SISTEMAS LINEARES, UMA SOLUÇÃO NA NORMA CHEBYSHEV

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(1)SISTEMAS LINEARES Uma solução na norma Chebyshev Edméa Cássia Baptista Orientador:Prof. Dr. Marcos Nereu Arenales. Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas de São Carlos, da Universidade de São Paulo, para obtenção do Titulo de Mestre em Ciências da Computação e Matemática Computacional.. São Carlos Dez/93.

(2) RESUMO. Neste trabalho, estudamos o problema de determinar uma solução aproximada de um Sistema Linear Inconsistente, segundo a norma de Chebyshev. A partir de uma motivação em Engenharia Mecânica, denominada Planicidade de Superfícies, modelamos o problema, o qual é resolvido usando uma especialização do método Simplex. Propomos uma estrutura de dados, onde as colunas da matriz do "Modelo Linearizado" são geradas, ao invés de serem armazenadas, e apresentamos alguns estudos computacionais. Finalizando, fazemos a revisão do artigo "Strict Chebyshev Approximation for General Systems of Linear Equations" de J. P. Thiran e S. Thiry,1987..

(3) ABSTRACT. This work studies a problem which consists in to determine a approximate solution of a Inconsistent Linear System according the Chebyshev norm. From a problem in Mechanic Engineering called Flatness of Surfaces, we model the problem, which is solved using a specialization Simplex method. Then we propose a information structure, where the columns of the matrix of the "Linearized Model" are generated not stored. After this we show some computational studies. Finishing, we make a revision on the "Strict Chebyshev Approximation for General Systems of Linear Equations" a paper of J.P. Thiran and S. Thiry, 1987..

(4) À DEUS. Que nos acalentou no limiar da madrugada; nas nossas horas de angústia, cheia de incertezas e saudades, naqueles momentos em que tudo parecia nublado, ELE sempre esteve presente e sabemos que sua força nos ajudou, fazendo-nos chegar à realização que ostentamos agora. A TI que nos deu a aula da vida..

(5) Aos meus pais com amor..

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(8) 4.1.1 Definição de H-Conjuntos e H-Conjuntos Minimais para Sistemas Lineares 38. 4.1.1.1 Propriedades de H-Conjuntos Minimais . 41.. 4.1.2 Caracterização das Soluções ótimas Usando H-Conjuntos Minimais 4.2 Decomposição Canônica da Matriz . 44. 50.. 4.3 Partição do Sistema Relativo a um H-Conjunto Minimal . 54.. 4.4 Troca Entre H-Conjuntos Minimais . 59.. 4.5 Determinação do H-Conjunto Minimal . 68.. 4.6 Algoritmo e Exemplos Numéricos . 70.. 4.6.1 Algoritmo . 70.. 4.6.2 Exemplos Numéricos . 75.. CONCLUSÕES . 85.. BIBLIOGRAFIA . 87..

(9) PREFÁCIO. O objetivo deste trabalho é determinar a solução aproximada de um Sistema Linear Inconsistente, usando a Norma de Chebyshev. Existem vários métodos para solucionar este problema, como o Método de Barrodale e Phillips, o Método de Stiefel, o Método Simplex, entre outros [3]. Neste trabalho fazemos dois estudos, um deles é um estudo de caso, em Engenharia Mecânica, na área de Metrologia, o qual é denominado PLANICIDADE DE SUPERFÍCIES. O outro é um estudo teórico, onde é apresentado um algoritmo para o problema proposto, o qual explora partições do sistema e decomposições da matriz. Para o caso de PLANICIDADE DE SUPEF/CIES, optamos por usar uma especialização do método Simplex, devido à sua simplicidade de implementação e apresentamos alguns resultados computacionais. No Capitulo 1, seção 1.1, fazemos uma introdução ao problema de resolução de Sistemas Lineares Inconsistentes; na seção 1.2, apresentamos o problema de PLANICIDADE modelado. No Capitulo 2, mostramos que o problema aqui estudado pode ser visto como um Problema de Programação Linear e exploramos sua estrutura Dual. No Capitulo 3, desenvolvemos todos os passos da especialização do método Simplex, aplicado ao problema de Planicidade e fornecemos um algoritmo estruturado, bem como, os resultados computacionais obtidos. 1.

(10) por esse método, comparados com os resultados obtido pelo método dos Mínimos Quadrados. Finalmente, no Capítulo 4, fazemos a revisão do artigo: "STRICT CHEBYSHEV APPROXIMATION FOR GENERAL SYSTEMS OF LINEAR EQUATIONS", de J.P. Thiran e S.Thiry, 1987, onde demonstramos vários teoremas propostos no artigo.. 2.

(11) CAPITULO 1 INTRODUÇÃO. Neste Capitulo introduzimos o problema a ser estudado neste trabalho e fazemos uma aplicação em Metrologia, como motivação.. 1.1 Definição do Problema.. Consideremos o sistema de equações lineares: A x = b,. (1.1). onde: A E Rm", b E Rm e x e Rn. Suponhamos, entretanto, que o sistema (1.1) seja inconsistente, isto é, não existe X E Rn tal que a igualdade se verifique. O problema a ser abordado neste trabalho consiste em determinar uma solução X E Rn,. a qual minimiza a norma de Chebyshev do vetor. resíduo, dado por:. r(x) = b - A x.. Ou seja, queremos determinar X E Rn tal que. 3.

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(13) onde [a. R. ]. E. IR2 .. As Fig. 1,2 e 3 ilustram o comportamento para a solução, com diferentes normas escolhidas:. 1 1. E 1 m. - Norma L : O r(a,R) 1. r i(a,R) I.. 1=1. y reta ajustada. > x FIGURA 1. Solução referente à norma. L1. Neste caso, a solução obtida interpola os dados em pelo menos dois pontos, isto é, pelo menos duas equações são satisfeitas com Igualdade.. E m. - Norma. L : 11 r(a,R) 2. (r II2 =[ 1=1. 1/2 ( 1. ,. )) 2J. Y reta ajustada. x FIGURA 2. Solução referente à norma. L2.

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(15) Aproximamos a superfície por um plano, denominado Plano Médio o qual é paralelo aos Planos de Controle, como vemos na Fig. 4.. Planos de Controle. Superficle. 2z Plano Medi. o. FIGURA 4. Representação de Planicidade Para determinar a PLANICIDADE de uma superfície (x,y,h), onde h é a altura correspondente às coordenadas (x,y), procedemos como segue. Definimos uma malha de pontos onde a superfície será medida, isto é, ao invés de termos h = h(x,y), teremos , hi= h(x l, y1 ), (Fig.5).. >x. FIGURA 5. Discretização da superfície. 7.

(16) As equações dos planos que constam da Fig. 5 são dados por:. - Plano Médio: h = ex + Ry + 7 o - Planos de Controle: h = ex + Ry + y + z h = ex + Ry + y - z. Pela definição de Planos de Controle, temos: h = ex + Ry 1. +y+zkh. h = ex + Ry + y - Z 5 h , 1 ou seja, h -z ex + Ry. + y Is. h+ z, 1 i m. (1.3) 1. Para quaisquer valores de a, R, y e z em (1.3), temos que a superfície está contida entre os Planos de Controle. Queremos minimizar a distância entre os planos de Controle, sujeito a (1.3), isto é queremos resolver o problema:. min z s.a. h -z 5 ex + Ry + T. 8. 5 h+ z,. (1.4).

(17) com 1 5 1 m.. Note que (1.3) pode ser escrita equivalentemente por:. -z cx + Ry. + y - h Is z, 1 5 i 5 M,. 1 1 1. ou seja, 1 CX + Ry +y — h15 Z, 1 515 M. 1 1 1. O problema (1.4) é, então, equivalente a:. min { maxicx + Ry +T-hl , 1 .-sim, 1 1 i. ou, ainda, Min fl zfl. s.a. X01-z= h. e. onde:. E. Rmx3, (51. E. R. 3. (1.5). h 1 h= h. E. aRm e. 1. 1 E. z. IRm.. m. Conforme apresentado em (1.2), (1.5) é o problema de determinar a solução de Chebyshev . Assim, mostramos que o problema de determinar a.

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(20) ou seja, min s.a. -ze b - Ax ze ou ainda,. min. t onde e = (1, . . , 1). J L. J. e x l 1. s. a.. -A A e. E. b. (2.2). -b. IRm.. O problema (2.2) pode ser resolvido por métodos de Programação Linear, como, por exemplo, o método Simplex.. 2.2 O Problema Dual.. Ao problema (2.1) temos associado o seguinte problema dual 3]:. max s.a.A. onde À. E Rm,. t t. b. =O. (2.3). o qual é um problema com restrições lineares por partes.. Podemos linearizar (2.3), fazendo À = À+- À-, onde À 4.k O, À- 2: O, obtendo o seguinte problema de Programação Linear:. 12.

(21) max (À+ ) tb -(À - ) tb t +. s.a. A À. t -A À =O. É r i À 4" + À - = 1. (2.4). 1.1 1=1. x +k O, x- k o O problema (2.4) pode também ser obtido tomando-se o dual de (2.2) ( 3]. Neste trabalho, aplicamos uma especialização do método Simplex ao problema (2.4). Observamos que, apesar de trabalharmos com o problema linearizado, somente a matriz At e o vetor b precisam ser armazenados ao aplicarmos esta especialização do método SIMPLEX, pois trabalhamos com um sinal para identificarmos a variável À: ou X. Os passos da especialização do método Simplex aplicado especificamente ao problema de Planicidade, bem como seu algoritmo, serão detalhados no Capitulo 3..

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(23) Observamos nesta seção que, devido à estrutura de dados do problema não será necessário armazenarmos a matriz X, e fornecemos um procedimento para gerarmos as suas linhas. Como vimos no Capítulo 1, seção 1.2., ao fazermos a discretização de uma superfície, a cada ponto (x ,y ) corresponde uma cota hk. Os I .1 pontos (x ,y ) são obtidos da seguinte maneira: j x = O, y = O, o o x =x + Ax, i 0,1, = . . ,M -1 1+1 1 h. e. = . ,M -1, y 1= y + Ay, j 0,1,. onde:M ENéonúmero de medidas feitas na horizontal;M Efléo h. número de medidas feitas na vertical; k = 1, ... (M * M ), sendo h. (M * M ) o número total de pares (x ,y ), ( Fig. 6). h v. 1 J. •••. (mv-1)Ay. (1Ax,jAy). JAy. 2Ay. lAy. O 1Ax 2Ax. 1Ax (mh -1 áx. FIGURA 6. Discretização da superfície em termos de Ax e Ay. 15.

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(29) B' = ( B ; s u ). 1 ' 48 4. ..,3X3 A submatrizBédada porB= su su sui E irx e 1 1 1B 2B 3 B 1 2 3. posto(B ) = 3, conforme construção efetuadas na seção 3.2. 1 Então, a matriz B em (3.2) pode ser reescrita da seguinte forma:. B - [. B 1. su. 1 1 1. 1. 4. B. 41.. (3.6). Como posto(Bi) = 3, concluímos que B1 é inversível. Aplicando Eliminação de Gauss em bloco à matriz (3.6), com o objetivo de zerar a última linha temos :. B 1 [ 1. 1 1. B 1. S ll 1 4 B 4 ~ í. 1. O. OO. SU 48 4 . t -1 1- (1,1,1) (B ) s u 1 48 4. Sabemos, por construção, que:. ,. = - ( B ) is u-).-. O, 1 4 B 4. então, 1 - (1,1,1)t (B ris U 2: 1. 1 4 B 4. 21.

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(33) . „ .. h+ s- O e h+ -.5. O, N N i .1 com 1 5 j 5 (m-4), ou seja, -a 5 AUX 5 a. Caso a factibilidade seja violada, isto é, caso ocorra:. AUX > a ou AUX < -a,. devemos fazer a variável que mais viola a factibilidade fazer parte da nova base.. 3.4.1 Observação.. Se 2I+ (ou À- ), para qualquer i, fizer parte da base, B B i t mostraremos que o custo relativo associado a X-- (ou À+ ) é não B B. 1 t. positivo, e portanto não é candidato a entrar na base. Temos, então, as situações:. 1) A variável À+B , é básica. i. Calculando o custo relativo associado a X.." , temos: B. 1. O, - a=. kj+ = h - et B B 1 1. 25.

(34) ou, equivalentemente,. _et. h 1. X 1. = a.. (3.11). 1. Calculando o custo relativo associado À , temos: 1. B t i h = - h - e y B. B 1 I. - a ,. í x. de onde segue, por (3.11), que:. h = -a - a = -2a -s. O,. pois a a O.. 2) A variável À- , é básica. 1. Calculando o custo relativo associado a : B. h- = -(11 - e. 1. - a = O,. B1 B i. ou, equivalentemente,. 26.

(35) t. X B. i y = -a . hB - 9 í B 1. (3.12). 1i. + Calculando o custo relativo associado a À : B. 1. B. hs+B = h. YB - (I ,. B i i . i 1. usando (3.12),. h+B = -a - a = -2a O, I. pois a k O. Portando calculamos somente o custo relativo das variáveis não básicas A.4. e. 3.5 Algoritmo Simplex Aplicado ao Problema de Planicidade.. O algoritmo apresentado é uma especialização do algoritmo Simplex. Levamos em consideração que o problema sempre tem solução ótima pois o zero é um limitante inferior para o problema.. 27.

(36) Inicio .Determinação de uma solução básica inicial conforme seção 3.2 .PARE FALSO .ENQUANTO ( NÃO PARE ) faça Inicio { solução básica corrente } .Seja. B. a matriz básica e a solução básica factível. associada, dada por:. (seção 3.2) 1 verificação da otimalidade } -1) Cálculo do vetor multiplicador (solução Primal). t B II = h. (seção 3.3). -ii) Cálculo dos custos relativos Para 1. 5 j 5. (m-4),. t h = h -U u. (seção 3.4). - iii) Teste de Otimalidade Se. h = Max h+ e h- , 1 Is j :Is (m-4) } 1 P1 P1. 5. 0. j. A solução corrente é ótima. PARE <- VERDADE. Senão. 28.

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(45) Observamos que os resultados computacionais fornecidos em 41, do qual foram extraídos os exemplos 5, 6 e 7, coincidem com os resultados obtidos quando utilizamos a especialização do método Simplex, sendo que o referido artigo, faz uso de outro método. Neste Capitulo, estudamos um método para resolver o problema de Planicidade, o qual, nos forneceu resultados computacionais satisfatórios, de acordo com as comparações feitas nos exemplos da seção 3.6. Ressaltamos que, as soluções fornecidas nos exemplos da seção 3.6 não são exatamente a Planicidade das superfícies pois, observando a fig 05, Capítulo 1, verificamos que a menor distância entre os planos não é z. Portanto, a solução só coincidirá com a Planicidade, se os planos forem paralelos ao plano xy, caso contrário, devemos calcular a distância entre os planos de controle, cujas equações são fornecidas pelo algoritmo da seção 3.5, recorrendo a (10]. Quanto ao tempo computacional, podemos dizer que a diferença entre os dois métodos é satisfatória, levando em conta o fato dos métodos serem diferentes, a precisão do método Simplex e o tempo que se leva para obter as medições. No próximo Capítulo, estudaremos um método para resolução de Sistemas Lineares Inconsistentes, o qual explora decomposicões da matriz e partições do sistema..

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(54) t cr s s u d > O, 1. J e, consequentemente, x é uma solução de Chebysnev para o sistema. 44.. ii) Sejaxasolução de Chebysnev paraosistemaAx=be suponhamos que não exista um H-Conjunto Minimal com os sinais especificados. t Então, O D, onde D é o casco convexo de vetores s u , i E E(x). i Ah. Pelo Teorema do Hiperplano Separador [13,capitulo 11, existe d E Rn tal que: /4. t s u d > O, i e E(x). I. Logo, vem: A. t. ) Para 1 E E(x), temos:. r (x + T d) 1 = t " b - u (+ r d) 1 = t " t b -u X - TU d 1 = 1 1 1 (x) - -r ut d 1 = t s H r (x) H - • u d I = = 1 H r (x) H - T S. se, O < T <. 2 H r(x) II t max( s u d) 1 E (x). 46. t. J 1. d 1 < H r (;) H,.

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(56) II r(x. +. r d) 11 = 1 r (x 1. + T d) 1 =. = r (x) - -r u d 5 1. 1 5. r(x)1 + it u d. max 1 r(;)1 + r max 1 ut d 1 < 11 r(x) 11, 1 g E(x). 1 g E(x). ( II r (x) max 1 1r (x) 1 ) 1 E(x) se 0 <. T <. t max ju d 1 E(x). uma vez que max 1 r (x) I + rmax 1 ut d 1 < 11 r (x) 14. E(x). 1 g E(x). Logo, temos: A. T. A. max 1 ut d 1 < II r (x) II - max 1 r (x) 1, 1 g E(;). 1 E(x). de onde segue que. A. ( H r (x) H -max Ir (x) 1 ) 1 E(x) 0< t<. t max 1 u d 1 t 1 E(x) A. Então, se. T >. O é suficientemente pequeno, o fato de x ser uma solução. de Chebyshev paraAx=béum absurdo, pois sempre temos disponível uma direção d de descida.. 48.

(57) Portanto, existe um H-Conjunto Minimal com os sinais já especificados. De i) e ii), temos a prova do teorema... Portanto caracterizamos uma solução de Chebyshev por. t b -u x=s a, 1 sjs p+1, i I . .1 .1 J. (4.7). onde a é definido em (1.2) e s = sinal T, COM T resolvendo (4.2). .1 .1 Observando que dimensão do Ker de St é igual a 1 , considerando a t Propriedade 1 , normalizamos Tt E ker S por 1-1 =1. .1 .1 Então de (4.2), vem: t Cr S = O, 11(711= les = sinala. , 1 J .1 e de (4.7), obtemos: t x = s a, 1 s j 5 p+1. b u 1 1. J ) J Logo,. p+1 p+1 p+1. E. t. x =T s a, 1 s j 5 p+1, b - T U j i j 1. 7 J .1 J j=1 .1= j=1 T. o que acarreta. 49.

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(62) Efetuando o produto entre as duas primeiras matrizes, obtemos a decomposição:. E-1. E. or,d-r. -G. í E EF = [. GE GEF 1. 1 d-r. I F r (4.11) O O d-r,r d-r,e-r]. t Trabalhando com D , substituímos E, F e G, respectivamente, por t t t E , F e G , produzindo a decomposição :. D. 1 = í 1 O í E-1 -F r r,e-r (4.12) O. G. e-r ,r e-r]. od-r,e-r /. Essas matrizes fornecem as informações necessárias para a próxima seção. Por exemplo, (4.11) e (4.12) mostram que as colunas t [-G etores básicos de ker Dt e ker D, I ] e [-Ft I It são v e-r d-r respectivamente.. 4.3 Partição do Sistema Relativo a um H-Conjunto Minimal.. Nesta seção, estudamos como particionar o sistema relacionado a um H-Conjunto Minimal e calcular a solução de Chebyshev para o sistema já particionado. um 11-Conjunto Minimal para a matriz A Sejam I = {ii, . , i )p+1 54.

(63) t e S = (u , , u ] a matriz associada, de (p+1) linhas por n i i i p+1 colunas, tal que posto(S) = p. Aplicando a decomposição descrita na seção 4.2 e permutando de maneira conveniente as colunas, podemos escrever S como:. S = [ Q R ], com: R = QU, Q E IR (P+1)xP e U E IRPx(r"). (4.13). onde as colunas de U representam os vetores coordenadas das últimas colunas de S, em termos da base formada pelas primeiras p colunas. Ordenando as linhas de A convenientemente, suponhamos que as primeiras t linhas de A pertençam ao espaço linha de S. Então, reescrevemos A da seguinte maneira:. onde,. , u ]t , T-7 ru p+2 t. p+1. s, p+2 -.5 i com u 31 = i i i E j=1 matriz S, ou seja,. 5. t, e s denota a j-ésima linha da i. t u = A S,. onde A. t. i = [a , . • r ai 1. p+1. 55.

(64) Assim,. S'= A S,. onde A = í. Como S = [Q QU], S' pode. ser escrita na forma:. s'= [A AQU .. Portanto,. s, AQ AQU QU I. Chamando Q. = T,. AQ. temos:. - T S' s. 56. TU.

(65) onde, T E Rt" e a matriz T TU j reúne as linhas de A que estão no espaço linha de S. Deste modo, podemos escrever:. T: I. A = í v. onde: V E IR. (4.14). (m-t)xp (m-t)x(n-p) e W e IR. Podemos decompor a matriz A da seguinte maneira:. v. TU. O. Ip. O. 1 n-P,P-11 n-P. t,n-P. W - VU. -U. onde K = I • í O n-p,p n-p. Seja o espaço gerado pela matriz S dado por: (s ts = [s t.12 3tQuI }. [S] = ( x / x =. Suponhamos que a matriz W - VU tenha uma linha nula, dada por:. wt -. t v U = O,. então, temos:. t =vt U. w. 1. 57.

(66) e, portanto, ( v, wti ) = (. t Q 3tQU ) E (S],. o que é um absurdo. Logo, W - VU não tem linhas nulas. Temos, então, o seguinte sistema transformado para Ax = b: A K K ix = b. n-p -1 onde y E RP e Z E R , temos: Chamando K x , =. O. t,n-p. c. zy. W VU onde C E R. t. e dE R. m-t. di '. .. Computamos a solução de Chebyshev para o sistema Ty = c, o qual tem posto coluna completo p e o menor número de variáveis em relação ao H-Conjunto Minimal dado. Aplicamos recursivamente o mesmo procedimento para reduzir o sistema: ( W - VU)z d - Vy -,. fazendo Ã =. W - VU E exn e 1-) = d - V; E Rm, temos: A z = 5,. comm=m-ten=n- p.. 58. (4.15).

(67) Portanto, a solução para o sistema original é:. I. x=K =. -U. n-p,p. ". y - Uz. ][11. n-p. z 1'. isto é,. z. í O "4" í n-p. (4.16). n-P. A partição da matriz aqui apresentada depende da escolha do H-Conjunto Minimal. Um procedimento para a escolha deste será apresentada na seção 4.5.. 4.4 Troca entre H-Conjuntos Minimais.. O algoritmo que desenvolveremos na seção 4.6, tem como objetivo determinar o ótimo do problema (1.2), o que corresponde ao desvio máximo entre todos os H-Conjuntos Minimais. Verificaremos que o algoritmo aumenta o desvio a cada passo. Assim, serão importantes as trocas entre H-Conjuntos Minimais relativos a sistemas sucessivos, as quais serão descritas nesta seção. Consideremos, para a matriz. A,. um H-Conjunto Minimal. I = {i, }. Essa matriz pode ser decomposta como (4.13); além 1 p+1 disso ela satisfaz (4.2). Em I, temos que o desvio é dado por (4.8) e que 1. 5 t , onde 1 k 5 p+1. Tomemos, agora, para a matriz k , r- }, cujos índices Ã = W - VU, um H-Conjunto Minimal I = {1, 1. p+1 _ A. Portanto, temos que 1 5 i 5 m, onde correspondem às linhas de. 59.

(68) 15. k p+1, e os índices correspondentes para linhas de A são: i = t + , COM 1 k p+1. k. Podemos escrever a matriz S. R. E. (p+1)xn. associada a Ã, como:. ã - f5u, (p+i)xp onde, Q E IR. _. e. (p+1)xn. ÉE. são submatrizes de V e W dadas. em (4.14), respectivamente. O desvio je em 1 é dado por:. p+1. ET. a b= k-1 -. k. O,. (4.17). k=1. com 5 = d -. -tEsse desvio é tal quej-t= [jr1, . . ,T- ] satisfaz T S= O, com a p+1. condição de normalização. E la.1cI=1.. Podemos combinar as p+p+2 linhas da matriz. A,. as quais são. relacionadas a I e I, obtendo:. (4.18). P =. a qual é equivalente a:. 60.

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(71) o. O—. p+1. P= 0,. (4.23). O'. considerada a condição (4.20). Lembrando que 5= d - Vy e d- = b com, j = t + i reescrevemos ' lc Jk (4.17) da seguinte forma: p - +1. a. =E. cr b — k j. —t —. e•. Q y,. k. k=1. onde Q é a submatriz de V associada a I. Do resultado apresentado em (4.21), segue que: p - +1. t b +T Q y. = k j k=1. Por (4.7), a k-ésima componente de Qy é b. ik. (4.20), temos: p+1. cr -. b + T (b -sa 1. k J • k=1. ),. ou seja, p+1. P41 p+1. = jr- b + Tb- Tsa, k 1 k k k J • k=1 k=1 k=1. ou, ainda,. 63. 9k. a; assim usando.

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(74) . Q i o _ 1=. t [u. v. o,. p-chn. t. Õ ã. í. .. onde Q1 é a submatriz de Q correspondente a I\I, u. E ge—q. e v. E. R'.. Esta relação implica que. ot] ã . o,. [vt. e pela propriedade 4 , temos v = O. t l Temos, então, que u Q = O e, pela mesma propriedade, segue u = O. * * Portanto, posto(S ) = p. * * Provaremos, agora, que o desvio a em I é maior que a.. Juntamente com (4.25), consideremos a seguinte função:. p+1. + et Eco-k k k=1. a(9) -. I. — p+1. b + O 'ri- b 1. k k=1. (4.26). p+1. p+1. E 1 Cr. k j k. k 4- et k. I. +Eiecr-k. I. k=1. k=1. onde devido a (4.8) e (4.24), o numerador é:. ETk k=1. _ p+1. p+1. p+1. b. I.. k. + EOTk k=1. b. 1. +EO k k=1. 66. j .1c. b. j. = k.

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(77) . O u,n+1 -u. B= [-L. onde Y E Ruxu, L E R. n+1 -u. (n+1-u)xu. (4.30). o. 1.. n+1 -u,u. ux(n-u). eZ ER. t(n+1)x(n+l-u). Observamos que cada coluna de [-L I ] e R. ,. e um. vetor da base do Ker(Bt ), onde um desvio pode ser calculado usando (4.8).. iii)Selecionamos uma coluna que produza o desvio máximo e t descartamos todas as colunas de B que estão associadas com uma coordenada nula deste vetor do Ker(Bt ).. iv)Devido a Propriedade 1, a submatriz resultante B é a matriz (p+1)xn SE R de um H-Conjunto Minimal I = (i com p > O, de 1 p+1. acordo com Propriedade 3.. CASO 2: m 5 n.. Nesse caso, temos que B = A e, portanto, posto(B) = posto(A) = r. Se r < m, usamos a mesma técnica do caso 1 para obter I e S; Se r = m a matriz tem posto linha completo e portanto não existe 11-Conjunto para A. OsistemaAx=béresolvido exatamente pelos vetores (4.16) e o correspondente desvio a é nulo. Na próxima seção, veremos o algoritmo do método proposto para a. 69.

(78) resolução de sistemas lineares.. 4.6 Algoritmo e Exemplos Numéricos.. Apresentamos, agora, o algoritmo para resolução de sistemas de equações lineares e alguns exemplos numéricos.. 4.6.1 Algoritmo.. Nosso algoritmo usa algumas rotinas, as quais são apresentadas a seguir:. Rotina Zero. Inicio (0) Selecione t equa9oes relacionadas a vetores linhas nulas de A; Particione A e b (1) (1) (1) (0) (1) m Rm xn. e b E IN • A --. [(3 (1)], b 4d(1)1; com AME A b (0). (1). m (- m - t. ;. (1). n <- n;. (0) = U d(0) H.. Calcule a. Sistema para resolver A. (1). (1). X R% b. Fim.. 70. ..

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(84) A. (1). í 1 1 =. e. -1 1. í 1 1 . b(1) =. 1 j. Determinamos (0) { 2 )e a =. (0) I =. (0) = 1. d. (1) Como a matriz A é não singular, o sistema portanto tem solução. única, dada por. x=(. 1, 1 ),. (1) (1) com I { 1, 3 ) e a = O. Observamos que o conjunto I") não é um H-Conjunto para A.. EXEMPLO 2: Se a matriz A tem posto completo e os desvios são tais que (o) (1) a(2) aa, temos a unicidade da solução de a s a Chebyshev. Isto acontece quando aproximamos t. 2. + t. 2 2. por um polinômio de. grau dois no seguinte espaço { 1, tl, t2). No conjunto {(0,0),(-1,0),(1,0),(0,1),(0, -1)), obtemos, o sistema:. A x b. O. 0. O. 1 -1. 1. 1. 1. e. b=1. 1. 1. 1. O.. 1. 1. 1. O. -1. 1. onde A =1. 76.

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(86) t"(1) Usando equação b u x s a, vem: 1 - i. í 1 11 1j. 1 1 1 1. -1 1 O O. O 1 O 1 1 -1. C-i. x. i 1 1 1 -1 11 x = 2 1. X. 3. 13 '. 1. de onde segue que:. x. (1) (1,0,0) e r(;) t= (-1,0,0,0,0).. Portanto, II r(x) II "",. e i=1 entra no conjunto I") . Usando (4.22), temos, que 1 T (O, = O, --. 1 2 ' 2. ). = 4,5 ). Assim, o novo H-Conjunto Minimal é dado por I (1)-- (1,2,3), o que acarreta. í 1 O. o. S=1 -1 1 1. = Oo. Usando o procedimento do seção 4.5 temos:. 78.

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(88) Cr. (2). (2). = 0,1) ,a. =. 1 (2) ex =x 0. = 2 3. Portanto, como (1) (2) 1 a =a =. temos a solução, ísc t = 21 ,. O , 0],. com o resíduo:. 1 1 1 1 . 1 2 ' 2 ' 2 ' 2 2 ]. r(;)-[. EXEMPLO 3: Para sistemas com posto coluna deficiente, a aproximação é uma variedade linear, conforme (4.32). Resolvemos o sistema: A x ••=, b, onde 1. O A= O 0.01 í. 1. 1 O O. 1. 1 0.2 O. 1. 1. 1 0.2 O. 1 0.2 O. 1 1 0.2 O. e b=. o. -0.2 1' o. que exemplifica essa situação.. Resolução:. Aplicamos o procedimento da seção 4.5 para decompor a matriz A,. 80.

(89) . produzindo: 1 1 1 O 1 1 B = O 0 0.2 0.01 O O. 1 1 1 1 1 1 í 0.2 0.2 0.2 O O O. YZ LZ. LYZ. Escrevendo as três últimas colunas de B como combinação linear da base formada pelas duas primeira, obtemos:. 0• O z=íO O O O . 1 1 1. Do mesmo modo, para a última linha, temos:. L = [ 0.01 -0.01 O ). Como a terceira componente de L é nula, descartamos a terceira linha de B, obtendo, então, de acordo com (4.13), as matrizes:. 1 1. 1 I(1) . (1,2,4), S O = [0.01 O. 1 1 1 1 1 1 1 1 e crt=(-0.01 0.01 1), 0000 I. 1 1 onde Q O = 1 [0.01 O Escrevendo as últimas colunas de S em termos da base formada pelas duas primeiras, obtemos:. 81.

(90) 000001 U = 1. e de. t O' , obtemos. 1. 1. 1. t o vetor sinal s = (. Aplicando a decomposição da seção 4.3 à matriz A obtemos,. 1 1 0 1 A= [0.01 O O O. 1 1 1 1 1 1 1 1 0000 0.2 0.2 0.2 0.2. TU. - V -. çi •. Resolvendo o sistema (1) (Q ;C =b,. onde (Q. 1. 1. -1. s) =O. 1. 1. O. 1. í0.01. ;s( 1 1. , ; (1).. X L 0. , b = O. í -8O 1. obtemos. (1). t. 8 0.08 0.08 1.02 1.02 ' 1.02 '. Como. "(1) II c - Tx II. - 0.08 (1) a , co 1.02. 82. "(1) e x ..

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(92) Logo,. -8. x=. 1.02 0.94 1.02 -1 0 0. 0 0 0. o. e. r(; )t. 0.08 = 10.08 0.08 O 11.02 ' 1.02 " 1.02. Os exemplos aqui apresentados, são pequenos e não foram resolvidos com auxilio do computador, pois, optamos por implementar a especialização do método Simplex, como visto no Capitulo 3, ao invés de implementar o algoritmo dessa seção..

(93) CONCLUSÕES. Vimos, neste trabalho, que o problema de determinar a solução aproximada de um Sistema Linear Inconsistente pode ser resolvido através de um problema de Programação Linear. Em relação ao estudo de caso, Planicidade de Superfícies, verificamos que a especialização do método Simplex produz, sempre, uma solução "melhor" do que a fornecida pelo método dos Mínimos Quadrados. Além disso, ressaltamos a simplicidade de aplicação do método Simplex, a estrutura de dados do problema que nos permite economizar memória, devido ao fato de podermos gerar as linhas da matriz das restrições e a economia de tempo computacional obtida, ao selecionarmos colunas linearmente independentes associadas aos maiores valores das medições. Entretanto, o tempo computacional do método dos Mínimos Quadrados é "menor", mas levando em consideração que a solução fornecida pelo método Simplex é melhor, as diferenças entre os métodos e o tempo gasto para obter as medições ser grande, concluímos que a diferença de tempo é totalmente aceitável. Do ponto de vista da Planicidade de Superfícies, é considerado um erro de 3% para a solução fornecida por qualquer método, devido a "Erros de Medição". Portanto, só condideramos que a solução fornecida pelo algoritmo da seção 3.5 é significativamente melhor do que a dos Mínimos Quadrados, se a diferença entre elas é de pelo menos 3%. Por isso, na seção 3.6, fizemos algumas variações nas medições feitas em [1.1], e observando as tabelas, podemos verificar que a condição dos 3% foi satisfeita nos exemplos de 2 à 7.. 85.

(94) Finalmente, no Capitulo 4, apresentamos a revisão do artigo [12], o qual explora decomposições da matriz e partições do sistema , onde fornecemos a prova de vários teoremas propostos, bem como o algoritmo do método estruturado. Ressaltamos que este algoritmo, do ponto de vista computacional, é dispendioso, devido às suas comparações de soluções e trocas..

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(96) [ 91 RICE, J.R.. The Approximation of Functions. Mass, Addison-Wesley,. 1969. [10]. RIGHETTO, A.. Vetores e Geometria Analitica. Passos, Ivan Rossi,. 1976.. [11]. SATO, D.P.V. & BICUDO, L.A.M.C. desempeno. São. Medição da Planicidade de um. Carlos, 1992. 20p. (Relatório-Faculdade de. Engenharia-USP). [12]. THIRAN, J.P. & THIRY, S. Strict Chebyshey Approximation for General Systems of Linear Equations. Numer. Math, 51, p.701-725, 1987.. [13]. WATSON, G.A. Approximation Theory and Numerical Methods. York, John Wiley & Sons, 1980.. 88. New.

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