Análise dos métodos de diferenças finitas e expansão rápida na migração reversa no tempo

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ANÁLISE DOS MÉTODOS DE

DIFERENÇAS FINITAS E

EXPANSÃO RÁPIDA NA

MIGRAÇÃO REVERSA NO

TEMPO

EDVALDO SUZARTHE DE ARAUJO

SALVADOR BAHIA

SETEMBRO 2009

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por

Edvaldo Suzarthe de Araujo

Bacharel e Licenciado em Física (Universidade Federal da Bahia - 2007) Orientador: Prof. Dr. Reynam da Cruz Pestana

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

Submetida em satisfação parcial dos requisitos ao grau de MESTRE EM CIÊNCIAS

EM GEOFÍSICA

à

Câmara de Ensino de Pós-Graduação e Pesquisa da

Universidade Federal da Bahia

Comissão Examinadora Dr. Reynam da Cruz Pestana Dr. André Bulcão

Dr. Raimundo Mesquita de Luna Freire Aprovada em 18 de setembro de 2009

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Q999 Araujo, Edvaldo Suzarthe de,

Análise dos métodos de diferenças nitas e expansão rápida na migração reversa no tempo / Edvaldo Suzarthe de Araujo. Salvador, 2009.

48 f.: il., mapas, fotos.

Orientador: Prof. Dr. Reynam da Cruz Pestana

Dissertação (Mestrado) - Pós-Graduação em Geofísica. Insti-tuto de Geociências da Universidade Federal da Bahia, 2009.

1. Bahia - Geofísica. I. Título.

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A migração reversa no tempo é considerada o método mais preciso de se fazer migração de dados sísmicos. Entretanto, sua principal restrição é alta demanda computacional requerida por esse método. Portanto, métodos numéricos que aceleram a extrapolação do campo de onda são particularmente importantes. Nesta dissertação, fazemos um estudo da utiliza-ção dos métodos numéricos de diferenças nitas e expansão rápida na migrautiliza-ção reversa no tempo. Discutimos também, as condições de estabilidade e dispersão numérica do método de diferenças nitas e fazemos uma análise das expansões de Taylor e Chebyshev para a função cosseno, uma vez que esta função aparece na solução analítica da equação da onda no domínio do tempo.

Neste trabalho, demonstramos que a partir do método de expansão rápida aplicado na solução analítica da equação da onda é possível obter a solução da equação da onda que utiliza aproximações de diferenças nitas de qualquer ordem no tempo. Além disso, mostramos que a grande vantagem do método de expansão rápida é que ele permite realizar a extrapolação do campo de onda usando um intervalo de amostragem temporal maior do que o utilizado pelo método de diferenças nitas na migração reversa no tempo.

Para avaliarmos o desempenho dos métodos numéricos utilizamos os dados de afasta-mento nulo do modelo SEG/EAGE, cuja frequência máxima é de 45Hz e com intervalo de amostragem temporal de 8ms. Usando o método de diferenças nitas conseguimos imagear com boa precisão os dados reamostrados para 2ms e 4ms. Já com o método de expansão rápida foi possível realizarmos a migração dos dados originais, com uma redução signicativa no tempo de processamento. Também aplicamos esses métodos numéricos num dado simples a m de observarmos o efeito da dispersão numérica e testamos com sucesso o método de expansão rápida na migração reversa no tempo de famílias de tiro comum.

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The reverse-time migration is considered the most accurate method to perform seismic mi-gration, but its limited by high computational requirements. So numerical methods that accelerate the extrapolation of the wave eld are particularly important. In this thesis, we study the use of numerical nite dierence and rapid expansion methods in the reverse-time migration. We also discuss the conditions of stability and numerical dispersion for the nite dierence method and we make an analysis of the Taylor and Chebyshev expansions for the cosine function, since this function appears in the analytical solution of wave equation in the time domain.

In this work, we demonstrated that the rapid expansion method applied in the analytical solution of wave equation can provide the same solution of the wave equation using nite dierence approximations of any order in time. We show also that the great advantage of the rapid expansion method is that it can be used to extrapolate wave elds with a sampling interval time greater than normally used by the nite dierence method in reverse time migration.

To evaluate the numerical perform of these methods we used the zero-oset dataset of the SEG/EAGE model which has as maximum frequency 45Hz and time sampling interval 8ms. Using the nite dierence method we image with good accuracy the dataset resampled to 2ms and 4ms. However, with the rapid expansion method was possible to migrate the original data with a signicant reduction in processing time. We also use these numerical methods in a single data in order to observe the eect of the numerical dispersion and tested with success the rapid expansion method in the reverse-time migration method of a common shot dataset.

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Resumo . . . 5 Abstract . . . 6 Índice . . . 7 Índice de Figuras . . . 9 Introdução . . . 12 1 Conceitos Básicos . . . 15

1.1 Propagação de Ondas Sísmicas: Denição e Princípios Básicos . . . 15

1.2 Conceitos Geométricos Fundamentais . . . 16

1.3 Equação da Onda . . . 18

1.4 Operadores de Diferenças Finitas . . . 19

1.4.1 Aplicação de Diferenças Finitas na Equação da Onda . . . 22

1.4.2 Estabilidade Numérica . . . 23 1.4.3 Dispersão Numérica . . . 26 1.5 Transformada de Fourier . . . 29 1.5.1 Estabilidade Numérica . . . 31 1.5.2 Dispersão Numérica . . . 31 2 Métodos de Migração . . . 33 2.1 Migração Sísmica . . . 33

2.2 Extrapolação do Campo de Ondas . . . 33

2.3 Condição de Imagem . . . 34 2.4 Métodos Espectrais . . . 34 2.4.1 Migração Stolt . . . 34 2.4.2 Migração Phase-Shift . . . 36 2.4.3 Migração PSPI . . . 37 2.4.4 Migração Split-Step . . . 38 7

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2.5 Migração Kirchho . . . 40

2.6 Migração Reversa no Tempo - RTM . . . 45

3 Uma Solução Precisa da Equação da Onda . . . 52

3.1 Solução Para o Caso Homogêneo . . . 54

3.2 Solução Para o Caso Não Homogêneo . . . 55

3.3 Método de Expansão Rápida (REM) . . . 56

3.4 Solução Com o Termo Fonte Usando o REM . . . 59

3.5 Derivando a Solução de Diferenças Finitas do REM . . . 60

3.6 Termo Fonte . . . 64

4 Migração de Dados Sísmicos . . . 69

4.1 Migração Pós-Empilhamento . . . 69

4.1.1 Modelo Calha . . . 69

4.1.2 Discussão dos Resultados Do Modelo Calha . . . 74

4.1.3 Modelo SEG-EAGE . . . 74

4.1.4 Discussão dos Resultados Do Modelo SEG-EAGE . . . 83

4.2 Migração Pré-Empilhamento . . . 85

4.2.1 Modelo SEG-EAGE 2D . . . 85

4.2.2 Discussão dos Resultados do Modelo SEG-EAGE 2D . . . 91

5 Conclusões . . . 93

Agradecimentos . . . 95

Apêndice A Função Trigonométrica Inversa de Variável Complexa . . . . 96

Apêndice B Calculando a Parte Real e Imaginária da Frequência Angular 98 Apêndice C Termo Fonte . . . 100

Apêndice D Demonstração Por Indução-1 . . . 103

Apêndice E Demonstração Por Indução-2 . . . 105

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1.1 Propagação das ondas P e S no plano x-z que contém a fonte e o receptor, onde z é o eixo vertical. A onda P oscila na direção do vetor de onda k. A onda S pode ser decomposta em duas polarizações, SV e SH, perpendicular ao vetor de onda k. A oscilação de SH é puramente horizontal (na direção y,

saindo da página) e a SV oscila no plano x-z. . . 16

1.2 Princípio de Huygens. . . 17

1.3 Frente de onda plana. . . 18

1.4 Velocidade de fase normalizada versus kx∆x para o caso 1-D. . . 28

1.5 Velocidade de fase normalizada versus k∆S. . . 32

2.1 Volume envolvido por uma superfície S = S1+ S2, (Costa, 1997). . . 41

2.2 Modelo para a aplicação da integral de Kirchho à Migração (Rosa, 1996). . 44

3.1 Gráco das funções g(φ), cos(φ) e h(φ), φ ∈ [0, φmax]. . . 66

3.2 Gráco das funções g(φ), cos(φ) e h(φ), φ ∈ [0, φmax]. . . 66

3.3 Gráco das funções e1(φ) e e2(φ), φ ∈ [0, φmax]. . . 67

3.4 Gráco das funções e1(φ) e e2(φ), φ ∈ [0, φmax]. . . 67

3.5 Gráco do Log |ak| e do Log |dk|versus k, usando ∆t = 2ms, ∆x = 0.012km e cmax = 4, 480km/s. . . 68

4.1 Modelo em profundidade. . . 70

4.2 Seção de afastamento nulo dos dados do modelo Calha. . . 70

4.3 Resultado da RTM usando REM com 3 termos para os dados do modelo Calha amostrados em 2ms. . . 71

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4.7 Resultado da RTM usando FD com 3 termos para os dados do modelo Calha amostrados em 2ms. . . 73 4.8 Resultado da RTM usando FD com 5 termos para os dados do modelo Calha

amostrados em 4ms. . . 73 4.9 Campo de velocidade do modelo SEG-EAGE. . . 75 4.10 Seção de afastamento nulo dos dados do modelo SEG-EAGE . . . 75 4.11 Resultado da RTM usando o REM com 3 termos para os dados do modelo

SEG-EAGE reamostrados em 2ms. . . 76 4.12 Resultado da RTM usando o REM com 4 termos para os dados do modelo

SEG-EAGE amostrados em 8ms. . . 79 4.18 Resultado da RTM usando o REM com 7 termos para os dados do modelo

SEG-EAGE amostrados em 8ms. . . 80 4.21 Resultado da RTM usando FD com 3 termos para os dados do modelo

SEG-EAGE reamostrados em 2ms. . . 81 4.22 Resultado da RTM usando FD com 4 termos para os dados do modelo

SEG-EAGE reamostrados em 4ms. . . 82 4.25 Campo de velocidade do modelo SEG-EAGE 2D. . . 86 4.26 Resultado da RTM pré-empilhamento usando o REM com 8 termos para os

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4.27 Resultado da RTM pré-empilhamento usando o REM com 9 termos para os dados do modelo SEG-EAGE 2D amostrados em 8ms. . . 87 4.28 Resultado da RTM pré-empilhamento usando o REM com 10 termos para os

dados do modelo SEG-EAGE 2D amostrados em 8ms. . . 87 4.29 Resultado da RTM pré-empilhamento usando o REM com 16 termos para os

dados do modelo SEG-EAGE 2D amostrados em 8ms. . . 88 4.30 Ampliação da imagem do corpo de sal e das estruturas abaixo do corpo com

8 termos do REM na RTM. . . 88 4.31 Ampliação da imagem do corpo de sal e das estruturas abaixo do corpo com

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A migração é uma das principais etapas do processamento de dados sísmicos e tem como objetivo colapsar as difrações e colocar as reexões em suas verdadeiras posições espaciais, possibilitando assim uma melhor interpretação dos dados sísmicos.

A técnica de migração tem como marco inicial o trabalho de Hagedoorn (1954), que introduziu o uso das curvas padrões de frente de onda e de difrações, possibilitando a reali-zação da migração manual dos dados sísmicos já interpretados. Na década de 60 surgiram os primeiros métodos de migração baseados na equação da onda. A partir da década de 70, a migração sísmica se tornou tema de grande interesse na geofísica de exploração de petróleo, devido a introdução de computadores no processamento dos dados sísmicos e os trabalhos de migração baseados na equação da onda, apresentados por Jon Claerbout e seus colaboradores da Universidade de Stanford.

Outro acontecimento importante, para o desenvolvimento das técnicas de migração, foi o trabalho apresentado por Loewenthal et al. (1976), que introduziu o conceito do reetor explosivo, justicando o uso da equação da onda na migração de seções empilhadas, uma vez que tais seções não correspondem a um fenômeno físico real de propagação de ondas.

O modelo do reetor explosivo apresenta a ideia de que uma seção sísmica empilhada pode ser vista como o resultado de uma experimento físico hipotético único, onde suposta-mente as fontes estão dispostas sobre o reetor e explodem simultaneasuposta-mente. Desta maneira, temos uma única fonte com o formato do reetor, daí o nome reetor explosivo. Dados prove-nientes de uma conguração do reetor explosivo são cinematicamente equivalentes a dados de afastamento nulo, e a dinâmica dos dados de afastamento nulo pode ser transformada para assemelhar-se à dinâmica dos dados de reetor explosivo em meios horizontalmente homogêneos (Silva, 2006).

No modelo do reetor explosivo considera-se somente as ondas ascendentes, de forma que os efeitos de transmissão nas interfaces, reverberações e reexões múltiplas deixam de ser representadas. Estas limitações acarretam problemas de amplitude tornando o modelo falho quando as trajetórias descendentes e ascendentes não são coincidentes (Claerbout, 1985).

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Apesar das limitações citadas, o modelo do reetor explosivo serve de base para muitos métodos de migração aplicados a seções empilhadas como por exemplo, o método phase-shift (Gazdag, 1978), F-K (Stolt, 1978), phase-phase-shift-plus-interpolation (PSPI) (Gazdag e Sguazzero, 1984), split-step (Freire, 1988) e diferenças nitas (FD) (Claerbout, 1970). Outros métodos foram desenvolvidos através do uso de aproximações matemáticas no operador de propagação unidirecional do campo de onda.

O operador de propagação unidirecional surge, a partir do momento que o operador diferencial da equação da onda acústica é reescrito como produto de dois operadores diferen-ciais, gerando assim duas equações diferenciais da onda de sentido único, se propagando em sentidos opostos. Estas ondas de sentido único são soluções da equação da onda completa somente nos casos em que a velocidade de propagação do meio é constante. Mais informações a respeito desse assunto é fornecido no trabalho apresentado por Silva (2006).

Outras metodologias foram desenvolvidas nas últimas décadas, dentre elas podemos citar a que usa a integral de Kirchho. A aplicação da equação da onda transformou o método estatístico do somatório de difrações, no método determinístico da migração pela integral de Kirchho (French, 1975; Schneider, 1978). A partir de então, ao invés de uma simples soma de amplitudes, faz-se uma integração aplicando correções de amplitude e fase ao longo da hipérbole de difração, derivadas a partir da equação da onda. Desde então, muitos métodos têm sido desenvolvidos com a mesma losoa.

Uma outra metodologia que se desenvolveu bastante nos últimos anos é a que faz uso de operadores de diferenças nitas. As vantagens dessa metodologia é a sua inerente recursi-vidade e não apresenta restrições aos modelos de velocidades utilizados, contudo apresenta problemas de estabilidade e dispersão numérica. Mas os problemas citados não impediram que novos métodos fossem descobertos, utilizando operadores de diferenças nitas na equação da onda acústica.

Baysal et al. (1983) e McMechan (1983) apresentaram uma nova técnica de migração que faz uso de operadores de diferenças nitas. Esta técnica foi chamada de migração reversa no tempo (reverse-time migration - RTM), considerada a forma mais precisa de se efetuar a migração em meios heterogêneos. A migração reversa no tempo realiza a extrapolação do campo de onda na variável tempo, ou seja, calcula o campo de ondas em profundidade nos pontos do modelo para cada tempo, a partir do tempo nal da seção sísmica, tendo os dados registrados na superfície como condição de contorno do problema, até o tempo t = 0. Este instante de tempo é a condição de imagem para dados oriundos do reetor explosivo.

A RTM é um método mais caro do que os métodos de migração que utilizam a equação da onda de sentido único, em virtude da exigência de uma alta demanda computacional

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e uma capacidade de armazenamento de dados cada vez maior. Há algum tempo atrás uma migração RTM-3D seria inviável para dados reais; porém com o avanço rápido da tecnologia dos computadores e a implementação dos algoritmos de imageamento sísmicos em profundidade, em máquinas paralelas (Cluster de PC's), a RTM torna-se a cada dia mais viável.

Neste trabalho, apresentamos o método de Tal-Ezer (1984) e a modicação feita no método, que é denominado de método de expansão rápida (REM). Esta modicação tem como objetivo reduzir pela metade o número de termos somados na série de Chebyshev, que é usado pelo método de Tal-Ezer (1984). Assim, aumenta-se a eciência computacional sem perder a acuracidade.

Aplicamos os métodos FD e REM na solução analítica da equação da onda no tempo para realizar a extrapolação do campo de ondas e aproveitamos os resultados obtidos para mostrar que podemos através do REM obter a solução da equação da onda que utiliza aproximações de diferenças nitas de qualquer ordem no tempo. Apresentamos também neste trabalho os resultados do estudo feito no comportamento das expansões de Taylor e Chebyshev e suas implicações sobre os métodos FD e REM, respectivamente. Além disso, fazemos uma análise das seções migradas obtidas usando o REM e o FD na RTM, a m de avaliarmos o desempenho de cada método na migração. O estudo é feito utilizando dois dados sintéticos de modelos da SEG-EAGE e os dados de um modelo no formato de calha, que foram gerados através do programa Susynlv do pacote Seismic Unix (SU). Os modelos da SEG-EAGE simulam estruturas geológicas de sal com fortes variações laterais de velocidades, com vários reetores e falhas, tanto acima como abaixo do corpo de sal. Já o modelo que foi utilizado no SU para gerar os dados, simula uma estrutura simples no formato de uma calha. Analisamos também os resultados da RTM pré-empilhamento quando aumentamos ou diminuimos o número de termos do REM para fazer a extrapolação do campo de ondas. Nesta dissertação, discutimos as condições de estabilidade e dispersão numérica dos métodos de diferenças nitas e Fourier, bem como as vantagens e desvantagens de tais métodos. Mostramos ainda vários métodos de RTM, um desses é o que foi apresentado por Soubaras e Zhang (2008), onde obtém-se uma solução da equação da onda com o termo fonte no domínio do tempo, através de uma metodologia diferente da tradicional.

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Conceitos Básicos

1.1 Propagação de Ondas Sísmicas: Denição e

Princí-pios Básicos

As ondas sísmicas são classicadas como ondas mecânicas. Uma onda mecânica é uma pertubação de um meio material, que se propaga através desse meio transferindo energia e momento linear. Esse tipo de onda não se propaga no vácuo.

Duas famílias de ondas interessam ao método sísmico: as ondas superciais, ou seja, as ondas que viajam junto a superfície da terra; e as ondas de corpo (body waves), que viajam pelo corpo das rochas. As ondas superciais do tipo Rayleigh e Love são consideradas ruído pelos geofísicos de exploração de petróleo, enquanto que as ondas de corpo apresentam grande interesse econômico, devido a conter informações da zona de interesse.

As ondas de corpo inclui dois tipos de ondas: ondas P (primárias ou compressionais ou longitudinais) e as ondas S (secundárias ou cisalhantes ou transversais). Nas ondas P, as partículas da rocha oscilam na mesma direção em que ocorre a propagação. Já nas ondas S, a oscilação das partículas na rocha é perpendicular à direção de propagação.

A onda S pode ser decomposta em duas polarizações, SV e SH, conforme a Figura 1.1 mostra.

Para o levantamento sísmico, as ondas P são mais importantes do que as ondas S. As razões que justicam essa importância são: (1) as ondas S não se propagam em uídos, assim, não é possível na aquisição marinha gerar tais tipos de ondas; (2) as ondas P apresentam maior velocidade de propagação do que as ondas S, favorecendo assim a qualidade do registro

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correspondente; (3) os equipamentos de geração de ondas P são mais simples do que os de ondas S (Rosa, 1996).

Figura 1.1: Propagação das ondas P e S no plano x-z que contém a fonte e o receptor, onde z é o eixo vertical. A onda P oscila na direção do vetor de onda k. A onda S pode ser decomposta em duas polarizações, SV e SH, perpendicular ao vetor de onda k. A oscilação de SH é puramente horizontal (na direção y, saindo da página) e a SV oscila no plano x-z.

1.2 Conceitos Geométricos Fundamentais

Para caracterizar geometricamente uma onda, é necessário a introdução de dois conceitos: a frente de onda e raio. Uma frente de onda (em 3 dimensões, é uma superfície) é o lugar geométrico de pontos que tem a mesma fase, por exemplo, pertencem todos à mesma crista de onda. Já o raio é denido como uma linha perpendicular à frente de onda, o que indica a direção da propagação da onda. Assim, se o meio for isotrópico, o avanço localizado da onda é exatamente caracterizado pelo meio (Rosa, 1996). Além dos conceitos introduzidos, é importante conhecer o princípio de Huygens para entender a propagação de ondas.

Segundo o princípio de Huygens, cada ponto de uma frente de onda comporta-se como fonte puntiforme de novas ondas, chamadas de ondas secundárias. Num meio homogêneo e isotrópico, essas ondas são esféricas com centro na fonte, propagando-se com velocidade das ondas no meio (Nussenzveig, 2002b). A outra parte do princípio de Huygens diz como construir uma frente de onda posterior a partir das ondas secundárias. A prescrição de Huygens consiste no seguinte: dada uma frente de onda inicial, consideram-se todas as ondas secundárias emanadas dos diferentes pontos dessa frente, propagando-se no meio considerado. A frente de onda num instante posterior é a envoltória das frentes das ondas secundárias dela emanadas. A envoltória de uma família de superfícies é uma superfície que tangencia

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todas elas, ou seja, todas as superfícies da família são tangentes à envoltória (Nussenzveig, 2002a).

A Figura 1.2 exemplica a envoltória de uma família de superfícies. A idéia de Huygens era que cada onda secundária isoladamente é muito fraca, mas seus efeitos se reforçam ao longo da envoltória (Nussenzveig, 2002a).

Segundo Nussenzveig (2002a), o princípio de Huygens é incompleto em alguns aspectos. Dada uma frente de onda, as ondas esféricas secundárias dela emanadas têm duas envoltórias: uma adiante da frente, no sentido de propagação, e outra para trás. Pode-se explicar a ausência de uma onda em sentido inverso introduzindo um "fator de inclinação" na amplitude das ondas esféricas secundárias: em lugar de ser a mesma em todas as direções, ela seria máxima no sentido de propagação e nula no sentido oposto.

Figura 1.2: Princípio de Huygens.

Um aspecto interessante do princípio de Huygens, é que se o ponto de observação estiver a uma grande distância da fonte primária de energia, a frente de onda tende a ser plana para o observador que se encontra na localização citada (Figura 1.3). Nestas circunstâncias, o raio tem a mesma direção em todas as posições da frente de onda, ao contrário do que ocorre na Figura 1.2. Em muitas situações, é comum tratar ondas esféricas como sendo localmente planas, o que signica pressupor longas distâncias entre fonte de energia e o ponto de observação.

Os conceitos apresentados até aqui fornecem uma visão geométrica da propagação de ondas. No entanto para descrever adequadamente a propagação de onda é necessário o conhecimento da equação de onda que será abordado na próxima seção.

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Figura 1.3: Frente de onda plana.

1.3 Equação da Onda

A propagação do sinal sísmico pode ser entendida considerando-se um meio puramente acús-tico, no qual não se propagam ondas tranversais. Neste caso a equação da onda é uma equação escalar, que prevê apenas a propagação de ondas longitudinais (ondas P).

Existem várias maneiras de deduzir a equação da onda. Nussenzveig (2002a), utiliza as leis de Newton e de Hooke para chegar na equação da onda para o campo de pressão.

A equação tridimensional da onda para o campo de pressão, considerando um meio com densidade constante e pequenas deformações é dada pela seguinte expressão:

∂2_P ∂x2 + ∂2_P ∂y2 + ∂2_P ∂z2 = 1 c2 ∂2_P ∂t2 . (1.1)

Reescrevendo a equação (1.1) temos:

∇2_{P =} 1 c2 ∂2_P ∂t2 , (1.2) onde P = P (x, y, z, t) - Campo de Pressão, ∇2 ₌ ∂ 2 ∂x2 + ∂2 ∂y2 + ∂2

∂z2 - Operador Laplaciano em coordenadas cartesianas,

c = c(x, y, z) - Velocidade de propagação da onda no meio.

Se assumirmos que o campo de pressão é invariável na direção y, então a derivada do campo é igual a zero e a equação (1.1) é reduzida a equação bidimensional da onda, que pode ser escrita como:

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∂2_P ∂x2 + ∂2_P ∂z2 = 1 c2 ∂2_P ∂t2 . (1.3)

A equação da onda desempenha um papel importante no entendimento de vários fenô-menos físicos. Podemos descrevê-la como uma lei que governa o avanço do campo de pressão no tempo e no espaço. Além disso, é importante mencionar que a equação (1.1) é uma equação diferencial parcial de segunda ordem e a solução desta equação deve ser vista como uma forma de explicitar o avanço do campo de pressão, a partir das medidas feitas em uma dada posição.

A equação da onda e sua solução propiciam os fundamentos para o desenvolvimento de conceitos especícos como os coecientes de reexão e transmissão, o espalhamento geomé-trico, etc.

1.4 Operadores de Diferenças Finitas

A derivada parcial da função P = P (x, y, z, t) em relação a x, considerando que as variáveis x, y, z e t são independentes, é denida como (Piskounov, 1990):

lim

∆x→0

P (x + ∆x, y, z, t) − P (x, y, z, t)

∆x . (1.4)

Uma notação muito utilizada para representar a operação matemática na equação (1.4) é ∂P ∂x, ou seja: ∂P ∂x = lim∆x→0 P (x + ∆x, y, z, t) − P (x, y, z, t) ∆x . (1.5)

O mesmo tipo de desenvolvimento pode ser utilizado para as derivadas parciais da função P = P (x, y, z, t) em relação as variáveis y, z e t.

Um aspecto interessante na equação (1.5) é que as variáveis y, z e t são mantidas cons-tantes quando se calcula a derivada parcial da função P em relação a x. Isto ocorre porque as variáveis são independentes.

Uma derivada parcial pode ser discretizada através do truncamento da série de Taylor. A série de Taylor para P (x + ∆x) 1 _{é dada por:}

1_{Omitimos as variáveis y, z e t por motivo de simplicação na notação, mas todo o desenvolvimento}

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P (x + ∆x) = P (x) + ∂P (x) ∂x ∆x + ∂2_{P (x)} ∂x2 (∆x)2 2! + ∂3_{P (x)} ∂x3 (∆x)3 3! + · · · (1.6) Usando a mesma série para P (x − ∆x, y, z, t) tem-se:

P (x − ∆x) = P (x) − ∂P (x) ∂x ∆x + ∂2_{P (x)} ∂x2 (∆x)2 2! − ∂3_{P (x)} ∂x3 (∆x)3 3! + · · · (1.7) Selecionando a equação (1.6) e desprezando os termos de ordens superiores a um, obtém-se:

∂P (x) ∂x ≈

P (x + ∆x) − P (x)

∆x . (1.8)

Selecionando agora a equação (1.7) e desprezando os termos de ordens superiores a um, temos:

∂P (x) ∂x ≈

P (x) − P (x − ∆x)

∆x . (1.9)

Podemos ainda obter outra expressão para derivada primeira. Subtraindo a equação (1.7) de (1.6), resulta em: P (x + ∆x) − P (x − ∆x) = 2∂P (x) ∂x ∆x + 2 ∂3_{P (x)} ∂x3 (∆x)3 3! + 2 ∂5_{P (x)} ∂x5 (∆x)5 5! · · · (1.10) e desprezando os termos de ordens superiores a um na equação (1.10) tem-se:

∂P (x) ∂x ≈

P (x + ∆x) − P (x − ∆x)

2(∆x) . (1.11)

Somando agora as equações (1.6) e (1.7) obtemos o seguinte resultado: P (x + ∆x) + P (x − ∆x) = 2P (x) + 2∂ 2_{P (x)} ∂x2 (∆x)2 2! + 2 ∂4_{P (x)} ∂x4 (∆x)4 4! + · · · (1.12) Uma aproximação da derivada segunda de P em relação a x no ponto x pode ser obtida desprezando os termos de ordens superiores a dois na equação (1.12), ou seja:

∂2P (x) ∂x2 ≈

P (x + ∆x) − 2P (x) + P (x − ∆x)

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O resultado obtido para a derivada segunda na equação (1.13) é conhecido como operador de diferenças nitas de segunda ordem.

Desprezando agora os termos de ordens superiores a quatro na equação (1.12), tem-se: ∂2P (x) ∂x2 ≈ 1 (∆x)2 P (x + ∆x) − 2P (x) + P (x − ∆x) − (∆x) 4 12 ∂4P (x) ∂x4 . (1.14) A derivada quarta pode ser reescrita como:

∂4_{P (x)} ∂x4 ≈ ∂2 ∂x2 ∂2_{P (x)} ∂x2 . (1.15)

Usando o resultado obtido na equação (1.13), temos: ∂4_{P (x)} ∂x4 ≈ ∂2 ∂x2 P (x + ∆x) − 2P (x) + P (x − ∆x) (∆x)2 . (1.16) Com auxílio da equação (1.13) obtemos os seguintes resultados para cada termo da equação (1.16), ∂2P (x + ∆x) ∂x2 ≈ 1 (∆x)2 [P (x + 2∆x) − 2P (x + ∆x) + P (x)] , ∂2_{P (x)} ∂x2 ≈ 1 (∆x)2 [P (x + ∆x) − 2P (x) + P (x − ∆x)] , ∂2_{P (x − ∆x)} ∂x2 ≈ 1 (∆x)2 [P (x) − 2P (x − ∆x) + P (x − 2∆x)] . (1.17)

Usando as equações (1.16) e (1.17) em (1.14) tem-se: ∂2_{P (x)}

∂x2 ≈

1

12(∆x)2[−P (x − 2∆x) + 16P (x − ∆x) − 30P (x) + 16P (x + ∆x) − P (x + 2∆x)] .

(1.18) O resultado obtido na equação (1.18) para o cálculo da derivada segunda é conhecido como operador de diferenças nitas de quarta ordem.

(25)

1.4.1 Aplicação de Diferenças Finitas na Equação da Onda

A solução numérica por diferenças nitas da equação da onda usa discretizações temporais e espaciais. Assim, o campo de pressão pode ser representado por:

P (x, y, z, t) = P (l∆x, j∆y, m∆z, n∆t) , (1.19) onde ∆x, ∆y, ∆z são os espaçamentos nas direções x, y, z e ∆t é o incremento de tempo utilizado.

Para simplicar a notação, pode-se escrever o campo de pressão como Pn l,j,m .

Usando a equação (1.13) para as derivadas espaciais e temporal, e com o auxílio da notação apresentada acima, a equação da onda acústica (1.1) pode ser escrita da seguinte forma: [P_l+1,j,mn − 2Pn l,j,m + P n l−1,j,m] 1 (∆x)2 + [P n l,j+1,m − 2P n l,j,m+ P n l,j−1,m] 1 (∆y)2 [P_l,j,m+1n − 2P_l,j,mn + P_l,j,m−1n ] 1 (∆z)2 = [P n+1 l,j,m− 2P n l,j,m+ P n−1 l,j,m] 1 (c∆t)2 . (1.20) Isolando o termo Pn+1 l,j,m, resulta em: P_l,j,mn+1 = 2P_l,j,mn − P_l,j,mn−1+ Ax[Pl+1,j,mn − 2P n l,j,m+ P n l−1,j,m] + Ay[Pl,j+1,mn − 2P n l,j,m+ P n l,j−1,m] + Az[Pl,j,m+1n − 2P n l,j,m+ P n l,j,m−1] , (1.21) onde Ax = ∆t c(x, y, z) (∆x) 2 , Ay = ∆t c(x, y, z) (∆y) 2 e Az = ∆t c(x, y, z) (∆z) 2 . (1.22) A equação (1.21) mostra que o campo de ondas Pn+1

l,j,m pode ser obtido em um ponto da

malha 3-D (l∆x, j∆y, m∆z) no tempo (n + 1)∆t a partir do campo no mesmo ponto nos instantes n∆t e (n − 1)∆t e o campo em pontos vizinhos no instante n∆t.

(26)

para as derivadas parciais em relação a x, y e z, ou seja: ∂2_P ∂x2 ≈ 1 12(∆x)2[−P n l−2,j,m+ 16P n l−1,j,m− 30P n l,j,m+ 16P n l+1,j,m− P n l+2,j,m] , ∂2P ∂y2 ≈ 1 12(∆y)2[−P n l,j−2,m+ 16P n l,j−1,m− 30P n l,j,m+ 16P n l,j+1,m− P n l,j+2,m] , ∂2P ∂z2 ≈ 1 12(∆z)2[−P n l,j,m−2+ 16P n l,j,m−1− 30P n l,j,m+ 16P n l,j,m+1− P n l,j,m+2] (1.23)

e a equação (1.13) para a derivada parcial em relação ao tempo, isto é: ∂2P ∂t2 ≈ 1 (∆t)2[P n+1 l,j,m− 2P n l,j,m+ P n−1 l,j,m] . (1.24)

Substituindo as equações (1.23) e (1.24) na equação da onda (1.1) e rearrumando os termos tem-se então que Pn+1

l,j,m é calculado pela seguinte expressão:

P_l,j,mn+1 = 2P_l,j,mn −Pn−1 l,j,m−2, 5[Ax+Ay+Az]P n l,j,m+ Ax 12[−P n l−2,j,m+16P n l−1,j,m+16P n l+1,j,m−P n l+2,j,m] +Ay 12[−P n l,j−2,m+16P n l,j−1,m+16P n l,j+1,m−P n l,j+2,m]+ Az 12[−P n l,j,m−2+16P n l,j,m−1+16P n l,j,m+1−P n l,j,m+2] . (1.25) A equação (1.25) pode ser simplicada considerando ∆x = ∆y = ∆z, assim Ax = Ay =

Az = A, ou seja: P_l,j,mn+1 = (2−7, 5A)P_l,j,mn −Pn−1 l,j,m+ A 12[16(P n l−1,j,m+P n l,j−1,m+P n l,j,m−1+P n l,j,m+1+P n l,j+1,m+P n l+1,j,m) − (Pn l−2,j,m+ P n l,j−2,m+ P n l,j,m−2+ P n l,j,m+2+ P n l,j+2,m+ P n l+2,j,m)] . (1.26)

A solução apresentada por operadores de diferenças nitas para a equação da onda é um processo estável dentro de certos limites. Na próxima subseção será feito o estudo das condições limites a estabilidade do processo.

1.4.2 Estabilidade Numérica

A questão da estabilidade numérica é de grande importância. Garantir a estabilidade nu-mérica evita que os resultados cresçam de forma espúria indenidamente à medida que o

(27)

cálculo é feito. Para análise da estabilidade considera-se uma onda senoidal se propagando num espaço tridimensional, da seguinte forma:

P_l,j,mn = Poexp[i(nω∆t − lkx∆x − jky∆y − mkz∆z)] , (1.27)

onde i é a unidade imaginária de Euler, denido por i =√−1, ω é frequência angular, kx, ky

e kz são as componentes do vetor número de onda ~k nas direções x, y e z, respectivamente.

Segundo Ramos (2006), se considerarmos que a frequência angular seja complexa, ω = ωreal+ iωimag, então a equação (1.27) permite três situações distintas:

- onda com amplitude constante com o tempo (ωimag = 0);

- amplitude da onda com decaimento exponencial com o tempo (ωimag > 0);

- amplitude da onda com aumento exponencial com o tempo (ωimag < 0).

Substituindo a equação (1.27) em (1.20) obtemos o seguinte resultado após algumas ma-nipulações algébricas: sin ω∆t 2 = c∆t 1 (∆x)2 sin 2 kx∆x 2 + 1 (∆y)2 sin 2 ky∆y 2 + 1 (∆z)2 sin 2 kz∆z 2 1₂ . (1.28) A equação (1.28) é conhecida como relação de dispersão numérica e podemos reescrevê-la da seguinte forma: ω = 2 ∆tarcsin(ξ) , (1.29) onde ξ = c∆t 1 (∆x)2 sin 2 kx∆x 2 + 1 (∆y)2 sin 2 ky∆y 2 + 1 (∆z)2sin 2 kz∆z 2 1₂ . (1.30) A partir da equação (1.29) pode-se concluir que para qualquer valor real do número de onda,

0 ≤ ξ ≤ c∆t 1 (∆x)2 + 1 (∆y)2 + 1 (∆z)2 1₂ ≡ ξS . (1.31)

O valor de ξS é obtido quando cada termo sin2 da equação (1.30) assume o valor unitário.

Dependendo da escolha de ∆t, o valor de ξS pode ser maior do que 1, gerando valores

(28)

complexos, que podem gerar instabilidade numérica. Podemos, portanto, dividir a análise em dois conjuntos:

-Região Estável: 0 ≤ ξ ≤ 1

Nesse caso, arcsin é real e, portanto, a equação(1.29) também é real. Como a parte imaginária da frequência angular complexa é nula, a equação (1.27) representa uma onda com amplitude constante com o tempo.

Região Instável: 1 < ξ < ξS

Essa situação ocorre quando: ξS = c∆t 1 (∆x)2 + 1 (∆y)2 + 1 (∆z)2 1₂ > 1 . (1.32) A situação de instabilidade também pode ser denida como:

∆t > 1 c 1 (∆x)2 + 1 (∆y)2 + 1 (∆z)2 1/2 ≡ ∆test´avel . (1.33) A situação de instabilidade pode ser demonstrada ao substituir a equação (1.34) abaixo em (1.29), resultando em (1.35).

arcsin(ξ) = −i ln(iξ +p1 − ξ2₎ (1.34)

ωreal = π ∆t; ωimagin´ario = − 2 ∆tln(ξ + p ξ2_{− 1) .} (1.35)

As demonstrações das equações (1.34) e (1.35) encontram-se nos Apêndices A e B, respecti-vamente.

Substituindo-se a equação (1.35) em (1.27) tem-se: P_l,j,mn = [ξ +pξ2_{− 1]}2n_P

oexp[i(nωreal∆t − lkx∆x − jky∆y − mkz∆z)] . (1.36)

O fator multiplicativo [ξ + pξ2_{− 1]}2n _{que aparece na equação (1.36), que é maior do que}

(29)

físico de que a amplitude de uma onda plana (equação (1.27)) é constante no tempo e no espaço.

1.4.3 Dispersão Numérica

A dispersão numérica ocorrem quando a velocidade de fase da onda numérica é diferente da velocidade de propagação da onda no meio, prejudicando os resultados obtidos pela modelagem numérica.

Este problema surge devido a discretização espacial da equação da onda, de forma que as velocidades de fase e de grupo passam a ser função do espaçamento entre os pontos da malha, da frequência e do ângulo de propagação.

Em um meio homogêneo as velocidades de fase (Vf)e de grupo (Vg)coincidem, e o grupo

se propaga com a velocidade da onda. As relações das velocidades de fase e de grupo são denidas como: Vf = ω k (1.37) e Vg = dω dk , (1.38)

onde ω é a frequência angular e k é o número de onda.

Para um meio dispersivo a velocidade de fase Vf varia com o comprimento de onda, ou,

o que é equivalente, com o número de onda k (Nussenzveig, 2002a):

ω = kVf(k) (1.39) e a (1.38) resulta em: Vg = dω dk = Vf + k dVf dk , (1.40)

ou seja, nesse caso a velocidade de grupo é diferente da velocidade de fase. Diz-se então que há dispersão.

As expressões das velocidades de fase e de grupo podem ser obtidas considerando a so-lução para o campo de pressão expresso na equação (1.27). Usando esta soso-lução na equação da onda discretizada de segunda ordem no tempo e no espaço (1.20) encontramos o mesmo resultado expresso na equação (1.28). Explicitando o ω neste resultado e dividindo-o por k,

(30)

obtemos a velocidade de fase, ou seja: Vf = 2 k∆tarcsin ( c∆t 1 (∆x)2 sin 2 kx∆x 2 + 1 (∆y)2 sin 2 ky∆y 2 + 1 (∆z)2 sin 2 kz∆z 2 1/2) . (1.41) Podemos ainda escrever a expressão para a velocidade de fase de outra forma:

Vf = 2 k∆tarcsin ( c∆t 1 (∆x)2 sin 2_{Γ +} 1 (∆y)2 sin 2_{Ψ +} 1 (∆z)2 sin 2_Θ 1/2) , (1.42) onde Γ = k∆x cos γ 2 , Ψ = k∆y cos ψ 2 , Θ = k∆z cos θ 2 (1.43)

e γ, ψ, θ são os ângulos que o vetor ~k faz com as direções x, y e z, respectivamente.

A velocidade de grupo pode ser obtida derivando a equação (1.29) em relação a k, re-sultando em : Vg = c pρ − (c∆tρ)2 cos γ 2∆x sin(2Γ) + cos ψ 2∆y sin(2Ψ) + cos θ 2∆z sin(2Θ) , (1.44) onde ρ = 1 (∆x)2 sin 2_{Γ +} 1 (∆y)2 sin 2_{Ψ +} 1 (∆z)2 sin 2_{Θ .} _(1.45)

A equação (1.44) dene a velocidade de grupo para aproximação por diferenças nitas de segunda ordem da equação da onda. O mesmo procedimento pode ser seguido para obtenção de Vg para uma aproximação por diferenças nitas de ordens superiores.

Para analisarmos a dispersão numérica usaremos a equação (1.28). Pode-se mostrar a partir desta equação que no limite em que ∆x, ∆y, ∆z e ∆t se aproximam de zero, podemos obter a relação de dispersão analítica para uma onda plana em um meio homogêneo e sem perdas, isto é:

k2_x+ k2_y+ k_z2 =ω c

2

. (1.46)

(31)

ω = 2 ∆tarcsin α2_xsin2 kx∆x 2 + α2_ysin2 ky∆y 2 + α2_zsin2 kz∆z 2 1/2 , (1.47) onde αx = c∆t ∆x , αy = c∆t ∆y e αz = c∆t ∆z . (1.48) Dividindo a equação (1.47) por ck, obtemos:

Vf c = 2 ck∆tarcsin α2_xsin2 kx∆x 2 + α2_ysin2 ky∆y 2 + α2_zsin2 kz∆z 2 1/2 . (1.49) Considerando o caso 1-D e αx = α, a equação (1.49) é reduzida a seguinte expressão:

Vf c = 2 αkx∆x arcsin α sin kx∆x 2 . (1.50)

A equação (1.50) é exatamente a expressão obtida por Koslo e Kessler (1990). A Figura 1.4 apresenta o comportamento da velocidade de fase normalizada (equação 1.50), quando variamos o valor do parâmetro α e da variável kx∆x.

(32)

Observamos no gráco que para α = 1 a dispersão numérica não existe, uma vez que a velocidade de fase Vf é igual a velocidade de propagação do meio c. Quando α < 1 a dispersão

numérica sempre existe e vai cando mais acentuada para valores crescente de kx∆x. Para

α > 1, também ocorre a dispersão numérica e dependendo da escolha do kx∆x podemos

ter valores complexos de arcsin na equação (1.50) e consequentemente uma velocidade de fase normalizada complexa. Esta situação não é possível uma vez que a velocidade de fase normalizada é um número real.

1.5 Transformada de Fourier

A transformada de Fourier (TF) é um instrumento matemático que tem diversas aplica-ções no processamento de dados sísmicos. Na migração esta ferramenta pode ser utilizada para obter soluções para a equação da onda. Esta operação matemática para uma função p(x, y, z, t)é denida como: P (kx, ky, kz, ω) = 1 2π 4Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ Z ∞ −∞

p(x, y, z, t)ei(ωt−kxx−kyy−kzz)_dxdydzdt (1.51)

e a transformada inversa de Fourier (TF-1_{) é denida como:}

p(x, y, z, t) = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ Z ∞ −∞

P (kx, ky, kz, ω)e−i(ωt−kxx−kyy−kzz)dkxdkydkzdω , (1.52)

onde as funções p(x, y, z, t) e P (kx, ky, kz, ω)satisfazem todos os requisitos matemáticos para

que as integrais acima existam. Aqui, kx é o número de onda (frequência espacial) na direção

x, ky é o número de onda na direção y, kz é o número de onda na direção z e ω é a frequência

angular temporal.

A transformada de Fourier possui várias propriedades muito úteis na resolução de pro-blemas. Algumas dessas propriedades são mostradas abaixo (Butkov, 1988):

1a _{Propriedade - Derivada}

dp

dt ↔ −iωP (ω) . (1.53) Esta propriedade pode ser demonstrada derivando-se a expressão (1.52) com relação ao tempo. De acordo com a propriedade da derivada, derivar uma função com relação ao tempo equivale, no domínio da frequência, a multiplicar o seu espectro de amplitude por ω e subtrair 90 graus do seu espectro de fase.

(33)

2a Propriedade - Multiplicação por constante

ap(t) ↔ aP (ω) . (1.54) Ou seja, multiplicar uma função do tempo por uma constante a e calcular a TF do resultado equivale a calcular a TF da mesma função e multiplicar o resultado pela mesma constante.

3a Propriedade - Soma

r(t) + s(t) ↔ R(ω) + S(ω) . (1.55) Ou seja, a TF da soma de duas funções é igual a soma das TF das duas funções.

4a Propriedade - Convolução r(t) ∗ f (t) ↔ R(ω)F (ω) , (1.56) onde r(t) ∗ f (t) = Z ∞ −∞ r(τ )f (t − τ )dτ . (1.57) Ou seja, a convolução no domínio do tempo, corresponde, no domínio da frequência, ao produto dos espectros de amplitude e a soma dos espectros de fase.

Após termos visto algumas propriedades da TF, vamos agora utilizá-las para obter a relação de dispersão analítica em três dimensões para uma onda plana se propagando em um meio homogêneo. Aplicando TF na equação (1.1) e considerando c constante tem-se:

k2_x+ k2_y+ k_z2 = ω

c 2

. (1.58)

Koslo e Baysal (1982) apresentaram um método de migração que faz uso dos operadores de diferenças nitas na derivada temporal e usa TF nas derivadas espaciais da equação da onda. Este método cou conhecido como método de Fourier.

Através da transformada de Fourier, pode-se obter uma relação de dispersão numérica diferente daquela obtida na equação (1.28). Na próxima seção analisaremos a estabilidade e dispersão numérica do método de Fourier.

(34)

1.5.1 Estabilidade Numérica

Considerando a velocidade c constante e aplicando a transformada de Fourier nas derivadas espaciais da equação da onda (1.1), obtém-se:

1 c2 ∂2_{P (k} x, ky, kz, t) ∂t2 = −[k 2 x+ k 2 y + k 2 z]P (kx, ky, kz, t) . (1.59)

Usando as expressões (1.24) e (1.27) em (1.59), resulta em ω = 2 ∆tarcsin c∆t 2 [k 2 x+ k 2 y+ k 2 z] 1/2 . (1.60)

A equação (1.60) dene a relação de dispersão numérica para o modelamento de ondas acús-ticas pelo método de Fourier.

A estabilidade limite é para kmax x = π ∆x, k max y = π ∆y e k max z = π

∆z. Para esta situação, através da equação (1.60) temos:

c∆t 1 (∆x)2 + 1 (∆y)2 + 1 (∆z)2 1/2 ≤ 2 π . (1.61) Considerando o caso em que ∆x = ∆y = ∆z tem-se:

√ 3c∆t

∆x ≤ 2

π . (1.62)

Mas por denição αx =

c∆t

∆x, logo a região estável é para: αx ≤

2√3

3π . (1.63)

Ainda considerando os espaçamento espaciais iguais, temos para o caso 2-D que αx ≤ (

√ 2/π) e para o caso 1-D αx ≤ (2/π).

1.5.2 Dispersão Numérica

Para análise da dispersão, dividimos a equação (1.60) por ck resultando em Vf c = 2 ck∆tarcsin c∆t 2 [k 2 x+ k 2 y+ k 2 z] 1/2 . (1.64)

(35)

Lembrando que α∆S = αp(∆x)2_{+ (∆y)}2_{+ (∆z)}2 _{= c∆t} e que k = pk2 x+ k2y+ kz2, então a expressão (1.64) ca: Vf c = 2 α∆Skarcsin α∆Sk 2 . (1.65)

Considerando que (α∆Sk/2) << 1, arcsin(α∆Sk/2) ≈ (α∆Sk/2) e Vf = c. Logo podemos

dizer que praticamente não existe dispersão numérica para esta situação. Podemos também chegar a esta conclusão ao analisarmos a Figura 1.5, que mostra o comportamento da velocidade de fase normalizada, obtida pelo método de Fourier, quando variamos o valor do parâmetro α e da variável k∆S.

Baseado na Figura 1.5, α < 0, 2 é frequentemente usado para garantir a estabilidade e uma pequena dispersão numérica. Já pelo método de diferenças nitas, conforme o estudo feito na seção anterior, o parâmetro α precisa ser um valor próximo de 1 para que as condições limites do método sejam asseguradas.

(36)

2

Métodos de Migração

2.1 Migração Sísmica

Chamamos de migração sísmica o processamento aplicado aos dados sísmicos que visa obter uma imagem da subsuperfície de uma área de interesse. Esta técnica pode ser aplicada em dados com qualquer afastamento, inclusive afastamento igual a zero. A imagem obtida é conhecida como seção migrada. Para que a seção migrada mostre as formas e posições cor-retas dos reetores em subsuperfície é necessário que a distribuição de velocidades utilizada (campo de velocidades) esteja correta.

A maioria dos métodos de migração usados em sísmica é de algum modo oriundo da equação da onda e se constitui basicamente em duas etapas: a extrapolação do campo de ondas e a condição de imagem. A diferença entre os métodos é devido a metodologia utilizada para resolver a equação da onda e a condição de imagem usada.

2.2 Extrapolação do Campo de Ondas

A extrapolação do campo de ondas é uma técnica matemática que permite avançar ou atrasar o campo de ondas através do espaço ou do tempo. A extrapolação pode ser efetuada através de metodologias recursivas ou não recursivas.

Segundo Costa (1997), nos métodos não recursivos, a extrapolação para qualquer ponto em profundidade é obtida sempre a partir do campo originalmente registrado na superfície, não havendo necessidade de determinar campos de ondas em etapas intermediárias. No caso de meios não homogêneos, extrapolar para grandes profundidades em único passo implica na

(37)

utilização de operadores de migração mais complicados, que precisam ser computados com auxílio de algum algoritmo de modelamento como por exemplo o traçado de raios. Já os métodos recursivos não têm esse tipo de problema, uma vez que os intervalos de extrapolação são pequenos, permitindo a utilização de operadores localmente homogêneos.

2.3 Condição de Imagem

Os princípios de imagem são condições aplicadas ao campo extrapolado, de forma a se obter uma imagem dos reetores em subsuperfície, evidenciando na seção migrada, os pontos onde ocorrem as reexões, através do posicionamento correto das amplitudes (Costa, 1997).

No caso da migração pós-empilhamento, a condição de imagem está diretamente relaci-onado ao modelo do reetor explosivo. A imagem migrada é obtida computando-se o campo de ondas extrapolado até o tempo t = 0, quando então se terá a distribuição inicial dos reetores e, portanto, o dado migrado P = P (x, y, z, t = 0) .

Para dados não empilhados organizados em família de fonte comum, a imagem é obtida usando o princípio de imageamento de Claerbout (1971) que diz: "O reetor existe nos pontos da subsuperfície onde a primeira chegada da onda descendente (onda direta da fonte) coincide no tempo t (tempo de propagação) e no espaço (x, y, z) com a onda ascendente (onda reetida)".

A seguir veremos uma abordagem breve dos principais métodos de migração utilizados no processamento de dados sísmicos e algumas metodologias desenvolvidas recentemente.

2.4 Métodos Espectrais

2.4.1 Migração Stolt

O método desenvolvido por Stolt (1978), consiste basicamente em uma sequência de ope-rações relativamente simples: (1) transforma-se os dados para o domínio (ω, kx, ky); (2)

reamonstram-se os dados no domínio (kx, ky, kz), determinando-se kz com base na equação

da dispersão (1.58) e posicionando-se cada amostra na nova posição, com o recurso de téc-nicas de interpolação; (3) a transformada 3-D inversa do resultado é a seção migrada em profundidade.

(38)

método Stolt. Para isso, vamos aplicar a TF na equação (1.1), resultando em: d2_{P (k} x, ky, z, ω) dz2 = k 2 zP (kx, ky, z, ω) , (2.1) onde k_z2 = ω 2 c2_(z) − k 2 x− k2y . (2.2)

Quando o meio não apresenta variação vertical de velocidade, podemos reescrever a equação (2.1) da seguinte forma: d dz + ikz d dz − ikz P = 0 (2.3)

A fatoração acima permite representar duas ondas unidirecionais em relação a profundidade, que governam a propagação do campo de onda para cima e para baixo, respectivamente:

d dz + ikz P = 0 (2.4) e d dz − ikz P = 0 . (2.5)

As soluções das equações unidirecionais são também soluções da equação (2.1). No caso da propagação do campo de onda ascendente descrita pela expressão (2.4), a solução é:

P (kx, ky, z, ω) = P (kx, ky, z = 0, ω)e−ikzz . (2.6)

Para se obter a seção migrada, deve-se calcular P (x, y, z, t = 0), ou seja: P (x, y, z, t = 0) = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ Z ∞ −∞

P (kx, ky, z = 0, ω)ei(kxx+kyy−kzz)dkxdkydω . (2.7)

Derivando-se a relação da dispersão (2.2) em relação a kz resulta em:

dω dkz = kzc pk2 x+ k2z + ky2 (2.8)

(39)

Explicitando dω em (2.8) e usando-o na expressão (2.7) tem-se: P (x, y, z, t = 0) = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ ¯ P (kx, ky, kz)ei(kxx+kyy−kzz)dkxdkydkz , (2.9) onde ¯ P (kx, ky, kz) = " kzc pk2 x+ ky2+ k2z # P (kx, ky, z = 0) (2.10)

Notamos que o termo que está entre colchetes na equação (2.10) corrige as amplitudes dos dados e este termo pode também ser reescrito em função do ângulo θ que a frente de onda faz com a direção vertical (eixo z),ou seja,

" kzc pk2 x+ ky2+ kz2 # = c cos θ . (2.11) O método Stolt é a técnica mais rápida de migração, mas apresenta uma importante limita-ção: exige meios homogêneos, tanto vertical quanto lateralmente.

2.4.2 Migração Phase-Shift

Gazdag (1978) apresentou um método de migração recursivo denominado de phase-shift. Este método aceita variação de velocidade vertical, ou seja, c = c(z). A ideia básica é dividir o meio em camadas de forma que cada camada possua velocidade constante.

O método de Gazdag utiliza TF para calcular as derivadas parciais da equação da onda e o resultado desta operação matemática faz uso das informações de todos os pontos da malha. O mesmo não acontece quando são utilizados operadores de diferenças nitas para calcular as derivadas parciais. Outra vantagem do método é que o mesmo trabalha com os dados no domínio (ω, kx, ky, z), assim pode-se evitar o processamento das ondas evanescentes. Uma

desvantagem do método Gazdag é que, por ser baseado na TF, os dados são tratados como sendo periódicos e precisam ter condições de contorno periódicos (Silva, 2006).

Para se obter a solução pelo método Phase-Shift consideremos a equação unidirecional (2.4), onde a solução é:

P (kx, ky, zj+1, ω) = P (kx, ky, zj, ω)e−i Rzj+1

zj kz(z)dz

(40)

Como as camadas podem ser escolhidas arbitrariamente nas, podemos usar o teorema do valor médio para resolver a integral no argumento da exponencial, de forma que a solução aproximada é:

P (kx, ky, zj+1, ω) = P (kx, ky, zj, ω)e−ikz(zj)∆z . (2.13)

O termo e−ikz(zj)∆z é conhecido como operador de continuação para baixo. Com auxílio deste

operador e conhecendo o campo P (kx, ky, z0 = 0, ω), podemos calcular o campo de onda em

qualquer outra profundidade usando a recursividade. Por exemplo, P (kx, ky, z1, ω) é dado

pela seguinte expressão:

P (kx, ky, z1, ω) = P (kx, ky, z0, ω)e−ikz(z0)∆z . (2.14)

Para obtermos o campo migrado aplica-se a transformada inversa de Fourier na expressão (2.13) e a condição de imagem, resultando em:

P (x, y, zj+1, t = 0) = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ Z ∞ −∞

P (kx, ky, zj, ω)ei(kxx+kyy−kz(zj)∆z)dkxdkydω . (2.15)

2.4.3 Migração PSPI

O método phase-shift-plus-interpolation (PSPI) foi desenvolvido por Gazdag e Sguazzero (1984) para tentar agregar variações laterais de velocidade ao método phase-shift. A ideia central do método é que as variações laterais de velocidade podem ser levadas em consi-deração interpolando os campos de onda que são extrapolados para baixo por phase-shift, usando duas ou mais velocidades de referência.

A precisão do PSPI está relacionada com o número de velocidades utilizados em cada passo em profundidade. Para manter uma boa precisão para pequenos mergulhos quando [(kxc/ω)2+ (kyc/ω)2] << 1, o deslocamento de fase expresso pela equação (2.13) é separado

nas seguintes operações: ˜

P (x, y, zj, ω) = P (x, y, zj, ω)e −i ω∆z

c(x,y,z) (2.16)

(41)

P (kx, ky, zj+1, ω) = ˜P (kx, ky, zj, ω)e−i[kz−

ω

cr]∆z . (2.17)

A expressão (2.16) é um deslocamento de tempo aplicado para cada traço sísmico. Já a expressão (2.17) envolve uma aproximação da função velocidade verdadeira por funções ve-locidade de referência cr = cr(z)e sua implementação é feita em vários passos. No primeiro

passo, o campo de onda é extrapolado pelo método phase-shift com cada velocidade de re-ferência compreendida no intervalo [cmin, cmax], resultando no conjunto com os campos de

onda de referência. No segundo passo, é aplicado TF-1 _{nos campos de referência. Num}

terceiro passo é feito uma interpolação linear dos vários campos de onda extrapolados. Por exemplo, para duas velocidades de referência, temos:

P = P1(c2− c) + P2(c − c1) c2 − c1

(2.18) onde P é a amplitude do campo interpolado, P1 é a amplitude do campo de onda para

a velocidade de referência c1, P2 é a amplitude de campo de onda para a velocidade de

referência c2 e c é a velocidade verdadeira .

2.4.4 Migração Split-Step

Apresentado por Stoa et al. (1990), o método split-step é uma modicação do phase-shift e torna possível a migração com variações verticais e laterais suaves de velocidade.

O campo de onda é extrapolado para baixo pelo método split-step em duas etapas. Na primeira etapa, faz-se o deslocamento de fase no domínio número de onda-frequência usando uma velocidade de referência, que varia exclusivamente em profundidade. Na segunda etapa, no domínio frequência-espaço, é feito outro deslocamento de fase visando corrigir a variação lateral de velocidade.

A migração split-step é baseada na teoria da perturbação. Com base nesta teoria, pode-se dividir o campo de velocidade lateralmente variante num termo constante, velocidade de referência, mais um pequeno termo de perturbação, ou seja:

c(x, y, z) = ¯c(z) + δc(x, y, z) . (2.19) Para obtermos o campo de onda pelo método split-step, usamos a seguinte relação matemá-tica:

(42)

ω c r 1 −c ω 2 k2 x,y = ω ¯ c r 1 −¯c ω 2 k2 x,y+ ( ω c r 1 −c ω 2 k2 x,y− ω ¯ c r 1 −¯c ω 2 k2 x,y ) , (2.20) onde k2_x,y = k2_x+ k_y2 . (2.21) Expandindo as raízes na expressão entre chaves acima em série de Taylor e retendo apenas os termos de ordem zero temos:

ω c r 1 −c ω 2 k2 x,y ≈ ( ω ¯ c r 1 −¯c ω 2 k2 x,y+ ω c − ω ¯ c ) . (2.22) Usando a equação (2.22) em (2.4) tem-se:

dP (kx, ky, z, ω) dz = −i ( ω ¯ c r 1 −c¯ ω 2 k2 x,y+ ω c − ω ¯ c ) P (kx, ky, z, ω) . (2.23)

Observamos que a equação unidirecional (2.23) contempla o termo de correção lateral (cor-reção split-step).

A solução da equação (2.23) pode ser desdobrada em duas equações, ou seja: ˜ P (kx, ky, z + ∆z, ω) = P (kx, ky, z, ω)e −iω ¯ c q 1−(_ωc¯)2k2 x,y ∆z (2.24) e ˆ P (x, y, z + ∆z, ω) = ˜P (x, y, z + ∆z, ω)e−i(ωc− ω ¯ c)∆z . (2.25)

Para se obter a seção migrada, deve-se calcular P (x, y, z + ∆z, t = 0).

Na equação (2.24) observamos um deslocamento de fase no campo de ondas usando a velocidade de referência. Já na equação (2.25) o deslocamento de fase atua como um termo de correção, fornecendo um deslocamento temporal baseado na diferença entre o inverso da velocidade verdadeira e a de referência em cada posição do espaço.

(43)

A velocidade de referência usada pode ser a velocidade média ou a velocidade mínima em cada passo em profundidade. Segundo Neto (2004), a escolha da velocidade de referência entre estas alternativas não é crítica para o resultado da migração.

O método split-step possui várias vantagens, por exemplo: permite a migração com apenas uma banda de frequência de interesse, é incondicionalmente estável, os operadores diferenciais são implementados com precisão, em um único passo executa a migração de uma camada espessa e admite pequenas variações laterais de velocidade. Uma desvantagem do método é que apresenta problemas para imagear grandes mergulhos. Em termos computa-cionais é um método eciente e pode ser usado nos dados sísmicos em 3-D sem aumentar muito o custo computacional.

Para o problema em 3-D serão necessárias duas transformadas diretas e inversas de Fourier nas coordenadas espaciais para cada intervalo de migração. Este é o maior custo computacional requerido pelo método. Para o caso 2-D só é preciso uma transformada direta e inversa de Fourier para cada intervalo de migração.

2.5 Migração Kirchho

A migração Kirchho é baseada na equação da onda e é largamente usada pela indústria de óleo e gás devido ao seu baixo custo computacional e sua versatilidade, em relação aos outros métodos de migração, permitindo migrar todo o dado ou um subconjunto dele.

Para obtermos o campo de onda pelo método Kirchho é necessário usarmos o teorema de Gauss, cujo enunciado matemático é:

I V ∇.~a dV = I S ~a.ˆn dS . (2.26) O teorema de Gauss permite integrar uma função em um volume V , usando informações exclusivamente na superfície S, que envolve o volume . É importante mencionar que o ˆn é o vetor normal à superfície S (Figura 2.1).

O vetor ~a que aparece na equação (2.26), pode ser denido como:

~a = P ∇G − G∇P , (2.27) onde P e G são grandezas escalares dependentes das coordenadas espaciais e da frequência, ou seja, P = P (x, y, z, ω) e G = G(x, y, z, ω). O operador ∇ é denido como:∇ = ∂

∂xˆi + ∂ ∂y ˆ j + ∂ ∂z ˆ k.

(44)

A divergência do vetor ~a é dada por:

∇.~a = P ∇2_{G − G∇}2_{P ,} _(2.28)

onde ∇2 _{é o Laplaciano. A substituição da equação (2.28) no teorema de Gauss (2.26) leva}

ao teorema de Green: I V (P ∇2G − G∇2P ) dV = I S (P ∇G − G∇P ).ˆn dS . (2.29)

Figura 2.1: Volume envolvido por uma superfície S = S1+ S2, (Costa, 1997).

O teorema de Green diz que é possível obter informações sobre um campo de ondas dentro de um volume, a partir de medidas do mesmo campo efetuadas na superfície que envolve o volume.

Pode-se mostrar que o teorema de Green está associado à equação da onda, já que P e G satisfazem às seguintes equações:

∇2_{P = −}ω

c 2

(45)

e

∇2_{G = −}ω

c 2

G + 4πδ(x − xB)δ(y − yB)δ(z − zB) , (2.31)

onde (xB, yB, zB) são as coordenadas da fonte impulsiva e (x, y, z) são as coordenadas do

ponto de observação.

A equação (2.30) governa a propagação da onda gerada por fontes situadas fora do volume V , enquanto a equação (2.31) governa a propagação da onda gerada dentro do volume V , ou mais precisamente, no ponto B.

Substituindo-se as equações (2.30) e (2.31) em (2.29), obtém-se: I V 4πδ(x − xB)δ(y − yB)δ(z − zB)P (x, y, z, ω) dV = I S (P ∇G − G∇P ).ˆn dS . (2.32) Devido à função delta de Dirac, a integral volumétrica é reduzida ao valor de P no ponto B, ou seja P (xB, yB, zB, ω). Como resultado, a equação (2.32) transforma-se na intergral de

Kirchho: P (xB, yB, zB, ω) = 1 4π I S (P ∇G − G∇P ).ˆn dS . (2.33) A equação (2.33) permite avaliar o campo de pressões no ponto B, no interior de V , a partir de medidas realizadas nesta superfície S. Ainda falando desta equação, é importante mencionar que ela é válida no caso em que não existem (ou são desconsideradas) outras fontes de energia dentro do volume V , além daquelas situadas na superfície.

Para dados sísmicos, a integral de Kirchho pode ser separada em duas partes de forma que S = S1 + S2, e o campo de ondas pode ser considerado como se fora gerado por fontes

secundárias abaixo de S1, que representa a superfície onde são realizadas as medidas. Uma

vez que os dados são gravados durante um tempo nito de registro, a superfície S2 pode ser

escolhida de forma que a contribuição desta parte na integral seja desprezível.

A expressão (2.33) pode ser simplicada de forma a permitir aplicação prática mais imediata. Para isto, assume-se que a superfície S1 é horizontal, ou seja, o vetor −~n faz

um ângulo de zero grau com o eixo z. Assim, aplicando-se a denição do produto escalar, obtém-se:

∇P.ˆn = ∂P

∂z (2.34)

(46)

∇G.ˆn = ∂G

∂z . (2.35)

Incluindo estes resultados na equação(2.33), a integral de Kirchho pode ser reescrita como: P (xB, yB, zB, ω) = 1 4π I S1 P∂G ∂z − G ∂P ∂z dS1 . (2.36)

Em algumas situações, como por exemplo na aquisição de dados sísmicos registrados no mar, mede-se normalmente o campo de pressão e a integral de Kirchho necessita de informações do campo e da derivada do campo de pressão. Para se contornar essa diculdade, devemos escolher uma função de Green que seja nula na superfície S1 (condição de contorno de

Di-richlet). Usando essa condição, a integral de Kirchho se reduz à integral de Rayleigh II e que é dada pela seguinte expressão, segundo Rosa (1996):

P (xB, yB, zB, ω) = 1 2π I S1 P∂G ∂z dS1 . (2.37)

Na dedução das integrais de Kirchho e Rayleigh II não aparece qualquer referência ao sentido de propagação da onda, o que signica dizer que os resultados obtidos até aqui valem tanto para modelagem como para migração.

No caso da migração, deve-se levar em conta que, de acordo com o modelo do reetor explosivo, a extrapolação inversa implica em profundidade crescentes e, segundo a Figura 2.2, implica também em tempos decrescentes. Neste caso, assumindo-se que o meio é ho-mogêneo e que a densidade pode ser desprezada, a função de Green apropriada passa a ser dada por (Rosa, 1996) :

G(x, y, z, ω) = 1 Re

−iωτ _(2.38)

ou, no domínio do tempo, por:

g(x, y, z, t) = 1

Rδ(t + τ ) , (2.39) onde

(47)

e

R =p(xB− x)2+ (yB− y)2+ (zB− z)2 . (2.41)

Esta versão da função de Green descreve um impulso unitário com amplitude proporcional a 1/R, nos pontos em que R = cτ e amplitude igual a zero nas demais posições do espaço. A forma geométrica correspondente é a de um esferóide, de raio igual a cτ, encolhendo-se no espaço, já que o tempo é decrescente. Na aplicação da integral de Kirchho à migração sísmica, procura-se avaliar o campo de ondas no ponto B a partir de medidas feitas na su-perfície S2, conforme Figura 2.2. Para isto, assume-se que, como as ondas são ascendentes e

a função de Green é anticausal, a superfície S1 não contribui para o valor de pressão obtido

no ponto B. Por outro lado, pode-se considerar as superfícies S3 e S4 afastadas o suciente

para que sua contribuição seja nula.

-x ?z S2 S1 S4 S3 ? @ @ @ @ @ @ R ˆ n ~r •B α

Figura 2.2: Modelo para a aplicação da integral de Kirchho à Migração (Rosa, 1996).

A partir da integral de Kirchho e da função de Green, denida pelas expressões (2.38) e (2.39), podemos obter a integral de Rayleigh II aplicada à migração. Para isto, adota-se a condição de contorno de Dirichlet, ou seja, considera-se a função de Green como igual a zero na superfície S2. Assim, a partir da equação (2.37), tem-se:

P (xB, yB, zB, ω) = 1 2π I S2 P∂G ∂z z=0 dS2 . (2.42)

A derivada da função de Green com relação a profundidade z, pode ser escrita como: ∂G ∂z = ∂G ∂R ∂R ∂z . (2.43)

(48)

Usando a função de Green expressa em (2.38) e a relação (2.41), então o campo P (xB, yB, zB, ω)

pode ser reescrito como: P (xB, yB, zB, ω) = 1 2π I S2 cos α 1 R2 + iω cR e−iωτP (x, y, z = 0, ω) dS2 . (2.44)

Aplicando a transformada inversa de Fourier em (2.42), resulta em: P (xB, yB, zB, t) = 1 2π I S2 cos α 1 R2 − 1 cR ∂ ∂t P (x, y, z = 0, t + τ ) dS2 . (2.45)

Segundo Rosa (1996), o termo (t + τ) indica que a amostra deve ter o seu tempo reduzido de acordo com o intervalo τ = R/c, para a avaliação numérica da integral.

2.6 Migração Reversa no Tempo - RTM

A RTM baseia-se na solução da equação da onda acústica (Whitmore, 1983; Baysal et al., 1983) e normalmente é utilizada para meios com fortes variações laterais de velocidade, devido à sua precisão. Este método permite migrar reetores com qualquer inclinação pelo fato de usar a equação da onda acústica, todavia a realização da RTM requer uma alta demanda computacional.

Várias estratégias tem sido utilizada para implementar RTM, dentre elas podemos citar o uso de operadores de diferenças nitas na equação da onda conforme mostram as equações (1.21) e (1.26). Dessa maneira, o campo de ondas Pn−1

l,j,m pode ser obtido em um ponto da

malha 3-D (l∆x, j∆y, m∆z) no tempo (n − 1)∆t a partir do campo no mesmo ponto nos instantes n∆t, (n + 1)∆t e o campo em pontos vizinhos no instante n∆t. Outra estratégia é utilizarmos uma aproximação de diferenças nitas de qualquer ordem na derivada temporal e calcularmos as derivadas espaciais através da transformada de Fourier, ou seja, usarmos o método pseudo-spectral Fourier para calcularmos o Laplaciano do campo.

Aplicando o método pseudo-spectral e considerando o uso de uma aproximação de se-gunda ordem para a derivada temporal na equação (1.1), tem-se o seguinte resultado:

Pn+1_{− 2P}n_{+ P}n−1

(c∆t)2 = −[F −1

(k2_x+ k_y2+ k2_z)F ]Pn, (2.46) onde F é a transformada direta de Fourier e F−1 _{é a transformada inversa de Fourier.}

(49)

Na RTM, a equação (2.46) é utilizada da seguinte forma: Pn−1 = −Pn+1+ 2Pn− (c∆t)2_[F−1

(k2_x+ k_y2+ k2_z)F ]Pn. (2.47) A equação (2.46) necessita satisfazer a condição de estabilidade

∆t ≤ 2 cmax s π ∆x 2 + π ∆y 2 + π ∆z 2 , (2.48)

e o erro da dispersão numérica no domínio da frequência é dado pela seguinte expressão (Zhang et al., 2007a):

= 1 − 4 sin2(ω∆t 2 ) (ω∆t)2 = 1 − N_p π sin π Np 2 , (2.49)

onde Np é o número de amostras por comprimento de onda.

Para melhorar a precisão, Etgen (1986) propôs usar uma aproximação de diferenças -nitas de quarta ordem para a derivada temporal na equação (1.1) e as derivadas espaciais são calculadas através do método pseudo-spectral, de forma que temos o seguinte resultado:

Pn+1− 2Pn_{+ P}n−1 (c∆t)2 = −[F −1 (k_x2+ k2_y+ k2_z)F ]Pn+ ∆t 2 12c2[c 2_F−1 (k2_x+ k_y2+ k_z2)F ]2Pn . (2.50) A expressão (2.50) precisa satisfazer a correspondente condição de estabilidade (Zhang et al., 2007a) ∆t ≤ 2 √ 3 cmax s π ∆x 2 + π ∆y 2 + π ∆z 2 , (2.51)

com o erro de dispersão numérica

= 1 − 6 − 6 s 1 − 4 3sin 2 ω∆t 2 (ω∆t)2 = 1 − 3 2 Np π 2" 1 − s 1 − 4 3sin 2 π Np # . (2.52) Baysal et al. (1983) apresentaram um método para realizar RTM baseado na equação

(50)

uni-direcional da onda (Gazdag, 1981). Este método permite evitar o aparecimento de reexões múltiplas originadas no processo.

A equação unidirecional utilizada por Baysal et al. (1983) é: 1 c ∂P ∂t = ± s ∂2 ∂x2 + ∂2 ∂y2 + ∂2 ∂z2 P . (2.53)

O operador dentro da raiz pode ser escrito como: 1 c ∂P ∂t = [F −1 _±iq k2 x+ k2y+ kz2 F ]P . (2.54) Obtida esta derivada, para um determinado tempo t, o valor do campo de pressão no ins-tante t − ∆t pode ser obtido através da aproximação da derivada por diferenças nitas de primeira ordem (1.11), ou seja:

P (x, y, z, t − ∆t) = P (x, y, z, t + ∆t) − 2∆t∂P (x, y, z, t)

∂t . (2.55) O uso de operadores de diferenças nitas na implementação de RTM impõe limites ao ∆t utilizado para extrapolar o campo de ondas, uma vez que os operadores de diferenças nitas tem problemas de estabilidade e dispersão numérica, conforme discutido no capítulo 1. Para resolver tais problemas é necessário usar operadores de alta ordem ou diminuir o ∆t usado na marcha do tempo, aumentando o custo computacional.

Soubaras e Zhang (2008) apresentaram um novo método para fazer RTM. A estratégia é baseada na expansão polinomial de alta ordem, que permite usar o ∆t de Nyquist. Este novo método não sofre com problemas de estabilidade ou dispersão numérica. Por isso, pode ser usado, garantindo eciência e alta qualidade na RTM.

A idéia apresentada por Soubaras e Zhang (2008), é que a equação da onda pode ser escrita como: ∂2_p ∂t2 + Φ 2 p = 0 , (2.56) onde Φ2 = c2 − ∂ 2 ∂x2 − ∂2 ∂y2 − ∂2 ∂z2 . (2.57)

Análise dos métodos de diferenças finitas e expansão rápida na migração reversa no tempo