aqui o fluxo é interceptado no sentido oposto. Assim a polaridade de D é negativa. A espira completa um quarto de volta retornando à posição A, ponto de partida do ciclo.

vvvv (t)(t)(t)(t)

+

(48)

47

3. 3.3.

3.5. 5. 5. 5. Corrente AlternadaCorrente AlternadaCorrente Alternada Corrente Alternada

Definição análoga à de tensão.

i (t) = Imax sen (kt T l)

I= Imax/ , onde I é o valor eficaz da corrente dada em A .

i (t) = i (t) = i (t) =

i (t) = I I I senI sensen ((((ksen kt T kkt T t T t T l)l)l)l)

3. 3.3.

3.6.6.6.6. Representação Representação Representação dRepresentação ddde e e e uuma Grandeza Alternada uuma Grandeza Alternada ma Grandeza Alternada ma Grandeza Alternada pppporor uororuum Fasorum Fasorm Fasor m Fasor

Denomina-se fasor de uma função senoidal, ao número complexo cujo Módulo é igual ao

valor eficaz da função é cujo argumento é igual a sua fase inicial, assim temos:

ccccomomomomo fasor de f(t) = A o fasor de f(t) = A o fasor de f(t) = A o fasor de f(t) = A sensensen (kt T l)sen(kt T l)(kt T l)(kt T l)

Deste modo podemos representar as grandezas alternas da seguinte forma:

v(t) = V sen (kt T l)

v(t) = Vmax sen (kt T l)

i (t) = I sen (kt T l)

i (t) = Imax sen (kt T l)

A A

B

C

D

3π/2

π 0

π/2

3π/2

π/2 π

0 2π _k_k_k_k_tttt

1 ciclo

= AAAA llll

= VVVV

A AA A

∝ ∝∝ ∝

= VVVV_max_max_max_max ////

A AA A

∝ ∝∝ ∝

====IIIImaxmaxmaxmax ////

A AA A

∝ ∝∝ ∝ ====IIII

A A A A