PO-5-Problemas de alocação

(1)

(2)

Problemas de Alocação

● Presença de recursos, normalmente limitados

● Recursos podem ser “gastos” em alguma atividade/objeto

● Objetivo é obter o maior lucro ou menor gasto em uma alocação

(3)

Problemas de Alocação

● Problemas do tipo matching

● Problemas do tipo knapsack

(4)

Matching

● Existem M recursos disponíveis e N tarefas a ser executadas

● A associação de um recurso i a uma tarefa j possui um custo c_ij

● Recursos devem estar alocados a exatamente 1 tarefa

● Tarefas devem estar ligadas a exatamente 1 recurso

(5)

Matching - Formulação

● Seja x

ij a variável assume 1 se o recurso i está associado à tarefa j, e 0 caso contrário

(6)

(7)

Matching - Formulação

min

_∑

i=1 M

∑

j=1 N c_ij x_ij s. a.

∑

i=1 M x_ij=1, ∀ j∈[1, N ]

∑

j=1 N x_ij=1,∀ i∈[1, M ] x ∈{0,1 }∀ i∈[1, M ] , ∀ j∈[1, N ]

(8)

Matching

● Solução só é possível quando N e M são iguais

● Em casos onde há disparidade é necessário criar tarefas/recursos artificiais

● Por sua estrutura especial pode ser resolvido como Problema de Fluxo de Custo Mínimo

(9)

Matching

● Suponha um problema de matching com 2

recursos e 3 tarefas. O custo de associação é descrito pela matriz abaixo. Determine o melhor emparelhamento possível 1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 1 Tarefas Recursos

(10)

Modelo De Fluxo

Tarefas recursos 1 2 3 1 2 A s _t 0 0 0 0 0 0 1 2 3 1 2 1 k _k k

(11)

Problemas do Tipo Mochila

● Mais conhecido como Knapsack Problem

● Deseja-se arrumar uma mochila, colocando nela alguns itens

● A mochila possui uma capacidade máxima de peso de q unidades

● Seja O o conjunto de objetos candidatos a entrar na mochila, sendo |O|=N

(12)

Problemas do Tipo Mochila

● Cada objeto o

i possui um peso wi e um benefício pi

● O valor do benefício muitas vezes é uma questão

abstrata/subjetiva.

● Pode ser entendido como uma constante que

expressa a utilidade/valor do objeto para a situação

● Dependendo da situação (contexto), um objeto pode

(13)

Problemas do Tipo Mochila

● Exemplo

● Para uma viagem de férias em uma praia, uma jaqueta teria pouca utilidade

● Já para uma viagem de férias na estação de inverno, para esquiar, levar uma jaqueta faz muito sentido (levar mais do que uma é

(14)

Problemas do Tipo Mochila

● Problema conhecido como problema da mochila

0-1

● Para cada objeto o

i, deve-se decidir entre levar

ou não este objeto

● A capacidade da mochila mochila deve ser

respeitada

● O objetivo é maximizar o benefício total na

(15)

Problemas da Mochila 0-1:

Formulação

(16)

Problemas da Mochila 0-1:

Formulação

● Seja x

i a variável binária associada ao i-ésimo objeto

● x

i assume 1 se o objeto i for colocado na mochila

● x

(17)

Problemas da Mochila 0-1

max

_∑

i=1 N p_i x_i s. a.

∑

i=1 N w_i x_i≤q x_i∈{0,1 }∀ i∈[1, N ]

(18)

Problema da Mochila Inteira

● Também conhecido como Bounded knapsack Problem

● Existe a possibilidade de levar mais do que uma unidade de cada objeto i

● Cada objeto possui um limite de disponibilidade

b_i

● A regra de capacidade da mochila ainda permanece

(19)

(20)

Problema da Mochila Inteira

● Seja x

i uma variável inteira que representa a quantidade de itens do tipo i colocados na mochila

● x

i assume 0 caso o objeto i NÃO seja colocado na mochila

● Qualquer outro valor de x

i representa a

quantidade de objetos do tipo i colocados na mochila

(21)

Problema da Mochila Inteira

max

_∑

i=1 N p_i x_i s. a.

∑

i=1 N w_i x_i≤q 0≤ x_i≤b_i , ∀ i∈{1,... , N } x_i∈ℤ

(22)

Problema das Múltiplas Mochilas

● Mais conhecido como Multiple Knapsack Problem

● Existem M mochilas cada uma com sua

respectiva capacidade q_j

● Ao associar o item i à mochila j temos o benefício

p_i

● Ao associar o item i à mochila j temos

consumimos w_iunidades de capacidade da

(23)

Problema das Múltiplas Mochilas

● Existe apenas uma única unidade de cada objeto

● Um objeto só pode ser alocado em uma mochila

● Nem todos os objetos precisam ser alocados

● Objetivo: maximizar a soma dos benefícios em todas as mochilas

(24)

(25)

Problema das Múltiplas Mochilas

● Seja x

ij uma variável binária que representa a associação do objeto i à mochila j

● x

ij assume 1 caso o objeto i seja associado à mochila j

● x

(26)

Problema das Múltiplas Mochilas

max

_∑

i=1 N

∑

j=1 M p_i x_ij s. a.

∑

i=1 N w_i x_ij≤q_j ∀ j∈{1,... , M } x_ij∈{0,1 }, ∀ i∈{1,... , N }, ∀ j∈{1,... , M }

∑

j=1 M x_ij≤1 ∀ i∈{1,... , N }

(27)

Problema de Alocação

Generalizada

● Mais conhecido como Generalized Assignment Problem (GAP)

● Similar ao problema da mochila 0-1

● Existem M mochilas cada uma com sua respectiva capacidade q_j

● Todos os itens devem ser associados a uma única mochila

(28)

Problema de Alocação

Generalizada

● Ao associar o item i à mochila j temos o benefício p_ij

● Ao associar o item i à mochila j temos

consumimos w_ijunidades de capacidade da mochila j

(29)

Problema de Alocação

Generalizada

● Seja x

ij uma variável binária que representa a associação do objeto i à mochila j

● x

ij assume 1 caso o objeto i seja associado à mochila j

● x

(30)

Problema de Alocação

Generalizada

max

_∑

i=1 N

∑

j=1 M p_ij x_ij s. a.

∑

i=1 N w_ij x_ij≤q _j ∀ j∈{1,... , M } x_ij∈{0,1 }, ∀ i∈{1,... , N }, ∀ j∈{1,... , M }

∑

j=1 M x_ij=1 ∀ i∈{1,... , N }

(31)

Problema Empacotamento

● Mais conhecido como Bin-Packing Problem

● Todas as mochilas tem a mesma capacidade q

● O número de itens e o número de mochilas é o mesmo (N)

(32)

Problema Empacotamento

● Todos os objetos precisam estar associados a uma mochila

● Objetos só podem ser alocados a uma única mochila

● O benefício p

i não é mais relevante

● O objetivo é minimizar o número de mochilas utilizadas

(33)

Problema Empacotamento

● x

ij variável binária que assume 1 caso o objeto i seja associado à mochila j e 0 caso contrário

● y

j variável binária que assume 1 se a mochila j é utilizada e 0 caso contrário

(34)

Problema de Empacotamento

min

_∑

j=1 N y _j s. a.

∑

i=1 N w_i x_ij≤qy _j , ∀ j∈{1,... , N } x_ij∈{0,1 }, ∀ i∈{1,... , N }, ∀ j∈{1,... , N }

∑

j=1 M x_ij=1 ∀ i∈{1,... , N } y _j∈{0,1}, ∀ j ∈{1,... , N }

(35)

Exercício 1

● Um colecionador carros quer aumentar o valor de

sua coleção. Para isso ele foi a uma feira de carros antigos decidido a comprar um “avião” de carros

● O avião possui capacidade de 5 toneladas

● O preço e peso de cada carro estão descritos na

tabela a seguir

(36)

Exercício 1

Veículo Preço

Unidades monetárias Pesotoneladas

Mustang 69 15 1,2 Corvette 72 12 0,9 Brasília amarela 1 0,8 Lottus 99 11 1,4 Alfa Romeo 87 13 1,3 Ferrari 81 14 1,1 Audi 86 12 1,1 Delorian 84 11 1,2

(37)

Exercício 2

● Uma empresa precisa organizar diversas

mercadorias em contêineres para serem despachados

● Cada contêiner tem um custo fixo de uso

● Todas as mercadorias possuem o mesmo destino

● As mercadorias possuem uma densidade

(38)

Exercício 2

● Todos os contêineres possuem mesma

capacidade de carga de 20 unidades de peso ● Os pesos de cada mercadoria são conhecidos ● Elabore um modelo matemático que minimize o

custo da operação

(39)

Produto Peso p1 10 p2 10 p3 7 p4 14 p5 12

(40)

Exercício 3

● Uma padaria precisa decidir quais pedidos vai

atender a cada fornada

● Os pedidos possuem diferentes prioridades:

alguns clientes pagam taxa de urgência, outros são pedidos que foram agendados a bastante tempo

● A padaria conta com 3 fornos de diferente

capacidades. O tempo de forno de todos os produtos é o mesmo

(41)

Exercício 3

● Pedidos não atendidos na fornada atual serão atendidos posteriormente, depois de terem

suas prioridades recalculadas

● Monte um modelo matemático que maximize a prioridade dos pedidos feitos a cada fornada

(42)

Exercício 3

Forno Capacidade

f1 10

f2 7

(43)

Exercício 3

Pedido Espaço consumido Prioridade p1 3 3 p2 5 2 p3 2 3 p4 7 1 p5 1 2 p6 3 2