Matemática para o 1º grau -Exemplar do Professor, 5ª série, 3ª edição, 1974

(1)

M a t e m à t i c a

para o 1^ grau

Lydia Condé Lamparelli

A d o l f o W a l t e r P. C a n t o n P e d r o A l b e r t o M o r e t t i n D a l v a F o n t e s I n d i à n i

(2)

V

V l a t e m à t i c a

p a r a o g r a u

C F E K TA D O E O l Tc n ;

ESTE, l Vvi.O POOERA Iv- ^ 1

THAl.C i.:V. ECART - EÂO P: l

uv..w:v.\ zy(iù:ix lté;.. \

HUA >AGUAPADS IL® ^7 f <P i

F O K E ; 2 2 M E 3 a — L l o Tc r î c

(3)

direçào editorial

de Washington Helou

5 gerência éditorial

d e A n t o n i o O r z a r i Comunicaçâo Visual

Arquiteto Joâo B. A. Xavier

CoUboradores Minoru Naruto

Vivaldo Tsukumo

Matemâtica para o 1» gra„. <. . • ,

M377 e outros] 3 ed i d . ® Lamparelli

3 e1. Brasilia, INL,

■

,974. ^DART;

314p. iiust. 25cm

SupUmentado pcl„ „a„„al do professor.

1- Matemâtica (l® «.aiA i n •

"e'i. II. Lamparelli, Lldia Condé

CCF/CBL/SP.73-0945

I. t!.elr (CDD).

_{: Eosido de ... ^au 372.7}

CDD:372.7

CDU:372.7

ibeccVnesco \°ART-sào paulo

3.°"ofido ATalbertoN^'*^'"^ Ltda. pdo

™.9706, no ~ de T D. ° em Sâo

P«o com a 1"° '• ™ 29 e na ^ ' D°™mentos -

_{Pfo.bida a leprodlà'®'"'" « convencôes Biblioteca}

'otal ou parciïl'«:,™-'7-s subscritas

c das ilustraçôes.

M a t e m â t i c a

p a r a

O ;

f . / r / / ' •

3 . " e d i ç â o î

Lydia Condé Lamparelli

Lîcenciada em Matemâtjca pela Faculdade de Filosofia,

Çiên-cias e Letras da Universidade de ^o^Paiilo'^ ^

Professera Efetiva do Magdstério Secundârio Oîicial do Estado

d e S â o P a u l o .

Membre do Departamento de Matemâtica do IBECC.

Adolpho Walter P. Canton

Licenciado em Matemâtica pela Faculdade de Filosofia,

Ciên-cias e Letras da Universidade de Sâo Paulo.

Instrutor do Departamento de Estatistica da Faculdade de

Filosofia, Ciências e Letras da Universidade de Sâo Paulo.

P e d r o A l b e r t o M o r e t t i n

Licenciado em Matemâtica pela Faculdade de Filosofia, Ciên

cias e Letras da Universidade de Sâo Paulo.

Professor Efetivo do Magistério Secundârio Oficial do Estado

de Sâo Paulo.

Instrutor do Departamento de Estatistica da Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da Universidade de Sâo Paulo.

Membro do Departamento de Matemâtica do IBECC.

D a l v a F o n t e s I n d i a n i

Licenciada em Matemâtica pela Faculdade de Filosofia Sedes

Sapientiae de Sâo Paulo.

Professera Efetiva do Magistério Secundârio Oficial do Estado

de Sâo Paulo.

EDART-SÀO PAULO

1 9 7 4

Em convênio corn o

(4)

AOS ALUNOS

I N D I C E

No inicio de seu curso ginasial. estâmes the oferecemlo

Z f diferente. Certamente você jâ deve

ter eonstatado .sso. Observe que a matéria esta disposta de

maneira a tornar a sua leitura agradâvel. .. Veja as

ilustra-çoes como sao bonitas! Tudo isso foi foiio ,

n u e i r i f l h c q u • p e n s a n d o n a p e s s o a

que ina usa-lo; um jovem aluno da 5 a série do eurso

eina-r b o n i t o ! ' " " " ' ™ l i v eina-r o b o m

visào compTetlmenT noTa" dTtôda' a''

°m 'r

aprendeu no curso primârio An +«. '"^tematica que voce

você verificarâ que seus antian ° Pnmeij-o ano,

organizados e relacionados. Quanta" tornaram

cada neste volume e continuarâ nos demaTs"™'""'

melhor aproveite 0 Uvro"™"' de que você

ilustraçôes e ^Tendo'aLtaç'ôesTi'" as

-uito importante que você si! ZZ'"''"' também

sentaçâo dos assuntos, poi, af nas ' "e

apre-voce necessitarâ dos conceUos expo l

quando 0 assunto é geometria ''"'"'ores; mesmo

usados também em algebra conceitos que sâo

erupos distintos: apôfeat h^dois

deles que devem serresolilr você eneontra uma s l

P - s - s o l v a t o d o s

Portanto. nào"'puil'®""'

assunto comnlet ^''^fcicio, sob pena de - ®*Posta.

"• M™. PawdM 1"" «n b«

Autores Capitule 1 G e o m e t r i a I n t u i t i v a 1 . 1 . I n t r o d u ç â o 1 1 1 . 2 . P o n t o 1 1 1 . 3 . R e t a 1 5 1 . 4 . P i a n o 1 8 1 . 5 . F i g u r a G e o m é t r i c a 1 9 1 . 6 . C u r v a s 2 0 1 . 7 . C u r v a s F e c h a d a s , C u r v a s F e c h a d a s S i m p l e s . . 2 0 1 . 8 . I n t e r i o r e E x t e r i o r d e u m a C u r v a F e c h a d a S i m p l e s 2 2 1 . 9 . P o l i g o n o s ^ 2 4

1 ^ . 1 0 .

S e m i - r e t a

2 5

1 . 1 1 . Â n g u l o 2 6 1 . 1 2 . I n t e r i o r e E x t e r i o r d e u m Â n g u l o 3 0

I.IU;. Posiçôes Relativas de Duas Retas em um Piano 31 1 . 1 4 ' P a r t i ç ô e s d o P i a n o 3 4 E x e r c i c i o s 3 6 Capitule 2 Relaçôes e Aplicaçôes 2 . 1 . P a r O r d e n a d o 4 7 2 . 2 . P r o d u t o C a r t e s i a n o 5 2 2 . 3 . R e l a ç ô e s 5 5

2 . 4 . A l g u m a s P r o p r i e d a d e s d a s R e l a ç ô e s 5 9

2 . 5 .

R e l a ç â o

d e

E q u i v a l ê n c i a

6 3

2 . 6 . C l a s s e s d e E q u i v a l ê n c i a 6 4

2.7. Partiçâo de um Conjunto Determinada por uma

R e l a ç â o

d e

E q u i v a l ê n c i a

6 6

2 . 8 . A p l i c a ç â o 6 7

2 . 9 . E q u i p o t ê n c i a 7 1

2.10. O Conjunto dos Numéros Naturais e o Conjunto

d o s N u m é r o s I n t e i r o s 7 2 2 . 1 1 . A S u c e s s â o d o s N u m é r o s N a t u r a i s 7 3 E x e r c i c i o s ' ^ 6 Capitule 3 Numeraçâo 3 . 1 . N u m é r o e N u m e r a l 8 5

(5)

3.2. Sistema de Numeraçâo Egîpcio gg

3.3. Sistema de Numeraçâo Babilônico .* .*i gg

3.4. Sistema de Numeraçâo Romano qq

3 . 5 .

O Z e r o -

^

^ Q 2

3.6. Sistema de Numeraçâo Decimal [ [ [ * 93

3.7. Leitura dos Numerals na Base 10 , 95

3 . 8 . N o t a ç â o E x p o n e n e i a l « o

3.9. Bases Diferentes de 10

3.10. Base 5

3.11. Notaçâo Exponeneial Para Base 5

3.12. Base 2

3.13. Mudança de Base

Exercicios

110

C a p i t u l e 4 A

0 Conjunto dos Numéros Inteiros

Operaçôes

4 A . 1 . A d i ç à o

4 A . 2 .

M u l t i p l i c a ç à o

. . .

1 1 5

4A.3. Propriedades da AdicVn* 1*^ " V/

4A.4. Aplicaçôes das Pronripri ^ ^ ^^ItipHcaçâo .. 120

4A. 5. Tâbuas para Adiçào e iTini ' '

-4A.6. Subtraçâo ® ^^"Itiphcaçao 128

4 A . 7 . A m p l i a ç à o d o C a m p o '

■

1 2 9

4A.8. Noçào de Multiplo de um

4A.9. Divisâo Exata .. Numéro Inteiro .. 133

4 A . 1 0 . O p e r a ç ô e s I n v e r s a s 1 3 4

4 A . 1 1 . D i v i s â o N â o E x a t a 1 3 7

4 A . 1 2 . E x p r e s s ô e s A r i t m é t i c a s 1 3 9

4 A . 1 3 . C o n c e i t o d e O p e r a ç â o 1 4 2

Exercicios

146

Capitulo 4 B

0 Conjunto dos Numéros Inteir

Multiples e Divisores o s 4 B . 1 . 4 B . 2 . 4 B . 3 . 4 R . 4 . 4 B . 5 . 4 B . 6 . 4 B . 7 . Multiple .., ^

Multiples ComunVdev^'-'

Minimo Multiplo Pn ®

Divisor ... ^omum .

As Relaçôes "p hV • ' •

Numéro Primo '

_{i ^ n m c} _{. . .} _^ _e _{m u l t i}

Dmsores Cornuns de

Numéros

m e r o s

"^ilïtipio de'

1 5 7 1 5 9 1 5 9 1 6 1 1 6 3 1 6 4 1 6 5 4 B . 8 . M a x i m o D i v i s o r C o m u m 1 6 5 4 B . 9 . N u m é r o s P r i m e s E n t r e S i 1 6 7 4 B . 1 0 . F a t o r a ç â o 1 6 9 4 B . 1 1 . R e g r a s d e D i v i s i b i l i d a d e 1 7 0 4 B . 1 2 . R e c o n h e c i m e n t o d e U m N u m é r o P r i m o 1 7 2 4 B . 1 3 . F a t o r a ç â o C o m p l é t a d e u m N u m é r o 1 7 5 4B.14. Determinaçào de Todos os Divisores de Um

N u m é r o 1 7 7

4 B . 1 5 . M a x i m o D i v i s o r C o m u m — R e g r a s P r â t i c a s 1 7 8

4B.16. Minimo Multiple Comum — Regras Prâticas 179

E x e r c i c i o s 1 3 2

Capitulo 5 A

0 Conjunto dos Numéros Racionais

Conceito de Numéro Racional. Operaçôes

5 A . 1 .

N o ç â o

d e

F r a ç â o

1 8 7

5 A . 2 . G Q u e S i g n i f i c a U m a F r a ç â o ? 1 8 9 5 A . 3 . L e i t u r a d e U m a F r a ç â o 1 9 1 5 A . 4 . F r a ç ô e s E q u i v a l e n t e s 1 9 3 5 A . 5 . N u m é r o R a c i o n a l 1 9 6 5 A . 6 . C l a s s e s d e E q u l v a l ê n c i a 1 9 9

5A.7. Reduçâo de Fraçôes ao Mesmo Denominador 203

5 A . 8 . i g u a l d a d e d e N u m é r o s . R a c i o n a i s 2 0 6

5 A . 9 . N u m é r o s I n t e i r o s e N u m é r o s R a c i o n a i s 2 0 7

5A.10. Representaçào do Conjunto dos Numéros Ra

c i o n a i s 2 0 9

5 A . 11 . D e s i g u a l d a d e d e N u m é r o s R a c i o n a i s 2 1 0 5A.12. Representaçào Geométrica dos Racionais. A

R e t a . N u m é r i c a 2 1 5

5A.13, Operaçôes corn Numéros Racionais. Adiçào 217

5 A . 1 4 . M u l t i p l i c a ç à o 2 2 5

5A.15. Propriedades da Adiçào e da Multiplicaçào .. 228

5 A . 1 6 . S u b t r a ç â o 2 3 7

5 A . 1 7 . D i v i s â o 2 4 2

5A.18, Subtraçâo e Divisâo com Operaçôes Inversas

d e A d i ç à o e M u l t i p l i c a ç à o 2 4 4 5 A . 1 9 . E x p r e s s ô e s c o m N u m é r o s R a c i o n a i s 2 4 5

E x e r c i c i o s 2 4 7

Capitulo 5 B

0 Conjunto dos Numéros Racionais

(6)

5 B . 1 .

I n t r o d u ç â o

2 6 1

5B.2. Numéros Décimais !!!!!.!!!! 262

5B.3. Leitura dos Numéros Décimais 265

5B. 4. Representaçâo Decimal dos Racionais 267

o B . 5 . O p e r a ç ô e s _

5B.6. Adiçâo

5B.7. Subtraçâo

5B.8. Multiplicaçào ...

5B.9. Divisâo ..

E x e r c i c i o s

. .

2 8 0

Capitulo 6 Medidas 6 . 1 . 6 . 2 .

Noçào de Medida

memo' UnidadeV d;'c;mp

it

61 Medida de Peso ..

Exercicios ..

2 8 2 2 8 9 2 9 1 2 9 6 3 0 2 3 0 2 3 0 5 3 0 7 3 1 2

(7)

Capitule

1 G e o m e t r i a i n t u i t i v a

1 . 1 . I n t r o d u ç â u

Iniciaremos nosso estudo com a apresentaçâo de varies con-ceitos, muitos dos quais você certamente conhece de suas experiências anteriores. Êstes conceitos serâo relacionados entre si, e muitas conclusôes intéressantes serâo tiradas e, o

que é mais importante, as mesmas serâo usadas no decorrer

de suas liçôes através dêste livre, ilustrando um fato de grande

importâneia: os varias assîintos corn os quais a. matemâtica lida estâo ligados uns aos outras.

Neste capitule, veremos as principals figuras geométricas e

mais particularmente as figuras geométricas playms. Tôda

figura geométrica sera representada através de um desenho.

Possivelmente você jâ sabe desenhar um triângulo, um

qua-drado, um ponto. Comecemos entâo pelo ponte.

1 - 2 . P o n t o

A idéia de po7îto é intuitiva a todos nos pela simples

observa-çào dos fates da natureza. Embora nào exista, no mundo

em que vivemos, um ponto, êle pode ser sugeiido por uma

pequena marca feita num papel pela ponta de um lapis, por

uma estrêla no céu, pela cabeça de um alfinete, etc. Por causa

disso, em geometria nâo dizemos o que é um ponto, mas

trabu-Ihamos — e como — com êle.

A marca feita no papel, que é uma representaçào de um ponto,

tem um atributo fisico que é o seu tamanho; ainda que

tenha sido feita por um lapis bem apontado, ela cobre uma

certa regiâo do papel, que certamente tem um tamanho.

Para o matemâtico, o ponto nâo possui qualquer quahdade

fîsica, logo, nâo possui tamanho e portante uma marca r,ao

é um ponto. Assim sendo, todo desenho que fizermos ou que

você encontrar, sera sempre uma representaçào de uma xdeia

geométrica; mas, como é cansativo a todo instante estarmos

falando em "este desenho é a representaçào de um^ ponto

para simplificar a linguagem diremos "êste ponto , esta

l'eta", etc.

Pôsto isto, considéré os pontos da figura ao lado.

Como posso eu me referir a êles dizendo: o ponto do canto

esquerdo, o ponto do canto inferior direito, etc.. ... Voce

certamente vai concordar que é muito mais simples dai nomes

1 1 • • • • , • • • • • • / • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . - • _ • • • • • • • -

(8)

-a esses pontes e depois ch-am-a-los pelos mesmos, per exempio:

0 ponto a. 0 pmtv b. o ponto c, o ponto d.

Temos acima o conjunto dos pontes a, b. c, d, que na escrita

représentâmes per:

{a, b, c, d} eu (a, e, d. b} eu {b. c, d, a}

e u

Veja que o mesmo conjunto de pontes pode ser escrito de

v a r i a s m a n e i r a s , p o r t a n t e

{a, b. c, d) = ,a. c, d, b) =. (b, c, d, a), etc.

No seu curse primârio. voce usou inûmeras vêces o sinal

-Per exemple, militas vezes voce escreveu ~

^ ^ ~ ^ Que se lê 2 -L 1 ' •

+ 1 e igual a 3.

Sera que, pelo meiies uma vez, voce nam

0 real significado da expressâe é i ^"dagar sôbre

Serâ, per acaso, que o é igual a da^^ ^^tematica ?

d a s e n t e n ç a ' G u i a t i c a , é o m e s m o

"a saia de Sueli é ign.i .

a saia de Miriam,"?

E v i d e n t e m e n t e n a o !

É igual a, da matemâtica, represent a

dizer "é a mesma coisa que» sinal =,'quer

2 + 1 = 3 quer

2 + 1 é a mesma coisa que 3 ou

2 + 1 e 3 sâo nomes diferentes d»

de uma imica coisa.

Agora você jâ percebeu porque a

sentença citada acima. nao é a mes^r!^''^" ® 0, da

nao é verdade que ^ da uiatemâtim

ii'iea, pois

"a saia de Sueli é a

_{® a mesma que a}

. . . .

M i r i a m "

a q u i t e m o s d u a s s a i a s e n S r . '

^esma saia.

1 2

Quando escrevemos {a, b, c, dj = 'b, c, d, a}

queremos dizer que {a, b, c, d} e {b, c, d, a}

sâo representaçôes diferentes de uni mesmo conjunto de

p o n t e s .

Exercicies:

1. Escreva de tôdas as maneiras possiveis o conjunto

{a, b, c, d!.

2. Assinale as sGntenças abaixo, nas quais a expiessâo é

igual a" é a da matemâtica

a. 10 é igual a 2 X

5-I), a réjîua de Maria é igual à régua de Lucia.

. c. o conjunto Ir, s. tl é igual ao conjunto (t, r. s].

d. o comprimenlo cla régna de Maria é igual ao

com-primento da régua de Lucia.

Considéré agora o conjunto (a, b, d). Os pontes déste novo

conjunto sâo:

0 ponto a, 0 ponto b, o ponto

l^izemos que a pertence ao conjunto {a, b, d) ou que

de (a, b, d}.

^izemos que b pertence ao conjunto [a, b, d) ou que

^lemento de (a, b. d}.

^izemos que d pertence ao conjunto {a, b, d) ou que

^^emento de (a, b, d).

^Jzemos que c mào pertence ao conjunto (a, b. d), ou que c

é elemento de {a, b, dl.

Simbolicamente escrevemos que a peitence a (

''^Gguinte maneira :

(9)

• ' I'. », J| a»lm: c g {., b, d).

i — f b S s r " * •

Se A for o conjunto dos meninos de

e claro que

a € A

e 36 6 for 0 seu pai, entao

A .

sua classe e a for voce.

Se B for o conjunto dos rios brasileiros d f- •

& n 0 n o N i l e e n t â o ' ® n o A m a z o n a s . d G B

e n ^ B.

Exerci'cios:

3. Seja A o conjunto dos planet,= ,

-sao OS elementos de a? ' s^stema solar. Quais

4. Seja B o conjunto das vocr', ,

d pertence a esse conjunto'' p° r""" A letra

bol.camente, ' a sua resposta

sim-5. Sua classe é urn conjunio de -,1

f 0 « -t.se conjunto? g set. p" • Pertence ou

< e sua classe por po„to, ^ seu

desenho que con.=iga di»..,, ^ " P'U também v

voce, em .-elaçào a esse "™»tece " se

e s s e c o n j u n t n P a i e a

voce, em relaçào a ès<!o

conjunto. 6. Considéré os î-'eguintes f.,v •

^^ajuntos:

a, 0 conjunto dos numéro, . .

-menores que 7: ^ ^oieiros maior

U u e 3 e

{4, 5, 6}

b. 0 conjuntu des numéros inteiros maiores que 3 e

i n e n o r c s q u e 5 :

I ' l l

c .

o conjunto dos numéros inteiros maiores que 3 e

m e n o r e s ( j u e 1 :

() segundo conjunto, que é {4J, possui um so elemento,

por i.sso é chaniado do coujioito unitdrio.

O terceiro conjunto 1 1 nâo possui elementos, por mso

é chaniado de conjunto vazio. Éle é representado por ^ }

0" Jieio simbolo 0. Existe .s-ô»ie«/e um conjunto vazio,

isto é, 0 conjunto scm elementos é ûnico.

THga quai.s das seguintes sentenças determinam o conjunto

Vazio e quais determinam uni conjunto imitario.

ÎI- O conjunto dos numéros inteiros tais que. cada um

deles somado a 2 resulUi 4 (isto é, os numéros x intei

ros tais que x -}- 2 --- 4).

I'. 0 conjuut,. doa numero.s inteiros maiores que 10 e

memn es cpie 12 que sao pares.

t:- o coiijunto dos nûmei-os inteiros tais que, cada um

doles somado a 2 .-esulta 2 (isto 0. os numéros

mtei-ros X tais que x 1- 2 ^ 2).

'1- 0 conjunto dos alunos de sua classe que têm menos

de 5 anos.

IJê exemples. <le conjuntos unitarios e exemples do

con-JPiito vazio.

1 . 3

R e t a

1 4

taîr ° '"""l°gerir" umrrete quando

lamente uma reta, mas podemos sug

^°1=ideramos uma rigua, a borda de uma mesa,

_{^^0. estendido sem limites nos dois senti ,}

Ifaves do futebol, etc.

(10)

A reta e urn conjunto de pontes e é ilimitada nos dois

sen-1 OS. Poi isso, quando desenhamos uma reta, desenhamos

somente uma parte delà.

Exercicios:

9. Marque numa fôlha de papel-um ponto. Trace quantii.''

retas voce puder, passando per esse ponto.

10. Considéré a figura formada pelos très pontes a, b, c.

É possivel traçar uma reta R tal que: a G R, b e Re c G R? Onde deve estar o ponto c para que isso

acon-teça?

Ao conjunto de todos os pontes damos o nome de

espaço-Isto quer dizer que se p é um ponto, entao p é um elemento

do espaço.

Uma reta é um conjunto infinite de pontes, porém, nem todos

OS pontes do espaço pertencem a uma mesma reta. Logo uma

reta é uma parte do espaço. Os matemâticos dizem isto da

seguinte maneira:

Uma reta é um subconjunto do espaço.

E simbôlicamente escrevem R c E,

sendo E o espaço e, R uma reta qualquei*.

R c : E l ê - s e :

o conjunto R esta contido no conjunto E,

ou R é siibconjunto de E.

^ é um simbolo que sitmirio i.'

»m conjunto a outre conjunto,^ '-^'acionando

Considéré o conjunto de pontos {a, b, c). Ê claro que se considerarmos o conjunto [b, c), êle é um subconjunto de

b, c}, pois, cada elemento de {b, el é também elemento

tie {a, b, c).

O que voce pode dizer de

{ a ) ( b ) { c } fb, c) [ a , b } ( a , c ) em relaçào a {a, b, cl?

Todos êles sào siibconjuntos de (a, b, c).

Pi'este atençào no seguinte: todos os elementos de îa. b, cl

sào elementos do conjunto [a. b. c); por isso, dizemos que

{a, b, c) é subconjunto de (a, b,^ cU ou seja,

{a, b, c} é.subconjunto de si prôprio.

Vunios, agora, admitir o seguinte:

0 conjunto va.io é subconjunto de qualquer

eon-j u n t o .

(11)

Exercîcios: _{E x e r c K ' i o s :}

alunos

do ginâsio

11- Explique porque:

0 conjiinto dos alunos de sua cIusm.' ô uni

subcon-junto do consubcon-junto de todos os alunos do stu

^dnariio-0 conjunto das vogais do alfaludo o uni subconjuiito

tfo conjunto das letras do alfalicto.

12- De os 8 subconjuntos do conjunto ;o. i, 2;.

13. Pelo exercicio anterior voce verificou que

e { J sào subconjuntos de [0, 1, 2J e que

>0} nào é a mesma coisa que [ pois

{b} é 0 conjunto cujo iinico elemento é o numéro /.ero e

1 1 é 0 conjunto vazio, isto é, nâo possui eicmentos.

Perguntamos, entâo: a afirmaçâo

{ } — fO} é faisa ou verdadeira?

14. Seja A um conjunto formado de 5 lapis, sendo

u m a z u î

u m v e r m e l h o u m v e r d e

um preto e

u m a m a r e l o .

Quantos e quais sâo os subconjuntos de A que possucni

très lapis?

1-4. Piano

liïiagine a superficie de uma mesa, estendida sem limites,

tôdas as direçôes; isto Ihe darâ uma idéia do que é uTrt

piano.

piano também é um conjunto infinito de pontes, porém

todo3 os pontes do espaço pertencem a um mesmo piano.

1 5

Um piano é um subconjunto do espaço

I G

1 7

1 8

1 0

Uma fôlha de papel é uma represeiitaçâo de um piano.

possivel desenhar nela mais de uma reta? Case seja

possivol, desenhe duas retiis; desenhe agora mais tiês

r e t a a .

Seja A um piano (um piano é uni conjunto de pontos)

e R uma reta dêsse piano (uma reta é um conjunto

de pontos).

(Jual das seguintes afirmaçôes é verdadeira:

o u

R e A

Uni piano conténi

K CI A?

a . u m a r e t a

b . d u a s r e t a s c . i n fi n i t a s r e t a s ?

Pen.o no tampo de unn. eomo parte ^

C:onsidere um ponte, no teto da sala onde se en on ra

a mesa. Unindo o ponto do teto a um

do piano voce obtém parte de ® „esa?

essa reta é um subconjunto do piano uo

Por (pie?

c « m V . « » r

um mesmo piano (lembie .

1.5. Figura Geométricà

Considéré os desenhos ao lado. fiaura geométnca, isto

Qualquer uma dessus figuras « "

■

"^/'f^j^^/geométrica.

qualquer conjunto de pontos

figuras georaétHcas planas sâo aquelas cujos pontos

per-46ncem a um mesmo plâno.

figuras geométncas espaciais sâo aquelas cujos pontes nâo

Pertencem todos a um mesmo piano-

/ •

1

/

1 / /

/

1 8 19

(12)

Exerdcio:

anterior. sAo

i-epresenta-sentacoes'rip ^'eometncas pianas e quais sAo repve-

_{figuras geométricas eapaciais?}

1 . 6 . C u r v a s

Somente nos interessaremos, neste capitule, per figuras

geo-metricas planas.

Marque dois pontes distintos, a e b, numa fôlha de paP^'

(que e a representaçào de urn piano).

Coloque a ponta de urn lapis em a e desloque o lapis ao acaso,

sem levanta-lo^ do papel, até b ; as&im procedendo, voce obtém

a representaçao de uma figura geométrica, a quai damos o

nome de curva. Existem curvas que sâo ilimitadas, porém

a sud representaçào sempre começa em um ponto e acaba e""

o u t r e .

1.7. Curvas Fechadas, Curvas Fechadas Simples

Observe agora as seguintes figuras geométricaa:

Quando voce desloca o lapis com continuidade sobre o papeb

e termina o desenho no ponto onde o iniciou, nâo passando

de volta sobre um trecho jâ desenhado, voce obtem uma figu^'^

como as que estâo acima desenhadas. Uma figura obti^l^

nestas condiçôes chama-se curva fechaâa.

Desenhe você mesmo varias curvas fechadas. é

divertido-Cada uma das seguintes curvas fechadas, nâo apresenta

cru-zamentos, isto é, o lapis, ao se deslocar corn continuidade sobre

0 papel, nâo passa por um mesmo ponto mais- de uma

vez-Neste caso, temos uma curva fechada simples.

Repare que a figura abaixo é obtida deslocando o lapis de

c a ô,

a b

• «

Aqui estâo varias curvas que ligam a a b.

po'-tonto, ela é f

k-2 0 « s p é c i a l c h a m a H t a m b e m u m »

memento de yeta.

c v

ym segmento de reta ci^s extremidades sâo os pontos a

® designado por ab ou ba.

^xercicios:

nados dois pontes a e 6. Quantas

e terminam em b'I quantos segmen os

Dado« 3 pontos «. 6 e c alinhaclos., quais

^ôôs^seirmen-tos de reta que unem êsses pon^ôôs^seirmen-tos cois

, 1 ^ n.riis sâo os segmentos

Uados 3 pontos nâo alinhados. l ^ . r,

de reta que unem êsses pontos cois «

2 1

22

2.3

2.J

2.3

Dur todos os segmentes de reta que unem esses 5 pontos

dois a dois.

Quais das seguintes figuraS' geoniê

r c. curvas fechadas

îi. curvas, 1). curvas fechada..

•■^ i n i p l e s ? . I )

w

(13)

1.8. Interior e Exterior de uma Curva Fechada Simples

lado. Você esta"vendo^^ simples da figura ao

conjuntos de nn f de!as détermina no piano 3

é c l m a d o Z n T ' " ^ 0

exterior da curva^^"A"'^ ° mtenor da curva e o ultimo, o

rior, nem no exterior ^ contida nem no

inte-■

Zpletc rum^^Z"

meio de uma cur' " '^".^^^erior de C. Una m a n por

a curva unindo m a^n"^^ Qualquer que seja

ï"?i ponto. Esta é nm' ^ ^"•'va corta C em pelo menos

fechadas simples. ^ P^^op^edade importante das curvas

îoTeZaZpr-ÎTnidoratrallfd"'''

«^«•or. isto , coSTctriJr '

A mesma coisa acontece se você tomar 2 pontes quaisquer

00 exterior ; voce podera sempre uni-los através de uma curva

toda contida no exterior, isto é, sem cortar a curva

dada-Kxerck'io

Em cada ,

_{>~'iUA oaSO fin}

de azni ^^®»'cicio 25 r

' ' ° «e veZT: °

Nem sempre a figura de uma curva fechada simples nos

permite distinguir ràpidamente o seu interior e o seu exte

rior. Por exemplo, observando a curva fechada simp es a

figura do lado torna-se dificil dizer quais sao os pontos in e

Pos e quais sâo os pontos externos. 0 ponto a sera in *

6 o ponto 6? Existe urn método simples e râpido, para sa

se um ponto é interno ou se é externo a uma curva

seguinte :

Dado um ponto qualquer do piano que nao pertenç ^

t>-aça-se um segmente de reta que une esse ponto a um ponto

Qualquer da margem da fôlha de papal

1- Se 0 numéro de pontos de encontre do ^gmento de reta

com a curva fôr împar, o ponto é m e

2. Se 0 numéro de pontos de encontre do segmente de reta

com a curva fôr pdT, o ponto é bx g

Volte agora à curva da figura e trace o segmen

segmento bï"

5d corta a curva em 7 pontos, logo a e mterno

b^ corta a curva em 8 pontos, logo be ex

inferior da curva

^ partir do ponto a, voce pode colorir o

^ tendo o seguinte desenho:

E x

27

ercicio;

. determine quais sâo os

• Em cada um dos casos abaixo. ^ e ^ ^as

Pontos externos e quais sao os P dessas cU

Depois, pinte o interioi de

fechadas simples.

m

d « • c

s u

(14)

de-1-9- PoUçonos

Observe as seguintes curvas fechadas simples:

tais curvas° fechadas^ de segmentes de reta:

_{ehadas simples chamam-se poUgonos.}

Um segmento de reta de

nâo estiver prôpriame t é chamado de lado. se

de reta do po!igono. pV outro segmento

os segmentos de reta ^ "a figura ao lado sâo lados

cd, de, e fl

|;î r ^ ^

c a c .

Os polîgonos reeebem

lados que po.sue„,, ^°"f«me o numéro

Polîgono de 3 îado^ '

P^Jieoïîo de 4 laçj ^ ^^^angulo

Poïi'gono de 5 ^"^drilâtero

" ,«I I;;. •"

■

28. Quais da«

A I ?

Algumas curvas fe u

e , n e s t e c a s o . o t . .

curva e peio^ "^""^0 de ponj, T®"" conhecidas,

cial. Se a eurva à cur pelos pontes da

uma regiâo t,.; «m triângu,. ^^' nome

espe-f o r m a m u i p a s e « ^ e u i n t e r i o r espe-f o r r n a m

formam I se «7'"'°' e seu interior

_{^ voligo^^^ PoHgono, êle e seu}

2 4

1-10. Semi-reta

Plesenhe uma reta e chame-a de R.

Marque nessa reta um ponto a qualquer.

Q ponto a détermina na reta R très conjimtos de ponos.

0 conjunto dos pontos que estâo a esqueida de a (ou acim

de a, depende da posiçâo da reta).

0 conjunto dos pontos que estâo à direita de a (ou aba'

de a, depende da posiçâo da reta).

Q

0

r t , t i e p e n o e a a p o s i ç a o u < i x c ^ ^ w

-eonjunto (a) formado por um sô elemento, o p

uni dos dois primeiros conjuntos chama s

■

"îeun'-rcfa aherta de origem a.

na reta R dois pontos h e c. um em p^j.

fmi-retas abertas; elas entâo poderao sei

. 0 —♦

® respeotivamente.

que ab?

a b

o r

Para lembrar que essa semi-reta começa em a, (mas a

Pertence a ela) passa por b e continua...

a T

n

o

p l a )

p a s s a

p o r

c

e

^oïïieça em a, (a nâo pertence

_

.

s e m i - r e t a s

é n t â o

eonsiderarmos o ponto a fazendo pai o désignâmes por

sepn-retas Uhadas de origem a, que

a b

a c .

^ueê i.-, . . tn, sâo iguais Quando possuem

_{Ja viLi, que dois conjuntos}

e l e m e n t o s . , , „ ! - « )

. . d . - i . . j ;

■■

>«ora que as semi-retas ab e ba nao sao

* ^ 0 s S , . „ . . _ 1 - n n n t o s .

V

* C 4 X ^ W W

-•"^ào 0 mesmo conjunto de pon os

Ver porque:

a semi-reta fechada que começa em a. paaaa P"' "

1 ^ 7 i t - m s a p o i a

(15)

temos dois conjuntos de pontos bem distintos.

Simbolicamente escrevemos

^ b a ,

onde 0 Sinai ^ q„e,

uizei e diferente de".

E x c r c i c i o s :

2 9 .

d o i s

„

îiiima folha do papel.

a- laantas .semi-reU,s ,,

"• O-antas sen,i.,,t,.^ /

® a passa ni p(>''

30. fr-aia das seguintes afi- . -

_{' '^•'Çôes Kâo VL>rda<loii'as?}

♦. u _ a . a b _{C a b} b . a b c a b e . a b

_Cb^

d . a b ( V- ^ c 6 a e . a b <1C. àe 1.11. Anguio

Considéré as s«o-„; .

_{" figuras geom'f •}

Cada uma delas é

mesma origetn Pot d

Cada uma dela's / e nào v fechadaS

Um ponto pj; 0 que e„, ^ ^''"hadas.

tencer a ba «p , - P^me.ro ângulo tem que P«''

àngulo tem

a y z Q . , * Complete você •

Um ponto Paraît;!"'"'"

f^'ase-tencer a .. „ P^'^'encer ., '

_•

_■

_{uu a . ao terceir„}

-^

,

■

^ " B u l o

t e m

q u e

Em cada um

juntos de Pontos an

... conjunto voce tem dois coP;

queé /r ^das) encarados coP'"

2 6 ^ o g u i o .

.ei"

Dados dois conjuntos quaisquer A e B, ao conjunto formado

por elementos que sao de A, ou de B, ou de ambos, dames

0 nome de renuMo de A e B e représentâmes por A U B.

A U B lè-se "A Liniâo B" ou "A reuniâo B".

Geralmente representamos os elementos de um conjunto

qual-Quer por meio dos pontos internos a uma curva fee a a

simples.

Assim

" " n p i e s .

Assim sendo. dados dois conjuntos A e B quaisquer, pode

ncorrer uma das seguintes posaibilidades.

'^®mos, entâo, os seguintes conjuntos

^^da oma das possibilidades;

reuniôes. considerando

A = B

A W B

(16)

Podemos a8:ora dizer que:

o r i g e m s e m i - r e t a s f e c h a d a s d e m e s m a

' e n â o a l i n h a d a s .

*^ada uma das spmi-rpfio n\.

das mesmas vértice do anguK"'^

Para podermos nos referiv , .

-as do desenho ao lado colocamos letr-as conr^

a letra correspondents ^ ^ abc, colocando seiPP**®

ao veitice entre as outras duas letras.

abc = ^

be

Exercicios:

elernentos do

aicio de pontes;, internn '^'^"Jonto representados

posso considérai- as se! " ^'t^chada simple-^'

ormas conhecicp.,,'"'"*'^^ ''^'Pcesentai^des, toniaiitlo

0 eircolo e o tnân«ulo.

^ ^ a n d o 1 . . " c i r c u l o e o t n a i

uJ^ando um lâ •.

" - i n a . e , o m

' "^I'l-esenU, A U I!.

32. Qual _{C 0} ^ertice

anguloy nu.. ^ ® quais

j ^ o a i x o V

■

O S

_{do cada um do^^}

33. (^iiantds v (piais sào os ângulos da seguinte figura?

3.5

^ oiisidorc () (it'srnho :

Qiial dos soKuiMtos oin-maçôes é

fI-<onil)ro-st' do slgnificado do sinal cm

/ b a c s a r / l a i c • x y z ■ A [ 1 , 2 . 3 , 4 ] P 1 2 , 3 . 4 , 5 } tcmo.s

A U 13 [1, 2, 3, 4, 51

Port; RÔ "tanto, em um con v e z .

^'^o.si(iere ajrora os conjuntos:

E H 11. 2. 3}

0

MO. 12} lie

^'«creva os seguintes conjuntos:

^ u E, p u F. E U F, E U H.

; reta aberta,

obte-^'-'dib.-ando cue, a partir de eira o aeu ponto

"'^^Or;indo cue. a partir de uin« ^ ^.n.eira o seu

' ' - i - . . n d o a p i i " ' " . . n o - i i i n t e

uma fechada acrescentando ^

'•ireni, pergLinta-se se é falsa ou

î3i()

p e r g L i n t

(17)

\erifique que suc verdadeiras as setaiintes afirmaçôes: ' Exerdcios:

a. L xyz = yx u yg y O — K o ^

b. R = tv u ty u (t)

R = t v U t u

R = tv U tiT

R = tv u tu

1 12. Interior e Exterior de um Ançulo

«'"P'os détermina, no

p „ „ o q u e ^ d e p o n t e s : o e x t e r i o r d a

curva, a cur , r da curva. Um âne-ulo tambén^'

«r» ..b.T? " « » Mo,' do »»"

■

tz '

■

r"

r , r : • " p ° " . r v . . .

considéré um ângulo qualqugj.^

_ h P T T l n » v , i

considéré um angulo qualquej.^ por , i do

Tome um ponto b em um dos ladosT""-^ ^ fc

no outro lado do ângulo. angulo, e um ponto

Trace o segmento be; a reuniào d Tc

é 0 triângulo A abc; ease triângm ®®^entos ac, ab e » '

simples, tern um interior ^ *lne é uma curva fechao^

0 interior do ângulo é a parte do

determinado-que contém o interior do triapgoj^ assinalada na

Assinale, por meio de uma hachura, o interior dos

i^eguintes angulos :

39

40

4l

Voce viu nni processo para determinar o interior

âiit'ulo. Nâo falamos em um processo ^ra

o exterior, porque. uma vez conhecido o interior, o

estara automàticamente determinado.

■

^ssinale os exteriôres dos ângulos do exercicio an

figura ao lado, podemos considerar os segu

^^IgUlos;

^ b a c ^ b a d

^ c a d .

^•^•

■

Suntii-se: o ponto c pertence ao interior

Z bad? a semi-reta aberta ac eata

Ra-,

^

■

^terior de Z bad?

^•^uios as mesmas perguntas pnr

0 scguintn caso.

3 0

t - l g

■

_{'^«siçSesRelativasdeDuasBetBsem}

u m

P l ® " ®

(18)

isto é

qualquer ponte de R, é também ponte de R..

qualquer ponte de R, é também ponte de R^

l o g o Ri n o B . ; caso,

10 segund®

"^o é ponte de K.

s® e R„ entâo a g R .

entàobg r"

" D

S' " ^ entào b g r;;

No terceire caso R. e r^ ''

q u e

é

û -

u n i c o

p o n t o

e m

a e R ' ® a e comura

' ® a e R^,

Veja que, nos très casos, nos

R. e Rs pessuem ou nâo /'"^onupamos em verificar se

tante de uma como de outra '«to é, que sejan'

juntes, que sera dada agora "

■

"» operaçâo entre cou

das possibilidades acima estudada!"'''"^ baatante a descriÇ»"

Dados dois conjuntos

por elementos que gg Juer A e B. ao conjunto formad"

» ,

B ,

d . ~ .

A

»

tamos por A 0 R. ^^«ocçao de A a R ^ rpm'ese^"

A n B lê-se "A inter

^^CÇâo R's

"A inter B".

Exemplo:

Se A = (3, 6, 9) g g ^

autâo A n iT

■D J Q

^3, 6}.

Dados 2 conjuntos qm. •

5 possibilidades iiy^r a

6 } , as na o c o r r e r u m a Pagina ®®guinte

Voltando as rctas i>

> e R .

temos:

primeiro caso: B, ^ r» " P s e g u n d o c a s o : R , n » . = = P

_'

_{' '}

_{R . .}

_^

t e r c e i r o c a s o : R , p . ^ ' R - r ^ { a } 3 2 A n i t A n B = 0 A n A n B B

S : « a . . ' . l . »

00 caso elas chamam-se concurrentes (ou

'ncKlentes),

^2

^'-'

■

1"'" u„ R, e R, retas quaisquer de "" ^ R:., -a

! 'ine R, d paralela a R.. e que R-'

n-«bnu,çà„

. . , * 7

' • | j ' , , i > ' • / » f a l ^ B o u

e paralela a Ka » ^ ^ vercladeira.

13

• f\ as

instru-''>'nc um pedaço qualquer de l'"''''' '

l'cÔmpletam®"-dos de.senhos. Ao desdobiai " ^.^pcorreutes que

®' t'ocê ol)tém a l'ittura de diias ic qngulos chanw se

4 ângnlos. fada /"'.p'rudfu/u'ca c«N

rrto; as rotas chamam-se i" "

A «

nerpendicula-^ /1p retas

exonipios em sua sala de aida

r o t t . . M entre si. D;_Hlo 1 I

retângulo abcn, P

.aralel^s-e bc .aralel^s-estâo contidos .aralel^s-em paral.aralel^s-elas-' ^

;• s e estâo contidos em ref p^,.pendiculun<= ;

_{'"I e al) estâo contidos em perpen^bc"''"" '}

(19)

45. Verifique por meio de desenhos que

a . A U B = b u a

b . A n B B n A

c. (A U B) U C ^ A U (B U C)

d. (A n B) n c A n (B n

Nota: OS parêntesis in.licam „uai.s „s coniu.Uos .u.e

devem .ser obticlos em primei,,, lupmr

1.14. Partiçôes do Piano

Dada uma curva fechada simples em um plapo P, considéré:

C 0 conjunto dos pontos do piano P que pertencem à curva;

E 0 conjunto dos pontes do piano P que npvt.

rior da curva; Peitencem ao

exte-I 0 conjunto dos pontos do piano P qu^ ^ ,

rior da curva. ^ ® Perteneem ao

inteObserve que nenhum dos conjuntos C P t

-ponto do piano pertence a um, e som + e que todo

C, E, I: OS, matematicos exprimem p con juntos

OS conjuntos C, E, I formam nma ^ ^ ®^^"açâo dizendo que

S i m b ô l i c a m e n t e , t e m o s : P l a n o . P.

C ■= P

E c P (Os conjuntos da

partip-I

c

F

p i a n o

P )

j u n t o s

d o

C ^ 0

E^0 (Nenhum dos conjuntos da

1 ^ 0

P a r t i ç â o

é

v a z i o )

c n E = 0

C n I = 0 (Os conjuntos da n f

E n I = I2( disjuntos. isto é dois

comuns) ' "«o Possuem elementos

€ f i n a l m e n t e

C U E U I = P (A reuniào

0 3 4

'^euniâo do^ . .

Piano) da partiçâo

Exercicios:

Seja A fl. 2, 3, 4, 5). Os conjuntos

! 1 . 3 | 12. 4i { 5 !

forniam uma ixniiçûo de A.

a. 1)0 outra partiçâo de A.

">. Uepresonte a nova partiçâo por meio de um esen

47. 48 Seja I

■

10, 1, 2, 3. 4, ...) o conjunto de o-"

ros inteiros»

<• - ,0. 2. «, 8. . . .) «

■

«

■

"""•'iT"'"

ro.s inteiros pares e

M - ,1 q 5 7 9 1 0 conjunto de fodos OS nume-

I I . , i . 5 , 7 , 9 . . . . 1

»• Os conjuntos P, M formam uma partiçao

Por que?

de ^ (a ^

Seja J? uma reta, e a um ponto qualque ^.Qnjuntos

^ocê jà viu que o ponto a détermina em

p o n t o s : (a) o—» a b o—▶ a c

ïistea très eonjunto.s de pontos formam

H, pois:

'*0 ^ 0 (pois a ^ {a} )

o — »

0 (poia b e ab)

0 (pois C e ac)

0 ^

0

(20)

ab n ac =: 0

ac U {a] U ab ^ R.

Se ao invéa das semi-retas abertas e IT, tomassemos

as semi-retas fechadas .:;i: e os conjuntos

(a)

a b

e a c

nâo formariam uma partiçào de R

r-xplique porque.

49. Os habitantes do hemisférin

tantes do hemisfério sul da T ^ Terra e os

habi-dos habitantes da Terra? ^ormam uma partiçào

_{• ^or que?}

50. Seja o ângulo z abc contidn .

C 0 conjunto dos pontos de P ^ ® =

E 0 conjunto dos pontos de P^**tencem a z abc.

rior de z abc. ^ Pertencem ao

exte-I Û conjunto dos pontos de P

r i o r d e Z a b c . P e r t e n c e m a o i n t e

-a. C, E, I fonnam urm r...

4.-b .

P o r

q u e ?

d e

P ?

51. Uma reta R contida em

partiçào de P? P'^no P détermina uma

Exercicios — Capitulo I

52. Assiuale com V as sentence»

falsas: verdadeiras e com F as

a. A marca feita peJn poj^^.

b. 0 conjunto {3, 2. i, q, 'âpis é um ponto.

c. 0 conjunto das retas u,,p (2, Q, 1, 3}.

infinito. ^ PHssam por hty,

_{" m p o n t o é} d. Os simbolos € e c i

do outro. ^ ^er usados um .

_{om em lugar}

3 6 e . f . K . h . c o n -m 5 3 54 5 5

0 conjunto vazio é subconjunto de qualqiier

j u n t o .

Um piano nâo é subconjunto do espaço.

Um cubo é uma figura geométrica espacial.

A curva que liga dois pontos é ûnica.

Os segmentos de reta ab e ba sâo iguais.

As semi-retas ab e ba sac iguais.

Duas retas perpendicuUires entre si foimam ân^ul

r e t o s .

A reuiiifio de um triàngulo e seu intenor e uma

r e g i â o t r i a n g u l a r . _

A intersecçào de um ti'iàngulo e sua regiao

gular é igual a esta regiâo triangular,

n. Duas retas .sâo paralelas quando se interceptam em

u m l i n i c t ) p o n t o .

Hepresente, nomeaiuio os elementos entie cha\

seguintes conjuntos:

do.s mimeros pares menore.v que 30,

dos numéros impare.s menores ^

dos numéros inteiros menoies d

do que 12.

3 exemples de conjuntos. representando sei

e n t r e c h a v e s .

Quais das seguintes figuras sâo curvas fechadas.

a . b . e . 5 6 . N o simples?

MS clU'vas fechadas

exercicio anterior, quais

(21)

n o ^ « n r e t a K e s t a c o i i t i d a

convenientes^'^"^^ ^entenças colocando os si'mbo'os

a R

b -

K

A

^ A

« Mci-eva simWliMmentr"'°'i.''°'' P'"'®'

6 estes conjuntos ^ nelaçào existente entre voce

59- Dados: A == ;

«^«"junto de tôdas as'ltr"''/ ' '>

■

<'• <-'> «

'etraa do alfabeto, complete:

e C 0

A n B A U C A U B 6 0

B.n c .

B u c

--''

■

A n c

s

• ■

"

c

e ^ W o ^ v S a o P a u l o ,

cZll Kepre.it? Buenos Aires

_{• seguintes subco' ^"""^'""'0 "s elementos entre}

■

^""^njuntos de S:

''"s cidades com

^tualmente; 1 000 000 de habitantes

cidades , 1 .

cidades que

cidades qug '"nprua oficia! o Inj^lês;

cidades que ^ ''"ffua oficial o Portugnês;

• ■

S . „ . .

. M . I

.

E , p . , „

- '-"I'm ,„,

»

■

AUA^ ^ "^'«^omplete:

''

■

A n A

i h o l .

"• A U 0

''• An0

C o l o r i e e m " • _

-PC:?'' " -"nido ear

_{"" Pisina seguTnte}

3 8

3 M o d ê l o

6 a

Assinale com V as sentenças

falsas :

n. 5 G {1, 2, 3, 4, 5}

{ 0 . 1 Ï { 1 . 0 } c. {5, 6. 71 c lb, 6,

d. 3 G {0, 1, 2, 3, 4, >

e. lal G îa, b, c} f. 0 C {0, 1, 2}

K .

{ 0 }

0

h. {0} c: {0. 1, 2} i . 0 G 0 j- 11} -- 1

(22)

Coiorii. em cada figura, o conjunto indicado abaixo de

caaa uma delas:

A u B A H C \ A H B

r -

1! B u C

65. Dado 0 poligono abcde :

a . d ê 0 c o n j u n t o d o s l a a , . i - i -_{^ Mdos desse poligono.}

b . d ê o c o n j u n t o d o s v é r f ; « i

-^^uices desse poligono.

c. dé o conjunto dos àno-ni,

i-, 1 X " T — i ^ K U l o s d e s . s e p o l i g o n o .

d. complete: ab n be —

e. OS segmentos de ret-, .. ..

'b que ligam dois vertices de um poligono e que nào es ,_{•''30 lados, chamam-se diagonals.}

Dê o conjunto cias

a-exercicio. ^^agonais do poligono dêste

66. Dados: a curva C e os n

I. Escreva as relaçôes I"? ''' '''

"tfe a curva e êsses pontos.

M o d é l o : a e n .

4 0

^ C - ,a, n c = ,a).

II. ^ Trace 5 segmentes det

e dê OS conjuntos-inter<î ^^^''^inados por estes pontos

s e g m e n t o s . e n t r e a c u r v a C e e s t e s

^odêlo: ad n C

« a } .

^"'"Plete as senten^as refe

• ^ ^ S sào « n S

^ ^ T s à o ^ n s

^ ^ s à o ^ n T ^

■

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68, 6 9

IV. , P c escreva com os simbolos que

I l a d a s a s c u r v a s C e C , e s c r e Vo c e j â c o n h e c e :

U- (' e (" têm um ponte comum que

b. Ce C nâo têm pontes comuns.

c. c e C têm dois pontos comuns que sac a e •

Représente, simlièiicamente, a regiâo hachurada em cada

70. _{V n c A U « o ^ r p v e r R o b e r t e u s â m e s o s e g u i n t t .} ^ o c e - s a b e q u e p a r a e s c r e v e r * ■

« • I I " u o t l . D e o c e n j u n t e e e

conjunto de letras: {r, e, b, f

letras com'as quais voce escreve o seu nome.

Complete as sentenças referentes aos desenhos:

u b U b e = . . . • a b n C

R n c —

(23)

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(24)

Verificar quais das seguintes

c u r v a s s a o c o n v e x a s

seus subconjuntos • e consideremos alguns

^

0 conjunto do<5 f,.--

~

"OS tnangulos.

Complete ;

a . b. c . d . e . f . g . h . A U S A n s A U B C n S B u c c n D c n A A u c

(25)

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(26)

Kvidentemente, você e Joào estâo sentados em carteiyas

dife-rentes, por isso

( 2 , 3 ) ^ ( 3 , 2 ) .

onde 0 sinal =7^ quer dizer "nâo ê a mesTna coisa qzie" ou "é diferente de" ou "nâo é igual a".

Como (2,3) (3,2), a ordem em que estes numéros sào

escritos é agora importante, por isso estes pares chamam-se

pares ordenados.

E x e r c i c i o s :

1 Representando sempre a coluna pelo primeiro numéro c

a fila pelo segundo numéro, quais os pares ordenados <iiie

representam as posiçôes assinaladas em cada nm dos

desenhos?

0 numéro da coluna é igual ao numéro da fila;

a soma do niimcro da coluna e 0 numéro da fila é

maior que 4 ;

C. 0 produto do numéro da coluna pelo numéro da fila

é i g u a l a 4 . C Z l □□ I Z Z l □ ] [ 6 □ c m [ C D c z n c □ □ 4 3 2 1 [ □ 2 3 5 c 4 C 3 C 2 C 1 [ E □ 2 3 4 2 . S e n d o

C o conjunto dos alunos que senium na mesma coluna

que você (incluindo você é claro!)

F o conjunto dos alunos que sentam na mesma fila que

voce (incluindo você é claro!)

Dê os elementos de C.

Dê 03 elementos de F.

0 que é C n F?

^^'^^SMhos abaixo.rcDre» r

_{lugares para o« « outra sah a}

^ ^ q u a i s ^ d e a u l a ; p i n t e

4. Na sua classe o que significa a posiçâo (2,2) ? e a (4,4) ? A ordem aqui é importante? Explique.

5. Se o primeiro numéro représentasse fila e 0 segundo numéro représentasse coluna, a sua posiçâo ainda séria

( 2 , 3 ) ? P o r q u e ?

6. As posiçôes das carteiras na sua S4ila de aula também

poderiam ser representadas pelo desenho ao lado, onde

o ponto assinalado représenta a sua carteira.

Faça um desenho igual a este e assinale nele quais os

pontos que representam as posiçôes (1,1), (2,2), (3,3)

e ( 4 , 4 ) .

Pegue uma moeda e examine as faces "cara" e "coroa .

Colo-que 0 polegar debaixo da moeda e 0 impulsione de maneira

que a moeda gire no ar e cala sobre uma superficie plana.

Representando por c a face "cara" e por r a face - coroa ,

0 conjunto dos resultados possiveis do lançamen o e uma

uioeda é

A = { c , r } .

P + 0 O u é a f a c e c a r a q u e

a moeda e lance-a novamente. ^ ^ resultados

ou é a face coroa. Outra ve. o conjunto

(27)

A = {c,r}.

Porém, os resultados que podem ornrrp^- ^ i ^

A r, ^ r ^ A < . - • . . . o c c r r e r n o s d o t s l a n c a m e n t o s

da moeda sao os segumtes:

cara no primeiro lançamento e cava no segundo lançamento,

cara no pnme.ro lançamento e ec oa no segundo lançamento,

coroa no pnme.ro lançamento e cara no segundo lançamento,

coroa no pnme.ro lançamento e coroa no segundo lançamento.

Tais resultados podem ser representados pelos pares

{c,c), (c,r), (r,c) e (r,r),

que sao também pares ordenados, pois

(C,r) quer dizer: "cara no pHmeiro lançamento

segundo ;

(r,e) quer dizer: "coroa no vriraoiro lançame

s e g u n d o . *

6 c o r o a n o

n t o e c a r a n o

Logo

( c , r ) ^ ( r, c )

Podemos, entao, escrever o conjunto

possiveis do lançamento de uma mn h ^ os resultados

_{^ duaa vêzea como sendo}

B = { (c,c), (c,r), (rcW x

(r,r) }.

Repare que os elementos dêste

conjunto sao pares ordenados.

(c,c) G B ( c , r ) e B (nc) e B e B . 9 através de uma 5 0 2" lançamento 1® lançamento {t,r) (r.c) (r,r) Exercicios:

Justifique porqiie as seguintes afirmaçôes sao veida

a . { 2 , 3 } { 3 , 2 } b . ( 2 , 3 ) ^ ( 3 , 2 ) c . ( 2 , 3 ) e { ( 2 , 3 ) , ( 3 , 2 ) } d . 2 ^ ( 2 , 3 ) G. 2 ^ { (2,3), (3.2) } f . ( 3 . 3 ) - ( 3 , 3 ) 8, 9 .