Apostila 1

(1)

F´ısica Experimental L1

Instrumenta¸

c˜

ao para o ensino 1

2

o

semestre de 2013

Apostila 1 - Erros e Medidas

Sum´

ario

1 Alguns conceitos sobre medidas e incertezas 1

1.1 O que ´e medir? . . . 1

1.2 Erros . . . 2

1.2.1 Erros sistem´aticos . . . 2

1.2.2 Erros acidentais . . . 2

1.2.3 Erros grosseiros . . . 3

2 Algarismos significativos 4 2.1 O algarismo duvidoso . . . 4

2.2 Regras de arredondamento . . . 5

2.3 Regras pr´aticas de opera¸c˜oes com algarismos significativos . . . 6

2.3.1 Adi¸c˜ao e subtra¸c˜ao . . . 6

2.3.2 Multiplica¸c˜ao e divis˜ao . . . 7

3 A incerteza instrumental 7 4 Medidas indiretas e propaga¸c˜ao de incertezas 9 4.1 Soma ou diferen¸ca . . . 9

4.2 Multiplica¸c˜ao ou divis˜ao . . . 10

4.3 Leis de potˆencia . . . 10

(2)

Toda opera¸cão de medida exige do experimentador habilidade no manuseio de instrumentos de medida e a capacidade de efetuar corretamente a leitura destes instrumentos. Não basta, por exemplo, determinar o comprimento de uma barra através de uma régua, é preciso saber expressar essa medida com o número correto de algarismos significativos e avaliar corretamente a sua incerteza. Desta forma, outra pessoa poderá entender o valor dado à grandeza e também qual o intervalo de confian¸ca da medida, o que poderá permiti-la reproduzir os resultados ou mesmo receber uma encomenda que poderá executar.

Há grandezas que nem sempre podem ser obtidas diretamente, como área, volume, den-sidade, etc. Neste caso, a incerteza final da grandeza depende da incerteza de cada medida realizada para obtê-la. O processo para obten¸cão das incertezas de grandezas indiretas chama-se de cálculo de propaga¸cão das incertezas.

Pretendemos aqui discutir alguns conceitos e procedimentos básicos para que se possa ex-pressar corretamente as medidas e resultados de experiências, assim como analisá-los com um m´ınimo de corre¸cão e rigor tanto do ponto de vista numérico como conceitual.

1.1 O que ´

e medir?

Medir é comparar uma quantidade de uma determinada grandeza (comprimento, tempo, massa, etc.) com uma outra quantidade da mesma grandeza, que é definida previamente como a unidade. Esta compara¸cão se realiza utilizando um instrumento de medida.

Por mais cuidadosa que possa ser uma medi¸cão e por mais preciso que possa ser o ins-trumento de medida utilizado, não é poss´ıvel realizar uma medida exata. Sempre existe uma incerteza na defini¸cão do resultado de uma medida. Por esta razão, o resultado da medida de uma quantidade m (qualquer) deve sempre estar acompanhado de uma estimativa da incerteza correspondente. Isto se formula por:

m = M ± ∆M, (1)

onde m ´e o resultado da medida, M ´e o valor medido e ∆M uma quantidade positiva, que ´

e chamada incerteza da medida e que determina o número de d´ıgitos (algarismos) utilizados para formular este resultado (a incerteza é expressa por um número com um único algarismo significativo). Compete ao experimentador avaliar a incerteza para cada medi¸cão. A expressão 1 nos diz que qualquer dos valores compreendido entre M + ∆M e M − ∆M é aceitável para a medida de m e que o experimento em questão não permite preferência por nenhum deles.

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Exemplo 1 O resultado da medida do volume de um s´olido deve ser escrito como V = (2,37 ± 0,04) cm3 _{e n˜}_{ao como V = (2,3652168 ± 0,04) cm}3_{, pois a incerteza de 0, 04 cm}3 _indica

que n˜ao se tem nenhuma certeza sobre os algarismos que se seguem ao 6.

Observe que no processo de arredondamento no exemplo 1 foi acrescentado uma unidade ao algarismo truncado. As regras de arredondamento que adotamos s˜ao descritas na se¸c˜ao 2.2.

1.2 Erros

Se, ao fazermos uma medida, cometemos erros, inevitavelmente, minimiz´a-los passa a ser nossa obriga¸c˜ao. Podemos classificar os erros em:

1.2.1 Erros sistem´aticos

São aqueles provenientes do próprio instru-mento, quando este apresenta algum erro de es-cala. Por exemplo, se utilizarmos uma régua gra-duada para trabalhar a 10◦C e trabalharmos com ela a 30◦C, a dilata¸cão, sofrida por sua escala, acarretará um erro sistemático por toda a ex-periência. Um outro exemplo muito comum é a utiliza¸cão de instrumentos com escalas não zera-das, como mostra a figura 1. Uma caracter´ıstica dos erros sistemáticos é que eles influem sempre no mesmo sentido: sempre para mais ou sempre para menos do valor verdadeiro.

1.2.2 Erros acidentais

São aqueles que, por razões várias, ocorrem durante a experiência, e que são dif´ıceis de eliminar, como, por exemplo, o erro do experimentador ao decidir qual a melhor leitura quando ele terá que fazê-la a olho, estimando um valor. Quanto mais experiência o experimentador adquire, menos e menores erros deste tipo ele cometerá, mas, ainda assim, toda vez que realizar medidas, estará cometendo erros. Uma caracter´ıstica dos erros acidentais é que eles influem aleatoriamente nos dois sentidos, para mais ou para menos do valor verdadeiro.

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1.2.3 Erros grosseiros

Estes são causados, como o próprio nome sugere, por inexperiência do experimentador. Ele comete esses erros quando lê 10 e a leitura certa seria 100, ou então, quando a unidade certa seria kg, ele a lê em g. Por displicência do experimentador esses erros passam despercebidos pois ele não tem idéia da ordem de grandeza do que mede. O erro grosseiro pode decorrer também da inabilidade no manuseio do instrumento de medida, engano de leitura, cálculos errados, etc.

Observa¸cão: Em princ´ıpio, os resultados com erros grosseiros são devidos a falha do experi-mentador ou utiliza¸cão de técnica deficiente, e devem ser eliminados. Os outros erros podem ser reduzidos com técnicas mais aperfei¸coadas e melhores instrumentos, mas nunca serão eliminados totalmente.

Quando um experimentador determina o valor de uma grandeza, três situa¸cões são poss´ıveis: 1. O valor da grandeza já é conhecido com exatidão. Por exemplo: A soma dos ângulos inter-nos de um triângulo; a rela¸cão entre o comprimento e o diâmetro de uma circunferência, etc.

2. O valor da grandeza não é conhecido exatamente, mas há um valor adotado como ”me-lhor”. Por exemplo: A acelera¸cão da gravidade em um determinado local, a carga do elétron, a densidade de uma substância, etc.

3. O valor da grandeza n˜ao ´e conhecido. Por exemplo: O comprimento de uma barra, o volume de uma esfera, etc.

Quando o valor obtido para uma grandeza difere de seu valor exato (item 1 acima), dizemos estar afetado de um erro.

erro = modulo do (valor medido - valor exato)

Quando o valor obtido difere do valor adotado como melhor (item 2 anterior), dizemos estar afetado de um desvio.

desvio = modulo do (valor medido - valor adotado)

Embora conceitualmente haja diferen¸ca entre erro e desvio, matematicamente s˜ao equiva-lentes. A partir deles definem-se desvio (ou erro) relativo e desvio (ou erro) percentual, que permitem avaliar melhor o resultado de uma experiˆencia.

• desvio relativo = (desvio/valor adotado) • desvio percentual = [desvio relativo x 100]%

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Exemplo 2 Ao determinar a acelera¸c˜ao da gravidade em um local onde o valor adotado ´e 9,80 m/s2, um experimentador obteve 10,04 m/s2. Determinar o desvio, o desvio relativo e o desvio percentual.

desvio = k10,04 - 9,80k = 0,24 m/s2 desvio relativo = 0,24/9,80 = 0,024

desvio percentual = [0,024 x 100]% = 2,4%

Observe que, em termos de avalia¸cão dos resultados, o desvio percentual nos dá a informa¸cão mais objetiva.

2 Algarismos significativos

2.1 O algarismo duvidoso

Quando o experimentador realiza apenas uma medida, é evidente que este será o valor da grandeza. Entretanto, ela deve ser expressa com um número correto de algarismos, chama-dos algarismos significativos.

Exemplo 3 A barra AB da figura 2 é medida com duas réguas, uma centimetrada e outra mi-limetrada. Pela figura 2 a) pode-se dizer que o comprimento AB é 8,3cm. Observe que o alga-rismo 8 é exato, enquanto que o algarismo 3 que foi avaliado é o duvidoso. Na figura 2 b) a medida de AB é 82,6 mm ou 8,26 cm. Aqui 8 e 2 são exatos e o 6, que foi avaliado, é o duvidoso.

Os algarismos significativos (AS) de uma medida são os algarismos exatos acres-cidos do último, que é o duvidoso.

Exemplo 4 Na figura 3 o cilindro A tem comprimento LA = 36,30 cm e o cilindro B tem

diâmetro DB = 1,25 cm. Estão corretos esses valores? Em que casa decimal está o algarismo

duvidoso?

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• O número de algarismos significativos depende do instrumento de medida. Observe que na medida do comprimento da barra AB da figura 2 a régua centimetrada forneceu dois algarismos significativos (2 AS), enquanto que a milimetrada forneceu três algarismos significativos (3 AS).

• O valor do algarismo duvidoso depende exclusivamente do operador.

2.2 Regras de arredondamento

Durante o cálculo de grandezas cujo o valor é medido indiretamente, nossos cálculos podem nos levar a dúvidas como no exemplo abaixo:

Exemplo 5 Se mediu os lados de um retˆangulo obtendo-se L1 = 12,3 mm e L2 = 2,4 mm. A

´

area ser´a A = L1× L2 = 29,52 mm2. O resultado final tem 4 AS? Bem, L1 tem 3 AS e L2 tem

2 AS. Se o resultado final for escrito com 3 AS (como L1) ent˜ao facilmente arredondar´ıamos

para A = 29,5 mm2_{, mas se queremos o resultado escrito com 2 AS (como L}

2) o resultado ´e A

= 29 mm2 ou A = 30 mm2?

Adotaremos o critério NBR 5891, da ABNT (Associa¸cão Brasileira de Normas Técnicas), para as aproxima¸cões:

• Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for inferior a 5, o último algarismo a ser conservado permanecerá sem modifica¸cão. P. ex.: 1,333333 arredondado à primeira decimal tornar-se-á: 1,3.

• Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for superior a 5, ou, sendo 5, seguido de no m´ınimo um algarismo diferente de zero, o último algarismo a ser conservado deverá ser aumentado de uma unidade. P. ex.: 1,666666 arredondado à primeira decimal tornar-se-á 1,7 e o número 4,850003 arredondado à primeira decimal tornar-se-á: 4,9.

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• Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for 5 seguidos de zeros, dever-se-á arredondar o algarismo a ser conservado para o algarismo par mais próximo. Consequentemente, o último algarismo a ser retido, se for ´ımpar, aumentará uma unidade. P. ex.: 4,550000 arredondado à primeira decimal tornar-se-á: 4,6.

• Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for 5 seguido de zeros, se for par o algarismo a ser conservado, ele permanecerá sem modifica¸cão. P. ex.: 4,850000 arredondado à primeira decimal tornar-se-á: 4,8.

Agora você deve ser capaz de responder à pergunta do exemplo 5. Para decidir a quantidade de algarismos significativos do resultado, veja a próxima se¸cão.

2.3 Regras pr´

aticas de opera¸

c˜

oes com algarismos significativos

Vimos que toda medida está acompanhada de uma incerteza, porém em alguns casos não conhecemos seu valor explicitamente. Nessa situa¸cão, admitimos que a incerteza está no último algarismo e utilizamos as seguintes regras práticas:

2.3.1 Adi¸c˜ao e subtra¸c˜ao

Considere que se quer adicionar os resultados dos comprimentos do exemplo 1.10 acima. Devemos, inicialmente, passar todas as parcelas para a mesma unidade, no caso metro, temos L1 =12,34 m, L2 = 0,057340 m, L3 = 0,00345 m L4 = 3,42210 m e L5 = 0,98 m e em seguida

verificamos qual (ou quais) das parcelas possui o algarismo duvidoso na posi¸c˜ao decimal mais elevada ou a parcela (ou parcelas) que possui o menor n´umero de casas decimais. Colocamos as parcelas como mostrado a seguir e verificamos que os algarismos 4 de L1 e 8 de L5 possuem a

posi¸cão decimal mais elevada (centésimo) como também possuem apenas duas casas decimais. Em seguida devemos modificar as demais parcelas para que elas fiquem com o mesmo número de casas decimais de L1 (ou L5).

L1 = 12,34 → 12,34 continua como est´a.

L2 = 0,057340 → 0,06 o algarismo 5 foi acrescido de uma unidade pois 7 > 5.

L3 = 0,00345 → 0,00 foi mantido o 0 pois 3 < 5.

L4 = 3,42210 → 3,42 foi mantido o 2 pois 2 < 5.

L5 = 0,98 → 0,98 continua como est´a.

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O resultado da soma é L = 16,80 m, um resultado com apenas 4 algarismos significativos. Esta regra é aplicada também para o caso de subtra¸cões.

2.3.2 Multiplica¸c˜ao e divis˜ao

Suponha que, na figura 3, o cilindro A seja o cilindro B visto em outra perspectiva. Qual seria o volume total deste cilindro? V = A × h = π × R2

A× LA = 1₄ × π × (DA)2 × LA, onde

DA≡ DB = 1,3 cm e LA = 36,3 cm, assim:

V = 1₄ × π × (DA)2× LA = 1₄× 3,14159 × (1,3)2× 36,3 = 48,181780 cm3.

Com rela¸c˜ao a esse resultado temos as seguintes quest˜oes: 1. Quantos algarismos significativos (AS) deve ter V ? 2. Quantos AS deve ter π?

3. E a fra¸c˜ao 1₄, quantos AS deve ter?

Para responder essas perguntas adotaremos as seguintes regras:

• O resultado de uma multiplica¸cão (ou divisão) deve ter tantos algarismos significativos quanto forem aqueles do número de menor AS entre os números utilizados na opera¸cão. • Uma constante como π, caso não seja indicado no problema o número de AS, deve ser

utilizada com um número de AS maior que o número de menor AS na opera¸cão.

• Os números 1 e 4 não foram obtidos a partir de alguma medida realizada e não devem ser considerados na determina¸cão do número de AS na opera¸cão pois são constantes exatas. Para finalizar, o resultado da opera¸cão no cálculo do volume do cilindro será V = 48 cm3

(2 AS que vem de DA = 1,3 cm).

Obs.: As regras estabelecidas acima só deverão ser utilizadas quando não conhecermos explicitamente o valor da incerteza da medida. No caso em que sabemos o valor da incerteza, utilizaremos um método de propaga¸cão que será abordado na se¸cão 4.

3 A incerteza instrumental

Para determinarmos a incerteza de uma medida devemos considerar os fatores que influem na sua avalia¸cão: a habilidade do experimentador, as condi¸cões em que a medida foi realizada, o próprio objeto a ser medido e, fundamentalmente, o instrumento utilizado. Entretanto, devemos

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expressar a incerteza de uma medida em termos que sejam compreens´ıveis a outras pessoas e para isso utilizaremos o seguinte crit´erio:

• Se o instrumento N ÃO PERMITIR A AVALIAÇ ÃO DO ALGARISMO DUVIDOSO, este será considerado como sendo o último algarismo obtido no instrumento e, neste caso, a incerteza estimada (erro associado à medida) será: ∆( ) = A MENOR DIVIS ÃO DA ESCALA DO INSTRUMENTO.

Exemplo 6 Nos instrumentos digitais (com mostrador numérico) normalmente o erro é igual a menor varia¸cão da medida. No caso da balan¸ca da figura 1 temos ∆m = 0,01g então a massa medida, corrigindo o valor indicado, seria: m= (460,42 ± 0,01) g (5 AS)

• Se o instrumento PERMITIR A AVALIAÇ ÃO DO ALGARISMO DUVIDOSO, a incer-teza estimada (erro associado à medida) será: ∆( ) = A METADE DA MENOR DIVIS ÃO DA ESCALA DO INSTRUMENTO.

Vejamos, utilizando os nossos exemplos, como devemos expressar o resultado final de uma medida.

Exemplo 7 Na figura 2a), utilizando uma régua cuja menor divisão foi um cent´ımetro, ava-liamos o comprimento AB em 8,3 cm. Como o experimentador pode avaliar o algarismo 3, a incerteza da medida será: ∆(AB) = 1cm / 2 = 0,5 cm (metade da menor divisão da escala do instrumento). Consequentemente, devemos expressar o valor da medida do comprimento AB como sendo: AB = (8,3 ± 0,5) cm (2 AS).

Exemplo 8 Na figura 2b) utilizando uma régua cuja menor divisão foi um mil´ımetro, avali-amos o comprimento AB em 82,6 mm. Como o algarismo 6 pode ser avaliado, a incerteza da medida será: ∆(AB) = 1mm /2 = 0,5 mm (metade da menor divisão da escala do instru-mento). Portanto, devemos expressar o valor da medida do comprimento AB como sendo: AB = (82,6 ± 0,5) mm (3 AS).

Exemplo 9 Na figura 3 podemos avaliar uma medida entre duas divisões da régua, portanto o erro na obten¸cão de LA será: ∆LA = 0,25cm / 2 = 0,125 cm, como adotamos o erro com

apenas um algarismo significativo temos: ∆LA = 0,1 cm portanto se LA = 36,30cm e DB =

1,25cm temos: LA = (36,3 ± 0,1) cm (3 AS) e DB = (1,3 ± 0,1) cm (2 AS).

Questão 1.1: Indique qual será a incerteza de uma medida realizada com os seguin-tes instrumentos: régua comum, relógio digital, relógio analógico, veloc´ımetro de automóvel, termômetro cl´ınico e transferidor. Discuta sua resposta com o professor.

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4 Medidas indiretas e propaga¸

c˜

ao de incertezas

Nem sempre é poss´ıvel determinar certas grandezas por medi¸cão direta; para se determinar a densidade de um objeto, por exemplo, é preciso medir a sua massa e o seu volume, que por sua vez é determinado pela medida de suas dimensões. Todas estas medidas estarão afetadas de incertezas que na determina¸cão da densidade se propagarão e darão origem a uma incerteza na densidade.

Inicialmente, vamos uniformizar a nossa linguagem: ao invés de erros, desvios, incertezas, utilizaremos apenas incertezas que é um termo mais abrangente. Quanto à representa¸cão matemática, para grandezas tais como x, t, v, T , etc., apresentaremos suas incertezas (ou incertezas absolutas) por ∆x, ∆t, ∆v, ∆T , etc, e, consequentemente, suas incertezas relativas por ∆x/x, ∆t/t, ∆v/v, ∆T /T , etc.

4.1 Soma ou diferen¸

ca

A análise estat´ıstica rigorosa mostra que ao somarmos ou subtrairmos grandezas estatis-ticamente independentes a incerteza no resultado será dado pela raiz quadrada da soma dos quadrados das incertezas de cada uma das grandezas. Por exemplo, se tivermos três grandezas dadas por: X = (x ± ∆x), Y = (y ± ∆y) e Z = (z ± ∆z), a soma (ou subtra¸cão) delas, S = X + Y + Z, será afetada por uma incerteza de valor:

∆S =q∆x2_{+ ∆y}2 _{+ ∆z}2_. ₍₂₎

Como aproxima¸cão, pode-se usar que, se a incerteza de uma das grandezas da soma (ou sub-tra¸cão) for consideravelmente maior que as das outras, por exemplo, ∆x ∆y, ∆z (três vezes maior é suficiente) a incerteza do resultado será dado por esta incerteza: ∆S ≈ ∆x.

Exemplo 10 Na determina¸c˜ao do per´ımetro de um quadril´atero, mediram-se os seus lados a, b, c, e d com instrumentos diferentes obtendo-se

a = (5,03 ± 0,05) cm, b = (6,8 ± 0,03) cm, c = (0,673 ± 0,08) cm, d = (2,36 ± 0,06) cm.

Na calculadora obt´em-se que o per´ımetro p = 5,03 + 6,8 + 0,673 + 2,36 = 14,863 e a incerteza ∆p= √∆x2 _{+ ∆y}2_{+ ∆z}2 _{= 0,115758 cm. Como devemos ter apenas um algarismo}

significa-tivo para a incerteza, escrevemos ∆p = 0,1 cm, conseqüentemente, utilizando o critério de aproxima¸cão, podemos escrever: p = (14,9 ± 0,1) cm.

(11)

4.2 Multiplica¸

c˜

ao ou divis˜

ao

Neste caso, a incerteza do resultado ser´a dada pela raiz quadrada da soma dos quadrados das incertezas relativas de cada fator. Por exemplo, se M = x × y × z teremos:

∆M M = v u u t ∆x x 2 + ∆y y !2 + ∆z z 2 (3) Exemplo 11 Na determina¸cão da área de um retângulo, mediram-se os seus lados a e b com instrumentos diferentes obtendo-se

a = (67,35 ± 0,05) cm, b = (41,2 ± 0,5) cm,

Na calculadora obt´em-se que a ´area A = a × b = 2774,82 cm2_{. A incerteza relativa em a ´}_e

de 0,000742, a incerteza relativa em b ´e de 0,012136 o que resulta numa incerteza relativa em A de 0,012159. A incerteza final ´e ∆A = 33, 74 cm2_{. Uma vez que a incerteza deve ter apenas}

1 algarismo significativo, ent˜ao o resultado final ´e A = (2770 ± 30) cm2_.

4.3 Leis de potˆ

encia

Incerteza no produto ou quociente de grandezas é um caso particular das rela¸cões entre incertezas na forma de lei de potências. Se M é uma lei de potência em x, isto é, M = kxP, então a incerteza de M depende da incerteza em x na forma

∆M M = s P∆x x 2 ,

onde P = ±1 volta ao caso da multiplica¸cão (ou da divisão). De forma geral, se M é um produto com potências do tipo M = kxP_yQ_zR_{, ent˜}_{ao sua incerteza ser´}_{a dada por:}

∆M M = v u u t P∆x x 2 + Q∆y y !2 + R∆z z 2 , (4)

onde os expoentes P , Q e R podem ter qualquer valor real.

Exemplo 12 O deslocamento de um objeto que ´e largado em repouso sob a a¸c˜ao da gravidade ´

e dado por H = gt2/2. De qual altura a pedra deve ter sido largada se demorou t = (1,02 ± 0,01) s para atingir o solo? use g = (9,8 ± 0,1) m/s2_.

Por substitui¸cao direta na fórmula H = 5,0980 m é a altura, a resposta. No entanto, estamos mais interessados na incerteza desta resposta. A incerteza relativa em t é de 0,0098 e a incerteza relativa em g é de 0,0102. Devemos lembrar que a incerteza em t conta duas vezes na fórmula 4 (por conta do expoente 2), logo a incerteza relativa em H é de 0,01722. Isto nos dá um incerteza total de ∆H = 0, 09 m (note o uso das regras de arredondamento). A resposta final é, então, H = (5,10 ± 0,09) m.

(12)

´

E importante não esquecer que as expressões de propaga¸cao de incerteza só são válidas se y = y(a, b, c). Se for necessário calcularmos a incerteza de uma variável em fun¸cão das outras, por exemplo, ∆a em fun¸cão de ∆y, ∆b e ∆c, necessitaremos expressar esta variável “a” como fun¸cão de y, b e c. Isto é, a = a(y, b, c) e só então utilizaremos a expressão 4.

A

Propaga¸

c˜

ao de incertezas

Todo o conteúdo desta apostila é suficiente para levar em frente o curso de F´ısica Experi-mental L1. No entanto, se o estudante estiver interessado em conhecer a origem das expressões matemáticas apresentadas na última se¸cão, uma leitura deste apêndice pode dar uma idéia geral dos mecanismos envolvidos.

Quando desejamos obter uma grandeza f que só pode ser mensurada indiretamente através da medida de outra gran-deza x, os erros envolvidos dependem de como f depende de x, como podemos ver na figura ao lado. Uma incerteza na grandeza x, representada pela sombra na figura 4 ocasiona uma incerteza na grandeza f , também representada por um sombreamento. Se aproximarmos a curva f (x) a uma reta na região entre x − ∆x e x + ∆x, podemos escrever algo como:

∆f = ∂f

∂x × ∆x,

onde ∂f_∂x representa a derivada de f em rela¸cão apenas à variável x. Se a grandeza f depender de várias variáveis f = f (x, y, z), a incerteza de cada grandeza interfere independentemente. Matematicamente se escreve: ∆f = v u u t ∂f ∂x × ∆x !2 + ∂f ∂y × ∆y !2 + ∂f ∂z × ∆z !2 , (5)

como a incerteza de f . A expressão 5 usa conhecimento de derivadas parciais que serão deta-lhados no curso de cálculo, por isto o uso desta expressão só é indicado para quem saiba muito bem como manuseá-la.

Se a grandeza f depende de x e y por uma soma, f (x) = x + y, ent˜ao ∂f_∂x = ∂f_∂y = 1 e a equa¸c˜ao 5 nos fornece ∆f = q(∆x)2_{+ (∆y)}2 _{(compare com a equa¸c˜}_{ao 2).}

Se a grandeza f depende de x e y por uma multiplica¸c˜ao, f (x) = x × y, ent˜ao ∂f_∂x = f_x e

∂f ∂y = f y nos fornece ∆f = r