Implementação de algoritmos de integração implícita para modelos constitutivos Elasto-Plásticos na simulação geomecânica

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(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL. IMPLEMENTAÇÃO DE ALGORITMOS DE INTEGRAÇÃO IMPLÍCITA PARA MODELOS CONSTITUTIVOS ELASTOPLÁSTICOS NA SIMULAÇÃO GEOMECÂNICA.. LEILA BRUNET DE SÁ BESERRA. Recife, PE Agosto de 2010.

(2) IMPLEMENTAÇÃO DE ALGORITMOS DE INTEGRAÇÃO IMPLÍCITA PARA MODELOS CONSTITUTIVOS ELASTO-PLÁSTICOS NA SIMULAÇÃO GEOMECÂNICA.. LEILA BRUNET DE SÁ BESERRA. Dissertação. submetida. ao. corpo. docente. do. programa de pós-graduação em engenharia civil da Universidade Federal de Pernambuco como parte integrante dos requisitos necessários à obtenção do grau de Mestre em Engenharia Civil. Área de concentração: Engenharia Geotécnica.. ORIENTADOR: LEONARDO JOSÉ NASCIMENTO GUIMARÃES CO-ORIENTADOR: IVALDO DÁRIO DA SILVA PONTES FILHO. Recife, PE Agosto de 2010.

(3) Catalogação na fonte Bibliotecária Rosineide Mesquita Gonçalves Luz / CRB4-1361 (BCTG). B554i. Beserra, Leila Brunet de Sá. Implementação de algoritmos de integração implícita para modelos constitutivos Elasto-Plásticos na simulação geomecânica / Leila Brunet de Sá Beserra. - Recife: O Ator, 2011. Vii,80f., figs., tabs., gráfs. Orientador: Prof. Dr. Leonardo José Nascimento Guimarães. Co-Orientador. Prof. Dr. Ivaldo Dário da Silva Pontes Filho. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Pernambuco. CTG. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, 2011. Incui Referências. 1.Engenharia Civil. 2. Elasto -Plasticidade. 3. Elementos Finitos. 4. Integração Implícita. 5. Permeabilidade. 6. Acoplamento Hidro – Geomecânico. I. Guimarães, Leonardo José Nascimento (Orientador). II. Pontes Filho, Ivaldo Dário da Silva (Co-Orientador). I. Título.. 624 CDD (22. Ed.). UFPE/BCTG206/2011.

(4) IMPLEMENTAÇÃO DE ALGORITMOS DE INTEGRAÇÃO IMPLÍCITA PARA MODELOS CONSTITUTIVOS ELASTO-PLÁSTICOS NA SIMULAÇÃO GEOMECÂNICA. Leila Brunet de Sá Beserra. DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL DA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO COMO PARTE INTEGRANTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS À OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL.. _____________________________________________ Leonardo José do Nascimento Guimarães Orientador, Ph. D.. _____________________________________________ Ivaldo Dário da Silva Pontes Filho Co-Orientador, D. Sc.. _____________________________________________ Osvaldo Luís Manzoli Examinador Externo, Ph. D.. _____________________________________________ Nestor Alberto Zouain Pereira Examinador Externo, Ph. D.. Recife, PE Agosto de 2010.

(5) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2010. AGRADECIMENTOS. Aos professores Leonardo Guimarães e Ivaldo Pontes, por todos os ensinamentos, explicações e orientações tão importantes para a realização e conclusão desta dissertação. Ao Vitor e a minha mãe Sânia pelo esforço e sacrifício em conviver com a minha ausência ao longo do período do mestrado, a minha mãe Clara que sempre foi um suporte técnico para todos da nossa casa e aos meus pais Bety e Jarbas que mesmo um pouco longe sempre torceram pelo meu sucesso. A todos os meus amigos do LMCG, Julliana, Igor, Nayra, Inaldo, Vinícius, Thiago, Jonathan e Luciana pela constante companhia, amizade e incentivo, e em especial às minhas queridas amigas, Marcela, por compartilhar a casa comigo, e Débora, com sua energia sempre estimulante, todos me ajudaram a fazer o mestrado na UFPE. A todos os funcionários da UFPE pelo apoio, em especial à Rose, que é capaz de resolver qualquer problema, e a Brito com seus cafés na hora certa. A todos os professores que contribuíram para a minha formação, desde a escola até a pósgraduação, em especial ao prof. Gilson da UFPB, que me ajudou nos meus primeiros passos da vida científica. Ao CNPq e a ANP, por meio do PRH-26, pelo apoio financeiro oferecido durante o desenvolvimento de minha pesquisa.. i.

(6) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2010. RESUMO. A previsão do comportamento dos solos e rochas, principalmente quando submetidos a variações no estado de tensões, necessita de uma modelagem que leve em conta o fato do meio poroso ser deformável. Para resolver problemas dessa natureza, é necessária a adoção de modelos constitutivos mecânicos e hidráulicos que considerem a variação da permeabilidade intrínseca da rocha (parâmetro chave do problema hidráulico) em função da porosidade, que por sua vez poderá variar devido à deformação do meio (parâmetro do modelo constitutivo mecânico). Uma etapa importante no processo de simulação de meios porosos consiste na escolha de um algoritmo para a integração das relações constitutivas que seja eficiente do ponto de vista computacional, neste sentido foram implementados no código de elementos finitos CODE_BRIGHT algoritmos implícitos de integração de tensões para os modelos constitutivos elasto-plásticos de von Mises (Simo & Hughes, 1998) e de Drucker-Prager. (Souza Neto et al, 2008). Também foi proposta uma modificação no algoritmo de integração implícita com projeção explícita do multiplicador plástico, denominado IMPLEX (Oliver et al., 2008), resultando numa melhor aproximação deste. Na etapa de validação dos algoritmos implementados foram simulados, um caso de expansão de cavidade cilíndrica com solução exata conhecida e dois casos em escala de campo, o escorregamento de um talude, onde somente o modelo mecânico pode ser testado e um caso de perfuração de poço, onde o acoplamento hidro-mecânico é avaliado. Foi modelado ainda, um ensaio triaxial, onde foi observada a modificação proposta para o IMPLEX. A análise dos resultados obtidos mostrouse satisfatória.. Palavras-chave: Plasticidade, Elementos finitos, Integração implícita, Permeabilidade, Acoplamento hidro-geomecânico.. ii.

(7) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2010. ABSTRACT. Predicting the behavior of oil reservoirs, especially when they are under variable effective stresses, requires a model that takes into account the deformation of porous media. This link is done considering permeability and porosity variations as a function of stress-strain state. The numerical tool used in this paper was the finite element code CODE_BRIGHT which solves the equilibrium and fluid flow equations in a coupled way. In this kind of problem, an important component of the finite element code is the algorithm for the integration of stressstrain relationships, which generally are based on highly non-linear elastic-plastic constitutive laws. A new version of the implicit algorithm with an explicit prediction of the plastic multiplier, called IMPLEX (Oliver et al., 2008), was adopted in this paper. This algorithm improves the efficiency and robustness of the numerical code, allowing solving bigger and more complex problems. A simulation of well stability was carried out and the results showed the performance of the implemented algorithm.. Key-words: Plasticity, Finite Element Methods, Implicit integration, Permeability, Hydromechanical coupled. iii.

(8) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2010. LISTA DE FIGURAS. Figura 2.1 - Superfície de Fluência (Gens & Prats, 2003) .................................................... 12 Figura 2.2 - Material elasto-plástico perfeito, com endurecimento e com amolecimento, respectivamente .................................................................................................................. 13 Figura 2.3 - Potencial plástico e vetor de deformações plásticas (Gens & Prat, 2003) ......... 14 Figura 2.4 - Endurecimento isotrópico e cinemático, respectivamente (Mendonça, 2005) ... 15 Figura 2.5- Superfície de fluência de von Mises (Gomes, 2006) .......................................... 19 Figura 2.6 - Superfície de fluência de Drucker Prager (Sousa, 2004) .................................. 21 Figura 3.1 - Algoritmo de retorno ao vértice (Souza Neto et al, 2008) .................................. 41 Figura 4.1 - Geometria do problema de cavidade cilíndrica ................................................. 54 Figura 4.2 - Malha de elementos finitos ............................................................................... 54 Figura 4.3 - Curva carga-deslocamento ............................................................................... 55 Figura 4.4 - Esquema do ensaio triaxial ............................................................................... 56 Figura 4.5 - Trajetória de tensões (tensão média x tensão de von Mises)............................ 57 Figura 4.6 - Trajetória de tensões (tensão média x tensão de von Mises)............................ 58 Figura 4.7 -Geometria e condições de contorno do problema .............................................. 60 Figura 4.8 - Malha de elementos finitos ............................................................................... 61 Figura 4.9 - Variação da altura crítica do talude com o fator de gravidade ........................... 62 Figura 4.10 - Evolução dos deslocamentos horizontais com o fator de gravidade ............... 62 Figura 4.11 - Evolução dos deslocamentos verticais com o fator de gravidade.................... 63 Figura 4.12 - Evolução das deformações plásticas cisalhantes com o fator de gravidade ... 64 Figura 4.13 - Evolução das deformações plásticas volumétricas com o fator de gravidade . 64 Figura 4.14 - Distribuição dos deslocamentos...................................................................... 65 Figura 4.15 - Vetores de deslocamento ............................................................................... 65 Figura 4.16 - Deformações plásticas cisalhantes ................................................................. 65 iv.

(9) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2010. Figura 4.17 - Deformações plásticas volumétricas ............................................................... 65 Figura 4.18 – Distribuição de porosidade ............................................................................. 66 Figura 4.19 - Trajetória de tensões para o caso do talude vertical ....................................... 67 Figura 4.20 - Geometria do problema e malha de elementos finitos .................................... 69 Figura 4.21 - Deformações plásticas desviadoras................................................................ 70 Figura 4.22 - Imagem ultrasônica de perfil de poço apresentando breakout na direção da tensão principal menor no plano normal ao poço. ................................................................ 71 Figura 4.23 - Variação de porosidade .................................................................................. 72 Figura 4. 24 - Variação de permeabilidade .......................................................................... 72 Figura 4. 25 - Distribuição da pressão de líquido ................................................................. 73 Figura 4.26 - Trajetória de tensões ...................................................................................... 73. v.

(10) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2010. LISTA DE TABELAS. Tabela 4.1 - Parâmetros do material do cilindro ................................................................... 54 Tabela 4.2 -Propriedades do material do ensaio triaxial....................................................... 57 Tabela 4 3 – Parâmetros do Problema de Talude Vertical ................................................... 60 Tabela 4. 4 - Parâmetros do material do maciço escavado .................................................. 69. vi.

(11) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2010. SUMÁRIO. 1.Introdução ........................................................................................... 1 1.1.. Introdução ............................................................................. 1. 1.2.. Objetivos ............................................................................... 2. 1.3.. Organização da Dissertação ..................................................... 3. 2.Caracterização hidromecânica e relações constitutivas ....................... 5 2.1.. Cinemática e Equilíbrio ............................................................ 6. 2.2.. Modelo Constitutivo Elasto-plásticos ............................................ 8. 2.2.1.. Invariantes ............................................................................. 8. 2.2.2.. Decomposição Aditiva do Tensor de Deformações. ..................... 10. 2.2.3.. Resposta Elástica ................................................................. 10. 2.2.4.. Resposta Plástica ................................................................. 11. 2.2.5.. Potencial Plástico .................................................................. 13. 2.2.6.. Lei de Edurecimento .............................................................. 14. 2.2.7.. Matriz Constitutiva Elasto-plástica ............................................ 15. 2.2.8.. Critério de Plastificação de von Mises ....................................... 18. 2.2.9.. Critério de Plastificação de Drucker Prager ................................ 19. 2.3.. Modelo Constitutivo Hidráulico ................................................. 21. 2.3.1.. Equação da Conservação de massa ......................................... 22. 2.3.2.. Relação entre Permeabilidade e Porosidade .............................. 23. vii.

(12) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2.3.3.. 2010. Deformações Plásticas e Variação da Permeabilidade ................. 24. 3.Formulação Numérica ....................................................................... 26 3.1.. Algoritmo de Integração Implícita para o Modelo de Von Mises com. Endurecimento ......................................................................................... 27 3.1.1.. Estado de tensões trial ........................................................... 28. 3.1.2.. Endurecimento Linear ............................................................ 33. 3.1.3.. Módulo Tangente Consistente Elasto-Plástico ............................ 34. 3.1.4.. Algoritmo Básico Implementado ............................................... 36. 3.2.. Algoritmo de Integração Implícita para o Modelo de Drucker Prager 39. 3.2.1.. Equações Constitutivas .......................................................... 39. 3.2.2.. Algoritmo de Retorno para o Modelo de Drucker Prager ............... 41. 3.2.2.1. Retorno à Superfície do Cone ................................................. 42. 3.2.2.2. Retorno ao Ponto de Singularidade (Vértice) .............................. 43. 3.2.2.3. Escolha do Retorno Apropriado ............................................... 44. 3.2.3.. Matriz Tangente Consistente ................................................... 44. 3.2.4.. Algoritmo Básico Implementado ............................................... 45. 3.3.. Algoritmo de Integração Implícita-Explícita (IMPLEX) para o Modelo. de Drucker Prager .................................................................................... 47 3.3.1.. Algoritmo Básico Implementado ............................................... 49. 4.Casos Analisados .............................................................................. 52 4.1.. Expansão de Cavidade Cilíndrica ............................................. 52. 4.2.. Ensaio Triaxial ...................................................................... 56. 4.3.. Análise de Talude Vertical ...................................................... 58. viii.

(13) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 4.4.. 2010. Perfuração de Poço ............................................................... 67. 5.Conclusões........................................................................................ 75 5.1.. Sugestões Para Trabalhos Futuros........................................... 76. 6.Referências Bibliográficas ................................................................. 77. ix.

(14) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2010. 1. INTRODUÇÃO. 1.1. INTRODUÇÃO. A disponibilidade crescente de recursos computacionais cada vez mais robustos e disseminados abre espaço para a utilização de ferramentas de trabalho mais poderosas e alavanca o desenvolvimento de teorias e modelos cada vez mais complexos para a representação dos diversos fenômenos e comportamentos. Essa realidade não é diferente para a Engenharia Geotécnica, que tradicionalmente esteve apoiada nos conceitos da Mecânica dos Solos desenvolvidas por Terzaghi, na Teoria da Elasticidade e nas teorias de plasticidade. A partir das observações em campo e em ensaios de laboratório, diversos modelos constitutivos foram desenvolvidos com intuito de representar o comportamento dos solos. Esses modelos são construídos como simplificação das condições reais mediante a adoção de hipóteses simplificadoras que visam diminuir o grau de complexidade matemática da formulação bem como possibilitar a resolução do sistema de equações resultantes. Com o advento da modelagem computacional pode-se aproveitar ao máximo as vantagens oferecidas pelos modelos constitutivos mais avançados, porém tais modelos não devem possuir um grau de complexidade que inviabilize sua aferição ou interpretação de seus resultados. O modo como os parâmetros do problema variam no espaço e no tempo assim como as relações existentes entre as grandezas relevantes na análise devem ser contempladas na etapa de descrição fenomenológica, de maneira a validar o modelo proposto. Durante a etapa de simulação matemática do comportamento de um material sob solicitação mecânica, devem ser consideradas suas propriedades físicas e estruturais, além de sua constituição físicomineralógica, responsáveis pela maneira particular com a qual se verifica a resposta do meio solicitado (Vasconcelos, 2007). Os materiais normalmente estudados nos campos da Engenharia Geotécnica e de Reservatórios de Petróleo apresentam uma estrutura porosa, cujos vazios podem estar total ou 1.

(15) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2010. parcialmente preenchidos por líquidos. O estado de deformação e as condições de resistência de tais meios necessitam, para sua total compreensão, de recursos teóricos que vão além dos fundamentos básicos da Mecânica dos Sólidos. Constata-se que a presença de fluido nos poros e sua interação com e as partículas sólidas influenciam na resposta global do meio poroso (Lambe & Whitman, 1976). Para resolver problemas dessa natureza, é necessária a adoção de modelos constitutivos mecânicos e hidráulicos que levem em conta o fato do meio poroso ser deformável. Neste caso, a permeabilidade intrínseca (ou absoluta) da rocha, um dos parâmetros chave do problema hidráulico, será considerada em função da porosidade, que por sua vez poderá variar quando o meio se deforma. Esta deformação ocorre quando há variações no estado de tensões efetivas, dadas pelo tensor de tensões totais menos o tensor esférico das poro-pressões. Do ponto de vista matemático, este problema acoplado hidro-mecânico é representado por um sistema de equações não-lineares em derivadas parciais que, quando discretizado, resulta num sistema de equações algébricas não-lineares onde as equações de fluxo são modificadas através da incorporação do termo de deformação da matriz porosa, enquanto que a equação mecânica passa a incluir um termo de pressão e saturação, provenientes das equações de fluxo. Diferentes esquemas de solução podem ser usados, a depender do tamanho e nível de acoplamento entre os problemas hidráulico e geomecânico. Nesse contexto se insere a ferramenta CODE_BRIGHT (COupled DEformation, BRIne, Gas and Heat Transport), utilizada neste trabalho, e que se presta a modelar problemas em até três dimensões, caracterizados por fenômenos de natureza mecânica, hidráulica, térmica e química, permitindo ainda o acoplamento entre duas ou mais destas modalidades.. 1.2. OBJETIVOS. O presente trabalho tem como principal objetivo acrescentar à ferramenta CODE_BRIGHT uma família de algoritmos de integração implícita para leis constitutivas tensão-deformação. 2.

(16) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2010. Visando um ganho de eficiência computacional e uma simulação numérica mais satisfatória. Especificamente podemos listar os seguintes objetivos principais. -. Desenvolver implementações numéricas de algoritmos de integração implícita e. implícito-explícita (IMPLEX) para o cálculo das tensões e deformações segundo os modelos elasto-plásticos de von Mises e Drucker Prager. -. Simular os ensaios de laboratório, permitindo que os resultados destes sejam. extrapolados para a escala de campo através da modelagem numérica. -. Simular problemas acoplando fluxo e deformação em problemas que interessam a. engenharia geotécnica e a indústria de petróleo.. 1.3. ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO. A presente dissertação é composta de cinco capítulos. Inicialmente, no capítulo 1, são apresentados os objetivos que se pretende alcançar com o trabalho e também as motivações que levaram a escolha do tema a ser desenvolvido. No capítulo 2 são descritas brevemente as teorias e formulações matemáticas que caracterizam a modelagem do problema acoplado hidro-mecânico. São apresentados os modelos constitutivos mecânico e hidráulicos adotados no desenvolvimento do trabalho e também uma breve revisão sobre alguns aspectos da teoria da plasticidade que concernem ao tema desenvolvido na dissertação. No capítulo 3 estão descritos os algoritmos que foram inseridos no código em elementos finitos CODE_BRIGHT. Para integração de tensões foi implementado o algoritmo de integração implícita apresentado por Simo & Hughes (1998) para o modelo de von Mises, enquanto para o modelo de Drucker Prager foi utilizado o algoritmo proposto por de Souza Neto et al (2008) e ainda foi acrescentada uma simplificação do algoritmo implícito proposta por Oliver et al(2008). 3.

(17) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2010. No capítulo 4 são apresentados alguns exemplos de validação dos algoritmos implementados através de simulações de ensaios de laboratórios e problemas com soluções conhecidas. São também mostradas as análises da modelagem de dois problemas que interessam à engenharia geotécnica, o estudo de estabilidade de taludes verticais e a perfuração de poços em rochas frágeis. Finalmente, no capítulo 5 são apresentadas as conclusões da dissertação e então são sugeridas futuras linhas de pesquisa a serem desenvolvidas tendo em vista a continuidade do trabalho, bem como a melhora dos modelos utilizados para simular o comportamento do meio poroso e da eficiência computacional da ferramenta CODE_BRIGHT.. 4.

(18) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2. CARACTERIZAÇÃO. HIDROMECÂNICA. E. 2010. RELAÇÕES. CONSTITUTIVAS. Neste capítulo serão apresentados os conceitos e as hipóteses básicas adotadas na modelagem hidro-mecânica que descreve o comportamento de solos saturados, deformáveis e comportamento elasto-plástico, quando submetidos a programas cargas quasi-estáticas. Os solos e rochas são materiais trifásicos constituídos por partículas sólidas e vazios que podem estar total ou parcialmente preenchidos por líquidos. Os movimentos e o estado de equilíbrio destes sólidos porosos necessitam, para sua total compreensão, dos fundamentos básicos e recursos teóricos da Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos, para solicitações quaseestáticas e fluxo de baixa velocidade. A interação do fluido nos vazios e o esqueleto sólido influenciam na resposta global do meio (Skempton, 1961; Lambe & Whitman, 1976; Sousa Pinto, 2000). Nesta modelagem serão consideradas as seguintes hipóteses (Maier e Cocchetti, 2002): •. SATURAÇÃO COMPLETA DO ESQUELETO SÓLIDO POR UM ÚNICO FLUIDO;. •. PERMEABILIDADE CONSTANTE COM O TEMPO;. •. HIPÓTESE DE PEQUENAS DEFORMAÇÕES, OU SEJA, RELAÇÃO CINÉTICA LINEAR;. •. PROGRAMA DE CARGAS QUASI-ESTÁTICO, ISTO É, PROGRAMA DE CARGAS EXTERNAS LENTO E SEM EFEITOS INERCIAIS, MAS RÁPIDO O SUFICIENTE COM RELAÇÃO AO PROCESSO DE FLUXO;. •. VALIDADE DO PRINCÍPIO DAS TENSÕES EFETIVAS, COMO DESCRITO A SEGUIR.. Em meados da década de 1920, Karl Terzaghi introduziu o conceito de tensões efetivas com o intuito de explicar a resposta de um meio poroso saturado quando submetido a solicitações externas. Ele observou experimentalmente que as deformações produzidas nestes meios saturados são dependentes de um estado de tensões efetivas atuantes sobre o meio. Quando há uma solicitação em termos de tensões totais (σ) e existe uma fase líquida na qual ocorre uma. 5.

(19) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2010. pressão no líquido pl., então o tensor de tensões efetivas definido por Terzaghi é caracterizado a partir da seguinte relação:. σ ' = σ − pl I. (2.1). onde σ representa o tensor de tensões totais, σ ' o tensor de tensões efetivas, e pl a pressão exercida pelo fluido contido nos poros e I é o tensor unitário de segunda ordem. É importante assinalar que as variações de movimento (deslocamento, deformações, variação volumétrica) no corpo são devidas exclusivamente a variações nas tensões efetivas (Bishop & Blight, Atkinson & Bransby, 1978; Lancellotta, 1995). A equação (2.1) descreve satisfatoriamente o comportamento dos solos saturados quando são observadas as condições de incompressibilidade dos grãos. Quando esta condição não é satisfeita a resposta mecânica dos solos e das rochas é mais precisamente controlada por uma tensão efetiva que é função da tensão total aplicada e da poro-pressão, de acordo com a seguinte expressão:. σ' = σ − αpI. (2.2). que corresponde a uma reformulação do modelo de Terzaghi com a introdução do parâmetro. α (coeficiente de Biot) relacionado à compressibilidade do meio (Biot, 1941), sendo α :. K α =1− Ks. (2.3). onde, K e K s são os módulos volumétricos da matriz porosa e dos grãos, respectivamente.. 2.1. CINEMÁTICA E EQUILÍBRIO. Vamos considerar então, um meio saturado com domínio Ω e uma fronteira Γ, composta por duas partes disjuntas e complementares Γu e Γf nas quais são prescritos os deslocamentos e as 6.

(20) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2010. forças externas, tais que (Γu U Γf = Γ) e (Γu ∩ Γf = Ø). Analogamente Γp e Γq são as partes de Γ nas quais estão prescritas a pressão do fluido pl e o fluxo q, tais que (Γpl U Γq = Γ) e (Γpl ∩ Γq = Ø), com Γ regular. Alguns aspectos diferenciam o solo de outros materiais, a exemplo da plastificação sob carregamento exclusivo das tensões médias. Para uma determinada massa de solo, uma parcela considerável de seu volume é composta por vazios que podem ou não estar preenchidos de líquido. Para que haja uma mudança no volume desta massa de solo é preciso que haja movimento da fase fluida (ar e água) existente nos vazios. Esse movimento volumétrico vai depender das restrições impostas pelo esqueleto sólido. As variáveis que relacionam a proporção entre os vazios e as partículas sólidas são o índice de vazios:. Vv Vt. e=. (2.4). e a porosidade:. φ=. e 1+ e. (2.5). onde Vv é o volume de vazios e Vt o volume total. As componentes do tensor de deformações podem ser consideradas como funções contínuas das componentes de deslocamento. Para o caso de pequenas deformações, tal relação assume uma configuração linear conforme representada pela seguinte equação: ε=. (. 1 ∇u + ∇u T 2. ). Ω. em. (2.6). Enquanto o equilíbrio fica caracterizado por:. div σ + b = 0. em. Ω. (2.7). 7.

(21) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2010. 2.2. MODELO CONSTITUTIVO ELASTO-PLÁSTICO. A teoria da plasticidade descreve o comportamento de uma classe de materiais bastante relevante para a engenharia geotécnica, rochas, argilas e solos de uma maneira geral. Esses materiais, após serem submetidos a um carregamento, apresentam uma deformação permanente (ou plástica) mesmo quando completamente descarregados. Em particular, neste trabalho, a teoria da plasticidade está restrita à pequenas deformações e à descrição de materiais para os quais a deformação não é dependente da taxa de aplicação do carregamento. Segundo Sousa (2004) são critérios essenciais para a formulação de um modelo elastoplástico, a relação elástica, o critério de plastificação, a existência de um potencial plástico e as leis de endurecimento e amolecimento. 2.2.1. INVARIANTES. Devido à influência que a deformação volumétrica exerce no comportamento dos solos, é conveniente, no tratamento de problemas geotécnicos, trabalhar com invariantes que possibilitem separar os efeitos associados à variação de volume daqueles associados à mudança de forma (distorção). Para melhor compreensão dos conceitos que serão apresentados, faz-se necessária a definição de alguns invariantes, como se segue. O tensor de tensões é definido como:. 8.

(22) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. σ x τ xy τ xz    σ = τ xy σ y τ yz  τ xz τ yz σ z   . 2010. (2.8). e o tensor desviador é definido como:. S = σ − pI. (2.9). onde I é o tensor identidade e p a tensão média, definido como:. 1 1 p = tr (σ ) = (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) = (σ x + σ y + σ z ) 3 3. (2.10). Portanto:. σ x − p τ xy τ xz  σy − p τ yz S =  τ xy  τ xz τ yz σz − .    p . (2.11). O segundo invariante adotado é definido como:. J=. J=. 1 S 2. (2.12). 2 2 2 1 (σ x − p) + (σ y − p ) + (σ z − p ) +    2 + 2 τ xz2 + τ xz2 + τ yz2  . (. ). (2.13). Segundo Chen & Baladi (1985) os invariantes p e J relacionam-se com a energia associada à variação volumétrica e à energia associada à distorção respectivamente.. 9.

(23) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2010. 2.2.2. DECOMPOSIÇÃO ADITIVA DO TENSOR DE DEFORMAÇÕES.. Uma das principais hipóteses da teoria da plasticidade para pequenas deformações é a decomposição do tensor de deformações totais ε em um tensor de deformações elásticas (ou reversíveis) εe e um tensor de deformações plásticas (ou irreversíveis), εp.. ε = εe + ε p. (2.14). 2.2.3. RESPOSTA ELÁSTICA. A elasticidade linear independe do tempo e da história de carregamento, e considera que todas as mudanças de deformação em função das variações do estado tensional são instantâneas e o sistema é completamente reversível, ou seja, a energia absorvida é totalmente recuperada no processo de descarregamento. A deformação elástica pode ser definida através do princípio da decomposição aditiva, que decompõe a deformação total em uma parcela elástica e outra plástica (Eq. 2.14).. εe = ε − ε p. (2.15). Nesse caso, a lei constitutiva para a tensão pode ser expressa como:. σ = D eε e. (2.16). onde De é a matriz de rigidez elástica.. 10.

(24) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2010. 2.2.4. RESPOSTA PLÁSTICA. De acordo com Gens & Prat (2003) na teoria da Plasticidade a superfície de fluência é uma função das tensões e de outros parâmetros que separa, no espaço das tensões, a região onde o material possui comportamento elástico da região onde o comportamento é plástico, também denominada região das tensões plasticamente admissíveis. A expressão geral que define a superfície de fluência se escreve como:. f (σ , h ) = 0. (2.17). onde h é um vetor de parâmetros de estado que controlam o endurecimento. A região onde o material se comporta elasticamente denomina-se domínio elástico e é definida por:. Ε σe = {σ | f ( σ , h ) < 0}. (2.18). A função de fluência delimita uma região fechada no espaço, através de uma superfície de fluência, descrita como:. ∂Εσ = {σ | f (σ, h) = 0}. (2.19). Quando o material está em regime plástico, ou seja, deformando-se de maneira irreversível, o estado de tensões sempre deve estar sobre a superfície de fluência, sendo o exterior da superfície a região das tensões inadmissíveis, como mostra a Figura 2.1.. 11.

(25) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2010. Figura 2.1 - Superfície de Fluência (Gens & Prats, 2003). Em geral a superfície é dependente das tensões atuantes σ e seu tamanho varia como uma função dos parâmetros de estado h. Para plasticidade perfeita h é constante e a superfície de fluência não muda de tamanho durante o carregamento. Para plasticidade com endurecimento ou amolecimento h varia com as deformações plásticas e a superfície de fluência se expande ou diminui durante o carregamento. Na Figura 2.2 é possível observar o comportamento dos materiais elasto-plásticos perfeitos, com endurecimento e com amolecimento. Na plasticidade perfeita, os materiais apresentam patamar de escoamento definido pela tensão de escoamento σy, parâmetro do material para determinado sistema de cargas e condições de contorno, que se mantém constante. Para materiais com endurecimento a tensão de escoamento inicial é excedida e em materiais com amolecimento a tensão de escoamento decresce.. 12.

(26) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. Figura 2.2 - Material elasto-plástico perfeito, com respectivamente (uniaxial.). endurecimento e com. 2010. amolecimento,. 2.2.5. POTENCIAL PLÁSTICO. Sob condição uniaxial é considerado implicitamente que a direção das deformações plásticas incrementais é coincidente com a direção da tensão imposta. Contudo em um caso multiaxial a situação se torna mais complexa devido à existência de seis componentes de tensões e deformações. É necessário se estabelecer a direção de deformação plástica em qualquer estado de tensão. Assim para definir as direções das deformações plásticas incrementais recorre-se a existência de um potencial plástico g, tal que, a lei de escoamento plástico é caracterizada por:. dεij = λ. ∂g ∂σ ij. (2.20). Onde dεij representa as seis componentes da deformação plástica incremental, λ é chamado de multiplicador plástico e é um escalar que fornece a magnitude da deformação plástica. A direção é dada pelo gradiente de g, a função potencial plástica, que é expressa como,. g (σ , ξ ) = 0. (2.21). Onde ξ é um vetor característico dos parâmetros do material.. 13.

(27) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2010. A direção da deformação plástica é paralela a direção do gradiente do potencial plástico e, portanto, perpendicular a superfície determinada por g, como mostra a figura 2.3. Quando a superfície de fluência e o potencial plástico coincidem (f=g), trata-se de plasticidade associada, no caso contrário trata-se plasticidade não-associada (Gens e Prat, 2003).. Figura 2.3 - Potencial plástico e vetor de deformações plásticas (Gens & Prat, 2003). 2.2.6. LEI DE EDURECIMENTO. Com o início da plastificação, poderá ocorrer um aumento ou diminuição da superfície de fluência e são as leis de endurecimento ou amolecimento, respectivamente, que regulam este fenômeno. A definição dessas leis pode ser feita estabelecendo-se a variação do parâmetro h, quando definidas tais leis permitem descrever as mudanças de posição e de tamanho da superfície de plastificação. Podem ser considerados dois tipos de endurecimento: isotrópico ,quando apenas o tamanho da superfície é alterado; e cinemático, quando a superfície é deslocada sem sofrer variação de 14.

(28) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2010. forma ou tamanho sofrendo apenas translação na direção do fluxo plástico. A figura 2.4 ilustra os dois comportamentos.. Figura 2.4 - Endurecimento isotrópico e cinemático, respectivamente (Mendonça, 2005). Para controlar tal variação do tamanho, forma ou posição da superfície de fluência devem ser definidos os parâmetros de endurecimento h, que por sua vez são funções da deformação plástica acumulada como a seguir.. h = h(ε p ). (2.22). 2.2.7. TENSOR CONSTITUTIVO ELASTO-PLÁSTICO. É preciso definir a relação entre as tensões e deformações incrementais para sua conseqüente utilização nos modelos constitutivos elasto-plásticos.. As equações são apresentadas em função das taxas (derivadas em relação ao tempo) de tensão e de deformação. Definindo Dep como sendo o tensor constitutivo elasto-plástico, em contraposição à matriz elástica De, a relação entre as tensões e deformações para um material elasto-plástico, pode ser escrita da seguinte forma.. σ& = D ep ε&. (2.23) 15.

(29) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2010. onde σ& é o incremento do tensor de tensões e ε& o incremento do tensor de deformações. O incremento total de deformação pode ser dividido em duas parcelas, a elástica ( ε& e ) e a plástica ( ε& p ) como mostrado a seguir,. ε& = ε& e + ε& p. (2.24). De acordo com (2.16) e (2.20) tem-se que, −1. ε& e = D e σ&. ε& p = λ. (2.25). ∂g (σ, Ψ) ∂σ. (2.26). Combinando (2.26) e (2.25) com (2.24), pode-se escrever.  ∂g (σ, Ψ)  σ& = Deε& e − λDe   ∂σ . (2.27). Conforme visto anteriormente, os materiais em regime plástico devem satisfazer a condição F(σ,h)=0. Além disso, para atender a condição de consistência, o diferencial de F deve ser igual a zero (Mendonça, 2005), de onde se deduz que,.  ∂f (σ, h)   ∂f (σ, h)  & & f& (σ, h) =  σ +   ∂h  h = 0 ∂ σ     T. T. (2.28). e o multiplicador plástico resulta em:.  ∂f (σ, h)  e &  ∂σ  D ε λ= T T  ∂f (σ, h)  e  ∂g (σ, Ψ)   ∂σ  D  ∂σ  + A T. (2.29). 16.

(30) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2010. Onde,. 1  ∂f (σ, h)  & A=−  h λ  ∂h  T. (2.30). O parâmetro A varia de acordo com a condição de plasticidade do material. Para plasticidade perfeita, h é uma constante e A=0. Para o caso de endurecimento ou amolecimento, (2.30) é reescrita como,. 1  ∂f (σ, h)  ∂h p A=−  ε& p  λ  ∂h  ∂ε T. (2.31). Devido à relação linear entre h e εp, o parâmetro λ pode ser cancelado e A torna-se determinado. Caso a relação seja não-linear o parâmetro escalar não é cancelado e A se torna indeterminado. Tal dificuldade é estendida à determinação da matriz elasto-plástica. Na prática todos os modelos assumem uma relação linear entre o parâmetro de estado h e as deformações plásticas εp (Sousa, 2004). Substituindo (2.29) em (2.27) obtém-se,.  ∂g (σ, Ψ)   ∂f (σ, h)  e & D  Dε    ∂ σ ∂ σ    σ& = D e ε& − T T  ∂f (σ, h)  e  ∂g (σ, Ψ)   ∂σ  D  ∂σ  + A T. e. (2.32). E por fim, substituindo (2.32) em (2.23), tem-se a expressão da matriz constitutiva elastoplástica,. 17.

(31) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica.  ∂g (σ, Ψ)   ∂f (σ, h)  e D  D    ∂ σ ∂ σ    Dep = De − T T  ∂f (σ, h)  e  ∂g (σ, Ψ )   ∂σ  D  ∂σ  + A. 2010. T. e. 2.2.7.1.1.. (2.33). CRITÉRIO DE PLASTIFICAÇÃO DE VON MISES. De acordo com (Souza Neto et al, 2008) este modelo, que é mais apropriado a descrição do comportamento elasto-plástico dos metais, foi proposto por von Mises em 1913. De acordo com o critério de Von Mises, a plastificação se inicia quando o tensor das tensões desviadoras S atinge um valor crítico. Tal modelo não considera que a parte esférica do tensor de tensões tenha influência nas deformações plásticas. A superfície de fluência para este modelo pode ser escrita como,. f (σ , h ) = S −. 2 σy 3. (2.34). Onde σy é a tensão de escoamento e varia para cada material. A superfície de fluência de von Mises tem a forma de um cilindro circular no espaço das tensões principais, conforme ilustra a Figura 2.5. A superfície é independente da tensão média p e a parcela. 2 σ y representa seu 3. raio. As deformações plásticas ocorrem normalmente à superfície de fluência no sentido do espaço de tensões inadmissíveis. Neste trabalho será considerado o modelo de von Mises associado, portanto f=g.. 18.

(32) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2010. Figura 2.5- Superfície de fluência de von Mises (Gomes, 2006). 2.2.8. CRITÉRIO DE PLASTIFICAÇÃO DE DRUCKER PRAGER. O modelo proposto por Drucker e Prager, como uma suavização do modelo de MohrCoulomb (Souza Neto et al, 2008), consiste na modificação do critério de von Mises onde um termo é introduzido para que o modelo se torne sensível às variações volumétricas. O modelo de Drucker Prager prevê que a plastificação tem início quando o invariante de tensões desviadoras, J, e a tensão média, p, atingem uma combinação de valores críticos. Para este modelo podemos definir a função de fluência da seguinte forma,. f (σ , h ) = J + η p − ξc. (2.35). Sendo,. η ( c, ϕ ) ; ξ ( c, ϕ ). (2.36). 19.

(33) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2010. Onde a coesão (c) e o ângulo de atrito (ϕ) são parâmetros do material. A superfície de plastificação de Drucker Prager é um cone cilíndrico como mostrado na figura 2.6 e os parâmetros η e ξ são escolhidos de acordo com a aproximação à superfície de Mohr-Coulomb. Duas das mais comuns aproximações são obtidas fazendo-se coincidir os vértices internos ou externos da superfície de Mohr-Coulomb. A coincidência dos vértices externos é dada por. η=. 6 sin φ 3 (3 − sin φ ). (2.37). ξ=. 6 cos φ 3 (3 − sin φ ). (2.38). E a coincidência dos vértices internos é dada por,. η=. 6 sin φ 3 (3 + sin φ ). (2.39). ξ=. 6 cos φ 3 (3 + sin φ ). (2.40). Os cones externos e internos são conhecidos respectivamente como cone de compressão e cone de extensão. Uma seção do plano-π de ambas as superfícies é mostrada na figura 2.6.. 20.

(34) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2010. Figura 2.6 - Superfície de fluência de Drucker Prager (Sousa, 2004). Uma lei de fluxo plástico não associada pode ser obtida para o modelo de Drucker Prager adotando-se como função do potencial plástico a mesma função de fluência onde o ângulo de atrito (ϕ) é substituído pelo ângulo de dilatância (ψ) sendo escrito da forma a seguir,. g (σ , h ) = J + η p. (2.41). onde, para o cone externo:. η =. 6 sin ψ 3 (3 − sin ψ ). (2.42). e, para o cone interno:. η =. 6 sin ψ 3 (3 + sin ψ ). (2.43). 2.3. MODELO CONSTITUTIVO HIDRÁULICO. 21.

(35) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2010. Um aspecto particular que diferencia o solo de outros materiais é que para uma determinada massa de solo, uma parcela considerável de seu volume é composta por vazios que podem ou não estar preenchidos de líquido. É consenso que para que haja uma mudança no volume desta massa de solo é preciso que a fase fluida (ar e água) existente nos vazios se movimente. Esse movimento dos fluidos vai depender da restrição que o esqueleto sólido impõe, e a variável utilizada para mensurar a dificuldade que a fase fluida tem de se movimentar entre os vazios do solo é a permeabilidade. A permeabilidade depende da forma e do tamanho das partículas sólidas e também da proporção em volume existente entre os vazios e os grãos, denominado de índice de vazios.. 2.3.1. EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DE MASSA. Para o problema hidráulico, as equações de conservação de quantidade de movimento das fases fluidas são substituídas pela lei de Darcy generalizada, cuja validade restringe-se a uma condição de fluxo laminar (Bear, 1988). Considerando o meio poroso como saturado por um único fluido, a água, a conservação de massa da fase líquida é expressa como,. ∂ ( ρ l φ ) + ∇ ( ρ l q l + φρ l u& ) = 0 ∂t. (2.44). onde ρl é a densidade do líquido e ql é o fluxo volumétrico de líquido, dado pela Lei de Darcy da seguinte forma,. q l = − k (∇ p l + ρ l g ). (2.45). sendo k é o tensor de condutividade hidráulica, definido como. k=. κ. µl. (2.46) 22.

(36) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2010. onde g é o vetor de gravidade, κ o tensor de permeabilidade intrínseca para o meio saturado e µl a viscosidade do fluido.. 2.3.2. RELAÇÃO ENTRE PERMEABILIDADE E POROSIDADE. O acoplamento hidromecânico pode ser obtido por meio de uma relação direta entre a variação de uma variável mecânica e a evolução de uma propriedade do comportamento hidráulico e vice-versa. Na literatura as tentativas focam uma relação direta entre a permeabilidade intrínseca com o estado de tensões, porém, essa tarefa, em termos práticos encontra limitações decorrentes da complexidade relativa ao problema. Sendo assim, as relações comumente encontradas permitem determinar as variações de permeabilidade intrínseca através de leis que relacionam esta grandeza com a porosidade (Sousa, 2004). Sabe-se que a permeabilidade do meio poroso não depende unicamente da porosidade, porém de uma série de fatores que devem ser considerados (tamanho e distribuição dos poros, percentual de finos, diâmetro efetivos dos grãos, etc). Em decorrência da complexidade concernente à determinação de uma relação simples e geral, comumente são utilizadas relações experimentais que se prestam para uma estimativa aproximada da variação de tais parâmetros. No programa de elementos finitos CODE_BRIGHT, que resolve de maneira acoplada as equações do problema hidromecânico (Sousa et al, 2005) há uma equação que expressa a dependência da permeabilidade intrínseca com a porosidade por meio de uma lei exponencial empírica (Febex, 2001), descrita como,. κ = κ 0 . exp [b (φ − φ 0 ) ]. (2.47). Onde b é um parâmetro de ajuste que serve pra regular a amplitude da influência da variação da porosidade do meio sobre a permeabilidade. A magnitude dos valores assumidos por este parâmetro se justifica pela maior ou menor densidade da rocha, visto que tais características 23.

(37) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2010. influenciam na maneira como o índice de vazios varia (e conseqüentemente, a porosidade também). Em geral valores elevados de b são empregados para rochas densas devido a pequena magnitude da variação da porosidade (Sousa, 2004). Essa lei permite representar, de maneira aproximada, o comportamento hidromecânico de diversas classes de meios porosos, mediante a escolha de valor adequado para o parâmetro de ajuste.. 2.3.3. DEFORMAÇÕES PLÁSTICAS E VARIAÇÃO DA PERMEABILIDADE. As componentes do tensor de deformações podem ser consideradas como funções contínuas das componentes de deslocamento, que para pequenas deformações, assume a forma:. ε=. (. 1 ∇u + ∇u T 2. ). (2.48). Sendo o meio poroso um sistema constituído por várias fases, além da equação da conservação de massa da fase líquida deve ser considerada a conservação de massa da fase sólida, que uma vez admitida a hipótese de deformabilidade do meio, pode ser expressa como:. ∂ = [(1 − φ ) ρ s ] + ∇[(1 − φ ) ρ s u& ] ∂t. (2.49). Sendo u& o vetor de velocidade da fase sólida devido à deformabilidade do meio poroso. Definindo-se a derivada material de uma variável qualquer φ(x,y,z,t) como (Ferreira, 1996 e Oller, 2001):. dϕ ∂ϕ = + u& ∇ϕ dt ∂t. (2.50). torna-se possível estabelecer a variação da porosidade em função da deformação volumétrica, 24.

(38) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. d φ (1 − φ ) d ρ s = + (1 − φ )ε& v dt ρ s dt. Onde ε& v é a taxa de deformação volumétrica e. 2010. (2.51). dρ s é o termo de compressibilidade da fase dt. sólida. Quando se admite a incompressibilidade da fase sólida, o primeiro termo da equação (2.49) se anula, de modo que a variação da porosidade é influenciada apenas pela variação na deformação volumétrica. De acordo com a formulação matemática do problema hidromecânico, a determinação do estado de tensão em cada ponto do meio poroso possibilita a atualização do campo de deformação por meio da relação constitutiva característica do meio. Isso proporciona a determinação do campo de deslocamento correspondente (incógnita do problema mecânico) pela equação (2.48), por outro lado a equação da conservação de massa da matriz porosa (2.51) juntamente com a equação que caracteriza o acoplamento hidromecânico (2.47) determina a atualização das respectivas variáveis de tal modo a se obter a incógnita do problema hidráulico (pressão de líquido). (Vasconcelos, 2007). 25.

(39) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2010. 3. FORMULAÇÃO NUMÉRICA. A seguir estão descritos os algoritmos que foram implementados no programa de elementos finitos CODE_BRIGHT , que é capaz de resolver problemas acoplados termo-hidromecânicos e geoquímicos em meios porosos. Este programa foi desenvolvido por Olivella et al (1995) e a primeira versão foi apresentada com o propósito de solucionar problemas relacionados a materiais salinos num contexto de disposição de resíduos nucleares. Posteriormente, sua aplicação estendeu-se à modelagem de sistemas de barreiras de proteção ambiental, transporte de solutos, aterros, escavações, barragens de terra, pavimentação, solos colapsíveis e solos expansivos (Nóbrega, 2008). O presente trabalho trata da implementação de algoritmos de integração implícita de modelos constitutivos elasto-plásticos, aplicados a problemas acoplados hidro-mecânicos em meios porosos Segundo Sousa (2004) as aplicações do método dos elementos finitos na plasticidade envolvem a solução de dois conjuntos de equações diferenciais: (a) Relação incremental tensão-deformação, em nível de ponto de Gauss. (b) Equação global carga-deslocamento, em nível de toda malha de elementos finitos. No problema de integração da lei constitutiva tensão-deformação, a escolha dos algoritmos totalmente implícitos foi principalmente motivado por estes serem incondicionalmente estáveis, por não possuírem grande restrição em relação ao tamanho do passo de tempo e possibilitarem a dedução de um operador tangente consistente, essencial para o uso em conjunção com um procedimento global de Newto-Raphson (convergência quadrática). Portanto,. tais. algoritmos. permitem. tornar. o. CODE_BRIGHT. uma. ferramenta. computacionalmente mais eficiente.. 26.

(40) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 3.1. ALGORITMO. DE INTEGRAÇÃO IMPLÍCITA PARA O. MODELO. DE. 2010. VON MISES. COM ENDURECIMENTO. Neste trabalho, a implementação do modelo de von Mises, tem por base a formulação apresentada em Simo & Hughes (1998). No capítulo anterior foram apresentadas as equações concernentes ao problema tensão-deformação, para integrar essas equações numericamente é conveniente adotar um intervalo de tempo fictício, definido como:. ∆ t = t n +1 − t n. (3.1). Assim as equações apresentadas podem ser reescritas em termos incrementais. Pode-se listar como as equações básicas adotadas na implementação do modelo de von Mises:. (a) Lei elástica. σ = De ε e. (3.2). onde De é o tensor elastico isotrópico. (b) Função de fluência. f (σ , σ y ) = S −. 2 σy 3. (3.3). onde. σ y = σ y (ε p ). (3.4) 27.

(41) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. é a tensão de escoamento do material e é uma função da deformação plástica acumulada,. 2010. ε p.. (c) Lei de fluxo associada. ε& p = γ. ∂f 3 S =γ ∂σ 2 S. (3.5). (d) Lei de endurecimento, onde a equação para evolução da variável interna de endurecimento é dada por. 2 p ε& 3. ε& =. (3.6). 3.1.1. ESTADO DE TENSÕES TRIAL. Dado o incremento de deformação:. ∆ ε = ε n +1 − ε n. (3.7). onde ε n +1 correspondente a deformação no tempo tn+1 e ε n a deformação no tempo tn. Sendo ainda conhecidas variáveis de estado. {ε. e n. }. , ε np em tn. A deformação elástica trial e a. deformação plástica acumulada trial são dadas por:. ε en+1. trial. ε np+1. trial. = ε en + ∆ε. (3.8). = ε np. (3.9) 28.

(42) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2010. A tensão trial correspondente é calculada como: e e σ trial n +1 = D : ε n +1. trial. (3.10). onde, a tensão média, p, e o tensor desviador S, são calculados, respectivamente, como: trial. e S trial n +1 = 2Gε d n +1. (3.11). trial. e pntrial +1 = Kε v n +1. (3.12). onde εd e εv são, respectivamente, as componentes desviadoras e volumétrica da deformação, enquanto que G é o módulo elástico cisalhante e K o módulo elástico volumétrico, definidos como:. E 2(1 + ν ) E K= 3(1 − 2ν ). G=. (3.13) (3.14). sendo E o módulo de elasticidade e ν o coeficiente de Poisson. A tensão de escoamento é definida como:. σ y trial = σ y (ε np ) = σ y n n +1. (3.15). Uma vez determinado o estado elástico trial, o próximo passo do algoritmo é verificar se o trial. estado de tensões σ n+1 está contido ou não a superfície de fluência. Se estiver no interior da superfície de fluência, portanto. f (σ trial n +! , σ y n ) ≤ 0. (3.16) 29.

(43) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2010. Então o passo do intervalo [tn, tn+1] é puramente elástico e o estado elástico trial é a solução para a problema de integração, nesse caso as variáveis são atualizadas como se segue.. ε en+1 = ε en+1. trial. (3.17). σ n+1 = σ trial n +1. (3.18). ε np+1 = ε np+1 = ε np. (3.19). σ y n+1 = σ y trial = σ yn n +1. (3.20). trial. Se o estado de tensões σ n+1 estiver no exterior da superfície definida pela função f no espaço das tensões principais, então o passo [tn, tn+1] é elasto-plástico e o algoritmo de retorno a superfície de fluência deve ser aplicado. Para o modelo de von Mises, o algoritmo de retorno corresponde a resolver o seguinte sistema de equações não lineares:. ε en+1 = ε en+1. trial. − ∆γ. 3 S n+1 2 S n+1. (3.21). ε np+1 = ε np + ∆γ S n +1 −. (3.22). 2 σ y (ε np+1 ) = 0 3. (3.23). O qual deve ser resolvido para ε n+1 , ε n+1 e ∆γ e o tensor de deformação plástica pode ser e. p. atualizado de acordo com a seguinte fórmula:. ε np+1 = ε np + ∆γ. 3 S n+1 2 S n+1. (3.24). O sistema apresentado acima pode ser simplificado e o algoritmo de retorno à superfície de fluência do modelo de von Mises pode ser reduzido a uma única equação não linear, sendo o incremento do multiplicador plástico a incógnita do problema. Essa redução no número de 30.

(44) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2010. equações é de extrema importância no sentido de fazer o cálculo do estado de tensões atual mais eficiente do ponto de vista computacional e melhorar o desempenho do esquema de elementos finitos como um todo. Antes da simplificação das equações (3.21), (3.22) e (3.23) deve-se notar que o vetor de fluxo de von Mises é puramente desviador, portanto (3.21), (3.22) e (3.23) podem ser divididas em:. ε v n+1 = ε v n+1 e. e. trial. ε d n+1 = ε ed n+1 − ∆γ e. trial. (3.25). 3 S n+1 2 S n+1. (3.26). o que equivale, em termos de tensão, a:. pn+1 = pntrial +1 S n+1 = S trial n +1 − ∆γ 2G. (3.27). 3 S n+1 2 S n+1. (3.28). Este é o algoritmo de retorno apenas para a componente desviadora da tensão. A tensão média, pn+1, tem o valor computado no passo elástico e pode ser eliminada do sistema de equações. A simplificação a seguir decorre do rearranjo da equação de atualização das tensões desviadoras (3.28), obtendo-se:.  1 +  . 3 ∆γ 2G  S n +1 = S trial n +1  2 S n +1 . (3.29). As tensões desviadoras trial e as elasto-plásticas se relacionam da seguinte forma:. S n+1 S trial n +1 = trial S n+1 S n+1. (3.30). 31.

(45) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. 2010. Então o vetor de fluxo e o estado de tensões atualizado coincidem, substituindo a identidade acima em (3.28) temos a seguinte fórmula de atualização simplificada para as tensões desviadoras:. S n +1.  = 1 −  . 3 ∆γ 2G  trial  ∆γ 3G  trial  S n +1 S = 1 −  n +1  q ntrial 2 S trial +1  n +1 . (3.31). onde,. q ntrial +1 =. 3 trial S n +1 2. (3.32). é a tensão de von Mises, calculada na tentativa elástica. Desde que Sn+1 seja um tensor constante no algoritmo de retorno, a tensão desviador Sn+1 é função linear do ∆γ apenas na formula de atualização acima. Da expressão (3.31) pode-se deduzir que no algoritmo totalmente implícito do modelo de von Mises, a atualização da tensão desviadora é obtida dividindo a tensão desviadora trial pelo fator 1 − ∆γ 3G / qn+1 . trial. Finalmente substituindo (3.31) em (3.22) dentro da condição de consistência plástica (3.23), o sistema das equações (3.21), (3.22) e (3.23) do algoritmo de retorno a superfície de fluência para o modelo de von Mises se reduz a seguinte equação escalar (geralmente não linear) tendo o incremento do multiplicador plástico como sua única incógnita:. ~ p f ( ∆γ ) ≡ q ntrial +1 − 3G ∆ γ − σ y (ε n + ∆ γ ) = 0. (3.33). A equação acima é então resolvida em um esquema Newton-Raphson e, com a solução de ∆γ, as variáveis de estado são atualizadas como se segue:.  ∆γ 3G  S n+1 = 1 − trial S trial n +1 qn+1   σ n+1 = S n+1 + pntrial +1 I. (3.34) (3.35) 32.

(46) Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica. [ ]. ε en +1 = D e. −1. : σ n +1 =. 1 1 trial S n +1 + ε ve n +1 2G 3. εnp+1 = εnp + ∆γ. 2010. (3.36) (3.37). Se requerido, o tensor de deformações plásticas é atualizado por (3.24).. 3.1.2. ENDURECIMENTO LINEAR. A única fonte de não linearidade no algoritmo de retorno de von Mises (3.33) é a curva de endurecimento, definida pela equação (3.4). Para materiais com endurecimento linear esta função é expressa como. σ y ( ε p ) = σ 0 + Hε p. (3.38). Onde σ0 é a tensão de escoamento inicial do material virgem e H é a constante de endurecimento do material, neste caso(3.33) transforma-se em, p f (∆γ ) ≡ qntrial +1 − 3G∆γ − [σ 0 + ( ε n + ∆γ ) H ] = 0. (3.39). E o incremento do multiplicador plástico pode ser obtido, na forma fechada,. f trial ∆γ = 3G + H. (3.40). No caso de plasticidade perfeita (H=0), a expressão para ∆γ recai em,. f trial ∆γ = 3G. (3.41) 33.