Análise de vigas submetidas a solicitações térmicas pelo Método dos Elementos Finitos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

JOÃO PAULO LEMOS LEITE

ANÁLISE DE VIGAS SUBMETIDAS A SOLICITAÇÕES TÉRMICAS PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

NATAL - RN 2019

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JOÃO PAULO LEMOS LEITE

Análise de vigas submetidas a solicitações térmicas pelo Método dos Elementos Finitos Trabalho de Conclusão de Curso, submetido ao Departamento de Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como parte dos requisitos necessários para obtenção do Título de Bacharel em Engenharia Civil.

Orientadora: Profª. Drª. Fernanda Rodrigues Mittelbach

Natal-RN 2019

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede

Leite, João Paulo Lemos.

Análise de vigas submetidas a solicitações térmicas pelo Método dos Elementos Finitos / Joao Paulo Lemos Leite. - 2019. 61 f.: il.

Monografia (Graduação) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Tecnologia, Curso de Engenharia Civil, Natal, 2019.

Orientadora: Profa. Dra. Fernanda Rodrigues Mittelbach.

1. Análise estática de vigas - Monografia. 2. Variação de temperatura - Monografia. 3. Métodos numéricos - Monografia. 4. Código computacional - Monografia. 5. Fortran - Monografia. I. Mittelbach, Fernanda Rodrigues. II. Título.

RN/UF/BCZM CDU 624

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JOÃO PAULO LEMOS LEITE

Análise de vigas submetidas a solicitações térmicas pelo Método dos Elementos Finitos

Trabalho de Conclusão de Curso, submetido ao Departamento de Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como parte dos requisitos necessários para obtenção do Título de Bacharel em Engenharia Civil.

Aprovado em de 2019:

_______________________________________________ Prof.ª Dr.ª Fernanda Rodrigues Mittelbach – Orientadora

_______________________________________________ Prof. Dr. José Neres da Silva Filho – Examinador interno

_______________________________________________ Eng. Daniel Alves de Lima – Examinador externo

Natal-RN 2019

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DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho a meus pais, Flávio e Patrícia.

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AGRADECIMENTOS

Sou extremamente grato, primeiramente, aos meus pais, Flávio e Patrícia, pelo amor e pela educação proporcionada, e por terem fornecido todo o apoio necessário em todos os momentos da minha vida.

Gostaria de agradecer também à minha irmã, Ana Flávia, por sempre estar ao meu lado me incentivando com muito amor e alegria.

A toda minha família, em especial à minhas avós Zildete, Regina e Zélia, e a meu avô Afrânio, que admiro pois desde pequeno me educou e entreteve, e sou grato por ter me incentivado a ser a pessoa que sou hoje.

A todos os meus amigos que sempre me apoiaram, tornando essa jornada mais agradável.

Finalmente, agradeço a todos os professores do curso que participaram do meu aprendizado, especialmente à minha orientadora Fernanda Mittelbach, pelo empenho, dedicação e por todos os ensinamentos como professora e como orientadora.

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RESUMO

Este trabalho trata da análise estática do comportamento estrutural de vigas submetidas a solicitações mecânicas e térmicas, através do Método dos Elementos Finitos (MEF). A análise foi realizada numericamente com a utilização deste método e do Princípio dos Trabalhos Virtuais, para desenvolver um código computacional, na linguagem FORTRAN, capaz de simular o comportamento dessas vigas. O código contempla entrada das propriedades geométricas, mecânicas e físicas da viga, e gera os valores de deslocamentos e rotações da peça estrutural. Foram apresentados exemplos para cada situação abordada, variando-se as propriedades, vinculações e solicitações externas, incluindo as térmicas. Em seguida, os resultados obtidos no modelo numérico foram analisados e comparados com as soluções analíticas e com os resultados obtidos por meio de programa comercial, verificando a eficácia e precisão do código desenvolvido.

Palavras-chave: Análise estática de vigas. Variação de temperatura. Métodos numéricos.

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ABSTRACT

Title: Analysis of beams subjected to thermal stresses by the Finite Element Method

This work deals with the static analysis of the structural behavior of beams subjected to mechanical and thermal loads through the Finite Element Method (FEM). The analysis was performed numerically using this method and the Principle of Virtual Works, to develop a computational code, in the FORTRAN language, capable of simulating the behavior of these beams. The code includes input of the geometric, mechanical and physical properties of the beam, and generates the values of deflections and rotations of the structural element. Examples were presented for different situations, varying the properties, bindings and external loads, including thermal ones. The results obtained in the numerical model were then analyzed and compared with the analytical solutions and with the results obtained through a commercial program, verifying the effectiveness and precision of the developed code.

Keywords: Static analysis of beams. Temperature variation. Numerical Methods.

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ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1 – Viga em balanço com carregamento genérico. ... 5

Figura 2 – Elemento infinitesimal com esforços atuantes. ... 6

Figura 3 – Elemento finito com deslocamentos. ... 7

Figura 4 – Viga com cinco elementos e nós numerados. ... 8

Figura 5 – Sistema de numeração local dos deslocamentos nodais do elemento. ... 8

Figura 6 – Sistema de numeração global dos deslocamentos nodais da viga. ... 9

Figura 7 – Sistema de eixos da viga. ... 9

Figura 8 – Viga com carregamento distribuído linearmente. ... 15

Figura 9 – Fluxograma do processo de compilação do código. ... 21

Figura 10 – Representação do arquivo de entrada. ... 22

Figura 11 – Representação do arquivo de saída. ... 23

Figura 12 – Representação esquemática do sistema de equações lineares montado para o cálculo dos deslocamentos nodais. ... 25

Figura 13 – Viga em balanço. ... 27

Figura 14 – Configuração deformada da viga do Exemplo 1. ... 27

Figura 15 – Viga biapoiada. ... 30

Figura 17 – Viga hiperestática biengastada. ... 34

Figura 19 – Viga hiperestática engastada e com apoio elástico. ... 37

Figura 21 – Viga hiperestática contínua com um apoio de segundo gênero e dois de primeiro gênero. ... 39

Figura 23 – Viga hiperestática contínua com um engaste, um apoio de primeiro gênero e um apoio elástico. ... 42

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ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 1 – Diferenças percentuais dos deslocamentos transversais e rotações da viga do Exemplo 1. ... 29 Tabela 2 – Diferenças percentuais dos deslocamentos transversais e rotações da viga do Exemplo 2. ... 33 Tabela 3 – Diferenças percentuais dos deslocamentos transversais e rotações da viga do Exemplo 3. ... 36 Tabela 4 – Diferenças percentuais dos deslocamentos transversais e rotações da viga do Exemplo 4. ... 39 Tabela 5 – Diferenças percentuais dos deslocamentos transversais e rotações da viga do Exemplo 5. ... 41 Tabela 6 – Diferenças percentuais dos deslocamentos transversais e rotações da viga do Exemplo 6. ... 44

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ÍNDICE DE GRÁFICOS

Gráfico 1 – Deslocamentos transversais da viga do Exemplo 1. ... 28

Gráfico 2 – Rotações da viga do Exemplo 1. ... 29

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LISTA DE SÍMBOLOS

V – Força transversal M – Momento fletor q – Carga distribuída

A – Área da seção transversal L – Comprimento da viga

E – Módulo de elasticidade longitudinal

𝐈𝐳 – Inércia da seção transversal em relação ao eixo z

𝛂 – Coeficiente de dilatação térmica 𝛌 – Comprimento do elemento

[k] – Matriz de rigidez do elemento [f] – Vetor de cargas nodais

n – Quantidade de elementos nno – Quantidade de pontos nodais

∆𝐭 – Variação de temperatura

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SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO ... 1 1.1 JUSTIFICATIVA ... 2 1.2 OBJETIVOS ... 2 1.2.1 Objetivo geral ... 2 1.2.2 Objetivos específicos ... 3 2. METODOLOGIA ... 4 3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ... 5 3.1 Vigas ... 5

3.2 Método dos Elementos Finitos ... 6

3.2.1 Aspectos gerais ... 6

3.2.2 Sistema de numeração ... 7

3.2 Matriz de Rigidez do Elemento ... 9

3.3 Vetor de Cargas Nodais do Elemento ... 15

3.4 Solicitações térmicas ... 17 4. CÓDIGO COMPUTACIONAL ... 20 4.1 Aspectos gerais ... 20 4.2 Sub-rotinas ... 22 4.2.1 Declaração de variáveis ... 22 4.2.2 Abertura de arquivos... 22 4.2.3 Leitura de dados ... 22 4.2.4 Propriedades geométricas ... 23 4.2.5 Matriz de rigidez ... 23 4.2.6 Vetor de cargas... 23 4.2.7 Condições de contorno ... 24 4.2.8 Resolução do sistema ... 24 4.2.9 Saída de dados ... 25 5. ANÁLISE NUMÉRICA ... 26 5.1 Exemplo 1 ... 26 5.2 Exemplo 2 ... 30 5.3 Exemplo 3 ... 33 5.4 Exemplo 4 ... 36 5.5 Exemplo 5 ... 39 5.6 Exemplo 6 ... 42

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6. CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 45 7. REFERÊNCIAS ... 46

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1. INTRODUÇÃO

O engenheiro estrutural deve se preocupar com diversos fatores que podem afetar a segurança e o conforto dos usuários, desta forma deve-se ter atenção redobrada com a análise estrutural, pois erros cometidos durante o desenvolvimento do projeto podem provocar retrabalho em etapas futuras da obra.

Na análise de um elemento estrutural, devido à complexidade do comportamento do material, da geometria, das cargas ou das condições do ambiente cujo elemento se encontra inserido, há muitos problemas para os quais não são conhecidas soluções analíticas para as equações diferenciais dos seus determinados domínios. Nestes casos recorre-se, então, a métodos numéricos que permitem a obtenção de soluções aproximadas para esses problemas (RIBEIRO, 2004).

Um desses métodos numéricos é o Método dos Elementos Finitos (MEF), que “consiste em um método numérico aproximado para análise de diversos fenômenos físicos que ocorrem em meios contínuos, e que são descritos através de equações diferenciais parciais” (SOUZA, 2003). Este método é bastante genérico e pode ser utilizado em diversas áreas, como engenharia de estruturas, mecânica dos solos, eletroestática, hidráulica e transferência de calor.

A influência das variações de temperatura nos elementos estruturais precisa ser analisada e o MEF, assim como outros métodos numéricos, analíticos e experimentais, podem ser utilizados para esse fim.

Com relação ao tipo de análise, apesar das ações atuantes sobre as estruturas serem em sua maioria dinâmicas, devendo ser consideradas as acelerações relacionadas a cada elemento, em diversos casos é razoável realizar a análise estática, em que as ações são aplicadas lentamente, permitindo que as forças de inércia sejam desprezadas e facilitando os cálculos (AZEVEDO, 2003).

Nesse sentido, o presente trabalho visa desenvolver a análise estática de vigas em regime elástico linear, submetidas a solicitações mecânicas e térmicas, com o auxílio do MEF. O código computacional será desenvolvido na linguagem FORTRAN utilizando o FTN95 Personal Edition, e seus resultados serão analisados e comparados com os resultados obtidos pelo método analítico e pelo programa comercial Ftool.

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1.1 JUSTIFICATIVA

A viga constitui um dos elementos estruturais mais utilizados na Engenharia Civil, sendo assim de extrema importância a compreensão do seu comportamento quando consideradas as diversas solicitações a que pode estar submetida, como cargas concentradas, cargas distribuídas, momentos e solicitações térmicas. No dimensionamento de uma estrutura, o conhecimento das deformações ocasionadas por essas solicitações é essencial.

O estudo da resistência dos materiais apresenta soluções analíticas para se obter essas deformações, mas essas soluções se tornam inviáveis a partir de certo grau de complexidade nos cálculos, que envolvem equações diferenciais longas e complexas. Desse modo, o auxílio de métodos computacionais é bastante adequado, simplificando e acelerando o desenvolvimento dos cálculos.

No que se refere às situações que envolvem transferência de calor e solicitações térmicas, como em casos de incêndio e variações climáticas, precisam ser analisadas com atenção, uma vez que essas solicitações podem alterar características físicas e mecânicas dos materiais, afetando a estrutura como um todo.

Além disso, o trabalho envolve temas de estudo não frequentemente contemplados na graduação de Engenharia Civil, como o próprio MEF, possibilitando seu estudo mais aprofundado, assim como o aperfeiçoamento do conhecimento em temas já estudados, como o Princípio dos trabalhos Virtuais (PTV) e a consideração da variação de temperatura nos elementos estruturais.

1.2 OBJETIVOS

1.2.1 Objetivo geral

Este trabalho tem como objetivo geral analisar, numericamente e com auxílio de código computacional, o comportamento de vigas submetidas a solicitações térmicas a partir do Método dos Elementos Finitos.

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1.2.2 Objetivos específicos

Os objetivos específicos deste trabalho são:

 Desenvolver formulação numérica de vigas estruturais considerando as solicitações térmicas;

 Desenvolver código computacional para a obtenção dos resultados, a partir da formulação do Método dos Elementos Finitos (MEF);

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2. METODOLOGIA

Para a confecção deste trabalho realizou-se, primeiramente, uma revisão bibliográfica com o objetivo de garantir o domínio dos conceitos relacionados ao Método dos Elementos Finitos e aos efeitos de solicitações térmicas atuantes em vigas.

Dessa forma, verificou-se os modelos de cálculo do MEF para as vigas de modo a possibilitar sua análise estática, numericamente. Para isso, foram estudadas seis vigas com diferentes carregamentos e vinculações.

Em seguida, desenvolveu-se um código computacional na linguagem FORTRAN de modo a simular a ação dos carregamentos na viga e gerar os valores de suas deformações. O código foi desenvolvido utilizando o FTN95 Personal Edition.

Os resultados obtidos pelo método numérico foram então analisados e comparados com as soluções relativas ao método analítico e ao programa comercial, verificando-se a validez e precisão do código desenvolvido.

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3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

3.1 Vigas

Vigas são elementos estruturais projetados para suportar cargas aplicadas perpendicularmente a seus eixos longitudinais (HIBBELER, 2010). São elementos lineares, ou seja, nos quais uma de suas dimensões (comprimento) é consideravelmente maior do que as outras duas (largura e a altura).

As vigas estão sujeitas predominantemente à flexão, sendo assim pensadas e projetadas para trabalhar especialmente com essa deformação. Podem ser dispostas horizontalmente ou inclinadas, com uma ou mais vinculações, de tal forma a garantir que as peças sejam no mínimo isostáticas. Podem ser confeccionadas de madeira, aço, ferro fundido, concreto (armado ou protendido) e alumínio, com aplicações nos mais diversos tipos de construções (SOUZA e RODRIGUES, 2008).

Os principais tipos de vigas são as vigas simplesmente apoiadas, as vigas em balanço, as vigas biengastadas, as vigas contínuas e as vigas Gerber.

Como todo elemento estrutural, é importante entender o comportamento estrutural das vigas, especialmente por serem um dos elementos mais comumente utilizados na Engenharia Civil. Dessa forma, seu dimensionamento deve ser realizado apenas por engenheiros registrados e qualificados e, para realizar esse dimensionamento, é essencial o levantamento dos esforços internos e deformações de tais elementos.

Seja, por exemplo, a viga em balanço com carregamento genérico representada na Figura 1:

Figura 1 – Viga em balanço com carregamento genérico.

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6 Tem-se, então, a representação do elemento infinitesimal e os respectivos esforços atuantes:

Figura 2 – Elemento infinitesimal com esforços atuantes.

Fonte: Gaspar (2005).

3.2 Método dos Elementos Finitos

3.2.1 Aspectos gerais

A ideia básica do Método dos Elementos Finitos consiste em subdividir o domínio (meio contínuo) que será analisado em subdomínios, denominados elementos, de dimensões finitas e conectados entre si em pontos chamados nós (ALVES, 2007). Cada elemento apresenta as mesmas propriedades do meio contínuo e é analisado separadamente, sendo seus resultados combinados para se obter o resultado do domínio global.

O método pode ser bastante preciso, de acordo com a dimensão do domínio e com a quantidade de nós e elementos. Quanto menor o tamanho do domínio, e quanto maior o número de elementos existentes na sua subdivisão, mais precisos serão os resultados. Além disso, outro conceito bastante importante diz respeito ao grau de liberdade, que se refere aos possíveis movimentos de translação e rotação referentes ao ponto ou corpo rígido. A quantidade de graus de liberdade em cada nó influencia no comportamento de cada elemento.(SOUZA, 2003)

Além dos aspectos relacionados ao MEF, também serão utilizados conceitos advindos do Princípio dos Trabalhos Virtuais. O PTV estabelece o equilíbrio de um sistema em termos

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7 de seus deslocamentos, de modo que o trabalho virtual das forças externas equivale ao trabalho virtual das forças internas.

Para o presente trabalho, a viga abordada será analisada estaticamente e subdividida em elementos finitos de comprimento uniforme conectados em nós com dois graus de liberdade, sendo analisados assim os movimentos de translação e rotação de cada um dos nós de cada elemento, de acordo com as solicitações à que a peça está submetida. A Figura 1 representa um elemento genérico de comprimento λ.

Figura 3 – Elemento finito com deslocamentos.

Fonte: Autor (2019).

Na realização da análise proposta serão desenvolvidas integrais relacionadas aos trabalhos virtuais interno e externo. O Princípio dos Trabalhos Virtuais será então aplicado, igualando-se ambas as expressões dos trabalhos virtuais interno e externo, o que permite a determinação da matriz de rigidez e do vetor de cargas da estrutura. Em seguida, após a aplicação das condições de contorno, constrói-se um sistema de equações lineares, cujas incógnitas são os deslocamentos nos nós da estrutura.

3.2.2 Sistema de numeração

Para o desenvolvimento da análise numérica e do código computacional foram determinados sistemas de numeração para os nós, elementos e deslocamentos nodais da viga, de forma a facilitar a confecção e o entendimento dos cálculos e a aplicação dos conceitos relacionados ao MEF.

A divisão da viga foi feita uniformemente, ocasionando em um número “n” de elementos finitos com o mesmo comprimento. Foram aplicados nós não apenas entre os

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8 elementos, mas também nas extremidades da viga resultando, assim, em um número de nós (nno) igual à quantidade de elementos mais um:

𝑛𝑛𝑜 = 𝑛 + 1 ₍₁₎

A numeração dos nós, assim como a numeração dos elementos, foi realizada em sequência do extremo esquerdo para o extremo direito da viga.

Figura 4 – Viga com cinco elementos e nós numerados.

No que se refere à numeração dos deslocamentos nodais, considera-se dois sistemas de numeração, local e global. O sistema de numeração local representa a numeração dos deslocamentos translacionais e rotacionais de cada elemento finito, sendo assim associados quatro componentes de deslocamentos a cada um desses elementos, dois de translação e dois de rotação. Cada nó do elemento está relacionado com uma componente de deslocamento translacional e outra rotacional, e a numeração é ordenada iniciando na translação do nó inicial e finalizando na rotação do nó final, como representado a seguir:

Figura 5 – Sistema de numeração local dos deslocamentos nodais do elemento.

O sistema de numeração global, assim como o local, segue a sequência da esquerda para a direita com os números ímpares representando as translações e os números pares representando as rotações. Além disso, a numeração global de cada componente de deslocamento é relacionada com a numeração do respectivo elemento, conforme figura abaixo:

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9 Figura 6 – Sistema de numeração global dos deslocamentos nodais da viga.

A partir da Figura 6 chega-se à conclusão de que a quantidade total de deslocamentos (translacionais e rotacionais) na viga pode ser representado por 2n+2, que corresponde à rotação no último nó da estrutura.

3.2 Matriz de Rigidez do Elemento

Para o desenvolvimento da Matriz de Rigidez do Elemento, o sistema de eixos considerado será o seguinte:

Figura 7 – Sistema de eixos da viga.

Na obtenção da matriz analisa-se o seu trabalho virtual interno. Tendo como base o Princípio dos Trabalhos Virtuais, temos que o trabalho interno de deformação é igual ao trabalho externo das forças aplicadas. O trabalho virtual interno, considerando o sistema de coordenadas da Figura 7, é representado pela seguinte expressão:

𝛿_𝜔𝑖 = ∫ 𝜎_𝑥𝛿𝜀_𝑥𝑑𝑉

𝑉

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10 Onde:

 𝜎_𝑥: Tensão normal ao longo do eixo x;  𝜀_𝑥: Deformação no eixo x.

Da resistência dos materiais, a tensão normal no eixo x pode ser calculada multiplicando o módulo de elasticidade longitudinal pela deformação total, sendo representada por:

𝜎𝑥= 𝐸𝜀𝑥 (3)

A expressão da deformação total 𝜀_𝑥= 𝜀𝑇_{, que é caracterizada pela soma das}

deformações referentes aos esforços causados pelas cargas externas com as deformações referentes apenas à variação de temperatura, é a seguinte:

𝜀𝑇 = 𝜀𝑒+ 𝜀∆𝑡 → 𝜀𝑒 = 𝜀𝑇− 𝜀∆𝑡 (4)

Onde a deformação associada a uma variação de temperatura ∆𝑡 pode ser expressa por:

𝜀∆𝑡 = 𝛼∆𝑡 (5)

Assim, introduzindo (5) em (4) e, em seguida, (4) em (3):

𝜎𝑥= 𝐸(𝜀𝑥− 𝛼∆𝑡) (6)

que corresponde à expressão da tensão que desconsidera as tensões relativas à variação de temperatura.

As parcelas de tensão relacionadas às deformações totais serão analisadas separadamente das parcelas correspondentes à variação de temperatura. O trabalho virtual interno total será então a soma dos trabalhos virtuais relativos a estas duas parcelas.

A partir da equação (2) e considerando uma viga com seção transversal genérica de área A e comprimento L, tem-se:

𝛿_𝜔𝑖 = ∫ ∫ 𝜎_𝑥𝛿𝜀_𝑥𝑑𝐴𝑑𝑥

𝐴 𝑙

0 (7)

A tensão normal ao longo do comprimento longitudinal da viga pode ser representada por:

𝜎𝑥 =

𝑀_𝑧 𝐼𝑧

𝑦 ₍₈₎

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11 𝜀𝑥 = 𝜎_𝑥 𝐸 = 𝑀_𝑧 𝐸𝐼𝑧 𝑦 ₍₉₎ Substituindo (8) e (9) em (7): 𝛿𝜔𝑖 = ∫ ∫ 𝑀_𝑧 𝐼𝑧 𝑦𝛿 (𝑀𝑧 𝐸𝐼𝑧 𝑦) 𝑑𝐴𝑑𝑥 𝐴 𝑙 0 → ∫ 𝑀𝑧𝛿𝑀𝑧 𝐸(𝐼_𝑧)² ∫ 𝑦²𝑑𝐴𝑑𝑥 𝑙 0 (10)

Considerando a expressão do momento de inércia em relação ao eixo z:

𝐼𝑧 = ∫ 𝑦²𝑑𝐴 ₍₁₁₎ Chega-se em: 𝛿_𝜔𝑖 = ∫ 𝑀𝑧𝛿𝑀𝑧 𝐸𝐼_𝑧 𝑑𝑥 𝑙 0 (12)

Para representar o momento fletor que causa rotação em torno do eixo z, tem-se: 𝑀𝑧 = −𝐸𝐼𝑧

𝑑²𝜈

𝑑𝑥² (13)

Por fim, substituindo (13) em (12), encontra-se a expressão do trabalho virtual interno: 𝛿𝜔𝑖 = ∫ 𝐸𝐼𝑧 𝑑²𝜈 𝑑𝑥²𝛿 𝑑²𝜈 𝑑𝑥²𝑑𝑥 𝑙 0 (14) Onde:

 E: Módulo de elasticidade longitudinal do material da peça estrutural;  𝐼_𝑧: Momento de inércia da seção da viga em torno do eixo z;

 𝑙: Extensão longitudinal da viga;

 𝜈: Polinômio aproximador dos deslocamentos transversais e rotacionais da viga;  𝑑𝑥: Valor do comprimento do elemento infinitesimal.

Para cada elemento de comprimento 𝜆, considerando o material e as dimensões da viga constantes, temos: 𝛿_𝑤𝑖𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜= 𝐸𝐼𝑧∫ 𝑑²𝜈 𝑑𝑥²𝛿 𝑑²𝜈 𝑑𝑥²𝑑𝑥 𝜆 0 (15)

Para determinar o polinômio aproximador dos deslocamentos da viga é necessário calcular as funções de interpolação 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), 𝑓3(𝑥) e 𝑓4(𝑥), todas equações de terceiro grau.

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12 Para isso, consideram-se os resultados da função de acordo com o deslocamento (linear ou rotacional) do respectivo nó do elemento genérico. Para a função 𝑓₁(𝑥), referente ao deslocamento linear do nó localizado no ponto x=0 do elemento, tem-se:

𝑓₁(0) = 1 ₍₁₆₎ 𝑑𝑓₁(0) 𝑑𝑥 = 0 (17) 𝑓₁(𝜆) = 0 (18) 𝑑𝑓₁(𝜆) 𝑑𝑥 = 0 (19)

Como 𝑓₁(𝑥) consiste em uma equação de terceiro grau:

𝑓1(𝑥) = 𝑎1𝑥3+ 𝑏1𝑥2+ 𝑐1𝑥 + 𝑑1 (20) Derivando (20): 𝑑𝑓₁(𝑥) 𝑑𝑥 = 3𝑎1𝑥 2_{+ 2𝑏} 1𝑥 + 𝑐1 (21) Considerando (16), temos: 𝑓₁(0) = 𝑎₁03+ 𝑏₁02+ 𝑐₁0 + 𝑑₁ = 1 → 𝑑₁ = 1 (22)

Com o valor de 𝑑1 e considerando a equação (17):

𝑑𝑓₁(0)

𝑑𝑥 = 3𝑎10

2_{+ 2𝑏}

10 + 𝑐1 = 0 → 𝑐1 = 0 (23)

Possuindo, agora, os valores de 𝑐1 e 𝑑1, é possível encontrar 𝑎1 e 𝑏1. Para encontrar 𝑏1,

aplicamos (19) e (23) em (21): 𝑑𝑓₁(𝜆) 𝑑𝑥 = 3𝑎1𝜆 2_{+ 2𝑏} 1𝜆 = 0 → 𝑎1 = −2𝑏₁𝜆 3𝜆2 → 𝑎1 = −2𝑏₁ 3𝜆 (24) Em seguida, aplicamos (18), (22) e (23) e (24) em (20): 𝑓₁(𝜆) = 𝑎₁𝜆3_{+ 𝑏} 1𝜆2+ 1 = 0 → −2𝑏1𝜆3 3𝜆 + 𝑏1𝜆 2_{+ 1 = 0} ₍₂₅₎

(27)

13 −2𝑏₁𝜆2+ 3𝑏₁𝜆2+ 3 = 0 → 𝑏₁ =−3 𝜆2 (26) Substituindo, agora, (26) em (24): 𝑎₁ = 2 𝜆³ (27)

Por fim, substituindo (22), (23), (26) e (27) em (20) obtém-se a primeira função de

interpolação, 𝑓₁(𝑥):

𝑓₁(𝑥) =2𝑥³ 𝜆³ −

3𝑥2

𝜆2 + 1 (28)

O mesmo raciocínio foi desenvolvido para chegar às outras três funções de interpolação, representadas a seguir: 𝑓₂(𝑥) =𝑥³ 𝜆²− 2𝑥2 𝜆 + 𝑥 (29) 𝑓₃(𝑥) = −2𝑥 3 𝜆3 + 3𝑥2 𝜆2 (30) 𝑓₄(𝑥) =𝑥³ 𝜆²− 𝑥2 𝜆 (31)

Temos que o polinômio aproximador dos deslocamentos transversais e rotacionais do elemento finito da viga é:

𝜈 = 𝑓₁(𝑥)𝜈₁+ 𝑓₂(𝑥)𝜃₁+ 𝑓₃(𝑥)𝜈₂+ 𝑓₄(𝑥)𝜃₂ (32) Então, substituindo (28), (29), (30) e (31) em (32): 𝜈 = (2𝑥³ 𝜆³ − 3𝑥2 𝜆2 + 1) 𝜈1+ ( 𝑥³ 𝜆²− 2𝑥2 𝜆 + 𝑥) 𝜃1+ (− 2𝑥3 𝜆3 + 3𝑥2 𝜆2 ) 𝜈2 + (𝑥³ 𝜆²− 𝑥2 𝜆) 𝜃2 (33)

Considerando a equação (33) referente aos deslocamentos dos elementos finitos da viga, é possível chegar à função relacionada aos deslocamentos virtuais da peça:

(28)

14 𝛿𝜈 = (2𝑥³ 𝜆³ − 3𝑥2 𝜆2 + 1) 𝛿𝜈1+ ( 𝑥³ 𝜆²− 2𝑥2 𝜆 + 𝑥) 𝛿𝜃1+ (− 2𝑥3 𝜆3 + 3𝑥2 𝜆2 ) 𝛿𝜈2 + (𝑥³ 𝜆²− 𝑥2 𝜆) 𝛿𝜃2 (34) Derivando (33): 𝑑𝜈 𝑑𝑥= ( 6𝑥² 𝜆³ − 6𝑥 𝜆2) 𝜈1+ ( 3𝑥² 𝜆² − 4𝑥 𝜆 + 1) 𝜃1 + (− 6𝑥2 𝜆3 + 6𝑥 𝜆2) 𝜈2+ ( 3𝑥² 𝜆² − 2𝑥 𝜆 ) 𝜃2 (35) Derivando (35) para encontrar a derivada segunda:

𝑑²𝜈 𝑑𝑥² = ( 12𝑥 𝜆³ − 6 𝜆2) 𝜈1+ ( 6𝑥 𝜆² − 4 𝜆) 𝜃1+ (− 12𝑥 𝜆3 + 6 𝜆2) 𝜈2 + ( 6𝑥 𝜆²− 2 𝜆) 𝜃2 (36) Aplicando, agora, (36) em (15): 𝛿_𝑤𝑖𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝐸𝐼_𝑧∫ [(12𝑥 𝜆³ − 6 𝜆2) 𝜈1+ ( 6𝑥 𝜆²− 4 𝜆) 𝜃1 + (− 12𝑥 𝜆3 + 6 𝜆2) 𝜈2 𝜆 0 + (6𝑥 𝜆² − 2 𝜆) 𝜃2] ∗ [(12𝑥 𝜆³ − 6 𝜆2) 𝛿𝜈1+ ( 6𝑥 𝜆²− 4 𝜆) 𝛿𝜃1+ (− 12𝑥 𝜆3 + 6 𝜆2) 𝛿𝜈2 + (6𝑥 𝜆² − 2 𝜆) 𝛿𝜃2] 𝑑𝑥 (37)

Integrando e resolvendo a equação (37), para encontrar cada termo da matriz de rigidez, tem-se:

(29)

15 𝛿_𝑤𝑖𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜= 𝐸𝐼_𝑧[(12 𝜆³) 𝜈1𝛿𝜈1+ ( 6 𝜆²) 𝜈1𝛿𝜃1+ (− 12 𝜆3) 𝜈1𝛿𝜈2+ ( 6 𝜆²) 𝜈1𝛿𝜃2 + (6 𝜆²) 𝜃1𝛿𝜈1+ ( 4 𝜆) 𝜃1𝛿𝜃1 + (− 6 𝜆²) 𝜃1𝛿𝜈2+ ( 2 𝜆) 𝜃1𝛿𝜃2 + (−12 𝜆3) 𝜈2𝛿𝜈1+ (− 6 𝜆²) 𝜈2𝛿𝜃1+ ( 12 𝜆³) 𝜈2𝛿𝜈2+ (− 6 𝜆²) 𝜈2𝛿𝜃2 + (6 𝜆²) 𝜃2𝛿𝜈1+ ( 2 𝜆) 𝜃2𝛿𝜃1 + (− 6 𝜆²) 𝜃2𝛿𝜈2+ ( 4 𝜆) 𝜃2𝛿𝜃2] 𝑑𝑥 (38)

Por fim, constrói-se a matriz de rigidez do elemento, [k], a partir da organização da equação (38): [k] = { 12𝐸𝐼_𝑧 𝜆3 6𝐸𝐼_𝑧 𝜆2 − 12𝐸𝐼_𝑧 𝜆3 6𝐸𝐼_𝑧 𝜆2 6𝐸𝐼_𝑧 𝜆2 4𝐸𝐼_𝑧 𝜆 − 6𝐸𝐼_𝑧 𝜆2 2𝐸𝐼_𝑧 𝜆 −12𝐸𝐼𝑧 𝜆3 − 6𝐸𝐼𝑧 𝜆2 12𝐸𝐼𝑧 𝜆3 − 6𝐸𝐼𝑧 𝜆2 6𝐸𝐼_𝑧 𝜆2 2𝐸𝐼_𝑧 𝜆 − 6𝐸𝐼_𝑧 𝜆2 4𝐸𝐼_𝑧 𝜆 }

3.3 Vetor de Cargas Nodais do Elemento

No que se refere ao vetor de cargas nodais dos elementos, ele está diretamente relacionado com as cargas externas aplicadas na viga. Desse modo, no desenvolvimento das expressões para formulação do vetor serão considerados carregamentos distribuídos linearmente com valores conhecidos nos extremos da viga, conforme a Erro! Fonte de

referência não encontrada..

(30)

16 Fonte: Autor (2019).

Em que L é o comprimento da viga e 𝑞1 e 𝑞2 são valores conhecidos do carregamento

distribuído nas extremidades.

A equação que rege a função do carregamento distribuído é chamada de q(x) e corresponde a seguinte expressão:

𝑞(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 (39)

Onde a e b são constantes.

Nos nós das extremidades, em x=0 e x=L, sabemos que 𝑞 = 𝑞1 e 𝑞 = 𝑞2,

respectivamente. Dessa forma:

𝑎 =𝑞2 − 𝑞1 𝐿 (40) 𝑏 = 𝑞₁ (41) Substituindo (40) e (41) em (39), tem-se: 𝑞(𝑥) =𝑞2− 𝑞1 𝐿 𝑥 + 𝑞1 (42)

Para obter as parcelas do vetor de cargas nodais, tem-se que a expressão do trabalho virtual externo é:

𝛿_𝜔𝑒 = ∫ 𝑞(𝑥)𝛿𝜈𝑑𝑥

𝐿 0

(43)

Que corresponde a integral da função do carregamento distribuído previamente estabelecida pela função dos respectivos deslocamentos virtuais.

Assim, substituindo (42) e (34) em (43): 𝛿_𝜔𝑒 = ∫ [𝑞2− 𝑞1 𝜆 𝑥 + 𝑞1] [( 2𝑥³ 𝜆³ − 3𝑥2 𝜆2 + 1) 𝛿𝜈1+ ( 𝑥³ 𝜆²− 2𝑥2 𝜆 + 𝑥) 𝛿𝜃1 𝜆 0 + (−2𝑥 3 𝜆3 + 3𝑥2 𝜆2 ) 𝛿𝜈2+ ( 𝑥³ 𝜆²− 𝑥2 𝜆) 𝛿𝜃2] 𝑑𝑥 (44)

(31)

17 𝛿_𝜔𝑒 = ∫ (7𝑞1𝜆 20 + 3𝑞₂𝜆 20 ) 𝛿𝜈1+ ( 𝑞₁𝜆² 20 + 𝑞₂𝜆² 30 ) 𝛿𝜃1+ ( 3𝑞₁𝜆 20 + 7𝑞₂𝜆 20 ) 𝛿𝜈2 𝜆 0 + (−𝑞1𝜆 2 30 − 𝑞₂𝜆² 20 ) 𝛿𝜃2𝑑𝑥 (45)

Dessa forma, encontra-se o vetor de cargas nodais do elemento, [f]:

[f] = { 7𝑞₁𝜆 20 + 3𝑞₂𝜆 20 𝑞1𝜆2 20 + 𝑞2𝜆2 30 3𝑞1𝜆 20 + 7𝑞2𝜆 20 −𝑞1𝜆 2 30 − 𝑞₂𝜆2 20 } 3.4 Solicitações térmicas

Como especificado anteriormente, na verificação do trabalho virtual interno a parcela de tensão referente à variação de temperatura será analisada separadamente da parcela associada às deformações totais. Em seguida, ambas as parcelas serão somadas para se obter o trabalho virtual interno total.

A partir da equação (6), percebe-se que a parcela da tensão relacionada à variação de temperatura é:

𝜎_𝑥= −𝐸𝛼∆𝑡 (46)

Considerando a variação de temperatura como uma função linear ao longo altura da viga e levando em conta que não há deslocamento axial, tem-se:

∆𝑡 =𝑦

ℎ(∆𝑡𝑖 − ∆𝑡𝑒) (47)

Onde ∆𝑡_𝑖 e ∆𝑡_𝑒 correspondem à variação de temperatura nas superfícies interna e externa da viga, respectivamente.

Com relação ao momento fletor decorrente das tensões térmicas, pode ser definido por:

(32)

18 Introduzindo (46) e (47) em (48) e substituindo o valor do momento de inércia de acordo com a equação (11): 𝑀𝑧 = ∫ −𝐸𝛼 𝑦² ℎ (∆𝑡𝑖− ∆𝑡𝑒)𝑑𝐴 → 𝑀𝑧 = − 𝐸𝐼_𝑧 ℎ 𝛼(∆𝑡𝑖 − ∆𝑡𝑒) (49) Substituindo, agora, (49) no primeiro termo da equação (12) do trabalho virtual interno e (13) no termo virtual desta mesma equação, tem-se a expressão do trabalho virtual interno correspondente à variação de temperatura:

𝛿_𝜔𝑖∆𝑡 = ∫ 𝐸𝐼𝑧𝛼(∆𝑡𝑖− ∆𝑡𝑒) ℎ 𝛿 ( 𝑑²𝜈 𝑑𝑥²) 𝑑𝑥 𝑙 0 (50)

O Princípio dos Trabalhos Virtuais estabelece que o trabalho virtual interno produzido pelas tensões internas será igual ao trabalho virtual produzido pelas cargas externas. Dessa forma, tem-se:

𝛿_𝜔𝑒 = 𝛿_𝜔𝑖 = 𝛿_𝜔𝑖𝑒 + 𝛿_𝜔𝑖∆𝑡 → 𝛿_𝜔𝑒− 𝛿_𝜔𝑖∆𝑡 = 𝛿_𝜔𝑖𝑒 ₍₅₁₎ onde o termo (𝛿𝜔𝑒− 𝛿𝜔𝑖∆𝑡) corresponde ao vetor independente e 𝛿𝜔𝑖𝑒 corresponde à matriz de

rigidez.

Para encontrar o vetor local referente à variação de temperatura, que será somado aos vetores de cargas dos elementos para a obtenção do vetor de cargas global, é necessário resolver a expressão (50). Desse modo, aplicando (36) em (50), temos:

𝛿_𝜔𝑖∆𝑡 =𝐸𝐼𝑧𝛼(∆𝑡𝑖 − ∆𝑡𝑒) ℎ ∫ [( 12𝑥 𝜆³ − 6 𝜆2) 𝛿𝜈1+ ( 6𝑥 𝜆² − 4 𝜆) 𝛿𝜃1+ (− 12𝑥 𝜆3 + 6 𝜆2) 𝛿𝜈2 𝑙 0 + (6𝑥 𝜆²− 2 𝜆) 𝛿𝜃2] 𝑑𝑥 (52) Resolvendo a integral: 𝛿_𝜔𝑖∆𝑡 =𝐸𝐼𝑧𝛼(∆𝑡𝑖− ∆𝑡𝑒) ℎ [(0)𝛿𝜈1+ (−1)𝛿𝜃1+ (0)𝛿𝜈2+ (1)𝛿𝜃2] (53) Chega-se, então, ao vetor relacionado à variação de temperatura para cada elemento:

(33)

19 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎∆𝑡 ₌ { 0 −𝐸𝐼𝑧𝛼(∆𝑡𝑖 − ∆𝑡𝑒) ℎ 0 𝐸𝐼_𝑧𝛼(∆𝑡_𝑖 − ∆𝑡_𝑒) ℎ }

Este vetor será somado ao vetor de cargas nodais de cada elemento para a obtenção do vetor de cargas nodal global.

(34)

20

4. CÓDIGO COMPUTACIONAL

4.1 Aspectos gerais

O código computacional confeccionado neste trabalho foi desenvolvido em linguagem FORTRAN e é capaz de realizar a análise estática linear de vigas a partir da formulação do Método dos Elementos Finitos. Este funciona através da leitura inicial e processamento de dados provenientes de um arquivo de entrada em formato de texto (.txt), e resulta em um arquivo de saída também em formato de texto com os valores dos deslocamentos nodais na viga estudada.

O usuário do código é responsável por inserir no arquivo de entrada os valores das dimensões geométricas da seção transversal da viga e das propriedades físicas do seu material, bem como a discretização a ser utilizada, e a caracterização da sua vinculação e do carregamento aplicado na estrutura.

No desenvolvimento do programa foram criadas sub-rotinas referentes a cada etapa do código, para simplificar e facilitar a interpretação e utilização do mesmo. O código principal funciona chamando essas sub-rotinas em sequência. As sub-rotinas utilizadas são “Declaração de variáveis”, “Abertura de arquivos”, “Leitura de dados”, “Propriedades geométricas”, “Matriz de rigidez”, “Vetor de cargas”, “Condições de contorno”, “Resolução do sistema” e “Saída de dados”.

A fluxograma a seguir representa o processo de compilação do código, com a sequência de suas etapas, incluindo os arquivos de entrada e de saída. Cada etapa indicada no fluxograma representa uma sub-rotina de cálculo.

(35)

21 Figura 9 – Fluxograma do processo de compilação do código.

(36)

22

4.2 Sub-rotinas

4.2.1 Declaração de variáveis

Corresponde a um módulo onde são declaradas todas as variáveis principais utilizadas no código computacional. É utilizado na maioria das outras sub-rotinas.

4.2.2 Abertura de arquivos

Esta sub-rotina determina os nomes dos arquivos de entrada e de saída e abre ambos os arquivos, preparando o arquivo de entrada para a leitura de seus dados.

4.2.3 Leitura de dados

Aqui é executada a interpretação do arquivo de entrada, que contém as características geométricas, físicas e mecânicas da estrutura analisada. Após a leitura de parte das variáveis declaradas no arquivo de entrada a sub-rotina Propriedades Geométricas é chamada para, em seguida, realizar-se a leitura do restante das variáveis do arquivo a partir das variáveis obtidas desta sub-rotina.

A seguir se encontram exemplos do arquivo de entrada e do arquivo de saída:

Figura 10 – Representação do arquivo de entrada.

(37)

23 Figura 11 – Representação do arquivo de saída.

4.2.4 Propriedades geométricas

Nesta etapa são calculadas características como o comprimento de cada elemento, o momento de inércia da seção da viga, a quantidade de nós e a quantidade de componentes de deslocamentos. Não é chamada no código principal, mas sim na sub-rotina Leitura de Dados, como já especificado.

4.2.5 Matriz de rigidez

Nesta sub-rotina constrói-se a matriz de rigidez local de cada elemento da viga considerando os cálculos desenvolvidos no tópico 3.2, a partir dos sistemas de numeração determinados para os deslocamentos nodais. Em seguida, considerando os mesmos sistemas de numeração, é realizada a montagem da matriz de rigidez global da estrutura.

4.2.6 Vetor de cargas

Esta sub-rotina é responsável pela criação dos vetores de cargas nodais locais de cada elemento referentes ao carregamento transversal e térmico. Em seguida, é criado o vetor de cargas global parcial e, por fim, pela soma das cargas concentradas aplicadas nos nós, monta-se o vetor de cargas global.

O vetor de cargas global, como já visto, considera a influência dos carregamentos concentrados (forças e momentos), dos carregamentos distribuídos, bem como das tensões térmicas.

(38)

24

4.2.7 Condições de contorno

Esta etapa do código modifica os termos do vetor de cargas global e da matriz de rigidez global através da aplicação das condições de contorno, alterando a matriz e o vetor e possibilitando a posterior resolução do sistema de equações.

A aplicação das condições de contorno se dá por meio da utilização da técnica dos zeros e uns. Esta técnica consiste na identificação dos nós que apresentam ao menos uma deslocabilidade prescrita relacionada ao deslocamento translacional ou rotacional. A partir desta identificação, zera-se todos os termos da linha e da coluna referente a posição com deslocamento prescrito na matriz de rigidez global e, em seguida, atribui-se o número um aos termos que fazem parte da diagonal principal. As posições das deslocabilidades prescritas no vetor de cargas global recebem o valor prescrito, enquanto os outros elementos do vetor são corrigidos através da seguinte expressão:

𝑓_𝑖 = 𝑓_𝑖− ∑𝐾_𝑖𝑚∆_𝑚 ₍₅₄₎

Onde:

 K corresponde à matriz de rigidez global;

 ∆ representa o valor da deslocabilidade prescrita;

 i corresponde a uma variável que passa pela quantidade “d” de deslocamentos da viga e é responsável pela identificação das posições a serem corrigidas no vetor, sendo d=2n+2.

 m é uma variável que também passa pela quantidade “d” de deslocamentos da viga, e determina os termos da matriz e do vetor que serão alterados pela deslocabilidade prescrita.

Além disso, esta sub-rotina também considera os apoios elásticos, somando o valor da rigidez da mola ao respectivo termo diagonal da matriz de rigidez global modificada relativo ao nó que apresenta o apoio elástico.

4.2.8 Resolução do sistema

Nesta sub-rotina resolve-se o sistema linear de equações e obtém-se a solução deste sistema, a partir do método de escalonamento de Gauss, com pivoteamento parcial.

(39)

25 A Figura 12 representa esquematicamente o sistema de equações montado com a matriz de rigidez global modificada, o vetor de cargas global modificado e o vetor dos deslocamentos, que são as incógnitas do sistema.

Figura 12 – Representação esquemática do sistema de equações lineares montado para o cálculo dos deslocamentos nodais.

4.2.9 Saída de dados

Por fim, aqui o código gera o arquivo de saída no formato de texto com os valores de todos os deslocamentos nodais obtidos no processamento.

(40)

26

5. ANÁLISE NUMÉRICA

Para a realização da análise numérica das vigas, foram utilizados refinamentos de malha de 2, 4 e 10 elementos. Os resultados obtidos numericamente foram comparados com os modelos analíticos e com as soluções obtidas pelo programa comercial Ftool, de acordo com os diferentes tipos de apoios e carregamentos presentes em todos os exemplos estudados.

No desenvolvimento de todos os seis exemplos analisados foram consideradas vigas com seção transversal retangular constante medindo 0,20m x 0,50m (área igual a 0,10m²). Assim, o momento de inércia em torno de z é igual a 2,08333x10−3_m4_{. Além disso,}

considerou-se também para todos os exemplos E = 2x108_{KN/m², e para os exemplos com}

solicitações térmicas α = 1x10−5_/°C.

Na verificação do estudo, nos casos em que foram calculadas soluções analíticas considerou-se aceitável uma diferença percentual de até 2,0% entre os resultados obtidos da análise numérica e analítica para os deslocamentos transversais. Esta diferença percentual foi calculada da seguinte maneira:

𝐷𝑝𝑒𝑟𝑐 = 𝑅_𝑛− 𝑅_𝑐 𝑅𝑐 𝑥100 (55) Onde:  𝐷_{𝑝𝑒𝑟𝑐} = Diferença percentual;  𝑅𝑛 = resultado numérico;  𝑅_𝑐 = Resultado comparativo. 5.1 Exemplo 1

Para este primeiro exemplo, verificou-se o comportamento de uma viga isostática do tipo engastada e livre, submetida a uma carga transversal concentrada de valor igual a 20 KN na sua extremidade em balanço. A estrutura apresenta cinco metros de comprimento e não está submetida a solicitações térmicas. A figura seguinte ilustra a viga em questão:

(41)

27 Figura 13 – Viga em balanço.

Com a aplicação das características e carregamentos da viga no Ftool, chega-se a configuração deformada da viga fornecida pelo próprio programa:

Figura 14 – Configuração deformada da viga do Exemplo 1.

Fonte: Ftool (2019).

A configuração deformada fornecida pelo Ftool indicou um deslocamento transversal máximo igual a −2x10−3m e uma rotação máxima igual a −6x10−4 rad, valores esses que conferem com os resultados obtidos na análise numérica.

Para a obtenção da solução analítica, foram utilizadas tabelas de deslocamento elástico em vigas fornecidas por Timoshenko (1983). A fórmula nas tabelas utilizada para o deslocamento transversal máximo na viga deste exemplo é a seguinte:

𝑣𝑚á𝑥=

𝑃𝑙3

3𝐸𝐼 (56)

Onde, neste caso, “P” corresponde à força concentrada de 20KN e “l” é o comprimento da viga, igual a 5,00m. Dessa forma, tem-se:

(42)

28 A equação da linha elástica verificada para esta viga é a seguinte:

𝑣 = 𝑃𝑙 3 6𝐸𝐼( 𝑥³ 𝑙³ − 3𝑥 𝑙 + 2) (57)

Para a obtenção dos valores das rotações, derivou-se a equação da linha elástica. 𝜃 = 𝑃𝑙 3 6𝐸𝐼( 3𝑥² 𝑙³ − 3 𝑙) (58)

Os valores obtidos para os deslocamentos transversais e rotações da viga pela análise analítica foram comparados com os resultados verificados na análise numérica com a utilização do código desenvolvido, para cada refinamento de malha estabelecido.

Apenas para este exemplo, considerou-se não apenas as malhas de 2, 4 e 10 elementos já citadas, mas também uma malha de 50 elementos para demonstrar a maior aproximação dos resultados com a configuração deformada da viga. Os gráficos seguintes mostram os resultados obtidos para os deslocamentos translacionais e rotacionais com relação a estes refinamentos de malha e para a solução analítica obtida para 100 pontos ao longo da viga:

Gráfico 1 – Deslocamentos transversais da viga do Exemplo 1.

Fonte: Autor (2019). -0,0025 -0,002 -0,0015 -0,001 -0,0005 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 D e sl o cam e n to ( m ) Comprimento (m)

Deslocamentos transversais da viga do Exemplo 1

(43)

29 Gráfico 2 – Rotações da viga do Exemplo 1.

A partir da análise dos gráficos é perceptível que, com o aumento da quantidade de elementos, há um aumento da precisão dos deslocamentos obtidos. Como esperado, um refinamento mais preciso faz com que sua linha representada no gráfico dos deslocamentos transversais se aproxime mais à configuração deformada da viga.

A comparação entre os resultados obtidos para as malhas consideradas e para o cálculo analítico e realizado pelo Ftool considerando sua diferença percentual está indicada na Tabela 1 a seguir:

Tabela 1 – Diferenças percentuais dos deslocamentos transversais e rotações da viga do Exemplo 1.

Deslocamentos máximos em metros

Numérico Diferença Percentual

Analítico -0,0020000032

-0,0020000000 0,00016%

Programa comercial -0,0020000000 _0,00%

Rotações máximas em radianos

Programa comercial -0,0006000000 -0,0006000000 _0,00% Fonte: Autor (2019). -0,0007 -0,0006 -0,0005 -0,0004 -0,0003 -0,0002 -0,0001 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 R o taç ão (r ad ) Comprimento (m)

Rotações da viga do Exemplo 1

(44)

30 Por esta tabela, percebe-se que os resultados obtidos neste exemplo se mostraram suficientemente precisos (abaixo de 2,0%).

5.2 Exemplo 2

Neste segundo exemplo, verificou-se o comportamento de uma viga isostática do tipo simplesmente apoiada, submetida a uma carga uniformemente distribuída em seu comprimento, com valor igual a 50 KN/m. A estrutura apresenta o mesmo comprimento do exemplo anterior e também não está submetida a solicitações térmicas. A figura seguinte ilustra esta viga:

Figura 15 – Viga biapoiada.

Com a aplicação das características e carregamentos da viga no Ftool, chega-se a configuração deformada da viga:

Esta configuração deformada apresentou um deslocamento transversal máximo no centro da viga igual a −9,766x10−4_{m, e rotações iguais a −6,25x10}−4_{rad no apoio de segundo}

(45)

31 Utilizando-se novamente as tabelas de deslocamento elástico em vigas fornecidas por Timoshenko (1983), calcula-se a solução analítica da viga, verificando o deslocamento transversal máximo através da seguinte expressão:

𝑣_𝑚á𝑥 = 5pl

4

384EI (59)

Em que “p” corresponde à carga distribuída de 50KN/m e “l” é o comprimento da viga. Assim, tem-se:

𝑣_𝑚á𝑥 = −0,0009765641𝑚

A equação da linha elástica verificada para esta viga é a seguinte: 𝑣 = 𝑃𝑙 4 24𝐸𝐼( 𝑥4 𝑙4 − 2𝑥3 𝑙3 + 𝑥 𝑙) (60)

Para a obtenção dos valores das rotações, derivou-se a equação da linha elástica. 𝜃 = 𝑃𝑙 4 24𝐸𝐼( 4𝑥³ 𝑙4 − 6𝑥2 𝑙3 + 1 𝑙) (61)

Os valores obtidos para os deslocamentos transversais e rotações da viga pela análise analítica foram mais uma vez comparados com os resultados verificados na análise numérica para cada refinamento de malha (2, 4 e 10 elementos). Estes resultados estão indicados nos gráficos seguintes, considerando as soluções analíticas obtidas para 20 pontos ao longo da viga:

(46)

32 Gráfico 3 – Deslocamentos transversais da viga do Exemplo 2.

Gráfico 4 – Rotações da viga do Exemplo 2.

Percebe-se que, mesmo com carga distribuída ao longo da viga, o código é válido e novamente a linha da malha com mais elementos é a que mais se aproxima a configuração deformada da viga. -0,0012 -0,001 -0,0008 -0,0006 -0,0004 -0,0002 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 Desl o cam e n to ( m ) Comprimento (m)

Deslocamentos transversais da viga do Exemplo 2

2 4 10 Analítico -0,0008 -0,0006 -0,0004 -0,0002 0 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 R o taç ão (r ad ) Comprimento (m)

Rotações da viga do Exemplo 2

(47)

33 A tabela seguinte mostra a diferença percentual entre o resultado numérico e o resultado analítico e obtido do Ftool, para o deslocamento transversal máximo na viga e para a rotação do seu último nó.

Numérico Diferença Percentual

Analítico -0,0009765641

-0,0009765625 -0,0001638%

Programa comercial -0,0009766 _-0,0038399%

Rotações no nó final em radianos

Programa comercial 0,0006250000 0,0006250000 _0,00%

Neste exemplo, os resultados obtidos também se mostraram suficientemente precisos (abaixo de 2,0%).

5.3 Exemplo 3

Neste exemplo analisou-se o comportamento de uma viga isostática do tipo biengastada, submetida a uma carga uniformemente distribuída similar à do exemplo anterior, ao longo de seu comprimento, também com valor igual a 50KN/m. Além disso, a viga também possui uma carga de momento aplicada no seu centro, ou seja, a 2,50m dos engastes e com valor de 10KNm. O fato da viga apresentar dois engastes, um em cada extremo, torna-a uma viga hiperestática, pois está em equilíbrio, mas o número de equações da estática é insuficiente para determinar todas as incógnitas.

A viga mantém o mesmo comprimento de cinco metros dos exemplos anteriores, assim como mantém a ausência de solicitações térmicas. A figura seguinte ilustra esta viga:

(48)

34 Figura 17 – Viga hiperestática biengastada.

Com a aplicação das características e carregamentos da viga no Ftool, tem-se:

Esta configuração deformada apresentou um deslocamento transversal e uma rotação iguais a −1,953x10−4m e 7,5x10−6rad no centro da viga, respectivamente.

A falta de casos de vinculação e carregamento abordados nas tabelas fornecidas por Pinheiro faz com que estas não possam ser utilizadas na resolução deste problema. Desse modo, o resultado obtido numericamente foi verificado através de sua comparação exclusivamente com o resultado obtido no Ftool. Os gráficos seguintes expressam os resultados numéricos:

(49)

Os gráficos confirmam novamente a aproximação da precisão da malha mais refinada com a configuração deformada da viga.

-0,00025 -0,0002 -0,00015 -0,0001 -0,00005 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 D e sl o cam e n to ( m ) Comprimento (m)

Deslocamentos transversais da viga do Exemplo 3

2 4 10 -0,00015 -0,0001 -0,00005 0 0,00005 0,0001 0,00015 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 R o taç ão (r ad ) Comprimento (m)

Rotações da viga do Exemplo 3

(50)

36 O ponto de deslocamento máximo na configuração deformada não coincide com nenhum ponto nodal dos refinamentos de malha estabelecidos, dessa forma apenas para este exemplo a comparação será realizada entre os deslocamentos do nó central da viga.

A tabela seguinte mostra a diferença percentual entre o resultado numérico e o advindo do programa comercial.

Deslocamentos no centro da viga em metros

Programa comercial Numérico Diferença Percentual

-0,0001953000 -0,0001953125 0,0064004%

Rotações no centro da viga em radianos

0,0000075000 0,0000075000 _0,00%

Como indicado na tabela, os resultados obtidos se mostraram suficientemente precisos (abaixo de 2,0%) comprovando, assim, a validez do código para a resolução de problemas hiperestáticos.

5.4 Exemplo 4

A viga considerada neste exemplo, diferentemente das vigas vistas anteriormente, não apresenta cargas externas distribuídas ou concentradas, sendo submetida apenas a uma solicitação térmica devido à variação de temperatura na sua superfície interna igual a -5°C e à variação de temperatura na sua superfície externa igual a +5°C.

A estrutura é hiperestática devido á existência de um apoio elástico na sua extremidade direita, em conjunto com o engaste na outra extremidade. O coeficiente de rigidez k da mola deste apoio elástico corresponde a 1000 KN/m.

(51)

37 Figura 19 – Viga hiperestática engastada e com apoio elástico.

A configuração deformada da viga obtida no Ftool está expressa na Figura 20:

Esta configuração deformada apresentou um deslocamento transversal igual a −2,273x10−3_{m na extremidade com o apoio elástico, assim como uma rotação de}

−9,318x10−4_rad.

(52)

Similarmente ao Exemplo 3, o resultado numérico foi comparado exclusivamente com o resultado obtido no programa comercial. A diferença percentual entre estes resultados está indicada na Tabela 4. -0,0025 -0,002 -0,0015 -0,001 -0,0005 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 Desl o cam e n to ( m ) Comprimento (m)

Deslocamentos transversais da viga do Exemplo 4

2 4 10 -0,001 -0,0009 -0,0008 -0,0007 -0,0006 -0,0005 -0,0004 -0,0003 -0,0002 -0,0001 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 R o taç ão (r ad ) Comprimento (m)

Rotações da viga do Exemplo 4

(53)

39 Tabela 4 – Diferenças percentuais dos deslocamentos transversais e rotações da viga do Exemplo 4.

-0,002273 -0,0022727270 _-0,0120106%

-0,0009318000 -0,0009318000 _0,00%

Com esta diferença percentual, verifica-se que os resultados são suficientemente precisos. Dessa forma, este exemplo valida a utilização do código para resolução de problemas apenas com carregamentos térmicos, assim como para a resolução de problemas que envolvam apoios elásticos.

5.5 Exemplo 5

Neste exemplo considerou-se uma viga hiperestática contínua com um apoio de segundo gênero e dois apoios de primeiro gênero. A viga está submetida a um carregamento linearmente distribuído ao longo do seu comprimento longitudinal, com valores de 35KN/m e 15KN/m nas extremidades, bem como a um carregamento térmico de +10°C na superfície interna e -10°C na superfície externa.

A viga apresenta um comprimento de dez metros e encontra-se representada na Figura 21:

Figura 21 – Viga hiperestática contínua com um apoio de segundo gênero e dois de primeiro gênero.

(54)

40 Utilizando-se o Ftool, a configuração deformada da viga é:

Os resultados numéricos para cada malha estão representados nos gráficos:

Fonte: Autor (2019). -0,0001 -0,00005 0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025 0,0003 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D e sl o cam e n to ( m ) Comprimento (m)

Deslocamentos transversais da viga do Exemplo 5

(55)

Os gráficos deste exemplo demonstram claramente a diferença de aproximação e precisão à medida em que há o aumento da quantidade de elementos da malha. No Gráfico 9 a linha referente à malha de dois elementos consiste em uma reta que não fornece informações precisas em relação aos deslocamentos na viga, enquanto a linha relativa à malha de dez elementos começa a apresentar semelhanças com a configuração deformada.

Assim como no Exemplo 3, o ponto de deslocamento máximo na configuração deformada não coincide com nenhum ponto nodal dos refinamentos de malha considerados, então a comparação será realizada entre os deslocamentos transversais e rotações do décimo ponto nodal.

A tabela seguinte mostra a diferença percentual entre os resultados:

Deslocamentos no décimo ponto nodal em metros

-0,000241 -0,00024096 _-0,01659751%

Rotações no décimo ponto nodal em radianos

-0,0001005000 -0,0001005000 _0,00% Fonte: Autor (2019). -5,00E-04 -4,00E-04 -3,00E-04 -2,00E-04 -1,00E-04 0,00E+00 1,00E-04 2,00E-04 3,00E-04 4,00E-04 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 R o taç ão (r ad ) Comprimento (m)

Rotações da viga do Exemplo 5

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42 Mais uma vez, os resultados obtidos foram suficientemente precisos (abaixo de 2,0%). Assim, este exemplo valida a utilização do código para resolução de problemas que envolvam forças distribuídas e cargas térmicas atuando em conjunto, ao invés de separadamente como nos exemplos anteriores.

5.6 Exemplo 6

Neste exemplo considerou-se uma viga hiperestática contínua engastada na sua extremidade esquerda, com um apoio de primeiro gênero no seu centro e um apoio elástico na sua outra extremidade. O coeficiente de rigidez k da mola deste apoio elástico corresponde a 1000 KN/m.

A viga em questão está submetida a uma carga concentrada de momento no seu centro com valor igual a 10KNm, a uma força concentrada de 50KN no ponto nodal da extremidade direita, e a um carregamento linearmente distribuído com valores de 30KN/m e 10KN/m nas extremidades. Além disso, há um carregamento térmico de +15°C na superfície interna e -15°C na superfície externa.

Figura 23 – Viga hiperestática contínua com um engaste, um apoio de primeiro gênero e um apoio elástico.

Com a aplicação das características e carregamentos da viga no Ftool, chega-se a configuração deformada:

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43 Figura 24 – Configuração deformada da viga do Exemplo 6.

Os resultados numéricos para cada refinamento de malha estão representados nos gráficos seguintes:

Fonte: Autor (2019). -0,025 -0,02 -0,015 -0,01 -0,005 0 0,005 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D e sl o cam e n to ( m ) Comprimento (m)

Deslocamentos transversais da viga do Exemplo 6

(58)

Os gráficos mais uma vez comprovam a aproximação da precisão da malha mais refinada com a configuração deformada da viga.

A tabela seguinte mostra a diferença percentual entre o resultado numérico e o do programa comercial:

-0,0204 -0,02040426 _0,02088235%

-0,0060270000 -0,0060270000 _0,00%

Os resultados obtidos foram novamente suficientemente precisos. Com isto, a validação do código é realizada para situações que envolvem os mais variados tipos de solicitação atuantes em conjunto ou não, desde carregamentos distribuídos e cargas concentradas (forças e momentos) até carregamentos térmicos. Também se confirma a possibilidade de utilização do código desenvolvido na resolução de problemas tanto isostáticos como hiperestáticos, com diferentes vinculações. -0,007 -0,006 -0,005 -0,004 -0,003 -0,002 -0,001 0 0,001 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 R o taç ão (r ad ) Comprimento (m)

Rotações da viga do Exemplo 6

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45

6. CONSIDERAÇÕES FINAIS

O presente trabalho teve como objetivo realizar a análise do processo de cálculo dos deslocamentos de uma viga para, em conjunto com a formulação e os conceitos do Método dos Elementos Finitos, desenvolver um código computacional em linguagem FORTRAN capaz de interpretar e simular o comportamento linear desta viga quando sujeita a cargas externas, como forças, momentos e solicitações térmicas.

Foi perceptível a contribuição de conceitos não apenas do MEF, mas também de outros temas como o Princípio dos Trabalhos Virtuais para a elaboração do trabalho, possibilitando o desenvolvimento da análise numérica. Além disso, verificou-se a importância da utilização destes métodos numéricos para solucionar problemas que envolvam equações diferenciais complexas, dificilmente resolvidas analiticamente.

A validação do código desenvolvido foi realizada através da comparação dos resultados numéricos com os valores resultantes da análise analítica e valores obtidos através do programa comercial Ftool. Como a diferença percentual na comparação dos resultados para todos os seis exemplos abordados foi inferior a 2%, conclui-se que o código é válido para ser utilizado, atentando-se às discretizações e ajustes adequados.

É importante notar que todos os resultados obtidos do código desenvolvido coincidiram com os do programa Ftool, uma vez que as diferenças percentuais calculadas foram advindas, na realidade, do número de casas decimais consideradas nos resultados ser distinto.

Como sugestão para trabalhos futuros, é possível implementar o cálculo dos esforços internos e das reações de apoio da viga no código desenvolvido, assim como a possibilidade de discretizações não uniformes nas estruturas. Além disso, sugere-se também o emprego de cargas dinâmicas na análise e o estudo do comportamento de outras estruturas relevantes na Engenharia Estrutural, como cascas e grelhas.